\[(\Large(\text(Централни и вписани ъгли)))\]
Дефиниции
Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл е ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност.
Градусната мярка на дъга от окръжност е градусната мярка на централния ъгъл, който я обхваща.
Теорема
Градусната мярка на вписан ъгъл е равна на половината от градусната мярка на дъгата, върху която той лежи.
Доказателство
Ще проведем доказателството на два етапа: първо ще докажем валидността на твърдението за случая, когато една от страните на вписания ъгъл съдържа диаметър. Нека точка \(B\) е върха на вписания ъгъл \(ABC\) и \(BC\) е диаметърът на окръжността:
Триъгълникът \(AOB\) е равнобедрен, \(AO = OB\) , \(\ъгъл AOC\) е външен, тогава \(\ъгъл AOC = \ъгъл OAB + \ъгъл ABO = 2\ъгъл ABC\), където \(\ъгъл ABC = 0,5\cdot\ъгъл AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Сега разгледайте произволен вписан ъгъл \(ABC\) . Нека начертаем диаметъра на окръжността \(BD\) от върха на вписания ъгъл. Има два възможни случая:
1) диаметърът разрязва ъгъла на два ъгъла \(\ъгъл ABD, \ъгъл CBD\) (за всеки от които теоремата е вярна, както е доказано по-горе, следователно е вярна и за оригиналния ъгъл, който е сумата от тези две и следователно равна на половината от сбора на дъгите, на които почиват, т.е. равна на половината от дъгата, на която почива). Ориз. 1.
2) диаметърът не разрязва ъгъла на два ъгъла, тогава имаме още два нови вписани ъгъла \(\angle ABD, \angle CBD\), чиято страна съдържа диаметъра, следователно теоремата е вярна за тях, тогава тя е вярно и за първоначалния ъгъл (който е равен на разликата между тези два ъгъла, което означава, че е равен на полуразликата на дъгите, върху които почиват, т.е. равен на половината от дъгата, върху която почива) . Ориз. 2.
Последствия
1. Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.
2. Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.
3. Вписан ъгъл е равен на половината от централния ъгъл, сключен от същата дъга.
\[(\Large(\text(Допирателна към окръжността)))\]
Дефиниции
Има три типа относителни позиции на линия и окръжност:
1) права \(a\) пресича окръжността в две точки. Такава права се нарича секуща. В този случай разстоянието \(d\) от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса \(R\) на окръжността (фиг. 3).
2) права \(b\) пресича окръжността в една точка. Такава права се нарича допирателна, а тяхната обща точка \(B\) се нарича точка на допирателна. В този случай \(d=R\) (фиг. 4).
Теорема
1. Допирателната към окръжност е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране.
2. Ако една права минава през края на радиуса на окръжност и е перпендикулярна на този радиус, тогава тя е допирателна към окръжността.
Последица
Допирателните отсечки, прекарани от една точка към окръжност, са равни.
Доказателство
Нека начертаем две допирателни \(KA\) и \(KB\) към окръжността от точката \(K\):
Това означава, че \(OA\perp KA, OB\perp KB\) са като радиуси. Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник KAO\) и \(\триъгълник KBO\) са равни по катет и хипотенуза, следователно \(KA=KB\) .
Последица
Центърът на окръжността \(O\) лежи върху ъглополовящата на ъгъла \(AKB\), образуван от две допирателни, прекарани от една и съща точка \(K\) .
\[(\Large(\text(Теореми, свързани с ъгли)))\]
Теорема за ъгъла между секущите
Ъгълът между две секущи, изтеглени от една и съща точка, е равен на полуразликата в градусните мерки на по-голямата и по-малката дъга, които те пресичат.
Доказателство
Нека \(M\) е точката, от която са изтеглени две секущи, както е показано на фигурата:
Нека покажем това \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) е външният ъгъл на триъгълника \(MAD\), тогава \(\ъгъл DAB = \ъгъл DMB + \ъгъл MDA\), където \(\ъгъл DMB = \ъгъл DAB - \ъгъл MDA\), но ъглите \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) са вписани, тогава \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), което трябваше да се докаже.
