Какво е разстоянието между две прави. Общинска образователна институция "Упшинская основна гимназия"

Разстояние

от точка до линия

Разстояние между успоредни прави

Геометрия 7 клас

Към учебника на Л.С.Атанасян

учител по математика най-висока категория

Общинска образователна институция "Упшинская основна гимназия"

Област Орша на Република Марий Ел


Перпендикулярна дължина начертан от точка до линия, Наречен разстояние от тази точка до прав.

АН ⏊ А

М є a, M е различно от N

Перпендикулярен , начертан от точка до линия, по-малко всякакви наклонен , начертан от същата точка към тази права.

сутринта – наклонен, начертан от точка А до линия а

АНсутринта

АН - наклонен

АНАН

АНАК

АК - наклонен


Разстояние от точка до линия

М

Разстоянието от точка M до права c е...

н

Разстоянието от точка N до права c е...

с

Разстоянието от точка K до права c е...

К

Разстоянието от точка F до права c е...

Е


Разстояние от точка до линия

АН ⏊ А

АН= 5,2 см

VC ⏊ А

VC= 2,8 см


Теорема.

Всички точки на всяка от двете успоредни прави са на еднакво разстояние от другата права

Дадено: а ǁ b

А е а, Б е а,

Докажете: разстоянията от точки A и B до права a са равни.

АН ⏊ b, BK ⏊ б,

Докажете: AH = BK

Δ ANK = ΔVKA(Защо?)

От равенството на триъгълниците следва AN = BK

Разстоянието от произволна точка на една от успоредните прави до друга права се нарича разстояние между тези прави.


Обратна теорема.

Всички точки от равнината, разположени от едната страна на дадена права и на еднакво разстояние от нея, лежат на права, успоредна на дадената.

АН ⏊ b, BK ⏊ б,

АH = BK

Докажете: AB ǁ b

Δ ANK = ΔKVA(Защо?)

От равенството на триъгълниците следва … , но това са образувани вътрешни напречни ъгли … , означава АВ ǁ НК


Какво е разстоянието между правите b и c, ако разстоянието между правите Аи b е равно на 4, и между редовете Аи c е равно на 5?

А ǁ b ǁ ° С

Какво е разстоянието между правите b и a, ако разстоянието между правите b и c е 7, а между правите Аи c е равно на 2?

Какво е разстоянието между линиите Аи c, ако разстоянието между линиите b и c е 10, и между линиите bИ ае равно на 6?


Какво е множеството от всички точки в равнина, които са на еднакво разстояние от две дадени успоредни прави?

А ǁ b

Отговор: Права, успоредна на тези прави и разположена на еднакво разстояние от тях.


Какво е множеството от всички точки на равнина, разположени на дадено разстояние от дадена права?

Отговор: Две прави, успоредни на дадена права и разположени на дадено разстояние от противоположните й страни.

О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да преминем към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : Моля, запомнете математическия знак за пресичане, той ще се появява много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има число „ламбда“, така че равенствата да са изпълнени

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалено с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на „ламбда“, че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически задачи можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в клас Концепцията за линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .


, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са или успоредни, или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число като цяло го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В тази връзка не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставим друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

За незнание на тази най-проста задача Славеят Разбойник наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Примерната геометрия изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Вижте двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е много познат от училищната програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точка , тогава неговите координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето геометричен смисъл на система от две линейни уравнения с две неизвестни- това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените неговите координати във всяко уравнение на линията; С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графично решение системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че ще отнеме време, за да се създаде правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Ето защо е по-целесъобразно пресечната точка да се търси с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете подходящи умения, вземете урок Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Запишете уравнението на правата линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия, използвайки точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и с помощта скаларно произведение на вектористигаме до извода, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за устно изпълнение.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. В проблема има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде да се движите перпендикулярно. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислявате обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Разбор в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Нека разгледаме две прави линии, определени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане в градуси и радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и „отвиването“ на ъгъла започва именно с нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .


Тази статия се фокусира върху намирането на разстоянието между пресичащите се линии с помощта на метода на координатите. Първо се дава дефиницията на разстоянието между пресичащите се линии. След това се получава алгоритъм, който позволява да се намери разстоянието между пресичащите се линии. В заключение решението на примера е анализирано подробно.

Навигация в страницата.

Разстояние между пресичащи се линии - определение.

Преди да дадем дефиницията на разстоянието между косите линии, нека си припомним определението за коси линии и да докажем теорема, свързана с косите линии.

Определение.

- това е разстоянието между една от пресичащите се прави и успоредна на нея равнина, минаваща през другата права.

От своя страна разстоянието между права линия и равнина, успоредна на нея, е разстоянието от някаква точка на правата линия до равнината. Тогава е валидна следната формулировка на дефиницията на разстоянието между пресичащите се линии.

Определение.

