Многостен, на който едно от лицата му е многоъгълник, а всички останали лица са триъгълници с общ връх, се нарича пирамида.

Тези триъгълници, които изграждат пирамидата, се наричат странични лица, а оставащият многоъгълник е основапирамиди.

В основата на пирамидата лежи геометрична фигура - n-ъгълник. В този случай пирамидата също се нарича n-въглерод.

Триъгълна пирамида, чиито ръбове са равни, се нарича тетраедър.

Ръбовете на пирамидата, които не принадлежат на основата, се наричат страничен, а общата им точка е връхпирамиди. Другите ръбове на пирамидата обикновено се наричат страни на осн.

Пирамидата се нарича правилно, ако има правилен многоъгълник в основата си и всички странични ръбове са равни един на друг.

Разстоянието от върха на пирамидата до равнината на основата се нарича височинапирамиди. Можем да кажем, че височината на пирамидата е сегмент, перпендикулярен на основата, чиито краища са на върха на пирамидата и върху равнината на основата.

За всяка пирамида се прилагат следните формули:

1) S пълен = S страничен + S основен, Където

S total – обща повърхност на пирамидата;

S страна – площта на страничната повърхност, т.е. сумата от площите на всички странични стени на пирамидата;

S main – площта на основата на пирамидата.

2) V = 1/3 S основа N, Където

V – обем на пирамидата;

H – височина на пирамидата.

За правилна пирамидавъзниква:

S страна = 1/2 P основна h, Където

P main – периметър на основата на пирамидата;

h е дължината на апотемата, тоест дължината на височината на страничната повърхност, спусната от върха на пирамидата.

Частта от пирамидата, затворена между две равнини - равнината на основата и сечащата равнина, успоредна на основата, се нарича пресечена пирамида.

Основата на пирамидата и сечението на пирамидата с успоредна равнина се наричат причинипресечена пирамида. Останалите лица се наричат страничен. Разстоянието между равнините на основите се нарича височинапресечена пирамида. Ребра, които не принадлежат на основите, се наричат страничен.

В допълнение, основата на пресечената пирамида подобни n-ъгълници. Ако основите на пресечена пирамида са правилни многоъгълници и всички странични ръбове са равни един на друг, тогава такава пресечена пирамида се нарича правилно.

За произволна пресечена пирамидасе прилагат следните формули:

1) S пълен = S страна + S 1 + S 2, Където

S total – обща повърхност;

S страна – площта на страничната повърхност, т.е. сумата от площите на всички странични лица на пресечена пирамида, които са трапеци;

S 1, S 2 – базови площи;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Където

V – обем на пресечената пирамида;

H – височината на пресечената пирамида.

За правилна пресечена пирамидаимаме също:

S страна = 1/2 (P 1 + P 2) h,Където

P 1, P 2 – периметри на основите;

h – апотема (височина на страничното лице, което е трапец).

Нека разгледаме няколко задачи, свързани с пресечена пирамида.

Задача 1.

В триъгълна пресечена пирамида с височина, равна на 10, страните на едната основа са 27, 29 и 52. Определете обема на пресечената пирамида, ако периметърът на другата основа е 72.

Решение.

Помислете за пресечената пирамида ABCA 1 B 1 C 1, показана в Фигура 1.

1. Обемът на пресечена пирамида може да се намери с помощта на формулата

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), където S 1 е площта на една от базите, може да се намери с помощта на формулата на Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

защото Задачата дава дължините на трите страни на триъгълник.

Имаме: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Пирамидата е пресечена, което означава, че подобни многоъгълници лежат в основите. В нашия случай триъгълник ABC е подобен на триъгълник A 1 B 1 C 1. В допълнение, коефициентът на подобие може да се намери като съотношението на периметрите на разглежданите триъгълници, а съотношението на техните площи ще бъде равно на квадрата на коефициента на подобие. Така имаме:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Следователно S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

И така, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Отговор: 1900.

Задача 2.

В триъгълна пресечена пирамида през страната на горната основа е начертана равнина, успоредна на противоположния страничен ръб. В какво отношение е разделен обемът на пресечена пирамида, ако съответните страни на основите са в съотношение 1:2?

Решение.

Помислете за ABCA 1 B 1 C 1 - пресечена пирамида, показана в ориз. 2.

Тъй като страните в основите са в съотношение 1:2, площите на основите са в съотношение 1:4 (триъгълник ABC е подобен на триъгълник A 1 B 1 C 1).

Тогава обемът на пресечената пирамида е:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, където S 2 – площ на горната основа, h – височина.

Но обемът на призмата ADEA 1 B 1 C 1 е V 1 = S 2 h и следователно,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

И така, V 2: V 1 = 3: 4.

Отговор: 3:4.

Задача 3.

Страните на основите на правилна четириъгълна пресечена пирамида са равни на 2 и 1, а височината е 3. През пресечната точка на диагоналите на пирамидата е начертана равнина, успоредна на основите на пирамидата, разделяща пирамидата на две части. Намерете обема на всеки от тях.

Решение.

