Преобразуването на изрази с корени и степени често изисква преминаване напред и назад между корени и степени. В тази статия ще разгледаме как се правят такива преходи, какво е в основата им и в кои точки най-често възникват грешки. Ще предоставим всичко това с типични примери с подробен анализ на решенията.
Навигация в страницата.
Преход от степени с дробни показатели към корени
Възможността за преминаване от степен с дробен показател към корена се диктува от самата дефиниция на степента. Нека си припомним как се определя: степента на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число, се нарича n-ти корен от a m, тоест където a>0 , m∈Z, n∈ N. Дробната степен на нула се определя по подобен начин 
, с единствената разлика, че в този случай m вече не се счита за цяло число, а за естествено, така че не се получава деление на нула.
Така степента винаги може да бъде заменена с корена. Например, можете да отидете от до и степента може да бъде заменена с корена. Но не трябва да преминавате от израза към корена, тъй като степента първоначално няма смисъл (степента на отрицателните числа не е дефинирана), въпреки факта, че коренът има значение.
Както можете да видите, няма абсолютно нищо сложно в прехода от степени на числа към корени. Преходът към корени на степени с дробни показатели, базирани на произволни изрази, се извършва по подобен начин. Имайте предвид, че този преход се извършва върху ODZ на променливите за оригиналния израз. Например изразът 
върху цялата ODZ на променливата x за този израз може да бъде заменена с корена 
. И от степента 
отидете на root 
, такова заместване се извършва за всеки набор от променливи x, y и z от ODZ за оригиналния израз.
Замяна на корени със степени
Възможна е и обратната замяна, тоест замяна на корените със степени с дробни показатели. Също така се основава на равенството, което в този случай се използва отдясно наляво, тоест във формата.
За положително a посоченият преход е очевиден. Например, можете да замените степента с и да преминете от корена към степента с дробен показател на формата.
И за отрицателно а равенството няма смисъл, но коренът все пак може да има смисъл. Например корените имат смисъл, но не могат да бъдат заменени със степени. И така, възможно ли е изобщо да ги преобразуваме в изрази със степени? Възможно е, ако извършите предварителни трансформации, които се състоят в преминаване към корените с неотрицателни числа под тях, които след това се заменят със степени с дробни показатели. Нека покажем какви са тези предварителни трансформации и как да ги осъществим.
В случай на корен можете да извършите следните трансформации: 
. И тъй като 4 е положително число, последният корен може да бъде заменен със степен. И във втория случай определяне на нечетен корен от отрицателно число−a (където a е положително), изразено чрез равенството 
, ви позволява да замените корена с израз, в който кубичният корен от две вече може да бъде заменен със степен и той ще приеме формата .
Остава да разберем как корените, под които се намират изразите, се заменят със степени, съдържащи тези изрази в основата. Няма нужда да бързате да го замените с , ние използвахме буквата A, за да обозначим определен израз. Нека дадем пример, за да обясним какво имаме предвид с това. Просто искам да заменя корена със степен въз основа на равенството. Но такава замяна е подходяща само при условие x−3≥0 и за останалите стойности на променливата x от ODZ (удовлетворяващи условието x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Поради това неточно прилагане на формулата често възникват грешки при преминаване от корен към степен. Например в учебника е дадена задача да се представи израз под формата на степен с рационален показател и е даден отговорът, който повдига въпроси, тъй като в условието не е посочено ограничението b>0. И в учебника има преход от израза 
, най-вероятно чрез следните трансформации на ирационалния израз 
към израза. Последният преход също буди въпроси, тъй като стеснява ДЗ.
Възниква логичен въпрос: „Как може правилно да се премине от корена към мощността за всички стойности на променливите от ODZ?“ Тази замяна се извършва въз основа на следните твърдения:
Преди да обосновем записаните резултати, даваме няколко примера за тяхното използване за преход от корени към степени. Първо, нека се върнем към израза. Трябваше да се замени не с , а с (в този случай m=2 е четно цяло число, n=3 е естествено цяло число). Друг пример: 
.
Сега обещаната обосновка на резултатите.
Когато m е нечетно цяло число и n е четно естествено цяло число, тогава за всеки набор от променливи от ODZ за израза стойността на израз A е положителна (ако m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Ето защо, .
