Инструкции
Моля, имайте предвид, че период ical не винаги има най-малкия положителен период. Така, например, като периоди постоянна функцииможе да бъде абсолютно всяко число и може да няма най-малкото положително периодА. Има и непостоянни период ical функции, които нямат най-малко положителни периодА. Въпреки това, в повечето случаи най-малкият положителен периодпри периодвсе още има ichical.
Най-малко периодсинус е равен на 2?. Помислете за този пример функции y=sin(x). Нека T е произволно периодом синус, в този случай sin(a+T)=sin(a) за всяка стойност на a. Ако a=?/2, се оказва, че sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Въпреки това, sin(x)=1 само ако x=?/2+2?n, където n е цяло число. От това следва, че T=2?n и следователно най-малката положителна стойност е 2?n 2?.
Най-малко положителен периодкосинус също е равен на 2?. Помислете за доказателството за това с пример функции y=cos(x). Ако T е произволно период om косинус, тогава cos(a+T)=cos(a). В случай, че a=0, cos(T)=cos(0)=1. С оглед на това най-малката положителна стойност на T, при която cos(x) = 1, е 2?.
Имайки предвид факта, че 2? – периодсинус и косинус, също ще бъде периодом котангенс, както и тангенс, но не минимален, тъй като, като , най-малкото положително периодтангенс и котангенс са равни?. Можете да проверите това, като разгледате следното: точките, съответстващи на (x) и (x+?) на тригонометричната окръжност, имат диаметрално противоположни местоположения. Разстоянието от точка (x) до точка (x+2?) съответства на половин окръжност. По дефиниция на тангенс и котангенс tg(x+?)=tgx и ctg(x+?)=ctgx, което означава най-малкото положително периодкотангенс и ?.
Моля, обърнете внимание
Не бъркайте функциите y=cos(x) и y=sin(x) - имайки еднакъв период, тези функции се представят по различен начин.
Полезни съвети
За по-голяма яснота начертайте тригонометрична функция, за която се изчислява най-малкият положителен период.
източници:
- Ръководство по математика, училищна математика, висша математика
Периодична функция е функция, която повтаря стойностите си след някакъв ненулев период. Периодът на функция е число, което, когато се добави към аргумент на функция, не променя стойността на функцията.
Ще ви трябва
- Познания по елементарна математика и принципи на анализа.
Инструкции
Видео по темата
Моля, обърнете внимание
Всички тригонометрични функции са периодични, а всички полиномни функции със степен по-голяма от 2 са апериодични.
Полезни съвети
Периодът на функция, състояща се от две периодични функции, е най-малкото общо кратно на периодите на тези функции.
Ако разгледаме точки на окръжност, тогава точките x, x + 2π, x + 4π и т.н. съвпадат един с друг. По този начин, тригонометричен функциина права линия периодичноповторете значението им. Ако периодът е известен функции, можете да изградите функция върху този период и да я повторите върху други.
Инструкции
Нека е дадена функцията f(x) = sin^2(10x). Да разгледаме sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Използвайте формулата за намаляване: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. След това получавате 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) или cos 20x = cos (20x+20T). Като знаем, че периодът на косинуса е 2π, 20T = 2π. Това означава T = π/10. T е най-малкият период и функцията ще се повтори след 2T и след 3T и встрани по оста: -T, -2T и т.н.
Полезни съвети
Използвайте формули за намаляване на степента на функция. Ако вече знаете периодите на някоя функция, опитайте се да намалите съществуващата функция до познатите.
Извиква се функция, чиито стойности се повтарят след определено число периодичен. Тоест, без значение колко периода добавите към стойността на x, функцията ще бъде равна на същото число. Всяко изследване на периодични функции започва с търсене на най-малкия период, за да не се прави ненужна работа: достатъчно е да се изследват всички свойства на интервал, равен на периода.
Инструкции
В резултат на това ще получите определена самоличност, от която се опитайте да изберете минималния период. Например, ако получим равенството sin(2T)=0,5, следователно, 2T=P/6, тоест T=P/12.
Ако равенството се окаже вярно само когато T = 0 или параметърът T зависи от x (например се получава равенството 2T = x), приемете, че функцията не е периодична.
За да разберете най-краткия период функциисъдържащ само един тригонометричен израз, използвайте . Ако изразът съдържа sin или co, периодът за функциище бъде 2P, а за функциите tg, ctg задайте най-малкия период P. Моля, имайте предвид, че функцията не трябва да се повдига на никаква степен и променливата под знака функциине трябва да се умножава по число, различно от 1.