Разстояние между пресичащите се линиие разстоянието от определена точка на една от пресичащите се прави до равнина, минаваща през друга права, успоредна на първата права.

Да разгледаме пресичащите се прави a и b. Нека отбележим определена точка M 1 на права a, начертайте равнина, успоредна на права a през права b, и от точка M 1 спуснете перпендикуляр M 1 H 1 към равнината. Дължината на перпендикуляра M 1 H 1 е разстоянието между пресечните прави a и b.

Намиране на разстояние между пресичащи се прави - теория, примери, решения.

Когато се намира разстоянието между пресичащите се линии, основната трудност често е да се види или конструира сегмент, чиято дължина е равна на желаното разстояние. Ако е конструиран такъв сегмент, тогава, в зависимост от условията на проблема, неговата дължина може да бъде намерена с помощта на питагоровата теорема, знаци за равенство или сходство на триъгълници и др. Това правим, когато намираме разстоянието между пресичащите се прави в уроците по геометрия в 10-11 клас.

Ако Oxyz се въведе в триизмерно пространство и в него са дадени пресичащи се прави a и b, тогава методът на координатите ни позволява да се справим със задачата да изчислим разстоянието между дадени пресичащи се линии. Нека го разгледаме подробно.

Нека е равнина, минаваща през права b, успоредна на права a. Тогава търсеното разстояние между пресичащите се прави a и b по дефиниция е равно на разстоянието от някаква точка M 1, лежаща на правата a, до равнината. По този начин, ако определим координатите на определена точка M 1, лежаща на права a, и получим нормалното уравнение на равнината във формата, тогава можем да изчислим разстоянието от точката към равнината с помощта на формулата (тази формула е получена в статията за намиране на разстоянието от точка до равнина). И това разстояние е равно на необходимото разстояние между пресичащите се линии.

Сега по-подробно.

Задачата се свежда до получаване на координатите на точката M 1, лежаща на правата a, и намиране на нормалното уравнение на равнината.

Няма трудности при определянето на координатите на точка M 1, ако знаете добре основните видове уравнения на права линия в пространството. Но си струва да се спрем по-подробно на получаването на уравнението на равнината.

Ако определим координатите на определена точка M 2, през която минава равнината, и също така получим нормалния вектор на равнината във формата , тогава можем да напишем общото уравнение на равнината като .

Като точка M 2 можете да вземете всяка точка, лежаща на правата b, тъй като равнината минава през правата b. По този начин координатите на точка M 2 могат да се считат за намерени.

Остава да се получат координатите на нормалния вектор на равнината. Хайде да го направим.

Равнината минава през права b и е успоредна на права a. Следователно нормалният вектор на равнината е перпендикулярен както на насочващия вектор на правата a (нека го обозначим), така и на насочващия вектор на правата b (нека го обозначим). Тогава можем да вземем и като вектор, т.е. След определяне на координатите и насочващите вектори на прави линии a и b и изчисление , ще намерим координатите на нормалния вектор на равнината.

И така, имаме общото уравнение на равнината: .

Остава само да се приведе общото уравнение на равнината в нормална форма и да се изчисли необходимото разстояние между пресичащите се линии a и b по формулата.

По този начин, за да намерите разстоянието между пресичащите прави a и b, трябва:

Нека разгледаме решението на примера.

Пример.

В тримерното пространство в правоъгълната координатна система Oxyz са дадени две пресичащи се прави a и b. Определя се правата a

Не беше минала дори минута, преди да създам нов Verd файл и да продължа толкова увлекателна тема. Трябва да уловите моменти на работно настроение, така че няма да има лирично въведение. Ще има прозаично напляскване =)

Две прави интервали могат:

1) кръстосване;

2) пресичат се в точката ;

3) да са успоредни;

4) мач.

Случай №1 е коренно различен от останалите случаи. Две прави се пресичат, ако не лежат в една равнина. Повдигнете едната си ръка нагоре и протегнете другата напред - ето пример за пресичане на линии. В точки No 2-4 трябва да лежат правите линии в една равнина.

Как да разберете относителните позиции на линиите в пространството?

Помислете за две директни пространства:

– права линия, определена от точка и насочващ вектор;
– права линия, определена от точка и насочващ вектор.

За по-добро разбиране, нека направим схематичен чертеж:

Чертежът показва пресичащи се прави линии като пример.

Как да се справим с тези прави линии?

Тъй като точките са известни, лесно е да се намери векторът.

Ако прав кръстосвам се, след това векторите не компланарни(вижте урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите), и следователно детерминантата, съставена от техните координати, е различна от нула. Или, което всъщност е същото, ще бъде различно от нула: .

В случаите № 2-4 нашата структура „попада” в една равнина, а векторите компланарен, а смесеното произведение на линейно зависими вектори е равно на нула: .

Нека разширим алгоритъма допълнително. Нека се преструваме, че Следователно, линиите или се пресичат, или са успоредни, или съвпадат.

