Абсолютни грешки на най-малките квадрати. Апроксимация на експериментални данни

Нека апроксимираме функцията с полином от степен 2. За да направим това, изчисляваме коефициентите на нормалната система от уравнения:

, ,

Нека създадем нормална система на най-малките квадрати, която има формата:

Решението на системата се намира лесно:, , .

Така се намира полином от 2-ра степен: .

Теоретична информация

Върнете се към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Пример 2. Намиране на оптималната степен на полином.

Върнете се към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Пример 3. Извеждане на нормална система от уравнения за намиране на параметрите на емпиричната зависимост.

Нека изведем система от уравнения за определяне на коефициентите и функциите , който извършва средноквадратичното приближение на дадена функция чрез точки. Нека съставим функция и запишете необходимото екстремално условие за него:

Тогава нормалната система ще приеме формата:

Получихме линейна система от уравнения за неизвестни параметри и, която лесно се решава.

Теоретична информация

Върнете се към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Пример.

Експериментални данни за стойностите на променливите XИ приса дадени в таблицата.

В резултат на подравняването им се получава функцията

Използване метод на най-малките квадрати, апроксимирайте тези данни чрез линейна зависимост y=ax+b(намерете параметри АИ b). Открийте коя от двете линии по-добре (в смисъла на метода на най-малките квадрати) подравнява експерименталните данни. Направете рисунка.

Същността на метода на най-малките квадрати (МНК).

Задачата е да се намерят коефициентите на линейна зависимост, при които функцията на две променливи АИ bприема най-малката стойност. Тоест дадено АИ bсумата от квадратите на отклоненията на експерименталните данни от намерената права линия ще бъде най-малка. Това е целият смисъл на метода на най-малките квадрати.

Така решаването на примера се свежда до намиране на екстремума на функция на две променливи.

Извеждане на формули за намиране на коефициенти.

Съставя се и се решава система от две уравнения с две неизвестни. Намиране на частни производни на функция по променливи АИ b, ние приравняваме тези производни на нула.

Ние решаваме получената система от уравнения, използвайки произволен метод (напр по метода на заместванеили метод на Крамър) и да получите формули за намиране на коефициенти с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM).

дадени АИ bфункция приема най-малката стойност. Доказателството за този факт е дадено по-долу в текста в края на страницата.

Това е целият метод на най-малките квадрати. Формула за намиране на параметъра асъдържа сумите , , и параметър п— количество експериментални данни. Препоръчваме да изчислите стойностите на тези суми отделно.

Коефициент bнамерени след изчисление а.

Време е да си припомним оригиналния пример.

Решение.

В нашия пример n=5. Попълваме таблицата за удобство при изчисляване на сумите, които са включени във формулите на необходимите коефициенти.

Стойностите в четвъртия ред на таблицата се получават чрез умножаване на стойностите на 2-ри ред по стойностите на 3-ти ред за всяко число аз.

Стойностите в петия ред на таблицата се получават чрез повдигане на квадрат на стойностите във 2-ри ред за всяко число аз.

Стойностите в последната колона на таблицата са сумите от стойностите в редовете.

Използваме формулите на метода на най-малките квадрати, за да намерим коефициентите АИ b. Заменяме съответните стойности от последната колона на таблицата в тях:

следователно y = 0,165x+2,184— желаната апроксимираща права линия.

Остава да разберем коя от линиите y = 0,165x+2,184или приближава по-добре оригиналните данни, т.е. оценки, използващи метода на най-малките квадрати.

Оценка на грешката на метода на най-малките квадрати.

За да направите това, трябва да изчислите сумата на квадратите на отклоненията на оригиналните данни от тези редове И , по-малка стойност съответства на линия, която по-добре приближава оригиналните данни по смисъла на метода на най-малките квадрати.

Тъй като , тогава направо y = 0,165x+2,184по-добре приближава оригиналните данни.

Графична илюстрация на метода на най-малките квадрати (LS).

Всичко се вижда ясно на графиките. Червената линия е намерената права линия y = 0,165x+2,184, синята линия е , розовите точки са оригиналните данни.

Защо е необходимо това, защо всички тези приближения?

Аз лично го използвам за решаване на проблеми с изглаждане на данни, проблеми с интерполация и екстраполация (в оригиналния пример те може да са били помолени да намерят стойността на наблюдавана стойност гпри х=3или кога х=6използвайки метода на най-малките квадрати). Но ще говорим повече за това по-късно в друг раздел на сайта.

Най-горе на страницата

Доказателство.

Така че, когато се намери АИ bфункция приема най-малката стойност, необходимо е в тази точка матрицата на квадратната форма на диференциала от втори ред за функцията беше положително категоричен. Нека го покажем.

Диференциалът от втори ред има формата:

това е

Следователно матрицата на квадратна форма има формата

и стойностите на елементите не зависят от АИ b.

Нека покажем, че матрицата е положително определена. За да направите това, ъгловите минори трябва да са положителни.

Ъглов минор от първи ред . Неравенството е строго, защото точките не съвпадат. В това, което следва, ще посочим това.

Ъглов минор от втори ред

Нека докажем това по метода на математическата индукция.

Заключение: намерени стойности АИ bотговарят на най-малката стойност на функцията следователно са необходимите параметри за метода на най-малките квадрати.

Нямате време да го разберете?
Поръчайте решение

Най-горе на страницата

Разработване на прогноза по метода на най-малките квадрати. Пример за решение на проблем

Екстраполация е метод на научно изследване, който се основава на разпространението на минали и настоящи тенденции, модели, връзки с бъдещото развитие на прогнозния обект. Екстраполационните методи включват метод на пълзяща средна, метод на експоненциално изглаждане, метод на най-малките квадрати.

