Нека на равнината са дадени права L и точка A. Нека спуснем перпендикуляр от точка A към правата L (фиг. 1.8, а). След това се извиква нейната основа (точка O). ортогонална проекция на точка A върху права L. Ако права L и точка A са дадени в пространството, тогава в този случай ортогоналната проекция на точка A върху права L е точката O на пресечната точка на права L с равнина, перпендикулярна на нея, минаваща през точка A (фиг. 1.8 , б). Ако точка A лежи на права L, то тя съвпада с ортогоналната си проекция върху L.
За вектора - AB (в равнината или в пространството) можете да построите ортогонални проекции върху правата L от него начало и край(фиг. 1.9). Векторът O A O B, свързващ тези проекции O A и O B и лежащ на правата L, се нарича ортогонална проекция на вектора AB върху праватаЛ.
Нарича се права линия, на която е дадена една от двете възможни посоки ос. Избраната посока на оста се обозначава със стрелка в съответния край на оста. Ортогоналната проекция O A O B на вектора AB върху оста l може да бъде напълно описана дължинавектор O A O B, присвоявайки му знак,
указващ посоката на вектора. Ако посоката O A O B съвпада с дадената посока на оста, вземете знака плюс, а ако посоката на вектора е противоположна на посоката на оста, вземете знака минус. Дължината на вектора O A O B със знак, който определя посоката на този вектор, се нарича ортогонална проекция на вектора AB върху оста l и обозначават pr l a.
Нека отбележим, че ортогоналната проекция на вектор върху ос е число, докато ортогоналната проекция на вектор върху права е вектор. За да може един вектор да съответства на число като негова проекция, трябва да се избере една от двете възможни посоки на правата линия.
Всеки ненулев вектор l еднозначно определя оста: тя може да се счита за разположена на определена права линия и определяща посоката върху нея. Ортогоналната проекция на вектор върху такава ос се нарича ортогонална проекция на този вектор върху посокатавектор l.
Ъгълът между посоките на два ненулеви вектора се нарича ъгълът между тези вектори. Ъгълът може да варира от 0 до π. Крайните стойности 0 и π съответстват колинеарни вектори, съответно еднопосочни и противопосочни. Ако поне един от два вектора е нула, тогава ъгълът между тези вектори не е определен. Удобно е обаче да се приеме, че в този случай ъгълът има произволна стойност. Така нулевият вектор е колинеарен на всеки друг, който формално съответства на ъгъла 0 (или π). Конкретната стойност, присвоена на ъгъла между нулевия вектор и някой друг вектор, се избира въз основа на ситуацията.
Теорема 1.1.Ортогоналната проекция на вектор a върху посоката на ненулевия вектор l е равна на дължината |a|, умножена по косинуса на ъгъла φ между векторите a и l, т.е.
pr l = a|a| cos
където е ъгълът между векторите a и l
◄ Нека векторът l лежи на правата L и началото му е точка A. Нека изравним началото на вектор a с точка A, а краят му да бъде точка B (фиг. 1.10). Нека построим ортогонална проекция C на точка B върху права L. Тогава вектор AC е ортогонална проекция на вектор a = AB върху права L.
Ако ъгълът φ между векторите a и l е остър (както е показано на фиг. 1.10, a), тогава краят на вектора l и точката C лежат от едната страна на точка A. В този случай проекцията на a върху посоката на вектор l е равна на дължината |AC| = |AB| cosφ катет AC на триъгълник ABC.
Ако ъгълът φ е тъп (виж фиг. 1.10, b), тогава краят на вектора l и точката C лежат на противоположните страни на точка A. Това означава, че векторите AC и l имат противоположни посоки и проекцията на вектор a е равно на - |AC|. В триъгълник ABC ъгълът ψ, съседен на страната AC, е равен на π - φ, следователно |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.
Ако φ = π/2 или a = 0, тогава точка C съвпада с точка A и вектор AC е нулевият вектор. Въпреки това, cosπ/2 = 0, следователно и в този случай теоремата е валидна.
