Най-накрая се докопах до тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност си спомняте училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченили методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен; често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да можем да направим това без рисунки и освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.
Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен; той е насочен към решаване на практически задачи. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:
1) Нещо, което без шега е познато на няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори – Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.
2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназията, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми и урокът ще бъде от безценна помощ.
И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.
Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.
Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)
И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, а също така Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права линия и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.
Векторна концепция. Безплатен вектор
Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторнаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:
В този случай началото на сегмента е точката, краят на сегмента е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.
Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.
!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.
Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. защо Очевидно този навик се е развил по практически причини; стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.
Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:
1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви: 
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.
2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.
Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.
Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,
Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.
Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.
Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:
Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в хода на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи „училищен“ вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се добави и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)
така че безплатен вектор- Това много еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочена отсечка се нарича вектор...“ предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнината или пространството.
Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение. Наистина, директен удар с еднаква сила по носа или челото, достатъчен, за да развия моя глупав пример, води до различни последствия. обаче несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).
Действия с вектори. Колинеарност на вектори
Училищният курс по геометрия обхваща редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.
Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника
Помислете за два произволни ненулеви вектора и: 
Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор: 
Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло пътува по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.
Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.
Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарни“.
Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.
Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато е възможно детайлизиране: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).
Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .
Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина: 
Нека го разгледаме по-подробно:
1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.
2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора увеличавана моменти.
3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. Така: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.
4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.
Кои вектори са равни?
Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че съпосочеността предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“
От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.
Векторни координати в равнината и пространството
Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека да изобразим декартова правоъгълна координатна система и да я начертаем от началото на координатите единиченвектори и:
Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.
Обозначение:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .
Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базав самолет. Какво е основа, мисля, е интуитивно ясно за мнозина; по-подробна информация може да бъде намерена в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.
Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.
Обозначение:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.
Всякаквиравнинен вектор единственият начинизразено като: 
, къде - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз 
наречен векторно разлаганепо основа .
Сервирана вечеря:
Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .
Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Забавно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се изчертават от началото; Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.
Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, можете да го запишете така:
А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).
И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , 
. Следвайте чертежа, за да видите колко ясно работи доброто старо добавяне на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.
Разгледаното разлагане на формата 
понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор;
Или със знак за равенство:
Самите базисни вектори се записват по следния начин: и
Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.
Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.
Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото: 
Всякакви 3D космически вектор единственият начинразширяване върху ортонормална основа: 
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.
Пример от снимката: 
. Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножете вектора по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).
Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се мислено да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.
Подобно на плоския случай, в допълнение към писането 
широко се използват варианти със скоби: или .
Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно 
) – да пишем ;
вектор (щателно) – запишете;
вектор (щателно 
) – да пишем.
Базисните вектори се записват, както следва:
Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и определения, така че препоръчвам на чайниците да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок, за да усвои по-добре материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичния тест или колоквиума по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на темата. За да получите подробна теоретична информация, поклон пред проф. Атанасян.
И преминаваме към практическата част:
Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати
Силно препоръчително е да се научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не е нужно да го помните нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки . Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата си; много неща са ви познати от училище.
Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.
Как да намерим вектор от две точки?
Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати: 
Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:
т.е. от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.
Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.
Пример 1
Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати
Решение:по съответната формула:
Като алтернатива може да се използва следният запис:
Естетите ще решат това:
Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.
отговор:
Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив: 
Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:
Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как се нанасят точки върху координатна равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.
Координатите на вектора– това е разширяването му според основата, в случая. Всеки вектор е свободен, така че при желание или необходимост можем лесно да го отдалечим от някоя друга точка на равнината. Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система; имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.
Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различни, и трябва да сте наясно с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.
Дами и господа, нека напълним ръцете си:
Пример 2
а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки 
И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори 
.
Може би това е достатъчно. Това са примери, които можете да решите сами, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.
Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)
Как да намерим дължината на сегмент?
Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.
Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата
Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата
Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна
Пример 3
Решение:по съответната формула:
отговор: 
За по-голяма яснота ще направя чертеж 
сегмент – това не е вектор, и, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.
Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни точки, които бих искал да изясня:
Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.
Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:
Моля, обърнете внимание важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: 
. Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.
Ето и други често срещани случаи: 
Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, той беше напълно разделен, така че: 
. Или може би числото отново може да се раздели на 4? . Така: 
. Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . В резултат на това:
Готови.
Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.
Когато решавате различни задачи, често се срещат корени; винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.
Нека също повторим корени на квадрат и други степени: 
Правилата за работа със степените в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.
Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:
Пример 4
Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.
Решението и отговорът са в края на урока.
Как да намерим дължината на вектор?
Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.
Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата 
.
Промяната в координатите x2 - x1 обикновено се обозначава със символа Δx12 (прочетете "делта x едно, две"). Този запис означава, че за периода от време от момент t1 до момент t2 промяната в координатата на тялото е Δx12 = x2 - x1. Така, ако тялото се е движило в положителната посока на оста X на избраната координатна система (x2 > x1), тогава Δx12 >
На фиг. 45 показва точково тяло B, което се движи в отрицателна посока на оста X за време от t1 до t2, то се движи от точка с по-голяма координата x1 към точка с по-малка координата x2. В резултат на това промяната на координатата на точка B за разглеждания период от време е Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m в този случай ще бъде насочена в отрицателна посока оста X и нейния модул |Δx12| равна на 3 m От разгледаните примери могат да се направят следните изводи.
В разгледаните примери (виж фиг. 44 и 45) тялото винаги се е движело в една посока.
Как да намеря модула за изместване във физиката (Може би има някаква универсална формула?)
Следователно изминатият от него път е равен на модула на изменение на координатите на тялото и модула на преместване: s12 = |Δx12|.
Нека определим промяната в координатите и преместването на тялото за времеви период от t0 = 0 до t2 = 7 s. В съответствие с определението, промяна на координатата Δx02 = x2 - x0 = 2 m >
Сега нека определим пътя, който тялото е изминало за същия период от време от t0 = 0 до t2 = 7 s. Първо тялото измина 8 m в една посока (което съответства на модула на промяна на координатата Δx01), а след това 6 m в обратната посока (тази стойност съответства на модула на промяна на координатата Δx12). Това означава, че цялото тяло е изминало 8 + 6 = 14 (m). По дефиниция на пътя, през времевия интервал от t0 до t2 тялото е изминало разстояние s02 = 14 m.
Резултати
Движението на точка за период от време е насочена отсечка от права линия, чието начало съвпада с началното положение на точката, а краят - с крайното положение на точката.
Въпроси
Упражнения
Вектори, действия с вектори
Питагорова теорема косинусова теорема
Ще обозначим дължината на вектора с . Модулът на числото има подобна нотация, а дължината на вектор често се нарича модул на вектор.
, където 
.
по този начин 
.
Нека разгледаме един пример.
:
.
по този начин дължина на вектора 
.
Изчислете дължината на вектора 
, следователно, 
Най-горе на страницата
Нека разгледаме решенията на примерите.
.
Преместване
:
:
.
.
Най-горе на страницата
По този начин,.
или ,или,
Нямате време да го разберете?
Поръчайте решение
Най-горе на страницата
Досега разглеждахме само праволинейно равномерно движение. В този случай точковите тела се движат в избраната референтна система или в положителна, или в отрицателна посока на координатната ос X. Установихме, че в зависимост от посоката на движение на тялото, например, през периода от момента t1 към момента t2, промяната в координатата на тялото (x2 - x1 ) може да бъде положителна, отрицателна или равна на нула (ако x2 = x1).
Промяната в координатите x2 - x1 обикновено се обозначава със символа Δx12 (прочетете "делта x едно, две"). Този запис означава, че за периода от време от момент t1 до момент t2 промяната в координатата на тялото е Δx12 = x2 - x1. Така, ако тялото се е движило в положителната посока на оста X на избраната координатна система (x2 > x1), тогава Δx12 > 0. Ако движението е настъпило в отрицателната посока на оста X (x21), тогава Δx12
Удобно е да се определи резултатът от движението с помощта на векторно количество. Такова векторно количество е изместването.
Движението на точка за период от време е насочена отсечка от права линия, чието начало съвпада с началното положение на точката, а краят - с крайното положение на точката.
Като всяка векторна величина, изместването се характеризира с модул и посока.
Ще запишем вектора на движение на точка за периода от t1 до t2 по следния начин: Δx12.
Нека обясним това с пример. Нека някаква точка A (точков човек) се движи в положителната посока на оста X и за период от време от t1 до t2 се премества от точка с координата x1 до точка с по-голяма координата x2 (фиг. 44). В този случай векторът на изместване е насочен в положителната посока на оста X и неговата величина е равна на промяната на координатата за разглеждания период от време: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 м.
На фиг. 45 показва точково тяло B, което се движи в отрицателна посока на оста X.
За периода от време от t1 до t2 той се движи от точка с по-голяма координата x1 до точка с по-малка координата x2. В резултат на това промяната на координатата на точка B за разглеждания период от време е Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m в този случай ще бъде насочена в отрицателна посока оста X и нейния модул |Δx12| равна на 3 m От разгледаните примери могат да се направят следните изводи.
Посоката на движение при праволинейно движение в една посока съвпада с посоката на движение.
Модулът на вектора на преместване е равен на модула на промяната на координатите на тялото за разглеждания период от време.
В ежедневието понятието „път“ се използва за описание на крайния резултат от движението. Обикновено пътят се обозначава със символа S.
Пътят е цялото разстояние, изминато от точково тяло през разглеждания период от време.
Като всяко разстояние, пътят е неотрицателна величина. Например пътят, изминат от точка А в разглеждания пример (виж фиг. 44), е равен на три метра. Изминатото разстояние от точка B също е три метра.
В разгледаните примери (виж фиг. 44 и 45) тялото винаги се е движело в една посока. Следователно изминатият от него път е равен на модула на изменение на координатите на тялото и модула на преместване: s12 = |Δx12|.
Ако тялото се е движило през цялото време в една посока, тогава изминатият от него път е равен на модула за преместване и модула за промяна на координатите.
Ситуацията ще се промени, ако тялото промени посоката на движение през разглеждания период от време.
На фиг. 46 показва как точково тяло се е преместило от момента t0 = 0 до момента t2 = 7 s. До момента t1 = 4 s движението се извършва равномерно в положителната посока на оста X. В резултат на това се променят координатите Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m тялото започва да се движи в отрицателна посока на оста X до момента t2 = 7 s. В този случай промяната на неговите координати е Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. Графиката на това движение е показана на фиг. 47.
Нека определим промяната в координатите и преместването на тялото за времеви период от t0 = 0 до t2 = 7 s. В съответствие с дефиницията, промяната в координатата Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Следователно преместването Δx02 е насочено в положителната посока на оста X и неговият модул е равен на 2 m.
Сега нека определим пътя, който тялото е изминало за същия период от време от t0 = 0 до t2 = 7 s. Първо тялото измина 8 m в една посока (което съответства на модула на промяна на координатата Δx01), а след това 6 m в обратната посока (тази стойност съответства на модула на промяна на координатата Δx12).
Траектория
Това означава, че цялото тяло е изминало 8 + 6 = 14 (m). По дефиниция на пътя, през времевия интервал от t0 до t2 тялото е изминало разстояние s02 = 14 m.
Анализираният пример ни позволява да заключим:
В случай, че тялото промени посоката на движение през разглеждания период от време, пътят (цялото разстояние, изминато от тялото) е по-голям както от модула на преместване на тялото, така и от модула на изменение на координатите на тялото.
Сега си представете, че тялото след време t2 = 7 s продължава движението си в отрицателната посока на оста X до t3 = 8 s в съответствие със закона, показан на фиг. 47 пунктирана линия. В резултат на това в момента t3 = 8 s координатата на тялото става равна на x3 = 3 m. Лесно е да се определи, че в този случай движението на тялото за периода от t0 до t3 s е равно на Δx13 = 0.
Ясно е, че ако знаем само преместването на тялото по време на неговото движение, тогава не можем да кажем как тялото се е движило през това време. Например, ако за едно тяло се знае само, че началната и крайната му координата са равни, тогава бихме казали, че по време на движение преместването на това тяло е нула. Би било невъзможно да се каже нещо по-конкретно за характера на движението на това тяло. При такива условия тялото може да стои неподвижно през целия период от време.
Движението на тялото за определен период от време зависи само от началната и крайната координата на тялото и не зависи от това как се е движило тялото през този период от време.
Резултати
Движението на точка за период от време е насочена отсечка от права линия, чието начало съвпада с началното положение на точката, а краят - с крайното положение на точката.
