نظرية قانون هوك. اشتقاق قانون هوك لأنواع مختلفة من التشوه

إذا تم تطبيق قوة معينة على الجسم، يتغير حجمه و (أو) شكله. وتسمى هذه العملية تشوه الجسم. في الأجسام التي تخضع للتشوه، تنشأ قوى مرنة تعمل على موازنة القوى الخارجية.

أنواع التشوه

يمكن تقسيم جميع التشوهات إلى نوعين: مرن تشوهو بلاستيك.

تعريف

مرنيتم استدعاء التشوه إذا تمت استعادة الأبعاد السابقة للجسم وشكله بالكامل بعد إزالة الحمل.

تعريف

بلاستيكضع في اعتبارك التشوه الذي يتم فيه استعادة التغييرات في حجم وشكل الجسم التي ظهرت بسبب التشوه جزئيًا بعد إزالة الحمل.

طبيعة التشوه تعتمد على

حجم ووقت التعرض للحمل الخارجي.
مادة الجسم
حالة الجسم (درجة الحرارة، وطرق المعالجة، وما إلى ذلك).

لا توجد حدود حادة بين التشوه المرن والبلاستيك. في عدد كبير من الحالات، يمكن اعتبار التشوهات الصغيرة والقصيرة المدى مرنة.

تصريحات قانون هوك

وقد وجد تجريبيا أنه كلما زاد التشوه اللازم للحصول عليه، كلما زادت قوة التشوه المطبقة على الجسم. من خلال حجم التشوه ($\Delta l$) يمكن للمرء الحكم على حجم القوة:

\[\دلتا l=\frac(F)(k)\left(1\right),\]

التعبير (1) يعني أن القيمة المطلقة للتشوه المرن تتناسب طرديًا مع القوة المطبقة. هذا البيان هو محتوى قانون هوك.

عند حدوث تشوه استطالة (ضغط) لجسم، تتحقق المساواة التالية:

حيث $F$ هي قوة التشوه؛ $l_0$ - طول الجسم الأولي؛ $l$ هو طول الجسم بعد التشوه؛ $k$ - معامل المرونة (معامل الصلابة، الصلابة)، $ \left=\frac(N)(m)$. يعتمد معامل المرونة على مادة الجسم وحجمه وشكله.

بما أن القوى المرنة ($F_u$) تنشأ في جسم مشوه، والتي تميل إلى استعادة الحجم والشكل السابقين للجسم، غالبًا ما تتم صياغة قانون هوك فيما يتعلق بالقوى المرنة:

يعمل قانون هوك بشكل جيد مع التشوهات التي تحدث في القضبان المصنوعة من الفولاذ والحديد الزهر والمواد الصلبة الأخرى في النوابض. قانون هوك صالح لتشوهات الشد والضغط.

قانون هوك للتشوهات الصغيرة

تعتمد القوة المرنة على التغير في المسافة بين أجزاء الجسم نفسه. يجب أن نتذكر أن قانون هوك صالح فقط للتشوهات الصغيرة. مع التشوهات الكبيرة، لا تتناسب القوة المرنة مع قياس الطول؛ ومع زيادة أخرى في تأثير التشوه، يمكن أن ينهار الجسم.

إذا كانت تشوهات الجسم صغيرة، فيمكن تحديد القوى المرنة من خلال التسارع الذي تنقله هذه القوى إلى الأجسام. إذا كان الجسم بلا حراك، فسيتم العثور على معامل القوة المرنة من المساواة إلى الصفر للمجموع المتجه للقوى المؤثرة على الجسم.

يمكن كتابة قانون هوك ليس فقط فيما يتعلق بالقوى، ولكن غالبًا ما تتم صياغته لكمية مثل الإجهاد ($\sigma =\frac(F)(S)$ هي القوة التي تؤثر على وحدة مساحة المقطع العرضي الجسم)، ثم للتشوهات الصغيرة:

\[\سيجما =E\frac(\Delta l)(l)\ \left(4\right),\]

حيث $E$ هو معامل يونغ؛$\ \frac(\Delta l)(l)$ هو الاستطالة النسبية للجسم.

أمثلة على المشاكل مع الحلول

مثال 1

يمارس.حمولة كتلتها $m$ معلقة بكابل فولاذي طوله $l$ وقطره $d$. ما مقدار الشد في الكابل ($\sigma $)، بالإضافة إلى استطالته المطلقة ($\Delta l$)؟

حل.دعونا نجعل الرسم.

من أجل إيجاد القوة المرنة، فكر في القوى المؤثرة على جسم معلق بكابل، حيث أن القوة المرنة ستكون مساوية في المقدار لقوة الشد ($\overline(N)$). ووفقا لقانون نيوتن الثاني لدينا:

في الإسقاط على المحور Y للمعادلة (1.1) نحصل على:

وفقًا لقانون نيوتن الثالث، يؤثر الجسم على كابل بقوة تساوي القوة $\overline(N)$، ويؤثر الكابل على جسم بقوة $\overline(F)$ تساوي $\overline (\N,)$ ولكن في الاتجاه المعاكس، وبالتالي فإن قوة تشويه الكابل ($\overline(F)$) تساوي:

\[\overline(F)=-\overline(N\ )\left(1.3\right).\]

تحت تأثير قوة التشوه، تنشأ قوة مرنة في الكابل، وهي تساوي:

نجد الجهد في الكابل ($\sigma $) على النحو التالي:

\[\سيجما =\frac(F_u)(S)=\frac(mg)(S)\left(1.5\right).\]

