حل نظام من المعادلات باستخدام طريقة المصفوفة العكسية. كيفية حل نظام المعادلات باستخدام طريقة المصفوفة

الموضوع 2. أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

المفاهيم الأساسية.

التعريف 1. نظام مالمعادلات الخطية مع نالمجهول هو نظام من النموذج:

أين والأرقام.

التعريف 2. حل النظام (I) هو مجموعة من المجهولات التي تصبح فيها كل معادلة من هذا النظام هوية.

التعريف 3. يتم استدعاء النظام (I). مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل و غير مشترك، إذا لم يكن له حلول. يسمى النظام المشترك تأكيد، إذا كان لديه حل فريد، و غير مؤكدخلاف ذلك.

التعريف 4. معادلة النموذج

مُسَمًّى صفر، والمعادلة من الشكل

مُسَمًّى غير متوافق. من الواضح أن نظام المعادلات الذي يحتوي على معادلة غير متناسقة هو نظام غير متناسق.

التعريف 5. يتم استدعاء نظامين من المعادلات الخطية مقابل، إذا كان كل حل لنظام ما بمثابة حل لنظام آخر، وبالعكس، كل حل للنظام الثاني هو حل للأول.

تمثيل المصفوفة لنظام المعادلات الخطية.

دعونا نفكر في النظام (I) (انظر الفقرة 1).

دعنا نشير إلى:

مصفوفة معاملات للمجهول

مصفوفة - عمود المصطلحات المجانية

مصفوفة – عمود من المجهول

التعريف 1.المصفوفة تسمى المصفوفة الرئيسية للنظام(I)، والمصفوفة هي المصفوفة الموسعة للنظام (I).

من خلال تعريف مساواة المصفوفات، فإن النظام (I) يتوافق مع مساواة المصفوفات:

الجانب الأيمن من هذه المساواة من خلال تعريف منتج المصفوفات ( انظر التعريف 3 § 5 الفصل 1) يمكن تحليلها:

، أي.

المساواة (2) مُسَمًّى تدوين المصفوفة للنظام (I).

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر.

السماح بالدخول إلى النظام (I) (انظر §1) م = ن، أي. عدد المعادلات يساوي عدد المجهولين، والمصفوفة الرئيسية للنظام غير مفردة، أي. . ثم النظام (I) من §1 لديه حل فريد

حيث Δ = ديت أدعا الرئيسي محدد النظام(أنا)، Δ أنايتم الحصول عليها من المحدد Δ عن طريق الاستبدال أناالعمود الرابع إلى عمود الأعضاء الأحرار في النظام (I).

مثال: حل النظام باستخدام طريقة كرامر:

بواسطة الصيغ (3) .

نحسب محددات النظام:

للحصول على المحدد، استبدلنا العمود الأول في المحدد بعمود من الحدود الحرة؛ استبدال العمود الثاني في المحدد بعمود المصطلحات الحرة، نحصل على ؛ بطريقة مماثلة، استبدال العمود الثالث في المحدد بعمود المصطلحات الحرة، نحصل على . حل النظام:

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة العكسية.

السماح بالدخول إلى النظام (I) (انظر §1) م = نوالمصفوفة الرئيسية للنظام غير مفردة. دعونا نكتب النظام (I) في شكل مصفوفة ( انظر الفقرة 2):

لأن مصفوفة أغير مفرد، فهو يحتوي على مصفوفة معكوسة ( انظر النظرية 1 §6 من الفصل 1). دعونا نضرب طرفي المساواة (2) إلى المصفوفة، ثم

عن طريق تعريف المصفوفة العكسية. من المساواة (3) لدينا

حل النظام باستخدام المصفوفة العكسية

دعونا نشير

في المثال (§ 3) قمنا بحساب المحدد، وبالتالي المصفوفة ألديه مصفوفة معكوسة. ثم مفعول به (4) ، أي.

. (5)

لنجد المصفوفة ( انظر §6 الفصل 1)

, , ,

طريقة غاوس.

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية:

. (أنا)

مطلوب إيجاد جميع حلول النظام (I) أو التحقق من عدم اتساق النظام.