Движението на точково тяло се определя само от крайните и началните координати на тялото и не зависи от това как се е движило тялото през разглеждания период от време.
Пътят е цялото разстояние, изминато от точково тяло през разглеждания период от време.
Ако тялото не е променило посоката на движение по време на движението, тогава пътят, изминат от това тяло, е равен на модула на неговото изместване.
Ако тялото промени посоката на своето движение през разглеждания период от време, пътят е по-голям както от модула на преместване на тялото, така и от модула на промяна в координатите на тялото.
Пътят винаги е неотрицателна величина. Тя е равна на нула само ако през целия разглеждан период от време тялото е било в покой (стои неподвижно).
Въпроси
- Какво е движение? От какво зависи?
- Какво е пътека? От какво зависи?
- Как се различава пътят от движението и промяната на координатите за същия период от време, през който тялото се е движило по права линия, без да променя посоката на движение?
Упражнения
- Използвайки закона за движение в графична форма, представен на фиг. 47, опишете характера на движението на тялото (посока, скорост) в различни интервали от време: от t0 до t1, от t1 до t2, от t2 до t3.
- Кучето Протон изтича от къщата в момент t0 = 0 и след това по команда на собственика си в момент t4 = 4 s се втурна обратно. Знаейки, че протонът се движи по права линия през цялото време и големината на скоростта му |v| = 4 m/s, определете графично: а) изменението на координатите и пътя на протона за време от t0 = 0 до t6 = 6 s; б) пътя на протона за времевия интервал от t2 = 2 s до t5 = 5 s.
Вектори, действия с вектори
Намиране на дължина на вектор, примери и решения.
По дефиниция векторът е насочен сегмент и дължината на този сегмент в даден мащаб е дължината на вектора. Така задачата за намиране на дължината на вектор в равнината и в пространството се свежда до намиране на дължината на съответния сегмент. За да решим този проблем, имаме на разположение всички средства на геометрията, въпреки че в повечето случаи са достатъчни Питагорова теорема. С негова помощ можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор от неговите координати в правоъгълна координатна система, както и формула за намиране на дължината на вектор от координатите на началната и крайната му точка. Когато векторът е страна на триъгълник, дължината му може да се намери чрез косинусова теорема, ако са известни дължините на другите две страни и ъгълът между тях.
Намиране дължината на вектор от координати.
Ще обозначим дължината на вектора с .
физически речник (кинематика)
Модулът на числото има подобна нотация, а дължината на вектор често се нарича модул на вектор.
Нека започнем с намиране на дължината на вектор в равнина с помощта на координати.
Нека въведем правоъгълна декартова координатна система Oxy на равнината. Нека в него е зададен вектор и има координати. Получаваме формула, която ни позволява да намерим дължината на вектор чрез координатите и .
Нека начертаем вектора от началото (от точка O). Нека означим проекциите на точка A върху координатните оси съответно с и и разгледаме правоъгълник с диагонал OA.
По силата на Питагоровата теорема равенството е вярно , където . От дефиницията на векторни координати в правоъгълна координатна система можем да твърдим, че и , и по конструкция дължината OA е равна на дължината на вектора, следователно, .
по този начин формула за намиране на дължината на векторспоред своите координати на равнината има формата .
Ако векторът е представен като разширение в координатни вектори , тогава неговата дължина се изчислява по същата формула , тъй като в този случай коефициентите и са координатите на вектора в дадена координатна система.
Нека разгледаме един пример.
Намерете дължината на вектора, даден в декартовата координатна система.
Веднага прилагаме формулата, за да намерим дължината на вектора от координатите :
Сега получаваме формулата за намиране на дължината на вектора според координатите му в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството.
Нека начертаем вектора от началото и означим проекциите на точка A върху координатните оси като и . След това можем да построим правоъгълен паралелепипед по страните, в който OA ще бъде диагоналът.
В този случай (тъй като OA е диагоналът на правоъгълен паралелепипед), откъдето . Определянето на координатите на вектора ни позволява да напишем равенства , а дължината OA е равна на желаната дължина на вектора, следователно, .
по този начин дължина на вектора в пространството е равно на корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати, тоест намира се по формулата .
Изчислете дължината на вектора , където са единичните вектори на правоъгълната координатна система.
Дадено ни е векторно разлагане на координатни вектори на формата , следователно, . След това, използвайки формулата за намиране на дължината на вектор от координати, имаме .