Да преминем към втория резултат. Нека m е положително нечетно цяло число и n нечетно естествено число. За всички стойности на променливи от ODZ, за които стойността на израза A е неотрицателна, 
, и за които е отрицателен, 
Следният резултат се доказва по подобен начин за отрицателни и нечетни цели числа m и нечетни естествени числа n. За всички стойности на променливи от ODZ, за които стойността на израза A е положителна, , и за които е отрицателен,
И накрая, последният резултат. Нека m е четно цяло число, n е произволно естествено число. За всички стойности на променливи от ODZ, за които стойността на израз A е положителна (ако m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . И за които е отрицателен, . Така, ако m е четно цяло число, n е всяко естествено число, тогава за всеки набор от стойности на променливи от ODZ за израз може да бъде заменен с .
Библиография.
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 11 клас: учебен. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. – М.: Образование, 2009.- 336 с.: ил.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Време е да го подредим методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.
По-долу ще разгледаме основните методи за извличане на корени един по един.
Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица на квадратите, таблица на кубовете и т.н.
Ако таблици с квадрати, кубчета и др. Ако го нямате под ръка, логично е да използвате метода за извличане на корена, който включва разлагане на радикалното число на прости множители.
Струва си да се спомене специално какво е възможно за корени с нечетни показатели.
И накрая, нека разгледаме метод, който ни позволява да намираме последователно цифрите на коренната стойност.
Да започваме.
С помощта на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.
В най-простите случаи таблиците с квадрати, кубчета и т.н. ви позволяват да извличате корени. Какви са тези таблици?
Таблицата с квадрати на цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, като изберете определен ред и определена колона, ви позволява да съставите число от 0 до 99. Например, нека изберем ред от 8 десетици и колона от 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрат на съответното число от 0 до 99. В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетици и колона 3 от единици има клетка с числото 6889, което е квадрат на числото 83.
Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени на числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че във втората зона съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. съответните числа.
Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното използване при извличане на корени.
Да кажем, че трябва да извлечем n-ти корен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата с n-ти степени. Използвайки тази таблица, намираме числото b такова, че a=b n. Тогава 
, следователно числото b ще бъде търсеният корен от n-та степен.
Като пример нека покажем как да използваме кубична таблица за извличане на кубичен корен от 19 683. Намираме числото 19 683 в таблицата с кубчета, от което намираме, че това число е кубът на числото 27, следователно, 
.
Ясно е, че таблиците с n-ти степени са много удобни за извличане на корени. Те обаче често не са под ръка и компилирането им изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да прибягвате до други методи за извличане на корени.
Разлагане на радикално число на прости множители
Доста удобен начин за извличане на корена на естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на радикалното число на прости множители. Неговата въпросът е в това: след това е доста лесно да го представите като степен с желания показател, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека да изясним тази точка.
Нека бъде взет корен n-та от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай е вярно равенството a=b n. Числото b, като всяко естествено число, може да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m във формата p 1 ·p 2 ·…·p m и радикалното число a в този случай се представя като (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Тъй като разлагането на число на прости множители е уникално, разлагането на радикалното число a на прости множители ще има формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, което прави възможно изчисляването на стойността на корена като.
Обърнете внимание, че ако разлагането на прости множители на радикално число a не може да бъде представено във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, тогава n-тият корен на такова число a не се извлича напълно.
Нека разберем това, когато решаваме примери.
Пример.
Вземете корен квадратен от 144.
Решение.
Ако погледнете таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, можете ясно да видите, че 144 = 12 2, от което става ясно, че квадратният корен от 144 е равен на 12.
Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме от това как коренът се извлича чрез разлагане на радикалното число 144 на прости множители. Нека да разгледаме това решение.
Да се разложим 144 на прости множители:
Тоест 144=2·2·2·2·3·3. Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. следователно 
.
Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира малко по-различно: .
Отговор:
За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.
Пример.
Изчислете стойността на корена.
Решение.
Разлагането на прости множители на радикала на числото 243 има формата 243=3 5 . По този начин, 
.
Отговор:
Пример.
Коренната стойност цяло число ли е?
Решение.
За да отговорим на този въпрос, нека разложим радикалното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.
Имаме 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Полученото разширение не може да бъде представено като куб от цяло число, тъй като степента на простия множител 7 не е кратна на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не може да бъде извлечен напълно.