Ако векторите на посоката колинеарен, тогава правите са или успоредни, или съвпадащи. За финалния пирон предлагам следната техника: вземете произволна точка от една линия и заменете нейните координати в уравнението на втората линия; ако координатите „пасват“, значи линиите съвпадат; ако „не пасват“, значи линиите са успоредни.

Алгоритъмът е прост, но практическите примери ще помогнат:

Пример 11

Намерете относителната позиция на две линии

Решение: както в много геометрични задачи, удобно е решението да се формулира точка по точка:

1) Изваждаме точките и векторите на посоката от уравненията:

2) Намерете вектора:

По този начин векторите са копланарни, което означава, че линиите лежат в една и съща равнина и могат да се пресичат, да са успоредни или да съвпадат.

4) Нека проверим насочващите вектори за колинеарност.

Нека създадем система от съответните координати на тези вектори:

от всекиуравнения следва, че следователно системата е последователна, съответните координати на векторите са пропорционални и векторите са колинеарни.

Заключение: линиите са успоредни или съвпадат.

5) Разберете дали правите имат общи точки. Нека вземем точка, принадлежаща на първата права и заместим нейните координати в уравненията на правата:

Така правите нямат общи точки и нямат друг избор освен да бъдат успоредни.

Отговор:

Интересен пример за самостоятелно решаване:

Пример 12

Разберете относителните позиции на линиите

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, имайте предвид, че вторият ред има буквата като параметър. Логично. В общия случай това са две различни линии, така че всяка линия има свой собствен параметър.

И отново ви призовавам да не пропускате примерите, задачите, които предлагам, далеч не са случайни ;-)

Проблеми с линия в пространството

В последната част на урока ще се опитам да разгледам максимален брой различни задачи с пространствени линии. В този случай ще бъде спазен първоначалният ред на историята: първо ще разгледаме проблеми с пресичащи се линии, след това с пресичащи се линии и накрая ще говорим за успоредни линии в пространството. Въпреки това трябва да кажа, че някои задачи от този урок могат да бъдат формулирани за няколко случая на разположение на редовете наведнъж и в тази връзка разделянето на раздела на параграфи е донякъде произволно. Има по-прости примери, има и по-сложни примери и дано всеки намери това, което му трябва.

Пресичане на линии

Нека ви напомня, че правите се пресичат, ако няма равнина, в която да лежат и двете. Когато обмислях практиката, ми хрумна проблем с чудовището и сега се радвам да представя на вашето внимание дракон с четири глави:

Пример 13

Дадени прави линии. Задължително:

а) докажете, че правите се пресичат;

б) намерете уравненията на права, минаваща през точка, перпендикулярна на дадените прави;

в) съставете уравнения на права, която съдържа общ перпендикулярпресичане на линии;

г) намерете разстоянието между линиите.

Решение: Който върви, ще овладее пътя:

а) Нека докажем, че правите се пресичат. Нека намерим точките и насочващите вектори на тези прави:

Нека намерим вектора:

Нека изчислим смесено произведение на вектори:

По този начин векторите не компланарни, което означава, че линиите се пресичат, което трябваше да се докаже.

Вероятно всички отдавна са забелязали, че за пресичане на линии алгоритъмът за проверка е най-краткият.

б) Намерете уравненията на правата, която минава през точката и е перпендикулярна на правите. Нека направим схематичен чертеж:

За разнообразие пуснах директно ЗАДправ, вижте как е малко изтрит на местата за пресичане. Кръстосване? Да, като цяло, правата линия „de“ ще бъде пресечена с оригиналните прави линии. Въпреки че не се интересуваме от този момент, просто трябва да изградим перпендикулярна линия и това е всичко.

Какво се знае за директното „де“? Точката, която му принадлежи, е известна. Няма достатъчно водещ вектор.

Съгласно условието правата линия трябва да е перпендикулярна на правите линии, което означава, че нейният насочващ вектор ще бъде ортогонален на насочващите вектори. Вече познати от Пример № 9, нека намерим векторното произведение:

Нека съставим уравненията на правата линия „de“, като използваме точка и вектор на посоката:

Готов. По принцип можете да промените знаците в знаменателите и да запишете отговора във формуляра , но няма нужда от това.

За да проверите, трябва да замените координатите на точката в получените уравнения за права линия, след което да използвате скаларно произведение на векториуверете се, че векторът е наистина ортогонален на насочващите вектори „pe one“ и „pe two“.

Как да намерим уравненията на права, съдържаща общ перпендикуляр?

в) Този проблем ще бъде по-труден. Препоръчвам на глупаците да пропуснат тази точка, не искам да охладя искрената ви симпатия към аналитичната геометрия =) Между другото, може би е по-добре за по-подготвените читатели също да издържат, факт е, че по отношение на сложността примерът трябва да се постави последно в статията, но по логиката на изложение трябва да се намира тук.