المنطقة S هي مساحة المقطع العرضي للكابل:

\[\سيجما =\frac(4mg\ )((\pi d)^2)\left(1.7\right).\]

وفقًا لقانون هوك:

\[\سيجما =E\frac(\Delta l)(l)\left(1.8\right),\]

\[\frac(\Delta l)(l)=\frac(\sigma )(E)\إلى \Delta l=\frac(\sigma l)(E)\إلى \Delta l=\frac(4mgl\ ) ((\بي د)^2E).\]

إجابة.$\sigma =\frac(4mg\ )((\pi d)^2);\ \Delta l=\frac(4mgl\ )((\pi d)^2E)$

مثال 2

يمارس.ما هو التشوه المطلق للزنبرك الأول لنابضين متصلين على التوالي (الشكل 2)، إذا كانت معاملات صلابة الزنبرك متساوية: $k_1\ و\ k_2$، واستطالة الزنبرك الثاني هي $\Delta x_2$ ؟

حل.إذا كان نظام من النوابض المتصلة على التوالي في حالة توازن، فإن قوى الشد لهذه النوابض هي نفسها:

وفقًا لقانون هوك:

وفقًا لـ (2.1) و (2.2) لدينا:

فلنعبر من (2.3) عن استطالة الربيع الأول:

\[\Delta x_1=\frac(k_2\Delta x_2)(k_1).\]

إجابة.$\دلتا x_1=\frac(k_2\دلتا x_2)(k_1)$.

أسئلة الاختبار

1) ما يسمى التشوه؟ ما هي أنواع التشوهات التي تعرفها؟

التشوه- تغير في الوضع النسبي لجزيئات الجسم المرتبطة بحركتها. التشوه هو نتيجة التغيرات في المسافات بين الذرات وإعادة ترتيب كتل الذرات. عادةً ما يكون التشوه مصحوبًا بتغيير في حجم القوى بين الذرية، والذي يكون قياسه هو الإجهاد المرن.

أنواع التشوهات:

ضغط التوتر- في مقاومة المواد - نوع من التشوه الطولي للقضيب أو العارضة الذي يحدث إذا تم تطبيق حمل عليه على طول محوره الطولي (تكون نتيجة القوى المؤثرة عليه طبيعية بالنسبة للمقطع العرضي للقضيب ويمر من خلال مركز كتلته).

يؤدي التوتر إلى استطالة القضيب (من الممكن أيضًا حدوث تمزق وتشوه متبقي)، ويؤدي الضغط إلى تقصير القضيب (من الممكن فقدان الاستقرار والانحناء الطولي).

يلوي- نوع من التشوه يحدث فيه انحناء محاور القضبان المستقيمة أو تغير في انحناء محاور القضبان المنحنية. يرتبط الانحناء بحدوث لحظات الانحناء في المقاطع العرضية للحزمة. يحدث الانحناء المباشر عندما تعمل لحظة الانحناء في مقطع عرضي معين من الحزمة في مستوى يمر عبر أحد المحاور المركزية الرئيسية للقصور الذاتي في هذا القسم. في الحالة التي لا يمر فيها مستوى عمل لحظة الانحناء في مقطع عرضي معين من الحزمة عبر أي من محاور القصور الذاتي الرئيسية في هذا القسم، يطلق عليه اسم مائل.

إذا، أثناء الانحناء المباشر أو المائل، تعمل لحظة الانحناء فقط في المقطع العرضي للحزمة، وبالتالي، هناك انحناء مستقيم أو مائل نقي. إذا كانت هناك قوة عرضية تعمل أيضًا في المقطع العرضي، فسيكون هناك انحناء عرضي مستقيم أو مائل عرضي.

التواء- أحد أنواع تشوه الجسم. يحدث عندما يتم تطبيق الحمل على الجسم في شكل زوج من القوى (لحظة) في مستواه المستعرض. في هذه الحالة، يظهر عامل قوة داخلي واحد فقط في المقاطع العرضية للجسم - عزم الدوران. تعمل نوابض وأعمدة ضغط التوتر على الالتواء.

أنواع تشوه الأجسام الصلبة. التشوه مرن وبلاستيك.

التشوهيمكن أن يكون الجسم الصلب نتيجة لتحولات الطور المرتبطة بالتغيرات في الحجم أو التمدد الحراري أو المغنطة (تأثير الانقباض المغناطيسي) أو ظهور شحنة كهربائية (تأثير كهرضغطية) أو نتيجة عمل قوى خارجية.

يُطلق على التشوه اسم المرونة إذا اختفى بعد إزالة الحمولة التي تسببت فيه، والبلاستيك إذا لم يختفي (على الأقل تمامًا) بعد إزالة الحمولة. جميع المواد الصلبة الحقيقية، عندما تتشوه، لها خصائص بلاستيكية إلى حد أكبر أو أقل. في ظل ظروف معينة، يمكن إهمال الخصائص البلاستيكية للأجسام، كما هو الحال في نظرية المرونة. بدقة كافية، يمكن اعتبار الجسم الصلب مرنًا، أي أنه لا يظهر تشوهات بلاستيكية ملحوظة حتى يتجاوز الحمل حدًا معينًا.

