„Квадрат и правоъгълник“ - Площ на правоъгълник. Фундаментален въпрос. Измерване на площите на други форми. Как да намерите площта на стаята? Площ Площта на правоъгълника. Колко ученици могат да учат в различни класни стаи в нашето училище? Умножете дължината (a) по ширината (b). Проблемни въпроси. В кои класни стаи може да учи 11 клас (16 човека)?
„Квадрат на сбора и квадрат на разликата” - Затвърдяване: VII. Нека разгледаме две разлики 16 – 36 и 25 – 45. Събираме, получаваме 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Намерете грешката. Повдигане на квадрат на сбора и разликата на два израза. Единственият начин да научите е да се забавлявате. Урок за учители в курсове за напреднали.
„Правоъгълник и квадрат“ - Изчислете периметъра на правоъгълник. Правоъгълник, в който всички страни са равни, се нарича квадрат. Периметърът на квадрата се изчислява по формулата: P=4a. Периметърът на квадрата е 32 см. Намерете страната на квадрата. S на квадрат е равно на 81 cm2. Каква е страната на квадрат? Назовете противоположните страни? Сборът от дължините на всички страни на правоъгълника се нарича периметър на правоъгълника.
„Невероятни квадрати“ – И четирите страни са с еднаква дължина. Приказка: Птици: Слон. Невероятен квадрат. платноходка. Докато си тръгваше, той каза: „Желая ви приятни сънища!“ Островът беше много далеч и толкова малък. Основи на оригами квадрат. Стоеше без думи... Това е отмъщение! Лодка. 5.Начало. Аз съм по-стар, аз съм квадрат. Хартиена приказка.
„Интерференция на две вълни“ - Светли ивици - вълните се подсилват една друга (максимална амплитуда). Бръсначът се държи върху водата от повърхностното напрежение на масления филм. причина? Опитът на Томас Йънг. Радиотелескоп-интерферометър, разположен в Ню Мексико, САЩ. Сапунени филми. Просветляваща оптика. Светлината с различни цветове съответства на различни дължини на вълната.
„Разлика на квадратите“ - Тема на урока: „Разлика на квадратите“. Математическа диктовка. Пример 1. Извършете умножение: (3x – 2y)(3x + 2y). Не бъркайте термините „разлика на квадратите“ и „разлика на квадрат“. Разлика на квадратите. 4) Разликата между числото m и удвоеното произведение на числата x и y. Формулата за разликата на квадратите се използва за бързи изчисления.
45 бонбона струват същата сума рубли, колкото можете да купите за 20 рубли. Колко бонбони можете да купите за 50 рубли?
Отговор: 75 бонбона.
Решение.Позволявам х- цената на един бонбон в рубли. След това 45 х= 20/х, където х= 2/3. Тогава за 50 рубли можете да купите 50/ х= 75 бонбона.
Критерии.
Уравнение 45 е правилно х= 20/х, но при решаването му или по-късно е допусната аритметична грешка: 5 точки.
Решението гласи, че цената на един бонбон е 2/3, проверява дали тази цена отговаря на условията на задачата и получава верния отговор: 4 точки.
Дава се само верният отговор: 1 точка.
Задача 2. (7 точки)
Женя постави числата от 1 до 10 около кръга в някакъв ред, а Дима записа сбора им на всяко място между числата. Може ли да се случи всички числа, които Дима написа, да се окажат различни?
Отговор:Може би.
Пример за поставяне на номера е показан по-долу.
Критерии.Всяко правилно решение: 7 точки.
Дава се само верен отговор или верен отговор и неверен пример: 0 точки.
Задача 3. (7 точки)
Възможно ли е в някои клетки от таблица 8 × 8 напишете единици, а останалите - нули, така че във всички колони да има различна сума, а във всички редове - една и съща?
Отговор:Мога.
Решение.Нека сборът от числата във всеки ред е равен на х. Тогава сумата от всички числа в таблицата е 8 х, т.е. общата сума се дели на 8. Имайте предвид, че колоните могат да съдържат от 0 до 8 единици. Сумата от всички числа от 0 до 8 е 36. За да получите кратно на 8, трябва да извадите 4 от 36. Следователно в нашия пример не трябва да има колона, която съдържа точно 4 единици.
Пример е показан по-долу (има и други примери).
Критерии.Всеки правилен пример, дори без никакво обяснение: 7 точки.
