Как изглеждат правилните дроби? Равни и неравни дроби, сравнение на дроби

Срещаме дроби в живота много по-рано, отколкото започваме да ги изучаваме в училище. Ако разрежем цяла ябълка наполовина, получаваме ½ от плода. Нека го отрежем отново - ще бъде ¼. Това са дроби. И всичко изглеждаше просто. За възрастен. За едно дете (и тази тема започва да се изучава в края на началното училище) абстрактните математически понятия все още са плашещо неразбираеми и учителят трябва ясно да обясни какво е правилна и неправилна дроб, обикновена и десетична, какви операции могат да се извършват с тях и най-важното защо е необходимо всичко това.

Какви видове дроби има?

Въвеждането на нова тема в училище започва с обикновени дроби. Разпознават се лесно по хоризонталната черта, разделяща двете цифри - отгоре и отдолу. Горният се нарича числител, долният е знаменател. Има и вариант с малки букви за писане на неправилни и правилни обикновени дроби - чрез наклонена черта, например: ½, 4/9, 384/183. Тази опция се използва, когато височината на реда е ограничена и не е възможно да се използва „двуетажна“ форма за въвеждане. защо Да, защото е по-удобно. Ще видим това малко по-късно.

В допълнение към обикновените дроби има и десетични дроби. Разграничаването им е много лесно: ако в единия случай се използва хоризонтална или наклонена черта, в другия се използва запетая за разделяне на поредици от числа. Да разгледаме пример: 2.9; 163,34; 1,953. Умишлено използвахме точка и запетая като разделител за разделяне на числата. Първият от тях ще се чете така: „две точка девет“.

Нови концепции

Да се върнем към обикновените дроби. Те се предлагат в два вида.

Определението за правилна дроб е следното: това е дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя. Защо това е важно? Сега ще видим!

Имате няколко ябълки, разполовени. Общо - 5 части. Как бихте казали: имате ли „две и половина“ или „пет и половина“ ябълки? Разбира се, първият вариант звучи по-естествено и ще го използваме, когато говорим с приятели. Но ако трябва да изчислим колко плодове ще получи всеки човек, ако има петима души в компанията, ще запишем числото 5/2 и ще го разделим на 5 - от математическа гледна точка това ще бъде по-ясно .

И така, за именуване на правилни и неправилни дроби важи следното правило: ако в една дроб може да се различи цяла част (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то тя е неправилна. Ако това не може да се направи, както в случая с ½, 13/16, 9/10, ще бъде правилно.

Основното свойство на дробта

Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат или разделят едновременно на едно и също число, нейната стойност не се променя. Представете си: разрязаха тортата на 4 равни части и ви дадоха една. Нарязаха същата торта на осем парчета и ти дадоха две. Наистина ли има значение? В крайна сметка ¼ и 2/8 са едно и също нещо!

Намаляване

Авторите на задачи и примери в учебниците по математика често се стремят да объркат учениците, като предлагат дроби, които са тромави за писане, но всъщност могат да бъдат съкратени. Ето пример за правилна фракция: 167/334, която, изглежда, изглежда много „страшна“. Но всъщност можем да го запишем като ½. Числото 334 се дели на 167 без остатък - след като извършим тази операция, получаваме 2.

Смесени числа

Неправилна дроб може да бъде представена като смесено число. Това е, когато цялата част се изнася напред и се изписва на нивото на хоризонталната линия. Всъщност изразът е под формата на сума: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и така нататък.

За да извадите цялата част, трябва да разделите числителя на знаменателя. Напишете остатъка от делението отгоре, над чертата, а цялата част - пред израза. Така получаваме две структурни части: цели единици + правилна дроб.

Можете също така да извършите обратната операция - за да направите това, трябва да умножите цялата част по знаменателя и да добавите получената стойност към числителя. Нищо сложно.

Умножение и деление

Колкото и да е странно, умножаването на дроби е по-лесно от събирането. Всичко, което е необходимо, е да удължите хоризонталната линия: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

С разделянето всичко също е просто: трябва да умножите дробите напречно: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Събиране на дроби

Какво да направите, ако трябва да извършите събиране или имат различни числа в знаменателя? Няма да работи да направите същото като при умножението - тук трябва да разберете определението за правилна дроб и нейната същност. Необходимо е термините да бъдат приведени към общ знаменател, тоест долната част на двете дроби трябва да има еднакви числа.

