تسمى عملية حل التكاملات في العلم الذي يسمى الرياضيات بالتكامل. باستخدام التكامل، يمكنك العثور على بعض الكميات الفيزيائية: المساحة والحجم وكتلة الأجسام وأكثر من ذلك بكثير.
يمكن أن تكون التكاملات غير محددة أو محددة. دعونا نفكر في شكل التكامل المحدد ونحاول فهم معناه المادي. ويتم تمثيله بهذا الشكل: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. السمة المميزة لكتابة تكامل محدد من تكامل غير محدد هي أن هناك حدود للتكامل أ و ب. الآن سوف نكتشف سبب الحاجة إليها، وماذا يعني التكامل المحدد في الواقع. بالمعنى الهندسي، مثل هذا التكامل يساوي مساحة الشكل الذي يحده المنحنى f(x)، والخطين a وb، ومحور الثور.
يتضح من الشكل 1 أن التكامل المحدد هو نفس المساحة المظللة باللون الرمادي. دعونا نتحقق من ذلك بمثال بسيط. دعونا نوجد مساحة الشكل في الصورة أدناه باستخدام التكامل، ثم نحسبها بالطريقة المعتادة بضرب الطول في العرض.
يتضح من الشكل 2 أن $ y=f(x)=3 $، $ a=1، b=2 $. الآن نعوض بها في تعريف التكامل، نحصل على $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ لنجري الفحص بالطريقة المعتادة. في حالتنا، الطول = 3، عرض الشكل = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ كما يمكنك ترى، كل شيء يناسب تماما .
السؤال الذي يطرح نفسه: كيفية حل التكاملات غير المحددة وما معناها؟ حل هذه التكاملات هو إيجاد دوال مشتقة عكسية. هذه العملية هي عكس إيجاد المشتق. من أجل العثور على المشتق العكسي، يمكنك استخدام مساعدتنا في حل المشكلات في الرياضيات، أو تحتاج إلى حفظ خصائص التكاملات وجدول تكامل أبسط الوظائف الأولية بشكل مستقل. يبدو العثور عليه كالتالي $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ هو المشتق العكسي لـ $ f(x)، C = const $.
لحل التكامل، تحتاج إلى دمج الدالة $ f(x) $ على متغير. إذا كانت الدالة جدولية، فسيتم كتابة الإجابة بالشكل المناسب. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن العملية تتلخص في الحصول على دالة جدولية من الدالة $ f(x) $ من خلال تحويلات رياضية صعبة. هناك طرق وخصائص مختلفة لهذا، والتي سننظر فيها أكثر.
إذن، دعونا الآن ننشئ خوارزمية لحل التكاملات للنماذج الافتراضية؟
خوارزمية لحساب التكاملات
- دعونا معرفة التكامل المحدد أم لا.
- إذا لم يتم تحديدها، فأنت بحاجة إلى العثور على الدالة المشتقة العكسية $ F(x) $ للتكامل $ f(x) $ باستخدام التحويلات الرياضية التي تؤدي إلى شكل جدولي للدالة $ f(x) $.
- إذا تم تعريفها، فستحتاج إلى تنفيذ الخطوة 2، ثم استبدال الحدود $ a $ و$ b $ في دالة المشتق العكسي $ F(x) $. سوف تكتشف الصيغة التي يجب استخدامها للقيام بذلك في مقالة "صيغة نيوتن-لايبنيز".
أمثلة على الحلول
لقد تعلمت كيفية حل التكاملات للدمى، وتم فرز أمثلة على حل التكاملات. لقد تعلمنا معناها المادي والهندسي. سيتم وصف طرق الحل في مقالات أخرى.
إذا كانت التعريفات من الكتاب المدرسي معقدة للغاية وغير واضحة، فاقرأ مقالتنا. سنحاول أن نشرح ببساطة قدر الإمكان، "على الأصابع"، النقاط الرئيسية لهذا الفرع من الرياضيات مثل التكاملات المحددة. كيفية حساب التكامل، اقرأ في هذا الدليل.
