Когато започват да говорят за средни стойности, хората най-често си спомнят как са завършили училище и са постъпили в учебно заведение. След това средният резултат се изчислява въз основа на сертификата: всички оценки (както добри, така и не толкова добри) се сумират, получената сума се разделя на техния брой. Така се изчислява най-простият тип средна стойност, която се нарича проста средна аритметична. На практика в статистиката се използват различни видове средни: аритметични, хармонични, геометрични, квадратични, структурни средни. Използва се един или друг вид в зависимост от характера на данните и целите на изследването.
Средна стойносте най-разпространеният статистически показател, с помощта на който се дава обща характеристика на съвкупност от подобни явления по един от вариращите признаци. Показва нивото на дадена характеристика за единица население. С помощта на средни стойности се сравняват различни популации по различни характеристики и се изучават закономерностите на развитие на явленията и процесите на социалния живот.
В статистиката се използват два класа средни стойности: степенни (аналитични) и структурни. Последните се използват за характеризиране на структурата на вариационните серии и ще бъдат обсъдени по-нататък в гл. 8.
Групата на степенните средни включва средните аритметични, хармонични, геометрични и квадратични средни. Индивидуалните формули за тяхното изчисляване могат да бъдат сведени до форма, обща за всички средни мощности, а именно
където m е показателят на средната степен: за m = 1 получаваме формулата за изчисляване на средното аритметично, за m = 0 - средното геометрично, m = -1 - средното хармонично, за m = 2 - средното квадратично ;
x i - опции (стойности, които атрибутът приема);
f i - честоти.
Основното условие, при което степенните средни стойности могат да се използват в статистическия анализ, е хомогенността на съвкупността, която не трябва да съдържа изходни данни, които се различават рязко по своята количествена стойност (в литературата те се наричат аномални наблюдения).
Нека демонстрираме важността на това условие със следния пример.
Пример 6.1. Нека изчислим средната заплата на служителите на малко предприятие.
| Заплатите на служителите | не | Заплатите на служителите | не |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 950 | 11 | 7 000 |
| 2 | 6 790 | 12 | 5 950 |
| 3 | 6 790 | 13 | 6 790 |
| 4 | 5 950 | 14 | 5 950 |
| 5 | 7 000 | 5 | 6 790 |
| 6 | 6 790 | 16 | 7 000 |
| 7 | 5 950 | 17 | 6 790 |
| 8 | 7 000 | 18 | 7 000 |
| 9 | 6 790 | 19 | 7 000 |
| 10 | 6 790 | 20 | 5 950 |
За да се изчисли средната заплата, е необходимо да се сумират заплатите, начислени на всички служители на предприятието (т.е. да се намери фондът за заплати) и да се раздели на броя на служителите:
Сега нека добавим към нашата сума само един човек (директорът на това предприятие), но със заплата от 50 000 рубли. В този случай изчислената средна стойност ще бъде напълно различна:
Както виждаме, тя надхвърля 7000 рубли и т.н. той е по-голям от всички стойности на атрибута с изключение на едно единствено наблюдение.
За да се гарантира, че такива случаи не се срещат на практика и средната стойност не губи значението си (в пример 6.1 тя вече не играе ролята на обобщаваща характеристика на съвкупността, която трябва да бъде), при изчисляване на средната, аномална, рязко открояващите се наблюдения трябва да бъдат изключени от анализа и темите правят популацията хомогенна или разделете популацията на хомогенни групи и изчислете средните стойности за всяка група и анализирайте не общата средна стойност, а средните стойности на групата.
6.1. Средно аритметично и неговите свойства
Средната аритметична стойност се изчислява като проста или като претеглена стойност.
При изчисляване на средната заплата според данните в таблица пример 6.1, ние сумирахме всички стойности на атрибута и разделихме на техния брой. Ще запишем напредъка на нашите изчисления под формата на проста формула за средно аритметично
където x i - опции (индивидуални стойности на характеристиката);
n е броят на единиците в съвкупността.
