كما هو معروف، فإن ضرب الأرقام يتلخص في جمع المنتجات الجزئية التي يتم الحصول عليها عن طريق ضرب الرقم الحالي للمضاعف فيإلى المضاعف L. ل ثنائيالأعداد، المنتجات الجزئية تساوي المضاعف أو الصفر. ولذلك، يتم تقليل ضرب الأرقام الثنائية إلى الجمع المتسلسل للمنتجات الجزئية مع التحول. ل عشريالأرقام، يمكن أن تأخذ المنتجات الجزئية 10 قيم مختلفة، بما في ذلك الصفر. لذلك، للحصول على منتجات جزئية، بدلا من الضرب، يمكن استخدام الجمع المتسلسل المتعدد للمضاعف L. لتوضيح خوارزمية ضرب الأرقام العشرية، سوف نستخدم مثالا.
مثال 2.26.باسكال الشكل. 2.15، أيتم ضرب الأعداد الصحيحة العشرية A x b = 54 x 23، بدءًا من الرقم الأقل أهمية في المضاعف. يتم استخدام الخوارزمية التالية للضرب:
يتم أخذ 0 كحالة أولية ويتم الحصول على المجموع الأول عن طريق إضافة المضاعف A = 54 إلى الصفر ثم يتم إضافة المضاعف إلى المجموع الأول مرة أخرى أ= 54. وأخيرًا، بعد الجمع الثالث، يتم الحصول على المنتج الجزئي الأول، وهو 0 "+ 54 + 54 + 54 = 162؛
أرز. 2.15. خوارزمية ضرب الأعداد الصحيحة العشرية 54 × 23(أ) ومبدأ تنفيذها(ب)
- يتم إزاحة المنتج الجزئي الأول بمقدار بت واحد إلى اليمين (أو المضاعف إلى اليسار)؛
- تتم إضافة المضاعف مرتين إلى أعلى أرقام المنتج الجزئي الأول: 16 + 54 + 54 = 124؛
- وبعد دمج المجموع الناتج 124 مع أقل 2 من المنتج الجزئي الأول، يتم العثور على المنتج 1242.
دعونا نفكر، باستخدام مثال، في إمكانية تنفيذ دارة لخوارزمية باستخدام عمليات الجمع والطرح والإزاحة.
مثال 2.27.فليكن في السجل ريتم تخزين المضاعف بشكل دائم أ = 54. في الحالة الأولية للتسجيل ر 2 ضع المضاعف في= 23، وقم بالتسجيل ر 3 محملة بالأصفار. للحصول على حاصل الضرب الجزئي الأول (162) نضيف الضرب ثلاث مرات إلى محتويات السجل أ = 54، في كل مرة تنقص محتويات السجل بمقدار واحد ر T بعد الجزء الأقل أهمية من السجل ر.،يصبح مساوياً للصفر، وينقل محتويات كلا السجلين /؟ إلى اليمين بمقدار بت واحد ر.،.وجود 0 في الرقم الأقل أهمية ريشير الشكل 2 ج إلى أن تكوين المنتج الجزئي قد اكتمل ويجب إجراء تحول. ثم نقوم بإجراء عمليتين لجمع المضاعف أ= 54 بمحتويات السجل وطرح واحد من محتويات السجل ر 0. بعد العملية الثانية، الرقم الأقل أهمية في السجل ر.،سوف يصبح مساوياً للصفر لذلك، عن طريق نقل محتويات السجلات إلى اليمين بمقدار بت واحد ر 3 و ر Y نحصل على المنتج المطلوب ف = 1242.
يتميز تنفيذ خوارزمية ضرب الأعداد العشرية في الأكواد العشرية الثنائية (الشكل 2.16) بميزات مرتبطة بإجراء عمليات الجمع والطرح
أرز. 2.16.
(انظر الفقرة 2.3)، بالإضافة إلى إزاحة الرباعية بمقدار أربع بتات. دعونا نفكر فيها وفقًا لشروط المثال 2.27.
مثال 2.28. ضرب أرقام الفاصلة العائمة.للحصول على منتج الأرقام أ و ب جيجب تحديد النقطة العائمة مج = مل س من، رمع = ص{ + رن. في هذه الحالة، يتم استخدام قواعد الضرب والجمع الجبري لأرقام النقاط الثابتة. يتم تعيين علامة "+" للمنتج إذا كان المضاعف والمضاعف لهما نفس الإشارات، وعلامة "-" إذا كانت إشارتهما مختلفة. إذا لزم الأمر، يتم تطبيع العشري الناتج مع تصحيح الترتيب المناسب.
