احسب مساحة شبه المنحرف المنحني المحدود بخطوط عبر الإنترنت. تكامل محدد

ستتعلم في هذه المقالة كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام الحسابات التكاملية. لأول مرة نواجه صياغة مثل هذه المشكلة في المدرسة الثانوية، عندما انتهينا للتو من دراسة التكاملات المحددة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة في الممارسة العملية.

إذن، ما هو المطلوب لحل مشكلة إيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات بنجاح:

• القدرة على عمل رسومات مختصة؛
• القدرة على حل تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المعروفة؛
• القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - أي. هل تفهم كيف سيكون تنفيذ التكامل أكثر ملاءمة في حالة أو أخرى؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
• حسنًا، أين سنكون بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يتضمن فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات الرقمية الصحيحة.

خوارزمية حل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:

1. نبني الرسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق متقلب، على نطاق واسع. نوقع اسم هذه الوظيفة بقلم رصاص فوق كل رسم بياني. تم توقيع الرسوم البيانية فقط لتسهيل إجراء المزيد من الحسابات. بعد الحصول على رسم بياني للشكل المطلوب، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا نحل المشكلة بيانيا. ومع ذلك، يحدث أن تكون قيم النهايات كسرية أو غير منطقية. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل صريح، فإننا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ونرى ما إذا كان حلنا الرسومي يتطابق مع الحل التحليلي.

3. بعد ذلك، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية ترتيب الرسوم البيانية للدالة، هناك طرق مختلفة للعثور على مساحة الشكل. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.

3.1. النسخة الأكثر كلاسيكية وأبسط من المشكلة هي عندما تحتاج إلى العثور على مساحة شبه منحرف منحني. ما هو شبه منحرف منحني؟ هذا شكل مسطح محدد بالمحور x (y = 0)، والخطوط المستقيمة x = a، x = b وأي منحنى مستمر في الفترة من a إلى b. علاوة على ذلك، فإن هذا الرقم غير سلبي ولا يقع تحت المحور السيني. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي عدديًا تكاملًا معينًا، يتم حسابه باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

مثال 1ص = س2 - 3س + 3، س = 1، س = 3، ص = 0.

ما هي الخطوط التي يحدها الشكل؟ لدينا قطع مكافئ y = x2 - 3x + 3، والذي يقع فوق محور OX، وهو غير سالب، لأن جميع نقاط هذا القطع المكافئ لها قيم موجبة. بعد ذلك، يتم إعطاء الخطوط المستقيمة x = 1 وx = 3، والتي تعمل بالتوازي مع محور المرجع أمبير وهي الخطوط الحدودية للشكل على اليسار واليمين. حسنًا، y = 0، وهو أيضًا المحور x، والذي يحد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك البدء فورًا في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحرف منحني، والذي سنحله بعد ذلك باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

3.2. في الفقرة 3.1 السابقة، قمنا بدراسة الحالة عندما يقع شبه منحرف منحني فوق المحور السيني. الآن فكر في الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة هي نفسها، فيما عدا أن الدالة تقع تحت المحور السيني. تتم إضافة علامة ناقص إلى صيغة نيوتن-لايبنتز القياسية. سننظر في كيفية حل هذه المشكلة أدناه.

مثال 2. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.

في هذا المثال لدينا قطع مكافئ y = x2 + 6x + 2، والذي ينشأ من تحت محور OX، الخطوط المستقيمة x = -4، x = -1، y = 0. هنا y = 0 يحد الرقم المطلوب من الأعلى. الخطوط المستقيمة x = -4 وx = -1 هي الحدود التي سيتم حساب التكامل المحدد ضمنها. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بشكل كامل تقريبًا مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن الوظيفة المعطاة ليست موجبة، وهي أيضًا مستمرة على الفاصل الزمني [-4؛ -1] . ماذا تقصد غير إيجابي؟ كما يتبين من الشكل، فإن الشكل الذي يقع ضمن علامة x المحددة له إحداثيات "سلبية" حصريًا، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، مع وضع علامة الطرح في البداية فقط.

المقال لم يكتمل.

المشكلة 1 (حول حساب مساحة شبه المنحرف المنحني).

