>> Фаза на трептене
§ 23 ФАЗА НА ТРЕПТЕНИЯ
Нека въведем още една величина, характеризираща хармоничните трептения - фазата на трептенията.
За дадена амплитуда на трептенията, координатата на осцилиращото тяло във всеки момент се определя еднозначно от аргумента косинус или синус:
Величината под знака на функцията косинус или синус се нарича фаза на трептене, описана от тази функция. Фазата се изразява в ъглови единици радиани.
Фазата определя не само стойността на координатата, но и стойността на други физични величини, като скорост и ускорение, които също се променят по хармоничен закон. Следователно можем да кажем, че фазата определя, за дадена амплитуда, състоянието на трептящата система във всеки момент. Това е значението на понятието фаза.
Трептения с еднакви амплитуди и честоти могат да се различават по фаза.
Съотношението показва колко периода са изминали от началото на колебанието. Всяка времева стойност t, изразена в броя на периодите T, съответства на фазова стойност, изразена в радиани. И така, след време t = (четвърт от период), след половин период =, след цял период = 2 и т.н.
Можете да изобразите на графика зависимостта на координатите на осцилираща точка не от времето, а от фазата. Фигура 3.7 показва същата косинусова вълна като на фигура 3.6, но на хоризонталната ос са нанесени различни фазови стойности вместо време.
Представяне на хармонични вибрации с помощта на косинус и синус. Вече знаете, че по време на хармонични вибрации координатите на тялото се променят във времето според закона на косинуса или синуса. След като представихме понятието фаза, ще се спрем на това по-подробно.
Синусът се различава от косинуса чрез изместване на аргумента с , което съответства, както може да се види от уравнение (3.21), на период от време, равен на една четвърт от периода:
Но в този случай началната фаза, т.е. стойността на фазата в момент t = 0, не е равна на нула, а .
Обикновено ние възбуждаме трептения на тяло, закрепено към пружина, или трептения на махало, като извадим тялото на махалото от равновесното му положение и след това го освободим. Изместването от равновесие е максимално в началния момент. Следователно, за да се опишат колебанията, е по-удобно да се използва формула (3.14), използваща косинус, отколкото формула (3.23), използваща синус.
Но ако възбудим трептения на тяло в покой с краткотраен тласък, тогава координатата на тялото в началния момент ще бъде равна на нула и би било по-удобно да се опишат промените в координатата във времето с помощта на синус , т.е. по формулата
x = x m sin t (3.24)
тъй като в този случай началната фаза е нула.
Ако в началния момент от време (при t = 0) фазата на трептенията е равна на , тогава уравнението на трептенията може да бъде написано във формата
x = x m sin(t + )
Фазово изместване. Трептенията, описани с формули (3.23) и (3.24), се различават едно от друго само във фазите. Фазовата разлика или, както често се казва, фазовото изместване на тези трептения е . Фигура 3.8 показва графики на координатите спрямо времето на трептенията, изместени по фаза с . Графика 1 съответства на колебания, които възникват според синусоидалния закон: x = x m sin t, а графика 2 съответства на колебания, които възникват според косинусния закон:
За да се определи фазовата разлика между две трептения, и в двата случая осцилиращата величина трябва да се изрази чрез една и съща тригонометрична функция - косинус или синус.
1. Какви трептения се наричат хармонични!
2. Как са свързани ускорението и координатата при хармонични трептения!
3. Как са свързани цикличната честота на трептенията и периода на трептене?
4. Защо честотата на трептене на тяло, прикрепено към пружина, зависи от неговата маса, но честотата на трептене на математическото махало не зависи от масата!
5. Какви са амплитудите и периодите на три различни хармонични трептения, чиито графики са представени на фигури 3.8, 3.9!
Но защото завоите се изместват в пространството, тогава индуцираният в тях ЕМП няма да достигне амплитуда и нулеви стойности едновременно.
В началния момент от време ЕМП на завоя ще бъде:
В тези изрази ъглите се наричат фаза , или фаза . Ъглите се наричат начална фаза . Фазовият ъгъл определя стойността на ЕДС във всеки момент, а началната фаза определя стойността на ЕДС в началния момент.
Разликата в началните фази на две синусоидални величини с еднаква честота и амплитуда се нарича фазов ъгъл
Разделяйки фазовия ъгъл на ъгловата честота, получаваме времето, изминало от началото на периода:
Графично представяне на синусоидални величини
U = (U 2 a + (U L - U c) 2)
По този начин, поради наличието на ъгъл на фазово изместване, напрежението U винаги е по-малко от алгебричната сума U a + U L + U C. Разликата U L - U C = U p се нарича компонент на реактивното напрежение.