التعريف 1.دعونا نسمي التحول الأولي للنظام(ط) أي من الأفعال الثلاثة:

1) شطب المعادلة الصفرية؛

2) إضافة الأجزاء المقابلة من معادلة أخرى إلى طرفي المعادلة مضروبة في الرقم l؛

3) تبديل الحدود في معادلات النظام بحيث تحتل المجهولات التي لها نفس الأرقام في جميع المعادلات نفس الأماكن، أي. على سبيل المثال، إذا قمنا في المعادلة الأولى بتغيير الحدين الثاني والثالث، فيجب فعل الشيء نفسه في جميع معادلات النظام.

تتمثل طريقة غاوس في حقيقة أن النظام (I) بمساعدة التحولات الأولية يتم اختزاله إلى نظام مكافئ يتم العثور على حله مباشرة أو إثبات عدم قابليته للحل.

كما هو موضح في الفقرة 2، يتم تحديد النظام (I) بشكل فريد من خلال مصفوفته الموسعة وأي تحويل أولي للنظام (I) يتوافق مع تحويل أولي للمصفوفة الموسعة:

التحويل 1) يتوافق مع حذف صف الصفر في المصفوفة، التحويل 2) يعادل إضافة صف آخر إلى الصف المقابل للمصفوفة، مضروبًا في الرقم l، التحويل 3) يعادل إعادة ترتيب الأعمدة في المصفوفة.

من السهل أن نرى، على العكس من ذلك، أن كل تحويل أولي للمصفوفة يتوافق مع تحويل أولي للنظام (I). ونظراً لما سبق، بدلاً من العمليات مع النظام (I)، سنعمل مع المصفوفة الموسعة لهذا النظام.

في المصفوفة، يتكون العمود الأول من معاملات × 1العمود الثاني - من معاملات × 2إلخ. إذا تم إعادة ترتيب الأعمدة، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار أن هذا الشرط قد تم انتهاكه. على سبيل المثال، إذا قمنا بتبديل العمودين الأول والثاني، فسيحتوي العمود الأول الآن على معاملات × 2وفي العمود الثاني - المعاملات × 1.

سوف نقوم بحل النظام (I) باستخدام الطريقة الغوسية.

1. شطب جميع صفوف الصفر في المصفوفة، إن وجدت (أي شطب جميع المعادلات الصفرية في النظام (I).

2. دعونا نتحقق مما إذا كان هناك صف بين صفوف المصفوفة تكون فيه جميع العناصر باستثناء العنصر الأخير تساوي الصفر (دعنا نسمي هذا الصف غير متسق). من الواضح أن مثل هذا الخط يتوافق مع معادلة غير متناسقة في النظام (I)، وبالتالي فإن النظام (I) ليس لديه حلول وهذا هو المكان الذي تنتهي فيه العملية.

3. ألا تحتوي المصفوفة على صفوف غير متناسقة (النظام (I) لا يحتوي على معادلات غير متناسقة). لو 11 = 0، ثم نجد في الصف الأول بعض العناصر (باستثناء العنصر الأخير) غير الصفر ونعيد ترتيب الأعمدة بحيث لا يوجد صفر في الصف الأول في المركز الأول. سنفترض الآن ذلك (أي أننا سنقوم بتبديل المصطلحات المقابلة في معادلات النظام (I)).

4. اضرب السطر الأول في وأضف النتيجة في السطر الثاني، ثم اضرب السطر الأول في وأضف النتيجة في السطر الثالث، وما إلى ذلك. من الواضح أن هذه العملية تعادل القضاء على المجهول × 1من جميع معادلات النظام (I) ما عدا الأولى. في المصفوفة الجديدة نحصل على أصفار في العمود الأول تحت العنصر 11:

5. لنقم بشطب جميع صفوف الصفر في المصفوفة، إن وجدت، والتحقق مما إذا كان هناك صف غير متناسق (إذا كان هناك صف واحد، فإن النظام غير متسق وينتهي الحل هناك). دعونا نتحقق مما إذا كان سيكون هناك أ 22 / =0، إذا كانت الإجابة بنعم، فنجد في الصف الثاني عنصرا آخر غير الصفر ونعيد ترتيب الأعمدة بحيث . بعد ذلك، اضرب عناصر الصف الثاني في ونضيف مع العناصر المقابلة للسطر الثالث، ثم - عناصر السطر الثاني ونضيف مع العناصر المقابلة للسطر الرابع، وما إلى ذلك، حتى نحصل على أصفار تحت أ22/

الإجراءات المتخذة تعادل القضاء على المجهول × 2من جميع معادلات النظام (I) ما عدا الأولى والثانية. نظرًا لأن عدد الصفوف محدود، فبعد عدد محدود من الخطوات، نحصل على إما أن النظام غير متناسق، أو ينتهي بنا الأمر بمصفوفة خطوة ( انظر التعريف 2 §7 الفصل 1) :

دعونا نكتب نظام المعادلات المقابلة للمصفوفة. هذا النظام يعادل النظام (I)

من المعادلة الأخيرة نعبر عنها؛ نعوض في المعادلة السابقة ونجد الخ حتى نحصل على .

ملاحظة 1.وهكذا، عند حل النظام (I) باستخدام الطريقة الغوسية، نصل إلى إحدى الحالات التالية.

1. النظام (I) غير متناسق.

2. النظام (I) لديه حل فريد إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد المجهولين ().

3. النظام (I) لديه عدد لا نهائي من الحلول إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة أقل من عدد المجهولات ().

ومن هنا فإن النظرية التالية صحيحة.

نظرية.نظام المعادلات الخطية إما أن يكون غير متناسق، أو لديه حل فريد، أو لديه عدد لا نهائي من الحلول.

أمثلة. حل نظام المعادلات بطريقة غاوس أو إثبات عدم اتساقه:

ب) ;

أ) دعونا نعيد كتابة النظام المعطى بالشكل:

لقد قمنا بتبديل المعادلتين الأولى والثانية من النظام الأصلي لتبسيط الحسابات (بدلاً من الكسور، سنتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة باستخدام إعادة الترتيب هذه).

لنقم بإنشاء مصفوفة موسعة:

لا توجد أية أسطر فارغة؛ لا توجد خطوط غير متوافقة، ; لنستبعد المجهول الأول من جميع معادلات النظام باستثناء الأول. للقيام بذلك، قم بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة في "-2" وإضافتها إلى العناصر المقابلة لها من الصف الثاني، وهو ما يعادل ضرب المعادلة الأولى في "-2" وإضافتها مع الثاني معادلة. ثم نضرب عناصر السطر الأول في "-3" ونضيفها مع العناصر المقابلة لها في السطر الثالث، أي. اضرب المعادلة الثانية للنظام المعطى بـ "-3" وأضفها إلى المعادلة الثالثة. نحصل على

المصفوفة تتوافق مع نظام المعادلات). - (انظر التعريف 3§7 من الفصل 1).

المعادلات بشكل عام، والمعادلات الجبرية الخطية وأنظمتها، وكذلك طرق حلها، تحتل مكانة خاصة في الرياضيات، النظرية والتطبيقية.

ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الغالبية العظمى من المشاكل المادية والاقتصادية والتقنية وحتى التربوية يمكن وصفها وحلها باستخدام مجموعة متنوعة من المعادلات وأنظمتها. في الآونة الأخيرة، اكتسبت النمذجة الرياضية شعبية خاصة بين الباحثين والعلماء والممارسين في جميع المجالات الدراسية تقريبا، وهو ما يفسر بمزاياها الواضحة مقارنة بالطرق الأخرى المعروفة والمثبتة لدراسة الأشياء ذات الطبيعة المختلفة، على وجه الخصوص، ما يسمى المعقدة أنظمة. هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة من التعريفات المختلفة للنموذج الرياضي التي قدمها العلماء في أوقات مختلفة، ولكن في رأينا، الأكثر نجاحًا هو البيان التالي. النموذج الرياضي هو فكرة يتم التعبير عنها بواسطة معادلة. وبالتالي فإن القدرة على تكوين وحل المعادلات وأنظمتها هي سمة أساسية للمتخصص الحديث.

لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية، الطرق الأكثر استخدامًا هي طريقة كرامر وجوردان غاوس وطريقة المصفوفة.

طريقة حل المصفوفات هي طريقة لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات محدد غير صفري باستخدام مصفوفة معكوسة.

إذا كتبنا معاملات الكميات المجهولة xi في المصفوفة A، وقمنا بجمع الكميات غير المعروفة في عمود المتجه X، والمصطلحات الحرة في عمود المتجه B، فيمكن كتابة نظام المعادلات الجبرية الخطية في صورة معادلة المصفوفة التالية A · X = B، والتي لها حل فريد فقط عندما لا يساوي محدد المصفوفة A الصفر. في هذه الحالة، يمكن إيجاد حل نظام المعادلات بالطريقة التالية X = أ-1 · ب، أين أ-1 هي المصفوفة العكسية.

طريقة حل المصفوفة هي كما يلي.

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية مع نمجهول:

ويمكن إعادة كتابتها في شكل مصفوفة: الفأس = ب، أين أ- المصفوفة الرئيسية للنظام، بو X- أعمدة المصطلحات والحلول المجانية للنظام على التوالي:

دعونا نضرب معادلة المصفوفة هذه من اليسار بـ أ-1 - مصفوفة معكوسة للمصفوفة أ: أ -1 (الفأس) = أ -1 ب

لأن أ -1 أ = ه، نحصل على X= أ -1 ب. سيعطي الجانب الأيمن من هذه المعادلة عمود الحل للنظام الأصلي. شرط تطبيق هذه الطريقة (وكذلك الوجود العام لحل لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية مع عدد المعادلات يساوي عدد المجهولين) هو عدم انحطاط المصفوفة أ. الشرط الضروري والكافي لذلك هو أن محدد المصفوفة لا يساوي الصفر أ:det أ≠ 0.

لنظام متجانس من المعادلات الخطية، أي عندما يكون المتجه ب = 0 بل القاعدة المعاكسة: النظام الفأس = 0 له حل غير تافه (أي غير صفري) فقط إذا كان det أ= 0. يسمى هذا الارتباط بين حلول الأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الخطية ببديل فريدهولم.

مثال حلول لنظام غير متجانس من المعادلات الجبرية الخطية.

دعونا نتأكد من أن محدد المصفوفة المكونة من معاملات المجهولات لنظام المعادلات الجبرية الخطية لا يساوي الصفر.

والخطوة التالية هي حساب المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة المكونة من معاملات المجهولات. ستكون هناك حاجة إليها للعثور على المصفوفة العكسية.

طريقة المصفوفة حلول SLAUيتم تطبيقه على حل أنظمة المعادلات التي يتوافق فيها عدد المعادلات مع عدد المجهولين. من الأفضل استخدام هذه الطريقة لحل الأنظمة ذات الترتيب المنخفض. تعتمد طريقة المصفوفة لحل أنظمة المعادلات الخطية على تطبيق خصائص ضرب المصفوفات.

هذه الطريقة، بمعنى آخر طريقة المصفوفة العكسية،سميت بهذا الاسم لأن الحل يختزل إلى معادلة مصفوفية عادية، لحلها تحتاج إلى إيجاد المصفوفة العكسية.

طريقة حل المصفوفة SLAE بمحدد أكبر أو أقل من الصفر هو كما يلي:

لنفترض أن هناك SLE (نظام المعادلات الخطية) مع نغير معروف (في مجال تعسفي):

وهذا يعني أنه يمكن تحويلها بسهولة إلى شكل مصفوفة:

الفأس = ب، أين أ- المصفوفة الرئيسية للنظام، بو X— أعمدة المصطلحات والحلول المجانية للنظام، على التوالي:

دعونا نضرب معادلة المصفوفة هذه من اليسار بـ أ−1- مصفوفة معكوسة إلى مصفوفة أ: أ −1 (AX) = أ −1 ب.