في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل xOy، يتم إعطاء شكل (انظر الشكل) يحده المحور x، الخطوط المستقيمة x = a، x = b (a بواسطة شبه منحرف منحني الأضلاع. مطلوب حساب مساحة المنحني الخطي شبه منحرف.
حل. تعطينا الهندسة وصفات لحساب مساحات المضلعات وبعض أجزاء الدائرة (القطاع، القطعة). باستخدام الاعتبارات الهندسية، يمكننا فقط إيجاد قيمة تقريبية للمساحة المطلوبة، وذلك على النحو التالي.

دعونا نقسم المقطع [أ؛ ب] (قاعدة شبه منحرف منحني) إلى n أجزاء متساوية؛ يتم تنفيذ هذا التقسيم باستخدام النقاط x 1، x 2، ... x k، ... x n-1. لنرسم خطوطًا مستقيمة عبر هذه النقاط موازية للمحور y. ثم سيتم تقسيم شبه المنحرف المنحني المحدد إلى أجزاء n، إلى أعمدة ضيقة n. مساحة شبه المنحرف بأكمله تساوي مجموع مساحات الأعمدة.

دعونا نفكر في العمود k بشكل منفصل، أي. شبه منحرف منحني قاعدته قطعة. لنستبدله بمستطيل له نفس القاعدة والارتفاع يساوي f(x k) (انظر الشكل). مساحة المستطيل تساوي \(\Delta x_k \) \cdot \Delta x_k \)، حيث \(\Delta x_k \) هو طول المقطع؛ ومن الطبيعي اعتبار المنتج الناتج قيمة تقريبية لمساحة العمود k.

إذا فعلنا الآن الشيء نفسه مع جميع الأعمدة الأخرى، فسنصل إلى النتيجة التالية: المساحة S لشبه منحرف منحني الأضلاع تساوي تقريبًا المساحة S n للشكل المتدرج المكون من n مستطيلات (انظر الشكل):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
هنا، من أجل توحيد التدوين، نفترض أن a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - طول المقطع، \(\Delta x_1 \) - طول المقطع، وما إلى ذلك؛ في هذه الحالة، كما اتفقنا أعلاه، \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

لذلك، \(S \approx S_n \)، وهذه المساواة التقريبية أكثر دقة، كلما كان n أكبر.
بحكم التعريف، يعتقد أن المساحة المطلوبة لشبه منحرف منحني الأضلاع تساوي نهاية التسلسل (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

المشكلة الثانية (حول تحريك نقطة)
تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم. يتم التعبير عن اعتماد السرعة على الوقت بالصيغة v = v(t). أوجد حركة نقطة خلال فترة زمنية [أ؛ ب].
حل. إذا كانت الحركة موحدة، فسيتم حل المشكلة بكل بساطة: s = vt، أي. ق = ت(ب-أ). بالنسبة للحركة غير المتساوية عليك استخدام نفس الأفكار التي بني عليها حل المشكلة السابقة.
1) تقسيم الفاصل الزمني [أ؛ ب] إلى n أجزاء متساوية.
2) اعتبر فترة زمنية وافترض أنه خلال هذه الفترة الزمنية كانت السرعة ثابتة، كما كانت في الوقت t k. لذلك نحن نفترض أن v = v(t k).
3) دعونا نجد القيمة التقريبية لحركة النقطة على مدى فترة من الزمن؛ وسوف نشير إلى هذه القيمة التقريبية بـ s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) أوجد القيمة التقريبية للإزاحة:
\(s \approx S_n \) حيث
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) الإزاحة المطلوبة تساوي نهاية التسلسل (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

دعونا نلخص. تم اختزال حلول المشكلات المختلفة في نفس النموذج الرياضي. العديد من المشاكل من مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا تؤدي إلى نفس النموذج في عملية الحل. وهذا يعني أنه يجب دراسة هذا النموذج الرياضي بشكل خاص.

مفهوم التكامل المحدد

دعونا نعطي وصفًا رياضيًا للنموذج الذي تم بناؤه في المسائل الثلاث المدروسة للدالة y = f(x)، المستمرة (ولكن ليس بالضرورة غير سالبة، كما تم الافتراض في المسائل قيد النظر) على الفاصل الزمني [a؛ ب]:
1) تقسيم الجزء [أ؛ ب] إلى n أجزاء متساوية؛
2) قم بتكوين المجموع $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) احسب $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

وقد ثبت في سياق التحليل الرياضي أن هذه النهاية موجودة في حالة الدالة المستمرة (أو المستمرة المتعددة التعريف). ويسمى التكامل المحدد للدالة y = f(x) على المقطع [a; ب] ويشار إليها على النحو التالي:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
يُطلق على الرقمين a وb حدود التكامل (السفلى والعليا، على التوالي).