Същност метод на най-малките квадрати се състои в минимизиране на сумата от квадратните отклонения между наблюдаваните и изчислените стойности. Изчислените стойности се намират с помощта на избраното уравнение - регресионното уравнение. Колкото по-малко е разстоянието между действителните стойности и изчислените, толкова по-точна е прогнозата въз основа на регресионното уравнение.

Теоретичен анализ на същността на изследваното явление, промяната в която се отразява от времеви редове, служи като основа за избор на крива. Понякога се вземат предвид съображения за естеството на увеличението на нивата на серията. Така, ако се очаква нарастване на продукцията в аритметична прогресия, тогава изглаждането се извършва по права линия. Ако се окаже, че растежът е в геометрична прогресия, тогава изглаждането трябва да се направи с експоненциална функция.

Работна формула за метода на най-малките квадрати : Y t+1 = a*X + b, където t + 1 – прогнозен период; Уt+1 – прогнозен показател; a и b са коефициенти; X е символ на времето.

Изчисляването на коефициентите a и b се извършва по следните формули:

където Uf - действителните стойности на динамичната серия; n – брой нива на времеви редове;

Изглаждането на времевите редове с помощта на метода на най-малките квадрати служи за отразяване на модела на развитие на изследваното явление. При аналитичното изразяване на тенденция, времето се разглежда като независима променлива, а нивата на серията действат като функция на тази независима променлива.

Развитието на едно явление не зависи от това колко години са изминали от началото, а от това какви фактори са повлияли на неговото развитие, в каква посока и с каква интензивност. Оттук става ясно, че развитието на едно явление във времето е резултат от действието на тези фактори.

Правилното установяване на вида на кривата, вида на аналитичната зависимост от времето е една от най-трудните задачи на прогнозния анализ .

Изборът на типа функция, която описва тенденцията, чиито параметри се определят по метода на най-малките квадрати, се извършва в повечето случаи емпирично, чрез конструиране на редица функции и тяхното сравняване помежду си според стойността на средна квадратична грешка, изчислена по формулата:

където UV са действителните стойности на динамичната серия; Ur – изчислени (изгладени) стойности на динамичната серия; n – брой нива на времеви редове; p – броят на параметрите, дефинирани във формули, описващи тенденцията (тенденция на развитие).

Недостатъци на метода на най-малките квадрати :

• когато се опитвате да опишете икономическия феномен, който се изучава, с помощта на математическо уравнение, прогнозата ще бъде точна за кратък период от време и регресионното уравнение трябва да бъде преизчислено, когато стане налична нова информация;
• сложността на избора на регресионно уравнение, което е разрешимо с помощта на стандартни компютърни програми.

Пример за използване на метода на най-малките квадрати за разработване на прогноза

Задача . Има данни, характеризиращи нивото на безработица в региона, %

• Изградете прогноза за нивото на безработица в региона за ноември, декември, януари, като използвате следните методи: пълзяща средна, експоненциално изглаждане, най-малки квадрати.
• Изчислете грешките в получените прогнози, като използвате всеки метод.
• Сравнете резултатите и направете изводи.

Решение на най-малките квадрати

За да разрешим това, ще съставим таблица, в която ще направим необходимите изчисления:

ε = 28,63/10 = 2,86% точност на прогнозатависоко.

Заключение : Сравняване на резултатите, получени от изчисленията метод на пълзяща средна , метод на експоненциално изглаждане и метода на най-малките квадрати, можем да кажем, че средната относителна грешка при изчисляване с помощта на метода на експоненциално изглаждане попада в диапазона от 20-50%. Това означава, че точността на прогнозата в този случай е само задоволителна.

В първия и третия случай точността на прогнозата е висока, тъй като средната относителна грешка е по-малка от 10%. Но методът на подвижната средна даде възможност да се получат по-надеждни резултати (прогноза за ноември - 1,52%, прогноза за декември - 1,53%, прогноза за януари - 1,49%), тъй като средната относителна грешка при използване на този метод е най-малката - 1 ,13%.

Метод на най-малките квадрати

Други статии по тази тема:

Списък на използваните източници

1. Научни и методически препоръки за диагностициране на социални рискове и прогнозиране на предизвикателства, заплахи и социални последици. Руски държавен социален университет. Москва. 2010 г.;
2. Владимирова Л.П. Прогнозиране и планиране в пазарни условия: Учебник. надбавка. М.: Издателство "Дашков и Ко", 2001 г.;
3. Новикова Н.В., Поздеева О.Г. Прогнозиране на националната икономика: Учебно-методическо ръководство. Екатеринбург: Уралско издателство. състояние икон. университет, 2007;
4. Слуцкин Л.Н. MBA курс по бизнес прогнозиране. М.: Alpina Business Books, 2006.

MNC програма

Въведете подробности

Данни и приближение y = a + b x

аз- номер на опитна точка;
x i- стойност на фиксиран параметър в точка аз;
y i- стойност на измервания параметър в точка аз;
ωi- тегло на измерване в точка аз;
y i, калк.- разлика между измерената и регресионно изчислената стойност гв точката аз;
S x i (x i)- оценка на грешката x iпри измерване гв точката аз.

Данни и приближение y = k x

аз	x i	y i	ωi	y i, калк.	Δy i	S x i (x i)

Кликнете върху графиката

Ръководство за потребителя на онлайн програмата MNC.

