الملخص: حساب التكامل. رسم تاريخي

Δ F (x) Δ x = F ′ (x) = f (x) (\displaystyle (\frac (\Delta F(x))(\Delta x))=F"(x)=f(x)) F (x) (\displaystyle F(x))لذا، فإن إيجاد تكاملات محددة يعود إلى المشكلة المطروحة أعلاه. من الواضح أن هذه المشكلة غير مؤكدة لأن هناك عددًا لا يحصى من الوظائف التي لها نفس المشتقة. وتختلف جميع هذه الدوال عن بعضها البعض بالأعداد الثابتة، حيث أن مشتقة العدد الثابت هي صفر. إذا، على سبيل المثال، نشير بـ و (خ) (\displaystyle f(x))واحدة من عدد لا يحصى من الدوال التي لها مشتقة من دالة معينة ، ثم ستكون هناك وظائف أخرى, و (س) + 1 (\displaystyle F(x)+1), F (x) + 2 (\displaystyle F(x)+2) F (x) + π (\displaystyle F(x)+\pi ) الخ، بشكل عام، أينج (\displaystyle C) س (\displaystyle x)- عدد ثابت مستقل عن . وظيفة F (x) + C (\displaystyle F(x)+C) الخ، بشكل عام، أين، تحتوي على ثابت غير محدد ، ويسمى لذلكتكامل غير محدد

إن حقيقة أن التعبير الخاص بالمساحة يجب أن يتضمن بعض الثوابت العشوائية هو أمر واضح من الاعتبارات الهندسية، حيث يمكن قياس المساحات من إحداثيات عشوائية تمامًا أ ب (\displaystyle AB)(الشكل 4). إن اختيار إحداثي معين باعتباره الإحداثي الأولي سوف يتوافق مع المؤشر التحليلي لعدد ثابت الخ، بشكل عام، أين. لنفترض أن الإحداثيات المقابلة لعدد معين a تم اختيارها كإحداثيات أولية لحساب المساحات؛ ثم، إذا تم الإشارة إلى الإحداثي النهائي للمنطقة بواسطة س (\displaystyle x)ووضع ذلك س > أ (\displaystyle x>a)، ثم سيتم التعبير عن المنطقة برقم معين. مع اقتراب الإحداثيات س (\displaystyle x)إلى الأول، وستقل المساحة، حتى تصبح صفرًا. وفقًا لما سبق أن قيل عن حدود التكامل المحدد، يمكن الإشارة إلى المساحة المعنية بالتكامل:

النظر في الحد الأعلى س (\displaystyle x)كمتغير، فمن السهل أن نرى أن هذا التكامل يساوي F (x) + C 0 (\displaystyle F(x)+C_(0))، أين ج 0 (\displaystyle C_(0))تم اختياره بحيث يختفي هذا التكامل (المنطقة) عند س = أ (\displaystyle x=a); من هنا

وقد أطلق على هذا التكامل اسم أويلر Integrale quod evanescit posito س = أ (\displaystyle x=a)نظرًا لأن أويلر لم يستخدم علامات النهاية بعد.

ومن هنا يتضح أن كل تكامل محدد للدالة و (خ) (\displaystyle f(x))بين الحدود أ (\displaystyle أ)و ب (\displaystyle b)يمكن حسابها باستخدام الصيغة

أين F (x) (\displaystyle F(x))قيمة تعسفية تماما للتكامل غير المحدد. وهذا يعني أن ل F (x) (\displaystyle F(x))عليك أن تأخذ دالة عشوائية تمامًا من بين الوظائف التي لها مشتق معين. ولكن ما قيل واضح، لأننا إذا دلنا عليه من خلال قيمة أخرى للتكامل غير المحدد، فإننا نحصل على

استبدال بدلا من ذلك س , أ (\displaystyle x,a)و ب (\displaystyle b)نحصل عليها

وبالتالي يمكننا أن نأخذ قيمة أخرى للتكامل غير المحدد φ (x) (\displaystyle \varphi (x))، بحيث يمكن حساب التكامل المحدد باستخدام الصيغة