Пример 6.2. Сега нека групираме нашите данни от таблицата в пример 6.1 и т.н. Нека изградим дискретна вариационна серия на разпределението на работниците по ниво на заплатите. Резултатите от групирането са представени в таблицата.
Нека напишем израза за изчисляване на нивото на средната заплата в по-компактна форма:
В пример 6.2 е приложена формулата за средноаритметично претеглено
където f i са честоти, показващи колко пъти стойността на атрибута x i y се среща в единици от съвкупността.
Удобно е да се изчисли средноаритметичното претеглено в таблица, както е показано по-долу (Таблица 6.3):
| Изчисляване на средно аритметично в дискретна серия | Изходни данни | |
| Приблизителен индикатор | заплата, търкайте. | брой служители, души |
| фонд за заплати, руб. | x i | f i |
| 5 950 | 6 | 35 760 |
| 6 790 | 8 | 54 320 |
| 7 000 | 6 | 42 000 |
| x i f i | 20 | 132 080 |
Общо
Често резултатите от наблюдението се представят под формата на серия с интервално разпределение (виж таблицата в пример 6.4). След това, когато се изчислява средната стойност, средните точки на интервалите се приемат като x i. Ако първият и последният интервал са отворени (нямат една от границите), тогава те са условно „затворени“, като се приема стойността на съседния интервал като стойност на този интервал и т.н. първият се затваря въз основа на стойността на втория, а последният - според стойността на предпоследния.
Пример 6.3. Въз основа на резултатите от извадково изследване на една от групите от населението ще изчислим размера на средния паричен доход на глава от населението.
В горната таблица средата на първия интервал е 500. Наистина, стойността на втория интервал е 1000 (2000-1000); тогава долната граница на първия е 0 (1000-1000), а средата му е 500. Правим същото и с последния интервал. Приемаме 25 000 като негова среда: стойността на предпоследния интервал е 10 000 (20 000-10 000), тогава горната му граница е 30 000 (20 000 + 10 000), а средната съответно е 25 000.
| Изчисляване на средно аритметично в интервална серия | Среден паричен доход на глава от населението, rub. на месец | Население спрямо общо, % f i | f i |
|---|---|---|---|
| Средни точки на интервали x i | 4,1 | 500 | 2 050 |
| 1 000-2 000 | 8,6 | 1 500 | 12 900 |
| 2 000-4 000 | 12,9 | 3 000 | 38 700 |
| 4 000-6 000 | 13,0 | 5 000 | 65 000 |
| 6 000-8 000 | 10,5 | 7 000 | 73 500 |
| 8 000-10 000 | 27,8 | 9 000 | 250 200 |
| 10 000-20 000 | 12,7 | 15 000 | 190 500 |
| До 1000 | 10,4 | 25 000 | 260 000 |
| x i f i | 100,0 | - | 892 850 |
20 000 и повече
Тогава средният месечен доход на глава от населението ще бъде
Средноаритметичното е статистически показател, който показва средната стойност на даден масив от данни. Този показател се изчислява като дроб, чийто числител е сумата от всички стойности в масива, а знаменателят е техният брой. Средната аритметична стойност е важен коефициент, който се използва в ежедневните изчисления.
Значението на коеф
Средната аритметична стойност е елементарен показател за сравняване на данни и изчисляване на приемлива стойност. Например, различни магазини продават кутия бира от определен производител. Но в един магазин струва 67 рубли, в друг - 70 рубли, в трети - 65 рубли, а в последния - 62 рубли. Има доста широк диапазон от цени, така че купувачът ще се интересува от средната цена на кутията, така че при закупуване на продукт да може да сравни разходите си. Средната цена за кутия бира в града е:
Средна цена = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рубли.
Средната аритметична стойност се използва постоянно в статистическите изчисления в случаите, когато се анализира хомогенен набор от данни. В горния пример това е цената на кутия бира от същата марка. Не можем обаче да сравняваме цената на бирата от различни производители или цените на бирата и лимонадата, тъй като в този случай разпространението на стойностите ще бъде по-голямо, средната цена ще бъде замъглена и ненадеждна, а самият смисъл на изчисленията ще бъде изкривен в карикатура на „средната температура в болницата“. За изчисляване на хетерогенни набори от данни се използва среднопретеглена аритметична стойност, когато всяка стойност получава свой собствен тегловен коефициент.