За да направите това, трябва да използвате основното свойство на дроб: умножете двете части по едно и също число. Например 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Как да изберем към кой знаменател да намалим членовете? Това трябва да е минималното число, кратно на двете числа в знаменателите на дробите: за 1/3 и 1/9 ще бъде 9; за ½ и 1/7 - 14, защото няма по-малка стойност, деляща се на 2 и 7 без остатък.

Използване

За какво се използват неправилните дроби? В края на краищата е много по-удобно веднага да изберете цялата част, да получите смесено число - и да приключите с това! Оказва се, че ако трябва да умножите или разделите две дроби, е по-изгодно да използвате неправилни.

Да вземем следния пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Изглежда, че изобщо няма какво да се реже. Но какво ще стане, ако запишем резултата от събирането в първите скоби като неправилна дроб? Виж: (37/17) / (37/68)

Сега всичко си идва на мястото! Нека напишем примера по такъв начин, че всичко да стане очевидно: (37*68) / (17*37).

Нека съкратим 37 в числителя и знаменателя и накрая разделим горната и долната част на 17. Помните ли основното правило за правилни и неправилни дроби? Можем да ги умножаваме и разделяме на произволно число, стига да го правим едновременно за числителя и знаменателя.

И така, получаваме отговора: 4. Примерът изглеждаше сложен, но отговорът съдържа само едно число. Това се случва често в математиката. Основното нещо е да не се страхувате и да следвате прости правила.

Често срещани грешки

При прилагането ученикът лесно може да направи една от често срещаните грешки. Обикновено те възникват поради невнимание, а понякога и поради факта, че изучаваният материал все още не е правилно съхранен в главата.

Често сборът на числата в числителя ви кара да искате да намалите отделните му компоненти. Да кажем в примера: (13 + 2) / 13, написано без скоби (с хоризонтална линия), много ученици, поради неопитност, задраскват 13 отгоре и отдолу. Но това в никакъв случай не трябва да се прави, защото това е груба грешка! Ако вместо събиране имаше знак за умножение, щяхме да получим числото 2 в отговора, но при събиране не се допускат операции с един от членовете, а само с цялата сума.

Момчетата също често правят грешки, когато делят дроби. Нека вземем две правилни несъкратими дроби и ги разделим една на друга: (5/6) / (25/33). Ученикът може да го смеси и да напише получения израз като (5*25) / (6*33). Но това ще се случи с умножение, но в нашия случай всичко ще бъде малко по-различно: (5*33) / (6*25). Ние намаляваме възможното и отговорът ще бъде 11/10. Записваме получената неправилна дроб като десетичен знак - 1,1.

Скоби

Не забравяйте, че във всеки математически израз редът на операциите се определя от приоритета на знаците за операции и наличието на скоби. При равни други условия редът на действията се брои отляво надясно. Това важи и за дробите - изразът в числителя или знаменателя се изчислява стриктно според това правило.

В края на краищата това е резултат от разделянето на едно число на друго. Ако не са разделени поравно, става дроб - това е всичко.

Как да напиша дроб на компютър

Тъй като стандартните инструменти не винаги позволяват създаването на фракция, състояща се от две „нива“, студентите понякога прибягват до различни трикове. Например, те копират числителите и знаменателите в графичния редактор Paint и ги залепват заедно, като начертават хоризонтална линия между тях. Разбира се, има по-опростен вариант, който между другото предоставя много допълнителни функции, които ще ви бъдат полезни в бъдеще.

Отворете Microsoft Word. Един от панелите в горната част на екрана се нарича „Вмъкване“ - щракнете върху него. Вдясно, от страната, където се намират иконите за затваряне и минимизиране на прозореца, има бутон „Формула“. Точно това ни трябва!

Ако използвате тази функция, на екрана ще се появи правоъгълна област, в която можете да използвате всякакви математически знаци, които не са на клавиатурата, както и да пишете дроби в класическа форма. Тоест разделяне на числителя и знаменателя с хоризонтална линия. Може дори да се изненадате, че такава правилна дроб е толкова лесна за писане.