Помислете за пресечената пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, показана на ориз. 3.

Нека означим O 1 O 2 = x, тогава OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Да разгледаме триъгълника B 1 O 2 D 1 и триъгълника BO 2 D:

ъгъл B 1 O 2 D 1 е равен на ъгъл BO 2 D като вертикален;

ъгъл BDO 2 е равен на ъгъл D 1 B 1 O 2 и ъгъл O 2 ВD е равен на ъгъл B 1 D 1 O 2, тъй като те лежат напречно на B 1 D 1 || BD и секущите B₁D и ​​BD1, съответно.

Следователно триъгълникът B 1 O 2 D 1 е подобен на триъгълника BO 2 D и съотношението на страните е:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = x/(x – 3), откъдето x = 1.

Да разгледаме триъгълника B 1 D 1 B и триъгълника LO 2 B: ъгъл B е общ и има също двойка едностранни ъгли при B 1 D 1 || LM, което означава, че триъгълник B 1 D 1 B е подобен на триъгълник LO 2 B, от който B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тогава S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

И така, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Отговор: 152/27; 37/27.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидае полиедър, едно от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Триъгълна пирамида с равни ръбове се нарича тетраедър .

Странично реброна пирамида е страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . Диагонално сечение се нарича сечение на пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида е сумата от площите на всички странични лица. Обща площ се нарича сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в една пирамида всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, описана близо до основата.

2. Ако всички странични ръбове на пирамида имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжност, описана близо до основата.

3. Ако всички лица в една пирамида са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За да се изчисли обемът на произволна пирамида, правилната формула е:

Където V- сила на звука;

S база– базова площ;

з– височина на пирамидата.

За правилна пирамида следните формули са правилни:

Където стр– основен периметър;

з а– апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S база– базова площ;

V– обем на правилна пирамида.

Пресечена пирамиданарича частта от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режеща равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основанияпресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица – трапецовидни. Височина на пресечена пирамида е разстоянието между нейните основи. Диагонал пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. Диагонално сечение е сечение на пресечена пирамида от равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни следните формули:

(4)

Където С 1 , С 2 – зони на горна и долна основа;

S пълен– обща повърхност;

S страна– площ на страничната повърхност;

з- височина;

V– обем на пресечена пирамида.

За правилна пресечена пирамида формулата е правилна:

Където стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

з а– апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1.В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че в основата има равностранен триъгълник и всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл е ъгълът амежду два перпендикуляра: и т.н. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност на триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничния ръб (напр С.Б.) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху равнината на основата. За реброто С.Б.този ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ O.B.. Нека дължината на сегмента BDе равно на 3 А. Точка ОТНОСНОлинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2.Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са равни на cm и cm, а височината й е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площта на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са равни съответно на 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 см 3.

Пример 3.Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, страните на основите на която са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основата и височината. Основите са дадени според състоянието, само височината остава неизвестна. Ще я намерим откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д– перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д= 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. Да намеря DEНека направим допълнителен чертеж, показващ изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО– проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добре– радиус, вписан в окръжността и ОМ– радиус, вписан в окръжност:

MK = DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4.В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDравна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО– проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм равнината на основата. Използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на равнинна фигура, получаваме:

По същия начин означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Нека начертаем трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНО– център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или От Питагоровата теорема имаме

• 29.05.2016

  Осцилиращ кръг е електрическа верига, съдържаща индуктор, кондензатор и източник на електрическа енергия. Когато елементите на веригата са свързани последователно, колебателната верига се нарича последователна, а когато е свързана паралелно, се нарича паралелна. Осцилаторният кръг е най-простата система, в която могат да възникнат свободни електромагнитни трептения. Резонансната честота на веригата се определя от така наречената формула на Томсън: ƒ = 1/(2π√(LC)) За ...

• 20.09.2014

  Приемникът е проектиран да приема сигнали в DV диапазон (150 kHz...300 kHz). Основната характеристика на приемника е антената, която има по-висока индуктивност от конвенционалната магнитна антена. Това дава възможност да се използва капацитетът на настройващия кондензатор в диапазона 4...20 pF, а също така такъв приемник има приемлива чувствителност и леко усилване в RF пътя. Приемника работи за слушалки (слушалки), захранва се...

• 24.09.2014

  Това устройство е предназначено да следи нивото на течността в резервоарите; веднага щом течността се повиши до зададено ниво, устройството ще започне да излъчва непрекъснат звуков сигнал; когато нивото на течността достигне критично ниво, устройството ще започне да излъчва прекъсващ сигнал. Индикаторът се състои от 2 генератора, те се управляват от сензорен елемент Е. Той се поставя в резервоара на ниво до ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 е цифров многопрограмен таймер, предназначен за работа с индикатора ILC3-5\7. Осигурява броене и показване на текущото време в часове и минути, ден от седмицата и номер на контролния канал (9 аларми). Схемата на будилника е показана на фигурата. Микросхемата е с часовник. резонатор Q1 на 32768Hz. храната е отрицателна, общият плюс отива към...