Отговор:
Не.
Извличане на корени от дробни числа
Време е да разберете как да извлечете корен от дробно число. Нека дробното радикално число бъде записано като p/q. Според свойството корен на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за извличане на корен от дроб: Коренът на дроб е равен на частното от корена на числителя, делено на корена на знаменателя.
Нека да разгледаме пример за извличане на корен от дроб.
Пример.
Какъв е квадратният корен от обикновената дроб 25/169?
Решение.
Използвайки таблицата с квадрати, намираме, че квадратният корен от числителя на първоначалната дроб е равен на 5, а квадратният корен от знаменателя е равен на 13. Тогава 
. Това завършва извличането на корена от обикновената дроб 25/169.
Отговор:
Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на радикалните числа с обикновени дроби.
Пример.
Вземете кубичния корен от десетичната дроб 474,552.
Решение.
Нека си представим оригиналната десетична дроб като обикновена дроб: 474,552=474552/1000. Тогава 
. Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената фракция. защото 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000 = 10 3, тогава 
И 
. Остава само да завършим изчисленията 
.
Отговор:
.
Вземане на корен от отрицателно число
Струва си да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато коренният показател е нечетно число, тогава под знака за корен може да има отрицателно число. Дадохме на тези записи следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2 n−1, 
. Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да вземете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.
Нека да разгледаме примерното решение.
Пример.
Намерете стойността на корена.
Решение.
Нека трансформираме оригиналния израз така, че да има положително число под знака за корен: 
. Сега заменете смесеното число с обикновена дроб: 
. Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: 
. Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: 
.
Ето кратко резюме на решението: 
.
Отговор:
.
Побитово определяне на коренната стойност
В общия случай под корена има число, което, използвайки техниките, обсъдени по-горе, не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в този случай има нужда да се знае значението на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получите достатъчен брой цифрови стойности на желаното число.
Първата стъпка на този алгоритъм е да откриете кой е най-значимият бит от стойността на корена. За да направите това, числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно на степен n до момента, в който се получи число, надвишаващо радикалното число. Тогава числото, което повдигнахме на степен n на предишния етап, ще посочи съответната най-значима цифра.
Например, разгледайте тази стъпка от алгоритъма, когато извличате корен квадратен от пет. Вземете числата 0, 10, 100, ... и ги повдигнете на квадрат, докато получим число, по-голямо от 5. Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъдат намерени в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.
Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно изясняване на стойността на корена чрез намиране на стойностите на следващите битове от желаната стойност на корена, като се започне от най-високата и се премине към най-ниските. Например стойността на корена на първата стъпка се оказва 2, на втората – 2,2, на третата – 2,23 и така нататък 2,236067977…. Нека опишем как се намират стойностите на цифрите.
Цифрите се намират чрез търсене в възможните им стойности 0, 1, 2, ..., 9. В този случай n-тите степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с радикалното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преход към следващата стъпка на алгоритъма за извличане на корена; тогава стойността на тази цифра е 9.
Нека обясним тези точки, използвайки същия пример за извличане на корен квадратен от пет.
Първо намираме стойността на единицата. Ще преминем през стойностите 0, 1, 2, ..., 9, изчислявайки съответно 0 2, 1 2, ..., 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5. Удобно е да представите всички тези изчисления под формата на таблица: 
Така че стойността на цифрата на единиците е 2 (тъй като 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Нека да преминем към намиране на стойността на десетото място. В този случай ще повдигнем на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с радикалното число 5: 
От 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, тогава стойността на десетите е 2. Можете да продължите към намиране на стойността на стотното място: 
Ето как беше намерена следващата стойност на корен от пет, тя е равна на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.
Първо определяме най-значимата цифра. За целта събираме на куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато получим число, по-голямо от 2 151 186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, така че най-значимата цифра е цифрата на десетиците.
Да определим стойността му. 
От 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, тогава стойността на мястото на десетиците е 1. Да преминем към единици. 
Така стойността на цифрата единици е 2. Да преминем към десети. 
Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, тогава стойността на десетите е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност. 
На този етап стойността на корена се намира с точност до стотни: 
.
В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.
Библиография.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).
Пак погледнах табелата... И, да тръгваме!
