خصائص رباعي الاسطح وأنواعه وصيغه. الأشكال الهندسية

تسمح نظرية مينيلوس بتعميم مجسم مثير للاهتمام.

نظرية مينيلوس لرباعي الاسطح.

إذا كانت الطائرة μ يعبر الضلوع أب، قبل الميلاد، مؤتمر نزع السلاحو د.أ.رباعي الاسطح ABCDفي النقاط أ1، ب1، ج1، د1، الذي - التي (2).

وعلى العكس من ذلك، إذا كان لأربع نقاط أ1، ب1، ج1، د1، ملقاة على التوالي على الضلوع أب، قبل الميلاد، مؤتمر نزع السلاح، دارباعي السطوح، تتحقق المساواة (2)، فإن هذه النقاط الأربع تقع في نفس المستوى.

دليل.

يترك ح 1، ح 2، ح 3، ح 4- المسافات من النقاط أ، ب، ج، دوفقا للطائرة μ ، ثم ؛ ; ; .

يبقى لمضاعفة النسب الناتجة.

لإثبات النظرية العكسية، نقوم ببناء المستوى A 1، B 1، C 1. دع هذا المستوى يتقاطع مع الحافة DA عند النقطة T.

بحسب ما ثبت ، وبشرط ، وبالتالي (وبواسطة ليما) النقاط تو د 1وثبت البيان.

§2. نظرية سيفا

نظرية سيفا للمثلث.

دع النقاط أ1، ب1، ج1تقع على التوالي على الجانبين الشمس، ايه سيو فرجينيامثلث اي بي سي(انظر الصورة). من أجل القطاعات أأ 1، ب ب 1، س س 1تتقاطع عند نقطة واحدة، فمن الضروري والكافي أن تستمر العلاقة: (3) (أجزاء أأ 1، ب ب ​​1، س س 1يُطلق عليهم أحيانًا اسم cevians).

دليل.

ضرورة. السماح للقطاعات أأ 1 , ب ب 1، س س 1تتقاطع عند نقطة ما مداخل المثلث اي بي سي .

دعونا نشير بواسطة س 1، س 2، س 3مساحة المثلثات ايه ام سي، اس ام في، ايه ام في، ومن خلال ح 1، ح 2- المسافات من النقاط أو فيإلى خط مستقيم آنسة. ثم بصورة مماثلة ، . وبعد ضرب النسب الناتجة، أصبحنا مقتنعين بصحة النظرية.

كفاية. دع النقاط أ1، ب1، ج1الاستلقاء على الجانبين قبل الميلاد، سا، كما المثلث، والعلاقة (3) راضية، م- نقطة تقاطع القطاعات أأ 1و ب 1، والقطعة سميعبر الجانب أ.بعند هذه النقطة س.ثم على ما ثبت سابقاً ، . يشير Lemma مرة أخرى إلى أن النقاط متطابقة س=ج 1. وقد ثبت الكفاية.

دعونا ننتقل الآن إلى التعميم المكاني لنظرية سيفا.

نظرية سيفا لرباعي الاسطح.

يترك م- نقطة داخل رباعي الاسطح ABCD,أ أ1، ب1، ج1، د1- نقاط تقاطع الطائرات مصلحة الارصاد الجوية , أيه إم دي، أمبو SMVمع الأضلاع أب، ب ج ، قرص مضغوطو د.أ.على التوالى. ثم (4). العكس: إذا كان للنقاط ثم الطائرات اي بي سي , بي سي دي 1و داب 1تمر عبر نقطة واحدة.

دليل.

الحاجة سهلة الحصول عليها إذا لاحظت أن النقاط أ1، ب1، ج1، د1تقع في نفس المستوى (هذا المستوى يمر عبر الخطوط المستقيمة أ1 ج1و ب1 د1، متقاطعة عند نقطة م)، وتطبيق نظرية مينيلوس. تم إثبات النظرية العكسية بنفس طريقة عكس نظرية مينيلوس في الفضاء: تحتاج إلى رسم مستوى عبر النقاط أ1، ب1، ج1وأثبت باستخدام الليما أن هذا المستوى يتقاطع مع الحافة د.أ.عند هذه النقطة د 1 .

§3. خصائص الوسيطات وbimedis من رباعي الاسطح

متوسط ​​رباعي السطوح هو الجزء الذي يربط قمة رباعي السطوح بمركز ثقل الوجه المقابل (نقطة تقاطع المتوسطات).

النظرية (تطبيق نظرية مينيلوس).

تتقاطع متوسطات رباعي الاسطح عند نقطة واحدة. تقسم هذه النقطة كل وسيط بنسبة 3:1، بدءًا من الرأس.

دليل.

لنأخذ متوسطين: د 1 و نسخة 1 رباعي الاسطح ABCD. سوف تتقاطع هذه المتوسطات عند هذه النقطة ف . سي.إل.- وسط الوجه اي بي سي , د.- وسط الوجه عبد، أ د 1 , ج 1 – مراكز ثقل الوجه اي بي سيو عبد. وفقا لنظرية مينيلوس: و . دعونا نكتب نظرية المثلث دائرة الأراضي والمساحة 1 : ; => والدليل مشابه لأي زوج آخر من المتوسطات.

نظرية (تطبيق نظرية سيفا).

أولا، دعونا نحدد بعض عناصر رباعي الاسطح. يُطلق على الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف لحواف التقاطع في رباعي السطوح اسم bimedian. الارتفاعات الثنائية (بالقياس) هي الخطوط المتعامدة الشائعة لحواف التقاطع.

نظرية.

تتقاطع متوسطات رباعي السطوح في نفس النقطة التي تتقاطع فيها متوسطات رباعي السطوح.

دليل.

في مثلث أقل البلدان نمواشرائح العاصمةو LFتتقاطع عند نقطة ما ك. وفقًا لنظرية سيفا لهذا المثلث: ، أي. ، CK=KD، LK – ثنائي المتوسط.

ملاحظة 1.

فلوريدا = FK. نظرية مينيلوس للمثلث DLK : , ، من هنا LF = FK .

ملاحظة 2.

نقطة فهو مركز ثقل رباعي الاسطح. , ، وسائل .

1.2 أنواع مختلفة من رباعيات الاسطح

§1. رباعيات السطوح فيثاغورس

يسمى المثلث فيثاغورس إذا كان له زاوية قائمة واحدة، وكانت نسبة أي جانب عقلانية (أي باستخدام التشابه، يمكنك الحصول على مثلث قائم بأطوال أضلاع متكاملة).

وقياسًا على ذلك، يُسمى رباعي السطوح فيثاغورس إذا كانت زوايا مستويه عند أحد القمم صحيحة، وكانت النسبة بين أي حافتين عقلانية (منه، باستخدام التشابه، يمكن الحصول على رباعي وجوه بزوايا مستوية قائمة في أحد القمم). القمم وأطوال الحواف المتكاملة).

دعونا نحاول استخلاص "معادلة رباعيات السطوح فيثاغورس"، أي. معادلة ذات ثلاثة مجاهيل ξ، η، ζ بحيث أن أي رباعي وجوه فيثاغوري يعطي حلاً عقلانيًا لهذه المعادلة، والعكس صحيح، أي حل عقلاني للمعادلة يعطي رباعي وجوه فيثاغورس.

أولاً سنقدم طريقة لوصف جميع مثلثات فيثاغورس.

الصورة تظهر مثلث أواف- مستطيلة، يُشار إلى طول أرجلها بالـ أو ب، وداين الوتر قد انتهى ص. سوف نتفق على تسمية الرقم (1) بمعلمة المثلث القائم الزاوية أواف(أو بتعبير أدق، المعلمة "نسبة إلى الساق أ"). استخدام العلاقة ص 2 = أ 2 + ب 2، لدينا:

من هذه المعادلات نحصل مباشرة على صيغ تعبر عن نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية من خلال معلمته:

و (2).

العبارة التالية تتبع مباشرة الصيغتين (1) و (2): لكي يكون المثلث القائم فيثاغورس، من الضروري والكافي أن يكون الرقم ξ عقلانيًا. في الواقع، إذا كان المثلث فيثاغورس، فمن (1) يترتب على ذلك أن ξ عقلاني. على العكس من ذلك، إذا كانت ξ عقلانية، فوفقًا لـ (2) تكون علاقات الأضلاع عقلانية، أي مثلث فيثاغورس.

دعها الآن أوابك- رباعي السطوح بزوايا قمة مسطحة عنمستقيم. يُشار إلى أطوال الحواف المنبثقة من قمة الرأس O بـ أ، ب، ج، وأطوال الحواف المتبقية من خلال ص، ف، ص .

النظر في معلمات ثلاثة مثلثات قائمة أوف، أوفس، أوسا:

بعد ذلك، باستخدام الصيغة (2)، يمكننا التعبير عن نسب أضلاع هذه المثلثات القائمة من خلال معلماتها:

ويترتب على ذلك مباشرة من (4) أن المعلمات ξ, η, ζ ، إرضاء العلاقة (6). هذه هي المعادلة العامة لرباعي الاسطح فيثاغورس.

العبارة التالية تتبع مباشرة الصيغ (3) - (5): من أجل رباعي الاسطح أوابكمع وجود زوايا مستوية قائمة في قمة الرأس O تكون فيثاغورس، فمن الضروري والكافي أن تكون المعلمات ξ, η, ζ (المعادلة المرضية (6)) كانت عقلانية.

مواصلة تشبيه مثلث فيثاغورس مع رباعي السطوح فيثاغورس، سنحاول صياغة وإثبات تعميم مكاني لنظرية فيثاغورس لرباعي السطوح المستطيل، والذي، من الواضح، سيكون صحيحًا بالنسبة لرباعي السطوح فيثاغورس. سوف تساعدنا lemma التالية في هذا.

ليما 1.

إذا كانت مساحة المضلع س، فإن مساحة إسقاطها على المستوى π تساوي أين φ - الزاوية بين المستوى π ومستوى المضلع.

دليل.

إن عبارة lemma واضحة بالنسبة للمثلث الذي يكون أحد أضلاعه موازيًا لخط تقاطع المستوى π مع مستوى المضلع. وفي الحقيقة فإن طول هذا الضلع لا يتغير أثناء الإسقاط، ولكن طول الارتفاع الذي ينزل عليه أثناء الإسقاط يتغير في كوسφمرة واحدة.