Изчисляване на средно аритметично
Формулата за изчисление е изключително проста:
P = (a1 + a2 + … an) / n,
където an е стойността на количеството, n е общият брой стойности.
За какво може да се използва този индикатор? Първата и очевидна употреба е в статистиката. Почти всяко статистическо изследване използва средно аритметично. Това може да е средната възраст за брак в Русия, средната оценка по предмет за ученик или средните разходи за хранителни стоки на ден. Както бе споменато по-горе, без да се вземат предвид теглата, изчисляването на средни стойности може да доведе до странни или абсурдни стойности.
Например президентът на Руската федерация направи изявление, че според статистиката средната заплата на руснака е 27 000 рубли. За повечето жители на Русия това ниво на заплата изглеждаше абсурдно. Не е изненадващо, ако при изчисляването вземем предвид доходите на олигарси, ръководители на промишлени предприятия, големи банкери, от една страна, и заплатите на учители, чистачи и продавачи, от друга. Дори средните заплати в една специалност, например счетоводител, ще имат сериозни разлики в Москва, Кострома и Екатеринбург.
Как да изчислим средни стойности за разнородни данни
В ситуации на заплати е важно да се вземе предвид тежестта на всяка стойност. Това означава, че заплатите на олигарсите и банкерите биха получили тежест например 0,00001, а заплатите на търговците - 0,12. Това са неочаквани цифри, но те грубо илюстрират преобладаването на олигарсите и продажниците в руското общество.
По този начин, за да се изчисли средната стойност на средните стойности или средните стойности в разнороден набор от данни, е необходимо да се използва средноаритметично претеглено. В противен случай ще получите средна заплата в Русия от 27 000 рубли. Ако искате да разберете средната си оценка по математика или средния брой отбелязани голове от избран хокеист, тогава калкулаторът за средна аритметична стойност е подходящ за вас.
Нашата програма е прост и удобен калкулатор за изчисляване на средната аритметична стойност. За да извършите изчисленията, трябва само да въведете стойностите на параметрите.
Нека да разгледаме няколко примера
Изчисляване на среден резултат
Много учители използват средноаритметичния метод за определяне на годишната оценка по даден предмет. Да си представим, че детето е получило следните четвърти точки по математика: 3, 3, 5, 4. Каква годишна оценка ще му постави учителят? Нека използваме калкулатор и изчислим средноаритметичното. За да започнете, изберете подходящия брой полета и въведете стойностите на рейтинга в появилите се клетки:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Учителят ще закръгли стойността в полза на ученика, а ученикът ще получи солидно B за годината.
Изчисляване на изядените бонбони
Нека да илюстрираме част от абсурда на средното аритметично. Нека си представим, че Маша и Вова са имали 10 бонбона. Маша изяде 8 бонбона, а Вова само 2. Колко бонбона изяде средно всяко дете? С помощта на калкулатор е лесно да се изчисли, че средно децата са изяли по 5 бонбона, което е напълно несъвместимо с реалността и здравия разум. Този пример показва, че средната аритметична стойност е важна за смислени набори от данни.
Заключение
Изчисляването на средноаритметичната стойност се използва широко в много научни области. Този показател е популярен не само в статистическите изчисления, но и във физиката, механиката, икономиката, медицината или финансите. Използвайте нашите калкулатори като помощник за решаване на задачи, включващи изчисляване на средната аритметична стойност.
Простата средна аритметична е средният член, при определянето на който се включва общият обем на дадена характеристика съвкупностданните се разпределят поравно между всички единици, включени в тази популация. По този начин средната годишна продукция на служител е количеството продукция, която би била произведена от всеки служител, ако целият обем продукция беше равномерно разпределен между всички служители на организацията. Средната аритметична проста стойност се изчислява по формулата:
Обикновено средно аритметично- Равно на съотношението на сумата от отделните стойности на характеристика към броя на характеристиките в съвкупността
Пример 1. Екип от 6 работници получава 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 хиляди рубли на месец.
Намерете средната заплата Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 хиляди рубли.
Средно аритметично претеглено
Ако обемът на набора от данни е голям и представлява серия на разпределение, тогава се изчислява среднопретеглената аритметична стойност. Ето как се определя среднопретеглената цена на единица продукция: общата себестойност на продукцията (сумата от произведенията на нейното количество по цената на единица продукция) се разделя на общото количество продукция.
Нека си представим това под формата на следната формула:
Претеглено средно аритметично- е равно на съотношението на (сумата от произведенията на стойността на признак към честотата на повторение на този признак) към (сумата на честотите на всички признаци). се появяват неравен брой пъти.
Пример 2. Намерете средната месечна заплата на работниците в цеха
|
Заплата на един работник хиляди рубли; X |
Брой работници F |
Средните заплати могат да бъдат получени, като общите заплати се разделят на общия брой работници:
Отговор: 3,35 хиляди рубли.
Средно аритметично за интервални серии
Когато изчислявате средната аритметична стойност за серия от интервални вариации, първо определете средната стойност за всеки интервал като полусумата на горната и долната граница, а след това средната стойност на цялата серия. При отворените интервали стойността на долния или горния интервал се определя от размера на съседните интервали.
Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни.
Пример 3. Определете средната възраст на вечерните студенти.
|
Възраст в години!!x?? |
Брой ученици |
Средна стойност на интервала |
Произведение от средата на интервала (възраст) и броя на учениците |
|
(18 + 20) / 2 =19 18 в този случай, границата на долния интервал. Изчислено като 20 - (22-20) | |||
|
(20 + 22) / 2 = 21 | |||
|
(22 + 26) / 2 = 24 | |||
|
(26 + 30) / 2 = 28 | |||
|
30 или повече |
(30 + 34) / 2 = 32 | ||
Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни. Степента на тяхното сближаване зависи от степента, в която реалното разпределение на съвкупностите в интервала се доближава до равномерност.
При изчисляване на средни стойности не само абсолютни, но и относителни стойности (честота) могат да се използват като тегла.
Какво е средно аритметично
Средно аритметичното на няколко количества е съотношението на сумата от тези количества към техния брой.
Средната аритметична стойност на определена серия от числа е сумата от всички тези числа, разделена на броя на членовете. По този начин средноаритметичната стойност е средната стойност на числова серия.
Колко е средноаритметичното на няколко числа? И те са равни на сумата от тези числа, която е разделена на броя на членовете в тази сума.
Как да намерим средното аритметично
Няма нищо сложно в изчисляването или намирането на средната аритметична стойност на няколко числа, достатъчно е да съберете всички представени числа и да разделите получената сума на броя на членовете. Полученият резултат ще бъде средноаритметичното на тези числа.
Нека разгледаме този процес по-подробно. Какво трябва да направим, за да изчислим средноаритметичното и да получим крайния резултат на това число.
Първо, за да го изчислите, трябва да определите набор от числа или техния брой. Този комплект може да включва големи и малки числа, като броят им може да бъде всякакъв.
Второ, трябва да се съберат всички тези числа и да се получи тяхната сума. Естествено, ако числата са прости и има малък брой от тях, тогава изчисленията могат да се направят, като се напишат на ръка. Но ако наборът от числа е впечатляващ, тогава е по-добре да използвате калкулатор или електронна таблица.
И четвърто, сумата, получена от събирането, трябва да бъде разделена на броя на числата. В резултат на това ще получим резултат, който ще бъде средноаритметичното на тази серия.
Защо се нуждаете от средното аритметично?
Средното аритметично може да бъде полезно не само за решаване на примери и задачи в уроците по математика, но и за други цели, необходими в ежедневието на човека. Такива цели могат да бъдат изчисляване на средната аритметична стойност за изчисляване на средния финансов разход на месец или за изчисляване на времето, което прекарвате на пътя, също за да разберете посещаемостта, производителността, скоростта на движение, доходността и много други.