Научете математика

Ако сте в 5-6 клас, скоро знанията по математика (включително умението да работите с дроби!) ще се изискват в много училищни предмети. В почти всеки проблем във физиката, когато измервате масата на веществата в химията, в геометрията и тригонометрията, не можете да правите без дроби. Скоро ще се научите да изчислявате всичко наум, без дори да записвате изразите на хартия, но ще се появяват все по-сложни примери. Така че научете какво е правилна дроб и как да работите с нея, следвайте учебната си програма, пишете домашното си навреме и ще успеете.

Какви видове дроби има?

Да започнем с това какво представлява. Дроб е число, което има част от единица. Може да се напише в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтална или наклонена линия. Той е еквивалентен на знака за деление.

В тази нотация числото над линията се нарича числител, а числото под него се нарича знаменател.

Сред обикновените дроби се разграничават правилни и неправилни дроби. За първото абсолютната стойност на числителя винаги е по-малка от знаменателя. Грешните се наричат така, защото при тях всичко е обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато неправилното винаги е по-голямо от това число.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият вид запис е десетична дроб. За нея има отделен разговор.

Как се различават неправилните дроби от смесените числа?

По същество нищо. Това са просто различни записи на един и същи номер. Неправилните дроби лесно се превръщат в смесени числа след прости стъпки. И обратното.

Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога е по-удобно да използвате неправилна дроб в задачите. И понякога е необходимо да го преобразувате в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа, зависи от наблюдателните умения на човека, който решава проблема.

Смесеното число също се сравнява със сумата от цялата и дробната част. Освен това вторият винаги е по-малък от единица.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако трябва да извършите някакво действие с няколко числа, които са написани в различни форми, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.

За тази цел ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

умножете знаменателя по цялата част;
добавете стойността на числителя към резултата;
напишете отговора над реда;
оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?

Следващата техника е противоположна на описаната по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:

разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
напишете частното на мястото на цялата част на смесената;
остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:

76/14; 76:14 = 5 с остатък 6; отговорът ще бъде 5 цяло и 6/14; дробната част в този пример трябва да се намали с 2, което води до 3/7; крайният отговор е 5 точки 3/7.

108/54; след делене се получава частното 2 без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът ще бъде цяло число - 2.

Как да превърнем цяло число в неправилна дроб?

Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с известен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

умножете цяло число по желания знаменател;
напишете тази стойност над линията;
поставете знаменателя под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят е равен на едно. Тогава не е нужно да умножавате нищо. Достатъчно е просто да напишете цялото число, дадено в примера, и да поставите едно под чертата.

Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. Умножаването на 5 по 3 дава 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

Примерът изисква изчисляване на сбора и разликата, както и произведението и частното на две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните описаните по-горе стъпки, ще получите следната стойност: 13/5.

За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същи знаменател. 13/5 след умножаване по 11 става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще изглежда като: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.

При намиране на разликата се изваждат еднакви числа: 143 - 70 = 73. Отговорът ще бъде дроб: 73/55.

Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да ги привеждате до общ знаменател. Достатъчно е да умножите числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.

Същото важи и за разделението. За да решите правилно, трябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Във втория подходнеправилна дроб се превръща в смесено число.

След извършване на действията на алгоритъма 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част от 1 и дробна част от 3/11.

Когато изчислявате сбора, трябва да добавите целите и дробните части поотделно. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 точки 48/55. При първия подход фракцията беше 213/55. Можете да проверите правилността му, като го преобразувате в смесено число. След разделянето на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.

При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За проверка отговорът от предишния подход трябва да се преобразува в смесено число: 73 се дели на 55 и частното е 1, а остатъкът е 18.

За да намерите произведението и частното, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.

Обикновените дроби се делят на \textit (правилни) и \textit (неправилни) дроби. Това разделение се основава на сравнение на числителя и знаменателя.

Правилни дроби

Правилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-малък от знаменателя, т.е. $ млн

Пример 1

Например дробите $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ са правилни , така че във всеки от тях числителят е по-малък от знаменателя, което отговаря на определението за правилна дроб.

