Уравнения. Казано по друг начин, решението на всички уравнения започва с тези трансформации. При решаването на линейни уравнения то (решението) се базира на трансформации на идентичност и завършва с крайния отговор.
Случаят на ненулев коефициент за неизвестна променлива.
ax+b=0, a ≠ 0
Преместваме термините с X от едната страна, а числата от другата. Не забравяйте да запомните, че когато премествате членове в противоположната страна на уравнението, трябва да промените знака:
ax:(a)=-b:(a)
Да съкратим Апри хи получаваме:
x=-b:(a)
Това е отговорът. Ако трябва да проверите дали даден номер е -b:(a)корен на нашето уравнение, тогава трябва вместо това да заместим в първоначалното уравнение хтова е числото:
a(-b:(a))+b=0 (тези. 0=0)
защото тогава това равенство е правилно -b:(a)и истината е коренът на уравнението.
Отговор: x=-b:(a), a ≠ 0.
Първи пример:
5x+2=7x-6
Преместваме членовете с на една страна х, а от другата страна числата:
5x-7x=-6-2
-2x:(-2)=-8:(-2)
За неизвестен фактор намалихме коефициента и получихме отговора:
Това е отговорът. Ако трябва да проверите дали числото 4 наистина е коренът на нашето уравнение, заместваме това число вместо X в оригиналното уравнение:
5*4+2=7*4-6 (тези. 22=22)
защото това равенство е вярно, тогава 4 е коренът на уравнението.
Втори пример:
Решете уравнението:
5x+14=x-49
Премествайки неизвестните и числата в различни посоки, получаваме:
Разделете частите на уравнението на коефициента при х(с 4) и получаваме:
Трети пример:
Решете уравнението:
Първо, ние се отърваваме от ирационалността в коефициента за неизвестното, като умножим всички членове по:
Тази форма се счита за опростена, т.к числото има корен от числото в знаменателя. Трябва да опростим отговора, като умножим числителя и знаменателя по едно и също число, имаме това:
Случаят без решения.
Решете уравнението:
2x+3=2x+7
Пред всички хнашето уравнение няма да се превърне в истинско равенство. Тоест нашето уравнение няма корени.
Отговор: няма решения.
Специален случай е безкраен брой решения.
Решете уравнението:
2x+3=2x+3
Премествайки х-овете и числата в различни посоки и добавяйки подобни членове, получаваме уравнението:
И тук не е възможно двете части да се разделят на 0, т.к забранено е. Въпреки това, поставянето на място хвсяко число, получаваме правилното равенство. Тоест всяко число е решение на такова уравнение. Следователно има безкраен брой решения.
Отговор: безкраен брой решения.
Случаят на равенство на две пълни форми.
ax+b=cx+d
ax-cx=d-b
(a-c)x=d-b
x=(d-b):(a-c)
Отговор: x=(d-b):(a-c), Ако d≠b и a≠c, иначе има безкрайно много решения, но ако a=c, А d≠b, тогава няма решения.
Линейни уравнения. Решение, примери.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Линейни уравнения.
Линейните уравнения не са най-трудната тема в училищната математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Нека да го разберем?)
Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от формата:
брадва + b = 0 Където а и б– всякакви числа.
2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2
Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите и небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са всякакви числа?), тогава получаваме смешен израз:
Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,А b=5,Това се оказва нещо съвсем необичайно:
Което е досадно и подкопава доверието в математиката, да...) Особено по време на изпити. Но от тези странни изрази вие също трябва да намерите X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще се научим да правим това. В този урок.
Как да разпознаем линейно уравнение по външния му вид? Зависи от външния вид.) Номерът е, че линейните уравнения не са само уравнения на формата брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които могат да бъдат редуцирани до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали слиза или не?)
В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен и числа. И в уравнението няма дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е добре дошло! Например:
Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, куба и т.н., нито х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението
не може да се нарече линеен. Тук X-овете са всички на първа степен, но ги има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение или каквото искате.
Оказва се, че е невъзможно да разпознаете линейното уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? Задачите изискват уравнения реши.Това ме радва.)
Решаване на линейни уравнения. Примери.
Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравненията. Между другото, тези трансформации (две от тях!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва със самите тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това там има и примери за решаване на линейни уравнения.
Първо, нека да разгледаме най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.
x - 3 = 2 - 4x
Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност за нас няма значение какъв вид уравнение е то. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с X от лявата страна на уравнението, всичко без X (числа) от дясната.
За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, и - 3 - надясно. Между другото, това е първото идентично преобразуване на уравнения.изненадан? Това означава, че не сте последвали връзката, но напразно ...) Получаваме:
x + 4x = 2 + 3
Ето подобни, считаме:
Какво ни трябва за пълно щастие? Да, за да има чисто X отляво! Пет е на пътя. Да се отървете от петте с помощта второто идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:
Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си спомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Да хванем бика за рогата.) Да решим нещо по-солидно.
Например, ето уравнението:
Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. Малки стъпки по дълъг път. Или можете да го направите веднага, по универсален и мощен начин. Ако, разбира се, имате идентични трансформации на уравнения във вашия арсенал.
Задавам ви един ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?
95 от 100 души ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността. По какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, на 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как можем да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. до общ знаменател. Тогава и тройката, и четворката ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:
Разширяване на скобите:
Забележка! Числител (x+2)Слагам го в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби се умножава целият числител! Сега можете да намалите дроби:
Разгънете останалите скоби:
Не пример, а чисто удоволствие!) Сега нека си спомним едно заклинание от началното училище: с Х - наляво, без Х - надясно!И приложете тази трансформация:
Ето някои подобни:
И разделете двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:
Това е всичко. Отговор: х=0,16
Моля, обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в хубава форма, използвахме две (само две!) трансформации на идентичността– превод ляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнение с едно и също число. Това е универсален метод! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всеки. Ето защо досадно повтарям за тези идентични трансформации през цялото време.)
Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.
Но... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че могат да ви вкарат в силен ступор...) За щастие, може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.
Специални случаи при решаване на линейни уравнения.
Първа изненада.
Да предположим, че попаднете на много основно уравнение, нещо като:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Леко отегчени го местим с X наляво, без X - надясно... Със смяна на знака всичко е перфектно... Получаваме:
2x-5x+3x=5-2-3
Броим, и... опа!!! Получаваме:
Това равенство само по себе си не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X липсва! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x?Иначе решението не се брои, нали...) Deadlock?
Спокоен! В такива съмнителни случаи най-общите правила могат да ви спасят. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.
Но имаме истинско равенство вечесе случи! 0=0, колко по-точно?! Остава да разберем при какви x се случва това. В какви стойности на X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x пак ли ще бъдат сведени до нула?Хайде?)
Да!!! X могат да бъдат заменени всякакви!Кои искате? Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички стойности на X в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще получавате чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.
Ето вашия отговор: x - произволно число.
Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.
Втора изненада.
Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:
Като този. Решихме линейно уравнение и получихме странно равенство. От гледна точка на математиката, имаме фалшиво равенство.Но с прости думи това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решение на уравнението.)
Отново мислим въз основа на общи правила. Какво х ще ни дадат, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никакви! Няма такива Х-ове. Без значение какво влагате, всичко ще бъде намалено, ще останат само глупости.)
Ето вашия отговор: няма решения.
Това също е напълно пълен отговор. В математиката често се срещат такива отговори.
Като този. Сега, надявам се, изчезването на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Това вече е познат въпрос.)
Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Първо трябва да разберете какво представлява.
Има проста дефиниция линейно уравнение, което се дава в обикновено училище: „уравнение, в което променливата се среща само на първа степен“. Но не е съвсем правилно: уравнението не е линейно, то дори не се свежда до това, свежда се до квадратно.
По-точно определение е: линейно уравнениее уравнение, което, използвайки еквивалентни трансформацииможе да се редуцира до формата , където title="a,b в bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Всъщност, за да се разбере дали едно уравнение е линейно или не, то трябва първо да бъде опростено, тоест доведено до форма, в която неговата класификация ще бъде недвусмислена. Не забравяйте, че можете да правите каквото искате с уравнение, стига то да не променя корените си - това е. еквивалентно преобразуване. Най-простите еквивалентни трансформации включват:
- отваряне на скоби
- привеждане на подобни
- умножаване и/или деление на двете страни на уравнение с ненулево число
- добавяне и/или изваждане от двете страни на едно и също число или израз*
* Особено тълкуване на последната трансформация е „прехвърлянето“ на термини от една част в друга с промяна на знака.
