Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Нека изучим функцията \(y= \frac(x^3)(1-x) \) и да изградим нейната графика.
1. Обхват на определението.
Областта на дефиниране на рационална функция (фракция) ще бъде: знаменателят не е равен на нула, т.е. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Домейн $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки на прекъсване на функцията и тяхната класификация.
Функцията има една точка на прекъсване x = 1
Нека разгледаме точката x= 1. Нека намерим границата на функцията отдясно и отляво на точката на прекъсване, отдясно $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ и вляво от точката $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Това е точка на прекъсване от втори род, защото едностранните граници са равни на \(\infty\).
Правата \(x = 1\) е вертикална асимптота.
3. Функционален паритет.
Проверяваме за паритет \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. Нули на функцията (пресечни точки с оста Ox). Интервали на постоянен знак на функция.
Функционални нули (точка на пресичане с оста Ox): приравняваме \(y=0\), получаваме \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Кривата има една пресечна точка с оста Ox с координати \((0;0)\).
Интервали на постоянен знак на функция.
На разглежданите интервали \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) кривата има една пресечна точка с оста Ox, така че ще разгледаме областта на дефиниране на три интервала.
Нека определим знака на функцията върху интервали от областта на дефиниция:
интервал \((-\infty; 0) \) намерете стойността на функцията във всяка точка \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 1) \) намираме стойността на функцията във всяка точка \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), на този интервал функцията е положително \(f(x ) > 0 \), т.е. се намира над оста Ox.
интервал \((1;+\infty) \) намерете стойността на функцията във всяка точка \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
5. Пресечни точки с оста Oy: приравняваме \(x=0\), получаваме \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Координати на пресечната точка с оста Oy \((0; 0)\)
6. Интервали на монотонност. Екстремуми на функция.
Нека намерим критичните (стационарни) точки, за това намираме първата производна и я приравняваме на нула $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ равно на 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Нека намерим стойността на функцията в тази точка \( f(0) = 0\) и \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Получихме две критични точки с координати \((0;0)\) и \((1.5;-6.75)\)
Интервали на монотонност.
Функцията има две критични точки (възможни точки на екстремум), така че ще разгледаме монотонността на четири интервала:
интервал \((-\infty; 0) \) намерете стойността на първата производна във всяка точка от интервала \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
интервал \((0;1)\) намираме стойността на първата производна във всяка точка от интервала \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , функцията нараства през този интервал.
интервал \((1;1.5)\) намираме стойността на първата производна във всяка точка от интервала \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , функцията нараства през този интервал.
интервал \((1,5; +\infty)\) намерете стойността на първата производна във всяка точка от интервала \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
Екстремуми на функция.
При изследване на функцията получихме две критични (стационарни) точки на интервала от областта на дефиниране. Нека да определим дали са крайности. Нека разгледаме промяната в знака на производната при преминаване през критични точки:
точка \(x = 0\) производната променя знака с \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - точката не е екстремум.
точка \(x = 1,5\) производната променя знака с \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - точката е максимална точка.
7. Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост. Инфлексни точки.
За да намерим интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост, намираме втората производна на функцията и я приравняваме на нула $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Приравняване на нула $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Функцията има една критична точка от втори вид с координати \((0;0)\) .
Нека дефинираме изпъкналост на интервали от областта на дефиниране, като вземем предвид критична точка от втори род (точка на възможна инфлексия).
интервал \((-\infty; 0)\) намерете стойността на втората производна във всяка точка \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 1)\) намираме стойността на втората производна във всяка точка \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), на този интервал втората производна на функцията е положителна \(f""(x) > 0 \) функцията е изпъкнала надолу (изпъкнала).
интервал \((1; \infty)\) намерете стойността на втората производна във всяка точка \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Инфлексни точки.
Нека разгледаме промяната в знака на втората производна при преминаване през критична точка от втори род:
В точката \(x =0\), втората производна променя знака с \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), графиката на функцията променя изпъкналостта, т.е. това е инфлексната точка с координати \((0;0)\).
8. Асимптоти.