دعنا نعود إلى المهام التي تمت مناقشتها أعلاه. يمكن الآن إعادة كتابة تعريف المساحة الوارد في المشكلة الأولى على النحو التالي:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
هنا S هي مساحة شبه المنحرف المنحني الموضح في الشكل أعلاه. هذا هو المعنى الهندسي للتكامل المحدد.

يمكن إعادة كتابة تعريف الإزاحة s لنقطة تتحرك في خط مستقيم بسرعة v = v(t) خلال الفترة الزمنية من t = a إلى t = b، الواردة في المشكلة 2، على النحو التالي:

صيغة نيوتن-لايبنتز

أولا، دعونا نجيب على السؤال: ما هي العلاقة بين التكامل المحدد والمشتق العكسي؟

يمكن العثور على الإجابة في المشكلة 2. من ناحية، يتم حساب إزاحة نقطة تتحرك في خط مستقيم بسرعة v = v(t) خلال الفترة الزمنية من t = a إلى t = b بواسطة الصيغة
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

من ناحية أخرى، إحداثيات نقطة متحركة هي مشتق عكسي للسرعة - دعنا نشير إليها s(t)؛ هذا يعني أنه يتم التعبير عن الإزاحة s بالصيغة s = s(b) - s(a). ونتيجة لذلك نحصل على:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
حيث s(t) هو المشتق العكسي لـ v(t).

تم إثبات النظرية التالية في سياق التحليل الرياضي.
نظرية. إذا كانت الدالة y = f(x) متصلة على الفاصل الزمني [a; ب]، فإن الصيغة صالحة
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
حيث F(x) هو المشتق العكسي لـ f(x).

تسمى الصيغة المذكورة أعلاه عادة بصيغة نيوتن-لايبنيز تكريما للفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد ليبنيز (1646-1716)، اللذين حصلا عليها بشكل مستقل عن بعضهما البعض وفي وقت واحد تقريبًا.

من الناحية العملية، بدلاً من كتابة F(b) - F(a)، يستخدمون الترميز \(\left. F(x)\right|_a^b \) (يُطلق عليه أحيانًا استبدال مزدوج)، وبالتالي، يعيدون الكتابة صيغة نيوتن-لايبنتز بهذه الطريقة تتشكل:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

عند حساب تكامل محدد، ابحث أولاً عن المشتق العكسي، ثم قم بإجراء تعويض مزدوج.

استنادا إلى صيغة نيوتن-لايبنتز، يمكننا الحصول على خاصيتين للتكامل المحدد.

الخاصية 1. تكامل مجموع الوظائف يساوي مجموع التكاملات:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

الخاصية 2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

حساب مساحات الأشكال المستوية باستخدام التكامل المحدد

باستخدام التكامل، يمكنك حساب مساحات ليس فقط شبه المنحرف المنحني، ولكن أيضًا أشكال مستوية من نوع أكثر تعقيدًا، على سبيل المثال، تلك الموضحة في الشكل. الشكل P محدود بخطوط مستقيمة x = a، x = b ورسوم بيانية للوظائف المستمرة y = f(x)، y = g(x)، وعلى المقطع [a؛ ب] تظل المتباينة \(g(x) \leq f(x) \) قائمة. ولحساب المساحة S لهذا الشكل، سنعمل على النحو التالي:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

لذا، فإن المساحة S من الشكل المحدود بخطوط مستقيمة x = a، x = b ورسوم بيانية للوظائف y = f(x)، y = g(x)، مستمرة على القطعة وهكذا لأي x من القطعة [أ؛ ب] يتم تحقيق عدم المساواة \(g(x) \leq f(x) \)، ويتم حسابها بواسطة الصيغة
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الدوال $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (ن +1))(ن+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) × +C $$

أ)

حل.

النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي الرسم.

لنقم بالرسم:

المعادلة ص=0يحدد المحور "س"؛

- س=-2و س = 1- مستقيم، موازي للمحور الوحدة التنظيمية؛

- ص=س 2 +2 -قطع مكافئ، فروعه متجهة نحو الأعلى، رأسه عند النقطة (0؛2).

