تردد كارل فريدريش غاوس، أعظم عالم رياضيات، لفترة طويلة في الاختيار بين الفلسفة والرياضيات. ربما كانت هذه العقلية هي التي سمحت له بإحداث مثل هذا "الإرث" الملحوظ في العلوم العالمية. على وجه الخصوص، من خلال إنشاء "طريقة غاوس" ...
منذ ما يقرب من 4 سنوات، تناولت المقالات في هذا الموقع التعليم المدرسي، بشكل أساسي من وجهة نظر الفلسفة، ومبادئ (سوء) الفهم التي تم إدخالها في أذهان الأطفال. لقد حان الوقت لمزيد من التفاصيل والأمثلة والأساليب... أعتقد أن هذا هو بالضبط النهج المألوف والمربك والمربك مهممجالات الحياة تعطي نتائج أفضل.
نحن البشر مصممون بطريقة تجعلنا بغض النظر عن مقدار ما نتحدث عنه التفكير المجرد، لكن فهم دائماًيحدث من خلال الأمثلة. وإذا لم تكن هناك أمثلة فمن المستحيل أن ندرك المبادئ... كما أنه من المستحيل الوصول إلى قمة الجبل إلا عن طريق السير على المنحدر بأكمله من أسفله.
الشيء نفسه مع المدرسة: في الوقت الراهن قصص حيةولا يكفي أن نستمر غريزيًا في اعتباره مكانًا يتم فيه تعليم الأطفال كيفية الفهم.
على سبيل المثال، تدريس الطريقة الغوسية...
طريقة غاوس في الصف الخامس
سأبدي تحفظًا على الفور: طريقة غاوس لها تطبيق أوسع بكثير، على سبيل المثال، عند الحل أنظمة المعادلات الخطية. ما سنتحدث عنه يحدث في الصف الخامس. هذا بدأتبعد أن فهمت ذلك، من الأسهل بكثير فهم "الخيارات المتقدمة". في هذا المقال نتحدث عنه طريقة (طريقة) غاوس لإيجاد مجموع المتسلسلة
إليكم مثال أحضره من المدرسة ابني الأصغر، الذي يحضر الصف الخامس في صالة للألعاب الرياضية في موسكو.
مظاهرة المدرسة لطريقة غاوس
أظهر مدرس رياضيات يستخدم السبورة التفاعلية (طرق التدريس الحديثة) للأطفال عرضًا تقديميًا لتاريخ "إنشاء الطريقة" بقلم غاوس الصغير.
قام مدرس المدرسة بجلد كارل الصغير (طريقة قديمة، لا تستخدم في المدارس هذه الأيام) لأنه
بدلاً من جمع الأرقام بشكل تسلسلي من 1 إلى 100، ابحث عن مجموعها لاحظتأن أزواج الأرقام المتباعدة بشكل متساوٍ من حواف التقدم الحسابي تضيف ما يصل إلى نفس الرقم. على سبيل المثال، 100 و1 و99 و2. بعد حساب عدد هذه الأزواج، حل غاوس الصغير على الفور تقريبًا المشكلة التي اقترحها المعلم. الذي تم إعدامه أمام الجمهور المذهول. حتى يثبط الآخرين عن التفكير.
ماذا فعل غاوس الصغير؟ متطور معنى الرقم? لاحظتبعض الميزاتسلسلة أرقام ذات خطوة ثابتة (التقدم الحسابي). و هذا بالضبطوجعله فيما بعد عالما عظيما، أولئك الذين يعرفون كيفية ملاحظة، نأخذ الشعور، غريزة الفهم.
هذا هو السبب في أن الرياضيات ذات قيمة ومتطورة القدرة على الرؤيةعام على وجه الخصوص - التفكير المجرد. ولذلك فإن معظم الآباء وأصحاب العمل غريزيًا اعتبار الرياضيات تخصصًا مهمًا ...
"ثم عليك أن تتعلم الرياضيات، لأنها ترتب عقلك.
إم في لومونوسوف".
ومع ذلك، فإن أتباع أولئك الذين جلدوا عباقرة المستقبل بالعصي حولوا الطريقة إلى شيء عكس ذلك. وكما قال مشرفي قبل 35 عامًا: "لقد تم تعلم السؤال". أو كما قال ابني الأصغر بالأمس عن طريقة غاوس: "ربما لا يستحق الأمر أن نصنع علمًا كبيرًا من هذا، هاه؟"
وتتجلى عواقب إبداع «العلماء» في مستوى الرياضيات المدرسية الحالية، ومستوى تدريسها، وفهم الأغلبية لـ«ملكة العلوم».
ومع ذلك، دعونا نواصل...
طرق شرح طريقة جاوس في الصف الخامس
مدرس الرياضيات في صالة للألعاب الرياضية في موسكو، يشرح طريقة غاوس وفقا لفيلينكين، تعقيد المهمة.
ماذا لو كان الفرق (الخطوة) للتقدم الحسابي ليس واحدًا، بل رقمًا آخر؟ على سبيل المثال، 20.
المشكلة التي أعطاها لطلاب الصف الخامس:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
قبل التعرف على طريقة الصالة الرياضية، دعونا نلقي نظرة على الإنترنت: كيف يفعل ذلك معلمو المدارس ومعلمو الرياضيات؟..
الطريقة الغوسية: الشرح رقم 1
يقدم مدرس معروف على قناته على اليوتيوب الأسباب التالية:
"دعونا نكتب الأعداد من 1 إلى 100 كما يلي:
أولاً سلسلة من الأرقام من 1 إلى 50، وتحتها تمامًا سلسلة أخرى من الأرقام من 50 إلى 100، ولكن بترتيب عكسي"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"يرجى ملاحظة: مجموع كل زوج من الأرقام من الصفين العلوي والسفلي هو نفسه ويساوي 101! دعونا نحسب عدد الأزواج، فهو 50 ونضرب مجموع زوج واحد في عدد الأزواج! فويلا: ال الجواب جاهز!"
"إذا لم تتمكن من الفهم، فلا تنزعج!"، كرر المعلم ثلاث مرات أثناء الشرح. "سوف تتبع هذه الطريقة في الصف التاسع!"
الطريقة الغوسية: الشرح رقم 2
مدرس آخر، أقل شهرة (إذا حكمنا من خلال عدد المشاهدات)، يتخذ نهجًا أكثر علمية، ويقدم خوارزمية حل مكونة من 5 نقاط يجب إكمالها بالتتابع.
بالنسبة للمبتدئين، الرقم 5 هو أحد أرقام فيبوناتشي التي تعتبر سحرية تقليديًا. الطريقة المكونة من 5 خطوات تكون دائمًا أكثر علمية من الطريقة المكونة من 6 خطوات، على سبيل المثال. ...وهذا ليس من قبيل الصدفة، على الأرجح، المؤلف هو مؤيد خفي لنظرية فيبوناتشي
بالنظر إلى التقدم الحسابي: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
خوارزمية للعثور على مجموع الأرقام في سلسلة باستخدام طريقة غاوس:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
وفي الوقت نفسه عليك أن تتذكر بالإضافة إلى قاعدة واحدة : يجب أن نضيف واحدًا إلى حاصل القسمة الناتج: وإلا فسنحصل على نتيجة أقل بواحد من العدد الحقيقي للأزواج: 42 + 1 = 43.
هذا هو المجموع المطلوب للتقدم الحسابي من 4 إلى 256 بفارق 6!
طريقة غاوس: شرح في الصف الخامس في صالة للألعاب الرياضية في موسكو
إليك كيفية حل مشكلة إيجاد مجموع المتسلسلة:
20+40+60+ ... +460+480+500
في الصف الخامس من صالة الألعاب الرياضية في موسكو، كتاب فيلينكين المدرسي (حسب ابني).
بعد عرض العرض التقديمي، عرض مدرس الرياضيات بضعة أمثلة باستخدام الطريقة الغوسية وأعطى الفصل مهمة إيجاد مجموع الأرقام في سلسلة بزيادات قدرها 20.
وهذا يتطلب ما يلي:
كما ترون، هذه تقنية أكثر إحكاما وفعالية: الرقم 3 هو أيضا عضو في تسلسل فيبوناتشي
تعليقاتي على النسخة المدرسية لطريقة غاوس
من المؤكد أن عالم الرياضيات العظيم كان سيختار الفلسفة لو أنه توقع ما سيتحول إليه أتباعه من "طريقته" مدرس ألمانيالذي جلد كارل بالقضبان. كان سيشاهد الرمزية والدوامة الجدلية والغباء الدائم لـ "المعلمين"، محاولاً قياس انسجام الفكر الرياضي الحي مع جبر سوء الفهم ....
بالمناسبة: هل تعلم. أن نظامنا التعليمي متجذر في المدرسة الألمانية في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر؟
لكن غاوس اختار الرياضيات.
ما هو جوهر طريقته؟
في تبسيط. في المراقبة والفهمأنماط بسيطة من الأرقام. في تحويل الحساب المدرسي الجاف إلى نشاط مثير ومثير ، تنشيط الرغبة في الاستمرار في الدماغ، بدلاً من عرقلة النشاط العقلي الباهظ التكلفة.
هل من الممكن استخدام أحد "تعديلات طريقة غاوس" المذكورة لحساب مجموع أرقام المتوالية الحسابية تقريبًا فورا؟ وفقًا لـ "الخوارزميات"، سيتم ضمان تجنب كارل الصغير للضرب، وتطوير النفور من الرياضيات وقمع دوافعه الإبداعية في مهدها.
لماذا ينصح المعلم طلاب الصف الخامس بإصرار "ألا يخافوا من سوء فهم" الطريقة، ويقنعهم بأنهم سيحلون "مثل هذه" المشاكل في وقت مبكر من الصف التاسع؟ العمل الأمي نفسيا. لقد كانت خطوة جيدة أن نلاحظها: "أرك لاحقًا بالفعل في الصف الخامس يمكنكحل مسائل لن تنهيها إلا في 4 سنوات! يا له من زميل عظيم أنت!
لاستخدام الطريقة الغوسية، يكفي مستوى الفئة 3، عندما يعرف الأطفال العاديون بالفعل كيفية جمع وضرب وتقسيم الأعداد المكونة من 2-3 أرقام. تنشأ المشاكل بسبب عدم قدرة المعلمين البالغين "بعيدي الاتصال" عن شرح أبسط الأشياء باللغة البشرية العادية، ناهيك عن الرياضيات... إنهم غير قادرين على جذب اهتمام الأشخاص بالرياضيات ويثبطون تمامًا حتى أولئك الذين هم " قادر."
