Предварителна информация
Периметърът на всяка плоска геометрична фигура в равнина се определя като сбор от дължините на всичките й страни. Триъгълникът не е изключение от това. Първо представяме понятието триъгълник, както и видовете триъгълници в зависимост от страните.
Определение 1
Триъгълник ще наричаме геометрична фигура, която е съставена от три точки, свързани една с друга с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
В рамките на Дефиниция 1 точките ще наричаме върховете на триъгълника.
Определение 3
В рамките на Дефиниция 1 отсечките ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.
В зависимост от отношението на страните една към друга триъгълниците се делят на мащабни, равнобедрени и равностранни.
Определение 4
Ще наречем триъгълник скален, ако нито една от страните му не е равна на друга.
Определение 5
Ще наречем триъгълник равнобедрен, ако две от страните му са равни една на друга, но не са равни на третата страна.
Определение 6
Ще наречем триъгълник равностранен, ако всичките му страни са равни една на друга.
Можете да видите всички видове тези триъгълници на фигура 2.
Как да намерим периметъра на скален триъгълник?
Нека ни е даден мащабен триъгълник, чиито дължини на страните са равни на $α$, $β$ и $γ$.
Заключение:За да намерите периметъра на скален триъгълник, трябва да съберете всички дължини на страните му заедно.
Пример 1
Намерете периметъра на скален триъгълник, равен на $34$ cm, $12$ cm и $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Отговор: $57$ cm.
Пример 2
Намерете периметъра на правоъгълен триъгълник, чийто катети са $6$ и $8$ cm.
Първо, нека намерим дължината на хипотенузите на този триъгълник с помощта на Питагоровата теорема. Тогава нека го означим с $α$
$α=10$ Съгласно правилото за изчисляване на периметъра на скален триъгълник получаваме
$P=10+8+6=24$ cm
Отговор: $24$ виж.
Как да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник?
Нека ни е даден равнобедрен триъгълник, дължините на страните ще бъдат равни на $α$, а дължината на основата ще бъде равна на $β$.
Като определяме периметъра на плоска геометрична фигура, получаваме това
$P=α+α+β=2α+β$
Заключение:За да намерите периметъра на равнобедрен триъгълник, добавете два пъти дължината на страните му към дължината на основата му.
Пример 3
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако страните му са $12$ cm, а основата му е $11$ cm.
От примера, обсъден по-горе, виждаме това
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Отговор: $35$ виж.
Пример 4
Намерете периметъра на равнобедрен триъгълник, ако неговата височина, прекарана към основата, е $8$ cm, а основата е $12$ cm.
Нека да разгледаме чертежа според условията на проблема:
Тъй като триъгълникът е равнобедрен, $BD$ също е медианата, следователно $AD=6$ cm.
Използвайки Питагоровата теорема, от триъгълника $ADB$ намираме страничната страна. Тогава нека го означим с $α$
Според правилото за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник получаваме
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Отговор: $32$ виж.
Как да намерите периметъра на равностранен триъгълник?
Нека ни е даден равностранен триъгълник, чиито дължини на всички страни са равни на $α$.
Като определяме периметъра на плоска геометрична фигура, получаваме това
$P=α+α+α=3α$
Заключение:За да намерите периметъра на равностранен триъгълник, умножете дължината на страната на триъгълника по $3$.
Пример 5
Намерете периметъра на равностранен триъгълник, ако страната му е $12$ cm.
От примера, обсъден по-горе, виждаме това
$P=3\cdot 12=36$ cm
Периметърът е сумата от всички страни на фигура. Тази характеристика, заедно с площта, е еднакво търсена за всички фигури. Формулата за периметъра на равнобедрен триъгълник логично следва от неговите свойства, но формулата не е толкова сложна, колкото придобиването и затвърждаването на практически умения.
Формула за изчисляване на периметър
Страничните страни на равнобедрен триъгълник са равни една на друга. Това произтича от дефиницията и е ясно видимо дори от името на фигурата. Именно от това свойство произтича формулата за периметъра:
P=2a+b, където b е основата на триъгълника, a е стойността на страната.