Нека разгледаме как се променят токът и напрежението в последователна верига с променлив ток.
Импеданс и фазов ъгъл.Ако заместим стойностите U a = IR във формула (71); U L = lL и U C =I/(C), тогава имаме: U = ((IR) 2 + 2), от което получаваме формулата за закона на Ом за последователна верига с променлив ток:
I = U / ((R 2 + 2)) = U / Z (72)
Къде Z = (R 2 + 2) = (R 2 + (X L - X c) 2)
Стойността Z се нарича импеданс на веригата, измерва се в ома. Разликата L - l/(C) се нарича реактивно съпротивление на веригатаи се означава с буквата X. Следователно общото съпротивление на веригата
Z = (R 2 + X 2)
Връзката между активния, реактивния и импеданса на верига с променлив ток може също да се получи с помощта на Питагоровата теорема от съпротивителния триъгълник (фиг. 193). Триъгълникът на съпротивлението A'B'C' може да се получи от триъгълника на напрежението ABC (виж фиг. 192,b), ако разделим всичките му страни на тока I.
Ъгълът на фазовото изместване се определя от връзката между отделните съпротивления, включени в дадена верига. От триъгълник A’B’C (виж фиг. 193) имаме:
грях? = X/Z; защото? = R/Z; tg? = X/R
Например, ако активното съпротивление R е значително по-голямо от реактивното съпротивление X, ъгълът е относително малък. Ако веригата има голямо индуктивно или голямо капацитивно съпротивление, тогава ъгълът на фазово изместване се увеличава и се доближава до 90 °. В същото време, ако индуктивното съпротивление е по-голямо от капацитивното съпротивление, напрежението и води тока i под ъгъл; ако капацитивното съпротивление е по-голямо от индуктивното съпротивление, тогава напрежението изостава от тока i с ъгъл.
Идеален индуктор, истинска бобина и кондензатор във верига с променлив ток.
Истинската намотка, за разлика от идеалната, има не само индуктивност, но и активно съпротивление, следователно, когато в нея протича променлив ток, това е придружено не само от промяна на енергията в магнитното поле, но и от преобразуването на електрическото енергия в друга форма. По-конкретно, в жицата на намотката електрическата енергия се преобразува в топлина в съответствие със закона на Ленц-Джаул.
По-рано беше установено, че във верига с променлив ток процесът на преобразуване на електрическата енергия в друга форма се характеризира с активна мощност на веригата P , а промяната в енергията в магнитното поле е реактивна мощност Q .
В една реална намотка протичат и двата процеса, т.е. нейните активна и реактивна мощност са различни от нула. Следователно една реална намотка в еквивалентната схема трябва да бъде представена от активни и реактивни елементи.
Докато изучавате този раздел, моля, имайте предвид това флуктуацииот различно физическо естество се описват от общи математически позиции. Тук е необходимо ясно да се разберат такива понятия като хармонично трептене, фаза, фазова разлика, амплитуда, честота, период на трептене.
Трябва да се има предвид, че във всяка реална трептителна система има съпротивление на средата, т.е. трептенията ще бъдат затихващи. За характеризиране на затихването на трептенията се въвеждат коефициент на затихване и логаритмичен декремент на затихване.
Ако колебанията възникват под въздействието на външна, периодично променяща се сила, тогава такива колебания се наричат принудителни. Те ще бъдат незаглушени. Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила. Когато честотата на принудителните трептения се доближава до честотата на собствените трептения, амплитудата на принудителните трептения рязко нараства. Това явление се нарича резонанс.
Когато преминавате към изучаването на електромагнитните вълни, трябва ясно да разберете товаелектромагнитна вълнае електромагнитно поле, разпространяващо се в пространството. Най-простата система, излъчваща електромагнитни вълни, е електрически дипол. Ако един дипол претърпява хармонични трептения, тогава той излъчва монохроматична вълна.