Доказано е, че ако сумата във всички колони е различна от нула, то примерът не съществува: 4 точки.
Задача 4. (7 точки)
Два квадрата имат общ връх. Намерете отношението на отсечките ABИ CDпоказано на фигурата.
Отговор:
Решение.Нека точката О- общият връх на два квадрата, а страните им са равни аИ b. Диагоналите на квадратите са равни И съответно. В допълнение, ∠ C.O.D.= ∠COB+ ∠БПК= ∠COB+ 45° = ∠COB+ ∠AOC= ∠AOB. Триъгълници AOBИ C.O.D.подобни по общи ъгли и пропорционални страни при този ъгъл.
следователно AB: CD=
Критерии.Всяко правилно решение: 7 точки.
Съотношението не е изчислено правилно ABДа се CD, А CDДа се AB(съответно отговор): 7 точки.
Сходството на триъгълниците е доказано AOBИ C.O.D., но няма допълнително заключение или търсената връзка е намерена неправилно: 6 точки.
Доказано е, че ∠ AOB= ∠C.O.D., но без по-нататъшен напредък: 1 точка.
Разглежда се само специален случай (например, когато квадратите имат една и съща страна или когато ъгълът между някои страни на два квадрата е 90°): 0 точки.
Дава се само верен отговор: 0 точки.
Задача 5. (7 точки)
Числа a, b, cИ дса такива, че а+b= ° С+d ≠ 0, ак= бд. Докажи това а+ ° С= b+ д.
Решение.Ако а ≠ 0, след това заместете ° С= b d/a, получаваме
Оттук b= ° СИ а+ ° С= b+ д.
Ако а= 0, тогава b ≠ 0 (в противен случай а+ b= 0), така че д= 0 (от ак= бд). Но след това равенство а+ b= ° С+ дпренаписан като b= ° С, от което следва търсеното равенство.
Възможни са и други решения.
Критерии.Всяко правилно решение: 7 точки.
Правилното решение разглежда израз на формата bd a(или други подобни), но не се зачита случай на знаменател равен на нула: 5 точки.
Доказано е, че ( а+° С) 2 = (b+д) 2 , но случаят ( а+° С) = — (b+ д): 3 точки.
Разглеждат се само случаите на конкретни числени стойности а, b, ° С, д: 0 точки.
Задача 6. (7 точки)
По маршрута има 60 пътни знака. На всеки от тях е изписан сборът от разстоянията до останалите 59 знака. Възможно ли е на знаците да има изписани 60 различни естествени числа? (Разстоянията между знаците не са непременно цели числа.)
Отговор:Невъзможен.
Решение.Нека номерираме знаците последователно с числата от 1 до 60. Нека докажем, че числата, записани на знаците с номера 30 и 31, са еднакви.
Нека разделим останалите знаци на двойки от формата кИ к+ 31: 1 и 32, 2 и 33, . . . , 29 и 60. Обърнете внимание, че сумата от разстоянията от знак 30 и знак 31 до знаците на една двойка кИ к+ 31 е равно на разстоянието между знаците кИ к+ 31. Тъй като числото на знаци 30 и 31 е равно на сумата от разстоянията до знаците на всичките 29 двойки и разстоянието между знаци 30 и 31, то числата на знаци 30 и 31 са еднакви.
Критерии.Всяко правилно решение: 7 точки.
Твърди се, но не се доказва, че числата, записани в двете средни колони (на колони 30 и 31), са равни: 2 точки.
Използвайки примера за специални случаи, се показва, че определено ще има равни числа: 0 точки.
Дава се само верен отговор: 0 точки.
1. В окръжност с център O са начертани две хорди AB и CD така, че централните ъгли AOB и COD са равни. Перпендикулярите OK и OL са пуснати върху тези хорди. Докажете, че OK и OL са равни.
2. В окръжност през средата O на хордата AC е начертана хорда BD така, че дъгите AB и CD са равни. Докажете, че O е средата на хордата BD.
3. Окръжности с центрове в точки I и J нямат общи точки. Вътрешната обща допирателна към тези окръжности разделя отсечката, свързваща центровете им в отношение m:n. Докажете, че диаметрите на тези окръжности са в отношение m:n.
4. Височините AA1 и BB1 на остроъгълен триъгълник ABC се пресичат в точка E. Докажете, че ъглите AA1B1 и ABB1 са равни.