Вертикална асимптота. Графиката на функцията има една вертикална асимптота \(x =1\) (вижте параграф 2).
Наклонена асимптота.
За да може графиката на функцията \(y= \frac(x^3)(1-x) \) при \(x \to \infty\) да има наклонена асимптота \(y = kx+b\) , то е необходимо и достатъчно, така че има две граници $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ние го намираме $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ и втората граница $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, защото \(k = \infty\) - няма наклонена асимптота.
Хоризонтална асимптота:за да съществува хоризонтална асимптота, е необходимо да има граница $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ нека я намерим $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Няма хоризонтална асимптота.
9. Функционална графика.
Изучаването на функция се извършва по ясна схема и изисква от ученика да има солидни познания по основни математически понятия като област на дефиниция и стойности, непрекъснатост на функцията, асимптота, точки на екстремум, паритет, периодичност и др. . Ученикът трябва да може свободно да диференцира функции и да решава уравнения, които понякога могат да бъдат много сложни.
Тоест тази задача тества значителен слой знания, всяка празнина в която ще се превърне в пречка за получаване на правилното решение. Особено често възникват трудности при конструирането на графики на функции. Тази грешка веднага се забелязва от учителя и може значително да повреди оценката ви, дори ако всичко останало е направено правилно. Тук можете да намерите онлайн проблеми с изследване на функцията: учебни примери, изтегляне на решения, поръчване на задачи.
Разгледайте функция и начертайте графика: примери и решения онлайн
Подготвили сме за вас много готови функционални изследвания, както платени в книгата с решения, така и безплатни в раздела Примери за функционални изследвания. На базата на тези решени задачи ще можете да се запознаете подробно с методиката за изпълнение на подобни задачи и да извършите своето изследване по аналогия.
Предлагаме готови примери за цялостно изследване и начертаване на функции от най-често срещаните видове: полиноми, дробно-рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични функции. Всяка решена задача е придружена от готова графика с подчертани ключови точки, асимптоти, максимуми и минимуми; решението се извършва чрез алгоритъм за изследване на функцията.
Във всеки случай решените примери ще ви бъдат от голяма полза, тъй като обхващат най-популярните видове функции. Предлагаме ви стотици вече решени задачи, но, както знаете, в света има безкраен брой математически функции, а учителите са страхотни експерти в измислянето на все по-сложни задачи за бедни ученици. Така че, скъпи ученици, квалифицираната помощ няма да ви навреди.
Решаване на проблеми с изследване на персонализирани функции
В този случай нашите партньори ще ви предложат друга услуга - пълнофункционално проучване онлайнда поръчам. Задачата ще бъде изпълнена за вас при спазване на всички изисквания за алгоритъм за решаване на подобни задачи, което много ще зарадва вашия учител.
Ние ще направим цялостно проучване на функцията вместо вас: ще намерим областта на дефиницията и областта на стойностите, ще проверим за непрекъснатост и прекъсване, ще установим паритет, ще проверим вашата функция за периодичност и ще намерим точките на пресичане с координатните оси . И, разбира се, допълнително използвайки диференциално смятане: ще намерим асимптоти, ще изчислим екстремуми, инфлексни точки и ще изградим самата графика.
Ако задачата изисква пълно изследване на функцията f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.
За да решите задача от този тип, трябва да използвате свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът на изследване включва следните стъпки:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Намиране на областта на дефиниция
Тъй като се провеждат изследвания в областта на дефиниране на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.
Пример 1
Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да бъдат изключени от ОДЗ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен от четна степен от тип g (x) 4 по неравенството g (x) ≥ 0, за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0.
Изследване на границите на ODZ и намиране на вертикални асимптоти
На границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.
Пример 2
Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2.
След това е необходимо да се изследва функцията за намиране на едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че правите линии x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.
Изследване на функция и дали е четна или нечетна
Когато условието y (- x) = y (x) е изпълнено, функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на Oy. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за нечетна. Това означава, че симетрията е относителна към началото на координатите. Ако поне едно неравенство не е изпълнено, получаваме функция от общ вид.
Равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на Oy.
За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване с условията f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, съответно.
Определение 1
Стационарни точки- това са точките, които превръщат производната в нула.
Критични точки- това са вътрешни точки от областта на дефиниране, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.
При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните бележки:
- за съществуващи интервали на нарастващи и намаляващи неравенства от вида f " (x) > 0, критичните точки не са включени в решението;
- точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на нарастване и намаляване (например y = x 3, където точката x = 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е включен в нарастващия интервал);
- За да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, препоръчана от Министерството на образованието.
Включване на критични точки в интервали на нарастване и намаляване, ако те удовлетворяват областта на дефиниране на функцията.
Определение 2
За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо да се намери:
- производно;
- критични точки;
- разделят областта на дефиниране на интервали, като използват критични точки;
- определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение, а - е намаление.
Пример 3
Намерете производната в областта на дефиницията f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 12 .
Решение
За да решите трябва:
- намерете стационарни точки, този пример има x = 0;
- намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойност нула при x = ± 1 2.
Поставяме точки върху числовата ос, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете всяка точка от интервала и да извършите изчислението. Ако резултатът е положителен, изобразяваме + на графиката, което означава, че функцията нараства, а - означава, че намалява.
Например f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, което означава, че първият интервал отляво има знак +. Помислете върху числовата ос.
Отговор:
- функцията нараства на интервала - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
- има намаляване на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .
На диаграмата с помощта на + и - са изобразени положителността и отрицателността на функцията, а стрелките показват намаляване и нарастване.
Точките на екстремум на функция са точките, в които функцията е дефинирана и през които производната променя знака.
Пример 4
Ако разгледаме пример, където x = 0, тогава стойността на функцията в него е равна на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и минава през точката x = 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минимална точка.
Изпъкналостта и вдлъбнатостта се определят чрез решаване на неравенства от формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. По-рядко се използва името изпъкналост надолу вместо вдлъбнатина и изпъкналост нагоре вместо изпъкналост.
Определение 3
За определяне на интервалите на вдлъбнатост и изпъкналостнеобходимо:
- намерете втората производна;
- намерете нулите на втората производна на функцията;
- разделете дефиниционната област на интервали с появяващите се точки;
- определяне на знака на интервала.
Пример 5
Намерете втората производна от областта на дефиницията.
Решение
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Намираме нулите на числителя и знаменателя, където в нашия пример имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2
Сега трябва да начертаете точките на числовата права и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Разбираме това
Отговор:
- функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
- функцията е вдлъбната от интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .
Определение 4
Инфлексна точка– това е точка от вида x 0 ; f (x 0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато премине през x 0, функцията променя знака на противоположния.
С други думи, това е точка, през която преминава втората производна и сменя знака, като в самите точки тя е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.
В примера беше ясно, че няма точки на инфлексия, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2. Те от своя страна не влизат в обхвата на определението.
Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти
Когато дефинирате функция в безкрайност, трябва да търсите хоризонтални и наклонени асимптоти.
Определение 5
Наклонени асимптотиса изобразени с помощта на прави линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.
За k = 0 и b, което не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтална.
С други думи, асимптотите се считат за линии, към които графиката на функция се приближава в безкрайност. Това улеснява бързото изграждане на функционална графика.
Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана и при двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията при тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.
Пример 6
Да разгледаме като пример това
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
е хоризонтална асимптота. След като разгледате функцията, можете да започнете да я конструирате.
Изчисляване на стойността на функция в междинни точки
За да направите графиката по-точна, се препоръчва да намерите няколко функционални стойности в междинни точки.
Пример 7
От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, т.е. получаваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Нека напишем и решим:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия и междинните точки, е необходимо да се построят асимптоти. За удобно обозначаване се записват интервали на нарастване, намаляване, изпъкналост и вдлъбнатина. Нека погледнем снимката по-долу.
Необходимо е да начертаете линии на графиката през маркираните точки, което ще ви позволи да се приближите до асимптотите, като следвате стрелките.