Способността да се изчислява обемът на пространствените фигури е важна при решаването на редица практически задачи в геометрията. Една от най-често срещаните фигури е пирамидата. В тази статия ще разгледаме както пълни, така и пресечени пирамиди.

Пирамидата като триизмерна фигура

Всички знаят за египетските пирамиди, така че имат добра представа за каква фигура ще говорим. Египетските каменни конструкции обаче са само частен случай на огромен клас пирамиди.

Разглежданият геометричен обект в общия случай е многоъгълна основа, всеки връх на която е свързан с определена точка в пространството, която не принадлежи на равнината на основата. Това определение води до фигура, състояща се от един n-ъгълник и n триъгълника.

Всяка пирамида се състои от n+1 лица, 2*n ръба и n+1 върха. Тъй като въпросната фигура е идеален многостен, броят на отбелязаните елементи се подчинява на равенството на Ойлер:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Многоъгълникът, разположен в основата, дава името на пирамидата, например триъгълна, петоъгълна и т.н. Набор от пирамиди с различни основи е показан на снимката по-долу.

Точката, в която се срещат n триъгълника от фигура, се нарича връх на пирамидата. Ако перпендикуляр се спусне от нея върху основата и я пресича в геометричния център, тогава такава фигура ще се нарича права линия. Ако това условие не е изпълнено, тогава се получава наклонена пирамида.

Права фигура, чиято основа е образувана от равностранен (равноъгълен) n-ъгълник, се нарича правилна.

Формула за обем на пирамида

За да изчислим обема на пирамидата, ще използваме интегрално смятане. За да направим това, ние разделяме фигурата, като нарязваме равнини, успоредни на основата, на безкраен брой тънки слоеве. Фигурата по-долу показва четириъгълна пирамида с височина h и дължина на страната L, в която четириъгълникът маркира тънкия слой на сечението.

Площта на всеки такъв слой може да се изчисли по формулата:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Тук A 0 е площта на основата, z е стойността на вертикалната координата. Може да се види, че ако z = 0, тогава формулата дава стойност A 0.

За да получите формулата за обема на пирамида, трябва да изчислите интеграла по цялата височина на фигурата, тоест:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Като заместим зависимостта A(z) и изчислим първоизводната, стигаме до израза:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Получихме формулата за обем на пирамида. За да намерите стойността на V, просто умножете височината на фигурата по площта на основата и след това разделете резултата на три.

Имайте предвид, че полученият израз е валиден за изчисляване на обема на пирамида от всякакъв тип. Тоест, той може да бъде наклонен, а основата му може да бъде произволен n-ъгълник.

и неговия обем

Общата формула за обем, получена в параграфа по-горе, може да бъде прецизирана в случай на пирамида с правилна основа. Площта на такава основа се изчислява по следната формула:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Тук L е дължината на страната на правилен многоъгълник с n върха. Символът pi е числото pi.

Замествайки израза за A 0 в общата формула, получаваме обема на правилна пирамида:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Например за триъгълна пирамида тази формула води до следния израз:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

За правилна четириъгълна пирамида формулата за обем приема формата:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Определянето на обемите на правилните пирамиди изисква познаване на страната на основата им и височината на фигурата.

Пресечена пирамида

Да предположим, че сме взели произволна пирамида и сме отрязали част от страничната й повърхност, съдържаща върха. Останалата фигура се нарича пресечена пирамида. Той вече се състои от две n-ъгълни основи и n трапеца, които ги свързват. Ако режещата равнина е била успоредна на основата на фигурата, тогава се образува пресечена пирамида с подобни успоредни основи. Тоест, дължините на страните на единия от тях могат да бъдат получени чрез умножаване на дължините на другия по определен коефициент k.

Фигурата по-горе показва пресечен правилен. Вижда се, че горната му основа, както и долната, е образувана от правилен шестоъгълник.

Формулата, която може да бъде получена с помощта на интегрално смятане, подобно на горното, е:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Където A 0 и A 1 са съответно площите на долната (голяма) и горната (малка) основа. Променливата h означава височината на пресечената пирамида.

Обем на Хеопсовата пирамида

Интересно е да се реши задачата за определяне на обема, който съдържа най-голямата египетска пирамида в себе си.

През 1984 г. британските египтолози Марк Ленър и Джон Гудман установяват точните размери на Хеопсовата пирамида. Първоначалната му височина е била 146,50 метра (в момента около 137 метра). Средната дължина на всяка от четирите страни на конструкцията е 230,363 метра. Основата на пирамидата е квадратна с висока точност.

Нека използваме дадените цифри, за да определим обема на този каменен гигант. Тъй като пирамидата е правилна четириъгълна, то за нея е валидна формулата:

Заменяйки числата, получаваме:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Обемът на Хеопсовата пирамида е почти 2,6 милиона m3. За сравнение отбелязваме, че олимпийският плувен басейн има обем от 2,5 хиляди м 3. Тоест, за да напълните цялата Хеопсова пирамида ще ви трябват повече от 1000 такива басейна!