Има определение за правилна дроб, което се основава на сравняването на дробта с единица.

правилно, ако е по-малко от едно:

Пример 2

Например обикновената дроб $\frac(6)(13)$ е правилна, защото условието $\frac(6)(13) е изпълнено

Неправилни дроби

Неправилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. $m\ge n$.

Пример 3

Например дробите $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ са неправилни , така че как във всеки от тях числителят е по-голям или равен на знаменателя, което отговаря на определението за неправилна дроб.

Нека дадем дефиниция на неправилна дроб, която се основава на сравнението й с единица.

Обикновената дроб $\frac(m)(n)$ е грешно, ако е равно на или по-голямо от едно:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Пример 4

Например обикновената дроб $\frac(21)(4)$ е неправилна, защото условието $\frac(21)(4) >1$ е изпълнено;

обикновената дроб $\frac(8)(8)$ е неправилна, защото условието $\frac(8)(8)=1$ е изпълнено.

Нека разгледаме по-отблизо понятието неправилна дроб.

Нека вземем за пример неправилната дроб $\frac(7)(7)$. Значението на тази фракция е да се вземат седем дяла от обект, който се разделя на седем равни части. Така от седемте налични дяла може да се състави целият обект. Тези. неправилната дроб $\frac(7)(7)$ описва целия обект и $\frac(7)(7)=1$. И така, неправилните дроби, в които числителят е равен на знаменателя, описват един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естественото число $1$.

$\frac(5)(2)$ - съвсем очевидно е, че от тези пет втори части можете да направите $2$ цели обекти (един цял обект ще бъде съставен от $2$ части, а за да съставите два цели обекта, трябва $2+2=4$ споделяния) и остава едно второ споделяне. Тоест, неправилната дроб $\frac(5)(2)$ описва $2$ от обект и $\frac(1)(2)$ дела на този обект.

$\frac(21)(7)$ -- от двадесет и една седми части можете да направите $3$ цели обекта ($3$ обекта с $7$ дялове във всеки). Тези. дробта $\frac(21)(7)$ описва $3$ цели обекти.

От разгледаните примери можем да направим следното заключение: неправилна дроб може да бъде заменена с естествено число, ако числителят се дели на знаменателя (например $\frac(7)(7)=1$ и $\frac (21)(7)=3$) или сумата от естествено число и правилна дроб, ако числителят не се дели напълно на знаменателя (например $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Ето защо такива дроби се наричат грешно.

Определение 1

Процесът на представяне на неправилна дроб като сума от естествено число и правилна дроб (например $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) се нарича отделяне на цялата част от неправилна дроб.

При работа с неправилни дроби има тясна връзка между тях и смесените числа.

Неправилната дроб често се записва като смесено число - число, което се състои от цяла част и дробна част.

За да напишете неправилна дроб като смесено число, трябва да разделите числителя на знаменателя с остатък. Частното ще бъде цялата част от смесеното число, остатъкът ще бъде числителят на дробната част, а делителят ще бъде знаменателят на дробната част.

Пример 5

Запишете неправилната дроб $\frac(37)(12)$ като смесено число.

Решение.

Разделете числителя на знаменателя с остатък:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (остатък\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

отговор.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

За да напишете смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цялата част на числото, да добавите числителя на дробната част към получения продукт и да запишете получената сума в числителя на дробта. Знаменателят на неправилната дроб ще бъде равен на знаменателя на дробната част на смесеното число.

Пример 6

Запишете смесеното число $5\frac(3)(7)$ като неправилна дроб.

Решение.

отговор.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Събиране на смесени числа и правилни дроби

Събиране на смесени числа$a\frac(b)(c)$ и правилна дроб$\frac(d)(e)$ се извършва чрез добавяне към дадена дроб на дробната част от дадено смесено число:

Пример 7

Добавете правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$.

Решение.

Нека използваме формулата за събиране на смесено число и правилна дроб:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ляво(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\дясно)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Чрез разделяне на числото \textit(5) можем да определим, че дробта $\frac(10)(15)$ е редуцируема. Нека извършим редукцията и намерим резултата от добавянето:

И така, резултатът от събирането на правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$ е $3\frac(2)(3)$.