Теорема 1.2.Ортогоналната проекция на сумата от вектори върху посоката на ненулев вектор е равна на сумата от техните ортогонални проекции върху посоката на този вектор и когато векторът се умножи по число, неговата ортогонална проекция върху посоката на ненулев вектор се умножава по същото число:
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.
◄ Доказателството следва от фиг. 1.11. В случая, показан на фиг. 1.11, a, имаме pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |пр.н.е.|. В случая, показан на фиг. 1.11, b, pr l a = |AB| и ако λ > 0, pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Останалите опции (точка C не принадлежи на сегмента AB в случай a, λ ≤ 0 в случай b) се разглеждат по подобен начин.
Както бе споменато по-горе, ортогоналната проекция е специален случай на паралелна проекция. При ортогонална проекция проектиращите лъчи са перпендикулярни на проекционната равнина.
Апаратът за такава проекция се състои от една проекционна равнина.
За да се получи ортогонална проекция на точка А, през нея трябва да се прекара проекционен лъч, перпендикулярен на P1. Точка A1 се нарича ортогонална или правоъгълна проекция на точка A.
За да получите ортографична проекция A 1 B 1сегмент AB, към самолета П 1, необходими чрез точки АИ INначертайте стърчащи перпендикулярни линии П 1. При проектирането правите се пресичат с равнина П 1ще получите ортогонални проекции A 1И В 1точки АИ IN. Чрез свързване на ортогонални проекции A 1И В 1получаваме ортогонална проекция A 1 B 1сегмент AB.
Всички свойства на паралелната проекция са валидни и за ортогоналната проекция. Ортогоналните проекции обаче имат някои други свойства.
Свойства на ортографската проекция:
1. Дължината на сегмента е равна на дължината на неговата проекция, разделена на косинуса на ъгъла на наклона на сегмента към равнината на проекцията.
Нека вземем права линия ABи построете неговата ортогонална проекция A 1 B 1до самолета П 1. Ако начертаете права линия AC || A 1 B 1, след това от триъгълника ABCследва това |AC| : |AB| = cos aили |AB| = |A 1 B 1 | :защото а, защото |A 1 B 1 | = |AC|.
2. Освен това за ортогонална проекция ще е вярно теорема за проекция под прав ъгъл:
Теорема:Ако поне едната страна на прав ъгъл е успоредна на равнината на проекцията, а другата не е перпендикулярна на нея, тогава ъгълът се проектира върху тази равнина в пълен размер.
Доказателство:
Като се има предвид прав ъгъл ABC, която по условие има права линия BC ABИ слънце ||проекционни равнини П 1. По конструкция е права слънцекъм стърчащия лъч BB 1. Следователно, направо слънцедо самолета б (АВхВВ1), тъй като е към две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина. По условие направо B 1 C 1 || слънце, следователно и към самолета b, т.е. и директно A 1 B 1този самолет. Следователно ъгълът между линиите A 1 B 1И B 1 C 1е равно на 90°, което трябваше да се докаже.
Ортогоналната проекция осигурява простота на геометричните конструкции при определяне на ортогонални проекции на точки, както и възможност за запазване на формата и размерите на проектираната фигура върху проекциите. Тези предимства гарантират, че ортогоналната проекция се използва широко в техническото чертане.
Разгледаните проекционни методи позволяват да се реши директният проблем на дескриптивната геометрия, т.е. да се изгради плосък чертеж от оригинала. Проекциите върху една равнина, получени по този начин, дават непълна представа за обекта, неговата форма и позиция в пространството, т.е. такъв чертеж няма свойството на обратимост.
За да се получи реверсивен чертеж, т.е. чертеж, който дава цялостна представа за формата, размера и положението на оригинала в пространството, допълва се еднокартинен чертеж. В зависимост от добавката има различни видове чертежи.