تعليق. لبناء القطع المكافئ، يكفي العثور على نقاط تقاطعه مع محاور الإحداثيات، أي. وضع س = 0العثور على التقاطع مع المحور الوحدة التنظيميةوحل المعادلة التربيعية المقابلة لها، وأوجد التقاطع مع المحور أوه .

يمكن العثور على قمة القطع المكافئ باستخدام الصيغ:

يمكنك أيضًا إنشاء خطوط نقطة بنقطة.

على الفاصل الزمني [-2;1] الرسم البياني للوظيفة ص=س 2 +2تقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:

إجابة: س=9 وحدات مربعة

بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، يبدو أن هذا صحيح. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

ماذا تفعل إذا كان شبه منحرف منحني يقع تحت المحور أوه؟

ب) احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ص=-ه س , س = 1وتنسيق المحاور.

حل.

دعونا نجعل الرسم.

إذا كان شبه منحرف منحني يقع بالكامل تحت المحور أوه , ثم يمكن العثور على مساحتها باستخدام الصيغة:

إجابة: ق=(ه-1)وحدات مربعة "1.72 وحدة مربعة

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد ببساطة دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

من الناحية العملية، غالبًا ما يقع الشكل في كل من النصف العلوي والسفلي.

ج) أوجد مساحة الشكل المسطح المحدد بخطوط ص=2س-س 2، ص=-س.

حل.

أولا تحتاج إلى إكمال الرسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ ومستقيم ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية.

نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل أ = 0، الحد الأعلى للتكامل ب = 3 .

نبني الخطوط المعطاة: 1. القطع المكافئ - الرأس عند النقطة (1؛1)؛ تقاطع المحور أوه -النقاط (0;0) و (0;2). 2. الخط المستقيم - منصف زاويتي الإحداثيات الثانية والرابعة. والآن انتبه! إذا كان على الجزء [ أ ؛ ب] بعض الوظائف المستمرة و (خ)أكبر من أو يساوي بعض الوظائف المستمرة ز (خ)، فيمكن إيجاد مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة: . ولا يهم أين يقع الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور، ولكن ما يهم هو الرسم البياني الأعلى (بالنسبة إلى رسم بياني آخر)، والذي هو أدناه. في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه

يمكنك بناء خطوط نقطة نقطة، وتصبح حدود التكامل واضحة "بنفسها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية).

الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.

على الجزء ، وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة: س= 4.5 وحدة مربعة

كيفية إدراج الصيغ الرياضية على موقع على شبكة الانترنت؟

إذا كنت بحاجة إلى إضافة واحدة أو اثنتين من الصيغ الرياضية إلى صفحة ويب، فإن أسهل طريقة للقيام بذلك هي كما هو موضح في المقالة: يتم إدراج الصيغ الرياضية بسهولة على الموقع في شكل صور يتم إنشاؤها تلقائيًا بواسطة Wolfram Alpha . بالإضافة إلى البساطة، ستساعد هذه الطريقة العالمية على تحسين ظهور الموقع في محركات البحث. لقد كان يعمل لفترة طويلة (وأعتقد أنه سيعمل إلى الأبد)، لكنه عفا عليه الزمن بالفعل من الناحية الأخلاقية.

إذا كنت تستخدم الصيغ الرياضية بانتظام على موقعك، فإنني أوصي باستخدام MathJax - وهي مكتبة JavaScript خاصة تعرض الرموز الرياضية في متصفحات الويب باستخدام علامات MathML أو LaTeX أو ASCIMathML.

هناك طريقتان لبدء استخدام MathJax: (1) باستخدام رمز بسيط، يمكنك توصيل البرنامج النصي MathJax بسرعة بموقعك على الويب، والذي سيتم تحميله تلقائيًا من خادم بعيد في الوقت المناسب (قائمة الخوادم)؛ (2) قم بتنزيل البرنامج النصي MathJax من خادم بعيد إلى الخادم الخاص بك وقم بتوصيله بجميع صفحات موقعك. الطريقة الثانية - الأكثر تعقيدًا وتستغرق وقتًا طويلاً - ستعمل على تسريع تحميل صفحات موقعك، وإذا أصبح خادم MathJax الأصلي غير متاح مؤقتًا لسبب ما، فلن يؤثر ذلك على موقعك بأي شكل من الأشكال. وعلى الرغم من هذه المزايا، إلا أنني اخترت الطريقة الأولى لأنها أبسط وأسرع ولا تتطلب مهارات فنية. اتبع مثالي، وفي 5 دقائق فقط ستتمكن من استخدام جميع ميزات MathJax على موقعك.