Да започнем с нещо просто:
Само минутка. това, което означава, че можем да го напишем така:
Схванах го? Ето следващия за вас:
Корените на получените числа не са ли точно извлечени? Няма проблем – ето няколко примера:
Ами ако има не два, а повече множители? Същото! Формулата за умножение на корени работи с произволен брой фактори:
Вече напълно сам:
Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!
Коренно деление
Подредихме умножението на корените, сега нека преминем към свойството на делението.
Нека ви напомня, че общата формула изглежда така:
Което означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.
Е, нека да разгледаме някои примери:
Това е цялата наука. Ето един пример:
Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но, както можете да видите, няма нищо сложно.
Ами ако срещнете този израз:
Просто трябва да приложите формулата в обратна посока:
И ето един пример:
Може да срещнете и този израз:
Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). Помниш ли? Сега да решим!
Сигурен съм, че сте се справили с всичко, сега нека се опитаме да вдигнем корените до степен.
степенуване
Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число - това е число, чийто корен квадратен е равен на.
И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, какво получаваме?
Добре, разбира се, !
Нека да разгледаме примери:
Просто е, нали? Ами ако коренът е на различна степен? Всичко е наред!
Следвайте същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със степени.
Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.
Например, ето един израз:
В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на експонентите и факторизирайте всичко:
Всичко изглежда ясно с това, но как да извлечете корена на число на степен? Ето например това:
Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:
Е, всичко ясно ли е? След това решете сами примерите:
А ето и отговорите:
Влизане под знака на корена
Какво ли не се научихме да правим с корените! Остава само да се упражнявате да въвеждате числото под корена!
Наистина е лесно!
Да кажем, че имаме записано число
Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!
Защо имаме нужда от това? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:
Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен е точно така! само Трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.
Решете този пример сами -
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:
Много добре! Успяхте да въведете номера под корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - нека да разгледаме как да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен!
Сравнение на корените
Защо трябва да се научим да сравняваме числа, които съдържат квадратен корен?
Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (помните ли какво е това? Вече говорихме за това днес!)
Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: в изпита няма калкулатор, а без него как можете да си представите кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!
Например, определете кое е по-голямо: или?
Не можете да кажете веднага. Добре, нека използваме разглобеното свойство за въвеждане на число под знака за корен?
Тогава продължете напред:
Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!
Тези. ако, тогава,.
От това твърдо заключаваме, че. И никой няма да ни убеди в обратното!
Извличане на корени от големи числа
Преди това въведохме множител под знака на корена, но как да го премахнем? Просто трябва да го разделите на фактори и да извлечете това, което извлечете!
Възможно е да се поеме по различен път и да се разшири в други фактори:
Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете както желаете.
Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни проблеми като този:
Да не се страхуваме, а да действаме! Нека разложим всеки фактор под корена на отделни фактори:
Сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да бъде на изпита):
това ли е краят Нека не спираме на половината път!
Това е всичко, не е толкова страшно, нали?
Се случи? Браво, точно така!
Сега опитайте този пример:
Но примерът е труден за разбиване, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но, разбира се, можем да се справим.
Е, да започнем факторизирането? Нека веднага да отбележим, че можете да разделите число на (помнете знаците за делимост):
Сега опитайте сами (отново без калкулатор!):
Е, получи ли се? Браво, точно така!
Нека обобщим
- Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на.
. - Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
- Свойства на аритметичен корен:
- Когато сравнявате квадратни корени, трябва да запомните, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.
Как е квадратният корен? Всичко е ясно?
Опитахме се да ви обясним без никакви проблеми всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.
Твой ред е. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.
Научихте ли нещо ново или вече всичко беше ясно?
Пишете в коментарите и успех на изпитите!
Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.
Номер ° Се н-та степен на число аКога:
Операции със степени.
1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:
a m·a n = a m + n .
2. При деление на степени с една и съща основа се изваждат техните показатели:
3. Степен на произведението на 2 или повече числа умножителие равно на произведението на степените на тези множители:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степен дробие равно на отношението на степените на делителя и делителя:
(a/b) n = a n /b n.
5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:
(a m) n = a m n.
Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.
Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Операции с корени.
1. Коренът от произведението на няколко фактора е равен на работакорените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:
3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:
4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:
Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.
Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.
Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.
Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степен с дробен показател.Да строиш реално число Адо степента м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.