قانون هوك ينطبق على أي تشوه في الجسم. تعريف قانون هوك وصيغته

أنواع التشوهات

التشوهيسمى تغيير في شكل أو حجم أو حجم الجسم. يمكن أن يحدث التشوه بسبب قوى خارجية مطبقة على الجسم. تسمى التشوهات التي تختفي تمامًا بعد توقف تأثير القوى الخارجية على الجسم المرنوالتشوهات التي تستمر حتى بعد توقف القوى الخارجية عن التأثير على الجسم - بلاستيك. يميز سلالة الشدأو ضغط(أحادية أو شاملة)، الانحناء, التواءو يحول.

القوى المرنة

عندما يتشوه جسم صلب، فإن جزيئاته (الذرات والجزيئات والأيونات) الموجودة في عقد الشبكة البلورية يتم إزاحتها من مواقع توازنها. يتم مقاومة هذا الإزاحة من خلال قوى التفاعل بين جزيئات الجسم الصلب، والتي تبقي هذه الجزيئات على مسافة معينة من بعضها البعض. لذلك، مع أي نوع من التشوه المرن، تنشأ قوى داخلية في الجسم تمنع تشوهه.

تسمى القوى التي تنشأ في الجسم أثناء تشوهه المرن ويتم توجيهها ضد اتجاه إزاحة جزيئات الجسم الناتجة عن التشوه بالقوى المرنة. تؤثر القوى المرنة في أي جزء من الجسم المشوه، وكذلك عند نقطة اتصالها بالجسم مسببة التشوه. في حالة الشد أو الضغط الأحادي الجانب، يتم توجيه القوة المرنة على طول الخط المستقيم الذي تعمل على طوله القوة الخارجية، مما يسبب تشوه الجسم، عكس اتجاه هذه القوة وعموديًا على سطح الجسم. طبيعة القوى المرنة كهربائية.

سننظر في حالة حدوث قوى مرنة أثناء التوتر والضغط من جانب واحد لجسم صلب.

قانون هوك

تم إنشاء العلاقة بين القوة المرنة والتشوه المرن للجسم (عند التشوهات الصغيرة) بشكل تجريبي من قبل الفيزيائي الإنجليزي المعاصر لنيوتن هوك. التعبير الرياضي لقانون هوك لتشوه التوتر (الضغط) أحادي الجانب له الشكل:

حيث f هي القوة المرنة؛ س - استطالة (تشوه) الجسم؛ k هو معامل التناسب اعتمادًا على حجم الجسم ومادته، ويسمى بالصلابة. وحدة الصلابة في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن لكل متر (N/m).

قانون هوكللتوتر من جانب واحد (الضغط) يتم صياغته على النحو التالي: تتناسب القوة المرنة الناشئة أثناء تشوه الجسم مع استطالة هذا الجسم.

لنفكر في تجربة توضح قانون هوك. دع محور التماثل للزنبرك الأسطواني يتزامن مع الخط المستقيم للفأس (الشكل 20، أ). يتم تثبيت أحد طرفي الزنبرك في الدعامة عند النقطة A، والثاني حر ويتم ربط الجسم M به. عندما لا يتشوه الزنبرك، تقع نهايته الحرة عند النقطة C. سيتم اعتبار هذه النقطة أصل الإحداثي x، الذي يحدد موضع النهاية الحرة للزنبرك.

دعونا نمد الزنبرك بحيث تكون نهايته الحرة عند النقطة D، وإحداثيتها x > 0: عند هذه النقطة يؤثر الزنبرك على الجسم M بقوة مرنة

دعونا الآن نضغط الزنبرك بحيث تكون نهايته الحرة عند النقطة B، التي إحداثيتها x

يمكن أن نرى من الشكل أن إسقاط القوة المرنة للزنبرك على المحور الفأس له دائمًا إشارة معاكسة لعلامة الإحداثي x، نظرًا لأن القوة المرنة موجهة دائمًا نحو موضع التوازن C. في الشكل. 20، ب يظهر رسما بيانيا لقانون هوك. يتم رسم قيم استطالة x للزنبرك على محور الإحداثي، ويتم رسم قيم القوة المرنة على المحور الإحداثي. اعتماد fx على x هو خطي، وبالتالي فإن الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر أصل الإحداثيات.