أو كما علق ابني: "جعل منها علمًا كبيرًا".
طريقة غاوس، تفسيراتي
لقد شرحت أنا وزوجتي هذه "الطريقة" لطفلنا، على ما يبدو، حتى قبل الذهاب إلى المدرسة...
البساطة بدلاً من التعقيد أو لعبة الأسئلة والأجوبة
"انظر، هذه هي الأرقام من 1 إلى 100. ماذا ترى؟"
النقطة المهمة ليست ما يراه الطفل بالضبط. الحيلة هي جعله ينظر.
"كيف يمكنك تجميعهم معًا؟" أدرك الابن أن مثل هذه الأسئلة لا تُطرح "بهذه الطريقة" وتحتاج إلى النظر إلى السؤال "بطريقة مختلفة، بشكل مختلف عما يفعل عادة"
لا يهم إذا رأى الطفل الحل على الفور، فهذا غير محتمل. ومن المهم أنه توقف عن الخوف من النظر، أو كما أقول: “نقل المهمة”. وهذه هي بداية الرحلة إلى الفهم
"أيهما أسهل: جمع 5 و6 مثلاً أم 5 و95؟" سؤال إرشادي... لكن أي تدريب يتلخص في "إرشاد" الشخص إلى "الإجابة" - بأي طريقة مقبولة بالنسبة له.
في هذه المرحلة، قد تنشأ بالفعل تخمينات حول كيفية "الحفظ" في العمليات الحسابية.
كل ما فعلناه هو التلميح: طريقة العد "الأمامية الخطية" ليست الطريقة الوحيدة الممكنة. إذا فهم الطفل هذا، فسوف يأتي لاحقًا بالعديد من هذه الأساليب، لأنه مثير للاهتمام!!!ومن المؤكد أنه سيتجنب "سوء فهم" الرياضيات ولن يشعر بالاشمئزاز منها. لقد حصل على الفوز!
لو اكتشف الطفلإذن، فإن إضافة أزواج من الأرقام التي يصل مجموعها إلى مائة يعد أمرًا سهلاً "التقدم الحسابي مع الفرق 1"- شيء كئيب وغير مثير للاهتمام بالنسبة للطفل - فجأة وجدت له الحياة . النظام ينشأ من الفوضى، وهذا يثير الحماس دائمًا: هذه هي الطريقة التي صنعنا بها!
سؤال للإجابة: لماذا، بعد البصيرة التي تلقاها الطفل، يجب أن يندفع مرة أخرى إلى إطار الخوارزميات الجافة، والتي هي أيضًا عديمة الفائدة وظيفيًا في هذه الحالة؟!
لماذا فرض إعادة كتابة غبي؟الأرقام التسلسلية في دفتر ملاحظات: بحيث لا يكون حتى للقادرين فرصة واحدة للفهم؟ إحصائيًا بالطبع، لكن التعليم الجماهيري موجه نحو "الإحصائيات"...
أين ذهب الصفر؟
ومع ذلك، فإن جمع الأرقام التي يصل مجموعها إلى 100 هو أمر مقبول أكثر بكثير للعقل من تلك التي يصل مجموعها إلى 101...
تتطلب "طريقة مدرسة غاوس" بالضبط ما يلي: أضعاف بلا طائلأزواج من الأرقام على مسافة متساوية من مركز التقدم، رغم كل شيء.
ماذا لو نظرت؟
ومع ذلك، يظل الصفر أعظم اختراع للبشرية، حيث يبلغ عمره أكثر من 2000 عام. ويستمر معلمو الرياضيات في تجاهله.
من الأسهل كثيرًا تحويل سلسلة من الأرقام تبدأ بالرقم 1 إلى سلسلة تبدأ بالرقم 0. لن يتغير المجموع، أليس كذلك؟ عليك أن تتوقف عن "التفكير في الكتب المدرسية" وتبدأ في البحث...ولاحظ أنه يمكن استبدال الأزواج التي مجموعها 101 بالكامل بأزواج مجموعها 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
كيفية إلغاء "قاعدة زائد 1"؟
لأكون صادقًا، سمعت لأول مرة عن مثل هذه القاعدة من ذلك المعلم على اليوتيوب...
ماذا أفعل عندما أحتاج إلى تحديد عدد أعضاء السلسلة؟
أنا أنظر إلى التسلسل:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
وعندما تتعب تمامًا، انتقل إلى صف أبسط:
1, 2, 3, 4, 5
وأعتقد: إذا طرحت واحدًا من 5، فستحصل على 4، لكنني واضح تمامًا أرى 5 أرقام! لذلك، تحتاج إلى إضافة واحدة! يشير الحس العددي الذي تم تطويره في المدرسة الابتدائية إلى أنه حتى لو كان هناك مجموعة كاملة من أعضاء السلسلة (10 أس مائة)، فإن النمط سيبقى كما هو.
ما هي القواعد بحق الجحيم؟..
بحيث تملأ كل المساحة بين الجبهة ومؤخرة الرأس وتتوقف عن التفكير في غضون عامين؟ كيف تكسب الخبز والزبدة؟ ففي نهاية المطاف، نحن نتحرك في صفوف متساوية نحو عصر الاقتصاد الرقمي!
المزيد عن منهج مدرسة غاوس: "لماذا نخرج العلم من هذا؟ .."
لم يكن من قبيل الصدفة أن نشرت لقطة شاشة من دفتر ابني ...
"ماذا حدث في الصف؟"
"حسنًا، لقد قمت بالعد على الفور، ورفعت يدي، لكنها لم تسأل. لذلك، بينما كان الآخرون يعدون، بدأت في أداء واجباتي المدرسية باللغة الروسية حتى لا أضيع الوقت. وبعد ذلك، عندما انتهى الآخرون من الكتابة (؟ ؟؟)، دعتني إلى المجلس قلت الجواب."
قال المعلم: "هذا صحيح، أرني كيف قمت بحلها". لقد أظهرت ذلك. قالت: "خطأ، عليك أن تحسب كما أظهرت!"
"من الجيد أنها لم تعطيني علامة سيئة، وجعلتني أكتب في دفتر ملاحظاتهم "مسار الحل" بطريقتهم الخاصة، لماذا يصنعون علمًا كبيرًا من هذا؟."
الجريمة الرئيسية لمعلم الرياضيات
بالكاد بعد تلك الحادثةكان لدى كارل غاوس شعور كبير بالاحترام تجاه مدرس الرياضيات في مدرسته. ولكن إذا كان يعرف كيف أتباع ذلك المعلم سوف يشوه جوهر الطريقة... كان يزأر بسخط، ومن خلال المنظمة العالمية للملكية الفكرية (الويبو)، حقق حظرًا على استخدام اسمه الجيد في الكتب المدرسية!..
ماذا الخطأ الرئيسي في النهج المدرسي؟ أم كما أقول جريمة معلمي الرياضيات في المدرسة ضد الأطفال؟
خوارزمية سوء الفهم
ماذا يفعل علماء المنهج في المدارس، الذين لا تعرف الغالبية العظمى منهم كيف يفكرون؟
يقومون بإنشاء الأساليب والخوارزميات (انظر). هذا رد فعل دفاعي يحمي المعلمين من النقد ("كل شيء يتم وفقًا لـ...") والأطفال من الفهم. وهكذا - من الرغبة في انتقاد المعلمين!(المشتق الثاني لـ«الحكمة» البيروقراطية، وهو مقاربة علمية للمشكلة). الشخص الذي لا يفهم المعنى سيلقي اللوم على سوء فهمه بدلاً من إلقاء اللوم على غباء النظام المدرسي.
وهذا ما يحدث: الآباء يلومون أطفالهم، والمعلمون... يفعلون الشيء نفسه مع الأطفال الذين "لا يفهمون الرياضيات!"
هل انت ذكي؟
ماذا فعل كارل الصغير؟
نهج غير تقليدي تمامًا لمهمة ذات صيغة محددة. وهذا هو جوهر نهجه. هذا الشيء الرئيسي الذي يجب تدريسه في المدرسة هو التفكير ليس بالكتب المدرسية، بل برأسك. وبطبيعة الحال، هناك أيضًا مكون آلي يمكن استخدامه... في البحث طرق العد أبسط وأكثر كفاءة.
طريقة غاوس وفقا لفيلينكين
يعلمون في المدرسة أن طريقة غاوس هي
ماذا، إذا كان عدد عناصر السلسلة فرديا، كما في المشكلة التي تم تكليف ابني بها؟..
"الصيد" هو أنه في هذه الحالة يجب أن تجد رقمًا "إضافيًا" في السلسلةوإضافته إلى مجموع الأزواج. في مثالنا هذا الرقم هو 260.
كيفية الكشف؟ نسخ جميع أزواج الأرقام في دفتر الملاحظات!(ولهذا السبب جعل المعلم الأطفال يقومون بهذه المهمة الغبية المتمثلة في محاولة تعليم "الإبداع" باستخدام الطريقة الغوسية... وهذا هو السبب في أن مثل هذه "الطريقة" غير قابلة للتطبيق عمليًا على سلاسل البيانات الكبيرة، وهذا هو السبب في أنها كذلك وليس الطريقة الغوسية.)
قليل من الإبداع في الروتين المدرسي...
تصرف الابن بشكل مختلف.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
ليس صعبا، أليس كذلك؟
ولكن في الممارسة العملية، يصبح الأمر أسهل، مما يسمح لك بتخصيص 2-3 دقائق للاستشعار عن بعد باللغة الروسية، بينما يتم "عد" الباقي. بالإضافة إلى ذلك، فهو يحتفظ بعدد خطوات الطريقة: 5، مما لا يسمح بانتقاد المنهج لكونه غير علمي.
من الواضح أن هذا النهج أبسط وأسرع وأكثر عالمية، في أسلوب الطريقة. لكن... لم يمدحني المعلم فحسب، بل أجبرني أيضًا على إعادة كتابته "بالطريقة الصحيحة" (انظر لقطة الشاشة). أي أنها قامت بمحاولة يائسة لخنق الدافع الإبداعي والقدرة على فهم الرياضيات من جذورها! على ما يبدو، حتى يمكن تعيينها لاحقًا كمدرس... لقد هاجمت الشخص الخطأ...
كل ما وصفته لفترة طويلة ومضجر يمكن شرحه لطفل عادي في مدة أقصاها نصف ساعة. جنبا إلى جنب مع الأمثلة.
وبطريقة لن ينساها أبدًا.
وسوف يكون خطوة نحو التفاهم...وليس فقط علماء الرياضيات.
أعترف بذلك: كم مرة قمت بالإضافة في حياتك باستخدام الطريقة الغوسية؟ و لم افعلها قط!
لكن غريزة الفهم، الذي يتطور (أو ينطفئ) في عملية دراسة الأساليب الرياضية في المدرسة... أوه!.. هذا حقًا شيء لا يمكن تعويضه!
وخاصة في عصر الرقمنة العالمية، الذي دخلناه بهدوء تحت القيادة الصارمة للحزب والحكومة.
بضع كلمات في الدفاع عن المعلمين...
ومن غير العدل والخطأ إلقاء كل المسؤولية عن هذا النمط من التدريس على عاتق معلمي المدارس فقط. النظام ساري المفعول.
بعضيفهم المعلمون سخافة ما يحدث، ولكن ماذا تفعل؟ قانون التعليم، المعايير التعليمية الحكومية الفيدرالية، الأساليب، خطط الدروس... يجب أن يتم كل شيء "وفقًا وعلى الأساس" ويجب توثيق كل شيء. تنحى جانبًا - وقف في الطابور ليتم طرده. دعونا لا نكون منافقين: رواتب معلمي موسكو جيدة جداً.. وإذا طردوك إلى أين تذهب؟..
ولذلك هذا الموقع ليس عن التعليم. هو على وشك التعليم الفردي، الطريقة الوحيدة الممكنة للخروج من الحشد الجيل Z ...
إحدى أبسط الطرق لحل نظام المعادلات الخطية هي تقنية تعتمد على حساب المحددات ( حكم كريمر). ميزته أنه يسمح لك بتسجيل الحل على الفور؛ وهو مناسب بشكل خاص في الحالات التي لا تكون فيها معاملات النظام أرقامًا، بل بعض المعلمات. عيبها هو تعقيد الحسابات في حالة وجود عدد كبير من المعادلات؛ علاوة على ذلك، لا تنطبق قاعدة كرامر بشكل مباشر على الأنظمة التي لا يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المجهولين. في مثل هذه الحالات، يتم استخدامه عادة طريقة غاوسية.
تسمى أنظمة المعادلات الخطية التي لها نفس مجموعة الحلول مقابل. من الواضح أن مجموعة حلول النظام الخطي لن تتغير إذا تم تبديل أي معادلات، أو إذا ضربت إحدى المعادلات بعدد غير الصفر، أو إذا أضيفت معادلة إلى أخرى.
طريقة غاوس (طريقة الحذف التسلسلي للمجهول) هو أنه بمساعدة التحويلات الأولية يتم تقليل النظام إلى نظام مكافئ من نوع الخطوة. أولا، باستخدام المعادلة الأولى، نحذف س 1 من جميع المعادلات اللاحقة للنظام. ثم، باستخدام المعادلة الثانية، نحذف س 2 من الثالثة وجميع المعادلات اللاحقة. هذه العملية تسمى طريقة غاوسية مباشرة، يستمر حتى يتبقى مجهول واحد فقط على الجانب الأيسر من المعادلة الأخيرة س ن. بعد هذا يتم ذلك عكس الطريقة الغوسية– حل المعادلة الأخيرة نجد س ن; وبعد ذلك باستخدام هذه القيمة من المعادلة قبل الأخيرة نحسبها س ن-1، الخ. نجد الأخير س 1 من المعادلة الأولى.
من الملائم إجراء تحويلات غاوسية عن طريق إجراء تحويلات ليس باستخدام المعادلات نفسها، ولكن باستخدام مصفوفات معاملاتها. النظر في المصفوفة:
مُسَمًّى مصفوفة موسعة للنظام,لأنه، بالإضافة إلى المصفوفة الرئيسية للنظام، يتضمن عمودًا من المصطلحات المجانية. تعتمد الطريقة الغوسية على اختزال المصفوفة الرئيسية للنظام إلى شكل مثلث (أو شكل شبه منحرف في حالة الأنظمة غير المربعة) باستخدام تحويلات الصف الأولية (!) للمصفوفة الموسعة للنظام.
مثال 5.1.حل النظام باستخدام الطريقة الغوسية:
حل. لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام، وباستخدام الصف الأول، بعد ذلك سنقوم بإعادة ضبط العناصر المتبقية:
نحصل على أصفار في الصفوف الثاني والثالث والرابع من العمود الأول:
نحتاج الآن إلى أن تكون جميع العناصر الموجودة في العمود الثاني أسفل الصف الثاني مساوية للصفر. للقيام بذلك، يمكنك ضرب السطر الثاني بـ -4/7 وإضافته إلى السطر الثالث. ومع ذلك، لكي لا نتعامل مع الكسور، فلنقم بإنشاء وحدة في الصف الثاني من العمود الثاني وفقط
الآن، للحصول على مصفوفة ثلاثية، تحتاج إلى إعادة ضبط عنصر الصف الرابع من العمود الثالث؛ للقيام بذلك، يمكنك ضرب الصف الثالث في 8/54 وإضافته إلى الرابع. ومع ذلك، لكي لا نتعامل مع الكسور، سنقوم بتبديل الصفين الثالث والرابع والعمودين الثالث والرابع وبعد ذلك فقط سنقوم بإعادة تعيين العنصر المحدد. لاحظ أنه عند إعادة ترتيب الأعمدة، تتغير أماكن المتغيرات المقابلة ويجب تذكر ذلك؛ لا يمكن تنفيذ التحويلات الأولية الأخرى مع الأعمدة (الجمع والضرب برقم)!
تتوافق المصفوفة المبسطة الأخيرة مع نظام المعادلات المكافئ للنظام الأصلي:
ومن هنا وباستخدام معكوس الطريقة الغوسية نجد من المعادلة الرابعة س 3 = -1؛ من الثالث س 4 = -2 من الثانية س 2 = 2 ومن المعادلة الأولى س 1 = 1. في شكل مصفوفة، يتم كتابة الإجابة على النحو التالي
لقد نظرنا في الحالة عندما يكون النظام محددًا، أي. عندما يكون هناك حل واحد فقط. دعونا نرى ما يحدث إذا كان النظام غير متسق أو غير مؤكد.
مثال 5.2.استكشاف النظام باستخدام الطريقة الغوسية:
حل. نكتب ونحول المصفوفة الموسعة للنظام
نكتب نظام مبسط من المعادلات:
وهنا في المعادلة الأخيرة يتبين أن 0=4، أي. تناقض. وبالتالي فإن النظام ليس لديه حل، أي. هي غير متوافق. à
مثال 5.3.استكشاف وحل النظام باستخدام الطريقة الغوسية:
حل. نكتب ونحول المصفوفة الموسعة للنظام:
ونتيجة للتحولات، فإن السطر الأخير يحتوي على أصفار فقط. وهذا يعني أن عدد المعادلات قد انخفض بمقدار واحد:
وهكذا، بعد التبسيط، تبقى معادلتان وأربعة مجهولات، أي. اثنان غير معروفين "إضافيين". فلتكن "زائدة عن الحاجة"، أو كما يقولون، المتغيرات الحرة، سوف س 3 و س 4 . ثم
الاعتقاد س 3 = 2أو س 4 = ب، نحن نحصل س 2 = 1–أو س 1 = 2ب–أ; أو في شكل مصفوفة
الحل المكتوب بهذه الطريقة يسمى عام، لأنه يعطي المعلمات أو بقيم مختلفة، ويمكن وصف جميع الحلول الممكنة للنظام. أ
نواصل النظر في أنظمة المعادلات الخطية. وهذا الدرس هو الثالث في هذا الموضوع. إذا كانت لديك فكرة غامضة عن ماهية نظام المعادلات الخطية بشكل عام، وإذا كنت تشعر بالرغبة في إبريق الشاي، فإنني أوصي بالبدء بالأساسيات في الصفحة التالية، فمن المفيد دراسة الدرس.
الطريقة الغوسية سهلة!لماذا؟ حصل عالم الرياضيات الألماني الشهير يوهان كارل فريدريش غاوس خلال حياته على الاعتراف بأنه أعظم عالم رياضيات في كل العصور، وعبقري، وحتى لقب "ملك الرياضيات". وكل شيء عبقري، كما تعلمون، بسيط!بالمناسبة، ليس فقط المغفلون يحصلون على المال، ولكن العباقرة أيضًا - كانت صورة غاوس على الأوراق النقدية بقيمة 10 ماركات ألمانية (قبل إدخال اليورو)، ولا يزال غاوس يبتسم بشكل غامض للألمان من طوابع البريد العادية.
طريقة غاوس بسيطة حيث أن معرفة طالب الصف الخامس كافية لإتقانها. يجب أن تعرف كيفية الجمع والضرب!ليس من قبيل الصدفة أن يفكر المعلمون غالبًا في طريقة الاستبعاد المتسلسل للمجهول في مقررات الرياضيات المدرسية الاختيارية. إنها مفارقة، لكن الطلاب يجدون الطريقة الغوسية هي الأكثر صعوبة. لا شيء مفاجئ - الأمر كله يتعلق بالمنهجية، وسأحاول التحدث عن خوارزمية الطريقة بشكل يسهل الوصول إليه.
أولاً، دعونا ننظم القليل من المعرفة حول أنظمة المعادلات الخطية. يمكن لنظام المعادلات الخطية أن:
1) احصل على حل فريد. 2) لديك عدد لا نهائي من الحلول. 3) ليس لديهم حلول (يكون غير مشترك).
طريقة غاوس هي الأداة الأقوى والأكثر عالمية لإيجاد الحل أيأنظمة المعادلات الخطية. وكما نتذكر، قاعدة كريمر وطريقة المصفوفةغير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متناسق. وطريقة الحذف المتسلسل للمجهول على أي حالسوف يقودنا إلى الجواب! في هذا الدرس سنتناول مرة أخرى طريقة غاوس للحالة رقم 1 (الحل الوحيد للنظام)، وخصص مقال لمواقف النقاط رقم 2-3. ألاحظ أن خوارزمية الطريقة نفسها تعمل بنفس الطريقة في الحالات الثلاث.
دعنا نعود إلى أبسط نظام من الدرس كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟وحلها باستخدام طريقة غاوس.
الخطوة الأولى هي الكتابة مصفوفة النظام الموسعة: . أعتقد أن الجميع يمكنهم أن يروا بأي مبدأ تتم كتابة المعاملات. ليس للخط العمودي داخل المصفوفة أي معنى رياضي - فهو ببساطة يتوسطه خط لسهولة التصميم.
مرجع : أنصحك أن تتذكر شروط الجبر الخطي. مصفوفة النظام هي مصفوفة مكونة فقط من معاملات للمجاهول، في هذا المثال مصفوفة النظام: . مصفوفة النظام الموسعة – هذه هي نفس مصفوفة النظام بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة، في هذه الحالة: . للإيجاز، أي من المصفوفات يمكن أن تسمى ببساطة مصفوفة.
بعد كتابة مصفوفة النظام الموسعة، من الضروري تنفيذ بعض الإجراءات معها، والتي تسمى أيضًا التحولات الأولية.
توجد التحولات الأولية التالية:
1) سلاسلالمصفوفات يستطيع إعادة ترتيبفي بعض الأماكن. على سبيل المثال، في المصفوفة قيد النظر، يمكنك إعادة ترتيب الصفين الأول والثاني دون ألم: 
2) إذا كانت هناك (أو ظهرت) صفوف متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة، فيجب عليك يمسحكل هذه الصفوف من المصفوفة باستثناء واحد. لنأخذ على سبيل المثال المصفوفة 
. في هذه المصفوفة تكون الصفوف الثلاثة الأخيرة متناسبة، لذا يكفي ترك واحد منها فقط: 
.
3) إذا ظهر صف صفر في المصفوفة أثناء التحويلات، فيجب أن يكون كذلك يمسح. لن أرسم، بالطبع، خط الصفر هو الخط الذي فيه جميع الأصفار.
4) يمكن أن يكون صف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم غير صفرية. لنأخذ على سبيل المثال المصفوفة . يُنصح هنا بتقسيم السطر الأول على -3، وضرب السطر الثاني في 2: 
. هذا الإجراء مفيد جدًا لأنه يبسط المزيد من تحويلات المصفوفة.
5) يسبب هذا التحول معظم الصعوبات، ولكن في الواقع لا يوجد شيء معقد أيضًا. إلى صف من المصفوفة يمكنك أضف سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة الخاصة بنا من مثال عملي: . أولاً سأصف التحول بتفصيل كبير. اضرب السطر الأول بـ -2: 
، و إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في -2: 
. الآن يمكن تقسيم السطر الأول "للخلف" على -2: . كما ترون، السطر الذي تمت إضافته لي – لم يتغير. دائماًيتغير السطر الذي تتم إضافته يوتا.
من الناحية العملية، بالطبع، لا يكتبونها بمثل هذه التفاصيل، لكنهم يكتبونها بإيجاز: 
مرة أخرى: إلى السطر الثاني تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في -2. عادةً ما يتم ضرب السطر شفهيًا أو في مسودة، حيث تتم عملية الحساب الذهني على النحو التالي:
"أعيد كتابة المصفوفة وأعيد كتابة السطر الأول: 
»
"العمود الأول. في الأسفل أحتاج إلى الحصول على الصفر. لذلك، أضرب الواحد الموجود في الأعلى بـ –2:، وأضيف الأول إلى السطر الثاني: 2 + (–2) = 0. وأكتب النتيجة في السطر الثاني: 
»
"الآن العمود الثاني. في الأعلى، أضرب -1 في -2: . أقوم بإضافة الأول إلى السطر الثاني: 1 + 2 = 3. وأكتب النتيجة في السطر الثاني: 
»
«والطابور الثالث. في الأعلى أضرب -5 في -2: . أقوم بإضافة الأول إلى السطر الثاني: –7 + 10 = 3. أكتب النتيجة في السطر الثاني: 
»
يرجى فهم هذا المثال بعناية وفهم خوارزمية الحساب التسلسلي، إذا فهمت ذلك، فإن الطريقة الغوسية تكون في جيبك عمليًا. لكن، بالطبع، سنواصل العمل على هذا التحول.
التحولات الأولية لا تغير حل نظام المعادلات
! انتباه: يعتبر التلاعب لا يمكن استخدام، إذا عُرضت عليك مهمة حيث يتم إعطاء المصفوفات "بنفسها". على سبيل المثال، مع "الكلاسيكية" العمليات مع المصفوفاتلا يجوز لك تحت أي ظرف من الظروف إعادة ترتيب أي شيء داخل المصفوفات! دعونا نعود إلى نظامنا. يتم تقطيعه عمليا إلى قطع.
دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام، وباستخدام التحويلات الأولية، نختصرها إلى عرض متدرج:
(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. ومرة أخرى: لماذا نضرب السطر الأول في -2؟ لكي نحصل على صفر في الأسفل، فهذا يعني التخلص من متغير واحد في السطر الثاني.
(2) قسمة السطر الثاني على 3.
الغرض من التحولات الأولية
–
تقليل المصفوفة إلى شكل تدريجي: 
. في تصميم المهمة، يقومون فقط بوضع علامة على "الدرج" بقلم رصاص بسيط، وكذلك وضع دائرة حول الأرقام الموجودة على "الخطوات". إن مصطلح "النظرة المتدرجة" في حد ذاته ليس نظريًا تمامًا؛ بل يُطلق عليه غالبًا في الأدبيات العلمية والتعليمية عرض شبه منحرفأو عرض الثلاثي.
ونتيجة للتحولات الأولية، حصلنا على مقابلنظام المعادلات الأصلي:
الآن يحتاج النظام إلى "الاسترخاء" في الاتجاه المعاكس - من الأسفل إلى الأعلى، تسمى هذه العملية عكس الطريقة الغوسية.
في المعادلة السفلى لدينا بالفعل نتيجة جاهزة: .
لنفكر في المعادلة الأولى للنظام ونستبدل فيها القيمة المعروفة بالفعل لـ "y":
لنفكر في الموقف الأكثر شيوعًا عندما تتطلب الطريقة الغوسية حل نظام من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل.
مثال 1
حل نظام المعادلات باستخدام طريقة غاوس: 
لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام: 
الآن سأرسم على الفور النتيجة التي سنصل إليها أثناء الحل: 
وأكرر، هدفنا هو تحويل المصفوفة إلى صورة تدريجية باستخدام التحويلات الأولية. من أين أبدا؟
أولاً، انظر إلى الرقم الموجود أعلى اليسار: 
ينبغي أن يكون دائما تقريبا هنا وحدة. بشكل عام، -1 (وأحيانًا أرقام أخرى) ستفي بالغرض، ولكن بطريقة ما حدث تقليديًا أن يتم وضع الرقم هناك عادةً. كيفية تنظيم الوحدة؟ نحن ننظر إلى العمود الأول - لدينا وحدة جاهزة! التحويل الأول: تبديل السطرين الأول والثالث: 
الآن سيبقى السطر الأول دون تغيير حتى نهاية الحل. الآن بخير.
تم تنظيم الوحدة الموجودة في الزاوية اليسرى العليا. أنت الآن بحاجة إلى الحصول على الأصفار في هذه الأماكن: 
نحصل على الأصفار باستخدام التحويل "الصعب". أولا نتعامل مع السطر الثاني (2، –1، 3، 13). ما الذي يجب فعله للحصول على الصفر في المركز الأول؟ بحاجة ل إلى السطر الثاني أضف السطر الأول مضروبًا في -2. ذهنيًا أو على المسودة، اضرب السطر الأول بـ -2: (-2، -4، 2، -18). ونقوم باستمرار بتنفيذ الإضافة (مرة أخرى عقليًا أو على مسودة)، إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول، مضروبًا بالفعل في -2:
نكتب النتيجة في السطر الثاني: 
ونتعامل مع السطر الثالث بنفس الطريقة (3، 2، –5، –1). للحصول على صفر في المركز الأول، تحتاج إلى السطر الثالث أضف السطر الأول مضروبًا في -3. ذهنيًا أو على المسودة، اضرب السطر الأول بـ -3: (-3، -6، 3، -27). و إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في -3:
نكتب النتيجة في السطر الثالث:
من الناحية العملية، عادةً ما يتم تنفيذ هذه الإجراءات شفهيًا وتدوينها في خطوة واحدة: 
لا حاجة لحساب كل شيء دفعة واحدة وفي نفس الوقت. ترتيب العمليات الحسابية و"كتابة" النتائج ثابتوعادة ما يكون الأمر على النحو التالي: أولاً نعيد كتابة السطر الأول، وننفخ في أنفسنا شيئًا فشيئًا - بشكل متسق و بانتباه:
وقد ناقشت بالفعل العملية العقلية للحسابات نفسها أعلاه.
في هذا المثال، من السهل القيام بذلك؛ حيث نقسم السطر الثاني على -5 (نظرًا لأن جميع الأرقام هناك قابلة للقسمة على 5 بدون باقي). وفي الوقت نفسه، نقسم السطر الثالث على -2، لأنه كلما كانت الأرقام أصغر، كان الحل أبسط:
في المرحلة النهائية من التحولات الأولية، تحتاج إلى الحصول على صفر آخر هنا: 
لهذا إلى السطر الثالث نضيف السطر الثاني مضروبا في -2:
حاول معرفة هذا الإجراء بنفسك - اضرب السطر الثاني عقليًا في -2 وقم بإجراء عملية الإضافة.
الإجراء الأخير الذي يتم تنفيذه هو تصفيفة الشعر الناتجة، وتقسيم السطر الثالث على 3.
ونتيجة للتحولات الأولية، تم الحصول على نظام مكافئ من المعادلات الخطية: 
رائع.
والآن يأتي دور عكس الطريقة الغوسية. المعادلات "تسترخي" من الأسفل إلى الأعلى.
في المعادلة الثالثة لدينا بالفعل نتيجة جاهزة:
لننظر إلى المعادلة الثانية : . ومعنى "زيت" معروف بالفعل، وبالتالي:
وأخيرًا المعادلة الأولى: . "Igrek" و"zet" معروفان، إنها مجرد مسألة أشياء صغيرة:
إجابة: 
كما تمت الإشارة مرارًا وتكرارًا، بالنسبة لأي نظام من المعادلات، من الممكن والضروري التحقق من الحل الذي تم العثور عليه، ولحسن الحظ، فإن هذا سهل وسريع.
مثال 2
هذا مثال لحل مستقل وعينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس.
تجدر الإشارة إلى أن الخاص بك التقدم في القرارقد لا يتزامن مع عملية اتخاذ القرار، وهذه إحدى سمات طريقة غاوس. ولكن يجب أن تكون الإجابات هي نفسها!
مثال 3
حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس 
نحن ننظر إلى "الخطوة" العلوية اليسرى. ينبغي أن يكون لدينا واحد هناك. المشكلة هي أنه لا توجد وحدات في العمود الأول على الإطلاق، وبالتالي فإن إعادة ترتيب الصفوف لن تحل أي شيء. في مثل هذه الحالات، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادةً بعدة طرق. فعلت هذا: (1) نضيف إلى السطر الأول السطر الثاني مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا السطر الثاني عقليًا في -1 وأضفنا السطرين الأول والثاني، بينما لم يتغير السطر الثاني.
الآن في أعلى اليسار يوجد "ناقص واحد"، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لأي شخص يريد الحصول على +1 إجراء حركة إضافية: اضرب السطر الأول بـ -1 (قم بتغيير علامته).
(2) تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني.
(3) تم ضرب السطر الأول في -1، من حيث المبدأ، وهذا من أجل الجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث وتم نقلها إلى المركز الثاني، بحيث تكون لدينا في "الخطوة" الثانية الوحدة المطلوبة.
(4) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 2.
(5) السطر الثالث مقسوم على 3.
العلامة السيئة التي تشير إلى خطأ في الحسابات (في حالات نادرة، خطأ مطبعي) هي النتيجة النهائية "السيئة". وهذا يعني أنه إذا حصلنا على شيء مثل أدناه، وبالتالي، 
إذن بدرجة عالية من الاحتمال يمكننا القول أنه حدث خطأ أثناء التحويلات الأولية.
نحن نشحن بالعكس، ففي تصميم الأمثلة غالبًا لا يعيدون كتابة النظام نفسه، ولكن المعادلات "مأخوذة مباشرة من المصفوفة المعطاة". أذكرك أن الضربة العكسية تعمل من الأسفل إلى الأعلى. نعم هذه هدية:
إجابة: 
.
مثال 4
حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس 
هذا مثال يمكنك حله بنفسك، فهو أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لا بأس إذا كان شخص ما يشعر بالارتباك. الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس. قد يكون الحل الخاص بك مختلفًا عن الحل الخاص بي.
في الجزء الأخير سنلقي نظرة على بعض ميزات الخوارزمية الغوسية. الميزة الأولى هي أنه في بعض الأحيان تكون بعض المتغيرات مفقودة من معادلات النظام، على سبيل المثال: 
كيفية كتابة مصفوفة النظام الموسعة بشكل صحيح؟ لقد تحدثت بالفعل عن هذه النقطة في الفصل. حكم كريمر. طريقة المصفوفة. في المصفوفة الموسعة للنظام، نضع أصفارًا بدلاً من المتغيرات المفقودة: 
بالمناسبة، هذا مثال سهل إلى حد ما، حيث أن العمود الأول يحتوي بالفعل على صفر واحد، وهناك عدد أقل من التحويلات الأولية التي يجب تنفيذها.
الميزة الثانية هي هذه. في جميع الأمثلة التي تم النظر فيها، وضعنا إما -1 أو +1 على "الخطوات". هل يمكن أن يكون هناك أرقام أخرى هناك؟ في بعض الحالات يمكنهم ذلك. النظر في النظام: 
.
هنا في "الخطوة" العلوية اليسرى لدينا اثنان. ولكننا نلاحظ أن جميع الأرقام الموجودة في العمود الأول قابلة للقسمة على 2 بدون باقي - والآخر اثنان وستة. والاثنان في أعلى اليسار سوف يناسبنا! في الخطوة الأولى، تحتاج إلى إجراء التحويلات التالية: إضافة السطر الأول مضروبًا في -1 إلى السطر الثاني؛ إلى السطر الثالث أضف السطر الأول مضروبًا في -3. بهذه الطريقة سنحصل على الأصفار المطلوبة في العمود الأول.
أو مثال تقليدي آخر: 
. هنا يناسبنا أيضًا الثلاثة في "الخطوة" الثانية، نظرًا لأن 12 (المكان الذي نحتاج فيه للحصول على الصفر) قابل للقسمة على 3 بدون باقي. من الضروري إجراء التحويل التالي: إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث، مضروبًا في -4، ونتيجة لذلك سيتم الحصول على الصفر الذي نحتاجه.
طريقة غاوس عالمية، ولكن هناك خصوصية واحدة. يمكنك أن تتعلم بثقة كيفية حل الأنظمة باستخدام طرق أخرى (طريقة كرامر، طريقة المصفوفة) حرفيًا في المرة الأولى - فهي تحتوي على خوارزمية صارمة للغاية. ولكن لكي تشعر بالثقة في الطريقة الغوسية، يجب عليك "الدخول في أسنانك" وحل ما لا يقل عن 5-10 أنظمة. لذلك، في البداية قد يكون هناك ارتباك وأخطاء في الحسابات، ولا يوجد شيء غير عادي أو مأساوي في هذا الأمر.
طقس خريفي ممطر خارج النافذة.... لذلك لكل من يريد مثالًا أكثر تعقيدًا ليحله بنفسه:
مثال 5
حل نظام من أربع معادلات خطية ذات أربعة مجاهيل باستخدام طريقة غاوس. 
مثل هذه المهمة ليست نادرة جدًا في الممارسة العملية. أعتقد أنه حتى إبريق الشاي الذي درس هذه الصفحة بدقة سوف يفهم خوارزمية حل مثل هذا النظام بشكل حدسي. في الأساس، كل شيء هو نفسه - هناك المزيد من الإجراءات.
تتم مناقشة الحالات التي لا يوجد فيها حلول للنظام (غير متناسق) أو لديه عدد لا نهائي من الحلول في الدرس الأنظمة والأنظمة غير المتوافقة مع الحل المشترك. هناك يمكنك إصلاح الخوارزمية المدروسة للطريقة الغوسية.
أتمنى لك النجاح!
الحلول والأجوبة:
مثال 2:
حل
:
دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية.
التحولات الأولية التي تم إجراؤها:
(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -1.
انتباه!
وهنا قد تنجذب إلى طرح الأول من السطر الثالث؛ وأوصي بشدة بعدم طرحه - حيث يزداد خطر الخطأ بشكل كبير. فقط قم بطيها!
(2) تم تغيير إشارة السطر الثاني ( مضروبة في -1 ). تم تبديل السطر الثاني والثالث.
ملحوظة
، أنه في "الخطوات" نحن راضون ليس فقط عن واحدة، ولكن أيضًا عن -1، وهو أكثر ملاءمة.
(3) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 5.
(4) تم تغيير إشارة السطر الثاني ( مضروبة في -1 ). تم تقسيم السطر الثالث على 14.
يعكس:
إجابة
:
.
مثال 4:
حل
:
دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:
التحويلات التي تم تنفيذها: (١) أضيف سطر ثاني إلى السطر الأول. وهكذا يتم تنظيم الوحدة المطلوبة في "الخطوة" العلوية اليسرى. (2) تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 7 إلى السطر الثاني.
مع "الخطوة" الثانية، كل شيء يصبح أسوأ ، "المرشحون" لذلك هم الرقمان 17 و 23، ونحتاج إما إلى واحد أو -1. تهدف التحويلات (3) و (4) إلى الحصول على الوحدة المطلوبة (3) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في -1. (4) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الثاني مضروبا في -3. تم استلام العنصر المطلوب في الخطوة الثانية. . (5) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 6. (6) تم ضرب السطر الثاني في -1، وتم تقسيم السطر الثالث على -83.
يعكس:
إجابة :
مثال 5:
حل
:
دعنا نكتب مصفوفة النظام ونحولها باستخدام التحويلات الأولية إلى شكل تدريجي:
التحويلات التي تم تنفيذها: (١) تم تبديل السطرين الأول والثاني. (2) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الرابع مضروبًا في -3. (3) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 4. وأضيف السطر الثاني إلى السطر الرابع مضروبا في -1. (٤) غيرت علامة السطر الثاني. تم تقسيم السطر الرابع على 3 ووضعه مكان السطر الثالث. (5) أضيف السطر الثالث إلى السطر الرابع مضروبا في -5.
يعكس:
إجابة :
في هذه المقالة، تعتبر الطريقة بمثابة طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAEs). الطريقة تحليلية، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية الحل بشكل عام، ثم استبدال القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو صيغ كرامر، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي لديها عدد لا حصر له من الحلول. أو أنهم لا يملكونها على الإطلاق.
ماذا يعني الحل باستخدام الطريقة الغوسية؟
أولًا، علينا كتابة نظام المعادلات بالشكل التالي. خذ النظام:
تُكتب المعاملات على شكل جدول، وتُكتب الحدود الحرة في عمود منفصل على اليمين. يتم فصل العمود الذي يحتوي على شروط مجانية للراحة، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود ممتدة.
بعد ذلك، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى شكل مثلث علوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام باستخدام الطريقة الغوسية. ببساطة، بعد بعض التلاعبات، يجب أن تبدو المصفوفة بحيث يحتوي الجزء السفلي الأيسر منها على أصفار فقط:
بعد ذلك، إذا قمت بكتابة المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام من المعادلات، ستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور، والذي يتم بعد ذلك استبداله في المعادلة أعلاه، ويتم العثور على جذر آخر، وهكذا.
هذا وصف للحل بالطريقة الغوسية بالمصطلحات الأكثر عمومية. ماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا نهائيًا منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في حل الطريقة الغوسية.
المصفوفات، خصائصها
لا يوجد معنى خفي في المصفوفة. هذه ببساطة طريقة ملائمة لتسجيل البيانات للعمليات اللاحقة بها. حتى تلاميذ المدارس لا يحتاجون إلى الخوف منهم.
المصفوفة دائمًا مستطيلة لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة غاوس، حيث يتلخص كل شيء في بناء مصفوفة ذات شكل مثلث، يظهر مستطيل في الإدخال، فقط مع وجود أصفار في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. قد لا تكون الأصفار مكتوبة، لكنها ضمنية.
المصفوفة لها حجم. "العرض" هو عدد الصفوف (م)، "الطول" هو عدد الأعمدة (ن). ثم سيتم الإشارة إلى حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف اللاتينية الكبيرة للدلالة عليها) على أنها A m×n. إذا كانت m=n، فهذه المصفوفة مربعة، وm=n هو ترتيبها. وفقًا لذلك، يمكن الإشارة إلى أي عنصر في المصفوفة A بأرقام الصفوف والأعمدة الخاصة به: a xy ; x - رقم الصف، التغييرات، y - رقم العمود، التغييرات.
B ليست النقطة الرئيسية في القرار. من حيث المبدأ، يمكن تنفيذ جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها، لكن التدوين سيكون أكثر تعقيدًا، وسيكون الخلط فيه أسهل بكثير.
محدد
المصفوفة لديها أيضا محدد. هذه خاصية مهمة جدا. ليست هناك حاجة لمعرفة معناها الآن؛ يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابها، ثم معرفة خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة للعثور على المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الوهمية في المصفوفة؛ يتم مضاعفة العناصر الموجودة على كل منها، ثم تضاف المنتجات الناتجة: الأقطار مع منحدر إلى اليمين - مع علامة زائد، مع منحدر إلى اليسار - مع علامة ناقص.
من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. بالنسبة للمصفوفة المستطيلة، يمكنك القيام بما يلي: اختر الأصغر من بين عدد الصفوف وعدد الأعمدة (فليكن k)، ثم قم بوضع علامة بشكل عشوائي على أعمدة k وصفوف k في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة مصفوفة مربعة جديدة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة رقما غير الصفر، فإنه يسمى الأساس الأصغر للمصفوفة المستطيلة الأصلية.
قبل البدء في حل نظام المعادلات باستخدام طريقة غاوس، لن يضر حساب المحدد. إذا تبين أنها صفر، فيمكننا القول على الفور أن المصفوفة إما تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو لا تحتوي على أي شيء على الإطلاق. في مثل هذه الحالة الحزينة، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتتعرف على رتبة المصفوفة.
تصنيف النظام
هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الترتيب الأقصى لمحددها غير الصفر (إذا تذكرنا الأساس الصغير، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).
بناءً على الوضع مع الرتبة، يمكن تقسيم SLAE إلى:
- مشترك. شفي الأنظمة المشتركة، تتطابق رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون من المعاملات فقط) مع رتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات الحرة). هذه الأنظمة لها حل، ولكن ليس بالضرورة حلًا واحدًا، لذلك تنقسم الأنظمة المشتركة أيضًا إلى:
- - تأكيد- وجود حل واحد. في بعض الأنظمة، تكون رتبة المصفوفة وعدد المجهولين (أو عدد الأعمدة، وهو نفس الشيء) متساويين؛
- - غير معرف -مع عدد لا نهائي من الحلول . رتبة المصفوفات في مثل هذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
- غير متوافق. شفي مثل هذه الأنظمة، لا تتطابق صفوف المصفوفات الرئيسية والممتدة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.
تعتبر طريقة غاوس جيدة لأنها تسمح أثناء الحل بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (دون حساب محددات المصفوفات الكبيرة)، أو حل بشكل عام لنظام يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.
التحولات الأولية
قبل الشروع مباشرة في حل النظام، يمكنك جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة لإجراء العمليات الحسابية. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المعطاة صالحة فقط للمصفوفات التي كان مصدرها SLAE. وفيما يلي قائمة بهذه التحولات:
- إعادة ترتيب الخطوط. من الواضح أنه إذا قمت بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي، يمكن أيضًا تبديل الصفوف الموجودة في مصفوفة هذا النظام، دون أن ننسى بالطبع عمود المصطلحات المجانية.
- ضرب جميع عناصر السلسلة بمعامل معين. مفيد جدا! يمكن استخدامه لتقليل الأعداد الكبيرة في المصفوفة أو إزالة الأصفار. العديد من القرارات، كالعادة، لن تتغير، لكن العمليات الإضافية ستصبح أكثر ملاءمة. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
- إزالة الصفوف مع العوامل التناسبية. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في مصفوفة معاملات متناسبة، فعند ضرب/قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب، يتم الحصول على صفين (أو مرة أخرى أكثر) متطابقين تمامًا، ويمكن إزالة الصفوف الإضافية، مما يترك واحد فقط.
- إزالة سطر فارغ. إذا تم الحصول على صف أثناء التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر، بما في ذلك الحد الحر، صفرًا، فيمكن تسمية هذا الصف بالصفر وإلقائه خارج المصفوفة.
- إضافة عناصر صف واحد إلى عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيه بمزيد من التفصيل.
إضافة سلسلة مضروبة في عامل
لسهولة الفهم، يجدر تقسيم هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:
أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب1
أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2
لنفترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني مضروبًا في المعامل "-2".
أ" 21 = أ 21 + -2 × أ 11
أ" 22 = أ 22 + -2 × أ 12
أ" 2ن = أ 2ن + -2×أ 1ن
ثم يتم استبدال الصف الثاني في المصفوفة بآخر جديد، ويبقى الأول دون تغيير.
أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب1
أ" 21 أ" 22 ... أ" 2 ن | ب 2
تجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار معامل الضرب بحيث يكون أحد عناصر الصف الجديد، نتيجة إضافة صفين، يساوي الصفر. وبالتالي، فمن الممكن الحصول على معادلة في نظام حيث سيكون هناك معادلة أقل مجهولة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي على عدد أقل من المجهولين. وإذا قمت في كل مرة بتحويل معامل واحد إلى صفر لجميع الصفوف الموجودة أسفل المعامل الأصلي، فيمكنك، مثل الدرج، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات مجهول واحد. وهذا ما يسمى حل النظام باستخدام طريقة غاوس.
على العموم
فليكن هناك نظام. لديها معادلات m وجذور n غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:
يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. تتم إضافة عمود من المصطلحات الحرة إلى المصفوفة الموسعة، ويتم فصلها بخط من أجل الراحة.
- يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 /a 11);
- تتم إضافة الصف المعدل الأول والصف الثاني من المصفوفة؛
- بدلا من الصف الثاني، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة؛
- الآن المعامل الأول في الصف الثاني الجديد هو 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
الآن يتم تنفيذ نفس سلسلة التحولات، ويشارك فقط الصفين الأول والثالث. وفقًا لذلك، في كل خطوة من الخوارزمية، يتم استبدال العنصر 21 بالعنصر 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41، ... m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف هو صفر. أنت الآن بحاجة إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:
- معامل ك = (-أ 32 /أ 22)؛
- ويضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي"؛
- يتم استبدال نتيجة الإضافة في السطر الثالث والرابع وما إلى ذلك، بينما يظل الأول والثاني دون تغيير؛
- في صفوف المصفوفة، العنصران الأولان يساويان الصفر بالفعل.
يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m,m-1 /a mm). وهذا يعني أن آخر مرة تم فيها تنفيذ الخوارزمية كانت للمعادلة الأدنى فقط. الآن تبدو المصفوفة مثل المثلث، أو لها شكل متدرج. في الخلاصة هناك المساواة a mn × x n = b m. المعامل والحد الحر معروفان، ويعبر عنهما الجذر: x n = b m /a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في السطر العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. وهكذا عن طريق القياس: في كل سطر لاحق يوجد جذر جديد، وبعد أن وصلت إلى "قمة" النظام، يمكنك العثور على العديد من الحلول. وسوف يكون الوحيد.
عندما لا يكون هناك حلول
إذا كانت جميع العناصر في أحد صفوف المصفوفات، باستثناء الحد الحر، تساوي صفرًا، فستبدو المعادلة المقابلة لهذا الصف مثل 0 = b. ليس لها حل. وبما أن هذه المعادلة مدرجة في النظام، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة، أي أنها تتدهور.
عندما يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول
قد يحدث أنه في المصفوفة المثلثية المعطاة لا توجد صفوف تحتوي على عنصر معامل واحد في المعادلة وحد حر واحد. لا يوجد سوى سطور تبدو، عند إعادة كتابتها، كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. وهذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟
تنقسم جميع المتغيرات في المصفوفة إلى أساسية ومجانية. الأساسية هي تلك التي تقف "على حافة" الصفوف في مصفوفة الخطوات. الباقي مجاني. في الحل العام يتم كتابة المتغيرات الأساسية من خلال المتغيرات الحرة.
للراحة، يتم أولا إعادة كتابة المصفوفة مرة أخرى إلى نظام المعادلات. ثم في الأخير، حيث لم يتبق سوى متغير أساسي واحد بالضبط، فإنه يبقى على جانب واحد، ويتم نقل كل شيء آخر إلى الجانب الآخر. يتم ذلك لكل معادلة ذات متغير أساسي واحد. ثم، في المعادلات المتبقية، حيثما أمكن، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه بدلاً من المتغير الأساسي. إذا كانت النتيجة مرة أخرى عبارة عن تعبير يحتوي على متغير أساسي واحد فقط، فسيتم التعبير عنه مرة أخرى من هناك، وهكذا، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير بمتغيرات حرة. هذا هو الحل العام لـ SLAE.
يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - إعطاء المتغيرات الحرة أي قيم، ثم في هذه الحالة المحددة قم بحساب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا حصر له من الحلول المحددة التي يمكن تقديمها.
الحل مع أمثلة محددة
هنا نظام المعادلات.
للراحة، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور
ومن المعروف أنه عند حلها بالطريقة الغوسية فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى كما هي عند نهاية التحويلات. ولذلك، سيكون أكثر ربحية إذا كان العنصر العلوي الأيسر من المصفوفة هو الأصغر - ثم العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات سوف تتحول إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني بدلاً من الصف الأول.
السطر الثاني: ك = (-أ 21 /أ 11) = (-3/1) = -3
أ" 21 = أ 21 + ك×أ 11 = 3 + (-3)×1 = 0
أ" 22 = أ 22 + ك×أ 12 = -1 + (-3)×2 = -7
أ" 23 = أ 23 + ك×أ 13 = 1 + (-3)×4 = -11
ب" 2 = ب 2 + ك×ب 1 = 12 + (-3)×12 = -24
السطر الثالث: ك = (-أ 3 1 /أ 11) = (-5/1) = -5
أ" 3 1 = أ 3 1 + ك×أ 11 = 5 + (-5)×1 = 0
أ" 3 2 = أ 3 2 + ك×أ 12 = 1 + (-5)×2 = -9
أ" 3 3 = أ 33 + ك×أ 13 = 2 + (-5)×4 = -18
ب" 3 = ب 3 + ك×ب 1 = 3 + (-5)×12 = -57
الآن، لكي لا تشعر بالارتباك، تحتاج إلى كتابة مصفوفة مع النتائج المتوسطة للتحولات.
من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك باستخدام عمليات معينة. على سبيل المثال، يمكنك إزالة جميع "السلبيات" من السطر الثاني عن طريق ضرب كل عنصر في "-1".
ومن الجدير بالذكر أيضًا أن جميع العناصر في السطر الثالث هي مضاعفات العدد ثلاثة. ثم يمكنك تقصير السلسلة بهذا الرقم، وضرب كل عنصر بـ "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت، لإزالة القيم السالبة).
تبدو أجمل بكثير. الآن نحن بحاجة إلى ترك السطر الأول وحده والعمل مع الثاني والثالث. وتتمثل المهمة في إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث، مضروبًا في المعامل الذي يجعل العنصر 32 يساوي الصفر.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (إذا لم يتبين أن الإجابة خلال بعض التحويلات عدد صحيح، فمن المستحسن الحفاظ على دقة الحسابات للمغادرة "كما هي"، في شكل كسور عادية، وعندها فقط، عند تلقي الإجابات، تقرر ما إذا كان سيتم التقريب والتحويل إلى شكل آخر من أشكال التسجيل)
أ" 32 = أ 32 + ك×أ 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
أ" 33 = أ 33 + ك×أ 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
ب" 3 = ب 3 + ك×ب 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
تتم كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
كما ترون، المصفوفة الناتجة لديها بالفعل شكل متدرج. ولذلك، ليست هناك حاجة إلى مزيد من التحولات للنظام باستخدام طريقة غاوس. ما يمكنك فعله هنا هو إزالة المعامل الإجمالي "-1/7" من السطر الثالث.
الآن كل شيء جميل. كل ما علينا فعله هو كتابة المصفوفة مرة أخرى في صورة نظام معادلات وحساب الجذور
س + 2ص + 4ض = 12 (1)
7ص + 11ض = 24 (2)
تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في الطريقة الغوسية. تحتوي المعادلة (3) على القيمة z:
ص = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
والمعادلة الأولى تسمح لنا بإيجاد x:
س = (12 - 4ض - 2ص)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
لدينا الحق في أن نطلق على مثل هذا النظام اسم مشترك، بل ومحدد، أي أن له حلًا فريدًا. الجواب مكتوب على الشكل التالي :
س 1 = -2/3، ص = -65/9، ض = 61/9.
مثال على نظام غير مؤكد
تم تحليل البديل لحل نظام معين باستخدام طريقة غاوس؛ والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير مؤكد، أي أنه يمكن إيجاد عدد لا نهائي من الحلول له.
س 1 + س 2 + س 3 + س 4 + س 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
× 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - س 5 = 12 (4)
إن مظهر النظام ذاته مثير للقلق بالفعل، لأن عدد المجهولين هو n = 5، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالضبط من هذا الرقم، لأن عدد الصفوف هو m = 4، أي، أعلى ترتيب لمربع المحدد هو 4. وهذا يعني أن هناك عدد لا حصر له من الحلول، وعليك أن تبحث عن مظهره العام. تتيح لك طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.
أولا، كالعادة، يتم تجميع مصفوفة موسعة.
السطر الثاني: المعامل ك = (-أ 21 /أ 11) = -3. في السطر الثالث، العنصر الأول هو قبل التحولات، لذلك لا تحتاج إلى لمس أي شيء، تحتاج إلى تركه كما هو. السطر الرابع: ك = (-أ 4 1 /أ 11) = -5
وبضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المطلوبة نحصل على مصفوفة بالشكل التالي:
كما ترون، تتكون الصفوف الثاني والثالث والرابع من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. الثاني والرابع متطابقان بشكل عام، لذلك يمكن إزالة أحدهما على الفور، ويمكن ضرب الباقي بالمعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة أخرى، من بين سطرين متطابقين، اترك واحدًا.
والنتيجة هي مصفوفة مثل هذا. في حين أن النظام لم يتم تدوينه بعد، فمن الضروري تحديد المتغيرات الأساسية هنا - تلك التي تقف عند المعاملات a 11 = 1 و 22 = 1، والمتغيرات الحرة - كل الباقي.
في المعادلة الثانية يوجد متغير أساسي واحد فقط - x 2. هذا يعني أنه يمكن التعبير عنه من هناك عن طريق كتابته من خلال المتغيرات x 3 , x 4 , x 5 , وهي مجانية.
نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.
والنتيجة هي معادلة حيث المتغير الأساسي الوحيد هو x 1 . لنفعل نفس الشيء كما هو الحال مع x 2.
يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية، والتي يوجد منها اثنان، بثلاثة متغيرات حرة؛ والآن يمكننا كتابة الإجابة في الصورة العامة.
يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة بالنظام. في مثل هذه الحالات، عادة ما يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. عندها يكون الجواب:
16, 23, 0, 0, 0.
مثال على النظام غير التعاوني
يعد حل أنظمة المعادلات غير المتوافقة باستخدام الطريقة الغوسية هو الأسرع. وينتهي فورًا بمجرد الحصول في إحدى المراحل على معادلة ليس لها حل. أي أنه تم التخلص من مرحلة حساب الجذور، وهي مرحلة طويلة جدًا ومملة. ويراعى النظام التالي :
س + ص - ض = 0 (1)
2س - ص - ض = -2 (2)
4س + ص - 3ض = 5 (3)
كالعادة، يتم تجميع المصفوفة:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
ويتم اختصاره إلى شكل تدريجي:
ك 1 = -2 ك 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
بعد التحويل الأول، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج
بدون حل. وبالتالي فإن النظام غير متناسق، والإجابة ستكون المجموعة الفارغة.
مزايا وعيوب الطريقة
إذا اخترت طريقة حل SLAEs على الورق باستخدام قلم، فإن الطريقة التي تمت مناقشتها في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. إن الخلط بين التحويلات الأولية أصعب بكثير مما لو كان عليك البحث يدويًا عن محدد أو مصفوفة معكوسة صعبة. ومع ذلك، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع، على سبيل المثال، جداول البيانات، فقد اتضح أن هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد، والقصر، والعكس، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الآلة ستحسب هذه القيم بنفسها ولن تخطئ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفات أو صيغ كرامر، لأن استخدامها يبدأ وينتهي بحساب المحددات والمصفوفات العكسية.
طلب
نظرًا لأن الحل Gaussian عبارة عن خوارزمية، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن بما أن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى"، فيجب القول أن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات، على سبيل المثال، Excel. مرة أخرى، سيتم اعتبار أي SLAE يتم إدخاله في جدول على شكل مصفوفة بواسطة Excel بمثابة مصفوفة ثنائية الأبعاد. وبالنسبة للعمليات، هناك العديد من الأوامر اللطيفة: الجمع (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد، فمن الممكن تحديد رتبة المصفوفة بسرعة أكبر، وبالتالي تحديد توافقها أو عدم توافقها.
منذ بداية القرنين السادس عشر والثامن عشر، بدأ علماء الرياضيات في دراسة الوظائف بشكل مكثف، بفضل ما تغير الكثير في حياتنا. تكنولوجيا الكمبيوتر ببساطة لن تكون موجودة بدون هذه المعرفة. تم إنشاء مفاهيم ونظريات وتقنيات حل مختلفة لحل المشكلات المعقدة والمعادلات الخطية والوظائف. إحدى هذه الأساليب والتقنيات العالمية والعقلانية لحل المعادلات الخطية وأنظمتها كانت طريقة غاوس. المصفوفات ورتبها والمحددات - يمكن حساب كل شيء دون استخدام عمليات معقدة.
ما هو SLAU
في الرياضيات، هناك مفهوم SLAE - نظام المعادلات الجبرية الخطية. كيف تبدو؟ هذه مجموعة من معادلات m مع الكميات n غير المعروفة المطلوبة، ويُشار إليها عادةً بـ x أو y أو z أو x 1 أو x 2 ... x n أو رموز أخرى. حل نظام معين باستخدام الطريقة الغوسية يعني العثور على جميع المجهولات المجهولة. إذا كان النظام يحتوي على نفس العدد من المجهولات والمعادلات، فإنه يسمى نظام من الرتبة n.
الطرق الأكثر شعبية لحل SLAEs
تتم دراسة طرق مختلفة لحل هذه الأنظمة في المؤسسات التعليمية للتعليم الثانوي. غالبًا ما تكون هذه معادلات بسيطة تتكون من مجهولين، لذا فإن أي طريقة موجودة للعثور على الإجابة عليها لن تستغرق الكثير من الوقت. يمكن أن يكون هذا مثل طريقة الاستبدال، عندما يتم اشتقاق أخرى من معادلة واحدة واستبدالها بالمعادلة الأصلية. أو طريقة الطرح والجمع حدًا تلو الآخر. لكن طريقة غاوس تعتبر الأسهل والأكثر عالمية. يجعل من الممكن حل المعادلات مع أي عدد من المجهولين. لماذا تعتبر هذه التقنية بالذات عقلانية؟ انه سهل. الشيء الجيد في طريقة المصفوفة هو أنها لا تتطلب إعادة كتابة الرموز غير الضرورية عدة مرات على أنها رموز مجهولة؛ يكفي إجراء عمليات حسابية على المعاملات - وستحصل على نتيجة موثوقة.
أين يتم استخدام SLAEs في الممارسة العملية؟
الحل لـ SLAEs هو نقاط تقاطع الخطوط على الرسوم البيانية للوظائف. في عصر الكمبيوتر عالي التقنية لدينا، يحتاج الأشخاص المرتبطون ارتباطًا وثيقًا بتطوير الألعاب والبرامج الأخرى إلى معرفة كيفية حل هذه الأنظمة وما تمثله وكيفية التحقق من صحة النتيجة الناتجة. في أغلب الأحيان، يقوم المبرمجون بتطوير برامج خاصة للجبر الخطي، والتي تتضمن أيضًا نظام المعادلات الخطية. تتيح لك طريقة غاوس حساب جميع الحلول الموجودة. كما يتم استخدام صيغ وتقنيات مبسطة أخرى.
معيار التوافق SLAU
لا يمكن حل مثل هذا النظام إلا إذا كان متوافقًا. من أجل الوضوح، دعونا نمثل SLAE في النموذج Ax=b. لها حل إذا كان رن (أ) يساوي رانج (أ، ب). في هذه الحالة، (A,b) عبارة عن مصفوفة ذات شكل موسع يمكن الحصول عليها من المصفوفة A عن طريق إعادة كتابتها بشروط حرة. اتضح أن حل المعادلات الخطية باستخدام الطريقة الغوسية أمر سهل للغاية.
ربما بعض الرموز ليست واضحة تماما، لذلك من الضروري النظر في كل شيء مع مثال. لنفترض أن هناك نظامًا: x+y=1; 2س-3ص=6. تتكون من معادلتين فقط، يوجد فيهما مجهولان. لن يكون للنظام حل إلا إذا كانت رتبة مصفوفته تساوي رتبة المصفوفة الموسعة. ما هي الرتبة؟ هذا هو عدد الخطوط المستقلة للنظام. في حالتنا، رتبة المصفوفة هي 2. ستتكون المصفوفة A من معاملات موجودة بالقرب من المجهول، والمعاملات الموجودة خلف علامة "=" تتناسب أيضًا مع المصفوفة الموسعة.
لماذا يمكن تمثيل SLAEs في شكل مصفوفة؟
استنادا إلى معيار التوافق وفقا لنظرية كرونيكر-كابيلي المثبتة، يمكن تمثيل نظام المعادلات الجبرية الخطية في شكل مصفوفة. باستخدام طريقة Gaussian cascade، يمكنك حل المصفوفة والحصول على إجابة واحدة موثوقة للنظام بأكمله. إذا كانت رتبة المصفوفة العادية تساوي رتبة مصفوفتها الموسعة ولكنها أقل من عدد المجهولات، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الإجابات.
تحويلات المصفوفة
قبل الانتقال إلى حل المصفوفات، عليك أن تعرف ما هي الإجراءات التي يمكن تنفيذها على عناصرها. هناك العديد من التحولات الأولية:
- من خلال إعادة كتابة النظام في شكل مصفوفة وحلها، يمكنك ضرب جميع عناصر السلسلة بنفس المعامل.
- من أجل تحويل المصفوفة إلى شكل قانوني، يمكنك تبديل صفين متوازيين. يشير الشكل المتعارف عليه إلى أن جميع عناصر المصفوفة الموجودة على طول القطر الرئيسي تصبح عناصر واحدة، والعناصر المتبقية تصبح أصفارًا.
- يمكن إضافة العناصر المقابلة للصفوف المتوازية للمصفوفة مع بعضها البعض.
طريقة جوردان غاوس
إن جوهر حل أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام الطريقة الغوسية هو التخلص التدريجي من المجهول. لنفترض أن لدينا نظامًا من معادلتين يوجد فيهما مجهولان. للعثور عليهم، تحتاج إلى التحقق من توافق النظام. تم حل المعادلة بكل بساطة باستخدام طريقة غاوس. من الضروري كتابة المعاملات الموجودة بالقرب من كل مجهول في شكل مصفوفة. لحل النظام، سوف تحتاج إلى كتابة المصفوفة الموسعة. إذا كانت إحدى المعادلات تحتوي على عدد أقل من العناصر المجهولة، فيجب وضع "0" بدلاً من العنصر المفقود. يتم تطبيق جميع طرق التحويل المعروفة على المصفوفة: الضرب، والقسمة على رقم، وإضافة عناصر السلسلة المقابلة لبعضها البعض، وغيرها. اتضح أنه في كل صف من الضروري ترك متغير واحد بالقيمة "1"، وينبغي تخفيض الباقي إلى الصفر. للحصول على فهم أكثر دقة، من الضروري النظر في طريقة غاوس مع الأمثلة.
مثال بسيط لحل نظام 2x2
في البداية، لنأخذ نظامًا بسيطًا من المعادلات الجبرية، حيث سيكون هناك مجهولان.
دعونا نعيد كتابتها في مصفوفة موسعة.
لحل هذا النظام من المعادلات الخطية، هناك حاجة إلى عمليتين فقط. نحتاج إلى إعادة المصفوفة إلى الشكل الأساسي بحيث تكون هناك مصفوفات على طول القطر الرئيسي. لذلك، وبالتحويل من صيغة المصفوفة مرة أخرى إلى النظام، نحصل على المعادلتين: 1x+0y=b1 و0x+1y=b2، حيث b1 وb2 هما الإجابات الناتجة في عملية الحل.
- الإجراء الأول عند حل مصفوفة موسعة سيكون كما يلي: يجب ضرب الصف الأول في -7 وإضافة العناصر المقابلة إلى الصف الثاني للتخلص من عنصر مجهول في المعادلة الثانية.
- بما أن حل المعادلات باستخدام طريقة غاوس يتضمن اختزال المصفوفة إلى الشكل القانوني، فمن الضروري إجراء نفس العمليات مع المعادلة الأولى وإزالة المتغير الثاني. للقيام بذلك، نطرح السطر الثاني من الأول ونحصل على الإجابة المطلوبة - حل SLAE. أو، كما هو موضح في الشكل، نضرب الصف الثاني بعامل -1 ونضيف عناصر الصف الثاني إلى الصف الأول. نفس الشيء.
كما نرى، تم حل نظامنا باستخدام طريقة جوردان-غاوس. نعيد كتابتها بالشكل المطلوب: x=-5, y=7.
مثال على حل 3x3 SLAE
لنفترض أن لدينا نظامًا أكثر تعقيدًا من المعادلات الخطية. تتيح طريقة Gaussian حساب الإجابة حتى بالنسبة للنظام الأكثر إرباكًا. لذلك، من أجل التعمق أكثر في منهجية الحساب، يمكنك الانتقال إلى مثال أكثر تعقيدًا يحتوي على ثلاثة مجاهيل.
كما في المثال السابق، نعيد كتابة النظام على شكل مصفوفة موسعة ونبدأ بإعادته إلى شكله الأساسي.
لحل هذا النظام، ستحتاج إلى تنفيذ إجراءات أكثر بكثير مما في المثال السابق.
- تحتاج أولاً إلى جعل العمود الأول عنصر وحدة واحدة والباقي أصفار. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى في -1 وأضف المعادلة الثانية إليها. من المهم أن نتذكر أننا نعيد كتابة السطر الأول بشكله الأصلي، والثاني بصيغته المعدلة.
- بعد ذلك، نحذف نفس المجهول الأول من المعادلة الثالثة. للقيام بذلك، اضرب عناصر الصف الأول في -2 وأضفها إلى الصف الثالث. الآن تتم إعادة كتابة السطرين الأول والثاني بشكلهما الأصلي، والثالث - مع التغييرات. كما ترون من النتيجة، حصلنا على الأول في بداية القطر الرئيسي للمصفوفة والأصفار المتبقية. بضع خطوات أخرى، وسيتم حل نظام المعادلات بالطريقة الغوسية بشكل موثوق.
- أنت الآن بحاجة إلى إجراء عمليات على عناصر أخرى من الصفوف. يمكن دمج الإجراءين الثالث والرابع في إجراء واحد. نحتاج إلى تقسيم الخطين الثاني والثالث على -1 للتخلص من السالب الموجود على القطر. لقد قمنا بالفعل بإحضار السطر الثالث إلى النموذج المطلوب.
- بعد ذلك نحضر السطر الثاني إلى الشكل القانوني. للقيام بذلك، اضرب عناصر الصف الثالث في -3 وأضفها إلى الصف الثاني من المصفوفة. يتضح من النتيجة أن السطر الثاني قد تم اختصاره أيضًا إلى الشكل الذي نحتاجه. يبقى إجراء عدد قليل من العمليات وإزالة معاملات المجهول من السطر الأول.
- للحصول على 0 من العنصر الثاني في الصف، تحتاج إلى ضرب الصف الثالث في -3 وإضافته إلى الصف الأول.
- ستكون الخطوة الحاسمة التالية هي إضافة العناصر الضرورية للصف الثاني إلى الصف الأول. بهذه الطريقة نحصل على الشكل القانوني للمصفوفة، وبالتالي نحصل على الإجابة.
كما ترون، حل المعادلات باستخدام طريقة غاوس بسيط للغاية.
مثال على حل نظام المعادلات 4x4
يمكن حل بعض أنظمة المعادلات الأكثر تعقيدًا باستخدام طريقة غاوس باستخدام برامج الكمبيوتر. من الضروري إدخال معاملات المجهول في الخلايا الفارغة الموجودة، وسيقوم البرنامج نفسه بحساب النتيجة المطلوبة خطوة بخطوة، مع وصف كل إجراء بالتفصيل.
تم توضيح الإرشادات خطوة بخطوة لحل مثل هذا المثال أدناه.
في الخطوة الأولى، يتم إدخال المعاملات الحرة والأرقام للمجهول في الخلايا الفارغة. وهكذا نحصل على نفس المصفوفة الموسعة التي نكتبها يدويًا.
ويتم تنفيذ جميع العمليات الحسابية اللازمة لإرجاع المصفوفة الموسعة إلى شكلها القانوني. من الضروري أن نفهم أن الإجابة على نظام المعادلات ليست دائمًا أعدادًا صحيحة. في بعض الأحيان قد يكون الحل من الأعداد الكسرية.
التحقق من صحة الحل
تنص طريقة Jordan-Gauss على التحقق من صحة النتيجة. من أجل معرفة ما إذا كانت المعاملات قد تم حسابها بشكل صحيح، تحتاج فقط إلى استبدال النتيجة في نظام المعادلات الأصلي. يجب أن يتطابق الجانب الأيسر من المعادلة مع الجانب الأيمن خلف علامة المساواة. إذا كانت الإجابات غير متطابقة، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب النظام أو محاولة تطبيق طريقة أخرى لحل SLAEs المعروفة لديك، مثل الاستبدال أو الطرح والجمع حدًا تلو الآخر. بعد كل شيء، الرياضيات علم يحتوي على عدد كبير من طرق الحل المختلفة. لكن تذكر: النتيجة يجب أن تكون دائمًا هي نفسها، بغض النظر عن طريقة الحل التي استخدمتها.
طريقة غاوس: الأخطاء الأكثر شيوعا عند حل SLAEs
عند حل أنظمة المعادلات الخطية، غالبًا ما تحدث أخطاء مثل النقل غير الصحيح للمعاملات إلى شكل مصفوفة. هناك أنظمة تكون فيها بعض المجهولات مفقودة من إحدى المعادلات، ومن ثم عند نقل البيانات إلى مصفوفة موسعة، يمكن فقدانها. ونتيجة لذلك، عند حل هذا النظام، قد لا تتوافق النتيجة مع النتيجة الفعلية.
قد يكون هناك خطأ كبير آخر وهو كتابة النتيجة النهائية بشكل غير صحيح. من الضروري أن نفهم بوضوح أن المعامل الأول سوف يتوافق مع المجهول الأول من النظام، والثاني - إلى الثاني، وما إلى ذلك.
تصف طريقة غاوس بالتفصيل حل المعادلات الخطية. بفضله، من السهل إجراء العمليات اللازمة وإيجاد النتيجة الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك، فهذه أداة عالمية للعثور على إجابة موثوقة للمعادلات بأي تعقيد. ربما لهذا السبب يتم استخدامه كثيرًا عند حل اتفاقيات مستوى الخدمة (SLAEs).