- Диаграма на Монж или ортогонални проекции.Същността на метода на ортогонална (правоъгълна) проекция е, че оригиналът се проектира ортогонално върху 2 или 3 взаимно ортогонални проекционни равнини и след това се комбинират с равнината на чертежа.
- Аксонометричен чертеж.Същността на аксонометричния чертеж е, че първо оригиналът е твърдо свързан с декартовата координатна система OXYZ, ортогонално го проектираме върху една от проекционните равнини ОКСИ, или OXZ. След това чрез паралелна проекция се намира паралелна проекция на получената структура: координатни оси OX, OY, OZ,вторична проекция и оригинал.
- Перспективна рисунка.При изграждането на перспективен чертеж първо се изгражда една ортогонална проекция, а след това върху равнината на картината се намира централната проекция на предварително изградената ортографска проекция и самият оригинал.
- Проекции с цифрови маркировки и др.За да се получат проекции с цифрови маркировки, оригиналът се проектира ортогонално върху равнината на нулевото ниво и се посочва разстоянието от оригиналните точки до тази равнина.
Нека се спрем по-подробно на изучаването на правоъгълни проекции и аксонометрично чертане.
Ортогоналната проекция е частен случай на паралелна проекция, когато проекционната посока S е перпендикулярна (ортогонална) на проекционната равнина S 1 (фиг. 1.11).
Ориз. 1.11. Ортогонална проекция на прав ъгъл
Ортогоналната проекция се използва широко в инженерната практика за изобразяване на геометрични фигури върху равнина, тъй като има редица предимства пред централната и успоредна (наклонена) проекция, които включват:
а) простота на графичните конструкции за определяне на ортогонални проекции на точки;
б) способността при определени условия да запази формата и размера на проектираната фигура върху проекциите.
Тези предимства са осигурили широкото използване на ортогоналната проекция в технологиите, по-специално за изготвяне на машинни чертежи.
За ортогонална проекция всичките девет инвариантни свойства, обсъдени по-горе, са валидни. Освен това е необходимо да се отбележи още едно, десето, инвариантно свойство, което е валидно само за ортогонална проекция.
10. Ако поне едната страна на правия ъгъл е успоредна на равнината на проекцията, тогава правилният ъгъл се проектира върху тази равнина на проекция без изкривяване (фиг. 1.11)
На фиг. Фигура 1.11 показва прав ъгъл ABD, двете страни на който са успоредни на проекционната равнина 1. Съгласно инвариантното свойство 9.2 този ъгъл се проектира върху равнината 1 без изкривяване, т.е. A 1 B 1 D 1 =90.
Нека вземем произволна точка C върху проектиращия лъч DD 1, тогава получената ABC ще бъде права, тъй като ABBB 1 DD 1 .
Проекцията на този прав ъгъл ABC, на който само едната страна AB е успоредна на равнината на проекциите 1, ще бъде прав ъгъл A 1 B 1 D 1.
Говорейки за геометрични фигури и техните проекции, трябва да запомните, че проекцията на фигура е набор от проекции на всички нейни точки.
1.6. Система от три проекционни равнини. Epure Monge.
Всички пространствени геометрични фигури могат да бъдат ориентирани спрямо декартовата правоъгълна система от координатни оси - система от три взаимно перпендикулярни координатни равнини (фиг. 1.12).
Ориз. 1.12. Изображение на проекционна система в три равнини
Тези координатни равнини са обозначени:
хоризонтална проекционна равнина - 1;
фронтална равнина на проекции - 2;
профилна проекционна равнина - 3.
Пресечните линии на тези равнини образуват координатни оси: абсцисната ос – X; ординатна ос – Y; приложна ос – Z. Точката O на пресичането на координатните оси се приема за начало на координатите и се обозначава с буквата O. Положителните посоки на осите се разглеждат: за оста x - вляво от началото , за оста Y - към зрителя от равнината 2, за оста z - нагоре от равнината 1; противоположните посоки се считат за отрицателни.
За да опростим по-нататъшните разсъждения, ще разгледаме само частта от пространството, разположена отляво на профилната равнина на проекциите 3.