لأن أ −1 أ=ه، وسائل، X=أ −1 ب. يعطي الجانب الأيمن من المعادلة عمود الحل للنظام الأولي. شرط تطبيق طريقة المصفوفة هو عدم انحطاط المصفوفة أ. الشرط الضروري والكافي لذلك هو أن محدد المصفوفة لا يساوي الصفر أ:

ديتا≠0.

ل نظام متجانس من المعادلات الخطية، أي. إذا ناقلات ب=0، والقاعدة المعاكسة تحمل: النظام الفأس=0هناك حل غير تافه (أي لا يساوي الصفر) إلا عندما ديتا=0. يسمى هذا الارتباط بين حلول الأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الخطية بديل فريدهولم

وبالتالي، يتم تنفيذ حل SLAE باستخدام طريقة المصفوفة وفقًا للصيغة . أو تم العثور على حل SLAE باستخدام مصفوفة معكوسة أ−1.

ومن المعروف أن لمصفوفة مربعة أطلب نعلى نهناك مصفوفة معكوسة أ−1فقط إذا كان محدده غير الصفر. وهكذا النظام نالمعادلات الجبرية الخطية مع ننحن نحل المجهولات باستخدام طريقة المصفوفة فقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

على الرغم من وجود قيود على إمكانية تطبيق هذه الطريقة وصعوبات الحسابات للقيم الكبيرة للمعاملات والأنظمة عالية الترتيب، إلا أنه يمكن تنفيذ الطريقة بسهولة على الكمبيوتر.

مثال على حل SLAE غير متجانسة.

أولًا، دعونا نتحقق مما إذا كان محدد مصفوفة معاملات SLAEs غير المعروفة لا يساوي الصفر.

الآن نجد مصفوفة الاتحاد، قم بتبديلها واستبدالها في الصيغة لتحديد المصفوفة العكسية.

استبدل المتغيرات في الصيغة:

الآن نجد المجهول عن طريق ضرب المصفوفة العكسية وعمود الحدود الحرة.

لذا، س=2; ص=1; ض=4.

عند الانتقال من الشكل المعتاد لـ SLAE إلى شكل المصفوفة، يجب توخي الحذر مع ترتيب المتغيرات المجهولة في معادلات النظام. على سبيل المثال:

لا يمكنك كتابتها على النحو التالي:

من الضروري أولاً ترتيب المتغيرات غير المعروفة في كل معادلة من معادلة النظام وبعد ذلك فقط انتقل إلى تدوين المصفوفة:

بالإضافة إلى ذلك، يجب عليك توخي الحذر عند تعيين متغيرات غير معروفة، بدلاً من ذلك × 1، × 2، …، × نقد تكون هناك رسائل أخرى. على سبيل المثال:

على شكل مصفوفة نكتبها هكذا:

تعتبر طريقة المصفوفة أفضل لحل أنظمة المعادلات الخطية التي يتطابق فيها عدد المعادلات مع عدد المتغيرات المجهولة ولا يساوي محدد المصفوفة الرئيسية للنظام الصفر. عندما يكون هناك أكثر من 3 معادلات في النظام، فإن العثور على المصفوفة العكسية سيتطلب المزيد من الجهد الحسابي، لذلك، في هذه الحالة، ينصح باستخدام طريقة غاوس للحل.

تناولنا في الجزء الأول بعض المواد النظرية، وطريقة التعويض، بالإضافة إلى طريقة جمع معادلات النظام حداً تلو الآخر. وأوصي كل من دخل الموقع من خلال هذه الصفحة بقراءة الجزء الأول. ربما يجد بعض الزوار أن المادة بسيطة للغاية، ولكن في عملية حل أنظمة المعادلات الخطية، قدمت عددًا من التعليقات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.

سنقوم الآن بتحليل قاعدة كرامر، وكذلك حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة العكسية (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة وتفصيل ووضوح، وسيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.

أولاً، سوف نلقي نظرة فاحصة على قاعدة كرامر لنظام مكون من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ – في النهاية، أبسط نظام يمكن حله باستخدام الطريقة المدرسية، طريقة الجمع فصلًا بفصل!