И така, трябва да намерите уравненията на права, която съдържа общия перпендикуляр на косите прави.

- това е сегмент, свързващ тези линии и перпендикулярен на тези линии:

Ето го нашия красавец: - общ перпендикуляр на пресичащи се линии. Той е единственият. Няма друг като него. Трябва да създадем уравнения за правата, която съдържа този сегмент.

Какво се знае за директното „хм“? Неговият вектор на посоката е известен, намерен в предишния параграф. Но, за съжаление, ние не знаем нито една точка, принадлежаща на правата линия „em“, нито знаем краищата на перпендикуляра – точките . Къде тази перпендикулярна права пресича двете оригинални прави? В Африка, в Антарктида? От първоначалния преглед и анализ на състоянието изобщо не става ясно как да се реши проблема... Но има един хитър трик, свързан с използването на параметрични уравнения на права линия.

Ще формулираме решението точка по точка:

1) Нека пренапишем уравненията на първия ред в параметрична форма:

Нека разгледаме въпроса. Не знаем координатите. НО. Ако една точка принадлежи на дадена права, тогава нейните координати съответстват на , нека я означим с . Тогава координатите на точката ще бъдат записани във формата:

Животът се подобрява, едно неизвестно все още не е три неизвестни.

2) Същото безобразие трябва да се извърши и по втора точка. Нека пренапишем уравненията на втория ред в параметрична форма:

Ако точка принадлежи на дадена права, тогава с много конкретно значениенеговите координати трябва да отговарят на параметричните уравнения:

Или:

3) Вектор, подобно на намерения по-рано вектор, ще бъде насочващият вектор на правата линия. Как да построим вектор от две точки се обсъждаше в незапомнени времена в клас Вектори за манекени. Сега разликата е, че координатите на векторите се записват с неизвестни стойности на параметрите. Какво от това? Никой не забранява изваждането на съответните координати на началото на вектора от координатите на края на вектора.

Има две точки: .

Намиране на вектора:

4) Тъй като векторите на посоката са колинеарни, един вектор се изразява линейно през другия с определен коефициент на пропорционалност „ламбда“:

Или координата по координата:

Оказа се най-обикновен система от линейни уравненияс три неизвестни, което е стандартно разрешимо, например Методът на Крамер. Но тук е възможно да излезем с малка загуба от третото уравнение, ние ще изразим „ламбда“ и ще го заместим в първото и второто уравнения:

По този начин: и нямаме нужда от „ламбда“. Фактът, че стойностите на параметрите се оказаха еднакви, е чисто случайно.

5) Небето се изчиства напълно, нека заменим намерените стойности към нашите точки:

Векторът на посоката не е особено необходим, тъй като неговият аналог вече е намерен.

Винаги е интересно да се провери след дълго пътуване.

:

Получават се правилните равенства.

Нека заместим координатите на точката в уравненията :

Получават се правилните равенства.

6) Финален акорд: нека създадем уравненията на права линия с помощта на точка (можете да я вземете) и вектор на посоката:

По принцип можете да изберете „добра“ точка с непокътнати координати, но това е козметика.

Как да намерим разстоянието между пресичащите се линии?

г) Отрязваме четвъртата глава на дракона.

Метод първи. Дори не метод, а малък частен случай. Разстоянието между пресичащите се прави е равно на дължината на общия им перпендикуляр: .

Крайни точки на общия перпендикуляр намерени в предишния параграф и задачата е елементарна:

Метод втори. На практика най-често краищата на общия перпендикуляр са неизвестни, затова се използва различен подход. През две пресичащи се прави линии могат да се начертаят паралелни равнини, като разстоянието между тези равнини е равно на разстоянието между тези прави линии. По-специално, между тези равнини стърчи общ перпендикуляр.

В хода на аналитичната геометрия, от горните съображения, се извежда формула за намиране на разстоянието между пресичащи се прави линии:
(вместо нашите точки „хм едно, две“ можете да вземете произволни точки от линии).

Смесено произведение на векторивече се намира в точка "а": .

Векторно произведение на векторинамерени в параграф "бъди": , нека изчислим дължината му:

По този начин:

Нека гордо да покажем трофеите в един ред:

Отговор:
а) , което означава, че правите се пресичат, което трябваше да се докаже;
б) ;
V) ;
G)

Какво друго можете да кажете за пресичането на линии? Между тях има определен ъгъл. Но ще разгледаме формулата за универсален ъгъл в следващия параграф:

Пресичащите се прави пространства задължително лежат в една и съща равнина:

Първата мисъл е да се облегнете на пресечната точка с цялата си сила. И веднага си помислих, защо да се лишаваш от правилните желания?! Нека се хванем върху нея веднага!

Как да намерим пресечната точка на пространствените линии?

Пример 14

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Нека пренапишем уравненията на линиите в параметрична форма:

Тази задача беше обсъдена подробно в Пример № 7 от този урок (вж. Уравнения на права в пространството). И между другото, взех самите прави линии от пример № 12. Няма да лъжа, мързи ме да измислям нови.