قد تختلف طبيعة التشوه البلاستيكي حسب درجة الحرارة أو مدة الحمل أو معدل الإجهاد. ومع تطبيق حمل ثابت على الجسم، يتغير التشوه بمرور الوقت؛ وتسمى هذه الظاهرة زحف. مع ارتفاع درجة الحرارة، يزيد معدل الزحف. حالات خاصة من الزحف هي الاسترخاء والتأثير اللاحق المرن. إحدى النظريات التي تشرح آلية التشوه اللدن هي نظرية الخلع في البلورات.

اشتقاق قانون هوك لأنواع مختلفة من التشوه.

صافي التحول: التواء نقي:

4) ما يسمى بمعامل القص ومعامل الالتواء وما معناهما الفيزيائي؟

معامل القصأو معامل الصلابة (G أو μ) يميز قدرة المادة على مقاومة التغيرات في الشكل مع الحفاظ على حجمها؛ يتم تعريفه على أنه نسبة إجهاد القص إلى إجهاد القص، والذي يتم تعريفه على أنه التغير في الزاوية القائمة بين المستويات التي تعمل على طولها إجهادات القص). يعد معامل القص أحد مكونات ظاهرة اللزوجة.

معامل القص: معامل الالتواء:

5) ما هو التعبير الرياضي لقانون هوك؟ في أي وحدات يتم قياس معامل المرونة والإجهاد؟

يقاس في باسكال - قانون هوك

وزارة التعليم في جمهورية القرم المتمتعة بالحكم الذاتي

جامعة توريد الوطنية سميت باسم. فيرنادسكي

دراسة القانون الفيزيائي

قانون هوك

أكملها: طالب في السنة الأولى

كلية الفيزياء غرام. إف-111

بوتابوف يفجيني

سيمفيروبول 2010

يخطط:

العلاقة بين الظواهر أو الكميات التي يعبر عنها القانون.

بيان القانون

التعبير الرياضي للقانون.

كيف تم اكتشاف القانون: بناء على معطيات تجريبية أم نظرية؟

الوقائع المجربة التي على أساسها صيغ القانون.

التجارب التي تؤكد صحة القانون المصاغ على أساس النظرية.

أمثلة على استخدام القانون ومراعاة تأثير القانون على أرض الواقع.

الأدب.

العلاقة بين ما الظواهر أو الكميات التي يعبر عنها القانون:

ويرتبط قانون هوك بظواهر مثل الإجهاد وتشوه المعامل الصلب والمرن والاستطالة. يتناسب معامل القوة المرنة الناشئة أثناء تشوه الجسم مع استطالته. الاستطالة هي إحدى خصائص قابلية تشوه المادة، ويتم تقييمها من خلال الزيادة في طول عينة من هذه المادة عند تمددها. القوة المرنة هي القوة التي تنشأ أثناء تشوه الجسم وتقاوم هذا التشوه. الإجهاد هو مقياس للقوى الداخلية التي تنشأ في الجسم المشوه تحت تأثير التأثيرات الخارجية. التشوه هو تغيير في الموضع النسبي لجزيئات الجسم المرتبط بحركتها بالنسبة لبعضها البعض. ترتبط هذه المفاهيم بما يسمى بمعامل الصلابة. يعتمد ذلك على الخصائص المرنة للمادة وحجم الجسم.

بيان القانون:

قانون هوك هو معادلة لنظرية المرونة التي تربط بين الإجهاد والتشوه في الوسط المرن.

صياغة القانون هي أن القوة المرنة تتناسب طرديا مع التشوه.

التعبير الرياضي للقانون:

بالنسبة لقضيب الشد الرفيع، يكون قانون هوك على الشكل التالي:

هنا فقوة شد القضيب، Δ ل- استطالة (ضغط)، و كمُسَمًّى معامل المرونة(أو الصلابة). يشير الطرح في المعادلة إلى أن قوة الشد موجهة دائمًا في الاتجاه المعاكس للتشوه.

إذا قمت بإدخال الاستطالة النسبية

والإجهاد الطبيعي في المقطع العرضي

عندها سيتم كتابة قانون هوك بهذا الشكل

في هذا النموذج يكون صالحًا لأي كميات صغيرة من المادة.

في الحالة العامة، يعتبر الإجهاد والانفعال موترات من المرتبة الثانية في الفضاء ثلاثي الأبعاد (يحتوي كل منهما على 9 مكونات). موتر الثوابت المرنة التي تربط بينها هو موتر من المرتبة الرابعة ج ijklويحتوي على 81 معاملا. بسبب تماثل الموتر ج ijklبالإضافة إلى موترات الإجهاد والانفعال، هناك 21 ثابتًا فقط مستقلة. يبدو قانون هوك كما يلي:

حيث σ أنا- موتر الإجهاد، - موتر الإجهاد. بالنسبة للمادة المتناحية، الموتر ج ijklيحتوي على معاملين مستقلين فقط.

كيف تم اكتشاف القانون: بناء على المعطيات التجريبية أو النظرية:

تم اكتشاف القانون عام 1660 على يد العالم الإنجليزي روبرت هوك (هوك) بناءً على الملاحظات والتجارب. الاكتشاف، كما ذكر هوك في عمله “De Potentia Restitutiva” المنشور عام 1678، تم تحقيقه قبل 18 عامًا، وفي عام 1676 تم وضعه في كتاب آخر من كتبه تحت ستار الجناس الناقص “ceiiinosssttuv” بمعنى "Ut Tensio sic vis". وفقًا لشرح المؤلف، فإن قانون التناسب المذكور أعلاه لا ينطبق على المعادن فحسب، بل ينطبق أيضًا على الخشب والأحجار والقرون والعظام والزجاج والحرير والشعر وما إلى ذلك.