Теорема за ъгъла между пресичащите се хорди
Ъгълът между две пресичащи се хорди е равен на половината от сумата от градусните мерки на дъгите, които те пресичат: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Доказателство
\(\ъгъл BMA = \ъгъл CMD\) като вертикален.
От триъгълник \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Но \(\ъгъл AMD = 180^\circ - \ъгъл CMD\), от което правим извода, че \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ усмивка\над(CD)).\]
Теорема за ъгъла между хорда и допирателна
Ъгълът между допирателната и хордата, минаваща през точката на допир, е равен на половината от градусната мярка на дъгата, лежаща от хордата.
Доказателство
Нека правата \(a\) докосва окръжността в точката \(A\), \(AB\) е хордата на тази окръжност, \(O\) е нейният център. Нека правата, съдържаща \(OB\), пресича \(a\) в точката \(M\) . Нека докажем това \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Нека означим \(\ъгъл OAB = \alpha\) . Тъй като \(OA\) и \(OB\) са радиуси, тогава \(OA = OB\) и \(\ъгъл OBA = \ъгъл OAB = \алфа\). По този начин, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Тъй като \(OA\) е радиусът, начертан към допирателната точка, тогава \(OA\perp a\), тоест \(\angle OAM = 90^\circ\), следователно, \(\ъгъл BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема за дъгите, свързани с равни хорди
Равните хорди обхващат равни дъги, по-малки от полукръгове.
И обратно: равни дъги се стягат от равни хорди.
Доказателство
1) Нека \(AB=CD\) . Нека докажем, че по-малките полуокръжности на дъгата .
От трите страни, следователно, \(\ъгъл AOB=\ъгъл COD\) . Но защото \(\angle AOB, \angle COD\) - централни ъгли, поддържани от дъги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)съответно тогава \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ако \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Че \(\триъгълник AOB=\триъгълник COD\)от двете страни \(AO=BO=CO=DO\) и ъгъла между тях \(\angle AOB=\angle COD\) . Следователно и \(AB=CD\) .
Теорема
Ако радиусът разполовява хордата, тогава той е перпендикулярен на нея.
Обратното също е вярно: ако радиусът е перпендикулярен на хордата, тогава в точката на пресичане той я разполовява.
Доказателство
1) Нека \(AN=NB\) . Нека докажем, че \(OQ\perp AB\) .
Помислете за \(\триъгълник AOB\) : той е равнобедрен, защото \(OA=OB\) – радиуси на окръжността. защото \(ON\) е медианата, начертана към основата, тогава това е и височината, следователно \(ON\perp AB\) .
2) Нека \(OQ\perp AB\) . Нека докажем, че \(AN=NB\) .
По подобен начин \(\триъгълник AOB\) е равнобедрен, \(ON\) е височината, следователно \(\ON\) е медианата. Следователно \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Теореми, свързани с дължините на отсечките)))\]
Теорема за произведението на отсечките на хордата
Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.
Доказателство
Нека хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в точката \(E\) .
Разгледайте триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) . В тези триъгълници ъглите \(1\) и \(2\) са равни, тъй като са вписани и почиват на една и съща дъга \(BD\), а ъглите \(3\) и \(4\) са равни като вертикален. Триъгълниците \(ADE\) и \(CBE\) са подобни (въз основа на първия критерий за подобие на триъгълници).
Тогава \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), от което \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Теорема за допирателната и секущата
Квадратът на допирателната отсечка е равен на произведението на секанса и неговата външна част.
Доказателство
Нека допирателната минава през точка \(M\) и докосва окръжността в точка \(A\) . Нека секансът минава през точката \(M\) и пресича окръжността в точките \(B\) и \(C\), така че \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Разгледайте триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) : \(\ъгъл M\) е общ, \(\ъгъл BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Според теоремата за ъгъла между допирателната и секанса, \(\ъгъл BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ъгъл BCA\). По този начин триъгълниците \(MBA\) и \(MCA\) са подобни в два ъгъла.
