مقطع مخروطي على شكل قطع ناقص. مقطع من مخروط دائري قائم

عندما يتم تقسيم سطح مخروطي بواسطة مستوى، يتم الحصول على منحنيات من الدرجة الثانية - الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ والقطع الزائد. في حالات متكررة، في موقع معين من مستوى القطع وعندما يمر عبر قمة المخروط (S∈γ)، تتدهور الدائرة والقطع الناقص إلى نقطة أو يقع جيل أو جيلين من المخروط في القسم.

يعطي - دائرة عندما يكون مستوى القطع متعامدًا مع محوره ويتقاطع مع جميع أسطح التوليد.

يعطي - قطعًا ناقصًا عندما لا يكون مستوى القطع متعامدًا مع محوره ويتقاطع مع جميع أسطح التوليد.

دعونا نبني شكلاً إهليلجيًا ω طائرة α ، يحتل منصبًا عامًا.

حل المشكلة على مقطع عرضي لمخروط دائري قائميتم تبسيط المستوى إلى حد كبير إذا كان مستوى القطع يحتل موضعًا بارزًا.

باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط، نترجم المستوى α من الوضع العام إلى الوضع الخاص - الإسقاط الأمامي. على المستوى الأمامي من التوقعات الخامس 1دعونا نبني أثرا للطائرة α وإسقاط السطح المخروطي ω يعطي المستوى قطعًا ناقصًا، نظرًا لأن مستوى القطع يتقاطع مع جميع أجيال المخروط. يتم إسقاط القطع الناقص على مستوى الإسقاط كمنحنى من الدرجة الثانية.
على أثر الطائرة ألفا الخامسخذ نقطة تعسفية 3" نقيس بعدها عن مستوى الإسقاط حووضعها على طول خط الاتصال الموجود بالفعل على متن الطائرة الخامس 1، الحصول على نقطة 3" 1 . سوف يمر الدرب من خلاله ألفا 1. خط المقطع المخروطي ω - نقاط أ" 1, ه" 1يتزامن هنا مع أثر الطائرة. بعد ذلك، سنقوم ببناء مستوى القطع المساعد γ3، بالاعتماد على المستوى الأمامي للإسقاطات الخامس 1دربها ج 3 فولت 1. المستوى المساعد يتقاطع مع سطح مخروطي ω سوف تعطي دائرة، وتتقاطع مع الطائرة α سيعطي خط أفقي h3. وبدوره الخط المستقيم الذي يتقاطع مع الدائرة يعطي النقاط المطلوبة ج` و ك`تقاطعات الطائرة α مع سطح مخروطي ω . الإسقاطات الأمامية للنقاط المطلوبة "ج" و"ك"بناء كنقاط تنتمي إلى مستوى القطع α .

للعثور على نقطة ه(ه`، ه)خطوط القسم، ارسم مستوى بارزًا أفقيًا من خلال الجزء العلوي من المخروط γ 2 ح، والتي سوف تتقاطع مع الطائرة α في خط مستقيم 1-2(1`-2`, 1"-2") . تداخل 1"-2" مع خط الاتصال يعطي نقطة ه"- أعلى نقطة في خط القسم .

للعثور على النقطة التي تشير إلى حد رؤية الإسقاط الأمامي لخط القسم، ارسم مستوى إسقاطًا أفقيًا من خلال الجزء العلوي من المخروط γ 5 حوالعثور على الإسقاط الأفقي ف`النقطة المطلوبة. وأيضا الطائرة γ 5 حسوف تتقاطع الطائرة α أمامي و (و`، و"). تداخل F"مع خط الاتصال يعطي نقطة F". نقوم بتوصيل النقاط التي تم الحصول عليها على الإسقاط الأفقي بمنحنى سلس، مع وضع علامة على النقطة الموجودة في أقصى اليسار G - إحدى النقاط المميزة لخط التقاطع.
بعد ذلك، نقوم ببناء إسقاطات G على المستويين الأمامي للإسقاطات V1 وV. ونقوم بتوصيل جميع النقاط المبنية لخط القسم على المستوى الأمامي للإسقاطات V بخط سلس.

يعطي - قطعًا مكافئًا عندما يكون مستوى القطع موازيًا لمولد واحد للمخروط.

عند إنشاء إسقاطات المنحنيات - المقاطع المخروطية، من الضروري أن نتذكر النظرية: الإسقاط المتعامد لمقطع مسطح من مخروط الدوران على مستوى متعامد مع محوره هو منحنى من الدرجة الثانية وأحد بؤرته متعامد إسقاط قمة المخروط على هذا المستوى.

دعونا نفكر في بناء إسقاطات القسم عند مستوى القطع α بالتوازي مع مولد واحد للمخروط (SD).

سينتج عن المقطع العرضي قطع مكافئ يكون رأسه عند هذه النقطة أ(أ`، أ"). وفقا للنظرية، قمة المخروط سالمتوقعة في التركيز س`. بحسب المعلوم = ر س`تحديد موضع دليل القطع المكافئ. وبعد ذلك، يتم رسم نقاط المنحنى باستخدام المعادلة ع = ر.

بناء إسقاطات القسم عند مستوى القطع α بالتوازي مع مولد واحد للمخروط، يمكن القيام بما يلي:

بمساعدة طائرات إسقاط أفقية مساعدة تمر عبر الجزء العلوي من المخروط γ 1 حو γ 2 ح.

أولاً، يتم تحديد الإسقاطات الأمامية للنقاط ف"، ز"- عند تقاطع المولدات ق"1"، ق"2"وأثر مستوى القطع ألفا الخامس. عند تقاطع خطوط الاتصال مع γ 1 حو γ 2 حكن مصمما ف، جي.

ويمكن تحديد نقاط أخرى من خط القسم بطريقة مماثلة، على سبيل المثال د"، ه"و د`، ه`.

استخدام طائرات الإسقاط الأمامية المساعدة ⊥ المحور المخروطي γ 3 فولتو γ 4 فولت.

إسقاطات قسم من الطائرات المساعدة والمخروط على المستوى حستكون هناك دوائر. خطوط تقاطع المستويات المساعدة مع مستوى القطع α سيكون هناك خطوط مستقيمة بارزة أمامية.

يعطي - قطعًا زائدًا عندما يكون مستوى القطع موازيًا لمولدي المخروط.

المؤسسة التعليمية البلدية

المدرسة الثانوية رقم 4

المقاطع المخروطية

مكتمل

سبيريدونوف أنطون

طالب في الصف 11 أ

التحقق

كوروبينيكوفا إيه تي.

توبولسك - 2006

مقدمة

مفهوم المقاطع المخروطية

أنواع المقاطع المخروطية

يذاكر

بناء المقاطع المخروطية

النهج التحليلي

طلب

فهرس

مقدمة.

الغرض: دراسة المقاطع المخروطية.

الأهداف: تعلم التمييز بين أنواع المقاطع المخروطية، وبناء المقاطع الحركية وتطبيق المنهج التحليلي.

تم اقتراح المقاطع المخروطية لأول مرة من قبل عالم الهندسة اليوناني القديم ميناكموس، الذي عاش في القرن الرابع قبل الميلاد، عند حل مشكلة مضاعفة المكعب. ترتبط هذه المهمة بالأسطورة التالية.

في أحد الأيام، اندلع وباء الطاعون في جزيرة ديلوس. ولجأ سكان الجزيرة إلى الكاهن الذي قال إنه لوقف الوباء لا بد من مضاعفة المذبح الذهبي الذي كان على شكل مكعب ويقع في معبد أبولو في أثينا. صنع سكان الجزيرة مذبحًا جديدًا، كانت أضلاعه أكبر بمرتين من أضلاع المذبح السابق. ومع ذلك، فإن الطاعون لم يتوقف. سمع السكان الغاضبون من أوراكل أنهم أساءوا فهم تعليماته - لم تكن حواف المكعب هي التي تحتاج إلى مضاعفة، ولكن حجمها، أي حواف المكعب، كان من الضروري مضاعفة. فيما يتعلق بالجبر الهندسي، الذي استخدمه علماء الرياضيات اليونانيون، كانت المشكلة تعني: بالنظر إلى القطعة أ، ابحث عن القطعتين x وy بحيث يكون a: x = x: y = y: 2a. ثم طول القطعة x سيكون مساوياً لـ .

يمكن اعتبار النسبة المعطاة كنظام من المعادلات:

لكن x 2 =ay و y 2 =2ax معادلتان للقطع المكافئ. ولذلك، لحل المشكلة، يجب على المرء أن يجد نقاط التقاطع بينهما. إذا أخذنا في الاعتبار أنه يمكن أيضًا الحصول على معادلة القطع الزائد xy=2a 2 من النظام، فيمكن حل نفس المشكلة من خلال إيجاد نقاط تقاطع القطع المكافئ والقطع الزائد.

للحصول على المقاطع المخروطية، قام ميناكموس بتقاطع المخروط - الحاد أو المستطيل أو المنفرج - مع مستوى متعامد مع أحد المولدات. بالنسبة للمخروط حاد الزاوية، فإن المقطع بواسطة مستوى متعامد مع مولده له شكل القطع الناقص. المخروط المنفرج يعطي قطعًا زائدًا، والمخروط المستطيل يعطي قطعًا مكافئًا.

ومن هنا جاءت أسماء المنحنيات التي قدمها أبولونيوس البيرجي الذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد: القطع الناقص (ένηείψίς)، والتي تعني العيب، النقص (زاوية المخروط إلى الخط المستقيم). ; القطع الزائد (ύπέρβωρη) - المبالغة والرجحان (لزاوية مخروطية على خط مستقيم) ؛ القطع المكافئ (παραβονη) - التقريب والمساواة (من زاوية مخروطية إلى زاوية قائمة). لاحظ اليونانيون لاحقًا أنه يمكن الحصول على المنحنيات الثلاثة جميعها على مخروط واحد عن طريق تغيير ميل مستوى القطع. في هذه الحالة، يجب أن تأخذ مخروطًا يتكون من تجاويف وتعتقد أنهما يمتدان إلى ما لا نهاية (الشكل 1).

إذا رسمنا جزءًا من مخروط دائري متعامدًا مع محوره، ثم قمنا بتدوير مستوى القطع، وترك نقطة واحدة من تقاطعه مع المخروط بلا حراك، فسنرى كيف ستمتد الدائرة أولاً، وتتحول إلى قطع ناقص. بعد ذلك، ستذهب القمة الثانية من القطع الناقص إلى ما لا نهاية، وبدلاً من القطع الناقص ستحصل على قطع مكافئ، ثم سيتقاطع المستوى أيضًا مع التجويف الثاني للمخروط وستحصل على قطع زائد.

مفهوم المقاطع المخروطية.

المقاطع المخروطية هي منحنيات مستوية يتم الحصول عليها عن طريق تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى لا يمر عبر قمته. من وجهة نظر الهندسة التحليلية، المقطع المخروطي هو محل النقاط التي تحقق معادلة من الدرجة الثانية. باستثناء الحالات المتدهورة التي تمت مناقشتها في القسم الأخير، فإن المقاطع المخروطية هي عبارة عن قطع ناقص أو قطع زائد أو قطع مكافئ (الشكل 2).

عندما يدور المثلث القائم حول أحد أرجله فإن الوتر بامتداداته يصف سطحًا مخروطيًا يسمى سطح المخروط الدائري القائم، والذي يمكن اعتباره سلسلة متصلة من الخطوط التي تمر عبر الرأس وتسمى المولدات، جميع المولدات يستريح على نفس الدائرة، يسمى الإنتاج. ويمثل كل من المولدات وتر مثلث دوار (في موضعه المعلوم)، ممتد في كلا الاتجاهين إلى ما لا نهاية. وهكذا، فإن كل مولد يمتد على جانبي الرأس، ونتيجة لذلك يحتوي السطح على تجاويف: يتقاربان عند نقطة واحدة عند قمة مشتركة. إذا كان هذا السطح يتقاطع مع مستوى، فإن المقطع سوف ينتج منحنى، وهو ما يسمى المقطع المخروطي. يمكن أن يكون من ثلاثة أنواع:

1) إذا تقاطع المستوى مع سطح مخروطي على طول جميع المولدات، فسيتم تشريح تجويف واحد فقط ويتم الحصول على منحنى مغلق يسمى القطع الناقص في القسم؛

2) إذا تقاطع مستوى القطع مع كلا التجويفين، فسيتم الحصول على منحنى له فرعين ويسمى القطع الزائد؛

3) إذا كان مستوى القطع موازيا لأحد المولدات، فسيتم الحصول على القطع المكافئ.

إذا كان مستوى القطع موازيا لدائرة التوليد، فسيتم الحصول على دائرة، والتي يمكن اعتبارها حالة خاصة من القطع الناقص. يمكن لمستوى القطع أن يتقاطع مع سطح مخروطي عند قمة واحدة فقط، ثم ينتج المقطع نقطة، كحالة خاصة من القطع الناقص.

إذا كان المستوى الذي يمر عبر قمة الرأس يتقاطع مع كلا التجويفين، فإن القسم ينتج زوجًا من الخطوط المتقاطعة، تعتبر حالة خاصة من القطع الزائد.

إذا كانت القمة بعيدة إلى ما لا نهاية، فإن السطح المخروطي يصبح أسطوانيا، ويعطي قسمه بمستوى مواز للمولدات زوجا من الخطوط المتوازية كحالة خاصة من القطع المكافئ. يتم التعبير عن المقاطع المخروطية بمعادلات من الدرجة الثانية، والشكل العام لها هو

الفأس 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

وتسمى منحنيات الرتبة الثانية.

أنواع المقاطع المخروطية.

يمكن أن تكون المقاطع المخروطية من ثلاثة أنواع:

1) يتقاطع مستوى القطع مع جميع أجيال المخروط عند نقاط أحد تجويفاته؛ خط التقاطع عبارة عن منحنى بيضاوي مغلق - قطع ناقص؛ يتم الحصول على الدائرة كحالة خاصة من القطع الناقص عندما يكون مستوى القطع متعامدًا مع محور المخروط.

2) يكون مستوى القطع موازياً لإحدى المستويات المماسية للمخروط؛ في المقطع العرضي، تكون النتيجة منحنى مفتوحًا يمتد إلى ما لا نهاية - قطع مكافئ يقع بالكامل على تجويف واحد.