دعونا نفكر في تجربة أخرى.

دع أحد طرفي سلك فولاذي رفيع مثبت على حامل، وحمل معلق من الطرف الآخر، يكون وزنه قوة شد خارجية F تعمل على السلك المتعامد مع مقطعه العرضي (الشكل 21).

لا يعتمد تأثير هذه القوة على السلك على معامل القوة F فحسب، بل يعتمد أيضًا على مساحة المقطع العرضي للسلك S.

تحت تأثير القوة الخارجية المطبقة عليه، يتشوه السلك ويمتد. إذا لم يكن التمدد كبيرًا جدًا، فإن هذا التشوه يكون مرنًا. في سلك مشوه بشكل مرن، تنشأ قوة مرنة f. وفقا لقانون نيوتن الثالث، فإن القوة المرنة تساوي في المقدار ومعاكسة في الاتجاه للقوة الخارجية المؤثرة على الجسم، أي.

و يصل = -F (2.10)

تتميز حالة الجسم المشوه بشكل مرن بالقيمة s، تسمى الإجهاد الميكانيكي الطبيعي(أو باختصار فقط الجهد العادي). الضغط الطبيعي يساوي نسبة معامل القوة المرنة إلى مساحة المقطع العرضي للجسم:

ق = و يصل /س (2.11)

دع الطول الأولي للسلك غير الممدود هو L 0 . بعد تطبيق القوة F، تمدد السلك وأصبح طوله يساوي L. وتسمى الكمية DL = L - L 0 استطالة الأسلاك المطلقة. تسمى الكمية e = DL/L 0 (2.12). استطالة الجسم النسبية. لسلالة الشد e>0، لسلالة الضغط e< 0.

تظهر الملاحظات أنه بالنسبة للتشوهات الصغيرة، فإن الإجهاد الطبيعي يتناسب مع الاستطالة النسبية e:

ق = ه|ه|. (2.13)

الصيغة (2.13) هي أحد أنواع كتابة قانون هوك للتوتر الأحادي الجانب (الضغط). في هذه الصيغة، يتم أخذ الاستطالة النسبية بشكل معياري، حيث يمكن أن تكون موجبة وسالبة. يُطلق على معامل التناسب E في قانون هوك اسم المعامل الطولي للمرونة (معامل يونج).

دعونا نحدد المعنى المادي لمعامل يونغ. كما يتبين من الصيغة (2.12)، e = 1 و L = 2L 0 لـ DL = L 0 . ويترتب على الصيغة (2.13) أنه في هذه الحالة s = E. وبالتالي، فإن معامل يونغ يساوي عدديا الإجهاد الطبيعي الذي يجب أن ينشأ في الجسم إذا تضاعف طوله. (إذا كان قانون هوك صحيحًا بالنسبة لمثل هذا التشوه الكبير). من الصيغة (2.13) يتضح أيضًا أنه في معامل SI Young يتم التعبير عنه بالباسكال (1 Pa = 1 N/m2).

تمت صياغة قانون هوك على النحو التالي: القوة المرنة التي تحدث عندما يتشوه الجسم بسبب تطبيق قوى خارجية تتناسب مع استطالته. التشوه بدوره هو تغيير في المسافة بين الذرات أو بين الجزيئات لمادة ما تحت تأثير القوى الخارجية. القوة المرنة هي القوة التي تميل إلى إعادة هذه الذرات أو الجزيئات إلى حالة التوازن.

الصيغة 1 - قانون هوك.

و - القوة المرنة.

ك - صلابة الجسم (معامل التناسب الذي يعتمد على مادة الجسم وشكله).

س - تشوه الجسم (استطالة أو ضغط الجسم).

اكتشف هذا القانون روبرت هوك عام 1660. أجرى تجربة، والتي تتكون من ما يلي. تم تثبيت خيط فولاذي رفيع في أحد طرفيه، وتم تطبيق كميات متفاوتة من القوة على الطرف الآخر. ببساطة، تم تعليق خيط من السقف وتم تطبيق حمولة ذات كتلة متفاوتة عليه.