إن استقلال التكامل المحدد عن الدالة من بين المشتقات العكسية التي نختارها يأتي أيضًا من حقيقة أن المساحة الواقعة بين إحداثيين محددين لا تعتمد على موضع الإحداثي الثالث الذي يؤخذ كبداية لحساب المساحات. - أولا ينقسم حساب التفاضل والتكامل إلى الأقسام الكبيرة التالية:

أنا. تكامل الوظائف.نحن هنا الخطوط العريضة لتقنيات العثور على المشتقة العكسية لدالة معينة، وبعبارة أخرى، إيجاد التكامل غير المحدد لدالة معينة. - بداية لا بد من الإشارة إلى أن علامات التمايز والتكامل يهدم بعضها بعضاً، أي:

ويمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التكامل، أي.

وهذا واضح من تعريف التكامل باعتباره نهاية المجموع، ومن مفهوم التكامل كدالة للمشتق العكسي. توجد نظرية مماثلة في حساب التفاضل والتكامل. تحتوي المقالة حساب التفاضل والتكامل (انظر المجلد العاشر، ص 696) على جدول المشتقات والتفاضلات لأبسط الدوال. عكس ذلك يوفر الجدول الرئيسي لدمج الوظائف. خذ على سبيل المثال صيغة فارق الدرجة:

وبأخذ تكاملات الطرفين، أو كما يقولون، تكامل طرفي هذه المعادلة، نحصل على:

عند الاستبدال أ (\displaystyle أ)خلال أ + 1 (\displaystyle a+1)سيتم تقديم نفس الصيغة على النحو التالي:

لا تنطبق هذه الصيغة متى أ = − 1 (\displaystyle a=-1)ولكن بعد ذلك وبناء على الصيغة (8) من اللوحة المذكورة نحصل على:

وبتطبيق منطق مماثل على جميع الصيغ الأخرى في جدول تفاضلات أبسط الدوال، نحصل على ذلك جدول الصيغ الأساسية لدمج أبسط الوظائف:

∫ d x cos 2 ⁡ x = t g x + C (\displaystyle \displaystyle \int (\frac (dx)(\cos ^(2)x))=\mathrm (tg) \,x+C)

∫ d x x (\displaystyle \displaystyle \int (\frac (dx)(x)))

أثناء البحث عن قواعد لدمج وظائف أكثر تعقيدًا، لاحظ الباحثون الأوائل في مجال حساب التفاضل والتكامل أن تكاملات عدد قليل من الوظائف فقط يتم تمثيلها بشكل عام في الشكل النهائي؛ بالنسبة للغالبية العظمى من الوظائف، تمثل البدائيات أنواعًا جديدة من الوظائف، والتي تشكل دراستها مجالًا بحثيًا واسعًا ولا يزال ضعيف التطور. ومن بين هذه التكاملات المتعالية الجديدة ما يسمى بالتكاملات الإهليلجية، والتي تم الآن تطوير نظريتها بشكل جيد وحظيت بتطبيقات واسعة النطاق. يتكون تكامل الوظائف الأكثر تعقيدًا حتى الآن من محاولات منفصلة، ​​مع سلسلة من التحويلات تحاول تقليل تكامل الوظيفة قيد النظر إلى تكامل الوظائف الموضوعة في الجدول من أبسطها. ومع ذلك، فقد حقق هذا الجزء من حساب التفاضل والتكامل نتائج مهمة جدًا؛ على سبيل المثال، من المعروف أن تكامل أي دالة عقلانية يتم التعبير عنه في شكل محدود، أي باستخدام عدد محدود من العلامات الوظيفية الموجودة بالفعل في الرياضيات الأولية. من بين الدوال غير العقلانية، الحالة التي تستحق اهتمامًا خاصًا هي عندما تتكون اللاعقلانية من قوى كسرية لمتغير مستقل، أو تمثل الجذر التربيعي لكثير الحدود بدرجة لا تزيد عن الثانية. في هذه الحالات، يتم تنفيذ التكامل أيضًا في شكل محدود. وأخيرًا، هناك بعض الفئات القابلة للتكامل من الوظائف المتعالية المعروفة. وتشمل التغييرات الرئيسية المذكورة أعلاه ما يلي:

1) توسيع التكامل إلى أجزاء حسب الصيغة:

و 3) التكامل بالأجزاء حسب الصيغة:

ثانيا. نظرية التكاملات المحددة والمتعددة.يتضمن ذلك البحث وإيجاد التكاملات المحددة في الحالات التي يكون فيها التكامل غير المحدد صعبًا جدًا أو مستحيلًا التعبير عنه من خلال الدوال المعروفة، ولذلك يتم عرض تقنيات هنا تجعل من الممكن حساب التكاملات المحددة دون استخدام الصيغة الأساسية ()؛ هنا نقوم أيضًا بتعميم مفهوم التكامل المحدد على حالة العديد من المتغيرات المستقلة.

ثالثا. التطبيقات الهندسية لحساب التكامل.في هذا القسم، يتم النظر في أربع مسائل رئيسية: 1) تربيع المساحات المحددة بخطوط منحنية، 2) حساب أطوال أقواس الخطوط المنحنية، 3) حساب الحجوم (التكعيب) للأجسام المحددة بأسطح منحنية، و 4) حساب مساحات الأسطح المنحنية في بعض الخطوط المرسومة على هذه الأسطح.

ولإعطاء فكرة عن التطبيقات الهندسية لحساب التفاضل والتكامل، وكذلك التكاملات المتعددة، دعونا نفكر في مشكلة تحديد حجم الأجسام التي تحدها الأسطح المنحنية. هذا المجلد يو (\displaystyle U)(الشكل 5) يمكن اعتباره مجموع متوازيات السطوح المكونة من زيادات في الإحداثيات Δ x , Δ y (\displaystyle \Delta x,\Delta y)و Δ ض (\displaystyle \Delta z)، ممتدة إلى المساحة بأكملها محدودة بسطح معين.

وبالتالي فإن الصيغة العامة للحجم ستكون:

ويشار إلى هذا الحد بالتكامل الثلاثي

وهو ما يمثل بالتالي صيغة عامة للعثور على أي مجلدات. وتتكون المهمة بأكملها من تحديد حدود العلامات الثلاث للتكامل، حيث يتم إجراء التكامل (الجمع) الواحد حسب الحرف س (\displaystyle x)، أخرى بالحرف ذ (\displaystyle ذ)والثالث بالحرف ض (\displaystyle z). يجب تحديد الحدود بحيث تؤخذ في الاعتبار أثناء التكامل جميع العناصر الموجودة داخل الجسم المنحني قيد النظر.

صيغة التربيع التي تم الحصول عليها أعلاه ∫ y d x (\displaystyle \int ydx)ويمكن أيضًا كتابتها كتكامل مزدوج

د ص (\displaystyle \iint dx.dy)

∫ 0 y d y = y (\displaystyle \int \limits _(0)^(y)dy=y)

للحصول على مخطط تاريخي لتطور حساب التفاضل والتكامل، انظر الرياضيات. سنشير هنا أيضًا إلى الأعمال والأدلة الكلاسيكية حول هذا الموضوع. النظام الكامل لحساب التفاضل والتكامل، كما هو معروض حاليًا، موجود في أطروحة أويلر الشهيرة “المؤسسات الحسابية المتكاملة” (سانت بطرسبرغ، 4 مجلدات). ثم نشير إلى كوشي: “Oeuvres complètes”، برتراند: “Traité de calcul différentiel et de calcul intégral” (مجلدان)، Ceppe: “Cours de calcul différentiel et intégral” (مجلدان)، Posse: “دورة في حساب التفاضل والتكامل” (سانت بطرسبرغ، 1891)، والمقررات المشار إليها في نهاية المقال حساب التفاضل والتكامل (المجلد العاشر، ص 705).

حساب التكامل هو فرع من فروع التحليل الرياضي الذي يدرس التكاملات وخصائصها وطرق حسابها وتطبيقاتها. جنبا إلى جنب مع حساب التفاضل والتكامل، فإنه يشكل أساس جهاز التحليل الرياضي.

نشأ حساب التفاضل والتكامل التكاملي من النظر في عدد كبير من المسائل في العلوم الطبيعية والرياضيات. وأهمها هي المشكلة الفيزيائية المتمثلة في تحديد المسافة المقطوعة في وقت معين باستخدام سرعة حركة معروفة، ولكن ربما متغيرة، والمشكلة الأقدم بكثير المتمثلة في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية (انظر مسائل الحدود القصوى الهندسية). .

محور حساب التفاضل والتكامل هو مفهوم التكامل، والذي، مع ذلك، له تفسيران مختلفان، يؤديان على التوالي إلى مفهومي التكامل غير المحدد والتكامل المحدد.

في حساب التفاضل والتكامل، تم تقديم عملية التمايز بين الوظائف. العملية الرياضية التي يتم النظر فيها في حساب التكامل، عكس التفاضل، تسمى التكامل، أو بشكل أكثر دقة، التكامل غير المحدد.

مما تتكون هذه العملية العكسية وما هو عدم اليقين فيها؟

تربط عملية التمايز دالة معينة F(x) بمشتقتها F"(x)=f(x). لنفترض أنه بناءً على دالة معينة f(x)، نريد العثور على دالة F(x) مشتقته هي الدالة f (x)، أي f(x) = F"(x). تسمى هذه الوظيفة المشتق العكسي للدالة f(x).

وهذا يعني أن العملية العكسية للتمايز - التكامل غير المحدد - تتمثل في إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة.

لاحظ أنه بالإضافة إلى الدالة F(x)، وهي المشتق العكسي للدالة f(x)، من الواضح أنه سيكون هناك أيضًا أي دالة ℱ(x) = F(x) + C، تختلف عن F(x) بـ مصطلح ثابت C؛ لأن ℱ"(x) = F(x) = f(x).

وهكذا، على النقيض من التمايز، الذي يقارن دالة بوظيفة واحدة أخرى - مشتقة التكامل الأول، لا يؤدي التكامل غير المحدد إلى دالة محددة واحدة، بل إلى مجموعة كاملة من الوظائف، وهذا هو عدم اليقين الخاص بها.

ومع ذلك، فإن درجة عدم اليقين هذه ليست كبيرة. تذكر أنه إذا كانت مشتقة دالة معينة تساوي الصفر عند جميع نقاط فترة ما، فهذه دالة ثابتة على الفترة قيد النظر (على الفترات التي يكون فيها معدل تغير المتغير يساوي الصفر في كل مكان، لا يتغير). هذا يعني أنه إذا كانت ℱ"(x) = F(x) في فترة ما أ<х

لذلك، يمكن أن تختلف المشتقتان العكسيتان للدالة نفسها في الفترة بمقدار حد ثابت فقط.

يُشار إلى وظائف المشتقات العكسية f(x) بالرمز

حيث تقرأ العلامة ∫: تكامل. وهذا ما يسمى بالتكامل غير المحدد. ووفقا لما تم إثباته، فإن التكامل غير المحدد يمثل في الفترة قيد النظر ليس دالة واحدة محددة، بل أي دالة من الصورة

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

حيث F(x) هو مشتق عكسي للدالة f(x) في فترة زمنية معينة، وC هو ثابت عشوائي.

على سبيل المثال، على خط الأعداد بأكمله

∫ 2x دكس = س 2 + ج؛ ∫ cos dy = sin y + C; ∫ الخطيئة z dz = -cos z + C.

