إذا كانت الأحداث H 1، H 2، ...، H n تشكل مجموعة كاملة، فعندئذ لحساب احتمال وقوع حدث عشوائي، يمكنك استخدام صيغة الاحتمال الإجمالي:

ف(أ) = ف(أ/ح 1) ف(ح 1)+ف(أ/ح 2) ف(ح 2)

والتي بموجبها يمكن تمثيل احتمال وقوع الحدث A كمجموع منتجات الاحتمالات الشرطية للحدث A، مع مراعاة وقوع الأحداث H i، من خلال الاحتمالات غير المشروطة لهذه الأحداث H i. وتسمى هذه الأحداث بالفرضيات.

من صيغة الاحتمالية الإجمالية تتبع صيغة بايز:

تسمى الاحتمالات P(H i) للفرضيات H i بالاحتمالات المسبقة - الاحتمالات قبل إجراء التجارب.
تسمى الاحتمالات P(A/H i) بالاحتمالات الخلفية - احتمالات الفرضيات H i، والتي تم تنقيحها نتيجة للتجربة.

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لحساب الاحتمالية الإجمالية مع عملية الحل بأكملها المكتوبة بتنسيق Word (انظر أمثلة حل المشكلات).

عدد الكائنات 2 3 4 5
عدد المنتجات المحددة يتم تحديد احتمالات المنتجات المعيبة
النبات رقم 1 : P(H1) = . احتمالية المنتجات القياسية: P(A|H1) =
النبات رقم 2 : P(H2) = . احتمالية المنتجات القياسية: P(A|H2) =
النبات رقم 3 : P(H3) = . احتمالية المنتجات القياسية: P(A|H3) =
النبات رقم 4 : P(H4) = . احتمالية المنتجات القياسية: P(A|H4) =
النبات رقم 5 : P(H5) = . احتمالية المنتجات القياسية: P(A|H5) =

إذا تم تقديم البيانات المصدر كنسبة مئوية (%)، فيجب تقديمها كمشاركة. على سبيل المثال، 60%: 0.6.

المثال رقم 1. يستقبل المتجر لمبات من مصنعين حيث تبلغ حصة المصنع الأول 25%. ومن المعروف أن نسبة العيوب في هذه المصانع تساوي 5% و10% من إجمالي المنتجات المصنعة على التوالي. يأخذ البائع مصباحًا كهربائيًا واحدًا بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون معيبة؟
حل:دعونا نشير إلى الحدث بـ A - "تبين أن المصباح الكهربائي معيب". الفرضيات التالية حول أصل هذا المصباح الكهربائي ممكنة: ح 1- "المصباح الكهربائي جاء من المصنع الأول." ح 2- "جاء المصباح الكهربائي من النبات الثاني." وبما أن حصة المصنع الأول هي 25%، فإن احتمالات هذه الفرضيات متساوية على التوالي ; .
الاحتمال المشروط لإنتاج مصباح كهربائي معيب بواسطة المصنع الأول هو - النبات الثاني - ع(أ/ح 2)=نجد الاحتمال المطلوب أن يأخذ البائع مصباحًا معيبًا باستخدام صيغة الاحتمال الإجمالي
0.25·0.05+0.75·0.10=0.0125+0.075=0.0875
إجابة: ع (أ)= 0,0875.

المثال رقم 2. تلقى المتجر كميتين متساويتين من المنتج الذي يحمل نفس الاسم. ومن المعروف أن 25% من الدفعة الأولى و40% من الدفعة الثانية هي بضائع من الدرجة الأولى. ما هو احتمال ألا تكون وحدة السلع المختارة عشوائيًا من الدرجة الأولى؟
حل:
دعونا نشير بالحرف A إلى الحدث - "المنتج سيكون من الدرجة الأولى". الفرضيات التالية حول أصل هذا المنتج ممكنة: ح 1- "منتج من الدفعة الأولى". ح 2- "منتج من الدفعة الثانية." وبما أن حصة الدفعة الأولى تبلغ 25%، فإن احتمالات هذه الفرضيات متساوية على التوالي ; .
الاحتمال المشروط أن يكون المنتج من الدفعة الأولى - من الدفعة الثانية - الاحتمال المرغوب بأن تكون وحدة السلع المختارة عشوائيًا من الدرجة الأولى
ع(A) = ف(H 1) ص(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0.25·0.5+0.4·0.5=0.125+0.2=0.325
إذن فإن احتمال ألا تكون وحدة السلع المختارة عشوائيا من الدرجة الأولى يساوي: 1- 0.325 = 0.675
إجابة: .

المثال رقم 3. ومن المعروف أن 5% من الرجال و1% من النساء مصابون بعمى الألوان. تبين أن الشخص الذي تم اختياره عشوائيًا ليس مصابًا بعمى الألوان. ما هو احتمال أن يكون هذا رجلاً (بافتراض أن هناك أعدادًا متساوية من الرجال والنساء).
حل.
الحدث أ - تبين أن الشخص الذي تم اختياره عشوائيًا ليس مصابًا بعمى الألوان.
دعونا نجد احتمال وقوع هذا الحدث.
P(A) = P(A|H=ذكر) + P(A|H=أنثى) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
إذن احتمال أن يكون هذا رجلًا هو: p = P(A|H=man) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897

المثال رقم 4. يشارك 4 طلاب في السنة الأولى، و6 طلاب في السنة الثانية، و5 طلاب في السنة الثالثة في الأولمبياد الرياضي. تبلغ احتمالات فوز طالب في السنة الأولى والثانية والثالثة في الأولمبياد 0.9 على التوالي؛ 0.7 و 0.8.
أ) أوجد احتمالية فوز أحد المشاركين الذين تم اختيارهم عشوائيًا.
ب) في ظل هذه المشكلة فاز أحد الطلاب بالأولمبياد. ما هي المجموعة التي ينتمي إليها على الأرجح؟
حل.
الحدث أ - فوز أحد المشاركين الذين تم اختيارهم عشوائيًا.
هنا P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267، P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4، P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333،
P(A|H1) = 0.9، P(A|H2) = 0.7، P(A|H3) = 0.8
أ) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
ب) يمكن الحصول على الحل باستخدام هذه الآلة الحاسبة.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
من p1، p2، ​​p3، اختر الحد الأقصى.

