الموضوع: خواص منصف الزوايا منصف المثلث

في هذا الدرس سوف نتناول بالتفصيل خصائص النقاط الواقعة على منصف الزاوية والنقاط الواقعة على المنصف العمودي للقطعة.

الموضوع: الدائرة

درس: خواص منصف الزاوية والمنصف العمودي للقطعة

دعونا نفكر في خصائص النقطة الواقعة على منصف الزاوية (انظر الشكل 1).

أرز. 1

الزاوية معطاة، ومنصفها هو AL، والنقطة M تقع على المنصف.

نظرية:

إذا كانت النقطة M تقع على منصف زاوية، فهي متساوية البعد من جوانب الزاوية، أي أن المسافات من النقطة M إلى AC وإلى BC لجوانب الزاوية متساوية.

دليل:

النظر في المثلثات و . هذان مثلثان قائما الزاوية وهما متساويان لأن... لهما وتر مشترك AM، والزوايا متساوية، لأن AL هو منصف الزاوية. وهكذا فإن المثلثات القائمة متساوية في الوتر والزاوية الحادة، ويتبع ذلك، وهو ما يحتاج إلى إثبات. ومن ثم، فإن النقطة الواقعة على منصف الزاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي تلك الزاوية.

النظرية العكسية صحيحة.

إذا كانت هناك نقطة متساوية البعد عن ضلعي زاوية غير مستوية، فإنها تقع على منصفها.

أرز. 2

يتم إعطاء زاوية غير متطورة، النقطة M، بحيث تكون المسافة منها إلى جوانب الزاوية هي نفسها (انظر الشكل 2).

أثبت أن النقطة M تقع على منصف الزاوية.

دليل:

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي. من النقطة M نرسم عموديين MK على الجانب AB و MR على الجانب AC.

النظر في المثلثات و . هذان مثلثان قائما الزاوية وهما متساويان لأن... لديهم وتر مشترك AM، والساقين MK وMR متساويان بالشرط. وبالتالي، المثلثات القائمة متساوية في الوتر والساق. من تساوي المثلثات يتبع تساوي العناصر المتناظرة، الزوايا المتساوية تقع مقابل جوانب متساوية، وبالتالي، وبالتالي فإن النقطة M تقع على منصف الزاوية المعطاة.

يمكن الجمع بين النظريات المباشرة والعكسية.

نظرية

منصف الزاوية غير المتطورة هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب زاوية معينة.

نظرية

تتقاطع منصفات المثلث AA 1، BB 1، СС 1 عند نقطة واحدة O (انظر الشكل 3).

أرز. 3

دليل:

دعونا نفكر أولاً في منصفين BB 1 وCC 1. يتقاطعان، نقطة التقاطع O موجودة. ولإثبات ذلك لنفترض العكس، فحتى لو لم تتقاطع هذه المنصفات، فهي في هذه الحالة متوازية. إذن الخط المستقيم BC هو القاطع ومجموع الزوايا وهذا يتناقض مع حقيقة أن مجموع زوايا المثلث بأكمله هو .

إذن، النقطة O من تقاطع منصفين موجودة. دعونا نفكر في خصائصه:

تقع النقطة O على منصف الزاوية، مما يعني أنها متساوية البعد عن ضلعيها BA وBC. إذا كان OK متعامدًا على BC، وOL متعامدًا مع BA، فإن أطوال هذه المتعامدين تكون متساوية - . كما أن النقطة O تقع على منصف الزاوية وهي متساوية البعد عن ضلعيها CB وCA، والعموديان OM وOK متساويان.

لقد حصلنا على المعادلات التالية:

أي أن المتعامدين الثلاثة الذين يسقطون من النقطة O على أضلاع المثلث متساوون مع بعضهم البعض.

نحن مهتمون بالمساواة بين العمودين OL وOM. تنص هذه المساواة على أن النقطة O متساوية البعد من جانبي الزاوية، ويترتب على ذلك أنها تقع على منصفها AA 1.

وبهذا نكون قد أثبتنا أن منصفات المثلث الثلاثة تتقاطع عند نقطة واحدة.

لننتقل الآن إلى النظر في القطعة المستقيمة ومنصفها العمودي وخصائص النقطة التي تقع على المنصف العمودي.

يتم إعطاء القطعة AB، p هو المنصف العمودي. هذا يعني أن الخط المستقيم p يمر عبر منتصف القطعة AB ويكون عموديًا عليها.

نظرية

أرز. 4

أي نقطة تقع على المنصف المتعامد تكون على مسافة متساوية من طرفي القطعة (انظر الشكل 4).

اثبت ذلك

دليل:

النظر في المثلثات و . فهي مستطيلة ومتساوية، لأن. لدينا ساق مشتركة OM، والساقان AO وOB متساويان بالشرط، وبالتالي، لدينا مثلثان قائمان، متساويان في ساقين. ويترتب على ذلك أن أوتار المثلثات متساوية أيضًا، أي ما كان مطلوب إثباته.

لاحظ أن المقطع AB هو وتر مشترك للعديد من الدوائر.

على سبيل المثال، الدائرة الأولى التي مركزها النقطة M ونصف قطرها MA وMB؛ الدائرة الثانية مركزها النقطة N ونصف قطرها NA وNB.

وبذلك أثبتنا أنه إذا كانت هناك نقطة تقع على المنصف العمودي لقطعة ما، فإنها تكون على مسافة متساوية من طرفي القطعة (انظر الشكل 5).

أرز. 5

النظرية العكسية صحيحة.

نظرية

إذا كانت هناك نقطة معينة M على مسافة متساوية من طرفي قطعة، فإنها تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة.

بالنظر إلى القطعة AB، يوجد منصف عمودي عليها p، ونقطة M على مسافة متساوية من طرفي القطعة (انظر الشكل 6).

أثبت أن النقطة M تقع على المنصف العمودي للقطعة المستقيمة.

أرز. 6

دليل:

النظر في مثلث. وهو متساوي الساقين، حسب الشرط. خذ بعين الاعتبار متوسط ​​المثلث: النقطة O هي منتصف القاعدة AB، وOM هي الوسيط. وفقًا لخاصية المثلث المتساوي الساقين، فإن الوسيط المرسوم على قاعدته هو ارتفاع ومنصف. إنه يتبع هذا . لكن الخط p متعامد أيضًا مع AB. نحن نعلم أنه عند النقطة O من الممكن رسم عمود واحد على القطعة AB، مما يعني أن الخطين OM وp يتطابقان، ويترتب على ذلك أن النقطة M تنتمي إلى الخط المستقيم p، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

يمكن تعميم النظريات المباشرة والعكسية.

نظرية

المنصف العمودي لقطعة ما هو موضع النقاط المتساوية البعد عن طرفيها.

المثلث، كما تعلم، يتكون من ثلاثة أجزاء، مما يعني أنه يمكن رسم ثلاثة منصفات متعامدة فيه. وتبين أنهم يتقاطعون عند نقطة واحدة.

تتقاطع المنصفات العمودية للمثلث عند نقطة واحدة.

يتم إعطاء مثلث. عمودي على جوانبه: P 1 على الجانب BC، P 2 على الجانب AC، P 3 على الجانب AB (انظر الشكل 7).

أثبت أن المتعامدين P 1 و P 2 و P 3 يتقاطعون عند النقطة O.

هل تعرف ما هي نقطة المنتصف للقطعة؟ بالطبع تفعل. ماذا عن مركز الدائرة؟ نفس.

ما هي نقطة منتصف الزاوية؟

يمكنك القول أن هذا لا يحدث. ولكن لماذا يمكن تقسيم القطعة إلى نصفين، ولا يمكن تقسيم الزاوية؟ هذا ممكن تمامًا - ليس مجرد نقطة، ولكن…. خط.

هل تتذكرون النكتة: المنصف هو فأر يدور حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين.لذا، فإن التعريف الحقيقي للمنصف يشبه إلى حد كبير هذه النكتة:

منصف المثلث- هذا هو الجزء المنصف لزاوية المثلث الذي يربط قمة هذه الزاوية بنقطة على الجانب المقابل.

ذات مرة، اكتشف علماء الفلك وعلماء الرياضيات القدماء العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام للمنصف. لقد سهلت هذه المعرفة حياة الناس إلى حد كبير.

المعرفة الأولى التي ستساعد في ذلك هي...

بالمناسبة، هل تتذكر كل هذه المصطلحات؟ هل تتذكر كيف يختلفون عن بعضهم البعض؟ لا؟ ليس مخيفا. دعونا معرفة ذلك الآن.

• قاعدة مثلث متساوي الساقين- هذا هو الضلع الذي لا يساوي أي ضلع آخر. انظر إلى الصورة، أي جانب تعتقد أنه؟ هذا صحيح - هذا هو الجانب.
• الوسيط هو خط مرسوم من قمة المثلث ويقسم الجانب الآخر (وهذا كل شيء مرة أخرى) إلى النصف. لاحظ أننا لا نقول "متوسط ​​المثلث المتساوي الساقين". هل تعرف لماذا؟ لأن الوسيط المرسوم من رأس المثلث ينصف الضلع المقابل في أي مثلث.
• الارتفاع هو خط مرسوم من الأعلى وعمودي على القاعدة. انت لاحظت؟ نحن نتحدث مرة أخرى عن أي مثلث، وليس مجرد مثلث متساوي الساقين. الارتفاع في أي مثلث يكون دائمًا متعامدًا مع القاعدة.

لذلك عليك أن ترد عليها؟ بالكاد.

لفهم أفضل وتذكر إلى الأبد ما هو المنصف والوسيط والارتفاع، فأنت في حاجة إليها مقارنة مع بعضها البعضوفهم مدى تشابهها وكيف تختلف عن بعضها البعض.

في الوقت نفسه، من أجل التذكر بشكل أفضل، من الأفضل وصف كل شيء "باللغة البشرية".

عندها سوف تشتغل بلغة الرياضيات بسهولة، لكن في البداية لا تفهم هذه اللغة وتحتاج إلى فهم كل شيء في لغتك الخاصة.

إذًا، كيف يتشابهون؟

المنصف والوسيط والارتفاع - كلهم ​​\u200b\u200b"يخرجون" من قمة المثلث ويستقرون على الجانب الآخر و "يفعلون شيئًا" إما بالزاوية التي يخرجون منها أو بالجانب الآخر.

أعتقد أن الأمر بسيط، أليس كذلك؟

كيف هم مختلفون؟

• يقسم المنصف الزاوية التي يخرج منها إلى النصف.
• يقسم الوسيط الجانب الآخر إلى النصف.
• يكون الارتفاع دائمًا متعامدًا مع الجانب الآخر.

هذا كل شيء. من السهل أن نفهم. وبمجرد أن تفهم، يمكنك أن تتذكر.

الآن السؤال التالي.

لماذا، في حالة المثلث متساوي الساقين، يبدو المنصف وكأنه الوسيط والارتفاع؟

يمكنك ببساطة إلقاء نظرة على الشكل والتأكد من أن الوسيط ينقسم إلى مثلثين متساويين تمامًا.

هذا كل شئ! لكن علماء الرياضيات لا يحبون أن يصدقوا أعينهم. إنهم بحاجة إلى إثبات كل شيء.

كلمة مخيفة؟

لا شيء من هذا القبيل - الأمر بسيط! انظر: كلاهما لهما جوانب متساوية، ولهما بشكل عام جانب مشترك و. (- منصف!) وهكذا يتبين أن المثلثين لهما ضلعان متساويان وزاوية بينهما.

نتذكر العلامة الأولى لتساوي المثلثات (إذا كنت لا تتذكر، ابحث في الموضوع) ونستنتج ذلك، وبالتالي = و.

هذا جيد بالفعل - وهذا يعني أنه تبين أنه الوسيط.

ولكن ما هو؟

دعونا ننظر إلى الصورة - . وقد حصلنا عليه. أيضا! وأخيرا، يا هلا! و.

هل وجدت هذا الدليل ثقيلًا بعض الشيء؟ انظر إلى الصورة - مثلثان متطابقان يتحدثان عن نفسيهما.

وعلى أية حال، تذكر بحزم:

الآن أصبح الأمر أكثر صعوبة: سنحسب الزاوية بين المنصفات في أي مثلث!لا تخف، فالأمر ليس بهذه الصعوبة. انظر الى الصورة:

دعونا نحسبها. هل تتذكر ذلك مجموع زوايا المثلث هو?

دعونا نطبق هذه الحقيقة المدهشة.

ومن ناحية من:

إنه.

الآن دعونا ننظر إلى:

لكن منصفات، منصفات!

دعونا نتذكر حول:

الآن من خلال الحروف

أليس من المستغرب؟

اتضح ذلك الزاوية المحصورة بين منصفات زاويتين تعتمد على الزاوية الثالثة فقط!

حسنًا، لقد نظرنا إلى منصفين. ماذا لو كان هناك ثلاثة منهم؟؟!! هل ستتقاطع جميعها في نقطة واحدة؟

أم سيكون الأمر هكذا؟

كيف تفكر؟ لذلك فكر علماء الرياضيات وفكروا وأثبتوا:

أليس هذا عظيما؟

هل تريد أن تعرف لماذا يحدث هذا؟

انتقل إلى المستوى التالي - أنت مستعد للتغلب على آفاق جديدة من المعرفة حول المنصف!

منصف. مستوى متوسط

هل تتذكر ما هو المنصف؟

المنصف هو الخط الذي ينصف الزاوية.

هل واجهت منصف في المشكلة؟ حاول تطبيق واحدة (أو في بعض الأحيان عدة) من الخصائص المذهلة التالية.

1. منصف في مثلث متساوي الساقين.

ألا تخاف من كلمة "نظرية"؟ إذا كنت خائفا، فهذا عبثا. لقد اعتاد علماء الرياضيات على تسمية النظرية بأي بيان يمكن استخلاصه بطريقة أو بأخرى من بيانات أخرى أبسط.

لذا، انتبه، النظرية!

دعونا نثبتهذه النظرية، أي دعونا نفهم لماذا يحدث هذا؟ انظر إلى متساوي الساقين.

دعونا ننظر إليهم بعناية. وبعد ذلك سوف نرى ذلك

1. - عام.

وهذا يعني (تذكر بسرعة العلامة الأولى لتساوي المثلثات!) ذلك.

وماذا في ذلك؟ هل تريد أن تقول ذلك؟ والحقيقة أننا لم ننظر بعد إلى الأضلاع الثالثة وزوايا هذه المثلثات المتبقية.

الآن دعونا نرى. مرة واحدة، ثم مطلقًا، وحتى بالإضافة إلى ذلك، .

لذلك اتضح ذلك

1. قسم الجانب إلى النصف، أي اتضح أنه الوسيط
2. مما يعني أنهما متشابهان (أنظر مرة أخرى إلى الصورة).

لذلك اتضح أنه منصف وارتفاع أيضًا!

مرحا! لقد أثبتنا النظرية. ولكن خمن ماذا، هذا ليس كل شيء. المؤمنين أيضا نظرية العكس:

دليل؟ هل أنت مهتم حقا؟ قراءة المستوى التالي من النظرية!

وإذا لم تكن مهتما، ثم تذكر بقوة:

لماذا نتذكر هذا بحزم؟ كيف يمكن أن يساعد هذا؟ لكن تخيل أن لديك مهمة:

منح: .

يجد: .

ستدرك على الفور أيها المنصف، وها هي قسمت الجانب إلى نصفين! (بشرط...). إذا كنت تتذكر بقوة أن هذا يحدث فقطفي مثلث متساوي الساقين ثم ترسم نتيجة يعني تكتب الجواب : . عظيم، أليس كذلك؟ بالطبع، لن تكون جميع المهام سهلة للغاية، لكن المعرفة ستساعد بالتأكيد!

والآن الخاصية التالية. مستعد؟

2. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جانبي الزاوية.

مقدس؟ انها حقا ليست مشكلة كبيرة. قام علماء الرياضيات الكسالى بإخفاء أربعة في سطرين. إذًا، ماذا يعني "المنصف -" موضع النقاط"؟ وهذا يعني أنه سيتم إعدامهم على الفور اثنينصياغات:

1. إذا كانت نقطة تقع على منصف، فإن المسافات منها إلى جانبي الزاوية متساوية.
2. إذا كانت المسافات إلى جوانب الزاوية متساوية في مرحلة ما، فهذه النقطة بالضرورةتقع على المنصف.

هل ترى الفرق بين العبارتين 1 و 2؟ إذا لم يكن كثيرًا، فتذكر صانع القبعات من "أليس في بلاد العجائب": "فماذا ستقول أيضًا، كما لو أن "أنا أرى ما آكله" و"أنا آكل ما أراه" هما نفس الشيء!"

لذلك نحن بحاجة إلى إثبات العبارة 1 و 2، ثم العبارة: سيتم إثبات "المنصف هو موضع النقاط المتساوية البعد عن ضلعي الزاوية"!

لماذا 1 صحيح؟

لنأخذ أي نقطة على المنصف ونسميها .

دعونا نسقط الخطوط المتعامدة من هذه النقطة على جانبي الزاوية.

والآن... استعد لتذكر علامات تساوي المثلثات القائمة! إذا نسيتهم، فقم بإلقاء نظرة على القسم.

إذًا... مثلثان قائمان: و. يملكون:

• الوتر العام.
• (لأنه منصف!)

وهذا يعني - بالزاوية والوتر. وبالتالي فإن الأرجل المتناظرة في هذين المثلثين متساوية! إنه.

لقد أثبتنا أن النقطة متساوية (أو متساوية) في البعد عن جانبي الزاوية. يتم التعامل مع النقطة 1. الآن دعنا ننتقل إلى النقطة 2.

لماذا 2 صحيح؟

ودعونا نربط النقاط و.

وهذا يعني أنها تقع على المنصف!

هذا كل شئ!

كيف يمكن تطبيق كل هذا عند حل المشكلات؟ على سبيل المثال، في المسائل غالبا ما تكون هناك العبارة التالية: "الدائرة تمس جوانب الزاوية ...". حسنا، أنت بحاجة إلى العثور على شيء ما.

ثم تدرك ذلك بسرعة

ويمكنك استخدام المساواة.

3. ثلاثة منصفات في المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة

من خاصية المنصف أنه محل النقاط المتساوية البعد عن أضلاع الزاوية، ما يلي:

كيف بالضبط يخرج؟ لكن انظر: من المؤكد أن المنصفين سيتقاطعان، أليس كذلك؟

ويمكن أن يكون المنصف الثالث على النحو التالي:

ولكن في الواقع، كل شيء أفضل بكثير!

دعونا نلقي نظرة على نقطة تقاطع منصفين. دعونا نسميها.

ماذا استخدمنا هنا في المرتين؟ نعم الفقرة 1، بالطبع! إذا كانت هناك نقطة تقع على منصف، فهي متساوية البعد عن جانبي الزاوية.

وهكذا حدث.

لكن انظر بعناية إلى هاتين المساويتين! بعد كل شيء، يتبع منهم، وبالتالي، .

والآن سوف يأتي دوره النقطة 2: إذا كانت المسافات بين أضلاع الزاوية متساوية فإن النقطة تقع على المنصف...أي زاوية؟ انظر إلى الصورة مرة أخرى:

وهي المسافتان إلى أضلاع الزاوية، وهما متساويتان، أي أن النقطة تقع على منصف الزاوية. المنصف الثالث مر بنفس النقطة! تتقاطع المنصفات الثلاثة عند نقطة واحدة! وكهدية إضافية -

نصف القطر منقوشةالدوائر.

(للتأكد من ذلك، انظر إلى موضوع آخر).

حسنًا، الآن لن تنسى أبدًا:

نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة الموضحة فيه.

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية... واو، المنصف لديه العديد من الخصائص، أليس كذلك؟ وهذا أمر رائع، لأنه كلما زادت الخصائص، زادت الأدوات اللازمة لحل مشاكل المنصف.

4. المنصف والتوازي، منصفات الزوايا المتجاورة

حقيقة أن المنصف يقسم الزاوية إلى النصف في بعض الحالات يؤدي إلى نتائج غير متوقعة تمامًا. على سبيل المثال،

حالة 1

عظيم، أليس كذلك؟ دعونا نفهم لماذا هذا هو الحال.

من ناحية، نرسم منصف!

ولكن، من ناحية أخرى، هناك زوايا تقع بالعرض (تذكر الموضوع).

والآن اتضح أن؛ رمي الوسط:! - متساوي الساقين!

الحالة 2

تخيل مثلثًا (أو انظر إلى الصورة)

دعونا نواصل الجانب وراء هذه النقطة. الآن لدينا زاويتان:

• - ركن داخلي
• - الزاوية الخارجية في الخارج، أليس كذلك؟

لذلك، الآن أراد شخص ما أن يرسم ليس واحدًا، بل منصفين في وقت واحد: كلاهما من أجل ومن أجل. ماذا سيحدث؟

هل ستنجح؟ مستطيلي!

والمثير للدهشة أن هذا هو الحال بالضبط.

دعونا معرفة ذلك.

ما هو المبلغ برأيك؟

بالطبع، - بعد كل شيء، كلهم ​​\u200b\u200bيشكلون معًا زاوية بحيث يتبين أنها خط مستقيم.

الآن تذكر أن المنصفين موجودان داخل الزاوية تمامًا نصفمن مجموع الزوايا الأربع: و - - أي بالضبط. يمكنك أيضًا كتابتها كمعادلة:

لذلك، لا يصدق ولكن صحيح:

الزاوية بين منصفات الزوايا الداخلية والخارجية للمثلث متساوية.

الحالة 3

هل ترى أن كل شيء هنا هو نفسه بالنسبة للزوايا الداخلية والخارجية؟

أو دعونا نفكر مرة أخرى لماذا يحدث هذا؟

مرة أخرى، بالنسبة للزوايا المجاورة،

(كما يتوافق مع القواعد المتوازية).

ومرة أخرى يتصالحون النصف بالضبطمن المبلغ

خاتمة:إذا كانت المشكلة تحتوي على منصفات مجاورزوايا أو منصفات مناسبزوايا متوازي الأضلاع أو شبه منحرف، ثم في هذه المشكلة بالتأكيدهناك مثلث قائم الزاوية، أو ربما مستطيل كامل.

5. المنصف والجانب المقابل

اتضح أن منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل ليس بطريقة ما فحسب، بل بطريقة خاصة ومثيرة للاهتمام للغاية:

إنه:

حقيقة مذهلة، أليس كذلك؟

الآن سوف نثبت هذه الحقيقة، ولكن الاستعداد: سيكون الأمر أكثر صعوبة قليلا من ذي قبل.

مرة أخرى - الخروج إلى "الفضاء" - تشكيل إضافي!

دعنا نذهب مباشرة.

لماذا؟ سنرى الآن.

لنواصل المنصف حتى يتقاطع مع الخط.

هل هذه صورة مألوفة؟ نعم، نعم، نعم، تمامًا كما في النقطة 4، الحالة 1 - اتضح أن (- منصف)

الكذب بالعرض

لذلك، هذا أيضا.

الآن دعونا نلقي نظرة على المثلثات و.

ماذا يمكنك أن تقول عنهم؟

هم متشابهون. حسنًا، نعم، زواياهما متساوية مثل الزوايا الرأسية. إذن في زاويتين.

الآن لدينا الحق في كتابة علاقات الأطراف ذات الصلة.

والآن بملاحظة قصيرة:

أوه! يذكرني بشيء، أليس كذلك؟ أليس هذا ما أردنا إثباته؟ نعم، نعم، هذا بالضبط!

ترى كم كان "السير في الفضاء" رائعًا - بناء خط مستقيم إضافي - فبدونه لم يكن ليحدث شيء! وهكذا أثبتنا ذلك

الآن يمكنك استخدامه بأمان! دعونا نلقي نظرة على خاصية أخرى لمنصفات زوايا المثلث - لا تنزعج، الآن انتهى الجزء الأصعب - سيكون أسهل.

لقد حصلنا على ذلك

النظرية 1:

النظرية 2:

النظرية 3:

النظرية 4:

النظرية 5:

النظرية 6:

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 899 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

في هذا الدرس، سوف نتذكر مفهوم منصف الزاوية، وسنقوم بصياغة وإثبات النظريات المباشرة والمعكوسة حول خواص منصف الزاوية، ثم تعميمها. دعونا نحل مسألة نطبق فيها حقائق هندسية أخرى، بالإضافة إلى الحقائق المتعلقة بالمنصف.

الموضوع: الدائرة

درس: خواص منصف الزاوية. مهام

المثلث هو الشكل المركزي لكل أشكال الهندسة، ويُقال مازحًا أنه لا ينضب، مثل الذرة. خصائصها عديدة ومثيرة للاهتمام ومسلية. نحن ننظر إلى بعض هذه الخصائص.

أي مثلث هو في المقام الأول ثلاث زوايا وثلاثة أجزاء (انظر الشكل 1).

أرز. 1

خذ بعين الاعتبار زاوية رأسها A وضلعيها B وC زاوية.

في أي زاوية، بما في ذلك زاوية المثلث، يمكنك رسم منصف - أي خط مستقيم يقسم الزاوية إلى النصف (انظر الشكل 2).

أرز. 2

دعونا نفكر في خصائص النقطة الواقعة على منصف الزاوية (انظر الشكل 3).

خذ بعين الاعتبار النقطة M الواقعة على منصف الزاوية.

تذكر أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول العمودي المرسوم من هذه النقطة إلى الخط المستقيم.

أرز. 3

من الواضح أننا إذا أخذنا نقطة لا تقع على المنصف، فإن المسافات من هذه النقطة إلى جانبي الزاوية ستكون مختلفة. المسافة من النقطة M إلى جانبي الزاوية هي نفسها.

نظرية

كل نقطة من منصف زاوية غير متطورة تكون متساوية البعد عن جوانب الزاوية، أي أن المسافات من النقطة M إلى AC وإلى BC لجوانب الزاوية متساوية.

الزاوية معطاة، منصفها هو AL، النقطة M تقع على المنصف (انظر الشكل 4).

اثبت ذلك .

أرز. 4

دليل:

النظر في المثلثات و . هذه مثلثات قائمة، وهي متساوية، لأن لها وترًا مشتركًا AM، والزوايا متساوية، لأن AL هو منصف الزاوية. وهكذا فإن المثلثات القائمة متساوية في الوتر والزاوية الحادة، ويتبع ذلك، وهو ما يحتاج إلى إثبات. ومن ثم، فإن النقطة الواقعة على منصف الزاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي تلك الزاوية.

النظرية العكسية صحيحة.

نظرية

إذا كانت هناك نقطة متساوية البعد عن ضلعي زاوية غير مستوية، فإنها تقع على منصفها.

يتم إعطاء زاوية غير متطورة، النقطة M، بحيث تكون المسافة منها إلى جانبي الزاوية واحدة.

أثبت أن النقطة M تقع على منصف الزاوية (انظر الشكل 5).

أرز. 5

دليل:

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي. من النقطة M نرسم عموديين MK على الجانب AB و MR على الجانب AC.

النظر في المثلثات و . هذه مثلثات قائمة، وهي متساوية، لأن لديهم وترًا مشتركًا AM، والساقين MK وMR متساويان بالشرط. وبالتالي، المثلثات القائمة متساوية في الوتر والساق. من تساوي المثلثات يتبع تساوي العناصر المتناظرة، الزوايا المتساوية تقع مقابل جوانب متساوية، وبالتالي، وبالتالي فإن النقطة M تقع على منصف الزاوية المعطاة.

في بعض الأحيان يتم الجمع بين النظريات المباشرة والعكسية على النحو التالي:

نظرية

تكون النقطة متساوية البعد عن جانبي الزاوية إذا وفقط إذا كانت تقع على منصف هذه الزاوية.

يتم استخدام تساوي المسافة بين نقاط المنصف من جوانب الزاوية على نطاق واسع في العديد من المسائل.

المسألة رقم 674من كتاب أتاناسيان، الهندسة، الصفوف 7-9:

من النقطة M لمنصف زاوية غير متطورة، يتم رسم العمودين MA وMB على جانبي هذه الزاوية (انظر الشكل 6). اثبت ذلك .

معطاة: الزاوية، المنصف OM، المتعامدان MA وMB على جانبي الزاوية.

أرز. 6

اثبت ذلك:

دليل:

وفقًا للنظرية المباشرة، تكون النقطة M على مسافة متساوية من جانبي الزاوية، لأنها حسب الشرط تقع على منصفها. .

النظر في المثلثات القائمة و (انظر الشكل 7). لديهم وتر مشترك OM، والساقين MA وMB متساويان، كما أثبتنا سابقًا. وهكذا، اثنان مستطيلة

أرز. 7

المثلثان متساويان في الساق والوتر. ومن تساوي المثلثات يتبع تساوي العناصر المتناظرة، ومن هنا تساوي الزوايا والمساواة بين الساقين الأخرى.

من تساوي الساقين OA وOB، يترتب على أن المثلث متساوي الساقين، وAB هي قاعدته. الخط المستقيم OM هو منصف المثلث. وفقًا لخاصية المثلث المتساوي الساقين، فإن هذا المنصف هو أيضًا ارتفاع، مما يعني أن الخطين OM وAB يتقاطعان بزوايا قائمة، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

لذلك، قمنا بدراسة النظريات المباشرة والعكسية حول خاصية النقطة الواقعة على منصف الزاوية، وقمنا بتعميمها وحل المشكلة باستخدام حقائق هندسية مختلفة، بما في ذلك هذه النظرية.

فهرس

1. ألكساندروف أ.د. وغيرها، الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
2. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2011.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة، الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

العمل في المنزل

1. أتاناسيان إل إس، بوتوزوف في إف، كادومتسيف إس بي. وآخرون الهندسة، 7-9، رقم 676-678، المادة. 180.

منصف المثلث – قطعة من منصف زاوية مثلث محصور بين رأس المثلث والضلع المقابل له.

خصائص المنصف

1. منصف المثلث ينصف الزاوية.

2. منصف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة تساوي النسبة بين الضلعين المتجاورين ()

3. تكون النقاط المنصف ة لزاوية المثلث متساوية البعد عن أضلاع تلك الزاوية.

4. تتقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث عند نقطة واحدة وهي مركز الدائرة المنقوشة في هذا المثلث.

بعض الصيغ المتعلقة بمنصف المثلث

(إثبات الصيغة -)
، أين
- طول المنصف المرسوم على الجانب،
- أضلاع المثلث مقابلة للرءوس على التوالي
- أطوال القطع التي يقسم إليها المنصف الجانب،

أدعوكم للمشاهدة فيديو تعليمي، والذي يوضح تطبيق جميع خصائص المنصف المذكورة أعلاه.

المهام المغطاة في الفيديو:
1. في المثلث ABC الذي طول أضلاعه AB = 2 سم، BC = 3 سم، AC = 3 سم، تم رسم المنصف VM. أوجد أطوال المقطعين AM وMC
2. منصف الزاوية الداخلية عند الرأس A ومنصف الزاوية الخارجية عند الرأس C للمثلث ABC يتقاطعان عند النقطة M. أوجد الزاوية BMC إذا كانت الزاوية B 40 درجة، والزاوية C 80 درجة
3. أوجد نصف قطر الدائرة المدرج في مثلث، مع الأخذ في الاعتبار أن أضلاع الخلايا المربعة تساوي 1

قد تكون مهتمًا أيضًا بفيديو تعليمي قصير حيث يتم تطبيق إحدى خصائص المنصف

اليوم سيكون الدرس سهلا جدا . سننظر في كائن واحد فقط - منصف الزاوية - ونثبت أهم خاصية له، والتي ستكون مفيدة جدًا لنا في المستقبل.

فقط لا تسترخي: في بعض الأحيان لا يتمكن الطلاب الذين يرغبون في الحصول على درجة عالية في نفس اختبار الدولة الموحدة أو اختبار الدولة الموحدة من صياغة تعريف المنصف بدقة في الدرس الأول.

وبدلاً من القيام بمهام مثيرة للاهتمام، فإننا نضيع الوقت في مثل هذه الأشياء البسيطة. لذلك اقرأها وشاهدها واعتمدها :)

في البداية، هناك سؤال غريب بعض الشيء: ما هي الزاوية؟ هذا صحيح: الزاوية هي ببساطة شعاعان منبعثان من نفس النقطة. على سبيل المثال:

أمثلة على الزوايا: الحادة، المنفرجة، القائمة

كما ترون من الصورة، يمكن أن تكون الزوايا حادة، منفرجة، مستقيمة - لا يهم الآن. في كثير من الأحيان، من أجل الراحة، يتم وضع علامة على نقطة إضافية على كل شعاع ويقولون أن أمامنا الزاوية $AOB$ (مكتوبة كـ $\angle AOB$).

يبدو أن Captain Obviousness يلمح إلى أنه بالإضافة إلى الأشعة $OA$ و$OB$، فمن الممكن دائمًا رسم مجموعة من الأشعة من النقطة $O$. ولكن من بينهم سيكون هناك واحد خاص - يسمى المنصف.

تعريف. منصف الزاوية هو الشعاع الذي يأتي من رأس تلك الزاوية وينصفها.

بالنسبة للزوايا المذكورة أعلاه، ستبدو المنصفات كما يلي:

أمثلة على منصفات الزوايا الحادة والمنفرجة والقائممة

نظرًا لأنه في الرسومات الحقيقية ليس من الواضح دائمًا أن شعاعًا معينًا (في حالتنا هو شعاع $OM$) يقسم الزاوية الأصلية إلى زاويتين متساويتين، فمن المعتاد في الهندسة تحديد زوايا متساوية بنفس عدد الأقواس ( في رسمنا هذا هو قوس واحد للزاوية الحادة، واثنان للزاوية المنفرجة، وثلاثة للزاوية المستقيمة).

حسنًا، لقد قمنا بفرز التعريف. أنت الآن بحاجة إلى فهم الخصائص التي يمتلكها المنصف.

الخاصية الرئيسية لمنصف الزاوية

في الواقع، المنصف لديه الكثير من الخصائص. وسننظر إليهم بالتأكيد في الدرس التالي. ولكن هناك خدعة واحدة عليك أن تفهمها الآن:

نظرية. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب زاوية معينة.

إذا ترجمت من الرياضيات إلى اللغة الروسية، فهذا يعني حقيقتين في وقت واحد:

1. أي نقطة تقع على منصف زاوية معينة تكون على مسافة واحدة من ضلعي هذه الزاوية.
2. والعكس صحيح: إذا كانت النقطة تقع على نفس المسافة من جوانب زاوية معينة، فمن المؤكد أنها تقع على منصف هذه الزاوية.

قبل إثبات هذه العبارات، دعونا نوضح نقطة واحدة: ما الذي يسمى بالضبط المسافة من نقطة إلى جانب الزاوية؟ هنا سيساعدنا التحديد القديم الجيد للمسافة من نقطة إلى خط:

تعريف. المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي المرسوم من نقطة معينة على هذا الخط.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك السطر $l$ والنقطة $A$ التي لا تقع على هذا الخط. دعونا نرسم عموديًا على $AH$، حيث $H\in l$. إذن سيكون طول هذا العمود هو المسافة من النقطة $A$ إلى الخط المستقيم $l$.

تمثيل رسومي للمسافة من نقطة إلى خط

وبما أن الزاوية هي مجرد شعاعين، وكل شعاع هو قطعة من خط مستقيم، فمن السهل تحديد المسافة من نقطة إلى جانبي الزاوية. هذان مجرد عمودين متعامدين:

تحديد المسافة من النقطة إلى جانبي الزاوية

هذا كل شئ! الآن نحن نعرف ما هي المسافة وما هو المنصف. لذلك، يمكننا إثبات الخاصية الرئيسية.

وكما وعدناكم سنقسم الإثبات إلى قسمين:

1. المسافات من النقطة على المنصف إلى جوانب الزاوية هي نفسها

النظر في زاوية تعسفية مع قمة الرأس $O$ والمنصف $OM$:

دعونا نثبت أن هذه النقطة $M$ بالذات تقع على نفس المسافة من جانبي الزاوية.

دليل. دعونا نرسم خطوطًا متعامدة من النقطة $M$ إلى أضلاع الزاوية. دعنا نسميهم $M((H)_(1))$ و $M((H)_(2))$:

ارسم خطوطًا متعامدة على جوانب الزاوية

لقد حصلنا على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. لديهم وتر مشترك $OM$ وزوايا متساوية:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ حسب الشرط (نظرًا لأن $OM$ منصف)؛
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ عن طريق البناء؛
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$، منذ مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم تكون دائمًا 90 درجة.

وبالتالي فإن المثلثين متساويان في أضلاعهما وزاويتين متجاورتين (انظر علامات تساوي المثلثات). ولذلك، على وجه الخصوص، $M((H)_(2))=M((H)_(1))$، أي. المسافات من النقطة $O$ إلى جانبي الزاوية متساوية بالفعل. سؤال وجواب :)

2. إذا كانت المسافات متساوية فإن النقطة تقع على المنصف

الآن انعكس الوضع. دع الزاوية $O$ تعطى ونقطة $M$ متساوية البعد من جانبي هذه الزاوية:

دعونا نثبت أن الشعاع $OM$ منصف، أي. $\زاوية MO((H)_(1))=\زاوية MO((H)_(2))$.

دليل. أولاً، لنرسم هذا الشعاع $OM$، وإلا فلن يكون هناك ما يمكن إثباته:

أجريت شعاع $OM$ داخل الزاوية

مرة أخرى نحصل على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. ومن الواضح أنهما متساويان للأسباب التالية:

1. الوتر $OM$ - عام؛
2. الأرجل $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ حسب الشرط (بعد كل شيء، النقطة $M$ متساوية البعد من جانبي الزاوية)؛
3. الأرجل المتبقية متساوية أيضًا، لأن بواسطة نظرية فيثاغورس $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

لذلك، المثلثان $\vartriangle OM((H)_(1))$ و$\vartriangle OM((H)_(2))$ من ثلاثة جوانب. على وجه الخصوص، زواياها متساوية: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. وهذا يعني فقط أن $OM$ منصف.

لإتمام الإثبات، نحدد الزوايا المتساوية الناتجة بأقواس حمراء:

يقسم المنصف الزاوية $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ إلى زاويتين متساويتين

كما ترون، لا شيء معقد. لقد أثبتنا أن منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية :).

الآن بعد أن قررنا بشكل أو بآخر المصطلحات، فقد حان الوقت للانتقال إلى المستوى التالي. في الدرس التالي، سنلقي نظرة على خصائص أكثر تعقيدًا للمنصف ونتعلم كيفية تطبيقها لحل المشكلات الحقيقية.