والحقيقة هي أنه، وإن كان في بعض الأحيان، تحدث مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كريمر. ثانيًا، سيساعدك المثال الأبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر في حالة أكثر تعقيدًا - نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أنظمة معادلات خطية ذات متغيرين، والتي يُنصح بحلها باستخدام قاعدة كرامر!

النظر في نظام المعادلات

في الخطوة الأولى، نحسب المحدد، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد، ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب محددين آخرين:
و

ومن الناحية العملية، يمكن أيضًا الإشارة إلى المؤهلات المذكورة أعلاه بحرف لاتيني.

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام المعادلات الخطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا؛ على الجانب الأيمن توجد كسور عشرية بفاصلة. الفاصلة هي ضيف نادر إلى حد ما في المهام العملية في الرياضيات؛ لقد أخذت هذا النظام من مشكلة الاقتصاد القياسي.

كيفية حل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، ولكن في هذه الحالة، من المحتمل أن ينتهي بك الأمر إلى الحصول على كسور رهيبة غير مريحة للغاية للعمل معها، وسيبدو تصميم الحل فظيعًا بكل بساطة. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد تلو الآخر، لكن نفس الكسور ستظهر هنا أيضًا.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات، تأتي صيغ كريمر للإنقاذ.

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويوجدان بشكل تقريبي، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمسائل الاقتصاد القياسي.

ليست هناك حاجة للتعليقات هنا، حيث يتم حل المهمة باستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن هناك تحذير واحد. عند استخدام هذه الطريقة، إلزاميجزء من تصميم المهمة هو الجزء التالي: "وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد". وإلا فقد يعاقبك المراجع بسبب عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من غير الضروري التحقق مما يمكن إجراؤه بسهولة على الآلة الحاسبة: فنحن نستبدل القيم التقريبية في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام. ونتيجة لذلك، مع وجود خطأ بسيط، يجب أن تحصل على الأرقام الموجودة على الجانبين الأيمن.

مثال 8

قدّم الإجابة في صورة كسور عادية غير حقيقية. قم بالفحص.

وهذا مثال عليك حله بنفسك (مثال للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

دعونا ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كان النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متناسق (ليس لديه حلول). في هذه الحالة، لن تساعد قاعدة كرامر، فأنت بحاجة إلى استخدام طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا، يتم حساب الإجابة باستخدام الصيغ:

كما ترون، فإن حالة "ثلاثة في ثلاثة" لا تختلف بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين"؛ حيث "يسير" عمود المصطلحات الحرة بالتتابع من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

مثال 9

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

في الواقع، هنا مرة أخرى لا يوجد شيء خاص للتعليق عليه، نظرًا لأن الحل يتبع الصيغ الجاهزة. ولكن هناك بضعة تعليقات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال، على سبيل المثال: .
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فافعل ما يلي:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تواجه جزءًا "سيئًا"، يجب عليك التحقق منه على الفور هل تمت إعادة كتابة الشرط بشكل صحيح؟. إذا تمت إعادة كتابة الشرط دون أخطاء، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسع في صف آخر (عمود).

2) إذا لم يتم تحديد أي أخطاء نتيجة للتدقيق، فمن المرجح أن يكون هناك خطأ مطبعي في شروط المهمة. في هذه الحالة، بهدوء وحذر، قم بتنفيذ المهمة حتى النهاية، وبعد ذلك تأكد من التحققونخرجها بشباك نظيفة بعد القرار. بالطبع، يعد التحقق من الإجابة الكسرية مهمة غير سارة، ولكنها ستكون حجة مقنعة للمعلم، الذي يحب حقًا إعطاء علامة ناقص لأي هراء مثل . تم توضيح كيفية التعامل مع الكسور بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فاستخدم برنامجا آليا للتحقق، والذي يمكن تنزيله مجانا في بداية الدرس. بالمناسبة، من الأكثر ربحية استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل)، سترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. بين الحين والآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير، وفي الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات، من المهم جدًا كتابة المحدد الرئيسي بشكل صحيح وبعناية:
– يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار وفقًا للصف (العمود) الذي يوجد فيه الصفر، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من الحسابات.

مثال 10

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

وهذا مثال لحل مستقل (عينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة وجود نظام مكون من 4 معادلات مع 4 مجهولين، تتم كتابة صيغ كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك مشاهدة مثال حي في الدرس خصائص المحددات. تقليل ترتيب المحدد - خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل نظام باستخدام مصفوفة معكوسة

طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة(أنظر المثال رقم 3 من الدرس المخصص).

لدراسة هذا القسم، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات، وإيجاد معكوس المصفوفة، وإجراء ضرب المصفوفات. سيتم توفير الروابط ذات الصلة مع تقدم التوضيحات.

مثال 11

حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة

حل: لنكتب النظام في شكل مصفوفة:
، أين

يرجى إلقاء نظرة على نظام المعادلات والمصفوفات. أعتقد أن الجميع يفهم المبدأ الذي نكتب به العناصر في المصفوفات. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة من المعادلات، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
، أين هي المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولا، دعونا ننظر إلى المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد في السطر الأول.

انتباه! إذا كانت المصفوفة العكسية غير موجودة، ومن المستحيل حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة. في هذه الحالة يتم حل النظام بطريقة حذف المجهولات (طريقة غاوس).

نحن الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القصر

مرجع:من المفيد معرفة معنى الحروف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يقع فيه العنصر:

أي أن الحرف المزدوج يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث، وعلى سبيل المثال، العنصر موجود في 3 صفوف وعمودين

هذا هو المفهوم الذي يعمم جميع العمليات الممكنة التي يتم إجراؤها باستخدام المصفوفات. المصفوفة الرياضية - جدول العناصر. حول طاولة حيث مخطوط و نالأعمدة، ويقال أن هذه المصفوفة لها البعد معلى ن.

نظرة عامة على المصفوفة:

ل حلول المصفوفةمن الضروري أن نفهم ما هي المصفوفة ومعرفة معالمها الرئيسية. العناصر الرئيسية للمصفوفة:

القطر الرئيسي يتكون من عناصر أ 11، أ 22 ..... مليون.
قطري جانبي يتكون من عناصر أ 1ن، أ 2ن-1 .....أ م1.

الأنواع الرئيسية للمصفوفات:

المربع عبارة عن مصفوفة حيث عدد الصفوف = عدد الأعمدة ( م = ن).
صفر - حيث جميع عناصر المصفوفة = 0.
مصفوفة منقولة - مصفوفة في، والتي تم الحصول عليها من المصفوفة الأصلية أعن طريق استبدال الصفوف بالأعمدة.
الوحدة - جميع عناصر القطر الرئيسي = 1، وجميع العناصر الأخرى = 0.
المصفوفة العكسية هي مصفوفة، عندما يتم ضربها في المصفوفة الأصلية، ينتج عنها مصفوفة الهوية.

يمكن أن تكون المصفوفة متناظرة فيما يتعلق بالأقطار الرئيسية والثانوية. وهذا هو، إذا أ 12 = أ 21, أ 13 = أ 31،….أ 23 = أ 32…. أ م-1ن = أ م-1، فإن المصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي. المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن أن تكون متماثلة.

طرق حل المصفوفات.

كل شيء تقريبا طرق حل المصفوفاتتتمثل في إيجاد محدده ن-الترتيب ومعظمهم مرهقون للغاية. للعثور على محدد الترتيبين الثاني والثالث هناك طرق أخرى أكثر عقلانية.

إيجاد محددات الدرجة الثانية

لحساب محدد المصفوفة أالترتيب الثاني: من الضروري طرح حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي من حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي:

طرق إيجاد محددات الدرجة الثالثة

فيما يلي قواعد العثور على محدد الدرجة الثالثة.

قاعدة مبسطة للمثلث كأحد طرق حل المصفوفات، يمكن تصويرها بهذه الطريقة:

بمعنى آخر، يتم أخذ حاصل ضرب عناصر المحدد الأول المرتبطة بخطوط مستقيمة بعلامة "+"؛ أيضًا، بالنسبة للمحدد الثاني، يتم أخذ المنتجات المقابلة بعلامة "-"، أي وفقًا للمخطط التالي:

في حل المصفوفات باستخدام قاعدة ساروس، على يمين المحدد، أضف العمودين الأولين ويتم أخذ منتجات العناصر المقابلة على القطر الرئيسي وعلى الأقطار الموازية له بعلامة "+"؛ وحاصل ضرب العناصر المقابلة للقطر الثانوي والأقطار الموازية له بالعلامة "-":

تحلل المحدد في صف أو عمود عند حل المصفوفات.

المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر صف المحدد ومكملاتها الجبرية. عادةً ما يتم تحديد الصف/العمود الذي يحتوي على أصفار. سيتم الإشارة إلى الصف أو العمود الذي يتم من خلاله التحلل بواسطة سهم.

تقليل المحدد إلى الشكل الثلاثي عند حل المصفوفات.

في حل المصفوفاتطريقة اختزال المحدد إلى شكل مثلث، تعمل على النحو التالي: باستخدام أبسط التحويلات على الصفوف أو الأعمدة، يصبح المحدد مثلثيًا في الشكل ومن ثم تصبح قيمته، وفقًا لخصائص المحدد، مساوية لحاصل الضرب من العناصر الموجودة على القطر الرئيسي.

نظرية لابلاس لحل المصفوفات.

عند حل المصفوفات باستخدام نظرية لابلاس، عليك أن تعرف النظرية نفسها. نظرية لابلاس: دع Δ - وهذا هو المحدد ن- الترتيب. نختار أي كالصفوف (أو الأعمدة)، المقدمة ك≤ ن - 1. في هذه الحالة، مجموع منتجات جميع القاصرين ك-الترتيب الوارد في المحدد كالصفوف (الأعمدة)، من خلال مكملاتها الجبرية ستكون مساوية للمحدد.

حل المصفوفة العكسية.

تسلسل الإجراءات ل حلول المصفوفات العكسية:

تحديد ما إذا كانت المصفوفة المعطاة مربعة. إذا كانت الإجابة بالنفي، يصبح من الواضح أنه لا يمكن أن يكون هناك مصفوفة عكسية لها.
نحن نحسب المكملات الجبرية.
نحن نؤلف مصفوفة اتحادية (متبادلة، مجاورة). ج.
نقوم بتكوين المصفوفة العكسية من الإضافات الجبرية: جميع عناصر المصفوفة المجاورة جالقسمة على محدد المصفوفة الأولية. ستكون المصفوفة النهائية هي المصفوفة العكسية المطلوبة بالنسبة للمصفوفة المعطاة.
نتحقق من العمل المنجز: اضرب المصفوفة الأولية والمصفوفة الناتجة، ويجب أن تكون النتيجة مصفوفة الهوية.

حل أنظمة المصفوفات.

ل حلول أنظمة المصفوفاتيتم استخدام الطريقة الغوسية في أغلب الأحيان.

طريقة غاوس هي طريقة قياسية لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAEs) وتتكون من حقيقة أنه يتم حذف المتغيرات بشكل تسلسلي، أي بمساعدة التغييرات الأولية، يتم إحضار نظام المعادلات إلى نظام مكافئ من المثلثات النموذج ومنه، بالتتابع، بدءًا من الأخير (حسب الرقم)، ابحث عن كل عنصر من عناصر النظام.

طريقة غاوسهي الأداة الأكثر تنوعًا والأفضل لإيجاد حلول المصفوفات. إذا كان النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو كان النظام غير متوافق، فلا يمكن حله باستخدام قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة.

تتضمن طريقة غاوس أيضًا التحركات المباشرة (تقليل المصفوفة الموسعة إلى شكل تدريجي، أي الحصول على أصفار تحت القطر الرئيسي) والعكس (الحصول على أصفار فوق القطر الرئيسي للمصفوفة الموسعة). الحركة الأمامية هي طريقة غاوس، والحركة العكسية هي طريقة غاوس-جوردان. تختلف طريقة غاوس-جوردان عن طريقة غاوس فقط في تسلسل حذف المتغيرات.