3) يتقاطع مستوى القطع مع تجاويف المخروط؛ يتكون خط التقاطع - القطع الزائد - من جزأين مفتوحين متطابقين يمتدان إلى ما لا نهاية (فروع القطع الزائد) ملقاة على تجاويف المخروط.

يذاكر.

في الحالات التي يكون فيها للقسم المخروطي مركز تناظر (مركز)، أي عبارة عن قطع ناقص أو قطع زائد، يمكن اختزال معادلته (عن طريق نقل أصل الإحداثيات إلى المركز) إلى النموذج:

أ 11 × 2 +2أ 12 س ص + أ 22 ص 2 = أ 33 .

تُظهر الدراسات الإضافية لهذه المقاطع المخروطية (التي تسمى المركزية) أنه يمكن اختزال معادلاتها إلى شكل أبسط:

الفأس 2 + وو 2 = ج،

إذا قمنا باختيار اتجاهات محاور الإحداثيات الاتجاهات الرئيسية - اتجاهات المحاور الرئيسية (محاور التماثل) للمقاطع المخروطية. إذا كانت A وB لهما نفس الإشارات (تتزامن مع إشارة C)، فإن المعادلة تحدد القطع الناقص؛ إذا كان A وB لهما علامات مختلفة، فهذا غلو.

لا يمكن اختزال معادلة القطع المكافئ إلى الصورة (Ax 2 + By 2 = C). مع الاختيار الصحيح لمحاور الإحداثيات (أحد المحاور الإحداثية هو محور التماثل الوحيد للقطع المكافئ، والآخر عبارة عن خط مستقيم متعامد عليه، ويمر عبر قمة القطع المكافئ)، يمكن اختزال معادلته إلى النموذج:

بناء المقاطع المخروطية.

من خلال دراسة المقاطع المخروطية كتقاطعات بين المستويات والأقماع، اعتبرها علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أيضًا مسارات لنقاط على المستوى. لقد وجد أنه يمكن تعريف القطع الناقص على أنه موضع النقاط، حيث يكون مجموع المسافات التي تصل إلى نقطتين محددتين ثابتًا؛ القطع المكافئ - كموضع نقاط متساوية البعد عن نقطة معينة وخط مستقيم معين؛ القطع الزائد - باعتباره موضعًا للنقاط، يكون الفرق في المسافات من نقطتين محددتين ثابتًا.

تقترح هذه التعريفات للمقاطع المخروطية كمنحنيات مستوية أيضًا طريقة لبنائها باستخدام سلسلة ممتدة.

الشكل البيضاوي. إذا تم تثبيت نهايات الخيط بطول معين عند النقطتين F 1 و F 2 (الشكل 3)، فإن المنحنى الموصوف بنقطة قلم رصاص ينزلق على طول خيط ممتد بإحكام له شكل قطع ناقص. تسمى النقطتان F 1 و F 2 بؤر القطع الناقص، والقطاعات V 1 V 2 و v 1 v 2 بين نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور الإحداثيات - المحاور الرئيسية والثانوية. إذا تزامنت النقطتان F 1 و F 2، فإن القطع الناقص يتحول إلى دائرة (الشكل 3).

القطع الزائد. عند إنشاء القطع الزائد، يتم تثبيت النقطة P، وهي رأس قلم الرصاص، على خيط ينزلق بحرية على طول الأوتاد المثبتة عند النقطتين F 1 وF 2، كما هو موضح في الشكل 4، أ، يتم تحديد المسافات بحيث يتم تحديد الجزء PF 2 أطول من المقطع PF 1 بقيمة ثابتة أقل من المسافة F 1 F 2 . في هذه الحالة، يمر أحد طرفي الخيط أسفل الوتد F 1، ويمر كلا طرفي الخيط فوق الوتد F 2. (يجب ألا ينزلق سن قلم الرصاص على طول الخيط، لذلك يجب تأمينه عن طريق عمل حلقة صغيرة على الخيط وتمرير النقطة من خلاله.) نرسم فرعًا واحدًا من القطع الزائد (PV 1 Q)، مع التأكد من ذلك يظل الخيط مشدودًا طوال الوقت، وسحب طرفي الخيط لأسفل بعد النقطة F 2، وعندما تكون النقطة P أسفل المقطع F 1 F 2، أمسك الخيط من كلا الطرفين ثم حرره بعناية. نرسم الفرع الثاني من القطع الزائد عن طريق تغيير الأطراف F 1 و F 2 أولاً (الشكل 4).

تقترب فروع القطع الزائد من خطين مستقيمين يتقاطعان بين الفروع. يتم إنشاء هذه الخطوط، التي تسمى الخطوط المقاربة للقطع الزائد، كما هو موضح في الشكل 4، ب. ركن

معاملات هذه الخطوط تساوي حيث يوجد مقطع منصف الزاوية بين الخطوط المقاربة المتعامدة مع المقطع F 2 F 1 ؛ يُطلق على القطعة v 1 v 2 اسم المحور المرافق للقطع الزائد، والقطعة V 1 V 2 هي محورها العرضي. وبالتالي، فإن الخطوط المقاربة هي أقطار المستطيل الذي تمر أضلاعه بأربع نقاط v 1، v 2، v 1، v 2 موازية للمحاور. لإنشاء هذا المستطيل، عليك تحديد موقع النقطتين v 1 و v 2. إنهما على نفس المسافة، متساويان

من نقطة تقاطع المحاور O تفترض هذه الصيغة إنشاء مثلث قائم الزاوية بأضلاعه Ov 1 و V 2 O والوتر F 2 O.

إذا كانت الخطوط المقاربة للقطع الزائد متعامدة بشكل متبادل، فإن القطع الزائد يسمى متساوي الأضلاع. يُطلق على القطع الزائدتين اللتين لهما خطوط مقاربة مشتركة، ولكن مع محاور عرضية ومترافقة مُعاد ترتيبها، اسم المترافقين بشكل متبادل.

القطع المكافئ. كانت بؤرتا القطع الناقص والقطع الزائد معروفة لأبولونيوس، ولكن يبدو أن بؤرة القطع المكافئ قد تم تحديدها لأول مرة بواسطة بابوس (النصف الثاني من القرن الثالث)، الذي عرّف هذا المنحنى بأنه موضع النقاط المتساوية البعد عن نقطة معينة (البؤرة). وخط مستقيم معين، وهو ما يسمى المديرة. تم اقتراح بناء القطع المكافئ باستخدام خيط مشدود، بناءً على تعريف بابوس، من قبل إيزيدور ميليتس (القرن السادس) (الشكل 5).

لنضع المسطرة بحيث تتطابق حافتها مع الدليل، ونربط ساق مثلث الرسم ABC بهذه الحافة. لنربط أحد طرفي خيط بطول AB عند الرأس B للمثلث، والآخر عند بؤرة القطع المكافئ F. بعد سحب الخيط برأس قلم رصاص، اضغط على الطرف عند النقطة المتغيرة P إلى الساق الحرة AB لمثلث الرسم. عندما يتحرك المثلث على طول المسطرة، ستصف النقطة P قوس القطع المكافئ مع التركيز F والدليل، نظرًا لأن الطول الإجمالي للخيط يساوي AB، فإن قطعة الخيط مجاورة للساق الحرة للمثلث، و وبالتالي فإن القطعة المتبقية من الخيط PF يجب أن تكون مساوية للجزء المتبقي من الساق AB، أي PA. تسمى نقطة تقاطع V للقطع المكافئ مع المحور قمة القطع المكافئ، والخط المستقيم الذي يمر عبر F و V هو محور القطع المكافئ. إذا تم رسم خط مستقيم عبر البؤرة، بشكل عمودي على المحور، فإن الجزء من هذا الخط المستقيم المقطوع بواسطة القطع المكافئ يسمى المعلمة البؤرية. بالنسبة للقطع الناقص والقطع الزائد، يتم تحديد المعلمة البؤرية بالمثل.

النهج التحليلي

حيث ليست كل المعاملات A وB وC تساوي صفرًا. باستخدام الترجمة المتوازية وتدوير المحاور، يمكن اختزال المعادلة (1) إلى النموذج

الفأس 2 + في 2 + ج = 0

يتم الحصول على المعادلة الأولى من المعادلة (1) لـ B 2 > AC، والثانية - لـ B 2 = AC. تسمى المقاطع المخروطية التي اختزلت معادلاتها إلى الشكل الأول مركزية. تسمى المقاطع المخروطية المحددة بمعادلات من النوع الثاني مع q > 0 غير مركزية. ويوجد ضمن هاتين الفئتين تسعة أنواع مختلفة من المقاطع المخروطية حسب علامات المعاملات.

1) إذا كانت المعاملات a وb وc لها نفس الإشارة، فلا توجد نقاط حقيقية إحداثياتها تحقق المعادلة. يُطلق على هذا المقطع المخروطي شكل قطع ناقص وهمي (أو دائرة خيالية إذا كان أ = ب).

2) إذا كان a وb لهما نفس الإشارة، وc له الإشارة المعاكسة، فإن المقطع المخروطي عبارة عن قطع ناقص؛ عندما أ = ب – دائرة.

3) إذا كان لـ a وb إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي هو قطع زائد.

4) إذا كان لـ a وb إشارتان مختلفتان وc = 0، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متقاطعين.

5) إذا كان a وb لهما نفس الإشارة وc = 0، فهناك نقطة حقيقية واحدة فقط على المنحنى تحقق المعادلة، والمقطع المخروطي عبارة عن خطين متقاطعين وهميين. في هذه الحالة، نتحدث أيضًا عن قطع ناقص يقابل نقطة ما، أو، إذا كانت أ = ب، دائرة تقابل نقطة ما.

6) إذا كان a أو b يساوي صفراً، والمعاملات الأخرى لها إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متوازيين.

7) إذا كان a أو b يساوي صفرًا، والمعاملات المتبقية لها نفس الإشارة، فلا توجد نقطة حقيقية تحقق المعادلة. وفي هذه الحالة يقولون إن المقطع المخروطي يتكون من خطين متوازيين وهميين.

8) إذا كانت c = 0، وكان a أو b يساوي صفرًا أيضًا، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متطابقين حقيقيين. (لا تحدد المعادلة أي مقطع مخروطي لـ a = b = 0، حيث أن المعادلة الأصلية (1) في هذه الحالة ليست من الدرجة الثانية.)

9) معادلات النوع الثاني تحدد القطع المكافئة إذا كانت p و q مختلفتين عن الصفر. إذا كانت p > 0 و q = 0، نحصل على المنحنى من الخطوة 8. إذا كانت p = 0، فإن المعادلة لا تحدد أي مقطع مخروطي، لأن المعادلة الأصلية (1) ليست من الدرجة الثانية.

طلب

غالبًا ما توجد المقاطع المخروطية في الطبيعة والتكنولوجيا. على سبيل المثال، تكون مدارات الكواكب التي تدور حول الشمس على شكل قطع ناقص. الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص حيث يكون المحور الأكبر مساوياً للمحور الأصغر. تتميز المرآة المكافئة بخاصية أن جميع الأشعة الساقطة الموازية لمحورها تتقارب عند نقطة واحدة (البؤرة). يُستخدم هذا في معظم التلسكوبات العاكسة التي تستخدم مرايا مكافئة، وكذلك في هوائيات الرادار والميكروفونات الخاصة ذات العاكسات المكافئة. ينبعث شعاع من الأشعة المتوازية من مصدر ضوء موضوع في بؤرة عاكس مكافئ. ولهذا السبب يتم استخدام المرايا المكافئة في الأضواء الكاشفة عالية الطاقة والمصابيح الأمامية للسيارات. القطع الزائد هو رسم بياني للعديد من العلاقات الفيزيائية المهمة، مثل قانون بويل (الذي يربط الضغط وحجم الغاز المثالي) وقانون أوم، الذي يعرف التيار الكهربائي كدالة للمقاومة عند جهد ثابت

طلب

فهرس.

1. الكسيف. نظرية هابيل في المشاكل والحلول. 2001

2. Bazylev V. T.، Dunichev K. I.، Ivanitskaya V. P.. كتاب مدرسي لطلاب السنة الأولى في كليات الفيزياء والرياضيات في المعاهد التربوية. موسكو "التنوير" 1974

3. فيريشاجين إن كيه، أ. شين. محاضرات عن المنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات. 1999

4. محاضرات جلفاند آي إم عن الجبر الخطي. 1998.

5. جلادكي أ.ف. مقدمة في المنطق الحديث. 2001

6. إم إي كازاريان.دورة الهندسة التفاضلية (2001-2002).

7. براسولوف ف.. هندسة لوباتشيفسكي 2004

8. براسولوف ف... مشاكل في قياس المساحة 2001

9. شينمان أوك.. أساسيات نظرية التمثيل. 2004

الموازنة العامة للدولة

مؤسسة تعليمية مهنية

مدن موسكو

"كلية الشرطة"

ملخص عن تخصص الرياضيات

حول الموضوع: ""المقاطع المخروطية وتطبيقاتها في التكنولوجيا""

إجراء

كاديت الفصيلة الخامسة عشرة

ألكسيفا أ.

مدرس

زايتسيفا أ.ن.

موسكو

2016

محتوى:

مقدمة

1. مفهوم المقاطع المخروطية ……………………………………………… 5

2. أنواع المقاطع المخروطية………………………………………….7

3. البحث …………………………………………………..8

4. خصائص المقاطع المخروطية…. …………………………………….9

5. بناء المقاطع المخروطية …………………………….10

6. المنهج التحليلي…………………………………………………………………………………………………… 14

7. التطبيق ............................................................................ 16

8. عبر المخروط ………………………………………………..17

قائمة الأدب المستخدم

مقدمة

ومن هنا جاءت أسماء المنحنيات التي قدمها أبولونيوس البرجي الذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد: القطع الناقص، وهو ما يعني العيب، النقص (زاوية المخروط إلى الخط المستقيم)؛ غلو - المبالغة والتفوق (لزاوية مخروطية على خط مستقيم)؛ القطع المكافئ - التقريب والمساواة (لزاوية المخروط إلى الزاوية القائمة). لاحظ اليونانيون لاحقًا أنه يمكن الحصول على المنحنيات الثلاثة جميعها على مخروط واحد عن طريق تغيير ميل مستوى القطع. في هذه الحالة عليك أن تأخذ مخروطاً يتكون من تجويفين وتعتقد أنهما يمتدان إلى ما لا نهاية (شكل 1)

لفترة طويلة، لم تجد المقاطع المخروطية تطبيقًا حتى أصبح علماء الفلك والفيزيائيون مهتمين بها بشكل جدي. اتضح أن هذه الخطوط موجودة في الطبيعة (مثال على ذلك مسارات الأجرام السماوية) وتصف بيانيًا العديد من العمليات الفيزيائية (المبالغة هي الرائدة هنا: دعونا نتذكر قانون أوم وقانون بويل ماريوت)، ناهيك عن تطبيقاتها في الميكانيكا والبصريات. في الممارسة العملية، في أغلب الأحيان في الهندسة والبناء، يتعين على المرء أن يتعامل مع القطع الناقص والقطع المكافئ.