الشكل 1 - تمدد الخيط تحت تأثير الجاذبية.

نتيجة للتجربة، اكتشف هوك أنه في الممرات الصغيرة يكون اعتماد تمدد الجسم خطيًا بالنسبة إلى القوة المرنة. أي أنه عند تطبيق وحدة القوة، يطول الجسم بمقدار وحدة واحدة من الطول.

الشكل 2 - رسم بياني لاعتماد القوة المرنة على استطالة الجسم.

الصفر على الرسم البياني هو الطول الأصلي للجسم. كل ما على اليمين هو زيادة في طول الجسم. في هذه الحالة، القوة المرنة لها قيمة سلبية. أي أنها تسعى جاهدة إلى إعادة الجسد إلى حالته الأصلية. وبناء على ذلك، يتم توجيهه عكس قوة التشوه. كل شيء على اليسار هو ضغط على الجسم. القوة المرنة إيجابية.

لا يعتمد تمدد الخيط على القوة الخارجية فحسب، بل يعتمد أيضًا على المقطع العرضي للخيط. سوف يمتد الخيط الرفيع بطريقة ما بسبب وزنه الخفيف. ولكن إذا كنت تأخذ سلسلة من نفس الطول، ولكن بقطر، على سبيل المثال، 1 متر، فمن الصعب تخيل مقدار الوزن المطلوب لتمديده.

لتقييم كيفية تأثير القوة على جسم ذو مقطع عرضي معين، تم تقديم مفهوم الإجهاد الميكانيكي العادي.

الصيغة 2 - الإجهاد الميكانيكي الطبيعي.

منطقة مستعرضة.

ويتناسب هذا الضغط في النهاية مع استطالة الجسم. الاستطالة النسبية هي نسبة الزيادة في طول الجسم إلى طوله الإجمالي. ويسمى معامل التناسب بمعامل يونج. المعامل لأن قيمة استطالة الجسم تؤخذ معاملا دون مراعاة الإشارة. ولا يأخذ في الاعتبار ما إذا كان الجسم قصيرًا أم طويلًا. من المهم تغيير طوله.

الصيغة 3 - معامل يونغ.

|e|. - الاستطالة النسبية للجسم.

s هو توتر الجسم الطبيعي.

إذا تم تطبيق قوة معينة على الجسم، يتغير حجمه و (أو) شكله. وتسمى هذه العملية تشوه الجسم. في الأجسام التي تخضع للتشوه، تنشأ قوى مرنة تعمل على موازنة القوى الخارجية.

أنواع التشوه

يمكن تقسيم جميع التشوهات إلى نوعين: مرن تشوهو بلاستيك.

تعريف

المرنيتم استدعاء التشوه إذا تمت استعادة الأبعاد السابقة للجسم وشكله بالكامل بعد إزالة الحمل.

تعريف

بلاستيكضع في اعتبارك التشوه الذي يتم فيه استعادة التغييرات في حجم وشكل الجسم التي ظهرت بسبب التشوه جزئيًا بعد إزالة الحمل.

طبيعة التشوه تعتمد على

• حجم ووقت التعرض للحمل الخارجي.
• مادة الجسم
• حالة الجسم (درجة الحرارة، وطرق المعالجة، وما إلى ذلك).

لا توجد حدود حادة بين التشوه المرن والبلاستيك. في عدد كبير من الحالات، يمكن اعتبار التشوهات الصغيرة والقصيرة المدى مرنة.

تصريحات قانون هوك

وقد وجد تجريبيا أنه كلما زاد التشوه اللازم للحصول عليه، كلما زادت قوة التشوه المطبقة على الجسم. من خلال حجم التشوه ($\Delta l$) يمكن للمرء الحكم على حجم القوة:

\[\دلتا l=\frac(F)(k)\left(1\right),\]

التعبير (1) يعني أن القيمة المطلقة للتشوه المرن تتناسب طرديًا مع القوة المطبقة. هذا البيان هو محتوى قانون هوك.