دعونا نثبت الآن أن أي متعدد السطوح يمكن تقسيمه إلى مثلثات من النوع المشار إليه.

للقيام بذلك، دعونا نرسم خطوطًا مستقيمة عبر جميع رؤوس المضلع، بالتوازي مع خطوط تقاطع المستويات، وسيتم تقطيع المضلع إلى مثلثات وشبه منحرف. يبقى قطع كل شبه منحرف على طول أي من أقطاره.

النظرية 1(نظرية فيثاغورس المكانية).

في رباعي الاسطح مستطيل ABCD، مع زوايا مسطحة في القمة دفإن مجموع المساحات المربعة لأوجهه الثلاثة المستطيلة يساوي مساحة مربع الوجه اي بي سي .

دليل.

دع α تكون الزاوية بين الطائرات اي بي سيو دي بي سي، د"- إسقاط النقطة دالى الطائرة اي بي سي. ثم S ΔDBC = СosαS ΔABCو S ΔD"BC = ج оsαS ΔDBC(بواسطة ليما 1)، لذلك ج оsα = . س Δ د " قبل الميلاد = .

ويمكن الحصول على مساواة مماثلة للمثلثات ربتو د"تيار متردد. جمعها مع مراعاة مجموع مساحات المثلثات د"الشمس , د"تيار مترددو ربتيساوي مساحة المثلث اي بي سي، نحصل على ما نحتاجه.

مهمة.

دع جميع زوايا المستوى في قمة الرأس دمستقيم؛ أ , ب , ج- طول الحواف الخارجة من الرأس دالى الطائرة اي بي سي. ثم

دليل.

وفقا لنظرية فيثاغورس لرباعي الاسطح

على الجانب الآخر

1= ) => .

§2. رباعي السطوح متعامد المركز

على عكس المثلث، الذي تتقاطع ارتفاعاته دائمًا عند نقطة واحدة - مركز تقويم العظام، ليس كل رباعي السطوح له خاصية مماثلة. يسمى رباعي السطوح الذي تتقاطع ارتفاعاته عند نقطة واحدة متعامد المركز. سنبدأ دراستنا لرباعي السطوح المتعامدة بالشروط الضرورية والكافية للمركزية المتعامدة، والتي يمكن اعتبار كل منها لتعريف رباعي السطوح المتعامد.

(1) تتقاطع ارتفاعات رباعي الأوجه عند نقطة واحدة.

(2) قواعد ارتفاعات رباعي السطوح هي مراكز تقويم الوجوه.

(3) كل ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي متعامدان.

(4) مجموع مربعي الحواف المتقابلة في الشكل الرباعي متساوي.

(5) الأجزاء التي تربط بين نقاط المنتصف للحواف المتقابلة لرباعي الأسطح متساوية.

(6) منتجات جيب التمام للزوايا ثنائية السطوح المتقابلة متساوية.

(7) مجموع مربعات مساحات الوجوه أقل بأربع مرات من مجموع مربعات منتجات الحواف المتقابلة.

دعونا نثبت بعض منهم.

برهان (3).

دع كل حافتين متقابلتين لرباعي الأسطح تكون متعامدة.

وبالتالي، فإن ارتفاعات رباعي السطوح تتقاطع في أزواج. إذا تقاطعت عدة خطوط في أزواج، فإنها تقع في نفس الطائرة أو تمر عبر نقطة واحدة. لا يمكن أن تقع ارتفاعات رباعي السطوح في نفس المستوى، وإلا فإن رؤوسه ستقع أيضًا في نفس المستوى، لذا فهي تتقاطع عند نقطة واحدة.

بشكل عام، لكي تتقاطع ارتفاعات رباعي السطوح عند نقطة واحدة، من الضروري والكافي اشتراط تعامد زوجين فقط من الحواف المتقابلة. والدليل على هذا الاقتراح يأتي مباشرة من المشكلة التالية.

المهمة 1.

نظرا لرباعي الاسطح التعسفي ABCD. اثبات ذلك .

حل.

يترك أ= , ب= , ج=. ثم , وبإضافة هذه المساواة نحصل على المطلوب.

يترك أ= ، ب= و ج=. المساواة 2 + 2 = 2 + 2 ، أي. (أ،ج)=0. وبتطبيق هذه الخوارزمية على أزواج أخرى من الحواف المتقابلة، من الواضح أننا حصلنا على العبارة المطلوبة.

وتقدم لنا إثبات الملكية (٦).

ولإثبات ذلك نستخدم النظريات التالية:

نظرية الجيب. "إن حاصل ضرب أطوال الحافتين المتقابلتين لرباعي السطوح، مقسومًا على حاصل ضرب جيب الزوايا ثنائية السطوح عند هذه الحواف، هو نفسه بالنسبة لجميع الأزواج الثلاثة من الحواف المتقابلة لرباعي السطوح."

نظرية بيرتشنايدر. "لو أو بهي أطوال حافتين متقاطعتين من رباعي السطوح، وهي زوايا ثنائية السطوح عند هذه الحواف، فإن القيمة لا تعتمد على اختيار زوج من الحواف المتقاطعة.

باستخدام نظرية الجيب لرباعي السطوح ونظرية بيرتشنايدر، نجد أن حاصل ضرب جيب التمام للزوايا ثنائية السطوح المتقابلة يكون متساويًا إذا وفقط إذا كانت مجموع مربعات الحواف المتقابلة متساوية، والتي منها صحة الخاصية (6) للزاوية المتعامدة يتبع رباعي الاسطح.

في ختام النقطة المتعلقة برباعي السطوح المتعامدة، سنحل عدة مشاكل حول هذا الموضوع.

المهمة 2.

أثبت أن العلاقة صحيحة في رباعي السطوح المتعامد أوه 2 = 4 ر 2 -3 د 2، أين عن- مركز الكرة الموصوفة، ح- نقطة تقاطع المرتفعات، ر- نصف قطر الكرة المقيدة، د - المسافة بين نقاط المنتصف للحواف المتقابلة.

حل.

يترك لو ل- وسط الضلوع أ.بو قرص مضغوطعلى التوالى. نقطة نالاستلقاء في طائرة تمر قرص مضغوطعمودي أ.ب، ونقطة عن- في طائرة عابرة لعمودي أ.ب.

هذه المستويات متناظرة بالنسبة إلى مركز كتلة رباعي السطوح - منتصف القطعة كوالالمبور. وبالنظر إلى هذه المستويات لجميع الحواف، نجد أن النقاط نو عنمتناظرة حول ممما يعني KLMO- متوازي الأضلاع. مربعات أضلاعها متساوية وبالتالي . النظر في مقطع يمر عبر نقطة مموازي أ.بو قرص مضغوطلقد حصلنا على ذلك أ ب 2 + سي دي 2 = 4 د 2 .

وهنا يمكننا أن نضيف ذلك الخط الذي تقع عليه النقاط أوه، مو ن، يسمى خط أويلر المستقيم لرباعي السطوح المتعامد.

تعليق.

جنبا إلى جنب مع خط أويلر المستقيم، يمكننا أن نلاحظ وجود مجالات أويلر لتيراهدرا متعامدة المركز، والتي سيتم مناقشتها في المشاكل التالية.

المهمة 3.

أثبت أنه بالنسبة لرباعي السطوح المتعامد للدائرة، فإن 9 نقاط من كل وجه تنتمي إلى كرة واحدة (كرة مكونة من 24 نقطة). لحل هذه المشكلة من الضروري إثبات حالة المشكلة التالية.

المهمة 4.

أثبت أن نقاط منتصف أضلاع المثلث وقواعد الارتفاعات ونقاط منتصف قطع الارتفاع من الرءوس إلى نقطة تقاطعها تقع على نفس الدائرة - الدائرة ذات الـ 9 نقاط (أويلر).

دليل.

يترك اي بي سي- هذا المثلث، ن- نقطة تقاطع مرتفعاتها، أ1، ب1، ج1- نقاط المنتصف للقطاعات أن، فن، سن؛ أأ 2- الارتفاعات، أ 3- وسط شمس. للراحة، سنفترض ذلك اي بي سي- مثلث حاد . منذ ب 1 أ 1 ج 1 = أنتو Δب 1 أ 2 ج 1 = Δب 1 ن س 1، الذي - التي ب 1 أ 2 ج 1 = ب 1 ن س = 180 درجة - ب1 أ1 ج1، أي. نقاط أ1، ب1، أ2، ج1تقع على نفس الدائرة. ومن السهل أيضًا رؤية ذلك ب 1 أ 3 ج 1 = ب 1 ن س = 180 درجة - ب 1 أ 1 ج 1، أي. نقاط أ1، ب1، أ3، ج1تقع أيضًا على نفس الدائرة (وبالتالي على نفس الدائرة). ويترتب على ذلك أن جميع النقاط التسع المذكورة في الشرط تقع على نفس الدائرة. حالة المثلث المنفرج اي بي سييتم التعامل معها بالمثل.

لاحظ أن الدائرة المكونة من 9 نقاط متجانسة مع الدائرة المحيطة ومركزها H والمعامل (هكذا يتم ترتيب المثلثات اي بي سيو أ1 ب1 ج1). ومن ناحية أخرى، فإن الدائرة المكونة من 9 نقاط متماثلة مع الدائرة المحيطة المتمركزة عند نقطة تقاطع متوسطات المثلث اي بي سيوالمعامل (هكذا يقع المثلثان ABC والمثلث ذو القمم في منتصف أضلاعه).

الآن، بعد تحديد دائرة من 9 نقاط، يمكننا الانتقال إلى إثبات شروط المشكلة 3.

دليل.

قسم رباعي السطوح المتعامد بأي مستوى يوازي الحواف المقابلة ويمر على مسافة متساوية من هذه الحواف هو مستطيل، أقطاره تساوي المسافة بين نقاط منتصف الحواف المتقابلة للرباعي السطوح (كل هذه المسافات متساويان مع بعضهما البعض، انظر الشرط الضروري والكافي للمركزية المتعامدة (5)، ومن هنا يترتب على ذلك أن نقاط المنتصف لجميع حواف رباعي السطوح المتعامدة تقع على سطح كرة، يتطابق مركزها مع مركز الثقل. من رباعي السطوح المحدد، والقطر يساوي المسافة بين نقاط المنتصف للحواف المتقابلة لرباعي السطوح، وهذا يعني أن جميع الدوائر الأربع المكونة من 9 نقاط تقع على سطح هذه الكرة.