От подобието на триъгълници \(MBA\) и \(MCA\) имаме: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), което е еквивалентно на \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Последица
Произведението на секанс, изтеглен от точка \(O\) от външната му част, не зависи от избора на секанс, изтеглен от точка \(O\) .
Планиметрията е дял от геометрията, който изучава свойствата на равнинните фигури. Те включват не само добре познатите триъгълници, квадрати и правоъгълници, но и прави линии и ъгли. В планиметрията има и такива понятия като ъгли в кръг: централен и вписан. Но какво означават те?
Какво е централен ъгъл?
За да разберете какво е централен ъгъл, трябва да дефинирате кръг. Окръжност е колекцията от всички точки, които са на еднакво разстояние от дадена точка (центъра на окръжността).
Много е важно да го разграничите от кръг. Трябва да запомните, че кръгът е затворена линия, а кръгът е част от равнина, ограничена от нея. Многоъгълник или ъгъл могат да бъдат вписани в кръг.
Централен ъгъл е ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността и чиито страни пресичат окръжността в две точки. Дъгата, която ъгълът ограничава от своите пресечни точки, се нарича дъгата, върху която лежи дадения ъгъл.
Да разгледаме пример №1.
На снимката ъгъл AOB е централен, тъй като върхът на ъгъла и центърът на окръжността са една точка O. Той лежи върху дъгата AB, която не съдържа точка C.
По какво се различава вписан ъгъл от централен ъгъл?
Въпреки това, освен централни ъгли, има и вписани ъгли. Каква е тяхната разлика? Точно като централния ъгъл, ъгълът, вписан в окръжността, лежи върху определена дъга. Но неговият връх не съвпада с центъра на кръга, а лежи върху него.
Да вземем следния пример.
Ъгъл ACB се нарича ъгъл, вписан в окръжност с център в точка O. Точка C принадлежи на окръжността, тоест лежи върху нея. Ъгълът лежи върху дъгата AB.
За да се справите успешно с геометричните задачи, не е достатъчно да можете да различавате вписани от централни ъгли. Като правило, за да ги решите, трябва да знаете точно как да намерите централния ъгъл в кръг и да можете да изчислите стойността му в градуси.
И така, централният ъгъл е равен на градусната мярка на дъгата, върху която лежи.
На снимката ъгъл AOB лежи върху дъга AB, равна на 66°. Това означава, че ъгъл AOB също е 66°.
По този начин централните ъгли, сключени от равни дъги, са равни.
На фигурата дъга DC е равна на дъга AB. Това означава, че ъгъл AOB е равен на ъгъл DOC.
Може да изглежда, че ъгълът, вписан в кръга, е равен на централния ъгъл, който се поддържа от същата дъга. Това обаче е груба грешка. Всъщност, дори само като погледнете чертежа и сравните тези ъгли един с друг, можете да видите, че техните градуси ще имат различни стойности. И така, какъв е вписаният ъгъл в окръжност?
Градусната мярка на вписан ъгъл е равна на половината от дъгата, върху която лежи, или на половината от централния ъгъл, ако лежат на една и съща дъга.
Нека разгледаме един пример. Ъгъл ASV лежи върху дъга, равна на 66°.
Това означава ъгъл ACB = 66°: 2 = 33°
Нека разгледаме някои следствия от тази теорема.
- Вписаните ъгли, ако се основават на една и съща дъга, хорда или равни дъги, са равни.
- Ако вписаните ъгли почиват на една хорда, но техните върхове лежат на противоположните му страни, сумата от градусните мерки на такива ъгли е 180 °, тъй като в този случай и двата ъгъла почиват на дъги, чиито градуси се събират до 360 ° ( цял кръг), 360°: 2 = 180°
- Ако вписан ъгъл се основава на диаметъра на дадена окръжност, неговата градусна мярка е 90°, тъй като диаметърът обхваща дъга, равна на 180°, 180°: 2 = 90°
- Ако централният и вписаният ъгъл в окръжност лежат на една и съща дъга или хорда, тогава вписаният ъгъл е равен на половината от централния.