Пример 1:
(да отворим скобите)
(събиране към двете части и изваждане/прехвърляне със смяна на знака на числото вляво и променливите вдясно)
(нека дадем подобни)
(разделете двете страни на уравнението на 3)
Така че получаваме уравнение, което има същите корени като първоначалното. Нека напомним на читателя, че "реши уравнението"- означава намиране на всичките му корени и доказване, че няма други, и "корен на уравнението"- това е число, което, когато бъде заменено с неизвестното, ще превърне уравнението в истинско равенство. Е, в последното уравнение намирането на число, което превръща уравнението в истинско равенство, е много просто - това е числото. Никое друго число няма да направи идентичност от това уравнение. Отговор:
Пример 2:
(умножете двете страни на уравнението по 
, след като се уверим, че не умножаваме по : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(да отворим скобите)
(нека преместим условията)
(нека дадем подобни)
(разделяме двете части на )
Приблизително така се решават всички линейни уравнения. За по-младите читатели най-вероятно това обяснение изглежда сложно, затова предлагаме версия "линейни уравнения за 5 клас"
Линейно уравнение с една променлива има общ вид
ax + b = 0.
Тук x е променлива, a и b са коефициенти. По друг начин a се нарича „коефициент на неизвестното“, b е „свободен член“.
Коефициентите са вид числа и решаването на уравнение означава намиране на стойността на x, при която изразът ax + b = 0 е верен. Например, имаме линейното уравнение 3x – 6 = 0. Решаването му означава да намерим на какво трябва да е равно x, за да бъде 3x – 6 равно на 0. Извършвайки трансформациите, получаваме:
3x = 6
х = 2
Така изразът 3x – 6 = 0 е верен при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 е корен на това уравнение. Когато решавате уравнение, намирате неговите корени.
Коефициентите a и b могат да бъдат всякакви числа, но има такива стойности, когато коренът на линейно уравнение с една променлива е повече от едно.
Ако a = 0, тогава ax + b = 0 се превръща в b = 0. Тук x е „унищожено“. Самият израз b = 0 може да бъде верен само ако знанието за b е 0. Тоест уравнението 0*x + 3 = 0 е невярно, защото 3 = 0 е невярно твърдение. Въпреки това, 0*x + 0 = 0 е правилният израз. От това заключаваме, че ако a = 0 и b ≠ 0 линейно уравнение с една променлива изобщо няма корени, но ако a = 0 и b = 0, тогава уравнението има безкраен брой корени.
Ако b = 0 и a ≠ 0, тогава уравнението ще приеме формата ax = 0. Ясно е, че ако a ≠ 0, но резултатът от умножението е 0, тогава x = 0. Тоест коренът на това уравнението е 0.
Ако нито a, нито b са равни на нула, тогава уравнението ax + b = 0 се трансформира във формата
x = –b/a.
Стойността на x в този случай ще зависи от стойностите на a и b. Освен това ще бъде единственият. Това означава, че е невъзможно да се получат две или повече различни стойности на x с еднакви коефициенти. Например,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Никое друго число освен –2 не може да се получи чрез разделяне на 17 на –8,5.
Има уравнения, които на пръв поглед не приличат на общата форма на линейно уравнение с една променлива, но лесно се превръщат в него. Например,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12
Ако преместите всичко отляво, тогава 0 ще остане от дясната страна:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0
Сега уравнението е сведено до стандартна форма и може да бъде решено:
х = 16,8 / 0,2
х = 84
Уравнение с едно неизвестно, което след отваряне на скобите и привеждане на подобни членове приема формата
ax + b = 0, където a и b са произволни числа, се извиква линейно уравнение с едно неизвестно. Днес ще разберем как да решим тези линейни уравнения.
Например всички уравнения:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - линейно.
Стойността на неизвестното, която превръща уравнението в истинско равенство, се нарича решение или корен на уравнението .
Например, ако в уравнението 3x + 7 = 13 вместо неизвестното x заместим числото 2, получаваме правилното равенство 3 2 +7 = 13. Това означава, че стойността x = 2 е решението или корена на уравнението.