المهمة 5.

أثبت أنه بالنسبة لرباعي السطوح المتعامد مراكز الثقل ونقاط تقاطع ارتفاعات الأوجه، وكذلك النقاط التي تقسم شرائح كل ارتفاع لرباعي السطوح من قمة الرأس إلى نقطة تقاطع الارتفاعات في نسبة 2: 1، تقع على نفس الكرة (كرة 12 نقطة).

دليل.

دع النقاط أوه، مو ن- على التوالي، مركز الكرة المقيدة، ومركز الثقل، والمركز المتعامد لرباعي السطوح المتعامد؛ م- منتصف المقطع هو(انظر المهمة 2). تعمل مراكز ثقل وجوه رباعي السطوح بمثابة رؤوس رباعي السطوح المتماثل، حيث يقع مركز التجانس عند النقطة موالمعامل مع نقطة التجانس هذه عنسوف تذهب إلى النقطة يا 1، الموجود في الجزء مينيسوتالذا , يا 1سيكون مركز الكرة مروراً بمراكز ثقل الوجوه.

من ناحية أخرى، فإن النقاط التي تقسم أجزاء ارتفاعات رباعي السطوح من القمم إلى المركز المتعامد بنسبة 2: 1 تكون بمثابة رؤوس رباعي السطوح متماثل مع المعطى مع مركز التجانس عند نومعامل. مع هذه التجانسية النقطة عن، كما هو واضح، سوف يذهب إلى نفس النقطة يا 1. وهكذا فإن ثماني نقاط من الاثنتي عشرة نقطة تقع على سطح الكرة التي مركزها يا 1ونصف قطرها أصغر بثلاث مرات من نصف قطر الكرة المحصورة حول رباعي الأسطح.

ولنثبت أن نقاط تقاطع ارتفاعات كل وجه تقع على سطح الكرة نفسها.

يترك أوه، نو م`- مركز الدائرة المحددة ونقطة تقاطع المرتفعات ومركز ثقل أي وجه. يا `و ن`هي توقعات النقاط عنو نإلى مستوى هذا الوجه، والقطعة م`يقسم شريحة O`N`بنسبة 1:2، عد من يا `(حقيقة مخططة معروفة). الآن أصبح من السهل التحقق (انظر الشكل) من أن هذا الإسقاط يا 1على مستوى هذا الوجه - نقطة يا 1يتزامن مع منتصف الجزء م`ن`، أي. يا 1على مسافة متساوية من م`و ن`، وهو ما كان مطلوبا.

§3. إطار رباعي السطوح

إطار رباعي السطوح هو رباعي السطوح يوجد به كرة تلامس جميع حواف رباعي السطوح الستة. ليس كل رباعي الاسطح مؤطر. على سبيل المثال، من السهل أن نفهم أنه من المستحيل بناء كرة تلامس جميع حواف رباعي السطوح متساوي السطوح إذا كان متوازي السطوح الموصوف "طويلًا".

دعونا ندرج خصائص الإطار رباعي السطوح.

(1) هناك كرة تمس جميع حواف الشكل الرباعي.

(2) مجموع أطوال الحواف المتقاطعة متساوي.

(3) مجموع زوايا ثنائي السطوح عند الحواف المتقابلة متساوي.

(4) الدوائر المنقوشة في الوجوه تتلامس في أزواج.

(5) تم وصف جميع الأشكال الرباعية الناتجة عن تطور رباعي السطوح.

(6) تتقاطع المتعامدات المرممة على الوجوه من مراكز الدوائر المنقوشة فيها عند نقطة واحدة.

دعونا نثبت العديد من خصائص الإطار المسطح.

برهان (2).

يترك عن- مركز الكرة يمس أربعة حواف في نقاط داخلية. دعونا نلاحظ الآن أنه إذا كان من هذه النقطة Xرسم الظلال XPو اكس كيوإلى كرة ذات مركز عنثم النقاط رو سمتناظرة حول مستوى يمر عبر خط مستقيم XOووسط المقطع PQ، وهو ما يعني الطائرات روهو QOXشكل مع الطائرة XPQزوايا متساوية.

لنرسم 4 مستويات تمر عبر النقطة O والحواف المدروسة لرباعي السطوح. إنهم يكسرون كل زاوية من زوايا ثنائي السطوح المعنية إلى زاويتين ثنائي السطوح. لقد تبين أعلاه أن زوايا ثنائي السطوح الناتجة المتاخمة لأحد وجهي رباعي السطوح متساوية. يشتمل كل من مجموع الزوايا ثنائية السطوح المعتبر والآخر على زاوية واحدة ناتجة لكل وجه من وجوه رباعي السطوح. وبتنفيذ تعليل مماثل لأزواج أخرى من حواف التقاطع، نحصل على صلاحية الخاصية (2).

دعونا نتذكر بعض خصائص الشكل الرباعي الموصوف:

أ) لا يكون الشكل الرباعي المستوي محددًا إلا إذا كانت مجموع أضلاعه المتقابلة متساوية؛

ب) إذا كان الشكل الرباعي المحصور مقسما قطريا إلى مثلثين فإن الدوائر المحصورة في المثلثين تتلامس

وبالنظر إلى هذه الخصائص، فمن السهل إثبات الخصائص المتبقية للإطار رباعي السطوح. الخاصية (3) لرباعي السطوح تتبع مباشرة الخاصية (ب)، والخاصية (4) من الخاصية (أ) والخاصية (1) لرباعي السطوح. العقار (5) من العقار (3). والحقيقة أن الدوائر المنقوشة في وجوه الرباعي الوجوه هي تقاطعات أوجهه مع كرة ملامسة لأطرافه، ومن ذلك يتبين أن المتعامدات المرممة في مراكز الدوائر المنقوشة في الوجوه ستتقاطع حتماً في مركزها. هذا المجال.

المهمة 1.

الكرة تلامس الحواف أب، قبل الميلاد، مؤتمر نزع السلاحو د.أ.رباعي الاسطح ABCDفي النقاط ل، م، ن، ك،وهي رؤوس المربع. إثبات أنه إذا كانت هذه الكرة تلامس الحافة تكييف، ثم يمس الحافة أيضًا دينار بحريني .

حل.

حسب الشروط KLMN- مربع. دعونا نرسم من خلال النقاط ك، ل، م، نطائرات مماسة للكرة. لأن كل هذه المستويات تميل بالتساوي على المستوى KLMNثم يتقاطعان عند نقطة واحدة س، تقع على خط مستقيم س1، أين يقع مركز الكرة، و يا 1- وسط الساحة. تتقاطع هذه الطائرات مع سطح المربع KLMNبواسطة مربع توفالو، ومنتصف أضلاعها نقاط ك، ل، م، ن. في زاوية رباعية السطوح STUVW مع قمة الرأس S، تكون جميع زوايا المستوى متساوية، والنقاط متساوية ك، ل، م، نتقع على منصفات زواياها المستوية، و SK=SL=SM=SN. لذلك،

سا = SCو SD = SBمما يعني حزب العدالة والتنمية = AL = سم = CNو ВL=BM=DN=DK. بالشرط تكييفيلمس الكرة أيضا، لذلك أ ج =AK+CN=2AK. ومنذ ذلك الحين إس.ك.- منصف الزاوية بدل الإقامة اليومي، الذي - التي DK:KA=DS:SA=DВ:AC. من المساواة التيار المتردد = 2ACويترتب على ذلك الآن أن د × = 2DK. يترك ر- منتصف المقطع د، ثم رتقع على خط مستقيم لذا. مثلثات دوكو DOPمتساوون، لأن دونك = موانئ دبيو DKO = DPO = 90 درجة.لهذا السبب أو=موافق=ر، أين رهو نصف قطر الكرة، وهو ما يعني دي.بي.ينطبق أيضا على المجال.

§4. رباعيات السطوح متساوي السطوح

رباعي السطوح متساوي السطوح هو الذي تكون فيه جميع الجوانب متساوية. لتخيل رباعي السطوح متساوي السطوح، دعونا نأخذ مثلثًا حادًا عشوائيًا مصنوعًا من الورق ونثنيه على طول الخطوط الوسطى. ثم تتقارب القمم الثلاثة عند نقطة واحدة، ويتقارب نصفا الجوانب معًا لتشكل الحواف الجانبية لرباعي السطوح.

(0) الوجوه متطابقة.

(1) الحواف المتقاطعة متساوية في أزواج.

(2) الزوايا ثلاثية السطوح متساوية.

(3) الزوايا الثنائية السطوح المتقابلة متساوية.

(4) الزاويتان المستويتان الواقعتان على حافة واحدة متساويتان.

(5) مجموع زوايا المستوى عند كل قمة هو 180 درجة.

(6) تطوير رباعي الاسطح - مثلث أو متوازي الأضلاع.

(7) الموازي الموصوف مستطيل.

(8) لرباعي الاسطح ثلاثة محاور تماثل.

(9) المتعامدات المشتركة لحواف التقاطع في أزواج

عمودي.

(10) خطوط الوسط متعامدة في أزواج.

(11) محيطات الأوجه متساوية.

(12) مساحات الوجوه متساوية.

(13) ارتفاعات رباعي الاسطح متساوية.

(14) القطع الواصلة بين القمم ومراكز ثقل الوجوه المتقابلة متساوية.

(15) أنصاف أقطار الدوائر المحيطة بالأوجه متساوية.

(16) يتطابق مركز ثقل رباعي الاسطح مع مركز الكرة المحصورة.

(17) يتطابق مركز الثقل مع مركز الكرة المنقوشة.

(18) يتطابق مركز الكرة المحصورة مع مركز الكرة المحصورة.

(19) الكرة المنقوشة تلامس الوجوه في المراكز الموصوفة عنها

حواف الدوائر.

(20) مجموع القيم الطبيعية للوحدة الخارجية (ناقلات الوحدة،

المتعامدين على الوجوه) يساوي صفرًا.

(21) مجموع زوايا ثنائي السطوح هو صفر.

تقريبًا جميع خصائص رباعي السطوح متساوي السطوح تتبع منه

التعاريف، لذلك سوف نثبت بعضا منها فقط.

البرهان (16).

لأن رباعي الاسطح ABCDمتساوي السطوح ثم بالخاصية (1) أب = مؤتمر نزع السلاح. دع هذه النقطة لشريحة أ.ب، ونقطة لنقطة المنتصف العاصمة، ومن هنا المقطع كوالالمبورنصفي رباعي الاسطح ABCD، والذي يتبعه من خصائص رباعيات السطوح الوسيطة تلك النقطة عن- منتصف المقطع كوالالمبور، هو مركز ثقل رباعي الاسطح ABCD .

وبالإضافة إلى ذلك، فإن متوسطات رباعي الأسطح تتقاطع عند مركز الثقل، وهي النقطة عن، ويتم تقسيمها على هذه النقطة بنسبة 3:1، عد من الأعلى. بعد ذلك، مع الأخذ في الاعتبار ما سبق والخاصية (14) لرباعي السطوح متساوي السطوح، نحصل على المساواة التالية للقطاعات AO=BO=CO=DO، ومنه يترتب على هذه النقطة عنهو مركز الكرة المقيدة (بحكم التعريف، محصورة حول متعدد وجوه الكرة).

خلف. يترك لو ل- وسط الضلوع أ.بو قرص مضغوطوفقا لذلك، نقطة عن- مركز المجال الموصوف لرباعي الاسطح، أي. نقطة المنتصف كوالالمبور. لأن عنهو مركز الكرة المحصورة في رباعي الاسطح، ثم المثلثات AOBو سمك القد.- متساوي الساقين مع جوانب متساوية ومتوسطات متساوية نعمو رأ. لهذا السبب ΔOB =ΔCOD. مما يعني أب = مؤتمر نزع السلاح. يتم إثبات مساواة الأزواج الأخرى ذات الحواف المتقابلة بطريقة مماثلة، والتي من خلالها، من خلال الخاصية (1) لرباعي السطوح متساوي السطوح، ستتبع النتيجة المرجوة.

البرهان (17).

النظر في منصف زاوية ثنائي السطوح عند الحافة أ.ب، فإنه سيتم تقسيم الجزء DC بالنسبة لمناطق الوجوه عبدو اي بي سي .

لأن رباعي الاسطح ABCDمتساوي السطوح ثم بالخاصية (12) S ΔABD =S ΔABD =>DL=LC، مما يعني أن المنصف ABLيحتوي على بيميديان كوالالمبور. وبتطبيق تفكير مماثل على الزوايا ثنائية السطوح المتبقية، ومع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن منصفات رباعي السطوح تتقاطع عند نقطة واحدة، وهي مركز الكرة المنقوشة، نحصل على أن هذه النقطة ستكون حتما مركز ثقل هذا المتساوي السطوح رباعي الاسطح.

خلف. ومن حقيقة تطابق مركز الثقل مع مركز الكرة المحيطية، نحصل على ما يلي: DL=LC=>SABD=SADC. وبإثبات أن جميع الوجوه متساوية في الحجم وبتطبيق الخاصية (12) لرباعي السطوح المتساوي السطوح، نحصل على ما نبحث عنه.

الآن دعونا نثبت الملكية (20). للقيام بذلك، تحتاج أولا إلى إثبات إحدى خصائص رباعي السطوح التعسفي.

الكتاب المدرسي نظرية رباعي الاسطح

ليما 1.

إذا كانت أطوال المتجهات المتعامدة مع أوجه رباعي السطوح متساوية عدديًا مع مساحات الوجوه المقابلة لها، فإن مجموع هذه المتجهات يساوي صفرًا.

دليل.

يترك X- نقطة داخل ومتعدد السطوح، ح ط (ط = 1،2،3،4)- المسافة منه إلى الطائرة أنا-الحافة.

دعونا نقطع المجسم متعدد السطوح إلى أهرامات ذات قمة Xوقواعدها حوافها. حجم رباعي الاسطح Vيساوي مجموع أحجام هذه الأهرامات، أي. 3 V=∑h i S i، أين س طمربع أنا-الحافة. دعونا كذلك ن طهو متجه الوحدة للخط الطبيعي الخارجي للوجه i، وM i هي نقطة عشوائية لهذا الوجه. ثم h i =(ХM i، S i n i)، لهذا السبب 3V=∑h i S i =∑(ХM i, S i n i)=(ХО, S i n i)+(ОM i, S i n i)=(ХО, ∑S i n i)+3V، أين عنهي نقطة ثابتة من رباعي الاسطح، وبالتالي، ∑S i n i =0 .

ومن الواضح أيضًا أن الخاصية (20) لرباعي السطوح متساوي السطوح هي حالة خاصة من الليما المذكورة أعلاه، حيث S 1 =S 2 =S 3 =S 4 =>ن 1 =ن 2 =ن 3 =ن 4وبما أن مساحات الوجوه لا تساوي الصفر فإننا نحصل على المساواة الصحيحة ن 1 +ن 2 +ن 3 +ن 4 =0 .

وفي ختام قصة رباعي السطوح متساوي السطوح، نطرح عدة مشاكل حول هذا الموضوع.

المهمة 1.

خط مستقيم يمر عبر مركز كتلة رباعي السطوح ومركز الكرة المحيط به يتقاطع مع حوافه أ.بو قرص مضغوط. اثبات ذلك التيار المتردد = دينار بحرينيو م = قبل الميلاد .

حل.

يقع مركز كتلة رباعي السطوح على الخط المستقيم الذي يربط بين منتصف الحواف أ.بو قرص مضغوط .

وبالتالي فإن مركز الكرة المحددة لرباعي الأسطح يقع على هذا الخط، مما يعني أن الخط المشار إليه متعامد مع الحواف أ.بو قرص مضغوط. يترك ج`و د`- إسقاطات النقاط جو دإلى طائرة تمر عبر خط أ.بموازي قرص مضغوط. لأن ايه سي بي دي- متوازي الأضلاع (بالبناء) إذن التيار المتردد = دينار بحرينيو م = قبل الميلاد .

المهمة 2.

يترك ح- ارتفاع رباعي السطوح متساوي السطوح، ح 1و ح 2- الأجزاء التي يقسم إليها أحد ارتفاعات الوجه بنقطة تقاطع ارتفاعات هذا الوجه. اثبات ذلك ح 2 = 4 س 1 ح 2; كما أثبت أن قاعدة ارتفاع رباعي الأوجه ونقطة تقاطع ارتفاعي الوجه الذي ينزل عليه هذا الارتفاع متماثلان بالنسبة إلى مركز الدائرة المحيطة بهذا الوجه.

دليل.

يترك ABCD- هذا رباعي الاسطح، د.- ارتفاعه، دا 1، دي بي 1، دي سي 1- ارتفاعات الوجوه المتساقطة من الرأس دإلى الجانبين قبل الميلاد، سا وAB .

دعونا نقطع سطح رباعي السطوح على طول الحواف دا، ديسيبل، العاصمة، ودعنا نقوم بالمسح. من الواضح أن نهي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث د 1 د 2 د 3. يترك ف- نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث اي بي سي، ايه كيه- ارتفاع هذا المثلث، АF=ح 1 , FK=ح 2. ثم د 1 ح=2س 1 , د 1 أ 1 = ح 1 -ح 2 .

لذلك، منذ ذلك الحين ح- ارتفاع رباعي الاسطح لدينا، ح 2 = د 2 = د 2 - غ 1 2 = ( ح 1+ ح 2) 2 - ( ح 1 - ح 2) 2 = 4 س 1 ح 2.دعها الآن م- مركز ثقل المثلث اي بي سي(ويعرف أيضًا باسم مركز ثقل المثلث د 1 د 2 د 3), عن- مركز الدائرة الموصوفة حولها. ومن المعروف أن ف، مو عنتقع على نفس الخط المستقيم (خط أويلر المستقيم)، و م- بين فو عن , FM =2MO، ومن ناحية أخرى، مثلث د 1 د 2 د 3متماثل للمثلث اي بي سيتتمركز في موالمعامل (-2) يعني م = 2FM. ويترتب على ذلك أن أوه = فو .

المهمة 3.

أثبت أنه في رباعي السطوح متساوي السطوح، تقع قواعد الارتفاعات ومنتصف الارتفاعات ونقاط تقاطع ارتفاعات الوجوه على سطح كرة واحدة (كرة مكونة من 12 نقطة).

دليل.

في حل المشكلة رقم 2، أثبتنا أن مركز الكرة المحصورة حول رباعي الأسطح يسقط على كل وجه في منتصف القطعة، التي تكون نهاياتها هي قاعدة الارتفاع المنخفضة لهذا الوجه ونقطة تقاطع الارتفاعات من هذا الوجه. وبما أن المسافة من مركز الكرة الموصوفة حول رباعي الأسطح إلى الوجه تساوي أين حهو ارتفاع رباعي السطوح، يتم إزالة مركز الكرة المحصورة من هذه النقاط على مسافة حيث أ- المسافة بين نقطة تقاطع المرتفعات ومركز الدائرة الموصوفة عن الحافة.

§5. رباعيات السطوح اللامركزية

إن الأجزاء التي تربط مراكز ثقل وجوه رباعي السطوح مع القمم المقابلة (متوسطات رباعي السطوح) تتقاطع دائمًا عند نقطة واحدة، وهذه النقطة هي مركز ثقل رباعي السطوح. إذا استبدلنا في هذه الحالة مراكز ثقل الوجوه بمراكز تقويم الوجوه، فسوف يتحول إلى تعريف جديد لرباعي السطوح المتعامد. إذا استبدلناها بمراكز الدوائر المنقوشة في الوجوه، والتي تسمى أحيانًا المراكز، فسنحصل على تعريف لفئة جديدة من رباعيات الأسطح - لا مركزية.

إن خصائص فئة رباعيات السطوح اللامركزية مثيرة للاهتمام أيضًا.

(1) تتقاطع الأجزاء التي تربط رؤوس رباعي الأسطح مع مراكز الدوائر المنقوشة على وجوه متقابلة عند نقطة واحدة.

(2) منصفات زوايا الوجهين المرسومة على الحافة المشتركة لهذه الوجوه لها قاعدة مشتركة.

(3) حاصل ضرب أطوال الحواف المتقابلة متساوي.

(4) المثلث الذي يتكون من نقاط التقاطع الثانية لثلاثة حواف تخرج من رأس واحد وأي كرة تمر عبر أطراف هذه الحواف الثلاثة يكون متساوي الأضلاع.

برهان (2).

بالخاصية (1)، إذا مدافع، BE، CF، AM- منصفات الزوايا المتناظرة في المثلثات اي بي سيو FBD، ثم الأقسام كانساسو إل ديسيكون لها نقطة مشتركة أنا(انظر الصورة). إذا كان مستقيما لا أعرفو كللا تتقاطع عند نقطة ف، ثم من الواضح كانساسو د.لا تتقاطع، وهو ما لا يمكن أن يكون (حسب تعريف رباعي السطوح اللامركزي).

برهان (3).

وبأخذ الخاصية (2) وخاصية المنصف نحصل على العلاقات التالية:

; .

§6. رباعيات السطوح المتناسبة

يُطلق على رباعيات الأسطح اسم متناسب إذا كان لديهم

(1) الارتفاعات الثنائية متساوية.

(2) إسقاط رباعي السطوح على مستوى متعامد على أي نصف متوسط ​​هو معين.

(3) وجوه المتوازي الموصوف متساوية في الحجم.

(4) 4أ 2 أ 1 2 - (ب 2 +ب 1 2 -ج 2 -ج 1 2) 2 =4ب 2 ب 1 2 - (ج 2 +ج 1 2 -أ 2 -أ 1 2) 2 =4ج 2 ج 1 2 - (أ 2 + أ 1 2 -ب 2 -ب 1 2) 2، أين أو أ 1 , بو ب 1 , معو من 1- أطوال الأضلاع المتقابلة.

ولإثبات تكافؤ التعريفين (1) - (4) يكفي أن نلاحظ أن ارتفاعات رباعي السطوح تساوي ارتفاعات متوازي الأضلاع، وهو إسقاطه المذكور في الخاصية (2)، وارتفاعات متوازي الأضلاع. متوازي السطوح الموصوف، وأن مربع مساحة متوازي السطوح يحتوي على حافة مثلاً مع،يساوي ، ويتم التعبير عن المنتج العددي من خلال حواف رباعي الأسطح وفقًا للصيغة (4).

دعونا نضيف هنا شرطين آخرين للتناسب:

(5) لكل زوج من الضلعين المتقابلين في رباعي السطوح تكون المستويتان المرسومتان من خلال أحدهما ووسط الثاني متعامدين.

(6) يمكن إدراج كرة في متوازي السطوح الموصوف لرباعي السطوح المتناسب.

§7. رباعيات السطوح العادية

إذا كانت حواف رباعي السطوح متساوية مع بعضها البعض، فإن زوايا ثلاثي السطوح وثنائي السطوح والزوايا المستوية ستكون متساوية مع بعضها البعض. في هذه الحالة، يسمى رباعي الاسطح منتظم. لاحظ أيضًا أن مثل هذا رباعي السطوح متعامد المركز، على شكل إطار، متساوي السطوح، لامركزي، ومتناسب.

ملاحظة 1.

إذا كان رباعي السطوح متساوي السطوح وينتمي إلى أحد أنواع رباعيات السطوح التالية: متعامد المركز، إطاري، لامركزي، متناسب، فسيكون منتظمًا.

ملاحظة 2.

يكون رباعي السطوح منتظمًا إذا كان ينتمي إلى أي نوعين من رباعيات السطوح مما يلي: متعامد المركز، إطار، لا مركزي، متناسب، متساوي السطوح.

خصائص رباعي الاسطح المنتظم:

وكل رأس من رؤوسه هو رأس ثلاثة مثلثات. وهذا يعني أن مجموع زوايا المستوى عند كل قمة سيكون مساوياً لـ 180 درجة

(0) يمكن إدراج المجسم الثماني في رباعي السطوح العادي، علاوة على ذلك، سيتم دمج أربعة وجوه (من أصل ثمانية) من المجسم الثماني مع أربعة وجوه من رباعي السطوح، وسيتم دمج جميع القمم الستة للمجسم الثماني مع مراكز الحواف الستة من رباعي الاسطح.

(1) يتكون رباعي السطوح المنتظم من ثماني وجوه منقوش (في المركز) وأربعة رباعيات وجوه (في القمم)، وحواف هذه الرباعيات والمجسم الثماني هي نصف حجم حواف رباعي السطوح العادي

(2) يمكن نقش رباعي السطوح المنتظم في المكعب بطريقتين، وسيتم محاذاة القمم الأربعة لرباعي السطوح مع القمم الأربعة للمكعب.

(3) يمكن إدراج رباعي السطوح العادي في المجسم العشروني، علاوة على ذلك، سيتم دمج الرؤوس الأربعة لرباعي السطوح مع الرؤوس الأربعة للمجسم العشروني.

المهمة 1.

أثبت أن الحواف المتقاطعة لرباعي الأسطح المنتظم متعامدة بشكل متبادل.

حل:

يترك د.ارتفاع رباعي السطوح المنتظم، النقطة H هي مركز رباعي السطوح المنتظم Δ اي بي سي . ثم سيكون إسقاط القطعة AD على مستوى القاعدة ABC هو القطعة ب.ح. . لأن ب.ح. تيار متردد. , ثم من خلال نظرية ثلاثة متعامدين يميل دينار بحريني تيار متردد. .

المهمة 2.

نظرا لرباعي منتظم مركبة جوية بدون طيارمع الحافة 1. أوجد المسافة بين السطور الو شهر، أين ل- وسط الضلع آنسة , عن-مركز الوجه اي بي سي.

حل:

1. المسافة بين خطين متقاطعين هي طول العمود المرسوم من أحد الخطين إلى المستوى الموازي لهذا الخط والذي يحتوي على الخط الثاني.

2. نبني الإسقاط أ.ك.شريحة الالى الطائرة اي بي سي. طائرة AKLعمودي على الطائرة اي بي سي، موازيًا للخط شهر.ويحتوي على مباشر ال. وهذا يعني أن الطول المطلوب هو طول العمودي على، انخفض من هذه النقطة يال أ.ك. .

3. دعونا نجد س Δ خا بطريقتين.

س Δ = .

على الجانب الآخر: س Δ خا =

وبالتالي ρ.

دعونا نجد على : ρ= .

المهمة 3.

كل حافة من الهرم الثلاثي بابكيساوي 1؛ دينار بحريني- ارتفاع المثلث اي بي سي. مثلث متساوي الأضلاع BDEيقع في مستوى يشكل زاوية ϕ مع الضلع تيار متردد.، والنقاط صو هالاستلقاء على جانب واحد من الطائرة اي بي سي. العثور على المسافة بين النقاط صو ه .

حل.وبما أن جميع حواف الهرم بابكمتساويان، هذا رباعي وجوه منتظم. يترك م– مركز القاعدة اي بي سي , ن- الإسقاط المتعامد للقمة همثلث متساوي الأضلاع BDEالى الطائرة اي بي سي ,ك- وسط دينار بحريني ,ف- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما هإلى الارتفاع مساءً.رباعي الاسطح بابك. لأن إ.ك. دينار بحريني، ثم من خلال نظرية ثلاثة متعامدين ن.ك. دينار بحريني، لهذا السبب إكن- الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح التي تشكلها الطائرات اي بي سيو BDE، ولأن نك || تيار متردد.، الذي - التي إكن = ϕ . التالي لدينا:

دينار بحريني = , (دكتور في الطب) = , دينار كويتي = , دينار بحريني = , مساءً. = ,

كم. = دينار كويتي - (دكتور في الطب) = - = , إ.ك. = دينار بحريني · = , إن = إ.ك. خطيئة ϕ = خطيئة ϕ ,

NK = EKcos ϕ = كوس ϕ ، مينيسوتا 2= نك 2+ كم 2 = كوس 2ϕ + ,

بي.إي. 2= إي إف 2+PF 2= مليون 2 + (م - م)2= مليون 2 + (مساء - EN)2 =

= كوس 2ϕ + + ( - خطيئة ϕ )2 = كوس 2ϕ + + - خطيئة ϕ + خطيئة 2ϕ == + + - خطيئة ϕ = - خطيئة ϕ = - خطيئة ϕ .

لذلك،

بي = = .

المهمة 4.

أوجد الزوايا الواقعة بين الارتفاعات المتقاطعة للأوجه المجاورة لرباعي الأسطح.

حل.

القضية رقم 1.

يترك ك.و مدافع- ارتفاعات الحواف اي بي سيو بي سي دي. بك، فد = α . دعونا نشير إلى طول حافة رباعي الاسطح أ. دعونا ننفذ فلوريدا || ك.، ثم α = الدوري الألماني لكرة القدم . ، كل = لك.

Δ دلف :

; ; ; .

الحالة رقم 2 (الارتفاع مختلف).

ك.و CN- ارتفاعات الحواف اي بي سيو بي سي دي. دعونا ننفذ ف || CNو فلوريدا || ك. . ; . سوف نجد ليرة لبنانية .يفعل- ارتفاع رباعي السطوح العادية، يفعل = , س- الإسقاط صالى الطائرة اي بي سي , . ,

دعونا نكتب نظرية جيب التمام ل Δ LFP :

وبما أن الزاوية بين الخطوط المستقيمة هي، بحكم التعريف، حادة

الفصل الثاني. رباعي الاسطح في دورة الرياضيات في المدرسة الثانوية

§1. الخصائص المقارنة لعرض موضوع "رباعي الاسطح" في الكتب المدرسية

في دورة الهندسة المدرسية، يتم تخصيص الكثير من الوقت لدراسة أساسيات موضوع "رباعي السطوح". لا توجد مشاكل منهجية عمليًا في تدريس هذا الموضوع، حيث يعرف الطلاب ما هو الهرم (بما في ذلك الهرم الثلاثي)، سواء من الدورات التمهيدية في السنوات السابقة لتعليم الرياضيات أو من تجربة الحياة. يرتبط رباعي السطوح المنتظم بنظيره المسطح - مثلث منتظم، وتساوي الجوانب مع تساوي الحواف أو الوجوه.

ومع ذلك، توجد مشاكل في دراسة الموضوع للطلاب، وتحاول الكتب المدرسية المختلفة حلها بطرق مختلفة (ترتيب عرض المواد النظرية، ومستوى تعقيد المشكلات، وما إلى ذلك). دعونا نعطي وصفا موجزا للكتب المدرسية الهندسة المشتركة في جانب دراسة رباعي الاسطح.

عرض موضوع "رباعي السطوح" في كتاب "الهندسة" للصفوف 10-11 Atanasyan L. S. et al.

في أساسيفي الكتاب المدرسي "الهندسة" للصفوف 10-11 من المدرسة الثانوية من تأليف L. S. Atanasyan وآخرين، يمكن العثور على معلومات حول رباعي السطوح في 7 فقرات (12، 14، 28، 29، 32، 33، 69).

يعرّف مؤلفو الكتاب المدرسي رباعي الأسطح بأنه سطح يتكون من أربعة مثلثات. من الأساس النظري للكتاب المدرسي للصف العاشر، يمكنك اكتساب المعرفة حول وجوه وحواف ورؤوس رباعي السطوح، وبناء أقسام رباعي السطوح بواسطة المستوى، وحساب مساحة السطح الإجمالي رباعي الاسطح، بما في ذلك. ومقتطعة (الفصل الثالث، § 2 "الهرم").

يتم تقديم المادة النظرية للكتاب المدرسي بشكل مضغوط وموحد من حيث الأسلوب. توجد بعض المواد النظرية في الجزء العملي من الكتاب المدرسي (يتم تقديم أدلة على بعض النظريات في المسائل). تنقسم المادة العملية للكتاب المدرسي إلى مستويين من الصعوبة (هناك ما يسمى "المهام ذات الصعوبة المتزايدة"، المميزة برمز خاص "*"). بالإضافة إلى ذلك، يوجد في نهاية الكتاب المدرسي كتاب مسائل يحتوي على مسائل شديدة التعقيد، وبعضها يتعلق برباعي الأسطح. دعونا نلقي نظرة على بعض المشاكل في الكتاب المدرسي.

حل المشكلة.

مشكلة 1 (رقم 300). في هرم ثلاثي منتظم دابكنقاط إي، ف و ص- نقاط منتصف الجانبين قبل الميلاد , أ.ب و م.. حدد نوع القسم وأوجد مساحته إذا كان ضلع قاعدة الهرم يساوي أ، الحافة الجانبية متساوية ب.

حل.

نقوم ببناء قسم به مستوى يمر عبر النقاط ه، ف، ص. لنرسم الخط الأوسط للمثلث اي بي سي , إي إف || تيار متردد. ,

إي إف || مكيف هواء،أ أ جيكمن في رر. د سي.أ.، وسائل إي إف || رر. DCA.سوف تتقاطع طائرة القطع مع الوجه DCAفي خط مستقيم ب.ك.

لأن يمر مستوى القسم عبر الخط المستقيم إي إفموازية للطائرة DCAويتقاطع مع الطائرة دي سي إيه،ثم خط التقاطع بي كيهبالتوازي مع الخط إي إف.

دعونا نبني على الحافة BDAشريحة فب،وعلى وشك مركز التجارة العالمي-شريحة إ.ك.رباعي الزوايا ايفكوهو القسم المطلوب . إي إف || ايه سي، بي كيه || إي إف || مكيف هواء، , , وسائل .

لأن بي كيه || إي إف و بي كيه = إي إف.الذي - التي EFPK-متوازي الأضلاع. هكذا، إي كيه || إب، إب-خط الوسط للمثلث بي سي دي .

الزاوية بين الخطوط المتقاطعة دي.بي.و سي.أ.يساوي 90 °. دعونا نثبت ذلك. دعونا نبني ارتفاع الهرم يفعل. نقطة يا- مركز مثلث منتظم اي بي سي. دعونا نواصل هذا الجزء ب.و.حتى يتقاطع مع الجانب تيار متردد.عند هذه النقطة م. في المثلث الأيمن اي بي سي: بي ام- الارتفاع والوسيط والمنصف، وبالتالي. لدينا ذلك، بناءً على عمودي الخط والمستوى ، ثم .

لأن , بي كيه || سي.أ.و إ.ك. || دينار بحريني، ثم EFPK- مستطيل.

.

مشكلة 2 (رقم 692).

قاعدة الهرم عبارة عن مثلث قائم الزاوية له أرجل أو ب. يميل كل من حوافه الجانبية إلى مستوى القاعدة بزاوية φ . أوجد حجم الهرم

حل:

ABCD-الهرم، الزاوية ABC-مستطيلة ، AC = ب، BC = أ،الزوايا داو، دي بي أو، دي سي أومتساوون. سوف نجد فدابك0.

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBOعلى طول الساق والزاوية الحادة مما يعني AO=OC=OB=Rدائرة محدودة حول ∆ABC.لأن . ∆ABC -مستطيلة ثم .

2) من ∆ وثيقة : ; .

3) ; ; .

عرض موضوع "رباعي السطوح" في كتاب "الهندسة" للصفوف 7-11 Pogorelova A.V.

في كتاب أساسي آخر من تأليف أ.ف. Pogorelova وغيرها من المواد النظرية بدرجة أو بأخرى فيما يتعلق بموضوع "رباعي الاسطح" واردة في الفقرات 176-180، 186، 192، 199، 200.

تحتوي الفقرة 180 "متعددات الوجوه المنتظمة" على تعريف لمفهوم "رباعي السطوح المنتظم" ("رباعي السطوح هو هرم ثلاثي تكون جميع أضلاعه متساوية")، وإثبات بعض الخواص والنظريات حول الهرم موضحة برسومات رباعي الاسطح. ومع ذلك، في هذا الكتاب المدرسي لا يوجد أي تركيز على دراسة الشكل، وبهذا المعنى يمكن تقييم محتوى المعلومات الخاص به (فيما يتعلق برباعي الأسطح) على أنه منخفض. تحتوي المادة العملية للكتاب المدرسي على عدد مقبول من المهام المتعلقة بالهرم، الذي يوجد في قاعدته مثلث (وهو في الأساس رباعي السطوح). دعونا نعطي أمثلة على حل بعض المشاكل.

حل المشكلة.

المسألة 1 (رقم 41 من فقرة "متعددات الوجوه").

قاعدة الهرم مثلث متساوي الساقين، طول قاعدته 12 سم، وطول ضلعه 10 سم، وتشكل الأوجه الجانبية زوايا ثنائية السطوح متساوية مع القاعدة، وقياس كل منها 45 درجة. أوجد ارتفاع الهرم.

حل:

دعونا نرسم عموديا لذاإلى مستوى القاعدة والمتعامدين إس كيه، إس إم.و س.ن.إلى الجانبين ΔABC.ثم، من خلال نظرية ثلاثة متعامدين نعم قبل الميلاد، أوم التيار المتردد وتشغيله أ.ب.

ثم، سكو = سمو = SNO = 45° -كزوايا خطية لزوايا ثنائية السطوح معينة. وبالتالي المثلثات القائمة سكو، سمووSNO متساويان في الساق والزاوية الحادة . لذا موافق = أوم = تشغيل،هذه هي النقطة عنهو مركز الدائرة المدرج فيها ΔABC.

دعونا نعبر عن مساحة المستطيل اي بي سي:

على الجانب الآخر , . لذا ; موافق = ص = 3 سم.منذ في المثلث الأيمن سوكالزاوية الحادة هي 45 درجة , الذي - التي Δسوكهو متساوي الساقين و لذا=موافق= 3 (سم) .

المسألة الثانية (رقم 43 من فقرة "مجلدات متعددات الوجوه").

أوجد حجم الهرم الذي قاعدته مثلث ذو زاويتين أ و ب; دائرة نصف قطرها محدودة ر.تميل الحواف الجانبية للهرم إلى مستوى قاعدته بزاوية γ.

حل.

بما أن جميع الحواف الجانبية للهرم مائلة على مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فإن ارتفاع الهرم يساوي يا 1 يايمر عبر مركز الدائرة المحددة بالقرب من القاعدة. لذا

في ΔABC.ثم وفقا لنظرية الجيب

لذا , , =

=.

مساحة المثلث :

ثم .

عرض موضوع "رباعي السطوح" في كتاب "الهندسة" للصفوف 10-11 ألكساندروفا أ.د.

دعونا نفكر في الكتاب المدرسي الذي ألفه أ.د.ألكساندروف. وغيرها "الهندسة: كتاب مدرسي لطلاب الصف الحادي عشر. مع دراسة متعمقة للرياضيات." لا توجد فقرات منفصلة مخصصة لرباعي الأسطح في هذا الكتاب المدرسي، ولكن الموضوع موجود في شكل أجزاء من فقرات أخرى.

تم ذكر رباعي الاسطح لأول مرة في §21.3. تناقش المادة الموجودة في هذا القسم نظرية تثليث متعدد السطوح؛ على سبيل المثال، يتم إجراء تثليث الهرم المحدب. يتم تفسير مفهوم "متعدد السطوح" في الكتاب المدرسي بطريقتين، التعريف الثاني للمفهوم يرتبط مباشرة برباعي السطوح: "متعدد السطوح هو الشكل الذي يمثل اتحاد عدد محدود من رباعيات السطوح...". يمكن العثور على المعرفة المتعلقة بالهرم المنتظم وبعض جوانب تماثل رباعي الأسطح في الفقرة 23.

يصف القسم 26.2 تطبيق نظرية أويلر ("على الشبكات العادية") على متعددات الوجوه المنتظمة (بما في ذلك رباعي السطوح)، ويناقش القسم 26.4 أنواع التماثلات المميزة لهذه الأشكال.

يمكنك أيضًا العثور في الكتاب المدرسي على معلومات حول خط الوسط لرباعي السطوح ومركز الكتلة (§35.5) وفئة رباعي السطوح متساوي السطوح. تم توضيح الحركات من النوع الأول والثاني في سياق حل المسائل المتعلقة برباعيات الأسطح.

من السمات المميزة للكتاب المدرسي هو طابعه العلمي العالي، والذي تمكن المؤلفون من دمجه مع لغة يسهل الوصول إليها وبنية عرض واضحة. دعونا نعطي أمثلة على حل بعض المشاكل.

حل المشكلة.

المهمة 1.

في هرم مثلث منتظم مع حافة جانبية أ، يمكننا وضع كرة تلامس جميع الوجوه وكرة تلامس جميع الحواف. أوجد جوانب قاعدتي الهرم.

حل.

دعونا نصور الهرم "الكامل" في الرسم. هذا الهرم - ارتفاع الهرم "الكامل" - هو جزء منه حتى القاعدة العليا للمقطوع. يتم تقليل المشكلة إلى مشكلة مخططية، وليس هناك حاجة لرسم أي من هذه المجالات. لأن في الهرم المقطوع يمكنك نقش كرة تلامس جميع حوافه، ثم يمكنك نقش دائرة في وجهه الجانبي. دعونا نشير إلى (لتسهيل النصف) وبالنسبة للشكل الرباعي الموصوف نحصل على ذلك منه

ويترتب على وجود كرة منقوشة أن هناك نصف دائرة تقع في شبه منحرف (أعلى الهرم "الكامل") بحيث يقع مركزها في المنتصف، وهي نفسها تلامس الجوانب الثلاثة الأخرى من شبه المنحرف.