يمكنك توصيل البرنامج النصي لمكتبة MathJax من خادم بعيد باستخدام خيارين للتعليمات البرمجية مأخوذة من موقع MathJax الرئيسي أو من صفحة الوثائق:

يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية لصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.

أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.

يتم إنشاء أي فراكتل وفقًا لقاعدة معينة، والتي يتم تطبيقها باستمرار لعدد غير محدود من المرات. كل مرة من هذا القبيل تسمى التكرار.

الخوارزمية التكرارية لبناء إسفنجة Menger بسيطة للغاية: يتم تقسيم المكعب الأصلي ذو الجانب 1 بواسطة مستويات موازية لوجهه إلى 27 مكعبًا متساويًا. تتم إزالة مكعب مركزي واحد و 6 مكعبات مجاورة له على طول الوجوه. والنتيجة هي مجموعة تتكون من المكعبات العشرين الأصغر المتبقية. وبفعل الشيء نفسه مع كل مكعب من هذه المكعبات، نحصل على مجموعة مكونة من 400 مكعب أصغر. مواصلة هذه العملية إلى ما لا نهاية، نحصل على اسفنجة Menger.

في القسم السابق المخصص لتحليل المعنى الهندسي للتكامل المحدد، تلقينا عددًا من الصيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع:

Yandex.RTB RA-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير سالبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ] ،

S (G) = - ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير موجبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ] .

تنطبق هذه الصيغ على حل المشكلات البسيطة نسبيًا. في الواقع، سيتعين علينا في كثير من الأحيان العمل مع شخصيات أكثر تعقيدًا. وفي هذا الصدد، سنخصص هذا القسم لتحليل خوارزميات حساب مساحة الأشكال التي تقتصر على وظائف في شكل صريح، أي. مثل y = f(x) أو x = g(y).

نظرية

دع الوظائف y = f 1 (x) و y = f 2 (x) محددة ومستمرة على الفاصل الزمني [ a ; b ] و f 1 (x) ≥ f 2 (x) لأي قيمة x من [ a ; ب ] . ثم صيغة حساب مساحة الشكل G، المحصورة بالخطوط x = a، x = b، y = f 1 (x) و y = f 2 (x) ستبدو هكذا S (G) = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س .

سيتم تطبيق صيغة مماثلة على مساحة الشكل الذي يحده الخطوط y = c و y = d و x = g 1 (y) و x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( ز 2 (ص) - ز 1 (ص) د ص .

دليل

دعونا نلقي نظرة على ثلاث حالات تكون الصيغة صالحة لها.

في الحالة الأولى، مع الأخذ بعين الاعتبار خاصية إضافة المساحة، فإن مجموع مساحات الشكل الأصلي G وشبه المنحرف المنحني G 1 يساوي مساحة الشكل G 2. هذا يعني انه

وبالتالي، S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الثالثة للتكامل المحدد.

وفي الحالة الثانية تكون المساواة صحيحة: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( س) - و 1 (س)) د س

سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

إذا كانت كلتا الدالتين غير موجبة، نحصل على: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (س) - و 1 (س)) د س . سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة عندما يتقاطع y = f 1 (x) و y = f 2 (x) مع المحور O x.

نشير إلى نقاط التقاطع بـ x i, i = 1, 2, . . . , ن - 1 . هذه النقاط تقسم المقطع [a؛ ب ] إلى أجزاء n x i - 1 ; س ط، ط = 1، 2، . . . ، ن، حيث α = س 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

لذلك،

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( س)) د س = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الخامسة للتكامل المحدد.

دعونا نوضح الحالة العامة على الرسم البياني.

يمكن اعتبار الصيغة S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x مثبتة.

الآن دعنا ننتقل إلى تحليل أمثلة لحساب مساحة الأشكال المحدودة بالخطين y = f (x) و x = g (y).