Ориз. 1. Равнобедрен триъгълник
От формулата става ясно, че за намиране на периметъра е достатъчно да знаете размера на основата и една от страните. Разгледайте няколко задачи за намиране на периметъра на равнобедрен триъгълник. Ще решаваме проблеми с нарастването на тяхната сложност, това ще ни позволи да разберем по-добре начина на мислене, който трябва да следваме, за да намерим периметъра.
Проблем 1
- В равнобедрен триъгълник основата е 6, а надморската височина, прекарана към тази основа, е 4. Необходимо е да се намери периметърът на фигурата.
Ориз. 2. Чертеж към задача 1
Надморската височина на равнобедрен триъгълник, начертана към основата, също е медиана и надморска височина. Това свойство се използва много често при решаване на задачи, включващи равнобедрени триъгълници.
Триъгълник ABC с височина BM е разделен на два правоъгълни триъгълника: ABM и BCM. В триъгълник ABM катетът BM е известен, катетът AM е равен на половината от основата на триъгълник ABC, тъй като BM е медианата на ъглополовящата и височината. Използвайки Питагоровата теорема, намираме стойността на хипотенузата AB.
$$АВ^2=AM^2+BM^2$$
$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$
Нека намерим периметъра: P=AC+AB*2=6+5*2=16
Проблем 2
- В равнобедрен триъгълник надморската височина, начертана към основата, е 10, а острият ъгъл при основата е 30 градуса. трябва да намерите периметъра на триъгълника.
Ориз. 3. Чертеж към задача 2
Тази задача се усложнява от липсата на информация за страните на триъгълника, но, знаейки стойността на височината и ъгъла, в правоъгълния триъгълник ABH можете да намерите крака AH и тогава решението ще следва същия сценарий, както в проблем 1.
Нека намерим AH чрез стойността на синуса:
$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - синусът от 30 градуса е таблична стойност.
Нека изразим търсената страна:
$$AB=((BH\над (1\над 2))) =BH*2=10*2=20$$
Използвайки котангенса, намираме стойността на AH:
$$ctg(BAH)=(AH\над BH)=(1\над\sqrt(3))$$
$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - закръглете получената стойност до най-близката стотна.
Нека намерим основата:
AC=AH*2=17,32*2=34,64
След като всички необходими стойности са намерени, нека определим периметъра:
P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64
Проблем 3
- Равнобедреният триъгълник ABC има площ $$16\over\sqrt(3)$$ и остър ъгъл в основата 30 градуса. Намерете периметъра на триъгълника.
Стойностите в условието често се дават като произведение на корена и числото. Това се прави, за да се защити последващото решение възможно най-много от грешки. По-добре е да закръглите резултата в края на изчисленията
При тази формулировка на проблема може да изглежда, че няма решения, тъй като е трудно да се изрази една от страните или височината от наличните данни. Нека се опитаме да го решим по различен начин.
Нека означим височината и половината от основата с латински букви: BH=h и AH=a
Тогава основата ще бъде равна на: AC=AH+HC=AH*2=2a
Област: $$S=(1\над 2)*AC*BH=(1\над 2)*2a*h=ah$$
От друга страна, стойността на h може да бъде изразена от триъгълника ABH по отношение на тангенса на острия ъгъл. Защо допирателна? Защото в триъгълника ABH вече сме обозначили два катета a и h. Едното трябва да се изрази чрез другото. Два катета заедно свързват тангенса и котангенс. Традиционно котангенсът и косинусът се използват само ако тангенсът или синусът не пасват. Това не е правило, можете да решите както ви е удобно, просто е прието.
$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$
$$h=(a\over\sqrt(3))$$
Нека заместим получената стойност във формулата за площ.
$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$
Нека изразим a:
$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$
Заместете стойността на a във формулата за площ и определете стойността на височината:
$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$
$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2,31$$- получена стойност Нека заобиколим до най-близката стотна.
Използвайки Питагоровата теорема, намираме страничната страна на триъгълника:
$$AB^2=AH^2+BH^2$$
$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2,31^2)=4,62$$
Нека заместим стойностите във формулата за периметър:
P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24
Какво научихме?