В полето за данни въведете на всеки отделен ред стойностите на `x` и `y` в една експериментална точка. Стойностите трябва да бъдат разделени с празен интервал (интервал или раздел).

Третата стойност може да бъде теглото на точката „w“. Ако теглото на точка не е посочено, то е равно на единица. В по-голямата част от случаите теглата на експерименталните точки са неизвестни или не са изчислени, т.е. всички експериментални данни се считат за еквивалентни. Понякога теглата в изследвания диапазон от стойности са абсолютно нееквивалентни и дори могат да бъдат изчислени теоретично. Например в спектрофотометрията теглата могат да се изчислят с помощта на прости формули, въпреки че това най-често се пренебрегва, за да се намалят разходите за труд.

Данните могат да бъдат поставени чрез клипборда от електронна таблица в офис пакет като Excel от Microsoft Office или Calc от Open Office. За да направите това, в електронната таблица изберете диапазона от данни за копиране, копирайте го в клипборда и поставете данните в полето за данни на тази страница.

За изчисляване с помощта на метода на най-малките квадрати са необходими поне две точки за определяне на два коефициента `b` - тангенса на ъгъла на наклона на правата линия и `a` - стойността, пресечена от правата линия върху `y` ос.

За да оцените грешката на изчислените коефициенти на регресия, трябва да зададете броя на експерименталните точки на повече от две.

Метод на най-малките квадрати (LSM).

Колкото по-голям е броят на експерименталните точки, толкова по-точна е статистическата оценка на коефициентите (поради намаляване на коефициента на Стюдънт) и толкова по-близо е оценката до оценката на общата извадка.

Получаването на стойности във всяка експериментална точка често е свързано със значителни разходи за труд, така че често се провеждат компромисен брой експерименти, които дават управляема оценка и не водят до прекомерни разходи за труд. По правило броят на експерименталните точки за линейна зависимост на най-малките квадрати с два коефициента се избира в рамките на 5-7 точки.

Кратка теория на най-малките квадрати за линейни връзки

Да кажем, че имаме набор от експериментални данни под формата на двойки стойности [`y_i`, `x_i`], където `i` е номерът на едно експериментално измерване от 1 до `n`; `y_i` - стойността на измерената величина в точка `i`; `x_i` - стойността на параметъра, който задаваме в точка `i`.

Като пример разгледайте действието на закона на Ом. Чрез промяна на напрежението (потенциалната разлика) между секциите на електрическата верига измерваме количеството ток, преминаващ през тази секция. Физиката ни дава експериментално установена зависимост:

„I = U/R“,
където `I` е силата на тока; `R` - съпротивление; `U` - напрежение.

В този случай `y_i` е текущата стойност, която се измерва, а `x_i` е стойността на напрежението.

Като друг пример, разгледайте абсорбцията на светлина от разтвор на вещество в разтвор. Химията ни дава формулата:

`A = ε l C`,
където "А" е оптичната плътност на разтвора; `ε` - пропускливост на разтвореното вещество; `l` - дължина на пътя при преминаване на светлината през кювета с разтвор; `C` е концентрацията на разтвореното вещество.

В този случай `y_i` е измерената стойност на оптичната плътност `A`, а `x_i` е стойността на концентрацията на веществото, което посочваме.

Ще разгледаме случая, когато относителната грешка в спецификацията `x_i` е значително по-малка от относителната грешка в измерването `y_i`. Ще приемем също, че всички измерени стойности "y_i" са произволни и нормално разпределени, т.е. се подчиняват на нормалния закон за разпределение.

В случай на линейна зависимост на `y` от `x`, можем да запишем теоретичната зависимост:
`y = a + b x`.

От геометрична гледна точка коефициентът `b` означава тангенса на ъгъла на наклона на правата към оста `x`, а коефициентът `a` - стойността на `y` в точката на пресичане на линия с оста „y“ (при „x = 0“).

Намиране на параметрите на регресионната линия.

При експеримент измерените стойности на `y_i` не могат точно да лежат на теоретичната права линия поради грешки в измерването, които винаги са присъщи на реалния живот. Следователно линейното уравнение трябва да бъде представено чрез система от уравнения:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
където `ε_i` е неизвестната грешка на измерване на `y` в `i`-тия експеримент.

Зависимост (1) също се нарича регресия, т.е. зависимостта на две величини една от друга със статистическа значимост.

Задачата за възстановяване на зависимостта е да се намерят коефициентите `a` и `b` от експерименталните точки [`y_i`, `x_i`].

За намиране на коефициентите `a` и `b` обикновено се използва метод на най-малките квадрати(MNC). Това е специален случай на принципа на максималната вероятност.

Нека пренапишем (1) във формата `ε_i = y_i - a - b x_i`.

Тогава сумата от квадратите на грешките ще бъде
`Φ = сума_(i=1)^(n) ε_i^2 = сума_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

Принципът на най-малките квадрати (най-малките квадрати) е да се минимизира сумата (2) по отношение на параметрите `a` и `b`.