отговор:$3\frac(2)(3)$

Събиране на смесени числа и неправилни дроби

Събиране на неправилни дроби и смесени числасе свежда до добавяне на две смесени числа, за което е достатъчно да се изолира цялата част от неправилната дроб.

Пример 8

Изчислете сумата от смесеното число $6\frac(2)(15)$ и неправилната дроб $\frac(13)(5)$.

Решение.

Първо, нека извлечем цялата част от неправилната дроб $\frac(13)(5)$:

отговор:$8\frac(11)(15)$.

326. Попълнете празните места.

1) Ако числителят на една дроб е равен на знаменателя, тогава дробта е равна на 1.
2) Дроб a/b (a и b са естествени числа) се нарича правилна, ако a< b
3) Дробта a/b (a и b са естествени числа) се нарича неправилна, ако a >b или a =b.
4) 9/14 е правилна дроб, тъй като 9< 14.
5) 7/5 е неправилна дроб, тъй като 7 > 5.
6) 16/16 е неправилна дроб, тъй като 16=16.

327. Изпишете от дробите 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2: 1) правилни дроби; 2) неправилни дроби.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Измислете и запишете: 1) 5 правилни дроби; 2) неправилни дроби.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2U 6/2, 7/2

329. Запишете всички правилни дроби със знаменател 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Запишете всички неправилни дроби с числител 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Две еднакви ленти са разделени на 7 равни части. Боядисайте 4/7 от едната лента и 6/7 от другата.

Сравнете получените дроби: 4/7< 6/7.

Формулирайте правило за сравняване на дроби с еднакви знаменатели: от две дроби с еднакви знаменатели по-голям е този с по-голям числител.

332. Две еднакви ленти бяха разделени на части. Едната лента беше разделена на 7 равни части, а другата на 5 равни части. Боядисайте 3/7 от първата лента и 3/5 от втората.

Сравнете получените дроби: 3/7< /5.

Формулирайте правило за сравняване на дроби с еднакви числители: от две дроби с еднакви числители по-голяма е тази с по-малък знаменател.

333. Попълнете празните места.

1) Всички правилни дроби са по-малки от 1, а неправилните дроби са по-големи от 1 или равни на 1.

2) Всяка неправилна дроб е по-голяма от всяка правилна дроб и всяка правилна дроб е по-малка от всяка неправилна дроб.

3) На координатен лъч от две фракции по-голямата фракция е разположена вдясно от по-малката.

334. Оградете верните твърдения.

335. Сравнете числата.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Кои от дробите 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 са по-големи от 1?

Отговор: 16/4, 18/17, 310/303

337. Подредете дробите 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Отговор: 29/29,17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. Отбележете на координатния лъч всички числа, които са дроби със знаменател 5, намиращи се между числата 0 и 3. Кои от отбелязаните числа са верни и кои не?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Отговор: 1) правилни дроби: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) неправилни дроби: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Намерете всички естествени стойности на x, за които дробта x/8 е правилна.

Отговор: 1,2,3,4,5,6,7

340. Намерете естествени изрази за x, в които дробта 11/x ще бъде неправилна.

Отговор: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Запишете числата в празните клетки, така че да се образува правилна дроб.

2) Запишете числата в празните клетки, за да образувате неправилна дроб.

342. Построете и маркирайте отсечка, чиято дължина е: 1) 9/8 от дължината на отсечката AB; 2) 10/8 от дължината на отсечката AB; 3) 7/4 от дължината на отсечката AB; 4) дължината на отсечката AB.

Саша прочете 42:6*7= 49 страници

Отговор: 49 страници

344. Намерете всички естествени стойности на x, за които е валидно неравенството:

1) x/15<7/15;

2)10/x >10/9.

Отговор: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. С помощта на числата 1,4,5,7 и дробната черта запишете всички възможни правилни дроби.

Отговор: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7.

346. Намерете всички естествени стойности на m, за които 4m+5/17 е правилно.

4м+5<17; 4m<12; m<3.

Отговор: m =1; 2.