Решението е стандартно и вече е срещано, когато се опитвахме да намерим уравненията за общия перпендикуляр на пресичащи се прави.

Пресечната точка на линиите принадлежи на линията, следователно нейните координати удовлетворяват параметричните уравнения на тази линия и съответстват на тях много специфична стойност на параметъра:

Но същата тази точка също принадлежи към втория ред, следователно:

Ние приравняваме съответните уравнения и извършваме опростявания:

Получава се система от три линейни уравнения с две неизвестни. Ако правите се пресичат (което е доказано в пример № 12), то системата задължително е непротиворечива и има единствено решение. Може да се реши Метод на Гаус, но няма да съгрешим с такъв фетишизъм в детската градина, ще го направим по-просто: от първото уравнение изразяваме „те нула“ и го заместваме във второто и третото уравнения:

Последните две уравнения се оказаха по същество еднакви и от тях следва, че . Тогава:

Нека заместим намерената стойност на параметъра в уравненията:

Отговор:

За да проверим, заместваме намерената стойност на параметъра в уравненията:
Получиха се същите координати, които трябваше да бъдат проверени. Внимателните читатели могат да заменят координатите на точката в оригиналните канонични уравнения на линиите.

Между другото, беше възможно да се направи обратното: да се намери точката чрез „es zero“ и да се провери чрез „te zero“.

Известно математическо суеверие гласи: където се говори за пресичане на прави, винаги мирише на перпендикуляри.

Как да построим линия на пространството, перпендикулярна на дадена?

(линиите се пресичат)

Пример 15

а) Запишете уравненията на права, минаваща през точка, перпендикулярна на правата (линиите се пресичат).

б) Намерете разстоянието от точката до правата.

Забележка : клауза „линии се пресичат“ – значително. През точката
можете да начертаете безкраен брой перпендикулярни линии, които ще се пресичат с правата линия "el". Единственото решение се получава в случай, че се начертае права линия, перпендикулярна на дадена точка дведадена с права линия (виж Пример № 13, точка „б”).

а) Решение: Означаваме неизвестната линия с . Нека направим схематичен чертеж:

Какво се знае за правата линия? Според условието се дава точка. За да се съставят уравненията на права линия, е необходимо да се намери векторът на посоката. Векторът е доста подходящ като такъв вектор, така че ще се занимаваме с него. По-точно, нека вземем неизвестния край на вектора за врата.

1) Нека извадим вектора на посоката от уравненията на правата линия "el" и пренапишем самите уравнения в параметрична форма:

Мнозина предположиха, че сега за трети път по време на урока магьосникът ще извади бял лебед от шапката си. Помислете за точка с неизвестни координати. Тъй като точката е , нейните координати удовлетворяват параметричните уравнения на правата „el“ и отговарят на определена стойност на параметъра:

Или в един ред:

2) Според условието линиите трябва да са перпендикулярни, следователно техните насочващи вектори са ортогонални. И ако векторите са ортогонални, тогава техните скаларно произведениее равно на нула:

Какво стана? Най-простото линейно уравнение с едно неизвестно:

3) Стойността на параметъра е известна, нека намерим точката:

И векторът на посоката:
.

4) Нека съставим уравненията на права линия, използвайки точка и насочващ вектор :

Знаменателите на пропорцията се оказаха дробни и това е точно случаят, когато е подходящо да се отървете от дроби. Просто ще ги умножа по -2:

Отговор:

Забележка : по-строг завършек на решението е формализиран, както следва: нека съставим уравненията на права линия, използвайки точка и вектор на посоката . Наистина, ако един вектор е водещият вектор на права линия, тогава колинеарният вектор естествено също ще бъде водещият вектор на тази права линия.

Проверката се състои от два етапа:

1) проверете векторите на посоката на линиите за ортогоналност;

2) заместваме координатите на точката в уравненията на всяка линия, те трябва да „пасват“ и там, и там.

Говореше се много за типични действия, така че проверих черновата.

Между другото, забравих още една точка - да построя точка "zyu", симетрична на точката "en" спрямо правата линия "el". Има обаче добър „плосък аналог“, който може да се намери в статията Най-прости задачи с права на равнина. Тук единствената разлика ще бъде в допълнителната координата "Z".

Как да намерим разстоянието от точка до права в пространството?

б) Решение: Да намерим разстоянието от точка до права.

Метод първи. Това разстояние е точно равно на дължината на перпендикуляра: . Решението е очевидно: ако точките са известни , Че:

Метод втори. В практическите задачи основата на перпендикуляра често е запечатана тайна, така че е по-рационално да се използва готова формула.

Разстоянието от точка до права се изразява по формулата:
, където е насочващият вектор на правата линия „el“, и – Безплатноточка, принадлежаща на дадена права.