Таблица с формули: трептения и вълни
|
Физически закони, формули, променливи |
Трептене и вълнови формули |
||||||
|
Уравнение на хармоничните вибрации: където x е изместването (отклонението) на флуктуиращото количество от равновесното положение; А - амплитуда; ω - кръгова (циклична) честота; α - начална фаза; (ωt+α) - фаза. |
|||||||
|
Връзка между период и кръгова честота: |
|||||||
|
Честота: |
|||||||
|
Връзка между кръгова честота и честота: |
|||||||
|
Периоди на собствени трептения 1) пружинно махало: където k е твърдостта на пружината; 2) математическо махало: където l е дължината на махалото, g - ускорение на свободно падане; 3) колебателна верига: където L е индуктивността на веригата, C е капацитетът на кондензатора. |
|
||||||
|
Естествена честота: |
|||||||
|
Събиране на трептения със същата честота и посока: 1) амплитуда на полученото трептене където A 1 и A 2 са амплитудите на компонентите на вибрациите, α 1 и α 2 - начални фази на компонентите на вибрациите; 2) началната фаза на полученото трептене |
|
||||||
|
Уравнение на затихналите трептения: e = 2,71... - основата на естествените логаритми. |
|
||||||
|
Амплитуда на затихналите трептения: където A 0 е амплитудата в началния момент от време; β - коефициент на затихване; |
|
||||||
|
Коефициент на затихване: трептящо тяло където r е коефициентът на съпротивление на средата, m - телесно тегло; колебателна верига където R е активно съпротивление, L е индуктивността на веригата. |
|||||||
|
Честота на затихналите трептения ω: |
|
||||||
|
Период на затихнали трептения T: |
|
||||||
|
Логаритмичен декремент на затихване: |
|
||||||
|
Връзка между логаритмичния декремент χ и коефициента на затихване β: |
Моля, форматирайте го според правилата за форматиране на статията.
Илюстрация на фазовата разлика между две трептения с еднаква честота
Фаза на трептене- физична величина, използвана предимно за описание на хармонични или близки до хармонични трептения, вариращи с времето (най-често нарастващи равномерно с времето), при дадена амплитуда (за затихнали трептения - при дадена начална амплитуда и коефициент на затихване), която определя състоянието на осцилаторната система във (всеки) даден момент от времето. Също така се използва за описание на вълни, предимно монохроматични или близки до монохроматични.
Фаза на трептене(в телекомуникациите за периодичен сигнал f(t) с период T) е дробната част t/T от периода T, с която t се измества спрямо произволен произход. За начало на координатите обикновено се счита моментът на предишния преход на функцията през нула в посока от отрицателни към положителни стойности.
В повечето случаи се говори за фаза във връзка с хармонични (синусоидални или въображаеми експоненциални) трептения (или монохроматични вълни, също синусоидални или въображаеми експоненциални).
За такива колебания:
, , ,или вълни
Например, вълни, разпространяващи се в едномерно пространство: , , , или вълни, разпространяващи се в триизмерно пространство (или пространство с всяко измерение): , , ,
фазата на трептене се определя като аргумент на тази функция(една от изброените, във всеки случай от контекста е ясно коя), описваща хармоничен колебателен процес или монохроматична вълна.
Тоест за фазата на трептене
,за вълна в едномерно пространство
,за вълна в триизмерно пространство или пространство от всяко друго измерение:
,където е ъгловата честота (колкото по-висока е стойността, толкова по-бързо фазата нараства с времето), t- време, - фаза при t=0 - начална фаза; к- вълново число, х- координирам, к- вълнов вектор, х- набор от (декартови) координати, характеризиращи точка в пространството (радиус вектор).
Фазата се изразява в ъглови единици (радиани, градуси) или в цикли (части от период):
1 цикъл = 2 радиана = 360 градуса.
- Във физиката, особено при писане на формули, радианното представяне на фазата се използва предимно (и по подразбиране) нейното измерване в цикли или периоди (с изключение на словесни формулировки) обикновено е доста рядко, но измерването в градуси се среща доста често (; очевидно като изключително ясен и не водещ до объркване, тъй като е обичайно никога да не се пропуска знакът за степен нито в реч, нито в писмена форма), особено често в инженерни приложения (като електротехника).
Понякога (в полукласическото приближение, където се използват вълни, близки до монохроматични, но не и строго монохроматични, както и във формализма на интеграла по пътя, където вълните могат да бъдат далеч от монохроматични, въпреки че все още са подобни на монохроматични) се разглежда фазата в зависимост от времето и пространствените координати не като линейна функция, а като основно произволна функция от координати и време:
Свързани термини
Ако две вълни (две трептения) напълно съвпадат една с друга, те казват, че вълните са разположени във фаза. Ако моментите на максимума на едно трептене съвпадат с моментите на минимума на друго трептене (или максимумите на една вълна съвпадат с минимумите на друга), те казват, че трептенията (вълните) са в противофаза. Освен това, ако вълните са еднакви (по амплитуда), в резултат на добавяне се получава тяхното взаимно унищожаване (точно, пълно - само ако вълните са едноцветни или поне симетрични, ако приемем, че средата на разпространение е линейна и т.н.).