Къде могат да се намерят проблеми по тази тема? Техните видове и решения
Тъй като окръжността и нейните свойства са един от най-важните раздели на геометрията, в частност планиметрията, вписаните и централните ъгли в окръжност са тема, която се изучава широко и подробно в училищния курс. Проблемите, посветени на техните свойства, се намират в основния държавен изпит (OGE) и единния държавен изпит (USE). Като правило, за да решите тези задачи, трябва да намерите ъглите на окръжност в градуси.
Ъгли, базирани на една дъга
Този тип задача е може би една от най-лесните, тъй като за да я разрешите, трябва да знаете само две прости свойства: ако и двата ъгъла са вписани и се основават на една и съща хорда, те са равни, ако единият от тях е централен, тогава съответният вписан ъгъл е равен на половината от него. Въпреки това, когато ги решавате, трябва да бъдете изключително внимателни: понякога е трудно да забележите това свойство и учениците стигат до задънена улица, когато решават такива прости задачи. Нека разгледаме един пример.
Задача No1
Дадена е окръжност с център в точка O. Ъгъл AOB е 54°. Намерете градусната мярка на ъгъл ASV.
Тази задача се решава с едно действие. Единственото нещо, от което се нуждаете, за да намерите отговора на него бързо, е да забележите, че дъгата, на която лежат двата ъгъла, е обща. След като видите това, можете да приложите вече познато свойство. Ъгъл ACB е равен на половината от ъгъл AOB. означава,
1) AOB = 54°: 2 = 27°.
Отговор: 54°.
Ъгли, сключени от различни дъги на една и съща окръжност
Понякога проблемните условия не посочват директно размера на дъгата, върху която лежи желаният ъгъл. За да го изчислите, трябва да анализирате големината на тези ъгли и да ги сравните с известните свойства на кръга.
Проблем 2
В окръжност с център в точка O ъгъл AOC е 120°, а ъгъл AOB е 30°. Намерете ъгъла на ВАС.
Като начало си струва да кажем, че е възможно да се реши този проблем, като се използват свойствата на равнобедрените триъгълници, но това ще изисква по-голям брой математически операции. Ето защо тук ще предоставим анализ на решението, използвайки свойствата на централен и вписан ъгъл в окръжност.
И така, ъгъл AOS лежи върху дъга AC и е централен, което означава, че дъга AC е равна на ъгъл AOS.
По същия начин ъгъл AOB лежи върху дъга AB.
Знаейки това и градусната мярка на целия кръг (360°), можете лесно да намерите големината на дъгата BC.
BC = 360° - AC - AB
BC = 360° - 120° - 30° = 210°
Върхът на ъгъл CAB, точка A, лежи върху окръжността. Това означава, че ъгъл CAB е вписан ъгъл и е равен на половината от дъгата NE.
Ъгъл CAB = 210°: 2 = 110°
Отговор: 110°
Задачи, базирани на връзката на дъгите
Някои проблеми изобщо не съдържат данни за стойностите на ъглите, така че те трябва да се търсят въз основа само на известни теореми и свойства на кръга.
Проблем 1
Намерете ъгъла, вписан в окръжността, който лежи върху хорда, равна на радиуса на дадената окръжност.
Ако мислено начертаете линии, свързващи краищата на сегмента с центъра на кръга, ще получите триъгълник. След като го разгледате, можете да видите, че тези линии са радиусите на окръжността, което означава, че всички страни на триъгълника са равни. Известно е, че всички ъгли на равностранен триъгълник са равни на 60°. Това означава, че дъгата AB, съдържаща върха на триъгълника, е равна на 60°. От тук намираме дъгата AB, върху която лежи желаният ъгъл.