1) От уравненията на правата изваждаме вектора на посоката и най-достъпната точка.

2) Точката е известна от условието, изострете вектора:

3) Да намерим векторен продукти изчислете дължината му:

4) Изчислете дължината на водещия вектор:

5) Така разстоянието от точка до линия:

Конспект на урока

Теорема за сумата на триъгълния ъгъл

1. Пълно име: Сайфетдинова Гульнара Василевна

2. Месторабота: Общинска бюджетна образователна институция "Князевска гимназия" на Тукаевски район на Република Татарстан

3. Длъжност: учител по математика

4. Вещ: геометрия

5. Клас: 7 клас

6. Тема на урока: Разстояние от точка до права. Разстояние между успоредни прави.

7. Основен урок: Геометрия.7-9 клас: учебник за образователни институции / автор. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б. Кадомцев и др., 2010

8.Цели:

Цел на дейността:създават условия за самостоятелно формулиране и доказване на свойствата на наклонени и перпендикулярни, спуснати от точка към права, теоремата за равното разстояние на точките върху успоредни прави; организира дейността на учениците за възприемане, разбиране и първоначално консолидиране на нови знания и методи на дейност.

Образователна цел:

Предмет:

    прилагат понятията разстояние от точка до права, разстояние между прави при решаване на задачи

Метасубект:

Регулаторен UUD:

Когнитивно UUD:

UUD за комуникация:

Персонален UUD:

10. Методи на обучение: проблемно, изследване.
11.Форми за организиране на учебната дейност: фронтални, групови, двойки, индивидуални, тренировъчни структури.

12. Оборудване, технически условия:

Компютър, проектор, екран, Интернет, софтуер: Microsoft Power Point, места в класа - 4 човека на маса.

13.Продължителност на урока: 45 минути

14. План на урока

аз . Организиране на времето.

II . Актуализиране на знанията.

III . Поставяне на цел на урока . Въвеждане на нов материал.

VI. Обобщаване. Отражение.

аз . Организиране на времето.

Мишена: подготовка на учениците за работа, активизиране на вниманието за бързо включване в дейностите.

Учител : Здравейте момчета? Как се чувстваш? Да го отгледаме и да започнем урока с усмивка! Да се ​​усмихнем на лицето на партньора! Да се ​​усмихнем на рамото на нашия партньор!

II . Актуализиране на знанията.

Учител : Вече шест месеца изучавате нов предмет по геометрия и вероятно знаете какво е теорема. Какви методи за доказване познавате?

Възможни отговори на учениците: Метод чрез противоречие, конструктивен метод, метод на доказателство, базиран на аксиоми и предварително доказани теореми (слайд № 2).

Учител: Момчета, какви асоциации имате с думата разстояние?

Възможни отговори на учениците: Разстоянието между градовете, разстоянието между стълбовете, разстоянието от нещо до нещо (слайд номер 3).

Учител: Какво е разстоянието между две точки?

Възможни отговори на учениците: Дължина на секцията (слайд номер 4).

Учител: Направете запис в технологичната карта в параграф 1

Учител: Моля, имайте предвид, че в геометрията разстоянието се отнася до най-късото разстояние. Направете запис в технологичната карта в параграф 2

Учител: Какво може да се каже за взаимното разположение на правата AN и правата a?

Учител: Как се наричат ​​тези линии?

Учител: А Какво е името на сегмента AN?

Учител: Запомнете: перпендикулярът е отсечка. Направете запис в технологичната карта в параграф 3.

III. Поставяне на целта на урока.Въвеждане на нов материал.

Учител: Практическа задача:

В полето сме, през полето минава път. Начертайте математически модел на ситуацията. Трябва да тръгнем по пътя. Начертайте траекторията (слайд № 6).

Учител: Как може да се дефинира тази траектория на математически език? Възможни отговори на учениците: Перпендикулярен

Учител: Защо не? –

Опитайте да му дадете име (слайд номер 7).

Възможни отговори на учениците: Наклонени.

Учител: Колко наклонени линии могат да бъдат начертани от тази точка?

Възможни отговори на учениците: Няколко.

(слайд номер 7).

Учител: Значи смятате, че най-краткият път е перпендикуляр? Докажи го.

Учител: Сега докажете, че всяка наклонена права е по-голяма от перпендикулярна права.

Какво виждаме на снимката?

Възможни отговори на учениците: правоъгълен триъгълник (слайд № 8).

Учител: Как се казват перпендикулярът и косият в този триъгълник? Възможни отговори на учениците: катет и хипотенуза.

Учител: Защо хипотенузата е по-голяма от катета?

Възможни отговори на учениците: Срещу по-големия ъгъл е по-голямата страна. Най-големият ъгъл в правоъгълен триъгълник е прав ъгъл. Срещу нея лежи хипотенузата.

Учител. Как иначе можете да наречете сегмент AC? Ами ако се върнем към съдържанието на задачата?

Възможни отговори на учениците: Разстояние от точка до линия .

Учител: Формулирайте определението: „Разстоянието от точка до права е... (дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка до правата)“ (слайд № 9). Направете запис в технологичната карта в параграф 4.

Учител: Практическа задача.

Намерете разстоянието от точка B до правата A д ИDC с помощта на чертожен триъгълник и линийка (слайд № 10) точка 6

Учител: Практическа задача. Построете две успоредни прави a и b. На линия a маркирайте точка A. Пуснете перпендикуляр от точка A на линия b. Поставете точка B в основата на перпендикуляра.

Какво можете да кажете за сегмента AB? (слайд номер 11).

Тя е перпендикулярна както на права a, така и на права b.

Учител: Затова се нарича общ перпендикуляр (слайд No13). Направете запис в технологичната карта в параграф 5

Учител: Направете запис в технологичната карта в параграф 6

Учител:Задача. Необходимо е да се постави линолеум на пода в дълъг коридор. Известно е, че две срещуположни стени са успоредни. В единия край на коридора беше начертан общ перпендикуляр, чиято дължина се оказа 4 m. Струва ли си да проверим отново дължините на общите перпендикуляри на други места в коридора? (слайд номер 14).

Възможни отговори на учениците: Няма нужда, техните дължини също ще бъдат равни на 4.

Учител: Докажи го. Но първо начертайте математически модел на тази ситуация. За да докажете, подчертайте какво се знае и какво трябва да се докаже.

Как обикновено се доказва равенството на сегменти и ъгли в геометрията?

Възможни отговори на учениците: Чрез равенството на триъгълници, съдържащи тези сегменти и ъгли. Измислете конструкция, която ще ни позволи да докажем равенството на тези триъгълници.

Структура НежененКръгълРобин:

2. Четирима ученика в екип отговарят веднъж.

Учител: Докажете равенство отсечки AB и CD чрез равенство на триъгълници . На таблото запишете трите условия за теста за равенство на триъгълник.

1. Учителят задава въпрос и дава време за размисъл

Учениците извършват допълнителни конструкции, доказват равенството на триъгълници, правят заключение за равенството на отсечките AB и CD (слайд № 15-17).

Учител: Сегменти AB и CD са равни. Какво може да се каже за точките A и C спрямо правата BD?

Възможни отговори на учениците: Те са на еднакво разстояние. Те са на равно разстояние (слайд номер 18).

Учител: Важи ли това свойство за някакви точки?

Възможни отговори на учениците: да

Учител: Нека се опитаме да формулираме това свойство. От какво се състои декларацията за собственост?

Възможни отговори на учениците: От условието и заключението (слайд № 19,20).

Възможни отговори на учениците: Ако точките лежат на една от успоредните прави, то те са на еднакво разстояние от втората права.

Учител: Редактирайте това свойство без съюзи: if, then (слайд номер 21).

Възможни отговори на учениците: Точките, лежащи на една от успоредните прави, са на еднакво разстояние от втората права.

Структура Think-Write-Round Robin:

1. Учителят задава въпрос и дава време за размисъл

2. Учениците мислят и записват отговора на своя лист хартия

3. Учениците се редуват да четат отговора си от лист хартия.

Учител: Кое твърдение се нарича обратно?

Възможни отговори на учениците: Ако условието и заключението са разменени.

Учител: Формулирайте обратното твърдение (слайд номер 22).

Възможни отговори на учениците: Ако точките, лежащи на една от двете прави, са на еднакво разстояние от втората права, тогава линиите са успоредни.

Учител: Направете запис в технологичната карта в параграфи 7,8.

Учител: Възможно ли е да се определи такова понятие като разстоянието между успоредни прави?

Възможни отговори на учениците: да

Учител: Какво може да се нарече разстояние между успоредни прави

Възможни отговори на учениците: Дължината на общия перпендикуляр. Направете запис в технологичната карта в параграф 5.

IV. Приложение на теоремата, изпълнениепрактическа работа.

Учител: Практическа работа. Намерете ширината на лентата.

Каква математическа концепция е ширината на лента?

Учител: Къде другаде се използват тези теореми в практическия живот?

VI. Обобщаване. Отражение.

Учител: С какви нови концепции се запознахте?

    Какво научихте в урока?

    Къде в живота ще приложим това?

(слайд № 26-28)

Учител: Направете запис в технологичната карта в параграф 9

Домашна работа № 276.279 – доказателство на обратната теорема.

Самоанализ на урока

Цели:

Цел на дейността:създават условия за самостоятелно формулиране и доказване на свойствата на наклонени и перпендикулярни, пуснати от точка към права линия, създават условия за доказване на теоремата за равноотстоянието на точки на успоредни прави; организира дейността на учениците за възприемане, разбиране и първоначално консолидиране на нови знания и методи на дейност.