Действие
Една от най-фундаменталните физични величини, върху които се изгражда съвременното описание на почти всяка достатъчно фундаментална физическа система - действието - по смисъла си е фаза.
Бележки
Фондация Уикимедия.
2010 г.
Периодично променящ се аргумент на функцията, описваща трептенето. или вълни. процес. В хармонично трептения u(x,t)=Acos(wt+j0), където wt+j0=j f.c., A амплитуда, w кръгова честота, t време, j0 начална (фиксирана) f.c. (в момент t =0,… … Физическа енциклопедия
фаза на трептене- (φ) Аргумент на функция, описваща величина, която се променя според закона за хармоничното трептене. [GOST 7601 78] Теми: оптика, оптични инструменти и измервания Общи термини за трептения и вълни EN фаза на трептене DE Schwingungsphase FR… … Ръководство за технически преводачФаза - Фаза. Трептения на махала в една и съща фаза (а) и противофаза (б); f е ъгълът на отклонение на махалото от равновесното положение. ФАЗА (от гръцката фаза външен вид), 1) определен момент в развитието на всеки процес (социален, ... ... Илюстрован енциклопедичен речник
- (от гръцката фаза външен вид), 1) определен момент в развитието на всеки процес (социален, геоложки, физически и др.). Във физиката и техниката фазата на трептене е състоянието на трептителния процес при определено... ... Съвременна енциклопедия
- (от гръцки phasis външен вид) ..1) определен момент от развитието на всеки процес (социален, геоложки, физически и др.). Във физиката и техниката фазата на трептене е състоянието на трептителния процес при определено... ... Голям енциклопедичен речник
Фаза (от гр. phasis √ поява), период, етап от развитието на дадено явление; вижте също фаза, фаза на трептене... Велика съветска енциклопедия
Y; и. [от гръцки фаза поява] 1. Отделен етап, период, етап от развитието на който л. явление, процес и др. Основните фази на развитието на обществото. Фази на процеса на взаимодействие между флората и фауната. Влезте в своя нов, решителен,... Енциклопедичен речник
Определение
Начална фаза на трептенее параметър, който заедно с амплитудата на трептене определя началното състояние на трептящата система. Стойността на началната фаза е зададена в началните условия, тоест при $t=0$ c.
Нека разгледаме хармоничните трептения на някакъв параметър $\xi $. Хармоничните вибрации се описват с уравнението:
\[\xi =A(\cos ((\omega )_0t+\varphi)\ )\ \left(1\right),\]
където $A=(\xi )_(max)$ е амплитудата на трептенията; $(\omega )_0$ - циклична (кръгова) честота на трептене. Параметърът $\xi $ се намира в $-A\le \xi \le $+A.
Определяне на фазата на трептене
Целият аргумент на периодичната функция (в този случай косинус: $\ ((\omega )_0t+\varphi)$), който описва осцилаторния процес, се нарича фаза на трептене. Големината на фазата на трептене в началния момент от време, т.е. при $t=0$, ($\varphi $) се нарича начална фаза. Няма установено обозначение на фазата; имаме началната фаза, обозначена като $\varphi$. Понякога, за да се подчертае, че началната фаза се отнася до момента от време $t=0$, индексът 0 се добавя към буквата, обозначаваща началната фаза, например $(\varphi )_0.$.
Мерната единица за началната фаза е ъгловата единица – радиан (рад) или градус.
Начална фаза на трептенията и начин на възбуждане на трептенията
Да приемем, че при $t=0$ изместването на системата от равновесното положение е равно на $(\xi )_0$, а началната скорост е $(\dot(\xi ))_0$. Тогава уравнение (1) приема формата:
\[\xi \left(0\right)=A(\cos \varphi =\ )(\xi )_0\left(2\right);;\] \[\ \frac(d\xi )(dt) =-A(\omega )_0(\sin \varphi =\ )(\dot(\xi ))_0\до -A(\sin \varphi =\frac((\dot(\xi ))_0)(( \omega )_0)\ )\ \left(3\right).\]
Нека поставим на квадрат двете уравнения (2) и ги съберем:
\[(\xi )^2_0+(\left(\frac((\dot(\xi ))_0)((\omega )_0)\right))^2=A^2\left(4\right). \]
От израз (4) имаме:
Разделяме уравнение (3) на (2), получаваме:
Изразите (5) и (6) показват, че началната фаза и амплитуда зависят от началните условия на трептенията. Това означава, че амплитудата и началната фаза зависят от метода на възбуждане на трептенията. Например, ако тежестта на пружинно махало се отклони от равновесното си положение на разстояние $x_0$ и се освободи без тласък, тогава уравнението на движение на махалото е:
с начални условия:
При такова възбуждане трептенията на пружинно махало могат да бъдат описани с израза:
Добавяне на трептения и начална фаза
Вибриращо тяло е способно да участва в няколко колебателни процеса едновременно. В този случай става необходимо да се установи каква ще бъде получената флуктуация.