عند تشوه استطالة (ضغط) الجسم، تتحقق المساواة التالية:

حيث $F$ هي قوة التشوه؛ $l_0$ - طول الجسم الأولي؛ $l$ هو طول الجسم بعد التشوه؛ $k$ - معامل المرونة (معامل الصلابة، الصلابة)، $ \left=\frac(N)(m)$. يعتمد معامل المرونة على مادة الجسم وحجمه وشكله.

بما أن القوى المرنة ($F_u$) تنشأ في جسم مشوه، والتي تميل إلى استعادة الحجم والشكل السابقين للجسم، غالبًا ما تتم صياغة قانون هوك فيما يتعلق بالقوى المرنة:

يعمل قانون هوك بشكل جيد مع التشوهات التي تحدث في القضبان المصنوعة من الفولاذ والحديد الزهر والمواد الصلبة الأخرى في النوابض. قانون هوك صالح لتشوهات الشد والضغط.

قانون هوك للتشوهات الصغيرة

تعتمد القوة المرنة على التغير في المسافة بين أجزاء الجسم نفسه. يجب أن نتذكر أن قانون هوك صالح فقط للتشوهات الصغيرة. مع التشوهات الكبيرة، لا تتناسب القوة المرنة مع قياس الطول؛ ومع زيادة أخرى في تأثير التشوه، يمكن أن ينهار الجسم.

إذا كانت تشوهات الجسم صغيرة، فيمكن تحديد القوى المرنة من خلال التسارع الذي تنقله هذه القوى إلى الأجسام. إذا كان الجسم بلا حراك، فسيتم العثور على معامل القوة المرنة من المساواة إلى الصفر للمجموع المتجه للقوى المؤثرة على الجسم.

يمكن كتابة قانون هوك ليس فقط فيما يتعلق بالقوى، ولكن غالبًا ما تتم صياغته لكمية مثل الإجهاد ($\sigma =\frac(F)(S)$ هي القوة التي تؤثر على وحدة مساحة المقطع العرضي الجسم)، ثم للتشوهات الصغيرة:

\[\سيجما =E\frac(\Delta l)(l)\ \left(4\right),\]

حيث $E$ هو معامل يونغ؛$\ \frac(\Delta l)(l)$ هو الاستطالة النسبية للجسم.

أمثلة على المشاكل مع الحلول

مثال 1

يمارس.حمولة كتلتها $m$ معلقة بكابل فولاذي طوله $l$ وقطره $d$. ما مقدار شد الكابل ($\sigma $)، بالإضافة إلى استطالته المطلقة ($\Delta l$)؟

حل.دعونا نجعل الرسم.

من أجل إيجاد القوة المرنة، فكر في القوى المؤثرة على جسم معلق بكابل، حيث أن القوة المرنة ستكون مساوية في المقدار لقوة الشد ($\overline(N)$). ووفقا لقانون نيوتن الثاني لدينا:

في الإسقاط على المحور Y للمعادلة (1.1) نحصل على:

وفقًا لقانون نيوتن الثالث، يؤثر الجسم على كابل بقوة تساوي القوة $\overline(N)$، يؤثر الكابل على جسم بقوة $\overline(F)$ تساوي $\overline (\N,)$ ولكن في الاتجاه المعاكس، وبالتالي فإن قوة تشويه الكابل ($\overline(F)$) تساوي:

\[\overline(F)=-\overline(N\ )\left(1.3\right).\]

تحت تأثير قوة التشوه، تنشأ قوة مرنة في الكابل، وهي تساوي:

نجد الجهد في الكابل ($\sigma $) على النحو التالي:

\[\سيجما =\frac(F_u)(S)=\frac(mg)(S)\left(1.5\right).\]

المنطقة S هي مساحة المقطع العرضي للكابل:

\[\سيجما =\frac(4mg\ )((\pi d)^2)\left(1.7\right).\]

وفقًا لقانون هوك:

\[\سيجما =E\frac(\Delta l)(l)\left(1.8\right),\]

\[\frac(\Delta l)(l)=\frac(\sigma )(E)\إلى \Delta l=\frac(\sigma l)(E)\إلى \Delta l=\frac(4mgl\ ) ((\بي د)^2E).\]

إجابة.$\sigma =\frac(4mg\ )((\pi d)^2);\ \Delta l=\frac(4mgl\ )((\pi d)^2E)$

مثال 2

يمارس.ما هو التشوه المطلق للزنبرك الأول لنابضين متصلين على التوالي (الشكل 2)، إذا كانت معاملات صلابة الزنبرك متساوية: $k_1\ و\ k_2$، واستطالة الزنبرك الثاني هي $\Delta x_2$ ؟

حل.إذا كان نظام من النوابض المتسلسلة في حالة توازن، فإن قوى الشد لهذه النوابض هي نفسها:

وفقًا لقانون هوك:

وفقًا لـ (2.1) و (2.2) لدينا:

فلنعبر من (2.3) عن استطالة الربيع الأول:

\[\Delta x_1=\frac(k_2\Delta x_2)(k_1).\]

إجابة.$\دلتا x_1=\frac(k_2\دلتا x_2)(k_1)$.

قانون هوكتسمى عادة العلاقات الخطية بين مكونات الإجهاد ومكونات الإجهاد.

لنأخذ متوازي سطوح مستطيل أولي بأوجه موازية لمحاور الإحداثيات، ومحملًا بضغط عادي σ س، موزعة بالتساوي على وجهين متقابلين (الشكل 1). حيث σy = σ ض = τ س ص = τ س ض = τ ذ = 0.

حتى حد التناسب، يتم إعطاء الاستطالة النسبية بواسطة الصيغة

أين ه- معامل الشد للمرونة. للصلب ه = 2*10 5 MPaولذلك فإن التشوهات تكون صغيرة جداً ويتم قياسها كنسبة مئوية أو 1*105 (في أجهزة قياس الضغط التي تقيس التشوهات).

تمديد عنصر في اتجاه المحور Xيرافقه تضييق في الاتجاه العرضي تحدده مكونات التشوه

أين μ - ثابت يسمى نسبة الضغط الجانبي أو نسبة بواسون. للصلب μ يؤخذ عادة ما يساوي 0.25-0.3.

إذا تم تحميل العنصر المعني في وقت واحد مع الضغوط العادية σx, σy, σ ض، موزعة بالتساوي على طول وجوهها، ثم تضاف التشوهات

وبتركيب مكونات التشوه الناتجة عن كل من الضغوط الثلاثة، نحصل على العلاقات

تم تأكيد هذه العلاقات من خلال العديد من التجارب. مُطبَّق طريقة التراكبأو التراكباتإن العثور على مجموع الانفعالات والإجهادات الناتجة عن عدة قوى أمر مشروع طالما أن الانفعالات والإجهادات صغيرة وتعتمد خطيًا على القوى المطبقة. في مثل هذه الحالات، نهمل التغييرات الصغيرة في أبعاد الجسم المشوه والحركات الصغيرة لنقاط تطبيق القوى الخارجية ونبني حساباتنا على الأبعاد الأولية والشكل الأولي للجسم.

تجدر الإشارة إلى أن صغر الإزاحات لا يعني بالضرورة أن العلاقات بين القوى والتشوهات خطية. لذلك، على سبيل المثال، في قوة مضغوطة سقضيب محمل بشكل إضافي بقوة القص ر، حتى مع انحراف صغير δ تنشأ نقطة إضافية م = سδمما يجعل المشكلة غير خطية. في مثل هذه الحالات، لا تكون الانحرافات الإجمالية دوالً خطية للقوى ولا يمكن الحصول عليها عن طريق التراكب البسيط.

لقد ثبت تجريبيًا أنه إذا كانت إجهادات القص تعمل على طول جميع وجوه العنصر، فإن تشويه الزاوية المقابلة يعتمد فقط على المكونات المقابلة لإجهاد القص.

ثابت زويسمى معامل القص للمرونة أو معامل القص.