Така че, например, нека се опитаме да изчислим колко време прекарвате в пътуване до училище. Когато отивате на училище или се връщате у дома, всеки път прекарвате различно време на път, защото когато бързате, вървите по-бързо и следователно пътят отнема по-малко време. Но когато се връщате у дома, можете да вървите бавно, да общувате със съученици, да се любувате на природата и следователно пътуването ще отнеме повече време.
Следователно няма да можете да определите точно времето, прекарано на пътя, но благодарение на средното аритметично можете приблизително да разберете времето, което прекарвате на пътя.
Да приемем, че на първия ден след уикенда сте прекарали петнадесет минути на път от дома до училище, на втория ден пътуването ви е отнело двадесет минути, в сряда сте изминали разстоянието за двадесет и пет минути и пътуването ви е отнело толкова време в четвъртък, а в петък не бързахте за никъде и се връщахте за цял половин час.
Нека намерим средното аритметично, добавяйки време, за всичките пет дни. така че
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Сега разделете тази сума на броя на дните
Благодарение на този метод научихте, че пътуването от дома до училище отнема приблизително двадесет и три минути от вашето време.
домашна работа
1. Използвайки прости изчисления, намерете средното аритметично на посещаемостта на учениците от вашия клас за седмицата.
2. Намерете средното аритметично:
3. Решете проблема:
В статистиката се използват различни видове средни стойности, които са разделени на два големи класа:
Степенни средства (средно хармонично, средно геометрично, средно аритметично, средно квадратично, средно кубично);
Структурни средства (модус, медиана).
Да се изчисли средни мощностинеобходимо е да се използват всички налични характерни стойности. МодаИ медианасе определят само от структурата на разпределението, поради което се наричат структурни, позиционни средни. Медианата и модата често се използват като средна характеристика в тези популации, където изчисляването на средната мощност е невъзможно или непрактично.
Най-често срещаният тип средна стойност е средната аритметична стойност. Под средно аритметичносе разбира като стойността на характеристика, която всяка единица от съвкупността би имала, ако общата сума от всички стойности на характеристиката бяха разпределени равномерно между всички единици на съвкупността. Изчисляването на тази стойност се свежда до сумиране на всички стойности на вариращата характеристика и разделяне на получената сума на общия брой единици в популацията. Например петима работници са изпълнили поръчка за производство на детайли, като първият е направил 5 детайла, вторият – 7, третият – 4, четвъртият – 10, петият – 12. Тъй като в изходните данни стойността на всеки опция се появи само веднъж, за да се определи
За да се определи средната производителност на един работник, трябва да се приложи простата формула за средна аритметична стойност:
т.е. в нашия пример средната продукция на един работник е равна на
Наред с простото средно аритметично те учат среднопретеглено аритметично.Например, нека изчислим средната възраст на студентите в група от 20 души, чиято възраст варира от 18 до 22 години, където xi– осреднени варианти на характеристиката, фи– честота, която показва колко пъти се появява i-тостойност в съвкупността (Таблица 5.1).
Таблица 5.1
Средна възраст на учениците
Прилагайки формулата за средноаритметично претеглено, получаваме:
Има определено правило за избор на среднопретеглена аритметична стойност: ако има поредица от данни за два показателя, за един от които трябва да изчислите
средна стойност и в същото време числените стойности на знаменателя на неговата логическа формула са известни, а стойностите на числителя са неизвестни, но могат да бъдат намерени като произведение на тези показатели, тогава средната стойност трябва се изчислява с помощта на формулата за среднопретеглена аритметична стойност.
В някои случаи естеството на първоначалните статистически данни е такова, че изчисляването на средната аритметична стойност губи смисъл и единственият обобщаващ показател може да бъде само друг вид средна стойност - хармонично средно.Понастоящем изчислителните свойства на средната аритметична стойност са загубили своето значение при изчисляването на общи статистически показатели поради широкото въвеждане на електронно-изчислителната технология. Средната хармонична стойност, която също може да бъде проста и претеглена, придоби голямо практическо значение. Ако числовите стойности на числителя на логическа формула са известни и стойностите на знаменателя са неизвестни, но могат да бъдат намерени като частично разделяне на един показател с друг, тогава средната стойност се изчислява с помощта на хармоника среднопретеглена формула.
Например нека се знае, че първите 210 км колата е изминала със скорост 70 км/ч, а останалите 150 км със скорост 75 км/ч. Невъзможно е да се определи средната скорост на автомобил за цялото пътуване от 360 км, като се използва формулата за средна аритметична стойност. Тъй като опциите са скорости в отделни участъци xj= 70 км/ч и X2= 75 km/h, а теглата (fi) се считат за съответните участъци от пътя, тогава продуктите на опциите и теглата няма да имат нито физическо, нито икономическо значение. В този случай коефициентите придобиват значение от разделянето на участъците от пътя на съответните скорости (варианти xi), т.е. времето, изразходвано за преминаване на отделни участъци от пътя (fi / xi). Ако участъци от пътя са означени с fi, тогава целият път ще бъде изразен като?fi, а времето, прекарано по целия път, ще бъде изразено като?fi. фи / xi , Тогава средната скорост може да се намери като частното от целия път, разделено на общото прекарано време:
В нашия пример получаваме:
Ако при използване на хармоничната средна теглата на всички опции (f) са равни, тогава вместо претеглената можете да използвате просто (непретеглено) хармонично средно:
където xi са индивидуални опции; п– брой варианти на признака, който се осреднява. В примера за скорост може да се приложи проста хармонична средна стойност, ако сегментите от пътя, изминати с различни скорости, са равни.
Всяка средна стойност трябва да бъде изчислена така, че когато замества всеки вариант на усреднената характеристика, стойността на някакъв краен общ показател, който е свързан с осреднения индикатор, да не се променя. По този начин, когато се заменят действителните скорости на отделни участъци от маршрута с тяхната средна стойност (средна скорост), общото разстояние не трябва да се променя.
Формата (формулата) на средната стойност се определя от характера (механизма) на връзката на този краен показател с осреднения, следователно крайният показател, чиято стойност не трябва да се променя при замяна на опциите с тяхната средна стойност, е наречен определящ индикатор.За да изведете формулата за средната стойност, трябва да създадете и решите уравнение, като използвате връзката между осреднения показател и определящия. Това уравнение се съставя чрез заместване на осреднените варианти на характеристиката (показателя) с тяхната средна стойност.
Освен средната аритметична и средната хармонична, в статистиката се използват и други видове (форми) на средната стойност. Всички те са специални случаи средна мощност.Ако изчислим всички видове средни мощности за едни и същи данни, тогава стойностите
те ще се окажат еднакви, тук важи правилото специалностсредно. С нарастването на експонента на средната стойност нараства и самата средна стойност. Най-често използваните формули за изчисляване на различни видове средни мощности в практическите изследвания са представени в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Видове силови средства
Използва се средната геометрична стойност, когато има пкоефициенти на растеж, докато индивидуалните стойности на характеристиката като правило са стойности на относителна динамика, конструирани под формата на верижни стойности, като съотношение към предишното ниво на всяко ниво в динамичната серия. Така средната стойност характеризира средния темп на растеж. Средна геометрична простаизчислено по формулата
Формула среднопретеглена геометрична стойностима следната форма:
Горните формули са идентични, но едната се прилага за текущи коефициенти или темпове на растеж, а втората се прилага за абсолютни стойности на серийни нива.
Среден квадратизползва се при изчисляване със стойности на квадратни функции, използва се за измерване на степента на флуктуация на отделните стойности на характеристика около средноаритметичното в редове на разпределение и се изчислява по формулата
Среднопретеглен квадратизчислено по друга формула:
Среден кубсе използва при изчисления със стойности на кубична функция и се изчислява по формулата
средно кубично тегло:
Всички средни стойности, разгледани по-горе, могат да бъдат представени като обща формула:
къде е средната стойност; – индивидуално значение; п– брой единици от изследваната съвкупност; к– експонента, която определя вида на средната стойност.
Когато използвате едни и същи изходни данни, толкова повече кв общата формула за средна мощност, толкова по-голяма е средната стойност. От това следва, че има естествена връзка между стойностите на средните мощности:
Описаните по-горе средни стойности дават обобщена представа за изследваната популация и от тази гледна точка тяхното теоретично, приложно и образователно значение е безспорно. Но се случва средната стойност да не съвпада с нито една от реално съществуващите опции, следователно, в допълнение към разглежданите средни стойности, при статистически анализ е препоръчително да се използват стойностите на конкретни опции, които заемат много специфична позиция в подредени (класирани) серии от стойности на атрибути. Сред тези количества най-често използваните са структурен,или описателен, среден– режим (Mo) и медиана (Me).
Мода– стойността на характеристика, която най-често се среща в дадена популация. По отношение на вариационна серия, режимът е най-често срещаната стойност на класираната серия, т.е. опцията с най-висока честота. Модата може да се използва при определяне на магазините, които се посещават по-често, най-често срещаната цена за всеки продукт. Той показва размера на признак, характерен за значителна част от населението и се определя по формулата
където x0 е долната граница на интервала; ч– размер на интервала; FM– интервална честота; fm_ 1 – честота на предходния интервал; fm+ 1 – честота на следващия интервал.
Медианаизвиква се опцията, разположена в центъра на класирания ред. Медианата разделя серията на две равни части, така че от двете й страни има еднакъв брой единици от съвкупността. В този случай половината от единиците в съвкупността имат стойност на вариращата характеристика, която е по-малка от медианата, докато другата половина има стойност, по-голяма от нея. Медианата се използва, когато се изучава елемент, чиято стойност е по-голяма или равна, или в същото време по-малка или равна на половината от елементите на серия на разпределение. Медианата дава обща представа за това къде са концентрирани стойностите на атрибутите, с други думи, къде е техният център.
Описателният характер на медианата се проявява във факта, че тя характеризира количествената граница на стойностите на различна характеристика, която половината от единиците в популацията притежават. Проблемът с намирането на медианата за серия от дискретни вариации се решава лесно. Ако на всички единици от серията са дадени поредни номера, тогава поредният номер на медианната опция се определя като (n + 1) / 2 с нечетен брой членове на n. Ако броят на членовете на серията е четно число , тогава медианата ще бъде средната стойност на две опции, които имат серийни номера п/ 2 и п/ 2 + 1.
Когато определяте медианата в интервални вариационни серии, първо определете интервала, в който се намира (медианен интервал). Този интервал се характеризира с факта, че неговата натрупана сума от честоти е равна или надвишава половината от сумата от всички честоти на серията. Медианата на серия от интервални вариации се изчислява с помощта на формулата
Къде X0– долна граница на интервала; ч– размер на интервала; FM– интервална честота; f– брой членове на поредицата;
М -1 – сумата от натрупаните членове на серията, предшестваща дадената.
Наред с медианата, за по-пълно характеризиране на структурата на изследваната популация, се използват и други стойности на опциите, които заемат много специфична позиция в класираната серия. Те включват квартилиИ децили.Квартилите разделят серията според сумата на честотите на 4 равни части, а децилите - на 10 равни части. Има три квартила и девет децила.
Медианата и режимът, за разлика от средното аритметично, не потискат индивидуалните различия в стойностите на променливата характеристика и следователно са допълнителни и много важни характеристики на статистическата съвкупност. В практиката те често се използват вместо средно или заедно с него. Особено препоръчително е да се изчислят медианата и модата в случаите, когато изследваната популация съдържа определен брой единици с много голяма или много малка стойност на вариращия признак. Тези стойности на опциите, които не са много характерни за съвкупността, докато влияят върху стойността на средноаритметичната стойност, не влияят на стойностите на медианата и режима, което прави последните много ценни показатели за икономически и статистически анализ.