مركز الكرة، وهي نقاط الاتصال. ثم . دعونا نعبر عن هذه الكميات من خلال و . من : . من : . من شبه منحرف: . نحصل على المعادلة:

.(2)

وبعد حل نظام المعادلتين (1) و (2) نجد أن أضلاع القاعدتين متساوية.

المشكلة 2 .

داخل رباعي الاسطح منتظم مع حافة أيتم ترتيب أربع مجالات متساوية بحيث تلامس كل كرة ثلاثة مجالات أخرى وثلاثة وجوه من رباعي الاسطح. أوجد نصف قطر هذه المجالات.

حل .

هذا رباعي السطوح - ارتفاعه - مراكز الكرات - نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المستوى. لاحظ أن مراكز المجالات المتساوية المماس للمستوى تتم إزالتها منه على مسافات متساوية، كل منها يساوي نصف قطر الكرة (يشار إليها بـ س). وهذا يعني أن الطائرات متوازية، وبالتالي .

ولكن ما هو ارتفاع رباعي السطوح المنتظم ذو الحافة؟ ما هو ارتفاع رباعي الاسطح العادي الذي حافة 2 س ; .

كل ما تبقى هو التعبير. لاحظ أن النقطة تقع داخل الزاوية الثلاثية وتبعد عن وجوهها مسافة، وتكون الزوايا المستوية للزاوية ثلاثية السطوح متساوية. ليس من الصعب الحصول على ما . نصل إلى المعادلة:

ومن أين نحصل عليه بعد التبسيط .

عرض موضوع "رباعي السطوح" في كتاب "الهندسة" للصفوف 10-11 من تأليف Smirnova I.M.

عرض موضوع "رباعي الاسطح" في كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في العلوم الإنسانية بقلم آي إم سميرنوفا. وخصصت الدروس التالية: 18، 19، 21، 22، 28-30، 35.

بعد دراسة النظرية القائلة بأن "أي متعدد وجوه محدب يمكن أن يتكون من أهرامات ذات قمة مشتركة، تشكل قواعدها سطح متعدد الوجوه"، تعتبر نظرية أويلر لبعض مثل هذه متعددات الوجوه، على وجه الخصوص، استيفاء شروط الشكل متعدد الوجوه. تعتبر النظرية أيضًا للهرم الثلاثي، والذي، في جوهره، يوجد رباعي السطوح.

يعد الكتاب المدرسي مثيرًا للاهتمام لأنه يدرس الطوبولوجيا ومتعددات الوجوه المنتظمة طوبولوجيًا (رباعي السطوح، وثماني السطوح، وعشروني الوجوه، والمكعب، والاثني عشر وجهًا)، والتي يتم تبرير وجودها باستخدام نفس نظرية أويلر.

بالإضافة إلى ذلك، يقدم الكتاب المدرسي تعريفًا لمفهوم "الهرم المنتظم"؛ تم النظر في النظريات حول وجود مجالات منقوشة ومحدودة لرباعي السطوح وبعض خصائص التناظر المتعلقة برباعي السطوح. في الدرس الأخير (35)، تم تقديم صيغة لإيجاد حجم الهرم الثلاثي.

يتميز هذا الكتاب بوجود كمية كبيرة من المادة التوضيحية والتاريخية، بالإضافة إلى كمية قليلة من المادة العملية، وذلك بسبب تركيز الكتاب المدرسي. دعونا نفكر أيضًا في الكتاب المدرسي لـ Smirnova I.M. وآخرون للصفوف 10-11 من العلوم الطبيعية.

عرض موضوع "رباعي السطوح" في كتاب "الهندسة" للصفوف 10-11 من تأليف Smirnova I.M. إلخ.

يختلف هذا الكتاب المدرسي عن الكتاب المدرسي السابق في تخطيط المواضيع ومستوى تعقيد المشكلات المقترحة للحل. من السمات المميزة لعرض المادة تقسيمها إلى "فصول دراسية"، منها أربعة في الكتاب المدرسي. تم ذكر رباعي الأسطح في الفقرة الأولى ("مقدمة في القياس المجسم")، وتم تعريف مفهوم "الهرم" في الفقرة 3.

كما هو الحال في الكتاب المدرسي السابق، يتم استكمال المادة العملية بمهام تنطوي على تطوير الأشكال المجسمة. في المادة الموجودة في الفقرة 26، يمكنك العثور على نظرية حول كرة منقوشة في رباعي السطوح. تتطابق بقية المواد النظرية المتعلقة برباعي الأسطح في الواقع مع المواد الموجودة في الكتاب المدرسي الموصوف أعلاه.

حل المشكلة.

المهمة 1.

أوجد أقصر مسار على سطح رباعي الأسطح المنتظم ABCDربط النقاط هو ف، وتقع على ارتفاعات الوجوه الجانبية 7 سم من القمم المقابلة لرباعي الاسطح. طول حافة رباعي الاسطح 20 سم.

حل.

دعونا نفكر في تطوير ثلاثة وجوه لرباعي الاسطح. سيكون أقصر مسار هو الجزء الذي يربط النقاط هو ف. طوله 20 سم.

المهمة 2.

عند قاعدة الهرم يوجد مثلث قائم الزاوية طول أحد أرجله 3 سم، والزاوية الحادة المجاورة له قياسها 30 درجة. تميل جميع الحواف الجانبية للهرم إلى مستوى القاعدة بزاوية 60 درجة. أوجد حجم الهرم.

حل.

مساحة المثلث ABC هي . قاعدة الارتفاع هي الوسط. المثلث SAC متساوي الأضلاع. .

ومن ثم فإن حجم الهرم يساوي .

خاتمة.

سمة مميزة للكتاب المدرسي من تأليف Atanasyan L.S. وما إلى ذلك هو أن دراسة رباعي السطوح تبدأ مبكرًا جدًا، والمواد متناثرة طوال الدورة ويتم تقديمها على مستويات مختلفة من التعقيد. في الكتاب المدرسي Pogorelov A.V. تم ترتيب المادة بشكل مضغوط، وتم تقديم مفهوم "رباعي الأسطح"، مثل مفاهيم الأشكال المكانية الأخرى، في وقت متأخر جدًا (في نهاية الصف العاشر)، والمواد العملية المقدمة في الكتاب المدرسي ذات حجم صغير. في الكتاب المدرسي Smirnova I.M. والمواد النظرية الأخرى، مثل المواد العملية، صغيرة الحجم، والمهام العملية ذات مستوى منخفض من التعقيد، ويتميز الكتاب المدرسي بحجم كبير من المواد من تاريخ الرياضيات. في الكتاب المدرسي ألكساندروف أ.د. إلخ. مستوى تعقيد المادة أعلى، والمادة نفسها أكثر تنوعًا، والعديد من المهام العملية تحتوي على جزء من النظرية، وهناك مهام ومهام متطرفة في شكل أسئلة، مما يجعلها تبرز عن البقية.

§2. اختبار مستوى تطور التفكير المكاني لدى طلاب المرحلة الثانوية

الذكاء هو القدرة على التعلم أو الفهم وهو أمر مشترك بين جميع البشر. بعض الناس يمتلكونها بدرجة أكبر، والبعض الآخر بدرجة أقل، لكن كل شخص يحتفظ بهذه القدرة دون تغيير تقريبًا طوال حياته. بفضل الذكاء يمكننا التصرف بشكل صحيح والتعلم من أخطائنا.

في علم النفس، يتم تعريف الذكاء على أنه القدرة على إدراك المعرفة واستخدامها في مواقف أخرى جديدة بشكل أساسي. في ظل ظروف الاختبار، من الممكن تحديد مدى نجاح الشخص في التكيف مع المواقف غير العادية. إن تحديد مستوى التطور الفكري العام من خلال الاختبار هو عمل صعب للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً، لذا سيستخدم نص هذا العمل جزءًا من منهجية اختبار الذكاء التي تجيب على السؤال حول مستوى تطور التفكير المكاني. التفكير المكاني هو نوع محدد من النشاط العقلي الذي يحدث في حل المشكلات التي تتطلب توجيهًا في الفضاء العملي والنظري (المرئي والخيالي). وفي أشكاله الأكثر تطورًا، يكون هذا التفكير باستخدام أنماط يتم من خلالها تسجيل الخصائص والعلاقات المكانية. ومن خلال العمل بالصور الأولية التي تم إنشاؤها على أسس بصرية مختلفة، يضمن التفكير تعديلها وتحويلها وإنشاء صور جديدة مختلفة عن الصور الأصلية.

الاختبار المستخدم ("الاختبار المصغر لمستوى تطور التفكير المكاني" من "اختبار الذكاء الأول" بواسطة F. Carter، K. Russell) عالمي لجميع الفئات العمرية ويستغرق وقتًا صغيرًا (30 دقيقة) . ويمكن الاطلاع على نص الاختبار ومفاتيحه في "الملحق رقم 1" للدبلوم.

في هذا الدرس سوف ننظر إلى رباعي السطوح وعناصره (حافة رباعي السطوح، السطح، الوجوه، القمم). وسوف نقوم بحل العديد من المسائل المتعلقة ببناء المقاطع في الشكل الرباعي باستخدام الطريقة العامة لبناء المقاطع.

الموضوع: توازي الخطوط والمستويات

الدرس: رباعي الاسطح. مشاكل في بناء المقاطع في رباعي الاسطح

كيفية بناء رباعي الاسطح؟ لنأخذ مثلثًا عشوائيًا اي بي سي. أي نقطة دلا يقع في مستوى هذا المثلث. نحصل على 4 مثلثات. السطح الذي تشكله هذه المثلثات الأربعة يسمى رباعي الاسطح (الشكل 1). النقاط الداخلية التي يحدها هذا السطح هي أيضًا جزء من رباعي الاسطح.

أرز. 1. رباعي الاسطح ABCD

عناصر رباعي الاسطح
أ،ب, ج, د - رؤوس رباعي الاسطح.
أ.ب, تيار متردد., إعلان, قبل الميلاد, دينار بحريني, قرص مضغوط - حواف رباعية السطوح.
اي بي سي, عبد, بي دي سي, أدك - وجوه رباعية الاسطح.

تعليق:يمكن أن تؤخذ مسطحة اي بي سيل قاعدة رباعية الاسطح، ثم أشر ديكون قمة رباعي الاسطح. كل حافة من رباعي الاسطح هي تقاطع طائرتين. على سبيل المثال، الضلع أ.ب- هذا هو تقاطع الطائرات أ.بدو اي بي سي. كل قمة في رباعي الاسطح هي تقاطع ثلاث مستويات. قمة الرأس أيكمن في الطائرات اي بي سي, أ.بد, أدمع. نقطة أهو تقاطع الطائرات الثلاث المعينة. هذه الحقيقة مكتوبة على النحو التالي: أ= اي بي سي ∩ أ.بد ∩ تكييفد.

تعريف رباعي الاسطح

لذا، رباعي الاسطحهو سطح يتكون من أربعة مثلثات.

حافة رباعية الاسطح- خط تقاطع طائرتين من رباعي الاسطح.

اصنع 4 مثلثات متساوية من 6 أعواد ثقاب. من المستحيل حل المشكلة على متن الطائرة. ومن السهل القيام بذلك في الفضاء. لنأخذ رباعي الاسطح. 6 أعواد ثقاب هي حوافه وأربعة وجوه من رباعي الأسطح وستكون أربعة مثلثات متساوية. تم حل المشكلة.

نظرا لرباعي الاسطح اي بي سيد. نقطة مينتمي إلى حافة رباعي الاسطح أ.ب، نقطة نينتمي إلى حافة رباعي الاسطح فيدوالفترة رينتمي إلى الحافة دمع(الشكل 2.). بناء مقطع من رباعي الاسطح مع مستوى حركة الأشخاص الطبيعيين.

أرز. 2. رسم للمشكلة 2 - إنشاء قسم من رباعي الأسطح بمستوى

حل:
النظر في وجه رباعي الاسطح دشمس. على هذا الوجه من هذه النقطة نو صتنتمي إلى الوجوه دشمس، وبالتالي رباعي الاسطح. لكن حسب حالة النقطة ن، صتنتمي إلى طائرة القطع. وسائل، NP- هذا هو خط تقاطع مستويين: مستوى الوجه دشمسوطائرة القطع. لنفترض أن الخطوط المستقيمة NPو شمسغير متوازي. إنهم يكذبون في نفس الطائرة دشمس.دعونا نجد نقطة تقاطع الخطوط NPو شمس. دعونا نشير إلى ذلك ه(الشكل 3.).

أرز. 3. رسم المشكلة 2. إيجاد النقطة E

نقطة هينتمي إلى مستوى القسم حركة الأشخاص الطبيعيين، لأنه يقع على الخط NP، والخط المستقيم NPتقع بالكامل في مستوى القسم حركة الأشخاص الطبيعيين.

نقطة أيضا هيكمن في الطائرة اي بي سي، لأنها تقع على خط مستقيم شمسخارج الطائرة اي بي سي.

لقد حصلنا على ذلك م- خط تقاطع الطائرات اي بي سيو حركة الأشخاص الطبيعيين,منذ نقاط هو متقع في وقت واحد في طائرتين - اي بي سيو حركة الأشخاص الطبيعيين.دعونا نربط النقاط مو ه، واستمر بشكل مستقيم مإلى التقاطع مع الخط تكييف. نقطة تقاطع الخطوط مو تكييفدعونا نشير س.

لذلك في هذه الحالة NPQM- القسم المطلوب .

أرز. 4. الرسم للمشكلة 2. حل المشكلة 2

دعونا الآن نفكر في القضية متى NPموازي قبل الميلاد. إذا كان مستقيما NPبالتوازي مع خط ما، على سبيل المثال، خط مستقيم شمسخارج الطائرة اي بي سي، ثم على التوالي NPموازية للطائرة بأكملها اي بي سي.

يمر مستوى القسم المطلوب عبر الخط المستقيم NP، بالتوازي مع الطائرة اي بي سي، ويتقاطع مع المستوى في خط مستقيم إم كيو. إذن خط التقاطع إم كيوبالتوازي مع الخط NP. نحصل على NPQM- القسم المطلوب .

نقطة ميقع على الجانب أدفيرباعي الاسطح اي بي سيد. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح بمستوى يمر عبر النقطة مبالتوازي مع القاعدة اي بي سي.

أرز. 5. رسم للمسألة 3 قم ببناء قسم من رباعي الأسطح بمستوى

حل:
طائرة القطع φ موازية للطائرة اي بي سيوفقا للشرط، وهذا يعني أن هذه الطائرة φ موازية للخطوط أ.ب, تكييف, شمس.
في الطائرة أ.بدمن خلال النقطة مدعونا نجعل مباشرة PQموازي أ.ب(الشكل 5). مستقيم PQيكمن في الطائرة أ.بد. وبالمثل في الطائرة تكييفدمن خلال النقطة ردعونا نجعل مباشرة العلاقات العامةموازي تكييف. حصلت على نقطة ر. خطين متقاطعين PQو العلاقات العامةطائرة PQRعلى التوالي موازية لخطين متقاطعين أ.بو تكييفطائرة اي بي سي، وهو ما يعني الطائرات اي بي سيو PQRموازي. PQR- القسم المطلوب . تم حل المشكلة.

نظرا لرباعي الاسطح اي بي سيد. نقطة م- النقطة الداخلية، نقطة على وجه رباعي الاسطح أ.بد. ن- النقطة الداخلية للقطعة دمع(الشكل 6.). إنشاء نقطة تقاطع الخط ن.م.والطائرات اي بي سي.

أرز. 6. الرسم للمشكلة 4

حل:
لحل هذه المشكلة، سنقوم ببناء طائرة مساعدة دمينيسوتا. دعها تكون مستقيمة دميتقاطع مع الخط AB عند النقطة ل(الشكل 7.). ثم، كوروناد- هذا جزء من الطائرة دمينيسوتاورباعي الاسطح. في الطائرة دمينيسوتاالأكاذيب ومستقيمة ن.م.، والخط المستقيم الناتج كورونا. فإذا ن.م.غير متوازي كورونا، ثم سوف يتقاطعان في مرحلة ما ر. نقطة روستكون هناك نقطة التقاطع المطلوبة للخط ن.م.والطائرات اي بي سي.

أرز. 7. الرسم للمشكلة 4. حل المشكلة 4

نظرا لرباعي الاسطح اي بي سيد. م- النقطة الداخلية للوجه أ.بد. ر- النقطة الداخلية للوجه اي بي سي. ن- النقطة الداخلية للحافة دمع(الشكل 8.). أنشئ مقطعًا من رباعي السطوح بحيث يمر المستوى عبر النقاط م, نو ر.

أرز. 8. رسم للمسألة 5 قم ببناء قسم من رباعي الأسطح بمستوى

حل:
دعونا ننظر في الحالة الأولى، عندما الخط المستقيم مينيسوتالا موازية للطائرة اي بي سي. في المسألة السابقة وجدنا نقطة تقاطع الخط مينيسوتاوالطائرات اي بي سي. هذه هي النقطة ليتم الحصول عليها باستخدام المستوى المساعد دمينيسوتا، أي. نحن نجري دمونحصل على نقطة ف. نحن ننفذ قوات التحالفوعند التقاطع مينيسوتاحصلنا على نقطة ل.

أرز. 9. رسم المشكلة 5. إيجاد النقطة K

دعونا نجعل مباشرة ك ر. مستقيم ك رتقع في مستوى القسم وفي المستوى اي بي سي. الحصول على النقاط ص 1و ص 2. الاتصال ص 1و مواستمرارًا حصلنا على هذه النقطة م 1. توصيل النقطة ص 2و ن. ونتيجة لذلك، نحصل على القسم المطلوب ص 1 ص 2 شمال البحر الأبيض المتوسط ​​1. تم حل المشكلة في الحالة الأولى.
دعونا ننظر في الحالة الثانية، عندما يكون الخط المستقيم مينيسوتاموازية للطائرة اي بي سي. طائرة حركة الأشخاص الطبيعيينيمر عبر خط مستقيم مينيسوتاموازية للطائرة اي بي سيويتقاطع مع الطائرة اي بي سيعلى طول خط مستقيم ما ص 1 ص 2، ثم على التوالي ص 1 ص 2بالتوازي مع الخط المحدد مينيسوتا(الشكل 10.).

أرز. 10. الرسم للمشكلة 5. القسم المطلوب

الآن دعونا نرسم خطًا مستقيمًا ص 1 مونحصل على نقطة م 1.ص 1 ص 2 شمال البحر الأبيض المتوسط ​​1- القسم المطلوب .

لذا، نظرنا إلى رباعي السطوح وقمنا بحل بعض مشاكل رباعي السطوح النموذجية. في الدرس التالي سوف ننظر إلى متوازي السطوح.

1. آي إم سميرنوفا، في.أ.سميرنوف. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص. : سوف. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المرحلة الأساسية والمتخصصة)

2. شاريجين آي إف - م: بوستارد، 1999. - 208 ص: مريض. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام

3. E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - الطبعة السادسة، الصورة النمطية. - م: حبارى، 008. - 233 ص. :ايل. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات

موارد الويب الإضافية

2. كيفية بناء مقطع عرضي لرباعي الاسطح. الرياضيات ().

3. مهرجان الأفكار التربوية ().

قم بحل مسائل في المنزل حول موضوع "رباعي السطوح"، وكيفية العثور على حافة رباعي السطوح وأوجه رباعي السطوح والقمم وسطح رباعي السطوح

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستويات الأساسية والمتخصصة) I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مصححة وموسعة - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض. المهام 18، 19، 20 ص 50

2. نقطة هالضلع الأوسط ماجستيررباعي الاسطح مركبة جوية بدون طيار. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح بحيث يمر مستوى عبر النقاط ب، جو ه.

3. في رباعي السطوح MABC، تنتمي النقطة M إلى الوجه AMV، والنقطة P تنتمي إلى الوجه BMC، والنقطة K تنتمي إلى الحافة AC. أنشئ مقطعًا من رباعي الأسطح بحيث يمر مستوى عبر النقاط م، ر، ك.

4. ما هي الأشكال التي يمكن الحصول عليها نتيجة تقاطع رباعي الأسطح مع المستوى؟