رسم بياني 1

رسم بياني

مفهوم المقاطع المخروطية

الصورة 2

2) إذا تقاطع مستوى القطع مع كلا التجويفين، فسيتم الحصول على منحنى له فرعين ويسمى القطع الزائد؛

3) إذا كان مستوى القطع موازيا لأحد المولدات، فسيتم الحصول على القطع المكافئ.

إذا كان المستوى الذي يمر عبر قمة ما يتقاطع مع كلا المستويين، فإن القسم ينتج زوجًا من الخطوط المتقاطعة، تعتبر حالة خاصة من القطع الزائد.

فأس 2 +هوو+ج + دي إكس + آي + F= 0 وتسمى منحنيات الرتبة الثانية.
(قطع مخروطي)

أنواع المخروطية أقسام .

يمكن أن تكون المقاطع المخروطية من ثلاثة أنواع:

(الشكل 1) القطع المكافئ (الشكل 2) القطع الناقص (الشكل 3) القطع الزائد

يذاكر

أ 11 س 2 +2xy+أ 22 ذ 2 = أ 33 .

تُظهر الدراسات الإضافية لهذه المقاطع المخروطية (التي تسمى المركزية) أنه يمكن اختزال معادلاتها إلى شكل أبسط:

أوه 2 + وو 2 = ج،

اختصر معادلة القطع المكافئ إلى الشكل (Ah 2 + وو 2 = ج) مستحيل. مع الاختيار الصحيح لمحاور الإحداثيات (أحد المحاور الإحداثية هو محور التماثل الوحيد للقطع المكافئ، والآخر عبارة عن خط مستقيم متعامد عليه، ويمر عبر قمة القطع المكافئ)، يمكن اختزال معادلته إلى النموذج:

ذ 2 = 2 بكسل.

خصائص المقاطع المخروطية

تعريفات بابوس. إن تحديد بؤرة القطع المكافئ أعطى بابوس فكرة إعطاء تعريف بديل للمقاطع المخروطية بشكل عام. دع F تكون نقطة معينة (بؤرة)، وL تكون خطًا مستقيمًا معينًا (دليل) لا يمر عبر F، وDF وDL المسافات من النقطة المتحركة P إلى البؤرة F والدليل L، على التوالي. بعد ذلك، كما أوضح باب، يتم تعريف المقاطع المخروطية على أنها موضع النقاط P حيث تكون النسبة DF:DL ثابتة غير سالبة. وتسمى هذه النسبة الانحراف e للقسم المخروطي. عندما ه< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - المبالغة. عندما ه = 1 - القطع المكافئ. إذا كان F يقع على L، فإن الموضع يكون على شكل خطوط (حقيقية أو خيالية)، وهي عبارة عن مقاطع مخروطية متحللة. يشير التماثل المذهل للقطع الناقص والقطع الزائد إلى أن كل من هذه المنحنيات له دليلان وبؤرتان، وقد قاد هذا الظرف كيبلر في عام 1604 إلى فكرة أن القطع المكافئ له أيضًا بؤرة ثانية ودليل ثانٍ - نقطة عند اللانهاية والمستقيم . وبنفس الطريقة، يمكن اعتبار الدائرة بمثابة قطع ناقص، تتوافق بؤرته مع المركز، وتكون دلائلها في اللانهاية. الانحراف e في هذه الحالة هو صفر.

ملكيات. إن خصائص المقاطع المخروطية لا تنضب حقًا، ويمكن اعتبار أي منها محددًا. مكان مهم في مجموعة بابوس الرياضية، هندسة ديكارت (1637) ومبادئ نيوتن (1687) تحتلها مشكلة الموقع الهندسي للنقاط بالنسبة إلى أربعة خطوط مستقيمة. إذا تم إعطاء أربعة خطوط L على المستوى 1 ، ل 2 ، ل 3 و L4 (قد يتطابق اثنان منهما) والنقطة P هي أن حاصل ضرب المسافات من P إلى L 1 و أنا 2 يتناسب مع منتج المسافات من P إلى L 3 و أنا 4 ، فإن موضع النقاط P هو مقطع مخروطي.

بناء المقاطع المخروطية

تقترح هذه التعريفات للمقاطع المخروطية كمنحنيات مستوية أيضًا طريقة لبنائها باستخدام سلسلة ممتدة.

الشكل البيضاوي. إذا كانت نهايات الخيط بطول معين مثبتة عند النقاط F 1 و ف 2 (الشكل 3)، فإن المنحنى الموصوف بنقطة قلم رصاص ينزلق على طول خيط مشدود بإحكام له شكل قطع ناقص. نقاط F 1 وF2 تسمى بؤر القطع الناقص، والقطاعات V 1 الخامس 2 و ضد 1 الخامس 2 بين نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور الإحداثيات - المحوران الأكبر والثانوي. إذا كانت النقاط F 1 و ف 2 يتزامن، ثم يتحول القطع الناقص إلى دائرة (الشكل 3).

تين. 3

القطع الزائد. عند إنشاء القطع الزائد، يتم تثبيت النقطة P، وهي رأس قلم الرصاص، على خيط ينزلق بحرية على طول الأوتاد المثبتة عند النقاط F 1 و ف 2 ، كما هو مبين في الشكل 4، أ، يتم تحديد المسافات بحيث يكون الجزء PF 2 أطول من الجزء PF 1 بقيمة ثابتة أقل من المسافة F 1 F 2 . في هذه الحالة، يمر أحد طرفي الخيط أسفل الدبوس F 1 ويمر كلا طرفي الخيط فوق الدبوس F 2 . (يجب ألا تنزلق نقطة القلم الرصاص على طول الخيط، لذلك يجب تأمينها عن طريق عمل حلقة صغيرة على الخيط وتمرير النقطة من خلالها.) فرع واحد من القطع الزائد (PV) 1 س) نرسم مع التأكد من بقاء الخيط مشدوداً في جميع الأوقات، وذلك عن طريق سحب طرفي الخيط إلى الأسفل بعد النقطة F 2 وعندما تكون النقطة P أسفل القطعة F 1 F 2 ، أمسك الخيط من كلا الطرفين ثم أطلقه بعناية. نرسم الفرع الثاني من القطع الزائد عن طريق تغيير الأوتاد F أولاً 1 و ف 2 (الشكل 4).

الشكل 4

تقترب فروع القطع الزائد من خطين مستقيمين يتقاطعان بين الفروع. تسمى هذه الخطوط الخطوط المقاربة للقطع الزائد. المعاملات الزاوية لهذه الخطوط تساوي أين يقع مقطع منصف الزاوية بين الخطوط المقاربة المتعامدة مع المقطع F 2 F 1 ; الجزء الخامس 1 الخامس 2 يسمى المحور المرافق للقطع الزائد، والقطعة V 1 الخامس 2 - محورها العرضي. وبالتالي، فإن الخطوط المقاربة هي أقطار المستطيل الذي تمر أضلاعه بأربع نقاط v 1 ،الخامس 2 ، الخامس 1 ، الخامس 2 موازية للمحاور. لإنشاء هذا المستطيل، عليك تحديد موقع النقاط v 1 و ضد 2 . وهما على نفس المسافة، تساوي نقطة تقاطع المحاور O. تفترض هذه الصيغة بناء مثلث قائم الزاوية بأرجل Ov 1 و V 2 O والوتر F 2 يا.

القطع المكافئ. كانت بؤرتا القطع الناقص والقطع الزائد معروفة لأبولونيوس، ولكن يبدو أن بؤرة القطع المكافئ قد تم تحديدها لأول مرة بواسطة بابوس (النصف الثاني من القرن الثالث)، الذي عرّف هذا المنحنى بأنه موضع النقاط المتساوية البعد عن نقطة معينة (البؤرة). وخط مستقيم معين، وهو ما يسمى المديرة. تم اقتراح بناء القطع المكافئ باستخدام خيط مشدود، بناءً على تعريف بابوس، من قبل إيزيدور ميليتس (القرن السادس) (الشكل 5).

الشكل 5

النهج التحليلي

التصنيف الجبري. في المصطلحات الجبرية، يمكن تعريف المقاطع المخروطية بأنها منحنيات مستوية تتوافق إحداثياتها في نظام الإحداثيات الديكارتية مع معادلة من الدرجة الثانية. بمعنى آخر، يمكن كتابة معادلة جميع المقاطع المخروطية بشكل عام حيث لا تكون جميع المعاملات A وB وC مساوية للصفر. باستخدام الترجمة المتوازية وتدوير المحاور، يمكن اختزال المعادلة (1) إلى النموذج

فأس 2 +بواسطة 2 + ج = 0

أو

بكسل 2 +ف ذ = 0.

يتم الحصول على المعادلة الأولى من المعادلة (1) لـ B2 > AC، والثانية - لـ B 2 = تيار متردد. تسمى المقاطع المخروطية التي اختزلت معادلاتها إلى الشكل الأول مركزية. تسمى المقاطع المخروطية المحددة بمعادلات من النوع الثاني مع q > 0 غير مركزية. ويوجد ضمن هاتين الفئتين تسعة أنواع مختلفة من المقاطع المخروطية حسب علامات المعاملات.

2) إذا كان a وb لهما نفس الإشارة، وc له الإشارة المعاكسة، فإن المقطع المخروطي عبارة عن قطع ناقص؛ عندما أ = ب - دائرة.

3) إذا كان لـ a وb إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي هو قطع زائد.

4) إذا كان لـ a وb إشارتان مختلفتان وc = 0، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متقاطعين.

6) إذا كان a أو b يساوي صفراً، والمعاملات الأخرى لها إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متوازيين.

طلب

غالبًا ما توجد المقاطع المخروطية في الطبيعة والتكنولوجيا. على سبيل المثال، تكون مدارات الكواكب التي تدور حول الشمس على شكل قطع ناقص. الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص حيث يكون المحور الأكبر مساوياً للمحور الأصغر. تتميز المرآة المكافئة بخاصية أن جميع الأشعة الساقطة الموازية لمحورها تتقارب عند نقطة واحدة (البؤرة). يُستخدم هذا في معظم التلسكوبات العاكسة التي تستخدم مرايا مكافئة، وكذلك في هوائيات الرادار والميكروفونات الخاصة ذات العاكسات المكافئة. ينبعث شعاع من الأشعة المتوازية من مصدر ضوء موضوع في بؤرة عاكس مكافئ. ولهذا السبب يتم استخدام المرايا المكافئة في الأضواء الكاشفة عالية الطاقة والمصابيح الأمامية للسيارات. القطع الزائد عبارة عن رسم بياني للعديد من العلاقات الفيزيائية المهمة، مثل قانون بويل (العلاقة بين الضغط وحجم الغاز المثالي) وقانون أوم، الذي يعرف التيار الكهربائي كدالة للمقاومة عند جهد ثابت.

جميع الأجسام في النظام الشمسي تتحرك حول الشمس في شكل قطع ناقص. الأجرام السماوية التي تدخل النظام الشمسي من أنظمة نجمية أخرى تتحرك حول الشمس في مدار زائدي، وإذا لم تتأثر حركتها بشكل كبير بكواكب النظام الشمسي، فإنها تغادر في نفس المدار. وتتحرك أقمارها الصناعية وقمرها الطبيعي القمر في مدارات بيضاوية حول الأرض، وتتحرك السفن الفضائية المنطلقة إلى الكواكب الأخرى بعد انتهاء المحركات من العمل على شكل قطع مكافئ أو قطع زائد (حسب السرعة) حتى تصل جاذبية الكواكب الأخرى أو الشمس يصبح مشابهًا للجاذبية (الشكل 3).

عبر المخروط

من السهل الحصول على القطع الناقص وحالته الخاصة - الدائرة والقطع المكافئ والقطع الزائد بشكل تجريبي. على سبيل المثال، سيكون مخروط الآيس كريم مناسبًا تمامًا لدور المخروط. ارسم عقليًا أحد مولداته واقطع القرن بزوايا مختلفة عليه. وتتمثل المهمة في إجراء أربع محاولات فقط والحصول على جميع المقاطع المخروطية الممكنة على الشرائح. من الأسهل إجراء التجربة باستخدام مصباح يدوي: اعتمادًا على موقعه في الفضاء، سينتج مخروط الضوء بقعًا ذات أشكال مختلفة على جدار الغرفة. وحدود كل بقعة هي أحد المقاطع المخروطية. من خلال تحويل المصباح إلى مستوى رأسي، سترى كيف يحل منحنى واحد محل الآخر: يتم تمديد الدائرة إلى شكل بيضاوي، ثم تتحول إلى قطع مكافئ، وهي بدورها إلى قطع زائد.

يقوم عالم رياضيات بحل نفس المشكلة نظريًا من خلال مقارنة زاويتين: α - بين محور المخروط والمولد و β - بين مستوى القطع ومحور المخروط. وهذه هي النتيجة: لـ α< β в сечении получится эллипс или окружность, при α = β - парабола, а при α >β هو فرع من القطع الزائد. إذا اعتبرنا المولدات خطوطا مستقيمة وليست قطعا، أي أن نعتبر شكلا متماثلا غير محدود من مخروطين لهما قمة مشتركة، فسيصبح من الواضح أن القطع الناقص هو منحنى مغلق، والقطع المكافئ يتكون من فرع واحد لا نهاية له، والقطع الزائد يتكون من اثنين.