Образователна цел:развият знанието, че перпендикулярът е по-малък от всеки наклонен, начертан от една точка към права линия, всички точки на всяка от двете успоредни линии са на еднакво разстояние от другата права линия.

Предмет:студентът ще има възможност да научи:

    прилагайте теоремата за решаване на практически задачи

    анализирайте, сравнявайте, обобщавайте, правете изводи за решаване на практически проблеми.

Метасубект:

Регулаторен UUD:

    способността за самостоятелно поставяне на цели, избор и създаване на алгоритми за решаване на образователни математически проблеми;

    способност за планиране и провеждане на дейности, насочени към решаване на изследователски проблеми.

Когнитивно UUD:

    • способността за установяване на причинно-следствени връзки, изграждане на логически разсъждения, изводи, заключения;

    • способността да се излагат хипотези при решаване на образователни проблеми и да се разбере необходимостта от тяхното тестване; способността да се използват индуктивни и дедуктивни методи на разсъждение, да се видят различни стратегии за решаване на проблеми;

    • развиват първоначални идеи за идеите и методите на математиката като универсален език на науката, средство за моделиране на явления и процеси;

    • способност за разбиране и използване на чертежи и рисунки за илюстрация, интерпретация, аргументация.

UUD за комуникация:

  • способността да се организира образователно сътрудничество и съвместни дейности с учителя и учениците, да се определят цели, да се разпределят функциите и ролите на участниците, общи начини на работа;

  • способност за работа в група: намиране на общо решение и разрешаване на конфликти въз основа на координиране на позициите и отчитане на интересите, изслушване на партньор, формулиране, аргументиране и защита на собственото мнение.

Персонален UUD:

    • формиране на комуникативна компетентност в общуването и сътрудничеството в съвместни образователни и изследователски дейности;

      развитие на способността за ясно, точно, компетентно изразяване на мисли в устна и писмена реч, разбиране на смисъла на задачата, изграждане на аргумент, даване на примери и контрапримери;

      развитие на критично мислене, способност за разпознаване на логически неправилни твърдения, разграничаване на хипотеза от факт;

      развиват творческо мислене, инициативност, находчивост и активност при решаване на геометрични задачи.

Структурата на фрагмента от урока съответства на типа - урок за откриване на нови знания. В съответствие с целите и съдържанието на материала урокът беше структуриран в следните етапи:

аз . Организиране на времето.

II . Актуализиране на знанията.

III . Поставяне на цел на урока . Въвеждане на нов материал.

IV. Приложение на теоремата, изпълнение на практическа работа.

VI. Обобщаване.

Спазени са всички структурни елементи на урока. Организацията на учебния процес се основава на дейностния метод.

Целта на първия етапЛесно беше бързо да се интегрират студентите в бизнес ритъма.

На втория етап актуализираха се знанията, необходими за работа върху нов материал.

На третия етапЗа да се дефинират понятията за разстояние от точка до права, концепцията за наклонена линия привлече децата към практически дейности с елементи на търсене. Първо, на интуитивно ниво, учениците изложиха хипотеза, след което независимо доказаха свойството на перпендикуляр и наклонена, изтеглени от една точка към права линия.

Като цяло използвах практически задачи през целия урок, включително и при първоначалното затвърдяване. Те помагат да се привлекат учениците към независима познавателна дейност и да се решат проблемите на компетентностния подход към обучението.

За да формулирам и докажа теоремата за равното разстояние на точки на успоредни прави, използвах проблемна задача, която допринесе за формулирането на хипотеза за свойствата на разглежданите обекти и последващото търсене на доказателство за валидността на предположението, поставено напред.

Като организирах работа по формулирането на теоремата и след това на обратната теорема, постигнах целта сиразвитие на първоначални идеи за идеите и методите на математиката като универсален език на науката, средство за моделиране на явления и процеси.

Учебно-познавателните дейности бяха организирани чрез фронтална, индивидуална и групова работа. Тази организация направи възможно включването на всеки ученик в активни дейности за постигане на целта. Студентите си сътрудничиха, оказвайки си взаимопомощ.

Вярвам, че времето беше рационално разпределено. За кратък период от време успяхме да въведем понятията разстояние от точка до права линия, наклонена линия, разстояние между успоредни прави, формулирахме и докажем две теореми и разгледахме приложението на теоремата на практика.

За по-голяма яснота използвах презентация по време на урока. Използвах специална програма за демонстрация, за да сравня дължината на кос и перпендикуляр, в които геометричните фигури оживяват. По време на урока използвах работа на учениците на таблото за сигнали, което решава проблемите на равнопоставеното участие на учениците в урока, контрола върху усвояването на материала и, разбира се, активира ученика в урока.

Учениците бяха активни по време на урока, успях да ги въвлека в изследователски дейности, творчески дейности, с конструктивен метод за доказване на теоремата, формулиране на теоремата

В края на урока учениците сами формулираха темата.

Отражение