При това предположение три координатни равнини на проекции образуват четири пространствени ъгъла - октанти (в общия случай - 8 октанта).
От фиг. 1.12 е ясно, че абсцисата X разделя хоризонталната равнина на проекциите 1 на две части: предната половина 1 (осите X и Y) и задната половина 1 (осите X и - Y).
Оста X разделя фронтална равнина на проекциите 2 също на две части: горната половина 2 (осите X и Z) и долната половина 2 (осите X и - Z).
Ординатните оси Y и апликацията Z разделят профилната равнина на проекциите 3 на четири части:
горен преден етаж 3 (оси Y и Z)
горен заден под 3 (оси -Y и Z)
долен преден под 3 (оси Y и –Z)
долен заден под 3-ти (оси – Y и –Z)
За да се получи плосък (двуизмерен) модел на пространствени координатни проекционни равнини, хоризонталните 1 и профилните 3 равнини се комбинират с фронталните 2 в реда, показан със стрелките на фиг. 1.12.
П 
В този случай хоризонталната проекционна равнина 1 се завърта около оста X на 90, а профилната проекционна равнина 3 се завърта около оста Z също на 90 (посоката на въртене е показана на фиг. 1.12).
Получената по този начин комбинация от три проекционни равнини (фиг. 1.13) е плосък модел на система от три пространствени
Да се
Ориз. 1.13.
координатни равнини.
За да се изгради плосък модел на пространствена геометрична фигура, всяка от неговите точки се проектира ортогонално върху проекционните равнини 1, 2 и 3, които след това се комбинират в една равнина. Полученият по този начин плосък модел на пространствена геометрична фигура се нарича диаграма на Монж.
Редът за изграждане на диаграма на точка, разположена в първия октант.
На фиг. Фигура 1.13 показва пространствена точка A, чиито координати (x, y, z) показват разстоянията, на които точката е отстранена от проекционните равнини. 
д
За да се получат ортогонални проекции на точка А, е необходимо да се спуснат перпендикуляри от тази точка върху равнината на проекцията.
Пресечните точки на тези перпендикуляри с проекционните равнини образуват проекциите на точка А:
A 1 – хоризонтална проекция на точката;
A 2 – фронтална проекция на точката;
А
3 – профилна проекция на точка.
На фиг. 1.14 Проекционните равнини 1 и 3 се комбинират с чертожната равнина (с проекционната равнина 2), а заедно с тях се комбинират с чертожната равнина и проекциите на точка A (A 1, A 2, A 3) и по този начин равнинен модел на координатни равнини се получават проекции и равнинен модел на пространствената точка А - нейната диаграма.
Положението на проекциите на точка А върху диаграмата се определя еднозначно от нейните три координати (фиг. 1.14).
А 1 А 2 На фиг. 1.13 и фиг. 1.14 също така е ясно, че в диаграмата хоризонталните и фронталните проекции на точките лежат на същия перпендикуляр на оста X, както и фронталните и профилните проекции - на същия перпендикуляр на оста Z: 2 А 3 Х, А.
З
От фиг. 1.12 става ясно, че точките, разположени в различни октанти, имат определени координатни знаци.
Таблицата показва знаците на координатите на точки, разположени в различни октанти
|
Таблица с координатни знаци |
|||
Координатни знаци
Въпроси за самоконтрол
Каква е същността на централната проекция и какви са нейните основни свойства?
Каква е същността на паралелната проекция и какви са нейните основни свойства?
Каква е същността на ортогоналната (правоъгълна) проекция?
Как се формулира теоремата за проекция на прав ъгъл?
Подобни задачи:
Страната AB на ромба ABCD е равна на a, един от ъглите е 60 градуса. Алфа равнина е начертана през страната AB на разстояние a/2 от точка D.
а) намерете разстоянието от точка C до алфа равнината.
б) покажете на фигурата линейния двустенен ъгъл DABM. М принадлежи към алфа.