Минимумът се постига, когато частните производни на сумата (2) по отношение на коефициентите `a` и `b` са равни на нула:
`frac(partial Φ)(partial a) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial a) = 0`
`frac(partial Φ)(partial b) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial b) = 0`

Разширявайки производните, получаваме система от две уравнения с две неизвестни:
`сума_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i — 2y_i) = сума_(i=1)^(n) (a + bx_i — y_i) = 0`
`сума_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i — 2x_iy_i) = сума_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i — x_iy_i) = 0`

Отваряме скобите и прехвърляме сумите, независими от необходимите коефициенти, към другата половина, получаваме система от линейни уравнения:
`сума_(i=1)^(n) y_i = a n + b сума_(i=1)^(n) bx_i`
`сума_(i=1)^(n) x_iy_i = сума_(i=1)^(n) x_i + b сума_(i=1)^(n) x_i^2`

Решавайки получената система, намираме формули за коефициентите `a` и `b`:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n сума_(i=1)^(n) x_i^2 — (сума_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n сума_(i=1)^(n) x_iy_i — сума_(i=1)^(n) x_i сума_(i=1)^(n) y_i) (n сума_(i=1)^ (n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

Тези формули имат решения, когато `n > 1` (линията може да бъде конструирана с помощта на поне 2 точки) и когато детерминантата `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (sum_(i= 1 )^(n) x_i)^2 != 0`, т.е. когато точките `x_i` в експеримента са различни (т.е. когато линията не е вертикална).

Оценка на грешките на коефициентите на регресионната линия

За по-точна оценка на грешката при изчисляване на коефициентите `a` и `b` е желателно голям брой експериментални точки. Когато `n = 2`, е невъзможно да се оцени грешката на коефициентите, т.к апроксимиращата права еднозначно ще минава през две точки.

Определя се грешката на случайната величина `V` закон за натрупване на грешки
`S_V^2 = сума_(i=1)^p (frac(частично f)(частично z_i))^2 S_(z_i)^2`,
където `p` е броят на параметрите `z_i` с грешка `S_(z_i)`, които влияят на грешката `S_V`;
„f“ е функция на зависимостта на „V“ от „z_i“.

Нека запишем закона за натрупване на грешката за грешката на коефициентите `a` и `b`
`S_a^2 = сума_(i=1)^(n)(frac(частично a)(частично y_i))^2 S_(y_i)^2 + сума_(i=1)^(n)(frac(частично a )(частично x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 сума_(i=1)^(n)(frac(частично a)(частично y_i))^2 `,
`S_b^2 = сума_(i=1)^(n)(frac(частично b)(частично y_i))^2 S_(y_i)^2 + сума_(i=1)^(n)(frac(частично b )(частично x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 сума_(i=1)^(n)(frac(частично b)(частично y_i))^2 `,
защото `S_(x_i)^2 = 0` (преди това направихме уговорка, че грешката `x` е незначителна).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - грешка (дисперсия, квадрат на стандартното отклонение) при измерването на `y`, като се приеме, че грешката е еднаква за всички стойности на `y`.

Замествайки формули за изчисляване на `a` и `b` в получените изрази, получаваме

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 — x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n сума_(i=1)^(n) x_i^2 — (сума_(i=1)^(n) x_i)^2) сума_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i — sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n сума_(i=1)^(n) x_i^2 — (сума_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

В повечето реални експерименти стойността на „Sy“ не се измерва. За целта е необходимо да се извършат няколко паралелни измервания (експерименти) в една или няколко точки от плана, което увеличава времето (и евентуално цената) на експеримента. Следователно обикновено се приема, че отклонението на `y` от регресионната линия може да се счита за случайно. Оценката на дисперсията `y` в този случай се изчислява по формулата.

`S_y^2 = S_(y, почивка)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

Делителят „n-2“ се появява, защото броят на нашите степени на свобода е намалял поради изчисляването на два коефициента, използвайки една и съща извадка от експериментални данни.

Тази оценка се нарича още остатъчна дисперсия спрямо линията на регресия „S_(y, почивка)^2“.

Значимостта на коефициентите се оценява с помощта на t теста на Student

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Ако изчислените критерии `t_a`, `t_b` са по-малки от табличните критерии `t(P, n-2)`, тогава се счита, че съответният коефициент не се различава значително от нула с дадена вероятност `P`.

За да оцените качеството на описанието на линейна връзка, можете да сравните „S_(y, rest)^2“ и „S_(bar y)“ спрямо средната стойност, като използвате критерия на Фишер.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — (sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - примерна оценка на дисперсията `y` спрямо средната стойност.

За да се оцени ефективността на регресионното уравнение за описание на зависимостта, се изчислява коефициентът на Фишер
`F = S_(лента y) / S_(y, почивка)^2`,
който се сравнява с табличния коефициент на Фишер `F(p, n-1, n-2)`.

Ако `F > F(P, n-1, n-2)`, разликата между описанието на връзката `y = f(x)` с помощта на регресионното уравнение и описанието с помощта на средната стойност се счита за статистически значима с вероятност „П“. Тези. регресията описва зависимостта по-добре от разпространението на „y“ около средната стойност.

Кликнете върху графиката
за добавяне на стойности към таблицата

Метод на най-малките квадрати. Методът на най-малките квадрати означава определяне на неизвестни параметри a, b, c, приетата функционална зависимост

Методът на най-малките квадрати се отнася до определянето на неизвестни параметри а, б, в,…приета функционална зависимост

y = f(x,a,b,c,…),

което би осигурило минимум от средния квадрат (дисперсия) на грешката

, (24)

където x i, y i е набор от двойки числа, получени от експеримента.

Тъй като условието за екстремума на функция на няколко променливи е условието нейните частни производни да са равни на нула, тогава параметрите а, б, в,…се определят от системата от уравнения:

; ; ; … (25)

Трябва да се помни, че методът на най-малките квадрати се използва за избор на параметри след типа на функцията y = f(x)дефинирани

Ако от теоретични съображения не могат да се направят заключения за това каква трябва да бъде емпиричната формула, тогава човек трябва да се ръководи от визуални представяния, предимно от графични представяния на наблюдаваните данни.