И стойността x = 3 не превръща уравнението 3x + 7 = 13 в истинско равенство, тъй като 3 2 +7 ≠ 13. Това означава, че стойността x = 3 не е решение или корен на уравнението.
Решаването на всякакви линейни уравнения се свежда до решаване на уравнения от вида
ax + b = 0.
Нека преместим свободния член от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака пред b на противоположния, получаваме
Ако a ≠ 0, тогава x = ‒ b/a .
Пример 1. Решете уравнението 3x + 2 =11.
Нека преместим 2 от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака пред 2 на противоположния, получаваме
3x = 11 – 2.
Тогава да направим изваждането
3x = 9.
За да намерите x, трябва да разделите продукта на известен фактор, т.е
х = 9:3.
Това означава, че стойността x = 3 е решението или корена на уравнението.
Отговор: x = 3.
Ако a = 0 и b = 0, тогава получаваме уравнението 0x = 0. Това уравнение има безкрайно много решения, тъй като когато умножим произволно число по 0, получаваме 0, но b също е равно на 0. Решението на това уравнение е произволно число.
Пример 2.Решете уравнението 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Нека разширим скобите:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Ето някои подобни термини:
0x = 0.
Отговор: x - произволно число.
Ако a = 0 и b ≠ 0, тогава получаваме уравнението 0x = - b. Това уравнение няма решения, тъй като когато умножим произволно число по 0, получаваме 0, но b ≠ 0.
Пример 3.Решете уравнението x + 8 = x + 5.
Нека групираме термини, съдържащи неизвестни от лявата страна, и безплатни термини от дясната страна:
x – x = 5 – 8.
Ето някои подобни термини:
0х = ‒ 3.
Отговор: няма решения.
На Фигура 1 показва диаграма за решаване на линейно уравнение
Нека съставим обща схема за решаване на уравнения с една променлива. Нека разгледаме решението на Пример 4.
Пример 4. Да предположим, че трябва да решим уравнението
1) Умножете всички членове на уравнението по най-малкото общо кратно на знаменателите, равно на 12.
2) След редукция получаваме
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) За да разделите термини, съдържащи неизвестни и свободни термини, отворете скобите:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Нека групираме в едната част членовете, съдържащи неизвестни, а в другата - свободните членове:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Нека представим подобни термини:
- 22x = - 154.
6) Разделете на – 22, Получаваме
х = 7.
Както можете да видите, коренът на уравнението е седем.
Общо взето такива уравненията могат да бъдат решени по следната схема:
а) приведете уравнението в целочислен вид;
б) отвори скобите;
в) групирайте членовете, съдържащи неизвестното в едната част на уравнението, и свободните членове в другата;
г) да доведе подобни членове;
д) решаване на уравнение от вида aх = b, получено след привеждане на подобни членове.
Тази схема обаче не е необходима за всяко уравнение. Когато решавате много по-прости уравнения, трябва да започнете не от първото, а от второто ( Пример. 2), трети ( Пример. 13) и дори от петия етап, както в пример 5.
Пример 5.Решете уравнението 2x = 1/4.
Намерете неизвестното x = 1/4: 2,
х = 1/8 .
Нека разгледаме решаването на някои линейни уравнения, открити на основния държавен изпит.
Пример 6.Решете уравнението 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Отговор: - 0,125
Пример 7.Решете уравнението – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Отговор: 2.3
Пример 8. Решете уравнението
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Пример 9.Намерете f(6), ако f (x + 2) = 3 7
Решение
Тъй като трябва да намерим f(6) и знаем f(x + 2),
тогава x + 2 = 6.
Решаваме линейното уравнение x + 2 = 6,
получаваме x = 6 – 2, x = 4.
Ако x = 4 тогава
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Отговор: 27.
Ако все още имате въпроси или искате да разберете по-задълбочено решаването на уравнения, запишете се за моите уроци в ГРАФИКА. Ще се радвам да ви помогна!
TutorOnline също така препоръчва да гледате нов видео урок от нашия преподавател Олга Александровна, който ще ви помогне да разберете както линейните уравнения, така и други.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.