الحقائق المجربة التي تم على أساسها صياغة القانون:

والتاريخ صامت عن هذا..

تجارب تؤكد صحة القانون المصاغ على أساس النظرية:

تمت صياغة القانون على أساس البيانات التجريبية. في الواقع، عند تمديد الجسم (السلك) بمعامل صلابة معين كإلى مسافة Δ ل،عندها سيكون منتجهم مساويا لقوة شد الجسم (السلك). ومع ذلك، فإن هذه العلاقة لن تنطبق على جميع التشوهات، بل على التشوهات الصغيرة. مع التشوهات الكبيرة، يتوقف قانون هوك عن التطبيق وينهار الجسم.

أمثلة على استخدام القانون ومراعاة تأثير القانون على أرض الواقع:

كما يلي من قانون هوك، يمكن استخدام استطالة الزنبرك للحكم على القوة المؤثرة عليه. تُستخدم هذه الحقيقة لقياس القوى باستخدام مقياس القوة - زنبرك بمقياس خطي تمت معايرته لقيم قوة مختلفة.

الأدب.

1. موارد الإنترنت: - موقع ويكيبيديا (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. كتاب مدرسي عن الفيزياء بيريشكين أ.ف. الصف التاسع

3. كتاب مدرسي عن الفيزياء V.A. كاسيانوف الصف العاشر

4. محاضرات في الميكانيكا ريابوشكين د.

قانون هوكتسمى عادة العلاقات الخطية بين مكونات الإجهاد ومكونات الإجهاد.

لنأخذ متوازي سطوح مستطيل أولي بأوجه موازية لمحاور الإحداثيات، ومحملًا بضغط عادي σ س، موزعة بالتساوي على وجهين متقابلين (الشكل 1). في نفس الوقت σy = σ ض = τ س ص = τ س ض = τ ذ = 0.

حتى حد التناسب، يتم إعطاء الاستطالة النسبية بواسطة الصيغة

أين ه- معامل الشد للمرونة. للصلب ه = 2*10 5 MPaولذلك فإن التشوهات تكون صغيرة جداً ويتم قياسها كنسبة مئوية أو 1*105 (في أجهزة قياس الضغط التي تقيس التشوهات).

تمديد عنصر في اتجاه المحور Xيرافقه تضييق في الاتجاه العرضي تحدده مكونات التشوه

أين μ - ثابت يسمى نسبة الضغط الجانبي أو نسبة بواسون. للصلب μ يؤخذ عادة ما يساوي 0.25-0.3.

إذا تم تحميل العنصر المعني في وقت واحد مع الضغوط العادية σx, σy, σ ض، موزعة بالتساوي على طول وجوهها، ثم تضاف التشوهات

وبتركيب مكونات التشوه الناتجة عن كل من الضغوط الثلاثة، نحصل على العلاقات

تم تأكيد هذه العلاقات من خلال العديد من التجارب. مُطبَّق طريقة التراكبأو التراكباتإن العثور على مجموع الانفعالات والإجهادات الناتجة عن عدة قوى أمر مشروع طالما أن الانفعالات والإجهادات صغيرة وتعتمد خطيًا على القوى المطبقة. في مثل هذه الحالات، نهمل التغييرات الصغيرة في أبعاد الجسم المشوه والحركات الصغيرة لنقاط تطبيق القوى الخارجية ونبني حساباتنا على الأبعاد الأولية والشكل الأولي للجسم.

تجدر الإشارة إلى أن صغر حجم الإزاحات لا يعني بالضرورة خطية العلاقات بين القوى والتشوهات. لذلك، على سبيل المثال، في قوة مضغوطة سقضيب محمل بشكل إضافي بقوة القص ر، حتى مع انحراف صغير δ تنشأ نقطة إضافية م = سδمما يجعل المشكلة غير خطية. في مثل هذه الحالات، لا تكون الانحرافات الإجمالية دوالً خطية للقوى ولا يمكن الحصول عليها عن طريق التراكب البسيط.

لقد ثبت تجريبيًا أنه إذا كانت إجهادات القص تعمل على طول جميع وجوه العنصر، فإن تشويه الزاوية المقابلة يعتمد فقط على المكونات المقابلة لإجهاد القص.

ثابت زويسمى معامل القص للمرونة أو معامل القص.

يمكن الحصول على الحالة العامة لتشوه عنصر ما بسبب عمل ثلاثة مكونات إجهاد طبيعية وثلاثة عرضية باستخدام التراكب: يتم فرض ثلاثة تشوهات قص، تحددها العلاقات (5.2 ب)، على ثلاثة تشوهات خطية تحددها التعبيرات ( 5.2 أ). تحدد المعادلتان (5.2 أ) و (5.2 ب) العلاقة بين مكونات السلالات والإجهادات وتسمى قانون هوك المعمم. دعونا الآن نظهر أن معامل القص زمعبراً عنها بمعامل الشد للمرونة هونسبة بواسون μ . للقيام بذلك، فكر في الحالة الخاصة عندما σ س = σ , σy = -σ و σ ض = 0.

دعونا نقطع العنصر اي بي سي ديطائرات موازية للمحور ضويميل بزاوية 45 درجة على المحاور Xو في(الشكل 3). على النحو التالي من شروط التوازن للعنصر 0 بكالوريوس، الإجهاد العادي σ ضدعلى جميع وجوه العنصر اي بي سي ديهي صفر وضغوط القص متساوية

وتسمى هذه الحالة من التوتر القص النقي. ويترتب على المعادلات (5.2 أ) ذلك

أي أن امتداد العنصر الأفقي هو 0 جيساوي تقصير العنصر الرأسي 0 ب: εy = -εx.

الزاوية بين الوجوه أبو قبل الميلادالتغييرات، وقيمة سلالة القص المقابلة γ يمكن العثور عليها من المثلث 0 بكالوريوس:

ويترتب على ذلك

وزارة التعليم في جمهورية القرم المتمتعة بالحكم الذاتي

جامعة توريد الوطنية سميت باسم. فيرنادسكي

دراسة القانون الفيزيائي

قانون هوك

أكملها: طالب في السنة الأولى

كلية الفيزياء غرام. إف-111

بوتابوف يفجيني

سيمفيروبول 2010

يخطط:

العلاقة بين الظواهر أو الكميات التي يعبر عنها القانون.

بيان القانون

التعبير الرياضي للقانون.

كيف تم اكتشاف القانون: بناء على معطيات تجريبية أم نظرية؟

الوقائع المجربة التي على أساسها صيغ القانون.

التجارب التي تؤكد صحة القانون المصاغ على أساس النظرية.

أمثلة على استخدام القانون ومراعاة تأثير القانون على أرض الواقع.

الأدب.

العلاقة بين ما الظواهر أو الكميات التي يعبر عنها القانون:

بيان القانون:

قانون هوك هو معادلة لنظرية المرونة التي تربط بين الإجهاد والتشوه في الوسط المرن.

صياغة القانون هي أن القوة المرنة تتناسب طرديا مع التشوه.

التعبير الرياضي للقانون:

بالنسبة لقضيب الشد الرفيع، يكون قانون هوك على الشكل التالي:

إذا قمت بإدخال الاستطالة النسبية

والإجهاد الطبيعي في المقطع العرضي

عندها سيتم كتابة قانون هوك بهذا الشكل

في هذا النموذج يكون صالحًا لأي كميات صغيرة من المادة.

حيث σ أنا- موتر الإجهاد، - موتر الإجهاد. بالنسبة للمادة المتناحية، الموتر ج ijklيحتوي على معاملين مستقلين فقط.

كيف تم اكتشاف القانون: بناء على المعطيات التجريبية أو النظرية:

الحقائق المجربة التي تم على أساسها صياغة القانون:

والتاريخ صامت عن هذا..

تجارب تؤكد صحة القانون المصاغ على أساس النظرية:

أمثلة على استخدام القانون ومراعاة تأثير القانون على أرض الواقع:

الأدب.

1. موارد الإنترنت: - موقع ويكيبيديا (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. كتاب مدرسي عن الفيزياء بيريشكين أ.ف. الصف التاسع

3. كتاب مدرسي عن الفيزياء V.A. كاسيانوف الصف العاشر

4. محاضرات في الميكانيكا ريابوشكين د.

معامل المرونة

معامل المرونة(يُسمى أحيانًا معامل هوك، أو معامل الصلابة أو صلابة الزنبرك) - وهو المعامل الذي يربط في قانون هوك استطالة الجسم المرن والقوة المرنة الناتجة عن هذه الاستطالة. يتم استخدامه في ميكانيكا المواد الصلبة في قسم المرونة. تمت الإشارة إليه بالحرف ك، أحيانا دأو ج. لها البعد N/m أو كجم/s2 (في SI)، داين/سم أو g/s2 (في GHS).

معامل المرونة يساوي عدديًا القوة التي يجب تطبيقها على الزنبرك حتى يتغير طوله لكل وحدة مسافة.

التعريف والخصائص

معامل المرونة، حسب التعريف، يساوي القوة المرنة مقسومة على التغير في طول الزنبرك: k = F e / Δ l. (\displaystyle k=F_(\mathrm (e) )/\Delta l.) يعتمد معامل المرونة على خصائص المادة وعلى أبعاد الجسم المرن. وبالتالي، بالنسبة للقضيب المرن، يمكننا التمييز بين الاعتماد على أبعاد القضيب (مساحة المقطع العرضي S (\displaystyle S) والطول L (\displaystyle L))، وكتابة معامل المرونة كـ k = E ⋅ S / ل. (\displaystyle k=E\cdot S/L.) تسمى الكمية E (\displaystyle E) بمعامل يونغ، وعلى عكس معامل المرونة، تعتمد فقط على خصائص مادة القضيب.

تصلب الأجسام المشوهة عند اتصالها ببعضها

اتصال متوازي من الينابيع.

اتصال سلسلة من الينابيع.

عند توصيل عدة أجسام قابلة للتشوه بشكل مرن (يشار إليها فيما يلي باسم النوابض للإيجاز)، ستتغير الصلابة الكلية للنظام. مع التوصيل المتوازي، تزداد الصلابة، مع التوصيل المتسلسل تقل.

اتصال متوازي

مع اتصال متوازي للينابيع n (\displaystyle n) ذات صلابة تساوي k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) صلابة النظام تساوي مجموع الصلابة، أي k = ك 1 + ك 2 + ك 3 + . . . +كن. (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+k_(3)+...+k_(n).)