Това приключва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Проведете пълно проучване и начертайте графика на функцията
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Обхватът на функцията. Тъй като функцията е дроб, трябва да намерим нулите на знаменателя.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Изключваме единствената точка x=1x=1 от областта на дефиниране на функцията и получаваме:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване. Нека намерим едностранните ограничения:
Тъй като границите са равни на безкрайност, точката x=1x=1 е прекъсване от втори род, правата x=1x=1 е вертикална асимптота.
3) Нека определим пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.
Да намерим пресечните точки с ординатната ос OyOy, за които приравняваме x=0x=0:
Така точката на пресичане с оста OyOy има координати (0;8)(0;8).
Да намерим точките на пресичане с абсцисната ос OxOx, за които задаваме y=0y=0:
Уравнението няма корени, така че няма пресечни точки с оста OxOx.
Обърнете внимание, че x2+8>0x2+8>0 за всяко xx. Следователно, за x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), функцията y>0y>0 (приема положителни стойности, графиката е над оста x), за x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функцията не е нито четна, нито нечетна, защото:
5) Нека разгледаме функцията за периодичност. Функцията не е периодична, тъй като е дробна рационална функция.
6) Нека разгледаме функцията за екстремуми и монотонност. За да направим това, намираме първата производна на функцията:
Нека приравним първата производна на нула и намерим стационарни точки (при които y′=0y′=0):
Имаме три критични точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Нека разделим цялата област на дефиниране на функцията на интервали с тези точки и да определим знаците на производната във всеки интервал:
За x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производната y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
За x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производната y′>0y′>0, функцията нараства на тези интервали.
В този случай x=−2x=−2 е локална минимална точка (функцията намалява и след това нараства), x=4x=4 е локална максимална точка (функцията нараства и след това намалява).
Нека намерим стойностите на функцията в тези точки: 
Така минималната точка е (−2;4)(−2;4), максималната точка е (4;−8)(4;−8).
7) Нека разгледаме функцията за прегъвания и изпъкналост. Нека намерим втората производна на функцията:
Нека приравним втората производна на нула:
Полученото уравнение няма корени, така че няма инфлексни точки. Освен това, когато x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 е изпълнено, т.е. функцията е вдлъбната, когато x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) се удовлетворява от y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Нека разгледаме поведението на функцията в безкрайност, т.е.
Тъй като границите са безкрайни, няма хоризонтални асимптоти.
Нека се опитаме да определим наклонени асимптоти от формата y=kx+by=kx+b. Ние изчисляваме стойностите на k, bk, b, използвайки известни формули:
Открихме, че функцията има една наклонена асимптота y=−x−1y=−x−1.
9) Допълнителни точки. Нека изчислим стойността на функцията в някои други точки, за да построим по-точно графиката.
y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.
10) Въз основа на получените данни ще построим графика, ще я допълним с асимптоти x=1x=1 (синя), y=−x−1y=−x−1 (зелена) и ще отбележим характерните точки (лилаво пресичане с ординатата ос, оранжеви екстремуми, черни допълнителни точки):
Задача 4: Геометрични, Икономически задачи (нямам представа какви, ето приблизителна селекция от задачи с решения и формули) 
Пример 3.23. а
Решение. хИ г г
y = a - 2×a/4 =a/2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S " > 0 и за x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24.
Решение.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.Тъй като f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само при Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака си от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум при преминаване през точката x 2 = 3, производната променя знака си от минус към плюс, следователно в точката x 2 = 3 функцията има минимум, като изчисли стойностите на функцията в точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена от три страни с телена мрежа, а четвъртата страна да е в непосредствена близост до стената. За това има алинейни метри мрежа. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?
Решение.Нека означим страните на платформата с хИ г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам г- това е дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = x(a - 2x), където
0 ≤ x ≤ a/2 (дължината и ширината на подложката не могат да бъдат отрицателни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откъдето
y = a - 2×a/4 =a/2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S " > 0 и за x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16p ≈ 50 m 3 . Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), така че да се използва най-малко материал за производството му?
Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2pR(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Това означава S(R) = 2p(R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Свързана информация.