Разбрахме подробно всички тънкости на намирането на периметъра на равнобедрен триъгълник. Решихме три задачи с различно ниво на сложност, като показахме с пример как се решават типични задачи за решаване на равнобедрен триъгълник.
Тест по темата
Рейтинг на статията
Среден рейтинг: 4.4. Общо получени оценки: 83.
Периметър на триъгълник, както при всяка фигура, се нарича сбор от дължините на всички страни. Доста често тази стойност помага да се намери площта или се използва за изчисляване на други параметри на фигурата.
Формулата за периметъра на триъгълник изглежда така:
Пример за изчисляване на периметъра на триъгълник. Нека е даден триъгълник със страни a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Заместете данните във формулата: cm
Формула за изчисляване на периметър равнобедрен триъгълникще изглежда така:
Формула за изчисляване на периметър равностранен триъгълник:
Пример за изчисляване на периметъра на равностранен триъгълник. Когато всички страни на една фигура са равни, те могат просто да се умножат по три. Да предположим, че ни е даден правилен триъгълник със страна 5 cm в този случай: cm
Като цяло, след като всички страни са дадени, намирането на периметъра е доста просто. В други ситуации трябва да намерите размера на липсващата страна. В правоъгълен триъгълник можете да намерите третата страна по Питагорова теорема. Например, ако дължините на краката са известни, тогава можете да намерите хипотенузата, като използвате формулата: 
Нека разгледаме пример за изчисляване на периметъра на равнобедрен триъгълник, при условие че знаем дължината на катетите в правоъгълен равнобедрен триъгълник.
Даден е триъгълник с катети a =b =5 cm. Първо, нека намерим липсващата страна c. см
Сега нека изчислим периметъра: cm
Периметърът на правоъгълен равнобедрен триъгълник ще бъде 17 cm.
В случай, че са известни хипотенузата и дължината на единия крак, можете да намерите липсващия по формулата: 
Ако хипотенузата и един от острите ъгли са известни в правоъгълен триъгълник, тогава липсващата страна се намира с помощта на формулата.
Всеки триъгълник е равен на сбора от дължините на трите му страни. Обща формула за намиране на периметъра на триъгълници:
П = а + b + ° С
Където Пе периметърът на триъгълника, а, bИ ° С- неговите страни.
Можете да го намерите, като добавите последователно дължините на страните му или като умножите дължината на страната по 2 и добавите дължината на основата към продукта. Общата формула за намиране на периметъра на равнобедрени триъгълници ще изглежда така:
П = 2а + b
Където Пе периметърът на равнобедрен триъгълник, а- която и да е от страните, b- база.
Можете да го намерите, като добавите последователно дължините на страните му или като умножите дължината на която и да е от страните му по 3. Общата формула за намиране на периметъра на равностранен триъгълник ще изглежда така:
П = 3а
Където Пе периметър на равностранен триъгълник, а- която и да е от страните му.
Квадрат
За да измерите площта на триъгълник, можете да го сравните с успоредник. Помислете за триъгълник ABC:
Ако вземете равен на него триъгълник и го поставите така, че да получите успоредник, ще получите успоредник със същата височина и основа като дадения триъгълник:
В този случай общата страна на сгънатите заедно триъгълници е диагоналът на образувания успоредник. От свойствата на успоредниците е известно, че диагоналът винаги разделя успоредника на два равни триъгълника, което означава, че площта на всеки триъгълник е равна на половината от площта на успоредника.
Тъй като площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината му, площта на триъгълника ще бъде равна на половината от този продукт. Така че за Δ ABCплощта ще бъде равна
Сега разгледайте правоъгълен триъгълник:
Два равни правоъгълни триъгълника могат да бъдат сгънати в правоъгълник, като се постави хипотенузата им една срещу друга. Тъй като площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни, площта на даден триъгълник е:
От това можем да заключим, че площта на всеки правоъгълен триъгълник е равна на произведението на краката, разделено на 2.
От тези примери можем да заключим, че Площта на всеки триъгълник е равна на произведението от дължината на основата и височината на основата, разделено на 2. Общата формула за намиране на площта на триъгълниците ще изглежда така:
| С = | ах а |
| 2 |
Където Се площта на триъгълника, а- неговата основа, з а- височина спусната до основата а.