دليل

في اتصال متوازي يوجد n (\displaystyle n) نوابض ذات صلابة k 1 , k 2 , . . . ، كن. (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) من قانون نيوتن الثالث، F = F 1 + F 2 + . . . +الجبهة الوطنية. (\displaystyle F=F_(1)+F_(2)+...+F_(n).) (يتم تطبيق القوة F عليهم (\displaystyle F). وفي الوقت نفسه، يتم تطبيق القوة F 1 إلى الزنبرك 1، (\displaystyle F_(1)،) إلى الزنبرك 2 القوة F 2، (\displaystyle F_(2)،) ... ، إلى الزنبرك n (\displaystyle n) القوة F n (\displaystyle F_(n )).))

الآن من قانون هوك (F = − k x (\displaystyle F=-kx)، حيث x هي الاستطالة) نشتق: F = k x ; ف 1 = ك 1 س ; ف 2 = ك 2 س ; . . . ; و ن = ك ن س . (\displaystyle F=kx;F_(1)=k_(1)x;F_(2)=k_(2)x;...;F_(n)=k_(n)x.) استبدل هذه التعبيرات في المساواة (1): ك س = ك 1 س + ك 2 س + . . . + ك ن س ; (\displaystyle kx=k_(1)x+k_(2)x+...+k_(n)x;) التصغير بمقدار x، (\displaystyle x,) نحصل على: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , (\displaystyle k=k_(1)+k_(2)+...+k_(n),) وهو ما يحتاج إلى إثبات.

اتصال تسلسلي

مع اتصال سلسلة من النوابض n (\displaystyle n) ذات صلابة تساوي k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , (\displaystyle k_(1),k_(2),k_(3),...,k_(n),) يتم تحديد الصلابة الكلية من المعادلة: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / ك 2 + 1 / ك 3 + . (\displaystyle 1/k=(1/k_(1)+1/k_(2)+1/k_(3)+...+1/k_(n)).)

دليل

في التوصيل المتسلسل يوجد n (\displaystyle n) نوابض ذات صلابة k 1 , k 2 , . . . ، كن. (\displaystyle k_(1),k_(2),...,k_(n).) من قانون هوك (F = − k l (\displaystyle F=-kl) ، حيث l هي الاستطالة) يتبع ذلك F = ك ⋅ ل . (\displaystyle F=k\cdot l.) مجموع استطالات كل زنبرك يساوي الاستطالة الكلية للاتصال بأكمله l 1 + l 2 + . . . + ل ن = ل . (\displaystyle l_(1)+l_(2)+...+l_(n)=l.)

يخضع كل ربيع لنفس القوة F. (\displaystyle F.) وفقًا لقانون هوك، F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = ل ن ⋅ ك ن . (\displaystyle F=l_(1)\cdot k_(1)=l_(2)\cdot k_(2)=...=l_(n)\cdot k_(n).) من التعبيرات السابقة نستنتج: ل = ف / ك، ل 1 = ف / ك 1، ل 2 = ف / ك 2، . . . , ل ن = و / ك ن . (\displaystyle l=F/k,\quad l_(1)=F/k_(1),\quad l_(2)=F/k_(2),\quad ...,\quad l_(n)= F/k_(n).) باستبدال هذه التعبيرات في (2) والقسمة على F، (\displaystyle F,) نحصل على 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , (\displaystyle 1/k=1/k_(1)+1/k_(2)+...+1/k_(n,) وهو ما يحتاج إلى إثبات.

تيبس بعض الأجسام المشوهة

قضيب المقطع العرضي المستمر

قضيب متجانس ذو مقطع عرضي ثابت، مشوه بشكل مرن على طول المحور، له معامل صلابة

K = E S L 0 , (\displaystyle k=(\frac (E\,S)(L_(0))),) ه- معامل يونج، والذي يعتمد فقط على المادة التي يصنع منها القضيب؛ س- مساحة المقطع العرضي؛ ل 0 - طول القضيب.

ربيع لفائف أسطواني

زنبرك ضغط أسطواني ملتوي.

إن ضغط أسطواني ملتوي أو زنبرك شد، ملفوف من سلك أسطواني ومشوه بشكل مرن على طول المحور، له معامل صلابة

K = G ⋅ d D 4 8 ⋅ d F 3 ⋅ n , (\displaystyle k=(\frac (G\cdot d_(\mathrm (D)) )^(4))(8\cdot d_(\mathrm (F) ) )^(3)\cdot n)))،) د- قطر السلك؛ د F - قطر اللف (يقاس من محور السلك)؛ ن- عدد المنعطفات؛ ز- معامل القص (للصلب العادي ز≈ 80 جيجا باسكال للفولاذ الزنبركي ز≈ 78.5 جيجا باسكال، للنحاس ~ 45 جيجا باسكال).

المصادر والملاحظات

تشوه مرن (روسي). أرشفة 30 يونيو 2012.
ديتر ميشيده، كريستيان جيرتسن.فيزيك. - سبرينغر، 2004. - ص. 181 ..
برونو أسمان.الميكانيكا التقنية: الحركية والحركية. - أولدنبورغ، 2004. - ص. 11 ..
ديناميات القوة المرنة (الروسية). أرشفة 30 يونيو 2012.
الخواص الميكانيكية للأجسام (بالروسية). أرشفة 30 يونيو 2012.

10. قانون هوك في ضغط التوتر. معامل المرونة (معامل يونج).

تحت التوتر المحوري أو الضغط إلى حد التناسب σ العلاقات العامة قانون هوك صالح، أي. قانون العلاقة التناسبية المباشرة بين الضغوط الطبيعية  والتشوهات النسبية الطولية :

(3.10)

أو

(3.11)

هنا E - معامل التناسب في قانون هوك له بعد الجهد ويسمى معامل المرونة من النوع الأول، توصيف الخصائص المرنة للمادة، أو معامل يونغ.