AB = 360° - 60° = 300°
Ъгъл ABC = 300°: 2 = 150°
Отговор: 150°
Проблем 2
В окръжност с център точка О дъгите са в съотношение 3:7. Намерете най-малкия вписан ъгъл.
За да решим, нека обозначим една част като X, тогава една дъга е равна на 3X, а втората съответно е 7X. Знаейки, че степента на окръжност е 360°, нека съставим уравнение.
3X + 7X = 360°
Според условието трябва да намерите по-малък ъгъл. Очевидно, ако големината на ъгъла е право пропорционална на дъгата, върху която лежи, тогава желаният (по-малък) ъгъл съответства на дъга, равна на 3X.
Това означава, че по-малкият ъгъл е (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°
Отговор: 54°
В окръжност с център в точка O ъгъл AOB е 60°, а дължината на по-малката дъга е 50. Изчислете дължината на по-голямата дъга.
За да изчислите дължината на по-голяма дъга, трябва да създадете пропорция - как по-малката дъга се отнася към по-голямата. За да направим това, изчисляваме големината на двете дъги в градуси. По-малката дъга е равна на ъгъла, който лежи върху нея. Неговата градусна мярка ще бъде 60°. Голямата дъга е равна на разликата между градусната мярка на окръжността (равна е на 360° независимо от другите данни) и малката дъга.
Голямата дъга е 360° - 60° = 300°.
Тъй като 300°: 60° = 5, по-голямата дъга е 5 пъти по-голяма от по-малката.
Голяма дъга = 50 * 5 = 250
Така че, разбира се, има и други подходи за решаване на подобни проблеми, но всички те по някакъв начин се основават на свойствата на централни и вписани ъгли, триъгълници и окръжности. За да ги разрешите успешно, трябва внимателно да проучите чертежа и да го сравните с данните на проблема, както и да можете да приложите теоретичните си знания на практика.
Понятието за вписан и централен ъгъл
Нека първо въведем концепцията за централен ъгъл.
Бележка 1
Забележи, че градусната мярка на централен ъгъл е равна на градусната мярка на дъгата, върху която той лежи.
Нека сега въведем концепцията за вписан ъгъл.
Определение 2
Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат същата окръжност, се нарича вписан ъгъл (фиг. 2).
Фигура 2. Вписан ъгъл
Теорема за вписания ъгъл
Теорема 1
Градусната мярка на вписан ъгъл е равна на половината от градусната мярка на дъгата, върху която той лежи.
Доказателство.
Нека ни е дадена окръжност с център в точка $O$. Нека означим вписания ъгъл $ACB$ (фиг. 2). Възможни са следните три случая:
- Лъч $CO$ съвпада с всяка страна на ъгъла. Нека това е страната $CB$ (фиг. 3).
Фигура 3.
В този случай дъгата $AB$ е по-малка от $(180)^(()^\circ )$, следователно централният ъгъл $AOB$ е равен на дъгата $AB$. Тъй като $AO=OC=r$, то триъгълникът $AOC$ е равнобедрен. Това означава, че основните ъгли $CAO$ и $ACO$ са равни един на друг. Според теоремата за външния ъгъл на триъгълник имаме:
- Лъч $CO$ разделя вътрешен ъгъл на два ъгъла. Нека пресича окръжността в точка $D$ (фиг. 4).
Фигура 4.
Получаваме
- Лъч $CO$ не разделя вътрешния ъгъл на два ъгъла и не съвпада с никоя от страните му (фиг. 5).
Фигура 5.
Нека разгледаме ъглите $ACD$ и $DCB$ поотделно. Според доказаното в точка 1 получаваме
Получаваме
Теоремата е доказана.
Да дадем последствияот тази теорема.
Следствие 1:Вписаните ъгли, които лежат на една и съща дъга, са равни помежду си.
Следствие 2:Вписан ъгъл, който обхваща диаметър, е прав ъгъл.
Това е ъгълът, образуван от две акорди, с начало в една точка на окръжността. Вписан ъгъл се нарича почивавърху дъгата, затворена между страните му.
Вписан ъгълравен на половината от дъгата, върху която лежи.
С други думи, вписан ъгълвключва толкова ъглови градуси, минути и секунди, колкото дъгови градуси, минути и секунди се съдържат в половината дъга, върху която лежи. За да оправдаем това, нека анализираме три случая:
Първи случай:
Центърът O е разположен отстрани вписан ъгъл ABC. Начертавайки радиуса AO, получаваме ΔABO, в него OA = OB (като радиуси) и съответно ∠ABO = ∠BAO. Във връзка с това триъгълник, ъгъл AOC - външен. А това означава, че е равно на сбора от ъгли ABO и BAO, или равно на двоен ъгъл ABO. Така че ∠ABO е равно на половината централен ъгъл AOC. Но този ъгъл се измерва с дъга AC. Тоест вписаният ъгъл ABC се измерва с половината дъга AC.
Втори случай:
Центърът O е разположен между страните вписан ъгълСлед като начертаем диаметъра BD, разделяме ъгъла ABC на два ъгъла, от които според първия случай единият се измерва наполовина. дъги AD, а другата половина на дъгата CD. И съответно се измерва ъгъл ABC (AD+DC) /2, т.е. 1/2 AC.
Трети случай:
Център О е разположен отвън вписан ъгъл ABC. Начертавайки диаметъра BD, ще имаме:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Но ъглите ABD и CBD се измерват въз основа на предварително оправданата половина дъга AD и CD. И тъй като ∠ABC се измерва с (AD-CD)/2, тоест половината дъга AC.
Следствие 1.Всички, базирани на една и съща дъга, са еднакви, тоест равни един на друг. Тъй като всеки от тях се измерва с половината от същото дъги .
Следствие 2. Вписан ъгъл, въз основа на диаметъра - прав ъгъл. Тъй като всеки такъв ъгъл се измерва с половин полукръг и съответно съдържа 90 °.
Първо, нека разберем разликата между кръг и кръг. За да видите тази разлика, достатъчно е да разгледате какво представляват и двете фигури. Това са безкраен брой точки на равнината, разположени на еднакво разстояние от една централна точка. Но ако кръгът се състои и от вътрешно пространство, тогава той не принадлежи на кръга. Оказва се, че окръжността е както окръжност, която я ограничава (circle(r)), така и безброй точки, които са вътре в окръжността.
За всяка точка L, лежаща на окръжността, важи равенството OL=R. (Дължината на отсечката OL е равна на радиуса на окръжността).
Отсечка, която свързва две точки от окръжност, е негова акорд.
Хорда, минаваща директно през центъра на окръжност, е диаметъртози кръг (D). Диаметърът може да се изчисли по формулата: D=2R
Обиколкаизчислява се по формулата: C=2\pi R
Площ на кръг: S=\pi R^(2)
Дъга от кръгсе нарича тази част от него, която се намира между двете му точки. Тези две точки определят две дъги на окръжност. Хордата CD обхваща две дъги: CMD и CLD. Еднаквите хорди обхващат равни дъги.
Централен ъгълЪгъл, който лежи между два радиуса, се нарича.
Дължината на дъгатаможе да се намери с помощта на формулата:
- Използване на степенна мярка: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Използване на радианова мярка: CD = \alpha R
Диаметърът, който е перпендикулярен на хордата, разделя хордата и свитите от нея дъги наполовина.
Ако хордите AB и CD на окръжността се пресичат в точка N, то произведенията на отсечките на хордите, разделени от точка N, са равни една на друга.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Допирателна към окръжност
Допирателна към окръжностОбичайно е да се нарича права линия, която има една обща точка с кръг.
Ако една права има две общи точки, тя се нарича секуща.
Ако начертаете радиуса към допирателната, той ще бъде перпендикулярен на допирателната към окръжността.
Нека начертаем две допирателни от тази точка към нашата окръжност. Оказва се, че допирателните сегменти ще бъдат равни един на друг, а центърът на окръжността ще бъде разположен върху ъглополовящата на ъгъла с върха в тази точка.
AC = CB
Сега нека начертаем допирателна и секанс към окръжността от нашата точка. Получаваме, че квадратът на дължината на допирателната отсечка ще бъде равен на произведението на цялата секуща отсечка и външната му част.
AC^(2) = CD \cdot BC
Можем да заключим: произведението на цяла отсечка от първия секанс и неговата външна част е равно на произведението от цяла отсечка от втория секанс и неговата външна част.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Ъгли в кръг
Градусните мерки на централния ъгъл и дъгата, върху която той лежи, са равни.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Вписан ъгъле ъгъл, чийто връх е върху окръжност и чиито страни съдържат хорди.
Можете да го изчислите, като знаете размера на дъгата, тъй като той е равен на половината от тази дъга.
\ъгъл AOB = 2 \ъгъл ADB
Въз основа на диаметър, вписан ъгъл, прав ъгъл.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Вписаните ъгли, които обхващат една и съща дъга, са еднакви.
Вписаните ъгли, лежащи върху една хорда, са еднакви или сумата им е равна на 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\ъгъл ADB = \ъгъл AEB = \ъгъл AFB
На същата окръжност са върховете на триъгълници с еднакви ъгли и дадена основа.
Ъгъл с връх вътре в окръжността и разположен между две хорди е идентичен на половината от сумата от ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат в дадения и вертикалния ъгъл.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Ъгъл с връх извън окръжността и разположен между две секанти е идентичен на половината от разликата в ъгловите стойности на дъгите на окръжността, които се съдържат вътре в ъгъла.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписан кръг
Вписан кръге окръжност, допирателна към страните на многоъгълник.
В точката, където се пресичат ъглополовящите на ъглите на многоъгълник, се намира неговият център.
Окръжност не може да бъде вписана във всеки многоъгълник.
Площта на многоъгълник с вписан кръг се намира по формулата:
S = pr,
p е полупериметърът на многоъгълника,
r е радиусът на вписаната окръжност.
От това следва, че радиусът на вписаната окръжност е равен на:
r = \frac(S)(p)
Сумите от дължините на противоположните страни ще бъдат еднакви, ако окръжността е вписана в изпъкнал четириъгълник. И обратно: окръжност се вписва в изпъкнал четириъгълник, ако сумите от дължините на срещуположните страни са еднакви.
AB + DC = AD + BC
Във всеки от триъгълниците е възможно да се впише кръг. Само един единствен. В точката, където се пресичат ъглополовящите на вътрешните ъгли на фигурата, ще лежи центърът на тази вписана окръжност.
Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по формулата:
r = \frac(S)(p),
където p = \frac(a + b + c)(2)
Околна окръжност
Ако окръжност минава през всеки връх на многоъгълник, тогава такава окръжност обикновено се нарича описано за многоъгълник.
В точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на тази фигура ще бъде центърът на описаната окръжност.
Радиусът може да се намери, като се изчисли като радиуса на окръжността, описана около триъгълника, определен от всеки 3 върха на многоъгълника.
Съществува следното условие: около четириъгълник може да се опише окръжност само ако сборът от срещуположните му ъгли е равен на 180^( \circ) .
\ъгъл A + \ъгъл C = \ъгъл B + \ъгъл D = 180^ (\circ)
Около всеки триъгълник можете да опишете окръжност и само една. Центърът на такъв кръг ще бъде разположен в точката, където се пресичат перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника.
Радиусът на описаната окръжност може да се изчисли по формулите:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c са дължините на страните на триъгълника,
S е площта на триъгълника.
Теорема на Птолемей
И накрая, разгледайте теоремата на Птолемей.
Теоремата на Птолемей гласи, че произведението на диагоналите е идентично на сумата от произведенията на противоположните страни на цикличен четириъгълник.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)