Ако cos или sin е вътре функцииповдигнат до равна степен, намалете периода на 2P наполовина. Графично можете да го видите така: функции, под оста x, ще се отрази симетрично нагоре, така че функцията ще се повтаря два пъти по-често.
За намиране на най-малкия период функциикато се има предвид, че ъгълът x е умножен по произволно число, процедирайте по следния начин: определете стандартния период на това функции(например за cos е 2P). След това го разделете преди променливата. Това ще бъде необходимият най-кратък период. Намаляването на периода е ясно видимо на графиката: то е точно толкова пъти, колкото ъгълът под тригонометричния знак е умножен по функции.
Ако вашият израз има две периодични функцииумножени един по друг, намерете най-малкия период за всеки поотделно. След това определете най-малкия общ множител за тях. Например, за периоди P и 2/3P най-малкият общ множител ще бъде 3P (той няма остатък както върху P, така и върху 2/3P).
Изчисляването на средната заплата на служителите е необходимо за изчисляване на обезщетения за временна нетрудоспособност и плащане на командировки. Средната заплата на специалистите се изчислява въз основа на действително отработеното време и зависи от заплатата, надбавките и бонусите, посочени в таблицата с персонала.
Минимум положителен период функциив тригонометрията се обозначава с f. Характеризира се с най-малката стойност на положителното число T, тоест по-малка стойност на T вече няма да бъде периодом функции .
Ще ви трябва
- – математически справочник.
Инструкции
1. Моля, имайте предвид, че периодичната функция не винаги има минимална коректност период. Така, например, като периоди непрекъснато функцииможе да има всяко число безусловно, което означава, че може да няма най-малкото положително периодА. Има и непостоянни период ical функции, които нямат най-малката правилна периодА. В повечето случаи обаче минимумът е правилен периодпри периодВсе още има някои ични функции.
2. минимум периодсинус е равен на 2?. Вижте примера за доказателство за това. функции y=sin(x). Нека T е произволно периодом синус, в този случай sin(a+T)=sin(a) за всяка стойност на a. Ако a=?/2, се оказва, че sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Но sin(x)=1 само в случай, когато x=?/2+2?n, където n е цяло число. От това следва, че T=2?n, което означава, че най-малката положителна стойност на 2?n е 2?.
3. Минимум правилно периодкосинус също е равен на 2?. Вижте примера за доказателство за това. функции y=cos(x). Ако T е произволно период om косинус, тогава cos(a+T)=cos(a). В случай, че a=0, cos(T)=cos(0)=1. С оглед на това най-малката положителна стойност на T, при която cos(x) = 1, е 2?.
4. Имайки предвид факта, че 2? – периодсинус и косинус, същата стойност ще бъде периодом котангенс, както и тангенс, обаче не са минимални, защото, както е известно, минималното е правилно периодтангенс и котангенс са равни?. Можете да проверите това, като разгледате следния пример: точките, съответстващи на числата (x) и (x+?) на тригонометричната окръжност, имат диаметрално противоположни места. Разстоянието от точка (x) до точка (x+2?) съответства на половин окръжност. По дефиниция на тангенс и котангенс tg(x+?)=tgx и ctg(x+?)=ctgx, което означава, че минимумът е правилен периодкотангенс и тангенс са равни?.
Периодична функция е функция, която повтаря стойностите си след някакъв ненулев период. Периодът на функция е число, което, когато се добави към аргумента на функция, не променя стойността на функцията.
Ще ви трябва
- Познания по елементарна математика и основен преглед.
Инструкции
1. Нека обозначим периода на функцията f(x) с числото K. Нашата задача е да открием тази стойност на K. За да направите това, представете си, че функцията f(x), използвайки дефиницията на периодична функция, приравняваме f(x+K)=f(x).
2. Решаваме полученото уравнение относно неизвестното K, сякаш x е константа. В зависимост от стойността на K ще има няколко опции.
3. Ако K>0 – това е периодът на вашата функция. Ако K=0 – тогава функцията f(x) не е периодична. Ако решението на уравнението f(x+K)=f(x) не съществува за всяко K, което не е равно на нула, тогава такава функция се нарича апериодична и тя също няма период.
Видео по темата
Обърнете внимание!
Всички тригонометрични функции са периодични, а всички полиномни функции със степен по-голяма от 2 са апериодични.
Полезни съвети
Периодът на функция, състояща се от 2 периодични функции, е най-малкото универсално кратно на периодите на тези функции.
Ако разгледаме точки на окръжност, тогава точките x, x + 2π, x + 4π и т.н. съвпадат един с друг. По този начин, тригонометричен функциина права линия периодичноповторете значението им. Ако периодът е известен функции, възможно е да се конструира функция върху този период и да се повтори върху други.
Инструкции
1. Периодът е число T, така че f(x) = f(x+T). За да намерите периода, решете съответното уравнение, като заместите x и x+T като аргумент. В този случай се използват предварително известните периоди за функции. За функциите синус и косинус периодът е 2π, а за тангенс и котангенс - π.
2. Нека е дадена функцията f(x) = sin^2(10x). Разгледайте израза sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Използвайте формулата, за да намалите степента: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. След това получавате 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) или cos 20x = cos (20x+20T). Като знаем, че периодът на косинуса е 2π, 20T = 2π. Това означава T = π/10. T е минималният правилен период и функцията ще се повтори след 2T и след 3T и в другата посока по оста: -T, -2T и т.н.
Полезни съвети
Използвайте формули за намаляване на степента на функция. Ако вече знаете периодите на някои функции, опитайте се да намалите съществуващата функция до известните.
Извиква се функция, чиито стойности се повтарят след определено число периодичен. Тоест, без значение колко периода добавите към стойността на x, функцията ще бъде равна на същото число. Всяко търсене на периодични функции започва с търсене на най-малкия период, за да не се извършва ненужна работа: достатъчно е да се проучат всички свойства на интервал, равен на периода.
Инструкции
1. Използвайте определението периодичен функции. Всички стойности x в функциизаменете с (x+T), където T е минималният период функции. Решете полученото уравнение, като считате T за неизвестно число.
2. В резултат на това ще получите определена самоличност, от която се опитайте да изберете най-малкия период. Да кажем, че ако получим равенството sin(2T)=0,5, следователно, 2T=P/6, тоест T=P/12.
3. Ако равенството се окаже правилно само когато T = 0 или параметърът T зависи от x (да речем се получава равенството 2T = x), заключете, че функцията не е периодична.
4. За да разберете минималния срок функциисъдържащ само един тригонометричен израз, използвайте правилото. Ако изразът съдържа sin или co, периодът за функциище бъде 2P, а за функциите tg, ctg задайте минималния период P. Моля, обърнете внимание, че функцията не трябва да се повдига на никаква степен и променливата под знака функциине трябва да се умножава по число, различно от 1.
5. Ако cos или sin е вътре функцииизграден до равномерна степен, намалете периода 2P наполовина. Графично можете да го видите така: графика функции, разположена под оста x, ще бъде симетрично отразена нагоре и следователно функцията ще се повтаря два пъти по-често.
6. За да намерите минималния период функциикато се има предвид, че ъгълът x е умножен по произволно число, продължете по следния начин: определете типичния период на това функции(да кажем, защото е 2P). След това го разделете на фактора пред променливата. Това ще бъде желаният минимален период. Намаляването на периода е ясно видимо на графиката: тя се компресира точно толкова пъти, колкото ъгълът под тригонометричния знак е умножен по функции .
7. Моля, обърнете внимание, че ако x е предшествано от дробно число, по-малко от 1, периодът се увеличава, т.е. графиката, напротив, се разтяга.
8. Ако вашият израз има две периодични функцииумножени един по друг, намерете минималния период за всеки поотделно. След това определете минималния универсален фактор за тях. Да кажем, че за периоди P и 2/3P минималният универсален фактор ще бъде 3P (дели се без остатък както на P, така и на 2/3P).
Изчисляването на средната заплата на служителите е необходимо за изчисляване на обезщетения за временна нетрудоспособност и плащане на командировки. Средните доходи на експертите се изчисляват въз основа на действително отработеното време и зависят от заплатата, надбавките и бонусите, посочени в таблицата с персонала.
Ще ви трябва
- – щатно разписание;
- - калкулатор;
- – дясно;
- – производствен календар;
- – график или отчет за завършена работа.
Инструкции
1. За да изчислите средната заплата на служител, първо определете периода, за който трябва да я изчислите. Както обикновено, този период е 12 календарни месеца. Но ако служител работи в предприятието по-малко от една година, например 10 месеца, тогава трябва да намерите средната печалба за времето, през което експертът изпълнява своята работна функция.
2. Сега определете размера на заплатите, които действително са му начислени за периода на фактуриране. За да направите това, използвайте фишове за заплати, според които на служителя са дадени всички дължими плащания. Ако е немислимо да използвате тези документи, тогава умножете месечната заплата, бонусите и надбавките по 12 (или броя на месеците, през които служителят е работил в предприятието, ако е бил нает в компанията по-малко от година ).
3. Изчислете средната си дневна печалба. За да направите това, разделете размера на заплатите за периода на фактуриране на средния брой дни в месеца (в момента той е 29,4). Разделете получената сума на 12.
4. След това определете броя на действително отработените часове. За да направите това, използвайте график за време. Този документ трябва да бъде попълнен от хронометрист, служител по персонала или друг служител, чиито служебни задължения включват това.
5. Умножете броя на действително отработените часове по средните дневни доходи. Получената сума е средната работна заплата на експерта за годината. Разделете общата сума на 12. Това ще бъде вашият среден месечен доход. Това изчисление се използва за служители, чиито заплати зависят от действително отработеното време.
6. Когато за служител е установено заплащане на парче, тогава умножете тарифната ставка (посочена в таблицата с персонала и определена от трудовия договор) по броя на произведените продукти (използвайте удостоверение за завършена работа или друг документ, в който това е записано).
Обърнете внимание!
Не бъркайте функциите y=cos(x) и y=sin(x) - имайки еднакъв период, тези функции се изобразяват по различен начин.
Полезни съвети
За по-голяма яснота начертайте тригонометрична функция, за която се изчислява минималният правилен период.
По Ваше желание!
7. Намерете най-малкия положителен период на функцията: y=2cos(0.2x+1).
Нека приложим правилото: ако функцията f е периодична и има период T, тогава функцията y=Af(kx+b), където A, k и b са постоянни, а k≠0 също е периодична и нейният период е T o = T: |k |.За нас T=2π е най-малкият положителен период на функцията косинус, k=0,2. Намираме T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. Разстоянието от точката, равноотдалечена от върховете на квадрата до неговата равнина, е 9 dm. Намерете разстоянието от тази точка до страните на квадрата, ако страната на квадрата е 8 dm.
10. Решете уравнението: 10=|5x+5x 2 |.
Тъй като |10|=10 и |-10|=10, тогава са възможни 2 случая: 1) 5x 2 +5x=10 и 2) 5x 2 +5x=-10. Разделете всяко от равенствата на 5 и решете получените квадратни уравнения:
1) x 2 +x-2=0, корени според теоремата на Виета x 1 =-2, x 2 =1. 2) x 2 + x + 2 = 0. Дискриминантът е отрицателен - няма корени.
11. Решете уравнението:
Към дясната страна на равенството прилагаме главното логаритмично тъждество:
Получаваме равенство:
Решаваме квадратното уравнение x 2 -3x-4=0 и намираме корените: x 1 =-1, x 2 =4.
13. Решете уравнението и намерете сумата от корените му на посочения интервал.
22. Решете неравенство:
Тогава неравенството ще приеме формата: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Линия y= а x+b е перпендикулярна на правата y=2x+3 и минава през точката C(4; 5). Съставете неговото уравнение. Директенy=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 са взаимно перпендикулярни, ако е изпълнено условието k 1 ∙k 2 =-1.От това следва, че А·2=-1. Желаната права линия ще изглежда така: y=(-1/2) x+b. Вместо това ще намерим стойността на b в уравнението на нашата права линия XИ приНека заместим координатите на точка С.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Тогава получаваме уравнението: y=(-1/2)x+7.
25. Четирима рибари A, B, C и D се похвалиха с улова си:
1. D е хванал повече от C;
2. Сборът от уловите A и B е равен на сбора от уловите C и D;