المثال رقم 5. لدى الشركة ثلاث ماكينات من نفس النوع. أحدهما يوفر 20% من إجمالي الإنتاج، والثاني – 30%، والثالث – 50%. في هذه الحالة، تنتج الآلة الأولى 5% من العيوب، والثانية 4%، والثالثة 2%. أوجد احتمال أن يتم إنتاج منتج معيب تم اختياره عشوائيًا بواسطة الجهاز الأول.

احتمال الحدث المعاكس

النظر في بعض الأحداث العشوائية أ، واترك احتماله ع (أ)معروف. ثم يتم تحديد احتمال الحدث المعاكس بواسطة الصيغة

. (1.8)

دليل.دعونا نتذكر أنه وفقا للبديهية 3 للمناسبات غير المشتركة

ص(أ+ب) = ص(أ) + ص(ب).

بسبب عدم التوافق أو

عاقبة.أي أن احتمال وقوع الحدث المستحيل هو صفر.

باستخدام الصيغة (1.8)، على سبيل المثال، يتم تحديد احتمال الخسارة إذا كان احتمال الإصابة معروفًا (أو، على العكس من ذلك، احتمال الإصابة إذا كان احتمال الخطأ معروفًا؛ على سبيل المثال، إذا كان احتمال الإصابة إصابة المسدس هي 0.9، واحتمال الخطأ هو (1 – 0، 9 = 0.1).

1. احتمال مجموع حدثين

ومن المناسب أن نذكر هنا ذلك للمناسبات غير المشتركة تبدو هذه الصيغة كما يلي:

مثال.وينتج المصنع 85% من منتجات الدرجة الأولى و10% من منتجات الدرجة الثانية. تعتبر المنتجات المتبقية معيبة. ما هو احتمال أننا إذا أخذنا منتجًا عشوائيًا، فسوف نحصل على عيب؟

حل.ف = 1 - (0.85 + 0.1) = 0.05.

احتمال مجموع أي حدثين عشوائيينيساوي

دليل.دعونا نتخيل حدثا ما أ + بكمجموع الأحداث غير المتوافقة

نظرا لعدم التوافق أونحصل على البديهية 3

وبالمثل نجد

باستبدال الأخير في الصيغة السابقة، نحصل على المطلوب (1.10) (الشكل 2).

مثال.ومن بين الطلاب العشرين، نجح 5 طلاب في امتحان التاريخ بعلامة سيئة، و4 في اللغة الإنجليزية، وحصل 3 طلاب على درجات سيئة في المادتين. ما هي نسبة الطلاب في المجموعة الذين ليس لديهم رسوب في هذه المواد؟

حل.ف = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0.7 (70%).

1. احتمال مشروط

في بعض الحالات يكون من الضروري تحديد احتمالية وقوع حدث عشوائي ببشرط وقوع حدث عشوائي أ، والتي لديها احتمال غير الصفر. يا له من حدث أحدث، يضيق مساحة الأحداث الأولية إلى مجموعة أالموافق لهذا الحدث. سنجري مزيدًا من المناقشات باستخدام مثال المخطط الكلاسيكي. دع W يتكون من n من الأحداث الأولية (النتائج) والحدث الممكنة بشكل متساوٍ أحسنات م (أ)، والحدث أ.ب - م (أب)النتائج. دعونا نشير إلى الاحتمال المشروط للحدث ببشرط أحدث، - ع (ب | أ).أ-بريوري،

= .

لو أحدث، ثم واحد من م (أ)النتائج والحدث بلا يمكن أن يحدث إلا إذا كانت إحدى النتائج لصالح أ.ب; مثل هذه النتائج م (أب). ولذلك فمن الطبيعي أن نضع الاحتمال المشروط للحدث ببشرط أحدث، أي ما يعادل النسبة

لتلخيص، دعونا نعطي تعريفا عاما: الاحتمال الشرطي للحدث B، بشرط أن يقع الحدث A باحتمال غير الصفر , مُسَمًّى

. (1.11)

ومن السهل التحقق من أن التعريف المقدم بهذه الطريقة يلبي جميع البديهيات، وبالتالي فإن جميع النظريات المثبتة مسبقًا صالحة.

في كثير من الأحيان احتمال مشروط ع (ب|أ)يمكن العثور عليها بسهولة من خلال شروط المشكلة، وفي الحالات الأكثر تعقيدًا، يتعين على المرء استخدام التعريف (1.11).

مثال.تحتوي الجرة على كرات N، منها n بيضاء اللون وN-n سوداء. يتم إخراج الكرة منها، دون إعادتها ( عينة دون العودة ) ، يأخذون واحدة أخرى. ما هو احتمال أن تكون الكرتان بيضاء اللون؟

حل.عند حل هذه المشكلة، نطبق كلا من التعريف الكلاسيكي للاحتمال وقاعدة المنتج: دعنا نشير بـ A إلى حدث سحب الكرة البيضاء أولاً (ثم تم سحب الكرة السوداء أولاً)، وبالرمز B إلى حدث سحب الكرة الثانية تم رسم الكرة البيضاء. ثم

.