يمكن رسم أبسط مقطع مخروطي - دائرة - باستخدام خيط ومسمار. يكفي ربط أحد طرفي الخيط بمسمار عالق في الورقة والآخر بقلم رصاص وسحبه بإحكام. بعد أن قام بدورة كاملة، سيحدد قلم الرصاص دائرة. أو يمكنك استخدام البوصلة: من خلال تغيير الحل، يمكنك بسهولة رسم مجموعة كاملة من الدوائر.

قائمة المراجع المستخدمة

1. فيريشاجين إن كيه، أ.شين. محاضرات عن المنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات. 1999

2. براسولوف ف.. هندسة لوباتشيفسكي 2004

4. براسولوف ف.. هندسة لوباتشيفسكي 2004

المؤسسة التعليمية البلدية

المدرسة الثانوية رقم 4

مكتمل

سبيريدونوف أنطون

طالب في الصف 11 أ

التحقق

كوروبينيكوفا إيه تي.

توبولسك - 2006

مقدمة

مفهوم المقاطع المخروطية

أنواع المقاطع المخروطية

يذاكر

بناء المقاطع المخروطية

النهج التحليلي

طلب

فهرس

مقدمة.

الغرض: دراسة المقاطع المخروطية.

الأهداف: تعلم التمييز بين أنواع المقاطع المخروطية، وبناء المقاطع الحركية وتطبيق المنهج التحليلي.

يمكن اعتبار النسبة المعطاة كنظام من المعادلات:

وتسمى منحنيات الرتبة الثانية.

أنواع المقاطع المخروطية.

يمكن أن تكون المقاطع المخروطية من ثلاثة أنواع:

يذاكر.

أ 11 × 2 +2أ 12 س ص + أ 22 ص 2 = أ 33 .

تُظهر الدراسات الإضافية لهذه المقاطع المخروطية (التي تسمى المركزية) أنه يمكن اختزال معادلاتها إلى شكل أبسط:

الفأس 2 + وو 2 = ج،

بناء المقاطع المخروطية.

من خلال دراسة المقاطع المخروطية كتقاطعات بين المستويات والأقماع، اعتبرها علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أيضًا مسارات لنقاط على المستوى. لقد وجد أنه يمكن تعريف القطع الناقص على أنه موضع النقاط، حيث يكون مجموع المسافات التي تصل إلى نقطتين محددتين ثابتًا؛ القطع المكافئ - كموضع نقاط متساوية البعد عن نقطة معينة وخط مستقيم معين؛ القطع الزائد - باعتباره موضع النقاط، يكون الفرق في المسافات من نقطتين محددتين ثابتًا.

تقترح هذه التعريفات للمقاطع المخروطية كمنحنيات مستوية أيضًا طريقة لبنائها باستخدام سلسلة ممتدة.

الشكل البيضاوي.إذا كانت نهايات خيط بطول معين مثبتة عند نقاط F 1 و F 2 (الشكل 3)، فإن المنحنى الموصوف بنقطة قلم رصاص ينزلق على طول خيط ممتد بإحكام له شكل قطع ناقص. نقاط F 1 و F 2 تسمى بؤر القطع الناقص، والقطاعات الخامس 1 الخامس 2 و الخامس 1 الخامس 2- بين نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور الإحداثيات – المحورين الأكبر والثانوي. إذا النقاط F 1 و F 2 يتزامن، ثم يتحول القطع الناقص إلى دائرة (الشكل 3).

القطع الزائد.عند بناء القطع الزائد، هذه النقطة ص، نقطة قلم الرصاص، مثبتة على خيط ينزلق بحرية على طول الأوتاد المثبتة عند النقاط F 1 و F 2، كما هو مبين في الشكل 4، أ، يتم تحديد المسافات بحيث الجزء الجبهة الوطنية 2 أطول من القطعة الجبهة الوطنية 1 بمقدار ثابت أقل من المسافة F 1 F 2. في هذه الحالة، يمر أحد طرفي الخيط تحت الوتد F 1، ويمر طرفا الخيط فوق الوتد F 2. (يجب ألا ينزلق سن قلم الرصاص على طول الخيط، لذا يجب تأمينه عن طريق عمل حلقة صغيرة على الخيط وتمرير النقطة من خلاله.) فرع واحد من القطع الزائد ( الكهروضوئية 1 س) نرسم، مع التأكد من أن الخيط يظل مشدودًا طوال الوقت، ومن خلال سحب طرفي الخيط لأسفل بعد النقطة F 2 ومتى النقطة صسيكون أسفل الجزء F 1 F 2، عقد الخيط في كلا الطرفين وإطلاقه بعناية. نرسم الفرع الثاني من القطع الزائد عن طريق تغيير الأوتاد أولاً F 1 و F 2 (الشكل 4).

تقترب فروع القطع الزائد من خطين مستقيمين يتقاطعان بين الفروع. هذه الخطوط تسمى الخطوط المقاربة للقطع الزائد، مبنية كما هو مبين في الشكل 4، ب. ركن

معاملات هذه الخطوط تساوي أين يقع الجزء المنصف للزاوية بين الخطوط المقاربة المتعامدة مع المقطع F 2 F 1 ؛ القطعة المستقيمة الخامس 1 الخامس 2 يسمى المحور المترافق للقطع الزائد، والقطعة الخامس 1 الخامس 2- محورها العرضي. وبالتالي، فإن الخطوط المقاربة هي أقطار المستطيل الذي تمر أضلاعه بأربع نقاط الخامس 1 , الخامس 2 , الخامس 1 , الخامس 2 موازية للمحاور. لبناء هذا المستطيل، تحتاج إلى تحديد موقع النقاط الخامس 1 و الخامس 2. إنهما على نفس المسافة، متساويان

من نقطة تقاطع المحاور يا. تتضمن هذه الصيغة بناء مثلث قائم بأرجل فوق 1 و الخامس 2 ياوالوتر F 2 يا.

إذا كانت الخطوط المقاربة للقطع الزائد متعامدة بشكل متبادل، فسيتم تسمية القطع الزائد متساوي الاضلاع. يُطلق على القطع الزائدتين اللتين لهما خطوط مقاربة مشتركة، ولكن مع إعادة ترتيب المحاور العرضية والمتصلة، اسم مترافقة بشكل متبادل.

القطع المكافئ.وكانت حيل القطع الناقص والقطع الزائد معروفة لدى أبولونيوس، ولكن التركيز القطع المكافئيبدو أن أول من أنشأه هو بابوس (النصف الثاني من القرن الثالث)، الذي عرّف هذا المنحنى بأنه الموقع الهندسي للنقاط المتساوية البعد عن نقطة معينة (البؤرة) وخط مستقيم معين، وهو ما يسمى ناظرة. تم اقتراح بناء القطع المكافئ باستخدام خيط مشدود، بناءً على تعريف بابوس، من قبل إيزيدور ميليتس (القرن السادس) (الشكل 5).

دعونا نضع المسطرة بحيث تتزامن حافتها مع الدليل، ونعلق الساق على هذه الحافة مكيف الهواءمثلث الرسم اي بي سي. نربط أحد طرفي الخيط بالطول أ.بفي القمة بالمثلث والآخر في بؤرة القطع المكافئ F. باستخدام طرف قلم رصاص لتمديد الخيط، اضغط على الطرف عند نقطة متغيرة صإلى الساق الحرة أ.برسم مثلث. عندما يتحرك المثلث على طول المسطرة، تكون النقطة صسوف يصف قوس القطع المكافئ مع التركيز Fوالدليل، لأن الطول الإجمالي للخيط هو أ.ب، قطعة من الخيط مجاورة للساق الحرة للمثلث، وبالتالي قطعة الخيط المتبقية الجبهة الوطنيةيجب أن يكون مساوياً للجزء المتبقي من الساق أ.ب، إنه السلطة الفلسطينية. نقطة التقاطع الخامسيسمى القطع المكافئ مع المحور قمة القطع المكافئ، خط مستقيم يمر عبر Fو الخامس, - محور القطع المكافئ. إذا تم رسم خط مستقيم من خلال البؤرة، عموديًا على المحور، فإن الجزء من هذا الخط المستقيم المقطوع بواسطة القطع المكافئ يسمى المعلمة البؤرية. بالنسبة للقطع الناقص والقطع الزائد، يتم تحديد المعلمة البؤرية بالمثل.

النهج التحليلي

الفأس 2 + في 2 + ج = 0

3) إذا كان لـ a وb إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي هو قطع زائد.

4) إذا كان لـ a وb إشارتان مختلفتان وc = 0، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متقاطعين.

6) إذا كان a أو b يساوي صفراً، والمعاملات الأخرى لها إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متوازيين.

طلب

فهرس.

1. الكسيف. نظرية هابيل في المشاكل والحلول. 2001

3. فيريشاجين إن كيه، أ. شين. محاضرات عن المنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات. 1999

4. محاضرات جلفاند آي إم عن الجبر الخطي. 1998.

5. جلادكي أ.ف. مقدمة في المنطق الحديث. 2001

6. إم إي كازاريان.دورة الهندسة التفاضلية (2001-2002).

7. براسولوف ف.. هندسة لوباتشيفسكي 2004

8. براسولوف ف... مشاكل في قياس المساحة 2001

9. شينمان أوك.. أساسيات نظرية التمثيل. 2004

(سم) (دليلها دائرة) بطائرات لا تمر برأسها.
إذا لم يكن مستوى القطع موازيا لأي من تولدات السطح المخروطي، فإن القسم المخروطي يكون شكلا ناقصا، ولا سيما دائرة (الشكل 107). إذا كان مستوى القطع موازيا لواحد فقط من مولدات السطح المخروطي، فإن المقطع المخروطي يكون قطعا مكافئا (الشكل 108). إذا كان المستوى القاطع موازيا لمولدين لسطح مخروطي، فإن المقطع المخروطي يكون قطعا زائدا (الشكل 109).
في حالة القطع الناقص والقطع المكافئ، يتقاطع مستوى القطع مع تجويف واحد فقط من السطح المخروطي، وفي حالة القطع الزائد، يتقاطع مستوى القطع مع تجاويف السطح المخروطي.
تسمى المقاطع المخروطية أيضًا منحنيات الرتبة الثانية. تمت دراسة المقاطع المخروطية بالفعل من قبل علماء الرياضيات في اليونان القديمة (على سبيل المثال، قام ميناكموس في القرن الرابع قبل الميلاد بحل مشكلة (انظر) باستخدام المقاطع المخروطية). تم إجراء الدراسة الأكثر اكتمالا للمقاطع المخروطية من قبل أبولونيوس من برجا (القرن الثالث قبل الميلاد).

تُستخدم المقاطع المخروطية في التكنولوجيا، على سبيل المثال، في التروس الإهليلجية، وفي تركيبات الكشافات (المرايا المكافئة)، وما إلى ذلك. وتتحرك كواكب النظام الشمسي في شكل قطع ناقص، وتتحرك المذنبات في قطع مكافئة وقطع زائدة.
تم إجراء دراسة المقاطع المخروطية باستخدام المجالات المنقوشة على سطح مخروطي بواسطة عالم الهندسة البلجيكي ج. دانديلين (القرن التاسع عشر).

معادلة المقطع المخروطي في الإحداثيات القطبية لها الشكل:

حيث r هو ناقل نصف القطر البؤري (الشكل 110، F هو البؤرة اليمنى للقسم المخروطي)؛

ف - المعلمة البؤرية؛
ه - الانحراف.
φ - الزاوية القطبية.

إذا ه 1، تحدد هذه المعادلة (انظر)؛ في هذه الحالة، بالنسبة للزاوية φ التي تتراوح من φ 0 إلى 2π - φ 0 (حيث 2 φ 0 هي الزاوية بين الخطوط المقاربة tan φ 0 =b/a)، نحصل على الفرع الأيمن للقطع الزائد، وبالنسبة للزوايا φ المتغيرة من - φ 0 إلى φ 0، نحصل على الفرع الأيسر من القطع الزائد.

تم تفسير اسم المقاطع المخروطية (القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد) من قبل علماء الهندسة القدماء من خلال طريقتهم في حل المسائل التي تتلخص في حل المعادلات الخطية أو التربيعية - طريقة تطبيق المساحات، أو طريقة القطع المكافئ، والتي تسمى أيضًا طريقة الجبر الهندسي.

دع AB = 2a - قطر القطع الناقص (الشكل 111)، AE = 2p، CF - عمودي على AB؛ فإن المربع المبني على القرص المضغوط سيكون مساوياً لمساحة المستطيل (AF):

بوضع AC=x، CB=2a - x، CD=y، نحصل على:

وبالمثل بالنسبة للقطع الزائد سيكون لدينا:

في حالة القطع الناقص، تحتوي الصيغة على علامة الطرح، أي يتم استخدام مساحة المستطيل (CE) مع العيب (اليونانية εἐρειψιζ - العيب). في حالة القطع الزائد، تحتوي الصيغة على علامة زائد، أي يتم استخدام مساحة المستطيل (CE) بشكل زائد (اليونانية υπερβονη - فائض، فائض).
إذا كانت هناك مساواة بسيطة بين مساحة المربع ومساحة المستطيل (CE) (لا يوجد ناقص أو زائد في الصيغة - لا زيادة ولا نقص)، أي y² = 2px، فإن المنحنى (القسم المخروطي) يسمى القطع المكافئ (παραβοлη - مناطق الزائدة الدودية، المعادلة).

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي

جامعة كالوغا الحكومية التربوية

هم. ك. تسيولكوفسكي

"المقاطع المخروطية"

1. أعمال أبولونيوس

2. "المقاطع المخروطية" لأبولونيوس.

2.1 اشتقاق معادلة المنحنى لقسم من مخروط مستطيل الشكل

2.2 اشتقاق معادلة القطع المكافئ

2.3 اشتقاق معادلة القطع الناقص والقطع الزائد

2.4 ثبات المقاطع المخروطية

2.5 دراسة إضافية للمقاطع المخروطية في أعمال أبولونيوس

2.6 مزيد من التطوير لنظرية المقاطع المخروطية

3 - الخلاصة

4. المراجع

أعمال أبولونيوس

ولد أبولونيوس في مدينة برجاي بآسيا الصغرى. ذروة نشاطه يقع حوالي 210. قبل الميلاد. في هذا الوقت عاش في الإسكندرية حيث انتقل عندما كان شابًا ودرس تحت إشراف علماء الرياضيات من مدرسة إقليدس. أصبح أبولونيوس مشهورًا كعالم هندسة وفلكي. توفي حوالي سنة 170. قبل الميلاد ه.

في الرياضيات، اشتهر أبولونيوس بأقسامه المخروطية، التي قدم فيها عرضًا كاملاً للنظرية، وطور أساليب تحليلية وإسقاطية. كتب أبولونيوس أطروحة بعنوان "حول الإدراج"، مخصصة لتصنيف المشكلات التي يمكن حلها باستخدام الإدخالات. قد يتبين أن مثل هذه المسائل قابلة للحل باستخدام البوصلة والمسطرة (مسائل مستوية)، وبمساعدة المقاطع المخروطية (مسائل صلبة)، وبمساعدة منحنيات أخرى (مسائل خطية). إن تحديد الفئة التي تنتمي إليها مشكلة معينة يمكن أن يمثل بداية تصنيفها الجبري. كما تجلى اهتمام أبولونيوس بالمسائل الجبرية في عمله الآخر "حول اللاعقلانية المضطربة"، والذي واصل فيه تصنيف إقليدس.

أعمال أبولونيوس الهندسية البحتة هي: عمل “على الخطوط الحلزونية”، الذي ينظر فيه إلى اللوالب على سطح الأسطوانة، “على اللمس”، حيث يتم تحليل مشكلة أبولونيوس الشهيرة: “نظرًا لثلاثة أشياء، كل منها يمكن أن تكون نقطة، خط مستقيم أو دائرة؛ يجب رسم دائرة تمر عبر كل نقطة من النقاط المعطاة وتلامس كل من الخطوط أو الدوائر المحددة.

من أعمال "في الأماكن الهندسية المستوية" يمكننا أن نستنتج أن أبولونيوس فكر في تحويل المستوى إلى نفسه، والذي يحول الخطوط المستقيمة والدوائر إلى خطوط مستقيمة ودوائر. حالة خاصة من هذه التحولات هي تحويلات التشابه والانقلابات لنقطة معينة.

ضاعت بعض أعمال أبولونيوس ولم تنجو حتى يومنا هذا.

"المقاطع المخروطية" لأبولونيوس

المقاطع المخروطية تتكون من ثمانية كتب. الأربعة الأولى، التي، بحسب المؤلف، تحدد عناصر النظرية، وصلت إلينا باللغة اليونانية، والثلاثة التالية في الترجمة العربية لثابت بن قرة، والأخير - الكتاب الثامن - مفقود. هناك إعادة بناء لنصه الذي ينتمي إلى عالم الفلك الإنجليزي إي. هالي (القرن الثامن عشر).

تم النظر في منحنيات الدرجة الثانية لأول مرة فيما يتعلق بمشكلة مضاعفة المكعب؛ وقد قدمها ميناكموس كأجزاء مسطحة من المخاريط الدائرية المستطيلة، ذات الزاوية المنفرجة والحادة. يضمن هذا التمثيل المجسم وجود واستمرارية المنحنيات المعنية. ثم انتقل ميناكموس إلى اشتقاق الخاصية التخطيطية الأساسية للقسم، والتي أطلق عليها القدماء اسم العَرَض (معادلة المنحنى).

اشتقاق معادلة المنحنى لقسم من مخروط مستطيل الشكل

دع OAB هو قسم هذا المخروط بواسطة مستوى يمر عبر المحور OL، ودع PLK هو أثر المستوى المتعامد مع المولد لهذا المخروط (الشكل 1). إذن KM 2 = AK KB، نظرًا لأن AMB عبارة عن نصف دائرة. لكن AK=PP'=√2LP 2، وKB=√2KP 2، إذن KM 2 =2LP KP.

أرز. 1

دعونا نشير إلى KM بواسطة y، KP بواسطة p، ثم نحصل على ذلك

هذه معادلة أو أعراض للمنحنى، وهي مكتوبة باستخدام رموز أبجدية، وقد كتبها القدماء في شكل هندسي لفظي: المربع الموجود على نصف الوتر KM عند كل نقطة يساوي المستطيل PKSR، المبني على المقطع PK من المحور إلى القمة (x) وعلى المقطع الثابت PR (الشكل 2).

أرز. 2

وبالمثل، تم اشتقاق المعادلة لمقاطع المخاريط حادة الزاوية ومنفرجة الزاوية، أي. القطع الناقص والقطع الزائد:

= و =، (2)

حيث 2a هو المحور الرئيسي للقطع الناقص أو المحور الحقيقي للقطع الزائد،

وp ثابت.

في الحالة التي تكون فيها π=а، فإن المعادلات (2) تأخذ الشكل

ص 2 = س (2أ-س) و ص 2 = س (2أ+س) (3)

أولهما معادلة دائرة نصف قطرها a، والثانية معادلة القطع الزائد متساوي الأضلاع. يمكن الحصول على القطع الناقص والقطع الزائد (2) من الدائرة والقطع الزائد (3) بالضغط على محور الإحداثي السيني بنسبة √p/a.

يقدم أبولونيوس في المقام الأول تعريفًا أكثر عمومية. أولاً، يأخذ مخروطًا دائريًا عشوائيًا؛ ثانيًا، يقوم بفحص تجاويفه (مما يمنحه الفرصة لدراسة فرعي القطع الزائد)؛ أخيرًا، قام برسم قسم بمستوى يقع بأي زاوية على المولد.

باللغة المعتادة للهندسة التحليلية، يمكننا القول أنه قبل أبولونيوس، كانت المقاطع المخروطية تعتبر بالنسبة لنظام إحداثيات مستطيل، حيث يتطابق أحد المحاور مع القطر الرئيسي، ويمر الثاني بشكل عمودي عليه من خلال قمة الرأس. منحنى؛ ربط أبولونيوس المنحنيات بأي قطر مماس مرسوم عند أحد طرفيه، أي قطر المماس. لبعض نظام الإحداثيات المائلة.

بعد التعريف المجسم، يعطي أبولونيوس أيضًا اشتقاقًا للأعراض - معادلات المنحنيات. وفي الوقت نفسه، يقوم بتصنيف المنحنيات الناتجة حسب نوع المعادلة التي تحددها، أي. الأساس هو وجهة نظر مميزة للهندسة التحليلية.

اشتقاق معادلة القطع المكافئ

افترض أن BAC هو جزء من مخروط دائري بواسطة مستوى يمر عبر المحور (الشكل 3)، ودع المستوى GHD يُرسم بحيث يكون DE متعامدًا مع BC، وGH موازيًا لـ AB (يمكن اختيار GH ليكون بالتوازي مع التيار المتردد). دعونا نجد معادلة منحنى DGE التي تم الحصول عليها في القسم.

أرز. 3

دع K تكون نقطة تعسفية على هذا المنحنى. دعونا نرسم KL موازيًا لـ DE وMN موازيًا لـ BC. سيكون المستوى الذي يمر عبر KL وMN موازيًا لمستوى القاعدة، وكما أثبت أبولونيوس سابقًا، سوف يتقاطع مع المخروط في دائرة. وبالتالي KL 2 =ML LN.

المقطع GL عبارة عن مسافة متغيرة لإسقاط النقطة D من الرأس، وشروطها ثابتة. أبولونيوس يختار قطعة GF من هذا القبيل

ثم KL 2 = GF LG. هذا هو العرض - معادلة المقطع العرضي.

إذا أشرنا إلى KL=y، LG=x، GF=2p، فسنحصل على المعادلة بالشكل المعتاد: y 2 =2px.

في Apollonius، تتم كتابة المعادلة أيضًا شفهيًا - باللغة اليونانية: إذا كان GH أحد أقطار القطع المكافئ، وKL هو شبه الوتر المرافق لهذا القطر، فإن Apollonius يضع GR = 2p عموديًا على GH. ثم يذكر أنه عند كل نقطة يجب أن يكون المربع المبني على LK (الشكل 4) مساوياً للمستطيل GRSL، أي. جي إل جي آر.

يأتي اسم "القطع المكافئ" من اسم أبولونيوس παραβοlectή (التطبيق)، حيث أن مشكلة إنشاء نقطة على هذا المنحنى اختزلت إلى مشكلة التطبيق (قبل أبولونيوس، كان القطع المكافئ يسمى مقطعًا من مخروط مستطيل الدوران).

أرز. 4

اشتقاق معادلة القطع الناقص والقطع الزائد

وبالمثل، حصل أبولونيوس على معادلة القطع الناقص والقطع الزائد.

وهكذا، بالنسبة للقطع الناقص، ثبت أن LK 2 = pl. GLL′G′ (الشكل 5)، حيث GH=2a هو قطر معين للقطع الناقص، وLK هو شبه الوتر المرافق له، وGR=2p ثابت، وGR متعامد مع GH. للانتقال إلى شكل مألوف أكثر من التدوين، لاحظ ذلك

أرز. 5

وبالتالي، فإن مشكلة بناء نقاط القطع الناقص يتم تقليلها إلى مشكلة تطبيق مع عيب ("مشكلة القطع الناقص")، وهو ما يفسر اسم "القطع الناقص" (έέlectειψις - عيب). وقد أدخل هذا الاسم أبولونيوس قبله، وكان يُطلق على القطع الناقص مقطعًا لمخروط دوراني حاد الزاوية.

وبالمثل بالنسبة للقطع الزائد (الشكل 6) نحصل على المعادلة

LK 2 = مربع GLL'G'، أي. ، أو.

وبالتالي، فإن مشكلة بناء نقاط القطع الزائد تتلخص في مشكلة التطبيق الزائد ("مشكلة القطع الزائد")، وهو ما يفسر اسم "القطع الزائد" (ύπερβοκή - الزائد). وقد أدخل هذا الاسم أيضًا أبولونيوس قبله، وقد أطلق على القطع الزائد مقطعًا لمخروط منفرج للثورة.

القطعة المبنية GR=2p، الموضوعة بشكل عمودي على القطر GH، أطلق عليها أبولونيوس اسم "الجانب المستقيم".

أرز. 6

حاليًا، تُسمى القيمة p معلمة القسم القانوني (في حالة القطع الناقص والقطع الزائد مع أنصاف المحاور a وb، p=b 2 /a، وعامل الضغط √p/a، تحويل الدائرة أو القطع الزائد متساوي الأضلاع في القطع الناقص أو القطع الزائد، يساوي b/a) .

كان تصنيف أبولونيوس للمقاطع المخروطية جبريًا في الأساس.

ثبات المقاطع المخروطية

لقد فهم أبولونيوس جيدًا (وهذا ما جعله أقرب إلى مقاييس العصر الجديد) أن مثل هذا التصنيف لا يكون مشروعًا إلا إذا لم يتغير شكل المعادلة عندما يتم تعيين المنحنى لقطره الآخر وأوتاره المترافقة.

في الكتاب الأول يستكشف هذه القضية. للقيام بذلك، كان من الضروري تحديد اتجاه الحبال المرتبطة بأي قطر. مع التحديد المجسم، يتم الحصول على الاتجاهات المترافقة تلقائيًا. ومع ذلك، لحل المشكلة التي طرحها أبولونيوس، هناك حاجة إلى تعريف مستقل عن القياس الفراغي. يفعل أبولونيوس هذا: فهو يثبت أن الخط المرسوم عبر النقطة A من القسم القانوني الموازي لاتجاه الأوتار المترافقة مع القطر الذي يمر عبر A هو ظل. بعد ذلك، يقوم ببناء مماس للقطع المكافئ، والقطع الناقص، والدائرة، والقطع الزائد.

دع P يكون نقطة ما على القطع المكافئ و AA′ يكون أحد الأقطار (الشكل 7). أثبت أبولونيوس أن المماس PR سوف يقطع القطعة AR=AQ من امتداد القطر إذا كان PL وترًا مترافقًا مع AA'. بالنسبة للقطع الزائد والقطع الناقص والدائرة، حصل على العلاقة (الشكل 8، بالنسبة للقطع الناقص)

أرز. 7

RA:RA'=QA:QA'.

ثم يقوم أبولونيوس بتحويل معادلة القطع الناقص والقطع الزائد بحيث يكون أصل الإحداثيات في مركز المنحنى، ومعادلة القطع المكافئ بحيث يكون أصل الإحداثيات مطابقًا لرأس هذا المنحنى.

وبالتالي، فإن محاور الإحداثيات هنا عبارة عن قطرين مترافقين. وبعد ذلك يبين أن شكل المعادلة لا يتغير إذا تم أخذ أي من أقطار المنحنى والمماس المرسوم عند أحد طرفيه كمحاور جديدة.

أرز. 8

في الكتاب الأول، تناول أبولونيوس مجموعة متنوعة من أنظمة الإحداثيات اعتمادًا على معلمة واحدة، حيث يتم تحديد أنظمة الإحداثيات هذه بنقطة واحدة من المنحنى - نهاية القطر، ويثبت ثبات معادلات القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ فيما يتعلق بتحويلات أنظمة الإحداثيات المقابلة.

وفي نهاية الكتاب الأول، يبين أبولونيوس أنه من الممكن اختيار قطر متعامد مع الأوتار المرتبطة به. بعد ذلك يمكن تمثيل المنحنى قيد النظر كقسم من أي مخروط دوران منفرج الزاوية، أو حاد الزاوية، أو مستطيل بواسطة مستوى متعامد مع المولد. وهذا يحدد هوية المنحنيات التي قدمها أبولونيوس مع الأقسام القانونية التي تم النظر فيها قبله.

الفكرة الرئيسية للكتاب الأول هي أن يتخذ كأساس لتصنيف المنحنيات خصائص معادلاتها الجبرية، وعلى وجه التحديد تلك التي تظل ثابتة في ظل تحويلات الإحداثيات المسموح بها. فقط في القرن التاسع عشر. تم فهم هذه الفكرة بالكامل عندما أسس كلاين، في برنامج إرلانجن، رؤية جديدة للهندسة باعتبارها علم الثوابت لمجموعات معينة من تحولات المستوى أو الفضاء.

مزيد من الدراسة للمقاطع المخروطية في أعمال أبولونيوس

في الكتب الثلاثة التالية، طور أبولونيوس نظرية المقاطع المخروطية: فهو يوضح الخصائص الأساسية للأقطار المترافقة للخطوط المقاربة، ويحصل على معادلة القطع الزائد بالنسبة للخطوط المقاربة (xy=const) ويحدد الخصائص الأساسية للخطوط المقاربة. بؤر القطع الناقص والقطع الزائد. هنا تظهر لأول مرة أقطاب وأقطاب بالنسبة إلى المقاطع المخروطية: إذا كان من الممكن رسم مماسين لمقطع مخروطي من نقطة ما، فإن الخط المستقيم الذي يصل بين نقاط التماس يسمى قطبي النقطة المعطاة والنقطة هي قطب هذا الخط المستقيم. إذا قمت بتحريك العمود على طول خط مستقيم يتقاطع مع القسم، فإن القطبي سوف يدور حول قطب هذا الخط المستقيم، أما إذا قمت بتحريك العمود على طول خط مستقيم لا يتقاطع مع القسم، فإن القطبي سوف يدور حوله أيضًا نقطة ما، وفي هذه الحالة النقطة التي يدور حولها القطب، والخط المستقيم الذي يتحرك على طوله القطب، يسمى أيضًا القطب والقطبي. وفي الكتاب الرابع يتناول أبولونيوس مسألة عدد نقاط تقاطع مقطعين مخروطيين.

في الكتاب الخامس، يعرّف أبولونيوس جميع الأعراف إلى مقطع مخروطي (عمودي على المماس، يتم استعادته عند نقطة التماس). ويدرس الكتاب السادس المقاطع المخروطية المشابهة.

أما الكتاب السابع فيحتوي على نظريات أبولونيوس الشهيرة:

أ) مجموع المربعات على أقطار القطع الناقص المترافقة يساوي مجموع المربعات على المحاور الرئيسية؛

ب) فرق المربعات على قطرين مترافقين من القطع الزائد يساوي فرق المربعات على المحاور الرئيسية؛

ج) متوازي الأضلاع المبني على قطرين مترافقين من القطع الناقص أو القطع الزائد له مساحة ثابتة.

مواصلة تطوير نظرية المقاطع المخروطية

في العصور القديمة، لم يتم تطوير طرق دراسة المنحنيات التي أنشأها أبولونيوس، على الرغم من أنه حتى بداية القرن الخامس. إعلان تمت دراسة أعماله والتعليق عليها. أما المقاطع المخروطية نفسها فقد استخدمها أرخميدس لحل ودراسة المعادلة التكعيبية. ولنفس الأغراض، تم استخدام المقاطع المخروطية من قبل علماء الهندسة وعلماء الدول الإسلامية القدامى في وقت لاحق.

لفترة طويلة لم يتلقوا أي تطبيق في العلوم الطبيعية الرياضية، باستثناء دراسة انعكاس الضوء من المرايا المكافئة. فقط في القرن السابع عشر. كان هناك إحياء لأفكار أبولونيوس: فقد ترجم فيرما وديكارت طريقته إلى لغة الجبر الجديد، مؤسسين الهندسة التحليلية، وطبق نيوتن هذه الأساليب لوصف ودراسة منحنيات الدرجة الثالثة. ولكن حتى في وقت سابق، تلقت نظرية المقاطع المخروطية أوسع تطبيق في ميكانيكا الأجسام الأرضية والسماوية: أثبت كيبلر أن كواكب نظامنا الشمسي تتحرك في القطع الناقص، في إحدى البؤر التي تقع فيها الشمس؛ أظهر جاليليو أن الحجر الذي تم رميه يطير عبر الفضاء في شكل قطع مكافئ. وأخيرا، في الثمانينات من القرن السابع عشر. ابتكر نيوتن "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية" بناءً مباشرة على أعمال أبولونيوس.

خاتمة

تعتبر المقاطع المخروطية لأبولونيوس مثالاً للنظرية الرياضية التي تم إنشاؤها قبل فترة طويلة من الحاجة إليها. وبهذه المناسبة كتب أ. أينشتاين: "إن الإعجاب بهذا الرجل الرائع (نحن نتحدث عن كيبلر) هو شعور آخر بالإعجاب والرهبة، ولكنه لا يتعلق بالإنسان، بل بالانسجام الغامض للطبيعة، والذي يتوافق مع أبسط الأشياء". القوانين. جنبا إلى جنب مع الخط المستقيم والدائرة، فقد شملت القطع الناقص والقطع الزائد. ونحن نرى هذا الأخير مطبقًا في مدارات الأجرام السماوية، على الأقل بتقريب جيد.

فهرس:

1. المسارات والمتاهات. مقالات عن تاريخ الرياضيات. دان - دالميديكو أ.، بيفر جيه ترانس. من الفرنسية - م: مير، 1986.

2. تاريخ الرياضيات من العصور القديمة إلى بداية القرن التاسع عشر. يوشكيفيتش أ.ب. - م: ناوكا، 1970.

قمت بزيارة "الكتاب القديم" الذي تم افتتاحه حديثًا في شارع سوفيتسكايا الثاني. الانطباعات مواتية للغاية: متجر عالمي، الكثير من الخيال، مجموعة جيدة من الأدبيات الفنية والعلمية. نظرًا لأن عملية الترتيب لم تكتمل بعد، لم يتم عرض جميع الأدبيات التقنية حتى الآن (يتم الوعد بتجديد كبير في الأيام القادمة) وهي في حالة من الفوضى. معاملة العملاء هي "أكثر أنواع الخردوات"؛ فهم يدعونك للحضور مرة أخرى ويطلبون منك إخبار أصدقائك عن المتجر الجديد.
أقوم بتنفيذ طلبي الأخير:

وبطبيعة الحال، كان من المستحيل المغادرة دون شراء كتاب:

ل. كاربينسكي، أستاذ في جامعة ميشيغان، ج. بنديكت، أستاذ في جامعة تكساس، ج. كالجون، أستاذ في جامعة تكساس
الرياضيات الموحدة
ترجمة معتمدة من اللغة الإنجليزية مع الملاحظات والتغييرات من قبل البروفيسور. د.أ.كريزانوفسكي
تمت الموافقة على القسم العلمي والفني بالمجلس الأكاديمي للدولة كدليل للمدارس الفنية والكليات التقنية؛ الموصى بها كدليل للمعلمين
M.-L.: دار النشر الحكومية، 1926. السادس عشر، 596 ص.
(أدلة وأدلة للمدارس والكليات التقنية)

من مقدمة المترجم:

من بين المؤلفات الرياضية التعليمية الهائلة تقريبًا من مختلف البلدان، يتميز العمل الجماعي لثلاثة أساتذة أمريكيين، "الرياضيات الموحدة"، باختياره الأصلي للمواد، وخاصةً، بطرق المعالجة والعرض. الاتجاه الرئيسي للمؤلفين هو ربط جميع المواد المقدمة، من خلال تشابك أجزائها الفردية عضويا، في كل واحد - في انسجام تام مع مبادئ مدرستنا. إذا كانت الرياضيات، كموضوع للتعليم المدرسي، يجب أن ترتبط ارتباطًا وثيقًا بدراسة الطبيعة والمجتمع ومتطلبات الحياة، فلا يمكن أن يكون هناك تقسيم مدرسي إلى تخصصات وفصول معزولة ومكتفية ذاتيًا. لا تعمل الفيزياء والتكنولوجيا والاقتصاد على تكييف مشكلاتها مع الفئات التي يتم تقسيم مجموعات المشكلات الرياضية إليها عادةً. لذلك، كلما أسرع الطالب في تعلم الجمع بين تقنيات ونتائج فروع الرياضيات المختلفة، كلما كان ذلك أفضل. ولهذا فإن أضمن طريقة هي إدخال طريقة الجمع هذه في عملية دراسة الرياضيات ذاتها.
هناك سمة مميزة أخرى للكتاب، ترتبط عضويًا بتوجهه العام المذكور أعلاه، وهي الثراء الشديد والتنوع في المواد التطبيقية (المأخوذة من الفيزياء، وعلم الفلك، والتكنولوجيا، والمدفعية، وعلم الأحياء، والإحصاء، والحساب التجاري، وما إلى ذلك) في النص. وفي المهام - يناسب تمامًا احتياجات مدرستنا. هذه المادة منتشرة بسخاء في جميع الفصول، وعلى وجه الخصوص، تملأ الفصول الثاني والعشرين والسادس والعشرون ("الحركة التذبذبية") والسابع والعشرون ("قوانين النمو العضوي") بالكامل. في هذا الفصل الأخير (السابع والعشرون)، يتم لفت انتباه خاص إلى حداثة موضوع "منحنى التئام الجروح" - نتيجة ملاحظات المستشفى خلال الحرب الأخيرة. بفضل هذه الوفرة من الأمثلة والمسائل، يمكن أن تكون "الرياضيات الموحدة" دليلاً مفيدًا لتلك المؤسسات التعليمية التي يتم فيها تدريس النظرية باستخدام أدلة أخرى.
تشمل المزايا التي لا شك فيها لـ "الرياضيات الموحدة" أيضًا العديد من "الملاحظات التاريخية" المثيرة للاهتمام.

مقدمة البروفيسور ل. كاربينسكي للترجمة الروسية:

الفكرة المركزية لـ "الرياضيات الموحدة" لا تتمثل في الانحراف عن الرياضيات التقليدية، تراثنا العظيم من الماضي، بل في إظهار الدور الحيوي والحقيقي الذي تلعبه الرياضيات في العالم الحديث. إن معرفة أن القطع المكافئ له كذا وكذا من الخصائص الهندسية الرائعة كان كافيًا بالنسبة لليونانيين. يحتاج الطالب الحديث إلى إظهار ارتباط مذهل مع المعادلات الجبرية الأولية، وخاصة مع رحلة قذيفة، مع أنواع مختلفة من هياكل الجسور، مع شكل قاعات الحفلات الموسيقية وحتى مع أضواء السيارات. التطبيقات العملية لا تقل روعة عن التطبيقات النظرية البحتة.
إن العالم الحديث يتطلب عملاً عقلياً لا يقل عن العالم القديم، ولكنه يتطلب أن يكون العقل على اتصال بالواقع. في الرياضيات يمكن القيام بذلك مع الحفاظ على الكثير من إنجازات الماضي.
قراءة كتاب مثل هذا هو الكثير من المرح. العديد من الأمثلة الواردة فيه لها بالفعل قيمة تاريخية تقريبًا. علاوة على ذلك، فإن بعض الأقسام، التي كان من المستحيل على علماء الرياضيات والمهندسين دون علمها قبل ثمانين إلى تسعين عامًا، قد تلاشت الآن عمليًا، واكتشافها أمر مثير للاهتمام للغاية. يتم استقبال بعض التعليقات بابتسامة حزينة، خاصة عند التفكير في الطلاب الحاليين.

في السنوات الأخيرة، أدى الاستخدام الواسع النطاق للآلات الحاسبة، وإجراء عمليات الضرب والقسمة لخمسة عشر وحتى عشرين رقمًا، إلى استبدال الجداول اللوغاريتمية جزئيًا في مكاتب شركات التأمين الكبيرة، وكذلك، إلى حد ما، في المراصد.
من الفصل السابع: الدوال المثلثية

§ 10. أصل دوال الظل وظل التمام.- في علم الفلك الرصدي، تلعب زاوية ميل الشمس والأجرام السماوية الأخرى إلى الأفق دورًا مهمًا. إن نسبة طول الظل الذي يلقيه جسم رأسي إلى طول الجسم نفسه تعطي ظل التمام لزاوية ميل الشمس. وقد ظهرت وظيفة الزاوية هذه قبل الظل في كتابات عالم الفلك العربي البتاني، في القرن العاشر بعد المسيح، وسميت بالظل، ولاحقاً بالظل المباشر أو الظل الثاني. دالة الظل، التي تمثل نسبة طول الظل الملقي على جدار رأسي بواسطة قضيب متعامد على الحائط إلى طول القضيب نفسه، سُميت فيما بعد بالظل الأول. وكان العرب يعتبرون طول القضيب 12 وحدة.

من الفصل التاسع عشر: القطع المكافئ

§ 1. التعريف.- لقد عرفنا القطع الناقص (الفصل الثامن عشر، الفقرة 3) بأنه موقع نقطة تتحرك بحيث تكون بعدها عن نقطة ثابتة، البؤرة، بنسبة ثابتة أقل من 1 إلى بعدها عن النقطة الثابتة. الخط الثابت، الدليل. إذا كانت هذه النسبة الثابتة هي 1، فإن المنحنى الذي تصفه النقطة المتحركة يسمى القطع المكافئ. إذا كانت هذه النسبة ثابتة وتتجاوز 1، فإن المنحنى يسمى القطع الزائد.

حالة: ، في، يتم تحديد القطع الناقص.
الشرط: يتم تعريف القطع المكافئ.
حالة: ، في، يتم تعريف القطع الزائد.
[مع. 345-346.]

من الفصل الحادي والعشرون: المماسات والأعراف إلى المنحنيات من الدرجة الثانية

§ 2. معادلة الدرجة الثانية من الصورة العامة تصور مقطعاً مخروطياً.- إذا تم إعطاء مخروط دائري مستقيم فإنه يمكن أن يتبين باستخدام الطرق الهندسية للهندسة الإقليدية أن قسم سطح المخروط بأي مستوى يمثل أحد المنحنيات المذكورة أعلاه؛ على سبيل المثال، المستوى الموازي لقاعدة المخروط يعطي دائرة في المقطع العرضي، أو نقطة دائرة (دائرة نصف قطرها صفر) إذا مرت عبر الرأس.
ونقصد بالمخروط هنا كامل السطح المخروطي المتكون من تولدات المخروط، والممتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين من نقطة تقاطعهما.
المستوى الموازي لعنصر توليد واحد فقط (مولد المخروط) يتقاطع مع المخروط على طول القطع المكافئ، أو على طول خطين مستقيمين متطابقين، إذا مر مستوى القطع في نفس الوقت عبر أحد المولدات ولامس القاعدة الدائرية للمولد. مخروط.
المستوى الذي يتقاطع على مسافة محدودة مع جميع أجيال المخروط يعطي شكلًا بيضاويًا في المقطع العرضي؛ يتحول الأخير إلى نقطة القطع الناقص عندما يمر المستوى عبر قمة المخروط.
يقوم المستوى الموازي لاثنين من مولدات المخروط في نفس الوقت بقطع الأخير على طول القطع الزائد، ولكن إذا مر المستوى عبر القمة، فإن القطع الزائد يتحول إلى زوج من الخطوط المستقيمة.
§ 3. ملاحظة تاريخية عن المقاطع المخروطية.- تم اكتشاف الخصائص الأساسية للمقاطع المخروطية من قبل علماء الرياضيات اليونانيين قبل ما يقرب من ألفي سنة من اختراع الهندسة التحليلية من قبل علماء الرياضيات الفرنسيين في القرن السابع عشر ديكارت وفيرمات. كتب إقليدس (حوالي 320 قبل الميلاد) أطروحة عن المقاطع المخروطية، ولكن تم تجاوزها بشكل حاسم من خلال أطروحة كتبت بعد قرن من الزمان أبولونيوس من بيرغامون(ج. 250 قبل الميلاد)؛ تحتوي هذه الرسالة الأخيرة على معظم الخصائص الأساسية التي درسناها.
خصائص القطع المكافئ المرتبطة مباشرة بالبؤرة والدليل لم يتم تضمينها في الكتب (الفصول) الثمانية التي كتبها أبولونيوس حول المقاطع المخروطية؛ كما أنه لم يستخدم الدليل في حالة الأقسام المركزية (أي المنحنيات التي لها مركز تناظر - القطع الناقص والقطع الزائد). أدخل هذه المفاهيم في كتابه المجموعات الرياضية بابوس الإسكندرية(ج. 300 م)، وربما كان آخر علماء الرياضيات اليونانيين البارزين.
اهتم علماء الرياضيات اليونانيون القدماء بهذه المنحنيات من وجهة نظر هندسية بحتة. ولم يعلموا أن مسارات الكواكب عبارة عن مقاطع مخروطية؛ كما أنهم لم يعرفوا أي تطبيق عملي لهذه المنحنيات. ومع ذلك، فقط لأن علماء الهندسة اليونانيين درسوا خصائص هذه المنحنيات، تمكن يوهانس كيبلر وإسحاق نيوتن من وضع قوانين حركة الكواكب في الكون الذي نعيش فيه. كان العلماء المذكورون، وكذلك نيكولاس كوبرنيكوس، الذي أعاد نظرية مركزية الشمس للعالم، خبراء عميقين في الهندسة الصرفة لليونانيين؛ تم بناء نظرياتهم الجديدة مباشرة على أساس هذه الهندسة النقية.
[مع. 374-376.]

من الفصل الثاني والعشرون: تطبيقات المقاطع المخروطية

§ 1. ملاحظات عامة.- لقد تمت الإشارة جزئيًا إلى العديد من التطبيقات على المقاطع المخروطية - الدائرة، والقطع الناقص، والقطع المكافئ، والقطع الزائد - في المشكلات المصاحبة لدراسة كل من هذه المنحنيات. ترجع هذه التطبيقات المفيدة الواسعة والمتنوعة لهذه المنحنيات بشكل أساسي إلى خصائصها العرضية وميزاتها الهندسية الأخرى. يبدو أن حقيقة أن الخصائص الهندسية البسيطة تنتمي تحديدًا إلى منحنيات يتم التعبير عنها بواسطة معادلات جبرية بمتغيرين من الدرجة الأولى والثانية تشير إلى وجود تناغم معين في عالم الجبر والهندسة.

§ 2. قوانين الكون.- في عام 1529، أعاد عالم الفلك والرياضيات البولندي كوبرنيكوس (1473 - 1543) اكتشاف وإثبات الحقيقة، المعروفة لدى اليونانيين القدماء، وهي أن الشمس تمثل مركز الكون الذي نعيش فيه؛ كان يعتقد أن الكواكب تتحرك حول الشمس في مدارات دائرية.
وبعد حوالي قرن من ذلك، وضع عالم الفلك الألماني الكبير كيبلر (1571 - 1630) القوانين التالية للكون:
1. مدارات الكواكب عبارة عن قطع ناقص، حيث تكون الشمس في أحد بؤرتها.
2. يصف متجه نصف القطر الذي يربط الشمس بكوكب متحرك مساحات متساوية في فترات زمنية متساوية (لكل كوكب على حدة).
3. مربع زمن الدورة الكاملة لكل كوكب يتناسب مع مكعب متوسط بعده عن الشمس، أي.
,
أين و هي الفترات المدارية للكوكبين، و و هي أقطار مداراتهم.
لم يتمكن كبلر من تحقيق اكتشافاته إلا بفضل عمل جميع أسلافه، وخاصة علماء الرياضيات اليونانيين الذين أجروا مثل هذه الدراسة الكاملة لخصائص المقاطع المخروطية، وكذلك الدانماركي تايكو براهي (1546 - 1601)، الذي قدمت ملاحظاته الدقيقة البيانات الواقعية اللازمة عن حركة الكواكب.
وقد أكمل نيوتن (1642 - 1727) أعمال تدوين قوانين الحركة في العالم من حولنا، حيث أظهر أن التجاذب المتبادل لأي جسمين يتناسب عكسيا مع مربع المسافة بينهما ويتناسب طرديا مع كتلتيهما. علاوة على ذلك، أظهر نيوتن أن هذا الافتراض يؤدي إلى حركة بيضاوية في حالة الشمس وأي كوكب.
إن مسارات المذنبات التي تظهر مرة واحدة فقط داخل النظام الشمسي هي كما هو معروف قطع مكافئة أو ربما قطع زائدة يقترب انحرافها من 1.
[مع. 391-392.]

§ 6. تطبيق المقاطع المخروطية في الهندسة المعمارية وبناء الجسور.- ولا شك أن ما يسمى بـ "النسبة الذهبية" يقدم توضيحا جيدا لوجود علاقة وثيقة بين جمال الشكل والعلاقات العددية.

وبحسب إجماع أهل الاختصاص في هذا الأمر، فإن أبعاد المستطيل هي الأكثر إرضاءً من الناحية الفنية في حالة ارتباط الضلع الطويل من المستطيل بالجانب القصير تقريبًا بنفس الطريقة التي يرتبط بها الضلع القصير. الجانب مرتبط بالفرق بين الجانبين. بمعنى آخر، إذا أعطيت قاعدة مستطيل، فسيتم إيجاد الارتفاع المطلوب - بمعنى الجمال الأعظم للشكل - باستخدام "النسبة الذهبية"، أي تقسيم شريحة معينة إلى النسب القصوى والمتوسطة . لذلك، على سبيل المثال، مع قاعدة تساوي 40، يتم تحديد الارتفاع من المعادلة:
;
وهذا يؤدي إلى معادلة تربيعية فيما يتعلق بـ. ومن اللافت للنظر أنه بقطع من المستطيل الناتج مربع مبني على الجانب القصير من المستطيل، نحصل على مستطيل مشابه للمستطيل الأصلي؛ سيتم الحصول على مستطيل مماثل إذا تمت إضافة مربع إلى المستطيل الأصلي، مبني على الجانب الطويل من المستطيل الأصلي.
لقد واجهنا بالفعل أمثلة على العلاقة الموجودة على ما يبدو بين بساطة الشكل وبساطة المعادلة الجبرية المقابلة. وهكذا يتم تمثيل الخط المستقيم بأبسط معادلة جبرية ذات متغيرين، وهي معادلة من الدرجة الأولى؛ الدائرة، وهي أبسط منحنى من حيث التصميم، يتم تمثيلها بمعادلة تربيعية من نوع بسيط للغاية؛ جميع الأنواع الأخرى من المعادلات التربيعية ذات المتغيرين تتوافق مع ثلاث فئات أخرى فقط من المنحنيات، وهي القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد. إن الشعور بالرضا الفني الذي يمنحه لنا شكل هذه المنحنيات من الدرجة الثانية - المقاطع المخروطية - يؤكده الاستخدام الواسع الذي تجده هذه الأشكال بين الفنانين القدامى والجدد.
عند بناء الأقواس، وجد أن جمال الشكل الهندسي يرتبط ارتباطًا وثيقًا ببساطة المعادلة الجبرية المقابلة. يتم استخدام القطع المكافئ والقطع الناقص على نطاق واسع في الهياكل المقوسة، ليس فقط بسبب جمال شكلهما، ولكن أيضًا بسبب قابليتهما الميكانيكية البحتة للتكيف مع الضغوط والتشوهات الناجمة عن وزن هذه الهياكل. يقول أحد الخبراء المعروفين* في مسألة بناء الجسور إن «الأقواس يجب أن تمثل منحنيات مثالية»، محذرًا من استخدام ما يسمى بالأشكال الناقصية «الزائفة».

حقيقة أن الأشكال الناقصية والقطع المكافئة المنتظمة موجودة بشكل متكرر في العديد من أعظم الجسور في العالم توضح مدى قبول النظرية التي تنسب جمال الشكل إلى الأقواس الإهليلجية والأقواس المكافئة على نطاق واسع.
عند جسر بوابة الجحيم العملاق في نيويورك، يمثل القوس الرئيسي قطعًا مكافئًا منتظمًا هندسيًا (انظر المشكلة 11، الفصل التاسع عشر، الفقرة 11). في جسر لندن، يتكون الجزء الرئيسي من الهيكل من خمسة أقواس بيضاوية الشكل. حتى المبالغة، على الرغم من أنها نادرة جدًا، تُستخدم في بناء الجسور. تجدر الإشارة إلى أنه - ويرجع ذلك جزئيًا إلى سهولة الرسم الأكبر - فإن الأقواس الدائرية (نصف دائرية) أكثر انتشارًا، بالإضافة إلى التقريبات للقطع الناقص أو القطع المكافئ، التي تم إنشاؤها باستخدام عدة أقواس دائرية بمراكز مختلفة.
عند استخدام القوس المكافئ في بناء الجسور وألواح السقف، يمكن تمييز أربعة أنواع مختلفة على الأقل. النوع الأول يتمثل في الجسور المعلقة (السلسلة) ذات الكابلات المتدلية على طول منحنى مكافئ. النوع الثاني يشمل الحالة التي يقع فيها الجزء العلوي من القوس المكافئ أسفل الطريق. في الجسور من النوع الثالث، يعبر الطريق قوس مكافئ. وأخيرًا، فإن الهياكل التي يقع فيها القوس المكافئ بالكامل فوق المسار، كما في حالة الأسقف، تنتمي إلى النوع الرابع.
عادة ما تستخدم الأقواس الإهليلجية، أو الأقل قطعًا مكافئًا، في تصميم المسرح الكبير والقاعات الأخرى.
يتم أيضًا استخدام الأقواس المكافئة والأقواس الإهليلجية البحتة، على الرغم من أنها ليست في كثير من الأحيان مثل الأقواس الدائرية أو على شكل حدوة حصان، عند تصميم المزاريب. في بعض الأحيان يتم استخدام علامات الحذف المنتظمة هندسيًا (انظر المشكلة 6 أدناه).
1. حل المعادلة التربيعية للفقرة الأخيرة وتحقق من الحل عن طريق رسم المنحنى.
2. ما هو عرض المستطيل الذي يبلغ ارتفاعه 40 إذا تم الحصول على هذا الارتفاع نتيجة "النسبة الذهبية" للعرض المقابل لأجمل شكل للمستطيل؟
3. الجسر في مدينة بيتسبرغ الأمريكية له قوس مكافئ يبلغ طوله 108 أمتار وارتفاعه 13.5 متراً. ارسم هذا القطع المكافئ. بافتراض أن القائمتين الرأسيتين مفصولتان بألواح طولها 6 أمتار وترتفع 4.5 أمتار فوق قمة القوس، فأوجد أطوالها.
4. تبدو الأقواس الأصغر المؤدية إلى الجسر نفسه، والتي تم وصفها في المشكلة السابقة، ذات شكل بيضاوي. يبلغ طولها 8.4 مترًا، ويبلغ ارتفاع الأقواس نفسها حوالي 2.4 مترًا. ارسمهم.
5. في أحد المصارف، يبلغ عرض القبو المكافئ 1.8 مترًا وارتفاعه 1.2 مترًا. بناء عشر نقاط من هذا القوس.
6. أحد مجاري شيكاغو، تم بناؤه عام 1910، وهو عبارة عن شكل بيضاوي رأسي بمقطع عرضي، بأبعاد 3.6 × 4.2 متر. ارسم شكل هذا القسم.
7. ارسم قوسًا بيضاويًا ومقطعًا مكافئًا، طول كل منهما 30 مترًا وارتفاعه 9 أمتار. قارنهم مع بعضهم البعض.
8. باستخدام المقياس، قم ببناء قوس مكافئ لجسر ويليامزبورج المعلق (الشكل 153)، بامتداد 488 مترًا وإقبال يبلغ 55 مترًا. اكتب معادلتها في أبسط صورة، مع اختيار المحاور بشكل مناسب. ما طول الأعمدة الأربعة، من الكابل إلى مماس رأس القطع المكافئ؟
* جي إتش تيريل، تصميم الجسر الفني، شيكاغو، 1912.

[مع. 399-403.]

من الفصل السادس والعشرون: الحركة الاهتزازية
في معظم الحالات، يكون من المناسب تطبيق وقت الدورة الكاملة على الألياف العادية في شكل عدد صحيح من الوحدات، وتعتمد قيمة الوحدة على قيمة الفترة. في حالة الدوران بفترة دقيقة واحدة، يمكن اعتبار وحدة المحور الإحداثي 10 ثوانٍ، ونفس وحدة المحور الإحداثي مثل طول نصف القطر. يختلف المنحنى الناتج قليلاً عن الشكل الجيبي بوحدات طول متساوية على محوري الإحداثيات. أعلى وأدنى نقطة تحدث عند الإحداثيات 15 و45. اللحظات: 0، 5، 7.5، 10، 15، 20 و30 ثانية تتوافق مع الزوايا 0، 30 درجة، 45 درجة، 60 درجة، 90 درجة، 120 درجة و180 درجة. .

عادةً ما يستخدم الفيزيائيون والمهندسون التقنية الرسومية البحتة التالية لرسم منحنيات الجيب التي تحدث بشكل متكرر. أولاً، ارسم دائرة مركزها نقطة الأصل، وقطرها يساوي السعة المطلوبة. يتم تقسيم الزوايا بين المحاور إلى نصفين ثم إلى النصف مرارًا وتكرارًا (عدة مرات حسب الرغبة). على المحور الأفقي، يتم وضع جزء من الطول المناسب لتصوير الدورة الكاملة ويتم تقسيمه إلى عدد (عادة 16) من الأجزاء المتساوية مثل تقسيم الدائرة بواسطة المحاور والمنصفات.
[مع. 466-467.]

من الفصل السابع والعشرون: قوانين النمو
§ 5. منحنى تقدم التئام الجروح.- يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالصيغ التي تعبر عن قانون النمو العضوي وقانون "النقصان العضوي" قانون تم اكتشافه مؤخرًا ويربط، جبريًا في شكل معادلة وبيانيًا على شكل منحنى، مساحة سطح جرح مع الزمن معبر عنه بالأيام، حدث منذ أن أصبح الجرح معقماً أو معقماً. عندما يتم الوصول إلى حالة معقمة، وذلك بفضل الغسيل والشطف بمحلول مطهر، فإنه على أساس ملاحظتين، يتم إجراؤهما عادةً بعد 4 أيام من الأخرى، يتم حساب ما يسمى بـ "المؤشر الشخصي"؛ يسمح هذا المؤشر، بالإضافة إلى قياسين لمنطقة الجرح، للطبيب بتحديد التقدم الطبيعي لتقليص سطح الجرح لدى فرد معين. يتم رسم محيط الجرح بعناية على ورق شفاف ثم يتم قياس مساحته باستخدام أداة رياضية تسمى مقياس التخطيط.

يتم رسم وقت المراقبة، المعبر عنه بالأيام، على طول المحور السيني، ويتم رسم منطقة الجرح كإحداثيات. بعد كل ملاحظة وحساب للمنطقة، يتم رسم النقطة التي تم الحصول عليها على نفس نظام المحاور الذي يتم فيه إنشاء المنحنى المثالي أو النبوي (منحنى التنبؤ). تم توضيح اثنين من هذه المنحنيات المثالية، بالإضافة إلى المنحنيات الفعلية المرصودة في مخططاتنا.
إذا كانت المنطقة المرصودة أكبر بشكل ملحوظ من المساحة التي يحددها المنحنى المثالي، فهذا مؤشر على أنه لا يزال هناك عدوى في الجرح. يتم عرض مثل هذه الحالة في الرسم البياني الثاني. غالبًا ما تتم ملاحظة الظاهرة التالية المذهلة للغاية والتي لم يتم تفسيرها بعد: إذا كان سطح الجرح يشفى بشكل أسرع بكثير مما يظهره المنحنى المثالي، فإن ذلك يؤدي إلى ظهور تقرحات ثانوية، مما يعيد المنحنى إلى طبيعته. مخططنا الأول هو من هذا النوع.

يعود الفضل في تطبيق الرياضيات في الطب إلى حد كبير إلى الدكتور ألكسيس كاريل في معهد روكفلر للأبحاث الطبية. ولاحظ أنه كلما كانت مساحة سطح الجرح أكبر، كلما كان شفاءه أسرع، وأن معدل الشفاء يبدو متناسبا مع مساحة الجرح. لكن معامل هذا التناسب ليس هو نفسه لجميع قيم مساحة الجرح وإلا ستكون هناك معادلة من الشكل
,
حيث تشير إلى مساحة الجرح في اللحظة التي يصبح فيها معقمًا وعندما يبدأ تسجيل الملاحظات على الرسم التخطيطي.
في الواقع (لرسم منحنيات مثالية) يتم استخدام الصيغ التالية التي اقترحها د. ليكومت دو نويي(أظهر نويي أن هناك قيمة طبيعية للمعامل تعتمد على عمر الفرد وحجم الجرح، وأن المؤشر الشخصي، الذي يتم تحديده من ملاحظتين، يكشف بلا شك عن حقائق ذات صلة بالحالة الصحية العامة للفرد *.
[مع. 486-489.]

المؤسسة التعليمية البلدية

المدرسة الثانوية رقم 4

المقاطع المخروطية

مكتمل

سبيريدونوف أنطون

طالب في الصف 11 أ

التحقق

كوروبينيكوفا إيه تي.

توبولسك - 2006

مقدمة

مفهوم المقاطع المخروطية

أنواع المقاطع المخروطية

يذاكر

بناء المقاطع المخروطية

النهج التحليلي

طلب

فهرس

مقدمة.

الغرض: دراسة المقاطع المخروطية.

الأهداف: تعلم التمييز بين أنواع المقاطع المخروطية، وبناء المقاطع الحركية وتطبيق المنهج التحليلي.

يمكن اعتبار النسبة المعطاة كنظام من المعادلات:

مفهوم المقاطع المخروطية.

عندما يدور المثلث القائم حول أحد أرجله فإن الوتر بامتداداته يصف سطحًا مخروطيًا يسمى سطح المخروط الدائري القائم، والذي يمكن اعتباره سلسلة متصلة من الخطوط التي تمر عبر الرأس وتسمى المولدات، جميع المولدات يستريح على نفس الدائرة، يسمى الإنتاج. وكل مولد من المولدات هو مثلث دوار (في موضعه المعلوم)، ممتد في الاتجاهين إلى ما لا نهاية. وهكذا، فإن كل مولد يمتد على جانبي الرأس، ونتيجة لذلك يحتوي السطح على تجاويف: يتقاربان عند نقطة واحدة عند قمة مشتركة. إذا كان هذا السطح يتقاطع مع مستوى، فإن المقطع سوف ينتج منحنى، وهو ما يسمى المقطع المخروطي. يمكن أن يكون من ثلاثة أنواع:

2) إذا تقاطع مستوى القطع مع كلا التجويفين، فسيتم الحصول على منحنى له فرعين ويسمى القطع الزائد؛

3) إذا كان مستوى القطع موازيا لأحد المولدات، فسيتم الحصول على القطع المكافئ.

إذا كان المستوى الذي يمر عبر قمة الرأس يتقاطع مع كلا التجويفين، فإن المقطع ينتج زوجاً من الخطوط المتقاطعة، تعتبر حالة خاصة.

إذا كانت القمة بعيدة إلى ما لا نهاية، فإن السطح المخروطي يتحول إلى سطح أسطواني، ويعطي قسمه بمستوى مواز للمولدات زوجًا من الخطوط المتوازية كحالة خاصة. يتم التعبير عن المقاطع المخروطية بمعادلات من الدرجة الثانية، والشكل العام لها هو

الفأس 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

وتسمى منحنيات الرتبة الثانية.

أنواع المقاطع المخروطية.

يمكن أن تكون المقاطع المخروطية من ثلاثة أنواع:

1) يتقاطع مستوى القطع مع جميع أجيال المخروط عند نقاط أحد تجويفاته؛ خط التقاطع عبارة عن منحنى بيضاوي مغلق - ; يتم الحصول على الدائرة كحالة خاصة من القطع الناقص عندما يكون مستوى القطع متعامدًا مع محور المخروط.

يذاكر.

أ 11 × 2 +2أ 12 س ص + أ 22 ص 2 = أ 33 .

تُظهر الدراسات الإضافية لهذه المقاطع المخروطية (التي تسمى المركزية) أنه يمكن اختزال معادلاتها إلى شكل أبسط:

الفأس 2 + وو 2 = ج،

بناء المقاطع المخروطية.

تقترح هذه التعريفات للمقاطع المخروطية كمنحنيات مستوية أيضًا طريقة لبنائها باستخدام سلسلة ممتدة.

من نقطة تقاطع المحاور O تفترض هذه الصيغة إنشاء مثلث قائم الزاوية بأضلاعه Ov 1 و V 2 O والوتر F 2 O.

النهج التحليلي

الفأس 2 + في 2 + ج = 0

3) إذا كان لـ a وb إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي هو قطع زائد.

4) إذا كان لـ a وb إشارتان مختلفتان وc = 0، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متقاطعين.

6) إذا كان a أو b يساوي صفراً، والمعاملات الأخرى لها إشارات مختلفة، فإن المقطع المخروطي يتكون من خطين متوازيين.

المقاطع المخروطية

- منحنيات المستوى التي يتم الحصول عليها عن طريق تقاطع مخروط دائري قائم مع مستوى لا يمر عبر قمته. من وجهة نظر الهندسة التحليلية، المقطع المخروطي هو محل النقاط التي تحقق معادلة من الدرجة الثانية. باستثناء الحالات المتدهورة، تكون المقاطع المخروطية عبارة عن قطع ناقص أو قطع زائد أو قطع مكافئ.

غالبًا ما توجد المقاطع المخروطية في الطبيعة والتكنولوجيا. على سبيل المثال، تكون مدارات الكواكب التي تدور حول الشمس على شكل قطع ناقص. الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص حيث يكون المحور الأكبر مساوياً للمحور الأصغر. تتميز المرآة المكافئة بخاصية أن جميع الأشعة الساقطة الموازية لمحورها تتقارب عند نقطة واحدة (البؤرة). يُستخدم هذا في معظم التلسكوبات العاكسة التي تستخدم مرايا مكافئة، وكذلك في هوائيات الرادار والميكروفونات الخاصة ذات العاكسات المكافئة. ينبعث شعاع من الأشعة المتوازية من مصدر ضوء موضوع في بؤرة عاكس مكافئ. ولهذا السبب يتم استخدام المرايا المكافئة في الأضواء الكاشفة عالية الطاقة والمصابيح الأمامية للسيارات. القطع الزائد عبارة عن رسم بياني للعديد من العلاقات الفيزيائية المهمة، مثل قانون بويل (العلاقة بين الضغط وحجم الغاز المثالي) وقانون أوم، الذي يعرف التيار الكهربائي كدالة للمقاومة عند جهد ثابت.

ويُفترض أن مكتشف المقاطع المخروطية هو منايخموس (القرن الرابع قبل الميلاد)، وهو تلميذ أفلاطون ومعلم الإسكندر الأكبر. استخدم ميناكموس القطع المكافئ والقطع الزائد متساوي الأضلاع لحل مسألة مضاعفة المكعب. أطروحات حول المقاطع المخروطية كتبها أرسطيوس وإقليدس في نهاية القرن الرابع. قبل الميلاد، ولكن تم تضمين المواد منها في المقاطع المخروطية الشهيرة لأبولونيوس من برجا (حوالي 260-170 قبل الميلاد)، والتي نجت حتى يومنا هذا. تخلى أبولونيوس عن شرط أن يكون المستوى القاطع للمخروط المولد متعامدًا، ومن خلال تغيير زاوية ميله، حصل على جميع المقاطع المخروطية من مخروط دائري واحد، مستقيم أو مائل. نحن مدينون أيضًا بأسماء المنحنيات الحديثة لأبولونيوس - القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد. استخدم أبولونيوس في تصميماته مخروطًا دائريًا مكونًا من صفحتين، لذلك أصبح من الواضح لأول مرة أن القطع الزائد هو منحنى ذو فرعين. منذ زمن أبولونيوس تم تقسيم المقاطع المخروطية إلى ثلاثة أنواع حسب ميل مستوى القطع إلى المولد للمخروط. يتشكل القطع الناقص عندما يتقاطع مستوى القطع مع جميع أجيال المخروط عند نقاط في أحد تجاويفه؛ القطع المكافئ - عندما يكون مستوى القطع موازيًا لإحدى مستويات الظل للمخروط؛ القطع الزائد - عندما يتقاطع مستوى القطع مع تجاويف المخروط.

من خلال دراسة المقاطع المخروطية كتقاطعات بين المستويات والأقماع، اعتبرها علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أيضًا مسارات لنقاط على المستوى. لقد وجد أنه يمكن تعريف القطع الناقص على أنه موضع النقاط، حيث يكون مجموع المسافات التي تصل إلى نقطتين محددتين ثابتًا؛ القطع المكافئ - كموضع نقاط متساوية البعد عن نقطة معينة وخط مستقيم معين؛ القطع الزائد - باعتباره موضع النقاط، يكون الفرق في المسافات من نقطتين محددتين ثابتًا. تقترح هذه التعريفات للمقاطع المخروطية كمنحنيات مستوية أيضًا طريقة لبنائها باستخدام سلسلة ممتدة.

كانت بؤرة القطع الناقص والقطع الزائد معروفة لأبولونيوس، ولكن يبدو أن بؤرة القطع المكافئ تم تحديدها لأول مرة بواسطة بابوس (النصف الثاني من القرن الثالث)، الذي عرّف هذا المنحنى بأنه موضع النقاط المتساوية البعد من نقطة معينة (البؤرة). وخط مستقيم معين، وهو ما يسمى المخرج. بناء القطع المكافئ باستخدام خيط مشدود، بناءً على تعريف بابوس، تم اقتراحه من قبل إيزيدور ميليتس (القرن السادس).

إن تحديد بؤرة القطع المكافئ أعطى بابوس فكرة إعطاء تعريف بديل للمقاطع المخروطية بشكل عام. دع F تكون نقطة معينة (بؤرة)، وL تكون خطًا مستقيمًا معينًا (دليل) لا يمر عبر F، وDF وDL المسافات من النقطة المتحركة P إلى البؤرة F والدليل L، على التوالي. بعد ذلك، كما أوضح باب، يتم تعريف المقاطع المخروطية على أنها موضع النقاط P حيث تكون النسبة DF/DL ثابتة غير سالبة. وتسمى هذه النسبة الانحراف e للقسم المخروطي. عندما ه< 1 коническое сечение - эллипс; при e >1 - المبالغة. عندما ه = 1 - القطع المكافئ. إذا كان F يقع على L، فإن الموضع يكون على شكل خطوط (حقيقية أو خيالية)، وهي عبارة عن مقاطع مخروطية متحللة. يشير التماثل المذهل للقطع الناقص والقطع الزائد إلى أن كل من هذه المنحنيات له دليلان وبؤرتان، وقد قاد هذا الظرف كيبلر في عام 1604 إلى فكرة أن القطع المكافئ له أيضًا بؤرة ثانية ودليل ثانٍ - نقطة عند اللانهاية والمستقيم . وبنفس الطريقة، يمكن اعتبار الدائرة بمثابة قطع ناقص، تتوافق بؤرته مع المركز، وتكون دلائلها في اللانهاية. الانحراف e في هذه الحالة هو صفر.

الأدب
فان دير وايردن بي.إل. علم الصحوة. م. ، 1959 ألكساندروف ب.س. محاضرات في الهندسة التحليلية. م، 1968