يمكن الحصول على الحالة العامة لتشوه عنصر ما بسبب عمل ثلاثة مكونات إجهاد طبيعية وثلاثة عرضية باستخدام التراكب: يتم فرض ثلاثة تشوهات قص، تحددها العلاقات (5.2 ب)، على ثلاثة تشوهات خطية تحددها التعبيرات ( 5.2 أ). تحدد المعادلتان (5.2 أ) و (5.2 ب) العلاقة بين مكونات السلالات والإجهادات وتسمى قانون هوك المعمم. دعونا الآن نظهر أن معامل القص زمعبرا عنها من حيث معامل الشد للمرونة هونسبة بواسون μ . للقيام بذلك، فكر في الحالة الخاصة عندما σ س = σ , σy = -σ و σ ض = 0.

دعونا نقطع العنصر ا ب ت ثطائرات موازية للمحور ضويميل بزاوية 45 درجة على المحاور Xو في(تين. 3). على النحو التالي من شروط التوازن للعنصر 0 بكالوريوس، الضغط العادي σ الخامسعلى جميع وجوه العنصر ا ب ت ثتساوي الصفر، وإجهادات القص متساوية

وتسمى هذه الحالة من التوتر القص النقي. ويترتب على المعادلات (5.2 أ) ذلك

أي أن امتداد العنصر الأفقي هو 0 جيساوي تقصير العنصر الرأسي 0 ب: εy = -εx.

الزاوية بين الوجوه أبو قبل الميلادالتغييرات، وقيمة سلالة القص المقابلة γ يمكن العثور عليها من المثلث 0 بكالوريوس:

إنه يتبع هذا

كم منا تساءل يومًا كيف تتصرف الأشياء بشكل مذهل عند التصرف عليها؟

على سبيل المثال، لماذا يمكن للنسيج، إذا قمنا بتمديده في اتجاهات مختلفة، أن يتمدد لفترة طويلة، ثم يتمزق فجأة في لحظة واحدة؟ ولماذا يكون تنفيذ نفس التجربة باستخدام قلم الرصاص أكثر صعوبة؟ على ماذا تعتمد مقاومة المادة؟ كيف يمكنك تحديد إلى أي مدى يمكن تشويهه أو تمدده؟

كل هذه الأسئلة وغيرها الكثير سألها باحث إنجليزي منذ أكثر من 300 عام ووجد الإجابات، وهي الآن موحدة تحت الاسم العام "قانون هوك".

ووفقا لبحثه، فإن كل مادة لها ما يسمى معامل المرونة. هذه خاصية تسمح للمادة بالتمدد ضمن حدود معينة. معامل المرونة هو قيمة ثابتة. وهذا يعني أن كل مادة لا يمكنها تحمل سوى مستوى معين من المقاومة، وبعد ذلك تصل إلى مستوى من التشوه الذي لا رجعة فيه.

بشكل عام، يمكن التعبير عن قانون هوك بالصيغة التالية:

حيث F هي القوة المرنة، وk هو معامل المرونة المذكور بالفعل، و /x/ هو التغير في طول المادة. ما المقصود بالتغير في هذا المؤشر؟ تحت تأثير القوة، يتغير جسم معين قيد الدراسة، سواء كان خيطًا أو مطاطًا أو أي شيء آخر، أو يتمدد أو يضغط. التغير في الطول في هذه الحالة هو الفرق بين الطول الأولي والطول النهائي للكائن قيد الدراسة. أي مقدار تمدد/ضغط الزنبرك (المطاط، الخيط، إلخ).

من هنا، بمعرفة الطول ومعامل المرونة الثابت لمادة معينة، يمكنك العثور على القوة التي يتم بها شد المادة، أو قوة مرنة,كما يطلق عليه غالبا قانون هوك.

هناك أيضًا حالات خاصة لا يمكن فيها استخدام هذا القانون بصيغته القياسية. نحن نتحدث عن قياس قوة التشوه في ظل ظروف القص، أي في المواقف التي ينتج فيها التشوه عن طريق قوة معينة تعمل على المادة بزاوية. يمكن التعبير عن قانون هوك تحت القص على النحو التالي:

حيث τ هي القوة المطلوبة، G هو معامل ثابت يعرف باسم معامل القص للمرونة، y هي زاوية القص، المقدار الذي تغيرت به زاوية ميل الجسم.