в) Намерете синуса на ъгъла между равнината на ромба и равнината алфа.
Страната AB на ромба ABCD е равна на a, един от ъглите е 60 градуса. През страната AB е начертана алфа равнина на разстояние a/2 от точка D. а) Намерете разстоянието от точка C до алфа равнината. б) покажете на фигурата линейния двустенен ъгъл DABM. М принадлежи към алфа. в) Намерете синуса на ъгъла между равнината на ромба и равнината алфа.
Страната AB на ромба ABCD е равна на a, а един от нейните ъгли е равен на 60 градуса. Алфа равнина е начертана през страната AB на разстояние a2 от точка D.
а) Намерете разстоянието от точка С до алфа равнината.
б) Покажете на фигурата линейния ъгъл на двустенния ъгъл DABM, M принадлежи на pl. алфа.
в) Намерете синуса на ъгъла между равнината на ромба и равнината алфа.
Помислете за самолет стр и правата, която го пресича . Позволявам А - произволна точка в пространството. Нека начертаем права линия през тази точка , успоредна на правата . Позволявам . Точка наречена проекция на точка Адо самолета стрс успореден дизайн по дадена права линия . Самолет стр , върху която се проектират точките от пространството, се нарича проекционна равнина.
p - проекционна равнина;
- директно проектиране; ;
; ; ;
Ортогонален дизайне специален случай на паралелен дизайн. Ортогоналното проектиране е паралелно проектиране, при което проектната линия е перпендикулярна на проекционната равнина. Ортогоналното проектиране се използва широко в техническото чертане, където фигура се проектира върху три равнини - хоризонтална и две вертикални.
Определение:
Ортогонална проекция на точка Мдо самолета стрнаречена база М 1перпендикулярен ММ 1, отпадна от точката Мдо самолета стр.
Обозначаване: , 
, .
Определение: Ортогонална проекция на фигура Едо самолета стре множеството от всички точки на равнината, които са ортогонални проекции на множеството от точки на фигурата Едо самолета стр.
Ортогоналният дизайн, като специален случай на паралелен дизайн, има същите свойства:
p - проекционна равнина;
- директно проектиране; ;
1) ;
2) , .
- Проекциите на успоредни прави са успоредни.
ПРОЕКЦИОННА ПЛОЩ НА ПЛОСКА ФИГУРА
Теорема: Площта на проекцията на равнинен многоъгълник върху определена равнина е равна на площта на проектирания многоъгълник, умножена по косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.
Етап 1: Проектираната фигура е триъгълник ABC, чиято страна AC лежи в проекционната равнина a (успоредна на проекционната равнина a).
дадени:
Докажи:
Доказателство:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. По теоремата за трите перпендикуляра;
ВD – височина; B 1 D – височина;
5. – линеен ъгъл на двустенния ъгъл;
6. ; ; ; 
;
Етап 2: Проектираната фигура е триъгълник ABC, никоя от страните на който не лежи в проекционната равнина a и не е успоредна на нея.
дадени:
Докажи:
Доказателство:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Етап 1);
5. ; ; ;
(Етап 1);
Етап: Проектираната фигура е произволен многоъгълник.
Доказателство:
Многоъгълникът е разделен от диагонали, изтеглени от един връх на краен брой триъгълници, за всеки от които теоремата е вярна. Следователно теоремата ще бъде вярна и за сумата от площите на всички триъгълници, чиито равнини образуват същия ъгъл с равнината на проекцията.
Коментирайте: Доказаната теорема е валидна за всяка плоска фигура, ограничена от затворена крива.
Упражнения:
1. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако проекцията му е правилен триъгълник със страна a.
2. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако неговата проекция е равнобедрен триъгълник със страна 10 cm и основа 12 cm.
3. Намерете площта на триъгълник, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако проекцията му е триъгълник със страни 9, 10 и 17 cm.
4. Изчислете площта на трапец, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл, ако проекцията му е равнобедрен трапец, чиято по-голяма основа е 44 cm, страната е 17 cm и диагоналът е 39 см.
5. Изчислете площта на проекцията на правилен шестоъгълник със страна 8 cm, чиято равнина е наклонена към равнината на проекцията под ъгъл.
6. Ромб със страна 12 cm и остър ъгъл сключва ъгъл с дадена равнина. Изчислете площта на проекцията на ромба върху тази равнина.
7. Ромб със страна 20 cm и диагонал 32 cm сключва ъгъл с дадена равнина. Изчислете площта на проекцията на ромба върху тази равнина.
8. Проекцията на навес върху хоризонтална равнина е правоъгълник със страни и . Намерете площта на сенника, ако страничните повърхности са равни правоъгълници, наклонени към хоризонталната равнина под ъгъл, а средната част на сенника е квадрат, успореден на равнината на проекцията.
11. Упражнения по темата „Прави и равнини в пространството“:
Страните на триъгълника са равни на 20 см, 65 см, 75 см. От върха на по-големия ъгъл на триъгълника е прекаран перпендикуляр, равен на 60 см. Намерете разстоянието от краищата на перпендикуляра до по-голямата страна на триъгълника.
2. От точка, разположена на разстояние cm от равнината, са начертани две наклонени, образуващи с равнината ъгли, равни на , и прав ъгъл между тях. Намерете разстоянието между точките на пресичане на наклонените равнини.
3. Страната на правилен триъгълник е 12 см. Точка M е избрана така, че отсечките, свързващи точка M с всички върхове на триъгълника, образуват ъгли с неговата равнина. Намерете разстоянието от точка М до върховете и страните на триъгълника.
4. През страната на квадрата е начертана равнина под ъгъл спрямо диагонала на квадрата. Намерете ъглите, под които двете страни на квадрата са наклонени към равнината.
5. Кратът на равнобедрен правоъгълен триъгълник е наклонен към равнината a, минаваща през хипотенузата под ъгъл . Докажете, че ъгълът между равнината a и равнината на триъгълника е равен на .
6. Двустенният ъгъл между равнините на триъгълниците ABC и DBC е равен на . Намерете AD, ако AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Тестови въпроси по темата „Прави и равнини в пространството“
1. Избройте основните понятия на стереометрията. Формулирайте аксиомите на стереометрията.
2. Докажете следствия от аксиомите.
3. Какво е взаимното разположение на две прави в пространството? Дайте определения за пресичащи се, успоредни и коси прави.
4. Докажете знака на косите линии.
5. Какво е взаимното разположение на правата и равнината? Дайте определения за пресичащи се, успоредни прави и равнини.
6. Докажете знака за успоредност между права и равнина.
7. Какво е взаимното разположение на двете равнини?
8. Определете успоредни равнини. Докажете знак, че две равнини са успоредни. Изложете теореми за успоредни равнини.
9. Определете ъгъла между правите линии.
10. Докажете признака за перпендикулярност на права и равнина.
11. Определете основата на перпендикуляра, основата на наклонената, проекцията на наклонената върху равнина. Формулирайте свойствата на перпендикулярни и наклонени прави, пуснати върху равнина от една точка.
12. Определете ъгъла между права линия и равнина.
13. Докажете теоремата за три перпендикуляра.
14. Дайте дефиниции на двустенен ъгъл, линеен ъгъл на двустенен ъгъл.
15. Докажете знака за перпендикулярност на две равнини.
16. Определете разстоянието между две различни точки.
17. Определете разстоянието от точка до права.
18. Определете разстоянието от точка до равнина.
19. Определете разстоянието между права и успоредна на нея равнина.
20. Определете разстоянието между успоредни равнини.
21. Определете разстоянието между пресичащите се линии.
22. Определете ортогоналната проекция на точка върху равнина.
23. Определете ортогоналната проекция на фигура върху равнина.
24. Формулирайте свойствата на проекциите върху равнина.
25. Формулирайте и докажете теорема за площта на проекцията на равнинен многоъгълник.