السلالة الطولية النسبية هي نسبة السلالة الطولية المطلقة للقسم

قضيب على طول هذا القسم قبل التشوه:

(3.12)

التشوه العرضي النسبي سيكون مساوياً لـ: " = = b/b، حيث b = b 1 – b.

إن نسبة التشوه العرضي النسبي " إلى التشوه الطولي النسبي ، مأخوذة بمعامل، هي قيمة ثابتة لكل مادة وتسمى نسبة بواسون:

تحديد التشوه المطلق لقسم من الخشب

في الصيغة (3.11) بدلا من ذلك و لنستبدل التعبيرين (3.1) و (3.12):

من هنا نحصل على صيغة لتحديد الاستطالة المطلقة (أو التقصير) لقسم من القضيب بطول :

(3.13)

في الصيغة (3.13) يسمى المنتج EA صلابة الشعاع في التوتر أو الضغط ،والتي تقاس بالكيلو نيوتن أو MN.

تحدد هذه الصيغة التشوه المطلق إذا كانت القوة الطولية ثابتة في المنطقة. في الحالة التي تكون فيها القوة الطولية متغيرة في المنطقة، يتم تحديدها بالصيغة:

(3.14)

حيث N(x) هي دالة للقوة الطولية على طول المقطع.

11. معامل الانفعال المستعرض (نسبة بواسون

12. تحديد الإزاحات أثناء الشد والضغط. قانون هوك لقسم من الخشب. تحديد إزاحات أقسام الشعاع

دعونا نحدد الحركة الأفقية للنقطة أمحور الحزمة (الشكل 3.5) – u a: يساوي التشوه المطلق لجزء من الحزمة أد، محصور بين التضمين والقسم المرسوم من خلال النقطة، أي.

في المقابل، إطالة القسم أديتكون من امتدادات أقسام البضائع الفردية 1 و 2 و 3:

القوى الطولية في المناطق قيد الدراسة:

لذلك،

ثم

وبالمثل، يمكنك تحديد حركة أي قسم من العارضة وصياغة القاعدة التالية:

تحريك أي قسم ييتم تحديد قضيب تحت ضغط التوتر كمجموع التشوهات المطلقة نمناطق البضائع المحصورة بين الأقسام المعتبرة والثابتة (الثابتة)، أي.

(3.16)

سيتم كتابة شرط صلابة الشعاع بالشكل التالي:

, (3.17)

أين

- القيمة الأكبر لإزاحة القسم، مأخوذة من مخطط الإزاحة؛ u - القيمة المسموح بها لإزاحة القسم لهيكل معين أو عنصره، المحددة في المعايير.

13. تحديد الخصائص الميكانيكية للمواد. اختبار الشد. اختبار الضغط.

لتحديد الخصائص الأساسية للمواد، مثل

كقاعدة عامة، يتم تحديد مخطط التوتر بشكل تجريبي في الإحداثيات  و  (الشكل 2.9 يتم تحديد النقاط المميزة في المخطط). دعونا نحددهم.

يسمى أعلى إجهاد تتبع فيه المادة قانون هوك حد التناسب  ص. في حدود قانون هوك يكون ظل زاوية ميل الخط المستقيم  = و() إلى المحور  يتم تحديده بالقيمة ه.

يتم الحفاظ على الخصائص المرنة للمادة حتى الإجهاد  شمُسَمًّى حد مرن. تحت حد المرونة  شيُفهم على أنه أعظم إجهاد حتى لا تتلقى المادة تشوهات متبقية، أي. بعد التفريغ الكامل، تتزامن النقطة الأخيرة من المخطط مع نقطة البداية 0.

القيمة  تمُسَمًّى قوة الخضوعمادة. تُفهم قوة الخضوع على أنها الإجهاد الذي يزداد عنده الانفعال دون زيادة ملحوظة في الحمل. إذا كان من الضروري التمييز بين مقاومة الخضوع في الشد والضغط  توبالتالي تم استبداله بـ  ترو  TS. عند الفولتية العالية  تتتطور التشوهات البلاستيكية في جسم الهيكل  صوالتي لا تختفي عند إزالة الحمل.

تسمى نسبة القوة القصوى التي يمكن أن تتحملها العينة إلى مساحة مقطعها العرضي الأولي قوة الشد، أو قوة الشد، ويرمز لها بالرمز  الواقع الافتراضي(مع الضغط  شمس).

عند إجراء الحسابات العملية، يتم تبسيط المخطط الحقيقي (الشكل 2.9)، ولهذا الغرض يتم استخدام مخططات تقريبية مختلفة. لحل المشاكل مع الأخذ في الاعتبار بشكل مرن بلاستيكيتم استخدام خصائص المواد الإنشائية في أغلب الأحيان مخطط براندتل. وفقا لهذا الرسم البياني يتغير الإجهاد من الصفر إلى قوة الخضوع وفقا لقانون هوك  = ه، وكلما زادت ،  =  ت(الشكل 2.10).

تسمى قدرة المواد على الحصول على التشوهات المتبقية اللدونة. في الشكل. 2.9 قدم مخططًا مميزًا للمواد البلاستيكية.