من وجهة نظر هندسية، تكامل الدالة هو مساحة الشكل المتكون من الرسم البياني لدالة معينة والمحور ضمن حدود التكامل. اكتب التكامل، وقم بتحليل الدالة ضمن التكامل: إذا كان من الممكن تبسيط التكامل (تصغيره، وتحليله في علامة التكامل، وتقسيمه إلى تكاملين بسيطين)، فافعل ذلك.
بالطبع، يتم النظر هنا فقط في أبسط إصدارات التكاملات - في الواقع، هناك عدد كبير من أنواع التكاملات؛ يتم دراستها في سياق الرياضيات العليا والتحليل الرياضي والمعادلات التفاضلية في الجامعات لطلاب التخصصات الفنية .
يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟
إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل أبسط التكاملات وغيرها ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها في الرياضيات.
نحن ندرس المفهوم « أساسي »
كان التكامل معروفًا في مصر القديمة. بالطبع، ليس في شكله الحديث، ولكن لا يزال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير.
كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. لدينا بالفعل معلومات حول النهايات والمشتقات، الضرورية لفهم التكاملات، على مدونتنا.
تكامل غير محدد
دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .
دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .
بمعنى آخر، التكامل هو مشتقة عكسية أو مشتقة عكسية. بالمناسبة، اقرأ مقالتنا حول كيفية حساب المشتقات.
يوجد مشتق عكسي لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.
مثال بسيط:
من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار، فمن الملائم وضعها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.
جدول كامل للتكاملات للطلاب
تكامل محدد
عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل وكتلة الجسم غير المنتظم والمسافة المقطوعة أثناء الحركة غير المستوية وغير ذلك الكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد كبير لا نهائي من الحدود متناهية الصغر.
على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف.
كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟ باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا نقسم شبه المنحرف المنحني، المحدود بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للدالة، إلى أجزاء متناهية الصغر. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:
تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.
« أساسي »
بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل
قواعد لحساب التكاملات للدمى
خصائص التكامل غير المحدد
كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.
- مشتق التكامل يساوي التكامل:
- يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:
- تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:
خصائص التكامل المحدد
- الخطية:
- تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:
- في أينقاط أ, بو مع:
لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المبلغ. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:
أمثلة على حل التكاملات
أدناه سننظر في التكامل غير المحدد والأمثلة مع الحلول. نقترح عليك معرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، اطرح الأسئلة في التعليقات.
لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اتصل بخدمة احترافية للطلاب، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني على سطح مغلق في حدود طاقتك.
تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حل تكامل محدد عبر الإنترنت. في الأساس حساب التكامل المحددهو العثور على رقم يساوي المساحة تحت الرسم البياني للدالة. لحل هذه المشكلة، من الضروري تحديد حدود التكامل والدالة المراد تكاملها. بعد التكامل، سيجد النظام المشتق العكسي للدالة المعطاة، ويحسب قيمها عند النقاط الموجودة على حدود التكامل، ويجد الفرق بينها، والذي سيكون حل التكامل المحدد. لحل التكامل غير المحدد، تحتاج إلى استخدام آلة حاسبة مماثلة عبر الإنترنت، والتي توجد على موقعنا على الرابط - حل التكامل غير المحدد.
نحن نسمح حساب التكامل المحدد على الانترنتبسرعة وبشكل موثوق. سوف تحصل دائما على القرار الصحيح. علاوة على ذلك، بالنسبة للتكاملات الجدولية، سيتم تقديم الإجابة بشكل كلاسيكي، أي يتم التعبير عنها من خلال ثوابت معروفة، مثل الرقم "pi" و"الأس" وما إلى ذلك. جميع الحسابات مجانية تماما ولا تتطلب التسجيل. من خلال حل التكامل المحدد معنا، ستوفر على نفسك من العمليات الحسابية المعقدة والمستهلكة للوقت، أو من خلال حل التكامل بنفسك، ستتمكن من التحقق من الحل الذي حصلت عليه.