Най-горе на страницата
Дължината на вектор през координатите на началната и крайната му точка.
Как да се намери дължината на вектор, ако са дадени координатите на началната и крайната му точка?
В предишния параграф получихме формули за намиране на дължината на вектор от неговите координати в равнина и в триизмерно пространство. Тогава можем да ги използваме, ако намерим координатите на вектора от координатите на точките на началото и края му.
Така, ако на равнината са дадени точки и , тогава векторът има координати а дължината му се изчислява по формулата , и формулата за намиране на дължината на вектор от координатите на точки и триизмерното пространство има формата .
Нека разгледаме решенията на примерите.
Намерете дължината на вектора, ако е в правоъгълна декартова координатна система .
Можете веднага да приложите формулата, за да намерите дължината на вектор от координатите на началната и крайната точка на равнината :
Второто решение е да се определят координатите на вектора чрез координатите на точките и да се приложи формулата :
.
Определете при какви стойности дължината на вектора е равна, ако .
Дължината на вектора от координатите на началната и крайната точка може да се намери като
Приравнявайки получената стойност на дължината на вектора на , изчисляваме необходимите:
Най-горе на страницата
Намиране на дължината на вектор чрез косинусовата теорема.
Повечето задачи, свързани с намирането на дължината на вектор, се решават в координати. Когато обаче координатите на вектора не са известни, трябва да търсим други решения.
Нека са известни дължините на два вектора и ъгълът между тях (или косинусът на ъгъла) и трябва да намерите дължината на вектора или . В този случай, използвайки косинусовата теорема в триъгълник ABC, можете да изчислите дължината на страната BC, която е равна на желаната дължина на вектора.
Нека разгледаме решението на примера, за да изясним казаното.
Дължините на векторите и са равни съответно на 3 и 7, а ъгълът между тях е равен на . Изчислете дължината на вектора.
Дължината на вектора е равна на дължината на страната BC в триъгълник ABC. От условието знаем дължините на страните AB и AC на този триъгълник (те са равни на дължините на съответните вектори), както и ъгъла между тях, така че имаме достатъчно данни, за да приложим косинусовата теорема:
По този начин,.
И така, за да намерим дължината на вектор от координати, използваме формулите или ,
според координатите на началната и крайната точка на вектора - или,
в някои случаи косинусовата теорема води до резултата.
Нямате време да го разберете?
Поръчайте решение
Най-горе на страницата
- Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 клас: учебник за общообразователните институции.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
Търсене на лекции
Скаларен квадратен вектор
Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си?
Номерът се нарича скаларен квадратвектор и се означават като .
по този начин скаларен квадратен векторравно на квадрата на дължината на даден вектор:
Или единичният вектор (единичен вектор на нормализирано векторно пространство) е вектор, чиято норма (дължина) е равна на единица. Единичен вектор ... Wikipedia
- (ort) вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб... Голям енциклопедичен речник
- (ort), вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб. * * * ЕДИНИЧЕН ВЕКТОР ЕДИНИЧЕН ВЕКТОР (ort), вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб... Енциклопедичен речник
Ort, вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб. Всеки вектор a може да бъде получен от някой E.v. e чрез умножаване по числото (скалар) λ, т.е. a = λe. Вижте също Векторно смятане... Велика съветска енциклопедия
- (ort), вектор, чиято дължина е равна на единицата от избрания мащаб... Естествена наука. Енциклопедичен речник
Орт: В Уикиречника има статия „орт“ Орт, или Орт, двуглавото куче, потомък на Тифон и Ехидна, брат на Цербер. Орт ... Уикипедия
А; м. [немски] Орт] 1. Рог. Хоризонтален подземен минен отвор, който няма пряк достъп до повърхността. 2. Математика. Вектор, чиято дължина е равна на единица. * * * единичен вектор I (от гръцки orthós прав), същото като единичния вектор. II (немски... ... Енциклопедичен речник
Единичен вектор- Това вектор, чиято абсолютна стойност (модул) е равна на единица. За да обозначим единичен вектор, ще използваме долния индекс e. Така че, ако е даден вектор А, тогава неговият единичен вектор ще бъде векторът Ад. Този единичен вектор е насочен в същата посока като самия вектор Аи неговият модул е равен на единица, тоест a e = 1.