من السهل أن نرى أن احتمال أن تكون ثلاث كرات مرسومة على التوالي (بدون استبدال) بيضاء اللون:

إلخ.

مثال.من أصل 30 تذكرة امتحان، أعد الطالب 25 فقط. إذا رفض الإجابة على التذكرة الأولى المأخوذة (التي لا يعرفها)، يُسمح له بأخذ التذكرة الثانية. حدد احتمال أن تكون التذكرة الثانية محظوظة.

حل.دع الحدث أهو أن التذكرة الأولى التي تم سحبها تبين أنها "سيئة" للطالب، و ب- الثاني - ²جيد². لأنه بعد الحدث أتمت إزالة إحدى التذاكر "السيئة" بالفعل، ولم يتبق سوى 29 تذكرة، يعرف الطالب 25 منها. ومن ثم فإن الاحتمال المرغوب فيه، على افتراض أن ظهور أي تذكرة ممكن بالتساوي وعدم عودتها، يساوي .

1. احتمال المنتج

العلاقة (1.11) بافتراض ذلك ع (أ)أو ع (ب)لا تساوي الصفر، ويمكن كتابتها في النموذج

وتسمى هذه النسبة نظرية احتمالية حاصل ضرب حدثين ، والتي يمكن تعميمها على أي عدد من العوامل، على سبيل المثال، لثلاثة لها النموذج

مثال.باستخدام شروط المثال السابق، أوجد احتمال اجتياز الاختبار بنجاح إذا كان يجب على الطالب الإجابة على التذكرة الأولى أو، دون الإجابة على الأولى، يجب عليه الإجابة على الثانية.

حل.دع الأحداث أو بهي أن التذكرتين الأولى والثانية على التوالي ²جيدة². ثم – ظهور تذكرة “سيئة” لأول مرة. سيتم إجراء الاختبار في حالة وقوع الحدث أأو في نفس الوقت ب. أي أن الحدث المرغوب C - اجتياز الاختبار بنجاح - يتم التعبير عنه على النحو التالي: ج = أ+ .من هنا

هنا استفدنا من عدم التوافق أوبالتالي عدم التوافق أونظريات حول احتمالية المجموع والمنتج والتعريف الكلاسيكي للاحتمالية عند الحساب ع (أ)و .

يمكن حل هذه المشكلة بشكل أكثر بساطة إذا استخدمنا نظرية احتمال الحدث المعاكس:

1. استقلال الأحداث

الأحداث العشوائية A و Bلنتصلمستقل، لو

بالنسبة للأحداث المستقلة، يتبع من (1.11) أن؛ والعكس صحيح أيضا.

استقلال الأحداثيعني أن وقوع الحدث أ لا يغير من احتمال وقوع الحدث ب، أي أن الاحتمال الشرطي يساوي الاحتمال غير المشروط .

مثال.لنفكر في المثال السابق مع جرة تحتوي على عدد N من الكرات، منها n بيضاء اللون، ولكن قم بتغيير التجربة: بعد إخراج كرة، نعيدها مرة أخرى وبعد ذلك فقط نخرج الكرة التالية ( عينة مع العودة ).

A هو حدث سحب الكرة البيضاء أولاً، وحدث سحب الكرة السوداء أولاً، وB هو حدث سحب الكرة البيضاء ثانيًا؛ ثم

أي أن الحدثين A وB في هذه الحالة مستقلان.

وهكذا، في أخذ العينات مع العودة، تكون أحداث السحب الثاني للكرة مستقلة عن أحداث السحب الأول، ولكن في أخذ العينات دون العودة، ليس هذا هو الحال. ومع ذلك، بالنسبة لـ N وn الكبيرة، تكون هذه الاحتمالات قريبة جدًا من بعضها البعض. يتم استخدامه لأنه في بعض الأحيان يتم إجراء أخذ العينات بدون إرجاع (على سبيل المثال، أثناء مراقبة الجودة، عندما يؤدي اختبار كائن ما إلى تدميره)، ويتم إجراء الحسابات باستخدام صيغ أخذ العينات مع الإرجاع، وهي أبسط.

من الناحية العملية، عند حساب الاحتمالات، غالبًا ما يستخدمون القاعدة التي بموجبها من الاستقلال المادي للأحداث يتبع استقلالها بالمعنى النظري الاحتمالي .

مثال.احتمال عدم وفاة شخص يبلغ من العمر 60 عامًا في العام المقبل هو 0.91. شركة تأمين تؤمن حياة شخصين يبلغان من العمر 60 عامًا لمدة عام.

احتمال عدم موت أي منهما: 0.91 × 0.91 = 0.8281.

احتمال أن يموت كلاهما:

(1 – 0.91) × (1 – 0.91) = 0.09 × 0.09 = 0.0081.

احتمال الموت مرة على الأقل:

1 – 0.91 × 0.91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

احتمال الموت واحد:

0.91 × 0.09 + 0.09 × 0.91 = 0.1638.

نظام الحدث أ 1 , أ 2 ,..., أ ننحن نسميها مستقلة في المجموع إذا كان احتمال المنتج يساوي منتج احتمالات أي مجموعة من العوامل من هذا النظام. وفي هذه الحالة على وجه الخصوص،

مثال.يتكون الرمز الآمن من سبعة أرقام عشرية. ما هو احتمال أن يقوم اللص بكتابتها بشكل صحيح في المرة الأولى؟

في كل موضع من المواضع السبعة يمكنك طلب أي من الأرقام العشرة 0,1,2,...,9، أي ما مجموعه 10 7 أرقام، بدءًا من 0000000 وتنتهي بـ 9999999.

مثال.يتكون الرمز الآمن من حرف روسي (يوجد 33 حرفًا) وثلاثة أرقام. ما هو احتمال أن يقوم اللص بكتابتها بشكل صحيح في المرة الأولى؟

ع = (1/33) × (1/10) 3 .

مثال.وبشكل أكثر عمومية، مشكلة التأمين: احتمال أن الشخص الذي يبلغ من العمر ... سنوات لن يموت في العام المقبل يساوي ص. تقوم شركة التأمين بالتأمين على حياة عدد من الأشخاص في هذا العمر لمدة عام.

احتمال ذلك لا احد منهم لن يموت: pn (لن يضطر أحد إلى دفع قسط التأمين).

احتمال الموت مرة على الأقل: 1 – ع ن (الدفعات قادمة).

احتمال أنهم الجميع سيموت: (1 - ع) ن (أكبر دفعات).

احتمال الموت واحد: ن × (1 – ع) × ع ن-1 (إذا كان الأشخاص معدودين، فمن الممكن أن يكون للمتوفى رقم 1، 2،…،ن – هذه أحداث مختلفة، كل منها له احتمال (1 – ع) ) × ع-1).

1. صيغة الاحتمال الإجمالي

دع الأحداث ح 1 , ح 2 , ... , ح نتلبية الشروط

لو .

تسمى هذه المجموعة مجموعة كاملة من الأحداث.

لنفترض أن الاحتمالات معروفة ص(أهلاً), ص(أ/ح ط). في هذه الحالة ينطبق صيغة الاحتمال الكلي

. (1.14)

دليل.دعونا نستخدم حقيقة ذلك أهلاً(يطلق عليهم عادة فرضيات ) غير متوافقة مع الزوج (وبالتالي غير متوافقة و أهلاً× أ)، ومجموعهم هو حدث موثوق

يحدث هذا المخطط دائمًا عندما يمكننا التحدث عن تقسيم مساحة الأحداث بأكملها إلى عدة مناطق غير متجانسة بشكل عام. في الاقتصاد هو تقسيم الدولة أو المنطقة إلى مناطق ذات أحجام مختلفة وظروف مختلفة، عندما يتم معرفة حصة كل منطقة ع (مرحبا)واحتمال (حصة) بعض المعلمات في كل منطقة (على سبيل المثال، النسبة المئوية للعاطلين عن العمل - كل منطقة لها خاصيتها) - ع (أ/ح ط). قد يحتوي المستودع على منتجات من ثلاثة مصانع مختلفة، وتوريد كميات مختلفة من المنتجات بنسب مختلفة من العيوب، وما إلى ذلك.

مثال.ويتم صب الفراغات من ورشتين إلى الثالثة: 70% من الأولى و30% من الثانية. وفي الوقت نفسه، فإن منتجات الورشة الأولى بها عيوب بنسبة 10٪، والثانية - 20٪. أوجد احتمال أن يكون هناك عيب في قطعة فارغة واحدة أُخذت عشوائيًا.

حل:ع (ح 1) = 0.7؛ ع(ح 2) = 0.3؛ ع(أ/ح 1) = 0.1؛ ع(أ/ح 2) = 0.2؛

P = 0.7 × 0.1 + 0.3 × 0.2 = 0.13 (في المتوسط، 13% من السبائك في الورشة الثالثة معيبة).

يمكن أن يكون النموذج الرياضي، على سبيل المثال، على النحو التالي: هناك عدة جرار ذات تركيب مختلف؛ تحتوي الجرة الأولى على كرات n 1، منها m 1 بيضاء اللون، إلخ. باستخدام صيغة الاحتمال الإجمالي، نبحث عن احتمال اختيار جرة عشوائيًا وسحب كرة بيضاء منها.

يتم استخدام نفس المخطط لحل المشكلات في الحالة العامة.

مثال.لنعد إلى مثال الجرة التي تحتوي على عدد N من الكرات، منها n بيضاء اللون. نخرج منها كرتين (دون إرجاع). ما احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء؟

حل.ح 1 - الكرة الأولى بيضاء اللون؛ ع(ح 1)=ن/ن;

ح 2 - الكرة الأولى سوداء؛ ص(ح 2)=(ن-ن)/ن;

ب - الكرة الثانية بيضاء اللون؛ ص(ب|ح 1)=(ن-1)/(ن-1); ص(ب|ح 2)=ن/(ن-1);

يمكن تطبيق نفس النموذج لحل المشكلة التالية: من أصل N من التذاكر، تعلم الطالب n فقط. ما هو الأكثر ربحية بالنسبة له - سحب التذكرة أولاً أم ثانياً؟ اتضح أنه من المحتمل على أي حال ن / نسوف يرسم تذكرة جيدة ومع الاحتمال ( ن-ن)/ن –سيء.

مثال.حدد احتمالية أن ينتهي المسافر الذي يبدأ من النقطة A عند النقطة B إذا اختار بشكل عشوائي أي طريق (باستثناء طريق العودة) عند مفترق الطريق. تظهر خريطة الطريق في الشكل. 1.3.

حل.دع وصول المسافر إلى النقاط H 1 و H 2 و H 3 و H 4 هو الفرضيات المقابلة. ومن الواضح أنها تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ووفقا لظروف المشكلة

ص(ح 1) = ص(ح 2) = ص(ح 3) = ص(ح 4) = 0,25.

(جميع الاتجاهات من A ممكنة بالتساوي بالنسبة للمسافر). وفقًا لخارطة الطريق، فإن الاحتمالات المشروطة للوصول إلى النقطة B، بشرط مرور المسافر عبر Hi، تساوي:

وبتطبيق معادلة الاحتمالية الكلية نحصل على

1. صيغة بايز

ولنفترض أن شروط الفقرة السابقة قد توافرت، ومن المعروف أيضًا أن الحدث أحدث. لنجد احتمالية تحقق الفرضية حك. حسب تعريف الاحتمال الشرطي

. (1.15)

تسمى العلاقة الناتجة صيغة بايز. ويجوز حسب المعروف
(قبل التجربة) الاحتمالات المسبقة للفرضيات ع (مرحبا)والاحتمالات الشرطية ص(أ|ح ط)تحديد الاحتمال الشرطي ص(ح ك |أ)من اتصل خلفي (أي يتم الحصول عليها بشرط أن يكون الحدث نتيجة للتجربة ألقد حدث بالفعل).

مثال. 30% من المرضى الذين يدخلون المستشفى ينتمون إلى الفئة الاجتماعية الأولى، و20% إلى الثانية، و50% إلى الثالثة. احتمال الإصابة بمرض السل لممثل كل فئة اجتماعية هو، على التوالي، 0.02، 0.03 و 0.01. أظهرت الاختبارات التي أجريت على مريض تم اختياره عشوائياً وجود مرض السل. أوجد احتمال أن يكون هذا ممثلًا للمجموعة الثالثة.

في الواقع، تعد الصيغتان (1) و (2) سجلًا قصيرًا للاحتمال الشرطي بناءً على جدول احتمالي للخصائص. دعنا نعود إلى المثال الذي تمت مناقشته (الشكل 1). لنفترض أننا علمنا أن عائلة تخطط لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة. ما هو احتمال أن تشتري هذه العائلة مثل هذا التلفزيون بالفعل؟

أرز. 1. سلوك شراء التلفاز ذو الشاشة العريضة

في هذه الحالة، نحتاج إلى حساب الاحتمال الشرطي P (اكتمل الشراء | الشراء المخطط له). وبما أننا نعلم أن العائلة تخطط للشراء، فإن مساحة العينة لا تتكون من جميع العائلات البالغ عددها 1000 عائلة، ولكن فقط أولئك الذين يخططون لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة. من بين 250 عائلة، 200 عائلة اشترت هذا التلفزيون بالفعل. لذلك، يمكن حساب احتمال أن تشتري الأسرة بالفعل جهاز تلفزيون بشاشة عريضة إذا كانت قد خططت للقيام بذلك باستخدام الصيغة التالية:

P (اكتمل الشراء | الشراء المخطط له) = عدد العائلات التي خططت واشترت تلفزيونًا بشاشة عريضة / عدد العائلات التي تخطط لشراء تلفزيون بشاشة عريضة = 200 / 250 = 0.8

الصيغة (2) تعطي نفس النتيجة:

أين هو الحدث أهو أن الأسرة تخطط لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة، وهذا الحدث في- أنها ستشتريه بالفعل. باستبدال البيانات الحقيقية في الصيغة نحصل على:

شجرة القرار

في التين. 1 تنقسم العائلات إلى أربع فئات: أولئك الذين خططوا لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة وأولئك الذين لم يفعلوا ذلك، وكذلك أولئك الذين اشتروا مثل هذا التلفزيون وأولئك الذين لم يفعلوا ذلك. يمكن إجراء تصنيف مماثل باستخدام شجرة القرار (الشكل 2). الشجرة الموضحة في الشكل 2 لديه فرعين يتوافقان مع العائلات التي خططت لشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة والعائلات التي لم تفعل ذلك. وينقسم كل فرع من هذه الفروع إلى فرعين إضافيين يتوافقان مع الأسر التي اشترت جهاز تلفزيون بشاشة عريضة ولم تشتره. والاحتمالات المكتوبة في نهايتي الفرعين الرئيسيين هي الاحتمالات غير المشروطة للأحداث أو أ'. الاحتمالات المكتوبة في نهايات الفروع الأربعة الإضافية هي الاحتمالات المشروطة لكل مجموعة من الأحداث أو في. يتم حساب الاحتمالات الشرطية عن طريق قسمة الاحتمال المشترك للأحداث على الاحتمال غير المشروط المقابل لكل منها.

أرز. 2. شجرة القرار

على سبيل المثال، لحساب احتمال قيام عائلة بشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة إذا كانت تخطط للقيام بذلك، يجب تحديد احتمالية الحدث الشراء مخطط له ومكتمل، ثم قسمته على احتمالية الحدث الشراء المخطط له. التحرك على طول شجرة القرار الموضحة في الشكل. 2- نحصل على الإجابة التالية (مشابهة للإجابة السابقة):

الاستقلال الإحصائي

في مثال شراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة، فإن احتمال قيام عائلة تم اختيارها عشوائيًا بشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة نظرًا لأنهم خططوا للقيام بذلك هو 200/250 = 0.8. تذكر أن الاحتمال غير المشروط لقيام عائلة مختارة عشوائيًا بشراء جهاز تلفزيون بشاشة عريضة هو 300/1000 = 0.3. وهذا يؤدي إلى نتيجة مهمة للغاية. المعلومات المسبقة التي تفيد بأن الأسرة كانت تخطط لعملية شراء تؤثر على احتمالية الشراء نفسها.وبعبارة أخرى، فإن هذين الحدثين يعتمدان على بعضهما البعض. وعلى النقيض من هذا المثال، هناك أحداث مستقلة إحصائيا لا تعتمد احتمالاتها على بعضها البعض. يتم التعبير عن الاستقلال الإحصائي بالهوية: ف(أ|ب) = ف(أ)، أين ف(أ|ب)- احتمال الحدث أبشرط أن يكون الحدث قد وقع في, ف (أ)- الاحتمال غير المشروط للحدث أ.

يرجى ملاحظة أن الأحداث أو في ف(أ|ب) = ف(أ). إذا كان حجم جدول الخصائص 2 × 2 موجودًا، فإن هذا الشرط يكون مستوفيًا لمجموعة واحدة على الأقل من الأحداث أو في، سيكون صالحًا لأي مجموعة أخرى. في مثالنا الأحداث الشراء المخطط لهو اكتملت عملية الشراءليست مستقلة إحصائيا لأن المعلومات حول حدث واحد تؤثر على احتمال وقوع آخر.

دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح كيفية اختبار الاستقلال الإحصائي لحدثين. دعونا نسأل 300 عائلة اشترت جهاز تلفزيون بشاشة عريضة إذا كانوا راضين عن شرائهم (الشكل 3). تحديد ما إذا كانت درجة الرضا عن الشراء ونوع التلفزيون مرتبطان.

أرز. 3. بيانات توضح درجة رضا مشتري أجهزة التلفاز ذات الشاشات العريضة

وبالحكم على هذه البيانات،

في نفس الوقت،

ف (رضا العميل) = 240 / 300 = 0.80

ولذلك، فإن احتمال رضا العميل عن الشراء واحتمال شراء العائلة لجهاز HDTV متساويان، وهذه الأحداث مستقلة إحصائيًا لأنها غير مرتبطة بأي شكل من الأشكال.

قاعدة الضرب الاحتمالية

تتيح لك صيغة حساب الاحتمال الشرطي تحديد احتمالية وقوع حدث مشترك أ و ب. بعد حل الصيغة (1)

نسبة إلى الاحتمال المشترك ف(أ وب)، نحصل على قاعدة عامة لضرب الاحتمالات. احتمالية وقوع الحدث أ و بيساوي احتمال وقوع الحدث أبشرط وقوع الحدث في في:

(3) الاحتمال (أ و ب) = الاحتمال (أ|ب) * الاحتمال (ب)

لنأخذ على سبيل المثال 80 عائلة اشترت تلفزيونًا عالي الدقة بشاشة عريضة (الشكل 3). يوضح الجدول أن 64 أسرة راضية عن الشراء و16 أسرة غير راضية. لنفترض أنه تم اختيار عائلتين عشوائيًا من بينهم. حدد احتمالية رضا كلا العميلين. وباستخدام الصيغة (3) نحصل على:

ف(أ وب) = ف(أ|ب) * ف(ب)

أين هو الحدث أهو أن الأسرة الثانية راضية عن شرائها، والحدث في- أن تكون الأسرة الأولى راضية عن شرائها. احتمال أن تكون الأسرة الأولى راضية عن شرائها هو 64/80. ومع ذلك، فإن احتمال رضا الأسرة الثانية أيضًا عن مشترياتها يعتمد على استجابة الأسرة الأولى. إذا لم تعد الأسرة الأولى إلى العينة بعد المسح (اختيار بدون إرجاع)، ينخفض ​​عدد أفراد العينة إلى 79. وإذا كانت الأسرة الأولى راضية عن شرائها، فإن احتمال رضا الأسرة الثانية أيضًا هو 63 /79، حيث أنه لم يتبق في العينة سوى 63 عائلة راضية عن شرائها. وبالتالي، باستبدال بيانات محددة في الصيغة (3)، نحصل على الإجابة التالية:

ف(أ وب) = (63/79)(64/80) = 0.638.

وبالتالي فإن احتمال رضا العائلتين عن مشترياتهما هو 63.8%.

لنفترض أنه بعد المسح عادت الأسرة الأولى إلى العينة. حدد احتمالية رضا العائلتين عن الشراء. في هذه الحالة، يكون احتمال رضا العائلتين عن الشراء هو نفسه، أي ما يعادل 64/80. لذلك، P(A وB) = (64/80)(64/80) = 0.64. وبالتالي فإن احتمال رضا العائلتين عن مشترياتهما هو 64.0%. يوضح هذا المثال أن اختيار الأسرة الثانية لا يعتمد على اختيار الأسرة الأولى. وبالتالي استبدال الاحتمال الشرطي في الصيغة (3) ف(أ|ب)احتمالا ف (أ)نحصل على صيغة لضرب احتمالات الأحداث المستقلة.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة.إذا الأحداث أو فيمستقلة إحصائيا، واحتمال وقوع حدث أ و بيساوي احتمال وقوع الحدث أ، مضروبة في احتمالية الحدث في.

(4) الاحتمال (أ و ب) = الاحتمال (أ) الاحتمال (ب)

إذا كانت هذه القاعدة صحيحة بالنسبة للأحداث أو فيمما يعني أنها مستقلة إحصائيا. وبالتالي، هناك طريقتان لتحديد الاستقلال الإحصائي لحدثين:

1. الأحداث أو فيمستقلة إحصائيا عن بعضها البعض إذا وفقط إذا ف(أ|ب) = ف(أ).
2. الأحداث أو بمستقلة إحصائيا عن بعضها البعض إذا وفقط إذا ف(أ وب) = ف(أ)ف(ب).

إذا كان حجم جدول الخصائص 2×2 موجودًا في جدول احتمالي للخصائص، فسيتم استيفاء أحد هذه الشروط لمجموعة واحدة على الأقل من الأحداث أو ب، سيكون صالحًا لأي مجموعة أخرى.