5. В триъгълник ABC с тъп ъгъл ACB са нанесени височините AA1 и BB1. Докажете, че триъгълниците A1CB1 и ACB са подобни.
6. Окръжности с центрове в точки E и F се пресичат в точки C и D, а точките E и F лежат от едната страна на правата CD. Докажете, че CD ⊥ EF.
7. Два равностранни триъгълника имат общ връх. Докажете, че отбелязаните на фигурата отсечки AB и CD са равни.
8. В остроъгълния триъгълник ABC ъгъл B е 60°. Докажете, че точки A, C, центърът на описаната около триъгълник ABC и пресечната точка на височините на триъгълник ABC лежат на една и съща окръжност.
9. Окръжността се допира до страната AB на триъгълника ABC, чието ∠C = 90°, и продълженията на страните му AC и BC съответно на точки A и B. Докажете, че периметърът на триъгълник ABC е равен на диаметъра на тази окръжност.
10. В остроъгълен триъгълник ABC точките A, C, центърът на описаната окръжност O и центърът на вписаната окръжност I лежат на една и съща окръжност. Докажете, че ъгъл ABC е 60°.
11. Известно е, че около четириъгълника ABCD може да бъде описана окръжност и че продълженията на страните AD и BC на четириъгълника се пресичат в точка K. Докажете, че триъгълниците KAB и KCD са подобни.
12. Докажете, че медианата на триъгълник го разделя на два триъгълника, чиито площи са равни една на друга.
13. В триъгълник ABC с тъп ъгъл ACB са нанесени височините AA1 и BB1. Докажете, че триъгълниците A1CB1 и ACB са подобни.
14. В успоредника ABCD са прекарани перпендикуляри BE и DF към диагонала AC (виж фигурата). Докажете, че BFDE е успоредник.
15. В успоредника ABCD точка E е средата на страната AB. Известно е, че EC=ED. Докажете, че този успоредник е правоъгълник.
16. Два квадрата имат общ връх. Докажете, че отсечките, отбелязани на фигурата и са равни.
17. Средите на страните на успоредника са върховете на ромба. Докажете, че този успоредник е правоъгълник.
18. В успоредника ABCD височините BH и BE са начертани съответно към страните AD и CD, като BH = BE. Докажете, че ABCD е ромб.
19. В успоредника ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка K. Докажете, че лицето на успоредника ABCD е четири пъти по-голямо от лицето на триъгълника AKD.
20. Вътре в успоредника ABCD изберете произволна точка E. Докажете, че сумата от площите на триъгълниците BEC и AED е равна на половината от площта на успоредника.
21. Известно е, че около четириъгълника ABCD може да бъде описана окръжност и че продълженията на страните AB и CD на четириъгълника се пресичат в точка M. Докажете, че триъгълниците MBC и MDA са подобни.
22. Основите BC и AD на трапеца ABCD са съответно 5 и 20, BD = 10. Докажете, че триъгълниците CBD и ADB са подобни.
23. В изпъкнал четириъгълник ABCD ъглите BCA и BDA са равни. Докажете, че ъглите ABD и ACD също са равни.
24. В трапец ABCD с основи AD и BC диагоналите се пресичат в точка O. Докажете, че лицата на триъгълниците AOB и COD са равни.
©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно използване.
Дата на създаване на страницата: 2017-12-12
дадени: ∆ABCи ∆ А1В1С1; AB=___; AC=___; Ð СЪС=____=_____.
Докажи: ∆ABC=_____.
Доказателство:
На ( AC) остави точката настрана дТака CD=A.C.. ∆ABC=∆BCD, защото:
1) _____ - обща страна;
2) A.C.=CD- по конструкция;
3) Р DIA=_______ => на база _____ AB=_____.
По същия начин за А1В1С1
________________________________________________________
Имаме това:
1) AB
2) BD=___, от __________________________;
3) AD=___, от __________________________;
Тогава, според третия критерий на триъгълниците: ∆ ABD=_____.
Така имаме в ∆ ABCи ∆ А1В1С1:
AB=___
AC=___ => ∆_____=∆______.
Ð А=___
Задача 8.
Попълнете таблицата, ако знаете, че ∆ ABC=∆А1В1С1.
Задача 9.
Решете допълнителни проблеми:
1. Равни сегменти ABИ CDпресичат се в средата на всяка от тях. Докажете равенството на ъглите ACBИ DBC. Направете рисунка.