очевидно, А= а Ад (а - векторен модул а). Това следва от правилото, по което се извършва операцията за умножаване на скалар по вектор.
Единични векторичесто се свързва с координатните оси на координатна система (по-специално с осите на декартова координатна система). Посоките на тези векторисъвпадат с посоките на съответните оси и техните начала често се комбинират с началото на координатната система.
Нека ви го напомня Декартова координатна системав пространството традиционно се нарича трио от взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в точка, наречена начало на координатите. Координатните оси обикновено се означават с буквите X, Y, Z и се наричат съответно абсцисна ос, ординатна ос и апликативна ос. Самият Декарт използва само една ос, върху която са нанесени абсцисите. Достойнство за използване системиоси принадлежи на неговите ученици. Следователно фразата Декартова координатна системаисторически погрешно. По-добре е да говорим правоъгълен координатна системаили ортогонална координатна система. Ние обаче няма да променим традициите и в бъдеще ще приемем, че декартовата и правоъгълната (ортогонална) координатна система са едно и също.
Единичен вектор, насочена по оста X, е означена аз, единичен вектор, насочена по оста Y, е означена й, А единичен вектор, насочена по оста Z, е означена к. Вектори аз, й, ксе наричат orts(фиг. 12, вляво), те са с единични модули, т.е
i = 1, j = 1, k = 1.
Брадви и единични вектори правоъгълна координатна системав някои случаи те имат различни имена и обозначения. По този начин абсцисната ос X може да се нарече допирателна ос, а нейният единичен вектор се обозначава τ (гръцка малка буква tau), ординатната ос е нормалната ос, нейният единичен вектор е означен п, приложимата ос е бинормална ос, нейният единичен вектор е означен b. Защо да променяме имената, ако същността остава същата?
Факт е, че например в механиката, когато се изучава движението на телата, много често се използва правоъгълната координатна система. Така че, ако самата координатна система е неподвижна и промяната в координатите на движещ се обект се проследява в тази неподвижна система, тогава обикновено осите се означават с X, Y, Z и техните единични векторисъответно аз, й, к.
Но често, когато обект се движи по някаква криволинейна траектория (например в кръг), е по-удобно да се разглеждат механичните процеси в координатната система, движеща се с този обект. Именно за такава подвижна координатна система се използват други имена на оси и техните единични вектори. Просто си е така. В този случай оста X е насочена тангенциално към траекторията в точката, където този обект се намира в момента. И тогава тази ос вече не се нарича ос X, а допирателна ос и нейният единичен вектор вече не се обозначава аз, А τ . Оста Y е насочена по радиуса на кривината на траекторията (при движение в кръг - към центъра на кръга). И тъй като радиусът е перпендикулярен на допирателната, оста се нарича нормална ос (перпендикуляр и нормал са едно и също нещо). Единичният вектор на тази ос вече не се означава й, А п. Третата ос (по-рано Z) е перпендикулярна на предходните две. Това е бинормал с орт b(Фиг. 12, вдясно). Между другото, в този случай такива правоъгълна координатна системачесто наричани "естествени" или естествени.
В геометрията векторът е насочен сегмент или подредена двойка точки в евклидовото пространство. Ортом векторе единичният вектор на нормализирано векторно пространство или вектор, чиято норма (дължина) е равна на единица.
Ще ви трябва
- Познания по геометрия.
Инструкции
Първо трябва да изчислите дължината вектор. Както е известно, дължината (модул) векторравен на корен квадратен от сумата на квадратите на координатите. Нека е даден вектор с координати: a(3, 4). Тогава дължината му е |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.
За да намерите орт вектор a, трябва да разделите всеки един на неговата дължина. Резултатът ще бъде вектор, наречен орт или единичен вектор. За вектор a(3, 4) ort ще бъде векторът a(3/5, 4/5). Вектор a` ще бъде единица за векторА.
За да проверите дали ортът е намерен правилно, можете да направите следното: намерете дължината на получения орт; ако е равен на единица, тогава всичко е намерено правилно, тогава в изчисленията се е прокраднала грешка. Нека проверим дали ort a` е намерен правилно. Дължина вектор a` е равно на: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. И така, дължината вектор a` е равно на едно, което означава, че единичният вектор е намерен правилно.