الاحتمال غير المشروط لحدث ابتدائي

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B ك)P(B k)

حيث الأحداث B 1، B 2، ... B k متنافية وشاملة.

دعونا نوضح تطبيق هذه الصيغة باستخدام المثال في الشكل 1. وباستخدام الصيغة (5) نحصل على:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

أين ف (أ)- احتمالية التخطيط لعملية الشراء، ف(ب 1)- احتمال أن يتم الشراء، ف(ب2)- احتمال عدم إتمام عملية الشراء.

مبرهنة بايز

يأخذ الاحتمال المشروط لحدث ما في الاعتبار المعلومات التي تفيد بحدوث حدث آخر. يمكن استخدام هذا النهج لتحسين الاحتمال مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة حديثًا، ولحساب احتمال أن يكون التأثير الملاحظ نتيجة لسبب محدد. يسمى الإجراء الخاص بتحسين هذه الاحتمالات نظرية بايز. تم تطويره لأول مرة بواسطة توماس بايز في القرن الثامن عشر.

لنفترض أن الشركة المذكورة أعلاه تبحث في السوق عن طراز تلفزيون جديد. في الماضي، كانت 40% من أجهزة التلفاز التي صنعتها الشركة ناجحة، بينما لم يتم التعرف على 60% من الموديلات. قبل الإعلان عن إطلاق نموذج جديد، يقوم متخصصو التسويق بدراسة السوق بعناية وتسجيل الطلب. في الماضي، كان من المتوقع أن تكون 80% من النماذج الناجحة ناجحة، في حين تبين أن 30% من التنبؤات الناجحة كانت خاطئة. أعطى قسم التسويق توقعات إيجابية للنموذج الجديد. ما هو احتمال أن يكون هناك طلب على طراز تلفزيون جديد؟

يمكن استخلاص نظرية بايز من تعريفات الاحتمال الشرطي (1) و (2). لحساب الاحتمال P(B|A)، خذ الصيغة (2):

واستبدل بدلاً من P(A وB) القيمة من الصيغة (3):

ف(أ وب) = ف(أ|ب) * ف(ب)

باستبدال الصيغة (5) بدلاً من P(A)، نحصل على نظرية بايز:

حيث الأحداث B 1، B 2، ... B k متنافية وشاملة.

دعونا نقدم الترميز التالي: الحدث S - التلفزيون في الطلبالحدث S’ - التلفزيون ليس في الطلبالحدث ف - توقعات مواتيةالحدث F’ - إنذارات ضعيفة أو تشخيص طبي ضعيف. لنفترض أن P(S) = 0.4، P(S') = 0.6، P(F|S) = 0.8، P(F|S') = 0.3. وبتطبيق نظرية بايز نحصل على:

احتمال الطلب على طراز تلفزيون جديد، في ظل توقعات مواتية، هو 0.64. وبالتالي، فإن احتمال نقص الطلب في ظل توقعات مواتية هو 1-0.64 = 0.36. تظهر عملية الحساب في الشكل. 4.

أرز. 4. (أ) الحسابات باستخدام صيغة بايز لتقدير احتمال الطلب على أجهزة التلفزيون؛ (ب) شجرة القرار عند دراسة الطلب على نموذج تلفزيوني جديد

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخدام نظرية بايز للتشخيص الطبي. احتمال أن يعاني الشخص من مرض معين هو 0.03. يمكن للاختبار الطبي التحقق من صحة ذلك. إذا كان الشخص مريضًا حقًا، فإن احتمال التشخيص الدقيق (القول أن الشخص مريض بينما هو مريض بالفعل) هو 0.9. إذا كان الشخص يتمتع بصحة جيدة، فإن احتمال التشخيص الإيجابي الخاطئ (القول بأن الشخص مريض عندما يكون بصحة جيدة) هو 0.02. لنفترض أن الاختبار الطبي يعطي نتيجة إيجابية. ما هو احتمال أن يكون الشخص مريضا فعلا؟ ما هو احتمال التشخيص الدقيق؟

دعونا نقدم الترميز التالي: الحدث د - الشخص مريضالحدث د - الشخص بصحة جيدةالحدث ت - التشخيص إيجابيالحدث T’ - التشخيص سلبي. ويترتب على شروط المشكلة أن P(D) = 0.03، P(D’) = 0.97، P(T|D) = 0.90، P(T|D’) = 0.02. وبتطبيق الصيغة (6) نحصل على:

احتمال أن يكون الشخص مريضًا بالفعل مع التشخيص الإيجابي هو 0.582 (انظر أيضًا الشكل 5). يرجى ملاحظة أن مقام صيغة بايز يساوي احتمال التشخيص الإيجابي، أي. 0.0464.

• الاحتمالية هي الدرجة (القياس النسبي، التقييم الكمي) لاحتمال وقوع حدث ما. عندما تكون أسباب وقوع حدث محتمل تفوق الأسباب المعاكسة له، فإن هذا الحدث يسمى محتملًا، وإلا - غير محتمل أو غير محتمل. يمكن أن يكون رجحان الأسباب الإيجابية على الأسباب السلبية، والعكس صحيح، بدرجات متفاوتة، ونتيجة لذلك يمكن أن يكون الاحتمال (وعدم الاحتمال) أكبر أو أقل. لذلك، غالبًا ما يتم تقييم الاحتمالية على المستوى النوعي، خاصة في الحالات التي يكون فيها التقييم الكمي الدقيق إلى حد ما مستحيلًا أو صعبًا للغاية. من الممكن الحصول على تدرجات مختلفة لـ "مستويات" الاحتمال.

  تشكل دراسة الاحتمال من وجهة نظر رياضية نظامًا خاصًا - نظرية الاحتمالات. في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي، يتم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمال كخاصية عددية لحدث ما - مقياس الاحتمال (أو قيمته) - مقياس لمجموعة من الأحداث (مجموعات فرعية من مجموعة من الأحداث الأولية)، مع أخذ القيم من

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  معنى

  (\displaystyle 1)

  يتوافق مع حدث موثوق. الحدث المستحيل له احتمال 0 (العكس ليس صحيحًا دائمًا). إذا كان احتمال وقوع الحدث هو

  (\displaystyle ع)

  ثم احتمال عدم حدوثه يساوي

  (\displaystyle 1-ص)

  على وجه الخصوص، الاحتمال

  (\displaystyle 1/2)

  يعني احتمالية متساوية لحدوث وعدم وقوع حدث ما.

  يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمال على مفهوم الاحتمال المتساوي للنتائج. الاحتمال هو نسبة عدد النتائج المفضلة لحدث معين إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة المتساوية. على سبيل المثال، احتمال الحصول على صورة أو كتابة في رمية عملة عشوائية هو 1/2 إذا افترض أن هذين الاحتمالين فقط هما اللذان يحدثان وأنهما محتملان بشكل متساوٍ. يمكن تعميم هذا "التعريف" الكلاسيكي للاحتمال على حالة عدد لا حصر له من القيم المحتملة - على سبيل المثال، إذا كان من الممكن أن يقع حدث ما باحتمال متساو في أي نقطة (عدد النقاط لا نهائي) في منطقة محدودة من الفضاء (المستوى)، فإن احتمال حدوثه في جزء ما من هذه المنطقة الممكنة يساوي نسبة حجم (مساحة) هذا الجزء إلى حجم (مساحة) المنطقة لجميع النقاط الممكنة.

  يرتبط "التعريف" التجريبي للاحتمال بتكرار حدث ما، استنادًا إلى حقيقة أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب، يجب أن يميل التكرار إلى الدرجة الموضوعية لاحتمال وقوع هذا الحدث. في العرض الحديث لنظرية الاحتمالات، يتم تعريف الاحتمال بشكل بديهي، كحالة خاصة من النظرية المجردة للقياس المحدد. إلا أن الرابط بين القياس المجرد والاحتمال، الذي يعبر عن درجة احتمال وقوع حدث ما، هو بالضبط تكرار ملاحظته.

  أصبح الوصف الاحتمالي لبعض الظواهر منتشرًا على نطاق واسع في العلوم الحديثة، ولا سيما في الاقتصاد القياسي، والفيزياء الإحصائية للأنظمة العيانية (الديناميكية الحرارية)، حيث حتى في حالة الوصف الحتمي الكلاسيكي لحركة الجسيمات، هناك وصف حتمي للنظام بأكمله من الجسيمات لا يبدو ممكنا أو مناسبا من الناحية العملية. في فيزياء الكم، العمليات الموصوفة هي في حد ذاتها ذات طبيعة احتمالية.

أفهم أن الجميع يريد أن يعرف مسبقًا كيف سينتهي الحدث الرياضي ومن سيفوز ومن سيخسر. مع هذه المعلومات، يمكنك المراهنة على الأحداث الرياضية دون خوف. ولكن هل هذا ممكن، وإذا كان الأمر كذلك، فكيف نحسب احتمالية وقوع حدث ما؟

الاحتمال هو قيمة نسبية، لذلك لا يمكن أن يتحدث بيقين عن أي حدث. تتيح لك هذه القيمة تحليل وتقييم الحاجة إلى الرهان على منافسة معينة. تحديد الاحتمالات هو علم كامل يتطلب دراسة وفهمًا متأنيين.

معامل الاحتمالية في نظرية الاحتمالات

في المراهنات الرياضية، هناك عدة خيارات لنتيجة المنافسة:

• فوز الفريق الأول؛
• فوز الفريق الثاني؛
• يرسم؛
• المجموع

كل نتيجة من نتائج المنافسة لها احتمالها الخاص وتكرار حدوث هذا الحدث، بشرط الحفاظ على الخصائص الأولية. كما قلنا سابقًا، من المستحيل حساب احتمالية أي حدث بدقة - فقد يتزامن وقد لا يتزامن. وبالتالي، فإن رهانك إما أن يفوز أو يخسر.

لا يمكن أن يكون هناك توقع دقيق بنسبة 100% لنتائج المسابقة، حيث أن هناك عوامل كثيرة تؤثر على نتيجة المباراة. بطبيعة الحال، لا يعرف وكلاء المراهنات نتيجة المباراة مقدمًا ويفترضون النتيجة فقط، ويتخذون القرارات باستخدام نظام التحليل الخاص بهم ويقدمون احتمالات معينة للمراهنة.

كيفية حساب احتمال وقوع حدث؟

لنفترض أن احتمالات المراهنات هي 2.1/2 – نحصل على 50%. وتبين أن المعامل 2 يساوي احتمال 50٪. باستخدام نفس المبدأ، يمكنك الحصول على معامل احتمال التعادل - 1/الاحتمال.

يعتقد العديد من اللاعبين أنه بعد عدة هزائم متكررة، سيحدث الفوز بالتأكيد - وهذا رأي خاطئ. احتمال الفوز بالرهان لا يعتمد على عدد الخسائر. حتى لو قمت بقلب عدة رؤوس متتالية في لعبة العملات المعدنية، فإن احتمال قلب الصورة يظل كما هو - 50%.