На практика те най-често се ограничават до следните видове функции:

1) линеен ;

2) квадратично а.

Метод на най-малките квадрати

Метод на най-малките квадрати ( OLS, OLS, обикновени най-малки квадрати) - един от основните методи на регресионен анализ за оценка на неизвестни параметри на регресионни модели с използване на извадкови данни. Методът се основава на минимизиране на сумата от квадратите на регресионните остатъци.

Трябва да се отбележи, че самият метод на най-малките квадрати може да се нарече метод за решаване на проблем във всяка област, ако решението е или удовлетворява някакъв критерий за минимизиране на сумата от квадратите на някои функции на необходимите променливи. Следователно методът на най-малките квадрати може да се използва и за приблизително представяне (апроксимация) на дадена функция чрез други (по-прости) функции, когато се намира набор от величини, които удовлетворяват уравнения или ограничения, чийто брой надвишава броя на тези величини и т.н.

Същността на MNC

Нека бъде даден някакъв (параметричен) модел на вероятностна (регресионна) връзка между (обяснената) променлива ги много фактори (обяснителни променливи) х

където е векторът на неизвестните параметри на модела

- случайна грешка на модела.

Нека има и примерни наблюдения на стойностите на тези променливи. Нека е номерът на наблюдение (). След това са стойностите на променливите в тото наблюдение. След това, за дадени стойности на параметрите b, е възможно да се изчислят теоретичните (моделни) стойности на обяснената променлива y:

Размерът на остатъците зависи от стойностите на параметрите b.

Същността на метода на най-малките квадрати (обикновен, класически) е да се намерят такива параметри b, за които сумата от квадратите на остатъците (англ. Остатъчен сбор от квадрати) ще бъде минимален:

В общия случай този проблем може да бъде решен чрез методи на числена оптимизация (минимизация). В този случай те говорят за нелинейни най-малки квадрати(NLS или NLLS - английски) Нелинейни най-малки квадрати). В много случаи е възможно да се получи аналитично решение. За да се реши задачата за минимизиране, е необходимо да се намерят стационарни точки на функцията чрез диференцирането й по отношение на неизвестните параметри b, приравняването на производните към нула и решаването на получената система от уравнения:

Ако случайните грешки на модела са нормално разпределени, имат една и съща вариация и не са корелирани, оценките на OLS параметрите са същите като оценките на максималната вероятност (MLM).

OLS в случай на линеен модел

Нека регресионната зависимост е линейна:

Нека ге колонен вектор на наблюденията на обяснената променлива и е матрица на факторните наблюдения (редовете на матрицата са векторите на факторните стойности в дадено наблюдение, колоните са векторът на стойностите на даден фактор във всички наблюдения). Матричното представяне на линейния модел има формата:

Тогава векторът на оценките на обяснената променлива и векторът на регресионните остатъци ще бъдат равни

Съответно сумата от квадратите на регресионните остатъци ще бъде равна на

Диференцирайки тази функция по отношение на вектора на параметрите и приравнявайки производните на нула, получаваме система от уравнения (в матрична форма):

.

Решението на тази система от уравнения дава общата формула за оценки на най-малките квадрати за линеен модел:

За аналитични цели последното представяне на тази формула е полезно. Ако в регресионен модел данните центриран, тогава в това представяне първата матрица има значението на примерна ковариационна матрица от фактори, а втората е вектор от ковариации на фактори със зависимата променлива. Ако в допълнение данните също са нормализиранкъм MSE (тоест в крайна сметка стандартизиран), тогава първата матрица има значението на примерна корелационна матрица на фактори, вторият вектор - вектор на примерни корелации на фактори със зависимата променлива.

Важно свойство на оценките на OLS за модели с постоянна- построената регресионна линия минава през центъра на тежестта на извадковите данни, т.е. равенството е изпълнено:

По-специално, в краен случай, когато единственият регресор е константа, откриваме, че OLS оценката на единствения параметър (самата константа) е равна на средната стойност на обяснената променлива. Тоест, средната аритметична стойност, известна с добрите си свойства от законите на големите числа, също е оценка на най-малките квадрати - тя удовлетворява критерия за минималната сума на квадратите на отклоненията от нея.

Пример: най-проста (по двойки) регресия

В случай на сдвоена линейна регресия, формулите за изчисление са опростени (можете да правите без матрична алгебра):

Свойства на OLS оценителите

На първо място, отбелязваме, че за линейните модели оценките на OLS са линейни оценки, както следва от горната формула. За безпристрастни оценки на OLS е необходимо и достатъчно да се изпълни най-важното условие на регресионния анализ: математическото очакване на случайна грешка, зависимо от факторите, трябва да бъде равно на нула. Това условие по-специално е изпълнено, ако

1. математическото очакване на случайни грешки е нула и
2. факторите и случайните грешки са независими случайни променливи.

Второто условие - условието за екзогенност на факторите - е основно. Ако това свойство не е изпълнено, тогава можем да предположим, че почти всички оценки ще бъдат изключително незадоволителни: те дори няма да бъдат последователни (тоест дори много голямо количество данни не ни позволява да получим висококачествени оценки в този случай ). В класическия случай се прави по-силно предположение за детерминизма на факторите, за разлика от случайна грешка, което автоматично означава, че условието за екзогенност е изпълнено. В общия случай, за съгласуваност на оценките, е достатъчно да се удовлетвори условието за екзогенност заедно с конвергенцията на матрицата към някаква неособена матрица, когато размерът на извадката нараства до безкрайност.

За да бъдат, в допълнение към последователността и безпристрастността, оценките на (обикновените) най-малки квадрати също ефективни (най-добрите в класа на линейните безпристрастни оценки), трябва да бъдат изпълнени допълнителни свойства на случайната грешка:

Тези предположения могат да бъдат формулирани за ковариационната матрица на вектора на случайната грешка

Линеен модел, който отговаря на тези условия, се нарича класически. OLS оценките за класическа линейна регресия са безпристрастни, последователни и най-ефективните оценки в класа на всички линейни безпристрастни оценки (в английската литература понякога се използва съкращението СИН (Най-добрият линеен небазиран оценител) - най-добрата линейна безпристрастна оценка; в руската литература по-често се цитира теоремата на Гаус-Марков). Както е лесно да се покаже, ковариационната матрица на вектора на оценките на коефициента ще бъде равна на:

Генерализиран OLS

Методът на най-малките квадрати позволява широко обобщение. Вместо да се минимизира сумата от квадрати на остатъците, може да се минимизира някаква положително определена квадратична форма на вектора на остатъците, където е някаква симетрична положително определена матрица с тегло. Конвенционалните най-малки квадрати са специален случай на този подход, където матрицата на теглото е пропорционална на матрицата на идентичността. Както е известно от теорията на симетричните матрици (или оператори), за такива матрици има декомпозиция. Следователно посоченият функционал може да бъде представен по следния начин, тоест този функционал може да бъде представен като сбор от квадратите на някои трансформирани „остатъци“. По този начин можем да разграничим клас от методи на най-малките квадрати - LS методи (Least Squares).

Доказано е (теорема на Ейткен), че за обобщен линеен регресионен модел (в който не се налагат ограничения върху ковариационната матрица на случайните грешки), най-ефективни (в класа на линейните непредубедени оценки) са т.нар. оценки. обобщени най-малки квадрати (GLS - Обобщени най-малки квадрати)- LS метод с тегловна матрица, равна на обратната ковариационна матрица на случайните грешки: .

Може да се покаже, че формулата за GLS оценки на параметрите на линеен модел има вида

Ковариационната матрица на тези оценки съответно ще бъде равна на

Всъщност същността на OLS се състои в определена (линейна) трансформация (P) на оригиналните данни и прилагането на обикновен OLS към трансформираните данни. Целта на тази трансформация е, че за трансформираните данни случайните грешки вече отговарят на класическите допускания.

Претеглен OLS

В случай на диагонална матрица на тегло (и следователно ковариационна матрица на случайни грешки), имаме така наречените претеглени най-малки квадрати (WLS). В този случай претеглената сума от квадрати на остатъците на модела е сведена до минимум, т.е. всяко наблюдение получава „тегло“, което е обратно пропорционално на дисперсията на случайната грешка в това наблюдение: . Всъщност данните се трансформират чрез претегляне на наблюденията (разделяне на количество, пропорционално на изчисленото стандартно отклонение на случайните грешки), а към претеглените данни се прилага обикновен OLS.

Някои специални случаи на използване на MNC в практиката

Апроксимация на линейна зависимост

Нека разгледаме случая, когато в резултат на изследване на зависимостта на определена скаларна величина от определена скаларна величина (Това може да бъде например зависимостта на напрежението от силата на тока: , където е постоянна стойност, съпротивлението на проводника), бяха извършени измервания на тези количества, в резултат на което стойностите и съответните им стойности. Данните от измерванията трябва да бъдат записани в таблица.

Таблица. Резултати от измерването.

Измерване No.
1
2
3
4
5
6

Въпросът е: каква стойност на коефициента може да се избере, за да се опише най-добре зависимостта? Според метода на най-малките квадрати тази стойност трябва да бъде такава, че сумата от квадратните отклонения на стойностите от стойностите

беше минимален

Сумата от квадратите на отклоненията има един екстремум - минимум, което ни позволява да използваме тази формула. Нека намерим от тази формула стойността на коефициента. За да направим това, трансформираме лявата му страна, както следва:

Последната формула ни позволява да намерим стойността на коефициента, което е необходимо в задачата.

История

До началото на 19в. учените не са имали определени правила за решаване на система от уравнения, в която броят на неизвестните е по-малък от броя на уравненията; Дотогава се използваха частни техники, които зависеха от вида на уравненията и от остроумието на калкулаторите и следователно различните калкулатори, базирани на едни и същи данни от наблюдения, стигаха до различни заключения. Гаус (1795) е първият, който използва метода, а Лежандр (1805) независимо го открива и публикува под съвременното му име (фр. Méthode des moindres quarrés ) . Лаплас свързва метода с теорията на вероятностите, а американският математик Адрейн (1808) разглежда неговите теоретични приложения на вероятностите. Методът е широко разпространен и подобрен чрез по-нататъшни изследвания от Encke, Bessel, Hansen и други.

Алтернативни употреби на OLS

Идеята за метода на най-малките квадрати може да се използва и в други случаи, които не са пряко свързани с регресионния анализ. Факт е, че сумата от квадрати е една от най-често срещаните мерки за близост за вектори (Евклидова метрика в крайномерни пространства).

Едно приложение е „решение“ на системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите

където матрицата не е квадратна, а правоъгълна с размер.

Такава система от уравнения в общия случай няма решение (ако рангът действително е по-голям от броя на променливите). Следователно тази система може да бъде „решена“ само в смисъл на избор на такъв вектор, който да минимизира „разстоянието“ между векторите и . За да направите това, можете да приложите критерия за минимизиране на сумата от квадратите на разликите между лявата и дясната страна на уравненията на системата, т.е. Лесно е да се покаже, че решаването на този проблем за минимизиране води до решаването на следната система от уравнения

След изравняване получаваме функция от следния вид: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Можем да апроксимираме тези данни, като използваме линейната зависимост y = a x + b чрез изчисляване на съответните параметри. За да направим това, ще трябва да приложим така наречения метод на най-малките квадрати. Ще трябва също да направите чертеж, за да проверите коя линия ще подравни най-добре експерименталните данни.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво точно е OLS (метод на най-малките квадрати)

Основното, което трябва да направим, е да намерим такива коефициенти на линейна зависимост, при които стойността на функцията на две променливи F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ще бъде най-малък. С други думи, за определени стойности на a и b, сумата от квадратните отклонения на представените данни от получената права линия ще има минимална стойност. Това е смисълът на метода на най-малките квадрати. Всичко, което трябва да направим, за да решим примера, е да намерим екстремума на функцията на две променливи.

Как да изведем формули за изчисляване на коефициентите

За да изведете формули за изчисляване на коефициентите, трябва да създадете и решите система от уравнения с две променливи. За да направим това, ние изчисляваме частните производни на израза F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 по отношение на a и b и ги приравняваме към 0.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

За да решите система от уравнения, можете да използвате всякакви методи, например заместване или метод на Крамер. В резултат на това трябва да имаме формули, които могат да се използват за изчисляване на коефициенти чрез метода на най-малките квадрати.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n

Изчислихме стойностите на променливите, при които функцията
F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ще приеме минималната стойност. В трети параграф ще докажем защо е точно така.

Това е приложението на метода на най-малките квадрати на практика. Неговата формула, която се използва за намиране на параметъра a, включва ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, както и параметъра
n – обозначава количеството експериментални данни. Съветваме ви да изчислявате всяка сума поотделно. Стойността на коефициента b се изчислява непосредствено след a.

Да се ​​върнем към оригиналния пример.

Пример 1

Тук имаме n равно на пет. За да направим по-удобно изчисляването на необходимите суми, включени във формулите на коефициента, нека попълним таблицата.

	i = 1	i=2	i=3	i=4	i=5	∑ i = 1 5
x i	0	1	2	4	5	12
y i	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x i y i	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x i 2	0	1	4	16	25	46

Решение

Четвъртият ред включва данните, получени чрез умножаване на стойностите от втория ред по стойностите на третия за всеки отделен i. Петият ред съдържа данните от втория, на квадрат. Последната колона показва сумите на стойностите на отделните редове.

Нека използваме метода на най-малките квадрати, за да изчислим коефициентите a и b, от които се нуждаем. За да направите това, заменете необходимите стойности от последната колона и изчислете сумите:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Оказва се, че необходимата апроксимираща права линия ще изглежда като y = 0, 165 x + 2, 184. Сега трябва да определим кой ред ще приближи по-добре данните - g (x) = x + 1 3 + 1 или 0, 165 x + 2, 184. Нека оценим с помощта на метода на най-малките квадрати.

За да изчислим грешката, трябва да намерим сумата от квадратите на отклоненията на данните от правите линии σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 и σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2, минималната стойност ще съответства на по-подходящ ред.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0,096

отговор:тъй като σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0,165 x + 2,184.

Методът на най-малките квадрати е ясно показан на графичната илюстрация. Червената линия маркира правата линия g (x) = x + 1 3 + 1, синята линия маркира y = 0, 165 x + 2, 184. Оригиналните данни са обозначени с розови точки.

Нека обясним защо са необходими точно приближения от този тип.

Те могат да се използват в задачи, които изискват изглаждане на данни, както и в такива, при които данните трябва да бъдат интерполирани или екстраполирани. Например, в проблема, обсъден по-горе, може да се намери стойността на наблюдаваното количество y при x = 3 или при x = 6. На такива примери сме посветили отделна статия.

Доказателство за метода OLS

За да може функцията да приеме минимална стойност, когато се изчисляват a и b, е необходимо в дадена точка матрицата на квадратичната форма на диференциала на функцията под формата F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 е положително определено. Нека ви покажем как трябва да изглежда.

Пример 2

Имаме диференциал от втори ред от следната форма:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 б

Решение

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

С други думи, можем да го запишем така: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

Получихме матрица с квадратична форма M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n .

В този случай стойностите на отделните елементи няма да се променят в зависимост от a и b. Тази матрица положително определена ли е? За да отговорим на този въпрос, нека проверим дали неговите ъглови минори са положителни.

Изчисляваме ъгловия минор от първи ред: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . Тъй като точките x i не съвпадат, неравенството е строго. Ще имаме това предвид при по-нататъшни изчисления.

Изчисляваме второстепенния ъглов минор:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2

След това пристъпваме към доказване на неравенството n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 с помощта на математическа индукция.

1. Нека проверим дали това неравенство е валидно за произволно n. Нека вземем 2 и изчислим:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Имаме правилното равенство (ако стойностите x 1 и x 2 не съвпадат).

1. Нека направим предположението, че това неравенство ще бъде вярно за n, т.е. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – вярно.
2. Сега ще докажем валидността за n + 1, т.е. че (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, ако n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Изчисляваме:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Изразът, ограден във фигурни скоби, ще бъде по-голям от 0 (въз основа на това, което предположихме в стъпка 2), а останалите членове ще бъдат по-големи от 0, тъй като всички те са квадрати от числа. Доказахме неравенството.