2. Докажете равенството на триъгълниците, базирани на две страни и медиана, идваща от един връх. Направете рисунка.
3. Докажете равенството на триъгълници със страна, медианата, прекарана към тази страна, и ъглите, които медианата образува с нея. Направете рисунка.
4. Точки А, б, ° С, длежат на една и съща права линия (фиг. 3.7). Докажете, че ако ∆ AVE1=∆AVE2, тогава ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. Еднакви триъгълници ABCИ А1В1С1от върховете INИ В 1начертани са ъглополовящи BDИ б1 д1 . Докажете равенството на триъгълниците CBDИ ° С1 б1 д1 . Направете рисунка. Решете проблема по различни начини. Оформете решението си творчески.
Задача 10.
По-долу е даден проблемът и диаграма с неговите пет решения (1-5). Разгледайте всяко решение (фиг. 3.8). Какви знаци за равенство на триъгълници се използват в тях? Направете план за едно от решенията и го проектирайте креативно.
Триъгълници ABCИЛОШО са равни. Техните страниAD Ипр.н.е. пресичат се в точка ОТНОСНО.Докажете, че триъгълниците AOCИБПК също са равни.
Схема на решение:
§4. Допълнителни задачи
p1. Задачи с практическо съдържание
В много практически и теоретични случаи е удобно да се използват познатите знаци за равенство на триъгълници.
ЗАДАЧА 1. Един от ъглите на триъгълното стъкло на прозореца се счупи. Възможно ли е да поръчате на стъклар да изреже счупеното стъкло от оцелялата част? Какви измервания трябва да взема? Постройте този триъгълник с пергел и линийка.
Учениците работят по групи. Всяка група изготвя решение. Първата група, която е решила проблема, защитава своето решение.
ЗАДАЧА 2. Дърводелецът трябва да запълни дупка с триъгълна форма. Колко размера и кои трябва да премахне, за да направи кръпка? Какво трябва да измери, ако дупката има формата на: а) правоъгълен триъгълник, б) равностранен триъгълник, в) равнобедрен триъгълник, г) разширен триъгълник.
На всички ученици са дадени 4 предложени вида триъгълници. Необходимо е да разберете устно какви размери трябва да бъдат премахнати, за да направите кръпка.
ЗАДАЧА 3.Мама купи 1 метър плат с ширина 1 метър за шал за двете си дъщери. Разделете това парче плат на две равни части, уверете се, че дъщерите ви не се карат (шаловете са равни) и докажете правилността на вашите действия.
Ще се промени ли нещо, ако парче плат има формата:
· Правоъгълник,
· Успоредник.
ЗАДАЧА 4.Три села B, C, D са разположени така, че C е на 7 km югозападно от село B, а село D е на 4 km източно от V. Други три села A, K, M са разположени така, че село K е разположено на 4 km северно от M, а село A е на 7 km югоизточно от M. Начертайте и докажете, че разстоянието между точки C и D е същото като между точки K и A.
ЗАДАЧА 5.В училищната работилница бяха направени четири пръчки с дължина 4,7,10,13 см. Като свържете три от четирите пръчки с техните краища, разберете от кои три пръчки може да се образува триъгълник и от кои не. . Обяснете констатациите си.
p2. Задачи за прилагане на знаци за равенство на триъгълници от текстове на GIA
Задача 1.Две равни хорди AB и CD са начертани в окръжност с център O. Перпендикулярите OK и OL се спускат съответно върху тези хорди (фиг. 4.1). Докажете, че OK и OL са равни.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" width="316" height="152">
Задача 4.Средата M на основата AD на трапеца ABCD е на равно разстояние от краищата на другата основа (фиг. 4.4). Докажете, че трапецът ABCD е равнобедрен.
Задача 5.Средите на страните на успоредника са върховете на ромба (фиг. 4.5). Докажете, че този успоредник е правоъгълник.
Задача 6.Средите на страните на успоредника са върховете на правоъгълника (фиг. 4.6). Докажете, че този успоредник е ромб.
Задача 7.Докажете, че ъглополовящите на ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни (Фигура 4.7).
Проблем 8. В успоредник се начертават ъглополовящи на противоположни ъгли (фиг. 4.8). Докажете, че ъглополовящите отсечки, съдържащи се в успоредник, са равни.