أرز. 2.10 الشكل. 2.11

وعكس خاصية اللدونة هو الخاصية هشاشة، أي. قدرة المادة على الانهيار دون تكوين تشوهات متبقية ملحوظة. تسمى المادة التي لها هذه الخاصية قابل للكسر. تشمل المواد الهشة الحديد الزهر والفولاذ عالي الكربون والزجاج والطوب والخرسانة والأحجار الطبيعية. يظهر الشكل 1 مخططًا نموذجيًا لتشوه المواد الهشة. 2.11.

1. ماذا يسمى تشوه الجسم؟ كيف تمت صياغة قانون هوك؟

فاخيت شافالييف

التشوهات هي أي تغيرات في شكل وحجم وحجم الجسم. يحدد التشوه النتيجة النهائية لحركة أجزاء الجسم بالنسبة لبعضها البعض.
التشوهات المرنة هي تشوهات تختفي تمامًا بعد إزالة القوى الخارجية.
التشوهات البلاستيكية هي تشوهات تبقى كليًا أو جزئيًا بعد توقف عمل القوى الخارجية.
القوى المرنة هي القوى التي تنشأ في الجسم أثناء تشوهه المرن ويتم توجيهها في الاتجاه المعاكس لإزاحة الجزيئات أثناء التشوه.
قانون هوك
يمكن اعتبار التشوهات الصغيرة والقصيرة المدى بدرجة كافية من الدقة مرنة. لمثل هذه التشوهات، قانون هوك صالح:
القوة المرنة التي تنشأ أثناء تشوه الجسم تتناسب طرديًا مع الاستطالة المطلقة للجسم ويتم توجيهها في الاتجاه المعاكس لإزاحة جزيئات الجسم:
\
حيث F_x هو إسقاط القوة على المحور السيني، وk هي صلابة الجسم، اعتمادًا على حجم الجسم والمادة التي صنع منها، وحدة الصلابة في النظام الدولي للوحدات هي N/m.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/

فاريا جوسيفا

التشوه هو تغير في شكل أو حجم الجسم. أنواع التشوه - التمدد أو الضغط (أمثلة: شد أو ضغط شريط مطاطي، الأكورديون)، الانحناء (لوحة مثنية تحت الشخص، ورقة مثنية)، الالتواء (العمل بمفك البراغي، عصر الغسيل باليد)، القص (عندما تقوم السيارة بالفرملة تتشوه الإطارات بسبب قوة الاحتكاك).
قانون هوك: القوة المرنة الناشئة في الجسم أثناء تشوهه تتناسب طرديًا مع حجم هذا التشوه
أو
إن القوة المرنة التي تنشأ في الجسم أثناء تشوهه تتناسب طرديًا مع حجم هذا التشوه.
صيغة قانون هوك: Fpr=kx

قانون هوك. هل يمكن التعبير عنها بالصيغة F= -khx أو F= khx؟

⚡ ثعالب الماء ☸

قانون هوك هو معادلة لنظرية المرونة التي تربط بين الإجهاد والتشوه في الوسط المرن. اكتشفه العالم الإنجليزي روبرت هوك عام 1660. وبما أن قانون هوك مكتوب للإجهادات والانفعالات الصغيرة، فإنه يتخذ شكل التناسب البسيط.

بالنسبة لقضيب الشد الرفيع، يكون قانون هوك على الشكل التالي:
هنا F هي قوة شد القضيب، Δl هي استطالته (الضغط)، ويسمى k معامل المرونة (أو الصلابة). يشير الطرح في المعادلة إلى أن قوة الشد موجهة دائمًا في الاتجاه المعاكس للتشوه.

يعتمد معامل المرونة على خصائص المادة وعلى أبعاد القضيب. يمكننا تمييز الاعتماد على أبعاد القضيب (مساحة المقطع العرضي S والطول L) بشكل صريح عن طريق كتابة معامل المرونة كـ
تسمى الكمية E بمعامل يونج وتعتمد فقط على خصائص الجسم.

إذا قمت بإدخال الاستطالة النسبية
والإجهاد الطبيعي في المقطع العرضي
ثم سيتم كتابة قانون هوك كما
في هذا النموذج يكون صالحًا لأي كميات صغيرة من المادة.
[يحرر]
قانون هوك المعمم

في الحالة العامة، يعتبر الإجهاد والانفعال موترات من المرتبة الثانية في الفضاء ثلاثي الأبعاد (يحتوي كل منهما على 9 مكونات). موتر الثوابت المرنة التي تربط بينها هو موتر من المرتبة الرابعة Cijkl ويحتوي على 81 معاملا. بسبب تماثل موتر سيجكل، بالإضافة إلى موترات الإجهاد والانفعال، هناك 21 ثابتًا فقط مستقلة. يبدو قانون هوك كما يلي:
بالنسبة للمواد المتناحية، يحتوي موتر سيجكل على معاملين مستقلين فقط.

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن قانون هوك ينطبق فقط على التشوهات الصغيرة. عندما يتم تجاوز حد التناسب، تصبح العلاقة بين الإجهاد والانفعال غير خطية. بالنسبة للعديد من الوسائط، لا ينطبق قانون هوك حتى على التشوهات الصغيرة.
[يحرر]

باختصار، يمكنك القيام بذلك بهذه الطريقة أو تلك، اعتمادًا على ما تريد الإشارة إليه في النهاية: ببساطة معامل قوة هوك أو أيضًا اتجاه هذه القوة. بالمعنى الدقيق للكلمة، بالطبع، -kx، حيث أن قوة هوك موجهة ضد الزيادة الإيجابية في إحداثيات نهاية الربيع.