отговор:намерените a и b ще съответстват на най-малката стойност на функцията F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, което означава, че те са необходимите параметри на метода на най-малките квадрати (LSM).

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ако определено физическо количество зависи от друго количество, тогава тази зависимост може да бъде изследвана чрез измерване на y при различни стойности на x. В резултат на измерванията се получават редица стойности:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Въз основа на данните от такъв експеримент е възможно да се построи графика на зависимостта y = ƒ(x). Получената крива позволява да се прецени формата на функцията ƒ(x). Въпреки това, постоянните коефициенти, които влизат в тази функция, остават неизвестни. Те могат да бъдат определени чрез метода на най-малките квадрати. Експерименталните точки по правило не лежат точно на кривата. Методът на най-малките квадрати изисква сумата от квадратите на отклоненията на експерименталните точки от кривата, т.е.

2 беше най-малкият.

На практика този метод най-често (и най-просто) се използва в случай на линейна зависимост, т.е. Кога y = kx или

y = a + bx.

Линейната зависимост е много разпространена във физиката. И дори когато връзката е нелинейна, те обикновено се опитват да построят графика, така че да получат права линия. Например, ако се приеме, че коефициентът на пречупване на стъклото n е свързан с дължината на светлинната вълна λ чрез връзката n = a + b/λ 2, тогава зависимостта на n от λ -2 се нанася на графиката. На практика този метод най-често (и най-просто) се използва в случай на линейна зависимост, т.е. КогаПомислете за зависимостта

(права линия, минаваща през началото). Нека съставим стойността φ сумата от квадратите на отклоненията на нашите точки от правата линия

Стойността на φ винаги е положителна и се оказва по-малка, колкото по-близо са нашите точки до правата линия. Методът на най-малките квадрати гласи, че стойността за k трябва да бъде избрана така, че φ да има минимум
(19)

или

, (20)
Изчислението показва, че средноквадратичната грешка при определяне на стойността на k е равна на

където n е броят на измерванията. Нека сега разгледаме един малко по-сложен случай, когато точките трябва да удовлетворяват формулата y = a + bx

(права линия, която не минава през началото).

Задачата е да се намерят най-добрите стойности на a и b от наличния набор от стойности x i, y i.

и намерете стойностите на a и b, за които φ има минимум

;

.

.

Съвместното решение на тези уравнения дава

(21)

Средните квадратични грешки при определяне на a и b са равни

(23)

.  (24)

При обработката на резултатите от измерванията по този метод е удобно да се обобщят всички данни в таблица, в която всички суми, включени във формули (19)(24), са предварително изчислени. Формите на тези таблици са дадени в примерите по-долу.

Пример 1.Изследва се основното уравнение на динамиката на въртеливото движение ε = M/J (права, минаваща през началото на координатите). При различни стойности на момента M се измерва ъгловото ускорение ε на определено тяло. Необходимо е да се определи инерционният момент на това тяло. Резултатите от измерванията на момента на силата и ъгловото ускорение са изброени във втората и третата колона таблица 5.

Таблица 5

п	M, N m	ε, s -1	М 2	M ε	ε - kM	(ε - kM) 2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

Използвайки формула (19), определяме:

.

За да определим средната квадратична грешка, използваме формула (20)

0.005775кг-1 · м -2 .

Съгласно формула (18) имаме

; .

S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.

След като зададем надеждността P = 0,95, използвайки таблицата на коефициентите на Студент за n = 5, намираме t = 2,78 и определяме абсолютната грешка ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.

Нека запишем резултатите във формата:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;

Пример 2.Нека изчислим температурния коефициент на съпротивление на метала, използвайки метода на най-малките квадрати. Съпротивлението зависи линейно от температурата

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Свободният член определя съпротивлението R 0 при температура 0 ° C, а ъгловият коефициент е произведението на температурния коефициент α и съпротивлението R 0 .

Резултатите от измерванията и изчисленията са дадени в таблицата ( виж таблица 6).

Таблица 6

п	t°, s	r, Ом	t-¯t	(t-¯t) 2	(t-¯t)r	r - bt - a	(r - bt - a) 2 .10 -6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

Използвайки формули (21), (22) определяме

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ом.

Нека намерим грешка в дефиницията на α. Тъй като , то съгласно формула (18) имаме:

.

Използвайки формули (23), (24) имаме

;

0.014126 Ом.

След като зададем надеждността на P = 0.95, използвайки таблицата на коефициентите на Student за n = 6, намираме t = 2.57 и определяме абсолютната грешка Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 градус -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 градушка-1 при Р = 0,95.

Пример 3.Необходимо е да се определи радиусът на кривината на лещата с помощта на пръстените на Нютон. Бяха измерени радиусите на Нютоновите пръстени r m и бяха определени номерата на тези пръстени m. Радиусите на пръстените на Нютон са свързани с радиуса на кривината на лещата R и номера на пръстена чрез уравнението

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

където d 0 дебелината на празнината между лещата и плоско-паралелната плоча (или деформацията на лещата),

λ дължина на вълната на падащата светлина.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

тогава уравнението ще приеме формата Нека сега разгледаме един малко по-сложен случай, когато точките трябва да удовлетворяват формулата.

.

Резултатите от измерванията и изчисленията се въвеждат таблица 7.

Таблица 7

п	x = m	y = r 2, 10 -2 mm 2	m -¯m	(m -¯m) 2	(m -¯ m)y	y - bx - a, 10 -4	(y - bx - a) 2, 10 -6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑/n	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–