347. Намерете всички естествени стойности на a, за които дробта 10/a ще бъде неправилна, а дробта 7/a ще бъде правилна.

a≤10 и a>7, т.е. 7
Отговор: a = 8,9,10

348. Естествени числа a, b, c и d такива, че a

Думата „дроби“ кара много хора да настръхват. Защото помня училището и задачите, които се решаваха по математика. Това беше задължение, което трябваше да бъде изпълнено. Ами ако се отнасяте към проблемите, включващи правилни и неправилни дроби, като към пъзел? В крайна сметка много възрастни решават цифрови и японски кръстословици. Разбрахме правилата и това е. Тук е същото. Човек трябва само да се задълбочи в теорията - и всичко ще си дойде на мястото. И примерите ще се превърнат в начин да тренирате мозъка си.
Какви видове дроби има?
Да започнем с това какво представлява. Дроб е число, което има част от единица. Може да се напише в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтална или наклонена линия. Той е еквивалентен на знака за деление.
В тази нотация числото над линията се нарича числител, а числото под него се нарича знаменател.
Сред обикновените дроби се разграничават правилни и неправилни дроби. За първото абсолютната стойност на числителя винаги е по-малка от знаменателя. Грешните се наричат така, защото при тях всичко е обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато неправилното винаги е по-голямо от това число.
Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.
Вторият вид запис е десетична дроб. За нея има отделен разговор.
Как се различават неправилните дроби от смесените числа?
По същество нищо. Това са просто различни записи на един и същи номер. Неправилните дроби лесно се превръщат в смесени числа след прости стъпки. И обратното.
Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога е по-удобно да използвате неправилна дроб в задачите. И понякога е необходимо да го преобразувате в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа, зависи от наблюдателните умения на човека, който решава проблема.
Смесеното число също се сравнява със сумата от цялата и дробната част. Освен това вторият винаги е по-малък от единица.
Как да представим смесено число като неправилна дроб?
Ако трябва да извършите някакво действие с няколко числа, които са написани в различни форми, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.
За тази цел ще трябва да изпълните следния алгоритъм:
умножете знаменателя по цялата част;
добавете стойността на числителя към резултата;
напишете отговора над реда;
оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:
17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?
Следващата техника е противоположна на описаната по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:
разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
напишете частното на мястото на цялата част на смесената;
остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:
76/14; 76:14 = 5 с остатък 6; отговорът ще бъде 5 цяло и 6/14; дробната част в този пример трябва да се намали с 2, което води до 3/7; крайният отговор е 5 точки 3/7.
108/54; след делене се получава частното 2 без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът ще бъде цяло число - 2.
Как да превърнем цяло число в неправилна дроб?
Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с известен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:
умножете цяло число по желания знаменател;
напишете тази стойност над линията;
поставете знаменателя под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят е равен на едно. Тогава не е нужно да умножавате нищо. Достатъчно е просто да напишете цялото число, дадено в примера, и да поставите едно под чертата.
Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. Умножаването на 5 по 3 дава 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.
Два подхода за решаване на задачи с различни числа
Примерът изисква изчисляване на сбора и разликата, както и произведението и частното на две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.
В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.
След като изпълните описаните по-горе стъпки, ще получите следната стойност: 13/5.
За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същи знаменател. 13/5 след умножаване по 11 става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще изглежда като: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.
При намиране на разликата се изваждат еднакви числа: 143 - 70 = 73. Отговорът ще бъде дроб: 73/55.
Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да ги привеждате до общ знаменател. Достатъчно е да умножите числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.
Същото важи и за разделението. За да решите правилно, трябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Във втория подходнеправилна дроб се превръща в смесено число.
След извършване на действията на алгоритъма 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част от 1 и дробна част от 3/11.
Когато изчислявате сбора, трябва да добавите целите и дробните части поотделно. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 точки 48/55. При първия подход фракцията беше 213/55. Можете да проверите правилността му, като го преобразувате в смесено число. След разделянето на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.
При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За проверка отговорът от предишния подход трябва да се преобразува в смесено число: 73 се дели на 55 и частното е 1, а остатъкът е 18.
За да намерите произведението и частното, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.