3. A и D заедно са уловили по-малко от B и C заедно. Запишете улова на рибарите в низходящ ред.
Ние имаме: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D Цел: обобщете и систематизирайте знанията на учениците по темата „Периодичност на функциите“; развиват умения за прилагане на свойствата на периодична функция, намиране на най-малкия положителен период на функция, конструиране на графики на периодични функции; насърчаване на интереса към изучаването на математика; култивирайте наблюдателност и точност. Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, карти със задачи, диапозитиви, часовници, таблици с орнаменти, елементи от народните занаяти „Математиката е това, което хората използват, за да контролират природата и себе си.“ Напредък на урока I. Организационен етап. Проверка на готовността на учениците за урока. Докладвайте темата и целите на урока. II. Проверка на домашните. Проверяваме домашните с помощта на проби и обсъждаме най-трудните точки. III. Обобщаване и систематизиране на знанията. 1. Устна фронтална работа. Теоретични въпроси. 1) Формирайте дефиниция на периода на функцията y=sin(x) = sin(x+360º) tg(x+π n)=tgx, n € Z sin(x+2π n)=sinx, n € Z 5) Как да начертая периодична функция? Устни упражнения. 1) Докажете следните отношения а) sin(740º) = sin(20º) 2. Докажете, че ъгъл от 540º е един от периодите на функцията y= cos(2x) 3. Докажете, че ъгъл от 360º е един от периодите на функцията y=tg(x) 4. Трансформирайте тези изрази така, че ъглите, включени в тях, да не надвишават 90º по абсолютна стойност. а) tg375º 5. Къде срещнахте думите ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТ? Отговори на учениците: Периодът в музиката е структура, в която е представена повече или по-малко завършена музикална мисъл. Геоложкият период е част от ера и е разделен на епохи с период от 35 до 90 милиона години. Време на полуразпад на радиоактивно вещество. Периодична дроб. Периодичните издания са печатни издания, които излизат в строго определени срокове. Периодичната система на Менделеев. 6. Фигурите показват части от графиките на периодични функции. Определете периода на функцията. Определете периода на функцията. отговор: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8. 7. Къде в живота си сте срещали изграждането на повтарящи се елементи? Отговор на ученик: Елементи на орнаменти, народно изкуство. IV. Колективно решаване на проблеми. (Решаване на задачи на слайдове.) Нека разгледаме един от начините за изследване на функция за периодичност. Този метод избягва трудностите, свързани с доказването, че даден период е най-малък, и също така елиминира необходимостта да се занимавате с въпроси относно аритметични операции върху периодични функции и периодичността на сложна функция. Разсъждението се основава само на дефиницията на периодична функция и на следния факт: ако T е периодът на функцията, тогава nT(n?0) е нейният период. Задача 1. Намерете най-малкия положителен период на функцията f(x)=1+3(x+q>5) Решение: Да приемем, че T-периодът на тази функция. Тогава f(x+T)=f(x) за всички x € D(f), т.е. 1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25) Нека сложим х=-0,25 и получаваме (T)=0<=>T=n, n € Z Получихме, че всички периоди на въпросната функция (ако съществуват) са сред целите числа. Нека изберем най-малкото положително число сред тези числа. това 1
. Да проверим дали наистина ще е период 1
. f(x+1) =3(x+1+0,25)+1 Тъй като (T+1)=(T) за всяко T, тогава f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), т.е. 1 – период f. Тъй като 1 е най-малкото от всички положителни числа, тогава T=1. Задача 2. Покажете, че функцията f(x)=cos 2 (x) е периодична и намерете главния й период. Задача 3. Намерете главния период на функцията f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x) Нека приемем T-периода на функцията, тогава за всеки Xсъотношението е валидно sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x) Ако x=0, тогава sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0 sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 Ако x=-T, тогава sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T) 5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T) – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 Събирайки го, получаваме: 10cos(0,75T)=10 2π
n, n € Z Нека изберем най-малкото положително число от всички „подозрителни” числа за периода и проверим дали то е период за f. Този номер f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x) Това означава, че това е основният период на функцията f. Задача 4. Да проверим дали функцията f(x)=sin(x) е периодична Нека T е периодът на функцията f. Тогава за всяко x sin|x+Т|=sin|x| Ако x=0, тогава sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z. Да предположим. Че за някое n числото π n е периодът разглежданата функция π n>0. Тогава sin|π n+x|=sin|x| Това означава, че n трябва да бъде както четно, така и нечетно число, но това е невъзможно. Следователно тази функция не е периодична. Задача 5. Проверете дали функцията е периодична f(x)= Тогава нека T е периодът на f Тъй като числителите са равни, знаменателите им също са равни, следователно Това означава, че функцията f не е периодична. Работа в групи. Задачи за 1 група. Задачи за 2 група. Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува). f(x)=cos(2x)+2sin(2x) Задачи за 3 група. В края на работата си групите представят своите решения. VI. Обобщаване на урока. Отражение. Учителят дава на учениците карти с рисунки и ги кара да нарисуват част от първия чертеж в съответствие със степента, в която смятат, че са усвоили методите за изучаване на функция за периодичност, а част от втория чертеж - в съответствие с техните принос към работата в урока. VII. домашна работа 1). Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува) б). f(x)=x 2 -2x+4 в). f(x)=2tg(3x+5) 2). Функцията y=f(x) има период T=2 и f(x)=x 2 +2x за x € [-2; 0]. Намерете стойността на израза -2f(-3)-4f(3,5) Литература/
А.Н. Колмогоров
2) Назовете най-малкия положителен период на функциите y=sin(x), y=cos(x)
3). Какъв е най-малкият положителен период на функциите y=tg(x), y=ctg(x)
4) С помощта на кръг докажете правилността на отношенията:
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
б) cos(54º) = cos(-1026º)
в) sin(-1000º) = sin(80º)
б) ctg530º
в) sin1268º
г) cos(-7363º)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
, следователно sinT=0, Т=π n, n € Z. Да приемем, че за някое n числото π n наистина е периодът на тази функция. Тогава числото 2π n ще бъде периодът