مثال 2.29.ضرب الأعداد الثنائية المقيسة:
عند إجراء عملية الضرب، قد تحدث حالات خاصة يتم التعامل معها بواسطة تعليمات خاصة من المعالج. على سبيل المثال، إذا كان أحد العوامل يساوي الصفر، فلن يتم تنفيذ عملية الضرب (محظورة) وسيتم إنشاء نتيجة صفر على الفور.
1. الكسر العادي الذي مقامه 10، 100، 1000، وما إلى ذلك يسمى كسرًا عشريًا.
2. يمكن كتابة الكسور التي مقامها 10 n في صورة عدد عشري.
3. إذا أضفت صفرًا واحدًا أو أكثر إلى الكسر العشري الموجود على اليمين، فستحصل على كسر مساوٍ للكسر المحدد.
4. إذا تمت إزالة صفر أو أكثر من الكسر العشري من اليمين، فستحصل على كسر يساوي الكسر المحدد.
5. يتم فصل الجزء الصحيح من الجزء الكسري في التدوين العشري للرقم بفاصلة.
6. يتم فصل الجزء الكسري من الجزء الصحيح في التدوين العشري للرقم بفاصلة.
7. الكسر العشري الذي يحتوي على عدد محدود من الأرقام بعد العلامة العشرية يسمى كسرًا عشريًا محدودًا.
8. الكسر العشري الذي يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد العلامة العشرية يسمى كسرًا عشريًا لا نهائيًا.
9. يتم تقسيم الكسور العشرية اللانهائية إلى كسور عشرية دورية وغير دورية
10. يُطلق على الرقم المتكرر المتتالي أو مجموعة الحد الأدنى من الأرقام في تدوين الكسر العشري اللانهائي بعد العلامة العشرية فترة هذا الكسر العشري اللانهائي.
11. الكسور العادية غير القابلة للاختزال والتي لا تحتوي مقاماتها على عوامل أولية غير 2 و 5، يتم كتابتها ككسر عشري نهائي.
12. الكسور العادية غير القابلة للاختزال، والتي يوجد في مقامها، بالإضافة إلى 2 و 5، عوامل أولية أخرى، تتم كتابتها ككسر عشري لا نهائي.
13. قاعدة تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي.
لكتابة كسر عشري في صورة كسر، عليك أن:
1) ترك الجزء كله دون تغيير؛
2) اكتب الرقم بعد العلامة العشرية في البسط وفي المقام - واحد والعديد من الأصفار مثل عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر العشري.
14. قاعدة تحويل الكسر إلى عدد عشري.
1) (طريقة 1) لكتابة كسر عادي غير قابل للاختزال، لا يحتوي مقامه على عوامل أولية أخرى غير 2 و 5، ككسر عشري، تحتاج إلى تقديمه ككسر بمقام 101001000، إلخ.
(الطريقة الثانية) - قسمة البسط على المقام.
2) من أجل كتابة كسر عادي غير قابل للاختزال، في المقام، بالإضافة إلى 2 و 5، هناك عوامل أولية أخرى ككسر عشري، تحتاج إلى تقسيم البسط على المقام.
15. المنازل العشرية -...المئات، العشرات، الوحدات، الأعشار، الأجزاء من المائة، الأجزاء من الألف...الأجزاء من الألف....
16. تسمى الأرقام الموجودة في الكسر العشري الموجود على يمين العلامة العشرية بالكسور العشرية.
17. مقارنة الأعداد العشرية:
1) (الطريقة الأولى) في الشعاع الإحداثي، يقع الكسر العشري الأصغر على اليسار، والكسر العشري الأكبر يقع على اليمين. يتم تمثيل الكسور العشرية المتساوية على الشعاع الإحداثي بنفس النقطة.
2) (الطريقة الثانية) تتم مقارنة الكسور العشرية مكانًا برقم بدءًا من الرقم الأعلى.
1) إذا كانت الأجزاء الصحيحة من الكسور العشرية مختلفة، فكلما كان الكسر العشري الذي جزءه الصحيح أكبر، كلما كان الكسر العشري الذي جزءه الصحيح أصغر هو الأكبر.
2) إذا كانت أجزاء الكسور العشرية بأكملها متماثلة، فكلما كان الكسر العشري أكبر، كان أول رقم غير متطابق مكتوب بعد العلامة العشرية أكبر.
18. قواعد تقريب الجزء الكامل من الكسر العشري.لتقريب الكسر العشري إلى المكان العشري عشرات، مئات، الخ.، يمكنك تجاهل الجزء الكسري وتطبيق قاعدة تقريب الأعداد الطبيعية على الرقم الذي تم تعلمه.
19. قواعد تقريب الجزء الكسري من العدد العشري.لتقريب العلامة العشرية إلى خانة الآحاد، والأعشار، والمئات، وما إلى ذلك، يمكنك:
1) تجاهل جميع الأرقام التي تلي هذا الرقم؛
2) إذا كان الرقم الأول المهمل هو 5، 6، 7، 8، 9، فقم بزيادة الرقم الناتج بمقدار رقم واحد نقرب إليه؛
3) إذا كان الرقم الأول المهمل هو 0،1،2،3،4. ثم اترك الرقم الناتج دون تغيير.
20. قاعدة إضافة (طرح) الكسور العشرية.لإضافة (طرح) الكسور العشرية، تحتاج إلى:
1) مساواة عدد المنازل العشرية في الكسور العشرية؛
2) اكتبها واحدة تلو الأخرى بحيث تكون الفاصلة تحت الفاصلة، وأرقام نفس الأرقام واحدة تحت الأخرى؛
3) إجراء عملية الجمع (الطرح) شيئًا فشيئًا؛
4) ضع فاصلة في القيمة الناتجة للمجموع (الفرق) تحت فواصل المصطلحات (المنقصة والمطروحة).
21. قاعدة ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي.لضرب كسر عشري في عدد طبيعي يجب:
1) اضربه بهذا الرقم، متجاهلاً الفاصلة؛
2) في المنتج الناتج، افصل بين العديد من الأرقام الموجودة على اليمين بفاصلة كما هو الحال في الكسر العشري المفصول بفاصلة.
22. قاعدة ضرب الكسر العشري بالأرقام 10،100،1000، إلخ.لضرب كسر عشري في 10,100,1000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد أرقام يساوي عدد الأصفار في وحدة الأرقام.
23. قاعدة ضرب الكسر العشري بالأرقام 0.1؛ 0.01؛ 0.01 الخلضرب عدد عشري في 0.1؛ 0.01؛ 0.01، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بعدد أرقام يساوي عدد المنازل العشرية في المقسوم عليه.
24. قواعد ضرب الأعداد العشرية.لضرب الكسور العشرية:
1) اضربهم مع تجاهل الفاصلة؛
2) في المنتج الناتج، افصل بفاصلة عددًا من الأرقام الموجودة على اليمين كما هو مفصول بفاصلة في عاملين معًا.
25. قاعدة قسمة الكسر العشري على الأعداد 10،100،1000، إلخ.لتقسيم كسر عشري على 10,100,1000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بعدد أرقام يساوي عدد الأصفار في وحدة الأرقام.
26. قاعدة تقسيم الكسر العشري على أرقام 0.1؛ 0.01؛ 0.01 الخلتقسيم عدد عشري على 0.1؛ 0.01؛ 0.01، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد أرقام يساوي عدد المنازل العشرية في المقسوم عليه.
27. قاعدة قسمة الكسر العشري على عدد طبيعي. لقسمة كسر عشري على عدد طبيعي يجب:
1) قسمته على هذا الرقم، متجاهلاً الفاصلة؛ 2) في الناتج الناتج، افصل بين العديد من الأرقام الموجودة على اليمين بفاصلة كما هو مفصول بفاصلة في الكسر العشري.
28. قسمة عدد عشري على عدد عشري.لتقسيم عدد على كسر عشري:
1) في المقسوم والمقسوم، حرك الفاصلة إلى اليمين بعدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه؛
2) إجراء القسمة على عدد طبيعي.
تعليق:
على سبيل المثال، 0.333...=0,(3) يقرأون: "حوالي ثلاثة في الفترة." إذا كانت الفترة في الكسر العشري الدوري اللانهائي تبدأ مباشرة بعد العلامة العشرية، فإنه يُسمى كسرًا عشريًا دوريًا خالصًا. إذا كان الكسر العشري الدوري يحتوي على منازل عشرية أخرى بين العلامة العشرية والنقطة، فإنه يسمى كسرًا عشريًا دوريًا مختلطًا. يمكن كتابة الأعداد الصحيحة ككسر عشري دوري خالص مع فترة تساوي الصفر. تسمى الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية أرقامًا غير منطقية. تتم كتابة الأعداد غير النسبية فقط على شكل كسر عشري لا نهائي غير دوري.
يتضمن موضوع ضرب الأعداد العشرية ضرب عدد عشري في عدد طبيعي، وضرب عدد عشري في عدد عشري، وبعض الحالات الخاصة المهمة. دعونا نكتب جميع القواعد لهذا الموضوع في صفحة واحدة.
لضرب الكسر العشري في عدد طبيعي، تحتاج إلى
- في المنتج الناتج، قم بفصل عدد من الأرقام بعد العلامة العشرية بقدر ما هو موجود بعد العلامة العشرية.
أمثلة على ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي.
نحن نضرب دون الانتباه إلى الفاصلة، أي 342×7=2394. يوجد رقمان بعد العلامة العشرية في الكسر العشري 3.42. ولذلك، في المنتج الناتج نقوم بفصل رقمين بعد العلامة العشرية: 23.94.
وبالتالي، 3.42∙7=23.94.
نضرب الأرقام متجاهلين الفاصلة: 7135∙2=14270. في النتيجة الناتجة، يجب عليك فصل الرقمين الأخيرين بفاصلة: 142.70. بما أن الأصفار بعد العلامة العشرية لا تُكتب في نهاية الكسر العشري، إذن
71,35∙2=142,70=142,7.
3) 0, 000836∙17=?
نضرب دون مراعاة الفاصلة: 836∙17=14212. بما أن الكسر العشري يحتوي على 6 أرقام بعد العلامة العشرية، فيجب أن يحتوي المنتج الناتج أيضًا على 6 أرقام بعد العلامة العشرية. وبما أن النتيجة هي إجمالي 5 أرقام، فإننا نكمل الرقم المفقود بصفر. نخصص هذا الصفر أمام الرقم: .01412. عند تلقي مثل هذا السجل، يتم كتابة صفر قبل الفاصلة في الجزء الصحيح: 0.01412.
لضرب عددين عشريين نحتاج إلى:
- مضاعفة الأرقام دون الالتفات إلى الفاصلة؛
- في المنتج الناتج، قم بفصل عدد من الأرقام بعد العلامة العشرية بقدر ما يوجد بعد النقاط العشرية في كلا العاملين معًا.
أمثلة على ضرب الأعداد العشرية.
نقوم بضرب الأرقام دون الانتباه إلى الفاصلة: 13∙4=52. في المنتج الناتج، يجب عليك كتابة عدد من الأرقام بعد العلامة العشرية يساوي عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في كلا العاملين معًا. في العامل الأول 1.3 يوجد رقم واحد بعد العلامة العشرية، في العامل الثاني 0.4 هناك رقم واحد بعد العلامة العشرية، في المجموع 1+1=2 رقمين، يجب فصل النتيجة بفاصلة: 0.52 (بإضافة صفر قبل العلامة العشرية):
2) 3,00504∙0,025=?
نضرب دون مراعاة الفاصلة: 300504∙25=7512600. في المنتج الناتج، تحتاج إلى الحصول على أكبر عدد من الأرقام بعد العلامة العشرية كما هو الحال في كلا العاملين بعد العلامة العشرية معًا، أي 5 + 3 = 8 أرقام. نكمل العدد الناقص من الأرقام بصفر. نتجاهل الأصفار بعد العلامة العشرية في نهاية الكسر العشري.
3,00504∙0,025=0,07512600=0,075126.
3) 1,37∙0,0061=?
المنتج بدون فواصل هو 137∙61=8357. بعد العلامة العشرية يجب أن يكون هناك 2+4=6 أرقام. نكمل عدد الأرقام الناقصة حتى 6 بصفرين (نكتبهم أمام الرقم 8357. في المقام الأول، قبل الفاصلة في الجزء الصحيح نكتب صفر:
1,37∙0,0061=0,008357.
3.حالات خاصة لضرب الكسور العشرية.
لضرب كسر عشري في 10، 100، 1000، 10000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى نقل الفاصلة في تدوين الكسر إلى أرقام 1، 2، 3، 4، وما إلى ذلك إلى اليمين.
أمثلة.
انقل الفاصلة رقمًا واحدًا إلى اليمين:
1) 7.9∙10=79 (هنا 79.=79)؛
2) 8,53∙10=85,3;
3) 0, 6541=6,541.
حرك الفاصلة رقمين إلى اليمين:
1) 7,04∙100=704;
2) 3,8754∙100=387,54;
3) 4.5∙100=450 (يوجد رقم واحد فقط بعد العلامة العشرية. الرقم المفقود يُكمل بصفر).
انقل الفاصلة بثلاثة أرقام إلى اليمين:
1) 45,8096∙1000=45809,6;
2) 0.67∙1000=670 (هناك رقمان بعد العلامة العشرية. الرقم المفقود يُكمل بالصفر)؛
آلة حاسبة رياضية على الإنترنت v.1.0
تقوم الآلة الحاسبة بتنفيذ العمليات التالية: الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، التعامل مع الكسور العشرية، استخراج الجذر، الأس، حساب النسبة المئوية وغيرها من العمليات.
حل:
كيفية استخدام آلة حاسبة الرياضيات
| مفتاح | تعيين | توضيح |
|---|---|---|
| 5 | الأرقام 0-9 | الأرقام العربية. إدخال الأعداد الصحيحة الطبيعية صفر. للحصول على عدد صحيح سالب، يجب عليك الضغط على المفتاح +/- |
| . | فترة (فاصلة) | فاصل للإشارة إلى الكسر العشري. إذا لم يكن هناك رقم قبل النقطة (الفاصلة)، فسوف تقوم الآلة الحاسبة تلقائيًا باستبدال الصفر قبل النقطة. على سبيل المثال: سيتم كتابة .5 - 0.5 |
| + | علامة زائد | جمع الأرقام (الأعداد الصحيحة والكسور العشرية) |
| - | علامة ناقص | طرح الأعداد (الأعداد الصحيحة والكسور العشرية) |
| ÷ | علامة القسمة | قسمة الأعداد (الأعداد الصحيحة، الكسور العشرية) |
| X | علامة الضرب | ضرب الأعداد (الأعداد الصحيحة، الكسور العشرية) |
| √ | جذر | استخراج جذر الرقم. عند الضغط على زر "الجذر" مرة أخرى، يتم حساب الجذر من النتيجة. على سبيل المثال: جذر 16 = 4؛ جذر 4 = 2 |
| × 2 | التربيع | تربيع رقم. عند الضغط على زر "التربيع" مرة أخرى، يتم تربيع النتيجة على سبيل المثال: مربع 2 = 4؛ المربع 4 = 16 |
| 1/س | جزء | الإخراج في الكسور العشرية. البسط هو 1، والمقام هو الرقم الذي تم إدخاله |
| % | بالمائة | الحصول على نسبة مئوية من رقم. للعمل، تحتاج إلى إدخال: الرقم الذي سيتم حساب النسبة المئوية منه، والعلامة (زائد، ناقص، قسمة، ضرب)، كم نسبة مئوية في شكل رقمي، الزر "٪" |
| ( | فتح قوسين | قوس مفتوح لتحديد أولوية الحساب. مطلوب قوس مغلق. مثال: (2+3)*2=10 |
| ) | قوس مغلق | قوس مغلق لتحديد أولوية الحساب. مطلوب قوس مفتوح |
| ± | زائد ناقص | علامة عكسية |
| = | يساوي | يعرض نتيجة الحل. أيضًا فوق الآلة الحاسبة، في حقل "الحل"، يتم عرض الحسابات المتوسطة والنتيجة. |
| ← | حذف حرف | يزيل الحرف الأخير |
| مع | إعادة ضبط | زر إعادة الضبط. إعادة ضبط الآلة الحاسبة بالكامل على الوضع "0" |
خوارزمية الآلة الحاسبة على الإنترنت باستخدام الأمثلة
إضافة.
جمع الأعداد الصحيحة الطبيعية (5 + 7 = 12)
جمع الأعداد الصحيحة الطبيعية والسالبة ( 5 + (-2) = 3 )
إضافة الكسور العشرية (0.3 + 5.2 = 5.5)
الطرح.
طرح الأعداد الصحيحة الطبيعية ( 7 - 5 = 2 )
طرح الأعداد الصحيحة الطبيعية والسالبة ( 5 - (-2) = 7 )
طرح الكسور العشرية ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )
الضرب.
حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الطبيعية (3 * 7 = 21)
حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الطبيعية والسلبية ( 5 * (-3) = -15 )
حاصل ضرب الكسور العشرية ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )
قسم.
تقسيم الأعداد الصحيحة الطبيعية (27 / 3 = 9)
تقسيم الأعداد الصحيحة الطبيعية والسلبية (15 / (-3) = -5)
قسمة الكسور العشرية (6.2 / 2 = 3.1)
استخراج جذر الرقم.
استخراج جذر عدد صحيح ( root(9) = 3)
استخراج جذر الكسور العشرية (الجذر (2.5) = 1.58)
استخراج جذر مجموع الأعداد (جذر(56 + 25) = 9)
استخراج جذر الفرق بين الأرقام (جذر (32 – 7) = 5)
تربيع رقم.
تربيع عدد صحيح ( (3) 2 = 9 )
تربيع الأعداد العشرية ((2,2)2 = 4.84)
التحويل إلى الكسور العشرية.
حساب النسب المئوية لعدد
زيادة الرقم 230 بنسبة 15% ( 230 + 230 * 0.15 = 264.5 )
تقليل الرقم 510 بنسبة 35% ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5 )
18% من الرقم 140 هو (140 * 0.18 = 25.2)
في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على عملية ضرب الأعداد العشرية. لنبدأ بذكر المبادئ العامة، ثم نوضح كيفية ضرب كسر عشري في آخر ونفكر في طريقة الضرب في عمود. وسيتم توضيح جميع التعريفات مع الأمثلة. ثم سننظر في كيفية ضرب الكسور العشرية بشكل صحيح في الأعداد العادية، وكذلك الأعداد المختلطة والطبيعية (بما في ذلك 100، 10، وما إلى ذلك)
في هذه المادة، سنتطرق فقط إلى قواعد ضرب الكسور الموجبة. يتم التعامل مع الحالات ذات الأعداد السالبة بشكل منفصل في المقالات المتعلقة بضرب الأعداد النسبية والحقيقية.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
دعونا نصيغ المبادئ العامة التي يجب اتباعها عند حل المسائل التي تتضمن ضرب الكسور العشرية.
دعونا نتذكر، في البداية، أن الكسور العشرية ليست أكثر من شكل خاص لكتابة الكسور العادية، لذلك يمكن اختزال عملية ضربها إلى عملية مماثلة للكسور العادية؛ تعمل هذه القاعدة مع الكسور المنتهية وغير المنتهية: بعد تحويلها إلى كسور عادية، يصبح من السهل الضرب بها وفقًا للقواعد التي تعلمناها بالفعل.
دعونا نرى كيف يتم حل مثل هذه المشاكل.
مثال 1
احسب حاصل ضرب 1.5 و0.75.
الحل: أولاً، دعونا نستبدل الكسور العشرية بالكسور العادية. نحن نعلم أن 0.75 يساوي 75/100، و1.5 يساوي 15/10. يمكننا تبسيط الكسر واختيار الجزء بأكمله. سنكتب النتيجة الناتجة 1251000 على شكل 1125.
إجابة: 1 , 125 .
يمكننا استخدام طريقة العد العمودي، تمامًا كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية.
مثال 2
اضرب كسرًا دوريًا واحدًا 0، (3) في 2 آخر، (36).
أولًا، دعونا نختصر الكسور الأصلية إلى كسور عادية. سوف نحصل على:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
وبالتالي، 0، (3) · 2، (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
يمكن تحويل الكسر العادي الناتج إلى شكل عشري عن طريق قسمة البسط على المقام في عمود:
إجابة: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
إذا كان لدينا عدد لا نهائي من الكسور غير الدورية في بيان المشكلة، فسنحتاج إلى إجراء تقريب أولي (راجع المقالة حول تقريب الأرقام إذا نسيت كيفية القيام بذلك). بعد ذلك، يمكنك إجراء عملية الضرب باستخدام الكسور العشرية المقربة بالفعل. دعونا نعطي مثالا.
مثال 3
احسب حاصل ضرب 5، 382... و0، 2.
حل
في مسألتنا، لدينا كسر لا نهائي يجب تقريبه أولًا إلى أجزاء من مائة. اتضح أن 5.382... ≈ 5.38. ليس من المنطقي تقريب العامل الثاني إلى المئات. يمكنك الآن حساب المنتج المطلوب وكتابة الإجابة: 5.38 0.2 = 538100 2 10 = 10761000 = 1.076.
إجابة: 5.382…·0.2 ≈ 1.076.
يمكن استخدام طريقة حساب الأعمدة ليس فقط للأعداد الطبيعية. إذا كان لدينا أعداد عشرية، فيمكننا ضربها بنفس الطريقة تمامًا. لنستنتج القاعدة:
التعريف 1
يتم ضرب الكسور العشرية في العمود في خطوتين:
1. إجراء عملية ضرب الأعمدة، دون الاهتمام بالفواصل.
2. ضع نقطة عشرية في الرقم النهائي، وافصل بينها بعدد من الأرقام على الجانب الأيمن حيث يحتوي كلا العاملين على منازل عشرية معًا. إذا كانت النتيجة ليست أرقاما كافية لهذا، أضف الأصفار إلى اليسار.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة لهذه الحسابات في الممارسة العملية.
مثال 4
اضرب الأعداد العشرية 63، 37 و0، 12 في الأعمدة.
حل
أولاً، دعونا نضرب الأرقام، متجاهلين الفاصلة العشرية.
والآن علينا أن نضع الفاصلة في المكان الصحيح. سيتم فصل الأرقام الأربعة الموجودة على الجانب الأيمن لأن مجموع الكسور العشرية في كلا العاملين هو 4. ليست هناك حاجة لإضافة الأصفار، لأنه علامات كافية:
إجابة: 3.37 0.12 = 7.6044.
مثال 5
احسب مقدار 3.2601 في 0.0254.
حل
نحن نحسب بدون فواصل. نحصل على الرقم التالي:
سنضع فاصلة تفصل بين 8 أرقام على الجانب الأيمن، لأن الكسور الأصلية معًا تحتوي على 8 منازل عشرية. لكن نتيجتنا تتكون من سبعة أرقام فقط، ولا يمكننا الاستغناء عن الأصفار الإضافية:
إجابة: 3.2601 · 0.0254 = 0.08280654.
كيفية ضرب عدد عشري في 0.001، 0.01، 01، إلخ.
يعد ضرب الأعداد العشرية بهذه الأرقام أمرًا شائعًا، لذا من المهم أن تكون قادرًا على القيام بذلك بسرعة ودقة. دعونا نكتب قاعدة خاصة سنستخدمها في هذا الضرب:
التعريف 2
إذا ضربنا عددًا عشريًا في 0، 1، 0، 01، وما إلى ذلك، فسننتهي برقم مشابه للكسر الأصلي، مع تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بالعدد المطلوب من المنازل. إذا لم تكن هناك أرقام كافية لنقلها، فستحتاج إلى إضافة أصفار إلى اليسار.
لذلك، لضرب 45، 34 في 0، 1، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في الكسر العشري الأصلي بمقدار مكان واحد. سننتهي بـ 4,534.
مثال 6
اضرب 9.4 في 0.0001.
حل
سيتعين علينا تحريك العلامة العشرية أربع منازل حسب عدد الأصفار في العامل الثاني، لكن الأرقام الموجودة في العامل الأول ليست كافية لذلك. قمنا بتعيين الأصفار اللازمة ونجد أن 9.4 · 0.0001 = 0.00094.
إجابة: 0 , 00094 .
بالنسبة للأعداد العشرية اللانهائية، نستخدم نفس القاعدة. على سبيل المثال، 0، (18) · 0، 01 = 0، 00 (18) أو 94،938... · 0، 1 = 9،4938.... إلخ.
لا تختلف عملية الضرب عن عملية ضرب كسرين عشريين. من المناسب استخدام طريقة ضرب الأعمدة إذا كانت عبارة المشكلة تحتوي على كسر عشري نهائي. وفي هذه الحالة لا بد من مراعاة جميع القواعد التي تحدثنا عنها في الفقرة السابقة.
مثال 7
احسب مقدار 15 · 2.27.
حل
دعونا نضرب الأرقام الأصلية في عمود ونفصل بين فاصلتين.
إجابة: 15 · 2.27 = 34.05.
إذا قمنا بضرب كسر عشري دوري في عدد طبيعي، فيجب علينا أولًا تغيير الكسر العشري إلى كسر عادي.
مثال 8
احسب حاصل ضرب 0 و (42) و 22 .
دعونا نختصر الكسر الدوري إلى الشكل العادي.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
يمكننا كتابة النتيجة النهائية في شكل كسر عشري دوري مثل 9، (3).
إجابة: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .
يجب أولاً تقريب الكسور اللانهائية قبل إجراء العمليات الحسابية.
مثال 9
احسب كم سيكون 4 · 2, 145....
حل
دعونا نقرب الكسر العشري اللانهائي الأصلي إلى أجزاء من المئات. بعد ذلك نأتي إلى ضرب عدد طبيعي وكسر عشري نهائي:
4 2.145… ≈ 4 2.15 = 8.60.
إجابة: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
كيفية ضرب عدد عشري في 1000، 100، 10، الخ.
ضرب الكسر العشري في 10، 100، وما إلى ذلك غالبًا ما يتم مواجهته في المسائل، لذلك سنقوم بتحليل هذه الحالة بشكل منفصل. القاعدة الأساسية للضرب هي:
التعريف 3
لضرب كسر عشري في 1000، 100، 10، وما إلى ذلك، تحتاج إلى نقل العلامة العشرية إلى 3، 2، 1 أرقام اعتمادًا على المضاعف وتجاهل الأصفار الإضافية على اليسار. إذا لم تكن هناك أرقام كافية لتحريك الفاصلة، فإننا نضيف العديد من الأصفار إلى اليمين حسب حاجتنا.
دعونا نعرض بمثال كيفية القيام بذلك بالضبط.
مثال 10
اضرب 100 في 0.0783.
حل
للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى تحريك العلامة العشرية بمقدار رقمين إلى اليمين. سننتهي بـ 007، 83 ويمكن التخلص من الأصفار الموجودة على اليسار وكتابة النتيجة على النحو التالي 7، 38.
إجابة: 0.0783100 = 7.83.
مثال 11
اضرب 0.02 في 10 آلاف.
الحل: سنقوم بتحريك الفاصلة بأربعة أرقام إلى اليمين. ليس لدينا علامات كافية لهذا في الكسر العشري الأصلي، لذا علينا إضافة أصفار. في هذه الحالة، ثلاثة 0 سيكون كافيا. النتيجة هي 0،02000، حرك الفاصلة واحصل على 00200،0. بتجاهل الأصفار الموجودة على اليسار، يمكننا كتابة الإجابة على النحو 200.
إجابة: 0.02 · 10,000 = 200.
القاعدة التي قدمناها ستعمل بنفس الطريقة في حالة الكسور العشرية اللانهائية، ولكن هنا يجب أن تكون حذرًا جدًا بشأن فترة الكسر النهائي، حيث أنه من السهل ارتكاب خطأ فيه.
مثال 12
احسب حاصل ضرب 5.32 (672) في 1000.
الحل: أولاً، سنكتب الكسر الدوري بالشكل 5، 32672672672...، وبالتالي فإن احتمال ارتكاب الخطأ سيكون أقل. بعد ذلك يمكننا نقل الفاصلة إلى العدد المطلوب من الأحرف (ثلاثة). ستكون النتيجة 5326، 726726... فلنضع الفترة بين قوسين ونكتب الإجابة على النحو 5326، (726).
إجابة: 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .
إذا كانت شروط المسألة تحتوي على عدد لا نهائي من الكسور غير الدورية التي يجب ضربها في عشرة، أو مائة، أو ألف، وما إلى ذلك، فلا تنس تقريبها قبل الضرب.
لإجراء الضرب من هذا النوع، تحتاج إلى تمثيل الكسر العشري ككسر عادي ثم المتابعة وفقًا للقواعد المألوفة بالفعل.
مثال 13
اضرب 0، 4 في 3 5 6
حل
أولاً، دعونا نحول الكسر العشري إلى كسر عادي. لدينا: 0، 4 = 4 10 = 2 5.
لقد حصلنا على الإجابة في صورة عدد كسري. يمكنك كتابتها ككسر دوري 1، 5 (3).
إجابة: 1 , 5 (3) .
إذا كان هناك كسر غير دوري لا نهائي في الحساب، فستحتاج إلى تقريبه إلى رقم معين ثم ضربه.
مثال 14
احسب المنتج 3، 5678. . . · 2 3
حل
يمكننا تمثيل العامل الثاني على أنه 2 3 = 0, 6666…. بعد ذلك، قم بتقريب كلا العاملين إلى المرتبة الألف. بعد ذلك، سنحتاج إلى حساب حاصل ضرب الكسرين العشريين النهائيين 3.568 و0.667. لنعد بعمود ونحصل على الإجابة:
يجب تقريب النتيجة النهائية إلى جزء من الألف، حيث قمنا بتقريب الأرقام الأصلية إلى هذا الرقم. اتضح أن 2.379856 ≈ 2.380.
إجابة: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter