العلاقة بين تسارع الجاذبية المركزية والسرعة الخطية. التسارع أثناء الحركة المنتظمة للأجسام في الدائرة (تسارع الجاذبية)

تسارع الجاذبية- مكون تسارع نقطة ما، الذي يميز سرعة التغيير في اتجاه ناقل السرعة لمسار ذو انحناء (المكون الثاني، التسارع العرضي، يميز التغير في وحدة السرعة). موجهة نحو مركز انحناء المسار، ومن هنا يأتي المصطلح. القيمة تساوي مربع السرعة مقسومًا على نصف قطر الانحناء. مصطلح "التسارع المركزي" يعادل مصطلح " التسارع الطبيعي" ويسمى هذا المكون من مجموع القوى التي تسبب هذا التسارع بالقوة الجاذبة المركزية.

أبسط مثال على التسارع المركزي هو متجه التسارع أثناء الحركة المنتظمة في دائرة (موجهة نحو مركز الدائرة).

تسارع سريعفي حالة الإسقاط على مستوى عمودي على المحور، فإنه يظهر كجاذب مركزي.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
أين ا ن (\displaystyle a_(n)\ )- التسارع العادي (الجاذب المركزي)، الخامس (\displaystyle v\ )- (اللحظية) السرعة الخطية للحركة على طول المسار، ω (\displaystyle \أوميغا \ )- السرعة الزاوية (اللحظية) لهذه الحركة بالنسبة إلى مركز انحناء المسار، ص (\displaystyle R\ )- نصف قطر انحناء المسار عند نقطة معينة. (العلاقة بين الصيغة الأولى والثانية واضحة v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
تتضمن التعبيرات أعلاه قيمًا مطلقة. يمكن كتابتها بسهولة في شكل متجه عن طريق الضرب بـ e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- متجه الوحدة من مركز انحناء المسار إلى النقطة المحددة له:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R)) ) أ ن = ω 2 ر . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)
تنطبق هذه الصيغ بالتساوي على حالة الحركة بسرعة ثابتة (بالقيمة المطلقة) وعلى حالة عشوائية. ومع ذلك، في الحالة الثانية، يجب على المرء أن يضع في اعتباره أن التسارع الجاذب المركزي ليس متجه التسارع الكامل، بل فقط مكونه المتعامد مع المسار (أو، وهو نفس الشيء، عمودي على متجه السرعة اللحظية)؛ يتضمن متجه التسارع الكامل أيضًا مكونًا عرضيًا ( العجله عرضية) أ τ = د ت / د ر (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ )، في الاتجاه الذي يتطابق مع مماس المسار (أو، وهو نفس الشيء، مع السرعة اللحظية).

الدافع والاستنتاج

حقيقة أن تحلل متجه التسارع إلى مكونات - واحد على طول مماس مسار المتجه (تسارع عرضي) والآخر متعامد معه (تسارع عادي) - يمكن أن يكون مناسبًا ومفيدًا هو أمر واضح تمامًا في حد ذاته. عند التحرك بسرعة معاملية ثابتة، تصبح المركبة العرضية مساوية للصفر، أي أنها تبقى في هذه الحالة المهمة بالتحديد فقطمكون عادي. بالإضافة إلى ذلك، كما هو موضح أدناه، كل مكون من هذه المكونات له خصائص وبنية محددة بوضوح، ويحتوي التسارع العادي على محتوى هندسي مهم وغير تافه في بنية صيغته. ناهيك عن الحالة الخاصة المهمة وهي الحركة الدائرية.

الاستنتاج الرسمي

يمكن العثور على تحليل التسارع إلى مكونات عرضية وطبيعية (الثانية منها هي التسارع المركزي أو الطبيعي) من خلال التفريق فيما يتعلق بالزمن لمتجه السرعة، الموضح في النموذج v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))من خلال ناقل وحدة الظل e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ فارك (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( ن)\ ،)
هنا نستخدم الترميز لمتجه الوحدة الطبيعي للمسار و ل (\displaystyle l\ )- لطول المسار الحالي ( ل = ل (ر) (\displaystyle l=l(t)\ )); يستخدم الانتقال الأخير أيضًا ما هو واضح
د ل / د t = الخامس (\displaystyle dl/dt=v\ )
ومن الاعتبارات الهندسية،
د ه τ د ل = ه ن ر . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )
التسارع الطبيعي (الجاذب المركزي). علاوة على ذلك، فإن معناها، ومعنى الأشياء المتضمنة فيها، وكذلك إثبات كونها متعامدة بالفعل مع المتجه المماس (أي ذلك، ه ن (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- حقًا متجه عادي) - سوف ينشأ من اعتبارات هندسية (ومع ذلك، فإن حقيقة أن مشتقة أي متجه بطول ثابت بالنسبة للوقت متعامد مع هذا المتجه نفسه هي حقيقة بسيطة إلى حد ما؛ في هذه الحالة نطبق هذا البيان على d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

ملحوظات

ومن السهل أن نلاحظ أن القيمة المطلقة للتسارع العرضي تعتمد فقط على التسارع الأرضي، الموافق لقيمته المطلقة، على عكس القيمة المطلقة للتسارع العادي، الذي لا يعتمد على التسارع الأرضي، بل يعتمد على التسارع الأرضي. السرعة الأرضية.
يمكن استخدام الطرق المقدمة هنا، أو الاختلافات فيها، لتقديم مفاهيم مثل انحناء المنحنى ونصف قطر انحناء المنحنى (حيث أنه في الحالة التي يكون فيها المنحنى دائرة، ص (\displaystyle R)يتزامن مع نصف قطر هذه الدائرة؛ كما أنه ليس من الصعب جدًا إظهار أن الدائرة موجودة في المستوى e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),\,e_(n))مع المركز في الاتجاه ه ن (\displaystyle e_(n)\ )من نقطة معينة على مسافة ص (\displaystyle R)منه - سيتزامن مع المنحنى المحدد - المسار - حتى الدرجة الثانية من الصغر في المسافة إلى النقطة المحددة).

قصة

أول من حصل على الصيغ الصحيحة لتسارع الجاذبية (أو قوة الطرد المركزي) كان، على ما يبدو، هويجنز. منذ ذلك الوقت تقريبًا، أصبح النظر في تسارع الجاذبية جزءًا من التقنية المعتادة لحل المشكلات الميكانيكية، وما إلى ذلك.
وفي وقت لاحق إلى حد ما، لعبت هذه الصيغ دورا هاما في اكتشاف قانون الجاذبية العامة (تم استخدام صيغة التسارع المركزي للحصول على قانون اعتماد قوة الجاذبية على المسافة إلى مصدر الجاذبية، استنادا إلى قانون كبلر الثالث المستمدة من الملاحظات).
بحلول القرن التاسع عشر، أصبح النظر في تسارع الجاذبية أمرًا روتينيًا تمامًا لكل من العلوم البحتة والتطبيقات الهندسية.

تتميز الحركة الدائرية المنتظمة بحركة الجسم على طول الدائرة. في هذه الحالة، يتغير اتجاه السرعة فقط، ويظل حجمها ثابتًا.

بشكل عام، يتحرك الجسم في مسار منحني، ومن الصعب وصفه. لتبسيط وصف الحركة المنحنية، تم تقسيمها إلى أنواع أبسط من الحركة. على وجه الخصوص، أحد هذه الأنواع هو الحركة المنتظمة في دائرة. يمكن تقسيم أي مسار منحني للحركة إلى أقسام صغيرة الحجم بدرجة كافية، حيث يتحرك الجسم تقريبًا على طول القوس الذي يعد جزءًا من الدائرة.

عندما يتحرك الجسم في دائرة، يتم توجيه السرعة الخطية بشكل عرضي. وبالتالي، حتى لو تحرك الجسم على طول قوس بسرعة مطلقة ثابتة، فإن اتجاه الحركة عند كل نقطة سيكون مختلفًا. وبالتالي فإن أي حركة في الدائرة هي حركة ذات تسارع.

تخيل دائرة تتحرك فيها نقطة مادية. في لحظة الصفر من الزمن، تكون في الموضع A. وبعد فترة زمنية معينة، تنتهي عند النقطة B. إذا رسمنا متجهي نصف قطر من مركز الدائرة إلى النقطة A والنقطة B، فستكون هناك زاوية معينة يحصل بينهما. دعونا نسميها زاوية فاي. إذا دارت نقطة خلال فترات زمنية متساوية بنفس الزاوية فاي، فإن هذه الحركة تسمى موحدة، وتسمى السرعة الزاوي.

الشكل 1 - السرعة الزاوية.

يتم قياس السرعة الزاوية بالثورات في الثانية. ثورة واحدة في الثانية هي عندما تمر نقطة على طول الدائرة بأكملها وتعود إلى وضعها الأصلي، وتستغرق ثانية واحدة. ويسمى هذا الدوران فترة التداول. ويسمى مقلوب فترة الدوران تردد الدوران. أي كم عدد الثورات التي تمكنت النقطة من القيام بها خلال ثانية واحدة. يتم قياس الزاوية المتكونة من متجهي نصف القطر بالراديان. الراديان هو الزاوية بين متجهين نصف قطرهما يقطعان قوسًا بطول نصف القطر على سطح الدائرة.

يمكن أيضًا قياس سرعة نقطة تتحرك حول دائرة بالراديان في الثانية. في هذه الحالة، تسمى حركة نقطة ما بمقدار راديان واحد في الثانية بالسرعة. وتسمى هذه السرعة السرعة الزاوية. بمعنى، ما عدد زوايا الوحدة التي يتمكن متجه نصف القطر من تدويرها خلال ثانية واحدة؟ مع الحركة المنتظمة في الدائرة، تكون السرعة الزاوية ثابتة.

لتحديد تسارع الحركة في دائرة، نرسم في الشكل متجهات السرعة للنقطتين A وB. الزاوية بين هذه المتجهات تساوي الزاوية بين متجهي نصف القطر. حيث أن التسارع هو الفرق بين السرعات الملتقطة خلال فترة زمنية معينة مقسومًا على هذه الفترة. بعد ذلك، باستخدام الترجمة المتوازية، سننقل بداية متجه السرعة عند النقطة A إلى النقطة B. وسيكون الفرق بين هذه المتجهات هو المتجه دلتا V. إذا قسمناه على الوتر الذي يربط النقطتين A و B، بشرط أن يكون إذا كانت المسافة بين النقاط صغيرة إلى ما لا نهاية، فسنحصل على متجه التسارع الموجه نحو مركز الدائرة. وهو ما يسمى أيضًا بالتسارع المركزي.

وبما أن السرعة الخطية تغير اتجاهها بشكل موحد، فلا يمكن أن تسمى الحركة الدائرية موحدة، بل يتم تسارعها بشكل منتظم.

السرعة الزاوية

دعونا نختار نقطة على الدائرة 1 . دعونا نبني دائرة نصف قطرها. وفي وحدة زمنية، ستنتقل النقطة إلى نقطة 2 . في هذه الحالة، يصف نصف القطر الزاوية. السرعة الزاوية تساوي عدديًا زاوية دوران نصف القطر لكل وحدة زمنية.

الفترة والتردد

فترة التناوب ت- هذا هو الوقت الذي يقوم فيه الجسم بثورة واحدة.

تردد الدوران هو عدد الثورات في الثانية الواحدة.

التردد والفترة مترابطان بالعلاقة

العلاقة مع السرعة الزاوية

السرعة الخطية

تتحرك كل نقطة على الدائرة بسرعة معينة. وتسمى هذه السرعة الخطية. يتزامن اتجاه ناقل السرعة الخطية دائمًا مع مماس الدائرة.على سبيل المثال، يتحرك الشرر من أسفل آلة الطحن، ويكرر اتجاه السرعة اللحظية.

لنأخذ بعين الاعتبار نقطة على دائرة تقوم بدورة واحدة، الزمن المستغرق هو الفترة ت. المسار الذي تنتقل إليه النقطة هو المحيط.

تسارع الجاذبية

عند التحرك في دائرة، يكون متجه التسارع دائمًا متعامدًا مع متجه السرعة، وموجهًا نحو مركز الدائرة.

باستخدام الصيغ السابقة، يمكننا استخلاص العلاقات التالية

النقاط الواقعة على نفس الخط المستقيم المنبثق من مركز الدائرة (على سبيل المثال، يمكن أن تكون هذه النقاط تقع على شعاع العجلة) سيكون لها نفس السرعات الزاوية والدورة والتردد. أي أنها ستدور بنفس الطريقة، ولكن بسرعات خطية مختلفة. كلما ابتعدت النقطة عن المركز، كلما تحركت بشكل أسرع.

قانون إضافة السرعات صالح أيضًا للحركة الدورانية. إذا كانت حركة الجسم أو الإطار المرجعي غير منتظمة، فإن القانون ينطبق على السرعات اللحظية. على سبيل المثال، سرعة شخص يمشي على طول حافة الكاروسيل الدوارة تساوي مجموع المتجه للسرعة الخطية لدوران حافة الكاروسيل وسرعة الشخص.

تشارك الأرض في حركتين دورانيتين رئيسيتين: النهارية (حول محورها) والمدارية (حول الشمس). مدة دوران الأرض حول الشمس هي سنة واحدة أو 365 يوما. تدور الأرض حول محورها من الغرب إلى الشرق، ومدة هذا الدوران يوم واحد أو 24 ساعة. خط العرض هو الزاوية المحصورة بين مستوى خط الاستواء والاتجاه من مركز الأرض إلى نقطة ما على سطحها.

وفقا لقانون نيوتن الثاني، فإن سبب أي تسارع هو القوة. إذا كان الجسم المتحرك يعاني من تسارع الجاذبية، فإن طبيعة القوى التي تسبب هذا التسارع قد تكون مختلفة. على سبيل المثال، إذا تحرك جسم في دائرة على حبل مربوط به، فإن القوة المؤثرة هي القوة المرنة.

إذا كان الجسم الموجود على القرص يدور مع القرص حول محوره، فإن هذه القوة هي قوة الاحتكاك. إذا توقفت القوة عن العمل، فإن الجسم سيستمر في التحرك في خط مستقيم

ضع في اعتبارك حركة نقطة على الدائرة من A إلى B. السرعة الخطية تساوي ضد أو vBعلى التوالى. التسارع هو التغير في السرعة لكل وحدة زمنية. دعونا نجد الفرق بين المتجهات.

مصدر الوظيفة: القرار 3553.-20. OGE 2016 الرياضيات، IV. ياشينكو. 36 خيارًا.

المهمة 18.يوضح الرسم البياني توزيع الأراضي حسب الفئة في مناطق الأورال وفولجا والجنوب والشرق الأقصى الفيدرالية. حدد من الرسم البياني أي منطقة لديها أصغر حصة من الأراضي الزراعية.
1) منطقة الأورال الفيدرالية
2) منطقة الفولغا الفيدرالية
3) المنطقة الفيدرالية الجنوبية
4) منطقة الشرق الأقصى الفيدرالية

حل.
يتم تلوين الأراضي الزراعية بقطاع على شكل خطوط أفقية (انظر الشكل). تحتاج إلى اختيار منطقة تكون فيها مساحة هذا القطاع ضئيلة. يوضح تحليل الشكل أن هذه هي منطقة الشرق الأقصى الفيدرالية.
إجابة: 4.
المهمة 19.الجدة لديها 20 كوبًا: 10 بها زهور حمراء والباقي باللون الأزرق. الجدة تصب الشاي في كوب تم اختياره عشوائيًا. أوجد احتمال أن يكون كوبًا به زهور زرقاء.

حل.
بما أن هناك بالضبط 20-10 = 10 أكواب بها زهور زرقاء، ويوجد 20 كوبًا إجمالاً، فإن احتمال اختيار كوب به زهور زرقاء عشوائيًا سيكون مساويًا لـ
.
إجابة: 0,5.
المهمة 20.يمكن حساب التسارع المركزي عند التحرك في دائرة (بالمتر/الثانية2) باستخدام الصيغة a=w^2*R حيث w هي السرعة الزاوية (في s-1)، وR هو نصف قطر الدائرة. باستخدام هذه الصيغة، أوجد نصف القطر R (بالأمتار) إذا كانت السرعة الزاوية 7.5 s-1 وكان التسارع المركزي 337.5 m/s2.

حل.
من صيغة التعبير عن نصف قطر الدائرة نحصل على:
وحسابها عن طريق استبدال البيانات في الصيغة التي لدينا.

في الطبيعة، تحدث حركة الجسم غالبًا على طول خطوط منحنية. يمكن تمثيل أي حركة منحنية الأضلاع تقريبًا كسلسلة من الحركات على طول أقواس دائرية. بشكل عام، عند التحرك في دائرة، تتغير سرعة الجسم في الحجم،هكذا و تجاه.
حركة موحدة حول دائرة
تسمى الحركة الدائرية حركة منتظمة إذا ظلت السرعة ثابتة.

ووفقا لقانون نيوتن الثالث، فإن كل فعل يسبب رد فعل مساوي له في المقدار ومعاكس له في الاتجاه. إن القوة الجاذبة المركزية التي يعمل بها الاتصال على الجسم يتم مواجهتها بواسطة قوة مساوية لها في الحجم ومعاكسة الاتجاه والتي يعمل بها الجسم على الاتصال. هذه القوة F 6 مُسَمًّى نابذة،لأنه موجه شعاعيا من مركز الدائرة. قوة الطرد المركزي تساوي قوة الجذب المركزي:
أمثلة
خذ بعين الاعتبار الحالة التي يقوم فيها الرياضي بتدوير جسم مربوط بنهاية خيط حول رأسه. يشعر الرياضي بقوة مطبقة على ذراعه وتسحبها إلى الخارج. لتثبيت الجسم على الدائرة، يقوم الرياضي (باستخدام خيط) بسحبه إلى الداخل. لذلك، وفقًا لقانون نيوتن الثالث، يؤثر الجسم (مرة أخرى من خلال الخيط) على اليد بقوة مساوية ومعاكسة، وهذه هي القوة التي تشعر بها يد الرياضي (الشكل 3.23). القوة المؤثرة على الجسم هي التوتر الداخلي للخيط.
مثال آخر: يتم تشغيل المعدات الرياضية "المطرقة" بواسطة كابل يحمله الرياضي (الشكل 3.24).
لنتذكر أن قوة الطرد المركزي لا تؤثر على جسم دوار، بل على خيط. إذا تصرفت قوة الطرد المركزي على الجسمثم إذا انقطع الخيط، فسوف يطير بشكل قطري بعيدًا عن المركز، كما هو موضح في الشكل 3.25، أ. ومع ذلك، في الواقع، عندما ينقطع الخيط، يبدأ الجسم في التحرك بشكل عرضي (الشكل 3.25، ب) في اتجاه السرعة التي كان عليها في لحظة انقطاع الخيط.

تستخدم قوى الطرد المركزي على نطاق واسع.
جهاز الطرد المركزي هو جهاز مصمم لتدريب واختبار الطيارين والرياضيين ورواد الفضاء. يتيح نصف القطر الكبير (الذي يصل إلى 15 مترًا) وقدرة المحرك العالية (عدة ميغاوات) إمكانية إنشاء تسارع جاذب مركزي يصل إلى 400 متر/ثانية 2 . وتضغط القوة الطاردة المركزية على الأجسام بقوة تفوق قوة الجاذبية الطبيعية على الأرض بأكثر من 40 مرة. يمكن لأي شخص أن يتحمل الحمل الزائد المؤقت من 20 إلى 30 مرة إذا كان متعامدًا مع اتجاه قوة الطرد المركزي، و 6 مرات إذا كان مستلقيًا في اتجاه هذه القوة.
3.8. عناصر وصف حركة الإنسان
الحركات البشرية معقدة ويصعب وصفها. ومع ذلك، في عدد من الحالات، من الممكن تحديد النقاط المهمة التي تميز نوعًا واحدًا من الحركة عن الآخر. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، الفرق بين الجري والمشي.
تظهر عناصر حركات الخطوات عند المشي في الشكل. 3.26. في حركات المشي، تتناوب كل ساق بين الدعم والحمل. وتشمل فترة الدعم الإهلاك (كبح حركة الجسم نحو المسند) والدفع، بينما تشمل فترة النقل التسارع والكبح.
تظهر في الشكل الحركات المتتابعة لجسم الإنسان ورجليه عند المشي. 3.27.
يوفر الخطان A وB صورة عالية الجودة لحركة القدمين أثناء المشي. يشير السطر العلوي "أ" إلى ساق واحدة، والخط السفلي "ب" إلى الساق الأخرى. المقاطع المستقيمة تتوافق مع لحظات دعم القدم على الأرض، والمقاطع المقوسة تتوافق مع لحظات حركة القدمين. خلال فترة من الزمن (أ) تستقر كلا القدمين على الأرض؛ ثم (ب)- الساق "أ" في الهواء، وتستمر الساق "ب" في الميل؛ وثم (مع)- مرة أخرى تستقر كلتا الساقين على الأرض. كلما مشيت بشكل أسرع، أصبحت الفواصل الزمنية أقصر. (أو مع).
في التين. ويبين الشكل 3.28 الحركات المتتابعة لجسم الإنسان عند الجري وتمثيل رسومي لحركات القدمين. كما ترون في الشكل، عند التشغيل هناك فترات زمنية { ب, د, /)، عندما تكون كلتا الساقين في الهواء، ولا توجد فواصل بين الساقين ملامسة للأرض في نفس الوقت. هذا هو الفرق بين الجري والمشي.
نوع آخر شائع من الحركة هو دفع الدعم أثناء القفزات المختلفة. يتم تنفيذ الدفع عن طريق تقويم الساق الدافعة وحركات التأرجح للذراعين والجذع. تتمثل مهمة التنافر في ضمان القيمة القصوى لمتجه السرعة الأولية لمركز الكتلة العام للرياضي واتجاهه الأمثل. في التين. يتم عرض 3.29 مراحل

\ الفصل 4
ديناميكيات القيادةنقطة مادية
ديناميات هو فرع من فروع الميكانيكا يدرس حركة الجسم مع الأخذ بعين الاعتبار تفاعله مع الأجسام الأخرى.
في قسم "الحركيات" تم تقديم المفاهيم سرعةو التسريعنقطة مادية. بالنسبة للهيئات الحقيقية، تحتاج هذه المفاهيم إلى توضيح، لأنها مختلفة نقاط الجسم الحقيقيةقد تختلف خصائص الحركة هذه. على سبيل المثال، كرة القدم المنحنية لا تتحرك للأمام فحسب، بل تدور أيضًا. تتحرك نقاط الجسم الدوار بسرعات مختلفة. ولهذا السبب، يتم أولاً النظر في ديناميكيات النقطة المادية، ومن ثم تمتد النتائج التي تم الحصول عليها إلى الأجسام الحقيقية.