سنبدأ النظر في أي من الأمثلة من خلال إنشاء رسم بياني. ستسمح لنا الصورة بتمثيل الأشكال المعقدة كإتحادات لأشكال أبسط. إذا كان إنشاء الرسوم البيانية والأشكال عليها أمرًا صعبًا بالنسبة لك، فيمكنك دراسة القسم الخاص بالدوال الأولية الأساسية، والتحويل الهندسي للرسوم البيانية للدوال، بالإضافة إلى إنشاء الرسوم البيانية أثناء دراسة الدالة.

مثال 1

من الضروري تحديد مساحة الشكل المحدد بالقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 والخطوط المستقيمة y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

حل

لنرسم الخطوط على الرسم البياني في نظام الإحداثيات الديكارتية.

على القطعة [ 1 ; 4 ] الرسم البياني للقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 يقع أعلى الخط المستقيم y = - 1 3 x - 1 2. وفي هذا الصدد، للحصول على الإجابة نستخدم الصيغة التي حصلنا عليها سابقًا، وكذلك طريقة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 س 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

الجواب: س(ز) = 13

دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.

مثال 2

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الخطوط y = x + 2، y = x، x = 7.

حل

في هذه الحالة، لدينا خط مستقيم واحد فقط موازي لمحور x. هذا هو س = 7. وهذا يتطلب منا أن نجد الحد الثاني للتكامل بأنفسنا.

دعونا نبني رسمًا بيانيًا ونرسم عليه الخطوط الواردة في بيان المشكلة.

بوجود الرسم البياني أمام أعيننا، يمكننا بسهولة تحديد أن الحد الأدنى للتكامل سيكون حدود نقطة تقاطع الرسم البياني للخط المستقيم y = x وشبه القطع المكافئ y = x + 2. للعثور على الإحداثي السيني نستخدم المعادلات:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

يتبين أن حدود نقطة التقاطع هي x = 2.

نلفت انتباهك إلى حقيقة أنه في المثال العام في الرسم، تتقاطع الخطوط y = x + 2، y = x عند النقطة (2؛ 2)، لذلك قد تبدو مثل هذه الحسابات التفصيلية غير ضرورية. لقد قدمنا ​​مثل هذا الحل التفصيلي هنا فقط لأنه في الحالات الأكثر تعقيدًا قد لا يكون الحل واضحًا جدًا. وهذا يعني أنه من الأفضل دائمًا حساب إحداثيات تقاطع الخطوط بشكل تحليلي.

على الفاصل الزمني [ 2 ; 7] الرسم البياني للدالة y = x يقع أعلى الرسم البياني للدالة y = x + 2. دعونا نطبق الصيغة لحساب المساحة:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

الجواب: س (ز) = 59 6

مثال 3

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الرسوم البيانية للوظائف y = 1 x و y = - x 2 + 4 x - 2.

حل

دعونا نرسم الخطوط على الرسم البياني.

دعونا نحدد حدود التكامل. للقيام بذلك، نحدد إحداثيات نقاط تقاطع الخطوط عن طريق مساواة التعبيرات 1 x و - x 2 + 4 x - 2. بشرط ألا تكون x صفراً، فإن المساواة 1 x = - x 2 + 4 x - 2 تصبح معادلة لمعادلة الدرجة الثالثة - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 بمعاملات صحيحة. لتحديث ذاكرتك عن الخوارزمية الخاصة بحل مثل هذه المعادلات، يمكننا الرجوع إلى قسم "حل المعادلات التكعيبية".

جذر هذه المعادلة هو x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

بقسمة التعبير - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 على ذات الحدين x - 1، نحصل على: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

يمكننا إيجاد الجذور المتبقية من المعادلة x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 د = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3؛ س 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

لقد وجدنا الفاصل الزمني x ∈ 1؛ 3 + 13 2، حيث يكون الشكل G موجودًا فوق الخط الأزرق وتحت الخط الأحمر. وهذا يساعدنا على تحديد مساحة الشكل:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ع 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ع 1 = 7 + 13 3 - ع 3 + 13 2

الجواب: س (ز) = 7 + 13 3 - l 3 + 13 2

مثال 4

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على المنحنيات y = x 3، y = - log 2 x + 1 ومحور الإحداثي السيني.

حل

دعونا نرسم جميع الخطوط على الرسم البياني. يمكننا الحصول على الرسم البياني للدالة y = - log 2 x + 1 من الرسم البياني y = log 2 x إذا وضعناها بشكل متماثل حول المحور x وحركناها للأعلى بمقدار وحدة واحدة. معادلة المحور السيني هي y = 0.

دعونا نحدد نقاط تقاطع الخطوط.

كما يتبين من الشكل، فإن الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (0؛ 0). يحدث هذا لأن x = 0 هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة x 3 = 0.

x = 2 هو الجذر الوحيد للمعادلة - log 2 x + 1 = 0، وبالتالي فإن الرسوم البيانية للوظائف y = - log 2 x + 1 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (2؛ 0).

x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة x 3 = - log 2 x + 1 . في هذا الصدد، تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = - log 2 x + 1 عند النقطة (1؛ 1). العبارة الأخيرة قد لا تكون واضحة، لكن المعادلة x 3 = - log 2 x + 1 لا يمكن أن يكون لها أكثر من جذر واحد، لأن الدالة y = x 3 تتزايد بشكل صارم، والدالة y = - log 2 x + 1 هي يتناقص بشدة.

يتضمن الحل الإضافي عدة خيارات.

الخيار 1

يمكننا أن نتخيل الشكل G كمجموع شبه منحرفين منحنيين يقعان فوق المحور السيني، يقع أولهما أسفل خط الوسط على القطعة x ∈ 0؛ 1، والثاني أسفل الخط الأحمر على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يعني أن المساحة ستكون مساوية S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

الخيار رقم 2

يمكن تمثيل الشكل G بالفرق بين شكلين، يقع أولهما فوق المحور السيني وتحت الخط الأزرق على المقطع x ∈ 0؛ 2، والثاني بين الخطين الأحمر والأزرق على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يتيح لنا العثور على المنطقة على النحو التالي:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 د x - ∫ 1 2 x 3 - (- سجل 2 x + 1) د x

في هذه الحالة، للعثور على المساحة، سيتعين عليك استخدام صيغة من الصيغة S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. في الواقع، يمكن تمثيل الخطوط التي تربط الشكل كدوال للوسيطة y.

دعونا نحل المعادلات y = x 3 و - log 2 x + 1 بالنسبة إلى x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - سجل 2 x + 1 ⇒ سجل 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

نحصل على المساحة المطلوبة:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) د y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

الجواب: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

مثال 5

من الضروري حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x، y = 2 3 x - 3، y = - 1 2 x + 4.

حل

باستخدام الخط الأحمر، نرسم الخط المحدد بواسطة الدالة y = x. نرسم الخط y = - 1 2 x + 4 باللون الأزرق، والخط y = 2 3 x - 3 باللون الأسود.

دعونا نحدد نقاط التقاطع.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدوال y = x و y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 × 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 تحقق: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ليس حل المعادلة x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 هو حل المعادلة ⇒ (4; 2) نقطة التقاطع i y = x و y = - 1 2 x + 4

لنجد نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x و y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 × 1 = 45 + 729 8 = 9، × 2 45 - 729 8 = 9 4 تحقق: × 1 = 9 = 3، 2 3 × 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 هو حل المعادلة ⇒ (9 ; 3) النقطة a s y = x و y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 لا يوجد حل للمعادلة

لنوجد نقطة تقاطع الخطين y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) نقطة التقاطع y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3

الطريقة رقم 1

دعونا نتخيل مساحة الشكل المطلوب كمجموع مساحات الأشكال الفردية.

ثم مساحة الشكل هي:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - س 2 3 + 3 × 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

الطريقة رقم 2

يمكن تمثيل مساحة الشكل الأصلي كمجموع شكلين آخرين.

ثم نحل معادلة الخط بالنسبة لـ x، وبعد ذلك فقط نطبق صيغة حساب مساحة الشكل.

y = x ⇒ x = y 2 خط أحمر y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 خط أسود y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

إذن المنطقة هي:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ص + 9 2 - ص 2 د ص = = 7 4 ص 2 - 7 4 ص 1 2 + - ص 3 3 + 3 ص 2 4 + 9 2 ص 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

كما ترون، القيم هي نفسها.

الجواب: س (ز) = 11 3

نتائج

للعثور على مساحة شكل محدد بخطوط معينة، نحتاج إلى إنشاء خطوط على المستوى، وإيجاد نقاط تقاطعها، وتطبيق الصيغة للعثور على المساحة. في هذا القسم، قمنا بفحص المتغيرات الأكثر شيوعًا للمهام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter