Ще се научим да намираме производни на функции, зададени имплицитно, т.е. определени с определени уравнения, свързващи променливи хИ г. Примери за неявно посочени функции:
,
,
Производни на функции, посочени неявно, или производни на неявни функции, се намират доста лесно. Сега нека да разгледаме съответното правило и пример и след това да разберем защо е необходимо това като цяло.
За да намерите производната на функция, посочена имплицитно, трябва да разграничите двете страни на уравнението по отношение на x. Членовете, в които присъства само X, ще се превърнат в обичайната производна на функцията от X. И термините с играта трябва да се диференцират с помощта на правилото за диференциране на сложна функция, тъй като играта е функция на X. Казано съвсем просто, получената производна на члена с x трябва да доведе до: производната на функцията от y, умножена по производната от y. Например, производната на термин ще бъде написана като , производната на термин ще бъде написана като . След това, от всичко това, трябва да изразите този „удар на играта“ и желаната производна на имплицитно посочената функция ще бъде получена. Нека да разгледаме това с пример.
Пример 1.
Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x, като приемаме, че i е функция на x:
От тук получаваме производната, която се изисква в задачата:
Сега нещо за двусмисленото свойство на функциите, посочени имплицитно, и защо са необходими специални правила за тяхното диференциране. В някои случаи можете да се уверите, че заместването на израза по отношение на x в дадено уравнение (вижте примерите по-горе) вместо в играта, води до факта, че това уравнение се превръща в идентичност. Така. Горното уравнение имплицитно дефинира следните функции:
След като заместим израза за играта на квадрат през x в оригиналното уравнение, получаваме идентичността:
.
Изразите, които заместихме, бяха получени чрез решаване на уравнението за играта.
Ако трябваше да диференцираме съответната изрична функция
тогава ще получим отговора както в пример 1 - от функция, указана имплицитно:
Но не всяка функция, указана имплицитно, може да бъде представена във формата г = f(х) . Така например неявно посочените функции
не се изразяват чрез елементарни функции, тоест тези уравнения не могат да бъдат разрешени по отношение на играта. Следователно има правило за диференциране на функция, посочена имплицитно, което вече сме проучили и ще прилагаме последователно в други примери.
Пример 2.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:
.
Изразяваме простото число и - на изхода - производната на имплицитно посочената функция:
Пример 3.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:
.
Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x:
.
Пример 4.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:
.
Решение. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x:
.
Изразяваме и получаваме производната:
.
Пример 5.Намерете производната на функция, дадена имплицитно:
Решение. Преместваме членовете от дясната страна на уравнението в лявата страна и оставяме нула отдясно. Разграничаваме двете страни на уравнението по отношение на x.
Определение.Нека функцията \(y = f(x)\) е дефинирана в определен интервал, съдържащ точката \(x_0\). Нека дадем на аргумента увеличение \(\Delta x \), така че да не напуска този интервал. Нека намерим съответното нарастване на функцията \(\Delta y \) (при преместване от точка \(x_0 \) до точка \(x_0 + \Delta x \)) и съставим отношението \(\frac(\Delta y)(\Делта x) \). Ако има ограничение за това съотношение при \(\Delta x \rightarrow 0\), тогава определеното ограничение се извиква производна на функция\(y=f(x) \) в точката \(x_0 \) и означете \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се нарича така: производна на функцията y = f(x).
Геометрично значение на производнатае както следва. Ако е възможно да се начертае допирателна към графиката на функцията y = f(x) в точката с абсцисата x=a, която не е успоредна на оста y, тогава f(a) изразява наклона на допирателната :
\(k = f"(a)\)
Тъй като \(k = tg(a) \), тогава равенството \(f"(a) = tan(a) \) е вярно.
Сега нека тълкуваме дефиницията на производната от гледна точка на приблизителните равенства. Нека функцията \(y = f(x)\) има производна в определена точка \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x приблизителното равенство \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Делта x\). Смисловият смисъл на полученото приблизително равенство е следният: увеличението на функцията е „почти пропорционално“ на увеличението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например за функцията \(y = x^2\) е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ако анализираме внимателно дефиницията на производна, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.
Нека го формулираме.
Как да намеря производната на функцията y = f(x)?
1. Фиксирайте стойността на \(x\), намерете \(f(x)\)
2. Дайте на аргумента \(x\) увеличение \(\Delta x\), отидете до нова точка \(x+ \Delta x \), намерете \(f(x+ \Delta x) \)
3. Намерете увеличението на функцията: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Създайте релацията \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производната на функцията в точка x.
Ако функция y = f(x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y = f(x). диференциацияфункции y = f(x).
Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани помежду си непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в дадена точка?
Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точка M(x; f(x)) и, припомнете си, ъгловият коефициент на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се „счупи“ в точка M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в точка x.
Това бяха „практически“ аргументи. Нека дадем по-строги аргументи. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Ако в това равенство \(\Delta x \) клони към нула, тогава \(\Delta y \) ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точка.
Така, ако една функция е диференцируема в точка x, тогава тя е непрекъсната в тази точка.
Обратното твърдение не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент допирателната не може да бъде начертана към графиката на функция, тогава производната не съществува в тази точка.
Още един пример. Функцията \(y=\sqrt(x)\) е непрекъсната на цялата числова ос, включително в точката x = 0. А допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 . Но в тази точка допирателната съвпада с оста y, т.е. тя е перпендикулярна на абсцисната ос, нейното уравнение има формата x = 0. Такава права линия няма ъглов коефициент, което означава, че \(f „(0)\) не съществува.
И така, ние се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как може да се заключи от графиката на функция, че тя е диференцируема?
Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в дадена точка е възможно да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава в тази точка функцията е диференцируема. Ако в дадена точка допирателната към графиката на функция не съществува или е перпендикулярна на абсцисната ос, тогава в тази точка функцията не е диференцируема.
Правила за диференциране
Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и „функции на функции“, тоест сложни функции. Въз основа на определението за производна можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следните са верни правила за диференциране:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Таблица с производни на някои функции
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Нека функцията е зададена имплицитно с помощта на уравнението
(1)
.
И нека това уравнение, за някаква стойност, има уникално решение. Нека функцията е диференцируема функция в точка , и
.
Тогава при тази стойност има производна, която се определя по формулата:
(2)
.
Доказателство
За да го докажете, разгледайте функцията като сложна функция на променливата:
.
Нека приложим правилото за диференциране на сложна функция и да намерим производната по отношение на променлива от лявата и дясната страна на уравнението
(3)
:
.
Тъй като производната на константа е нула и , тогава
(4)
;
.
Формулата е доказана.
Производни от по-висок порядък
Нека пренапишем уравнение (4), използвайки различни обозначения:
(4)
.
В същото време и са сложни функции на променливата:
;
.
Зависимостта се определя от уравнение (1):
(1)
.
Намираме производната по отношение на променлива от лявата и дясната страна на уравнение (4).
Според формулата за производна на сложна функция имаме:
;
.
Според формулата на производната на продукта:
.
Използване на формулата за производна сума:
.
Тъй като производната на дясната страна на уравнение (4) е равна на нула, тогава
(5)
.
Като заместим производната тук, получаваме стойността на производната от втори ред в неявна форма.
Диференцирайки уравнение (5) по подобен начин, получаваме уравнение, съдържащо производна от трети ред:
.
Замествайки тук намерените стойности на производните от първи и втори ред, намираме стойността на производната от третия ред.
Продължавайки диференциацията, може да се намери производна от произволен ред.
Примери
Пример 1
Намерете производната от първи ред на функцията, дадена имплицитно от уравнението:
(P1) .
Разтвор по формула 2
Намираме производната, използвайки формула (2):
(2)
.
Нека преместим всички променливи в лявата страна, така че уравнението да приеме формата .
.
Оттук.
Намираме производната по отношение на , като я считаме за постоянна.
;
;
;
.
Намираме производната по отношение на променливата, като вземаме предвид константата на променливата.
;
;
;
.
Използвайки формула (2), намираме:
.
Можем да опростим резултата, ако отбележим, че според първоначалното уравнение (A.1), . Нека заместим:
.
Умножете числителя и знаменателя по:
.
Втори начин решение
Нека решим този пример по втория начин. За да направим това, ще намерим производната по отношение на променливата от лявата и дясната страна на първоначалното уравнение (A1).
Прилагаме:
.
Прилагаме формулата за производна дроб:
;
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция:
.
Нека диференцираме оригиналното уравнение (A1).
(P1) ;
;
.
Ние умножаваме по и групираме членовете.
;
.
Нека заместим (от уравнение (A1)):
.
Умножете по:
.
Отговор
Пример 2
Намерете производната от втори ред на функцията, дадена имплицитно, като използвате уравнението:
(A2.1) .
Решение
Ние диференцираме оригиналното уравнение по отношение на променливата, като се има предвид, че то е функция на:
;
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.
.
Нека диференцираме оригиналното уравнение (A2.1):
;
.
От първоначалното уравнение (A2.1) следва, че . Нека заместим:
.
Отворете скобите и групирайте членовете:
;
(A2.2) .
Намираме производната от първи ред:
(A2.3) .
За да намерим производната от втори ред, диференцираме уравнение (A2.2).
;
;
;
.
Нека заместим израза за производната от първи ред (A2.3):
.
Умножете по:
;
.
От тук намираме производната от втори ред.
Отговор
Пример 3
Намерете производната от трети ред на функцията, дадена имплицитно, като използвате уравнението:
(A3.1) .
Решение
Ние диференцираме оригиналното уравнение по отношение на променливата, като приемаме, че е функция на .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;
Нека диференцираме уравнение (A3.2) по отношение на променливата .
;
;
;
;
;
(A3.3) .
Нека диференцираме уравнение (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .
От уравнения (A3.2), (A3.3) и (A3.4) намираме стойностите на производните при .
;
;
.
Производна на функция, указана имплицитно.
Производна на параметрично дефинирана функция
В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в контролните по висша математика. За да усвоите успешно материала, трябва да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да се научите да намирате производни практически от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция. Ако уменията ви за разграничаване са наред, тогава да тръгваме.
Производна на функция, указана имплицитно
Или накратко, производната на неявна функция. Какво е неявна функция? Нека първо си спомним самата дефиниция на функция на една променлива:
Функция на една променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива съответства на една и само една стойност на функцията.
Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция
.
Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека проведем дебрифинг, като използваме конкретни примери.
Помислете за функцията 
Виждаме, че отляво имаме самотен „играч“, а отдясно - само "Х". Тоест функцията изричноизразено чрез независимата променлива.
Нека да разгледаме друга функция:
Това е мястото, където променливите се смесват. освен това невъзможно по никакъв начинизразете "Y" само чрез "X". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от част в част със смяна на знака, преместване извън скоби, хвърляне на множители според правилото за пропорцията и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите изрично „y“: . Можете да въртите уравнението с часове, но няма да успеете.
Нека ви представя: – пример неявна функция.
В хода на математическия анализ беше доказано, че неявната функция съществува(обаче не винаги), има графика (точно като „нормална“ функция). Неявната функция е абсолютно същата съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се спазват.
И в този урок ще научим как да намираме производната на функция, зададена имплицитно. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме в момента.
Да, и ще ви кажа добрата новина - задачите, разгледани по-долу, се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три песни.
Пример 1
1) На първия етап прикрепяме щрихи към двете части:
2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила от урока Как да намерим производната? Примери за решения):
3) Директна диференциация.
Как да ги разграничим е напълно ясно. Какво да правим там, където има „игри“ под ударите?
- до степен на позор, производната на функция е равна на нейната производна: .
Как да разграничим
Тук имаме сложна функция. Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "Y". Но факт е, че има само една буква "y" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(вижте определението в началото на урока). По този начин синусът е външна функция и е вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция 
:
Ние диференцираме продукта според обичайното правило 
:
Моля, имайте предвид, че – също е сложна функция, всяка „игра със звънци и свирки“ е сложна функция:
Самото решение трябва да изглежда така:
Ако има скоби, разгънете ги:
4) От лявата страна събираме членовете, които съдържат „Y“ с просто число. Преместете всичко останало от дясната страна:
5) От лявата страна изваждаме производната извън скоби:
6) И според правилото за пропорцията, пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:
Производното е намерено. Готов.
Интересно е да се отбележи, че всяка функция може да бъде пренаписана имплицитно. Например функцията 
може да се пренапише така: 
. И го разграничете с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Всъщност изразите „имплицитна функция“ и „имплицитна функция“ се различават по един семантичен нюанс. Фразата „имплицитно определена функция“ е по-обща и правилна, 
– тази функция е посочена имплицитно, но тук можете да изразите „играта“ и да представите функцията изрично. Фразата „имплицитна функция“ се отнася до „класическата“ имплицитна функция, когато „y“ не може да бъде изразено.
Второ решение
внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как да намерите уверено частични производни. Моля, начинаещи и манекени по смятане не четете и прескочете тази точка, иначе в главата ти ще е пълна бъркотия.
Нека намерим производната на неявната функция, използвайки втория метод.
Преместваме всички термини в лявата страна:
И разгледайте функция от две променливи:
Тогава нашата производна може да се намери с помощта на формулата
Нека намерим частните производни:
По този начин:
Второто решение ви позволява да извършите проверка. Но не е препоръчително да пишат окончателния вариант на заданието, тъй като частичните производни се усвояват по-късно и ученик, изучаващ темата „Производна на функция на една променлива“, все още не трябва да знае частични производни.
Нека да разгледаме още няколко примера.
Пример 2
Намерете производната на функция, дадена имплицитно
Добавете щрихи към двете части:
Използваме правила за линейност:
Намиране на производни:
Отваряне на всички скоби:
Преместваме всички термини с в лявата страна, останалите в дясната страна:
Окончателен отговор: 
Пример 3
Намерете производната на функция, дадена имплицитно 
Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.
Не е необичайно след диференциране да се появят дроби. В такива случаи трябва да се отървете от дроби. Нека разгледаме още два примера.
Пример 4
Намерете производната на функция, дадена имплицитно 
Ограждаме двете части под щрихи и използваме правилото за линейност: 
Диференцирайте с помощта на правилото за диференциране на сложна функция 
и правилото за диференциране на частните 
:
Разширяване на скобите: 
Сега трябва да се отървем от дробта. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта съдържа . Умножете На . В детайли ще изглежда така:
Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имаме друга дроб, например, тогава операцията ще трябва да се повтори - умножение всеки член на всяка частНа
От лявата страна го поставяме извън скоби:
Окончателен отговор: 
Пример 5
Намерете производната на функция, дадена имплицитно
Това е пример, който можете да решите сами. Единственото нещо е, че преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.
Производна на параметрично дефинирана функция
Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .
Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: 
. Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично дефинирана функция, можете да използвате моята програма.
В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: 
– и го заместете във второто уравнение: 
. Резултатът е обикновена кубична функция.
В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:
Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:
Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.
Намираме производната на "x по отношение на променливата te": 
Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула: 
Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.
Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.
Пример 6
Използваме формулата
В такъв случай:
По този начин: 
Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.
Пример 7
Намерете производната на функция, зададена параметрично 
Това е пример, който можете да решите сами.
В статията Най-прости типови задачи с производниразгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.
Пример 8
Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично
Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата
В такъв случай: 
Заместваме намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула: 
Много често при решаване на практически задачи (например във висшата геодезия или аналитична фотограметрия) се появяват сложни функции на няколко променливи, т.е. x, y, z една функция f(x,y,z) ) сами по себе си са функции на нови променливи U, V, W ).
Това например се случва при движение от фиксирана координатна система Oxyz в мобилната система О 0 UVW и обратно. В същото време е важно да се знаят всички частични производни по отношение на „фиксираните“ - „стари“ и „движещи се“ - „нови“ променливи, тъй като тези частични производни обикновено характеризират позицията на обект в тези координатни системи и по-специално засягат съответствието на въздушните снимки с реален обект. В такива случаи се прилагат следните формули:
Тоест, дадена е сложна функция T три "нови" променливи U, V, W чрез три "стари" променливи x, y, z, Тогава:
Коментирайте. Възможно е да има вариации в броя на променливите. Например: ако
По-специално, ако z = f(xy), y = y(x) , тогава получаваме така наречената формула за „обща производна“:
Същата формула за „общата производна“ в случай на:
ще приеме формата:
Възможни са и други варианти на формули (1.27) - (1.32).
Забележка: формулата „обща производна“ се използва в курса по физика, раздел „Хидродинамика“, когато се извежда основната система от уравнения за движение на флуид.
Пример 1.10. дадени:
Съгласно (1.31):
§7 Частични производни на неявно дадена функция на няколко променливи
Както е известно, имплицитно определена функция на една променлива се дефинира, както следва: функцията на независимата променлива х се нарича имплицитно, ако е дадено от уравнение, което не е решено по отношение на г :
Пример 1.11.
Уравнението
имплицитно определя две функции:
И уравнението
не посочва никаква функция.
Теорема 1.2 (съществуване на неявна функция).
Нека функцията z =f(x,y) и неговите частични производни е" х И е" г определени и непрекъснати в някакъв квартал U M0 точки М 0 (х 0 г 0 ) . Освен това, f(x 0 ,г 0 )=0 И f"(x 0 ,г 0 )≠0 , тогава уравнение (1.33) определя в околността U M0 неявна функция y=y(x) , непрекъсната и диференцируема в определен интервал д центриран в точка х 0 , и y(x 0 )=y 0 .
Няма доказателство.
От теорема 1.2 следва, че на този интервал д :
тоест има идентичност в
където „общата“ производна се намира съгласно (1.31)
Тоест (1.35) дава формула за намиране на производната на имплицитно дадена функция на една променлива х .
Неявна функция на две или повече променливи се дефинира по подобен начин.
Например, ако в някаква област V пространство Oxyz важи следното уравнение:
след това при някои условия на функцията Е той имплицитно дефинира функция
Освен това, по аналогия с (1.35), неговите частни производни се намират, както следва.