Да приемем, че по една права линия възникват две трептения с равни честоти. Уравнението на получените трептения ще бъде изразът:
\[\xi =(\xi )_1+(\xi )_2=A(\cos \left((\omega )_0t+\varphi \right),\ )\]
тогава амплитудата на общото трептене е равна на:
където $A_1$; $A_2$ - амплитуди на сгъваеми трептения; $(\varphi )_2;;(\varphi )_1$ - начални фази на сумирани трептения. В този случай началната фаза на полученото трептене ($\varphi $) се изчислява по формулата:
Уравнение на траекторията на точка, участваща в две взаимно перпендикулярни трептения с амплитуди $A_1$ и $A_2$ и начални фази $(\varphi )_2 и (\varphi )_1$:
\[\frac(x^2)(A^2_1)+\frac(y^2)(A^2_2)-\frac(2xy)(A_1A_2)(\cos \left((\varphi )_2-(\ varphi )_1\right)\ )=(sin)^2\left((\varphi )_2-(\varphi )_1\right)\left(12\right).\]
В случай на равенство на началните фази на компонентите на трептене, уравнението на траекторията има формата:
което показва движението на точка по права линия.
Ако разликата в началните фази на добавените трептения е $\Delta \varphi =(\varphi )_2-(\varphi )_1=\frac(\pi )(2),$ уравнението на траекторията става формулата:
\[\frac(x^2)(A^2_1)+\frac(y^2)(A^2_2)=1\left(14\right),\]
което означава, че траекторията на движение е елипса.
Примери за задачи с решения
Пример 1
Упражнение.Трептенията на пружинния осцилатор се възбуждат от тласък от равновесно положение, докато на товара се дава моментна скорост, равна на $v_0$. Запишете началните условия за такова колебание и функцията $x(t)$, която описва тези колебания.
Решение.Придаването на мигновена скорост на лостчето на пружинно махало, равна на $v_0$, означава, че когато се описват неговите трептения с помощта на уравнението:
първоначалните условия ще бъдат:
Замествайки $t=0$ в израз (1.1), имаме:
Тъй като $A\ne 0$, тогава $(\cos \left(\varphi \right)\ )=0\to \varphi =\pm \frac(\pi )(2).$
Нека вземем първата производна $\frac(dx)(dt)$ и заместим момента от време $t=0$:
\[\dot(x)\left(0\right)=-A(\omega )_(0\ )(\sin \left(\varphi \right)\ )=v_0\до A=\frac(v_0) ((\omega )_(0\ ))\ \left(1.4\right).\]
От (1.4) следва, че началната фаза е $\varphi =-\frac(\pi )(2).$ Нека заместим получената начална фаза и амплитуда в уравнение (1.1):
отговор.$x(t)=\frac(v_0)((\omega )_(0\ ))(\sin (\ )(\omega )_0t)$
Пример 2
Упражнение.Добавят се две трептения в една и съща посока. Уравненията на тези трептения имат формата: $x_1=(\cos \pi (t+\frac(1)(6))\ ;;\ x_2=2(\cos \pi (t+\frac(1)(2) )\ )$. Каква е началната фаза на полученото трептене?
Решение.Нека напишем уравнението на хармоничните вибрации по оста X:
Нека преобразуваме уравненията, посочени в постановката на проблема, в същата форма:
\;;\ x_2=2(\cos \left[\pi t+\frac(\pi )(2)\right](2.2).\ )\]
Сравнявайки уравнения (2.2) с (2.1), намираме, че началните фази на трептенията са равни на:
\[(\varphi )_1=\frac(\pi )(6);;\ (\varphi )_2=\frac(\pi )(2).\]
Нека изобразим на фиг. 1 векторна диаграма на трептенията.
$tg\ \varphi $ на общите трептения може да се намери от Фиг. 1:
\ \[\varphi =arctg\ \left(2.87\right)\approx 70.9()^\circ \]
отговор.$\varphi =70.9()^\circ $