قمنا هنا على وجه التحديد بالإشارة إلى حجج التكاملات برموز مختلفة: x، y، z، من أجل لفت الانتباه إلى استقلال المشتق العكسي كدالة من اختيار الحرف المستخدم للدلالة على حجته.

يتم التحقق من المساواة المكتوبة عن طريق التمييز البسيط بين جوانبها اليمنى، ونتيجة لذلك تظهر الوظائف 2x، cos y، sin z على الجوانب اليسرى تحت علامة التكامل، على التوالي.

من المفيد أيضًا أن نأخذ في الاعتبار العلاقات الواضحة التالية، والتي تنبع مباشرة من تعريفات المشتق العكسي والمشتق والتفاضلي ومن العلاقة (1) للتكامل غير المحدد:

(∫f(x)dx)" = f(x),

د(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

غالبًا ما يتم تسهيل العثور على المشتق العكسي من خلال بعض الخصائص العامة للتكامل غير المحدد:

∫сf(x)dx = с∫f(x)dx (استبدال عامل ثابت)؛

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx (مجموع التكامل);

∫f(x)dx = F (x) + C، إذن

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (تغيير المتغير).

يتم أيضًا التحقق من هذه العلاقات مباشرةً باستخدام قواعد التمايز المناسبة.

دعونا نجد قانون حركة الجسم الذي يسقط سقوطًا حرًا في الفراغ، استنادًا إلى الحقيقة الوحيدة وهي أنه في حالة عدم وجود الهواء، يكون تسارع السقوط الحر بالقرب من سطح الأرض ثابتًا ولا يعتمد على خصائص الجسم الساقط . إصلاح محور الإحداثيات العمودي؛ نختار الاتجاه على المحور نحو الأرض. دع s(t)~ يكون إحداثيات الجسم في اللحظة t. لذلك، نحن نعلم أن s"(t)=g وg ثابت. نحتاج إلى إيجاد الدالة s(t) - قانون الحركة.

بما أن g = v"(t)، حيث v(t) = s"(t)، فمن خلال التكامل المتتابع، نجد

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1)dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2.

لذلك وجدنا ذلك

ق(ر) = ج 2 /2 + ج 1 ر + ج 2 , (3)

حيث C 1 و C 2 هي بعض الثوابت. لكن الجسم الساقط لا يزال يخضع لقانون واحد محدد للحركة، والذي لم يعد فيه أي اعتباطية. وهذا يعني أن هناك بعض الشروط الأخرى التي لم نستخدمها بعد؛ فهي تسمح، من بين جميع القوانين "المتنافسة" (3)، باختيار القانون الذي يتوافق مع حركة معينة. من السهل الإشارة إلى هذه الشروط إذا كنت تفهم المعنى المادي للثوابتين C 1 و C 2. إذا قارنا الحدود القصوى للعلاقة (2) عند t = 0، يتبين أن C 1 = v(0)، ومن (3) عند t = 0 يتبين أن C 2 = s(0). وهكذا، ذكّرتنا الرياضيات نفسها بقانون الحركة المطلوب

ق(ر) = ج 2 /2 + ت 0 ر + ق 0

سيتم تحديده بالكامل إذا أشرنا إلى الموضع الأولي s 0 = s(0) والسرعة الأولية v 0 = v(0) للجسم. على وجه الخصوص، إذا كان d 0 = 0 وs 0 = 0، فإننا نحصل على s(t) = gt 2 /2.

لنلاحظ الآن أنه بين عملية إيجاد المشتقة (التمايز) وعملية إيجاد المشتقة العكسية (التكامل غير المحدد)، هناك، بالإضافة إلى ما سبق، عدد من الاختلافات الأساسية. على وجه الخصوص، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه إذا تم التعبير عن مشتق أي مجموعة من الوظائف الأولية من خلال وظائف أولية، أي دالة أولية، فإن المشتق العكسي للدالة الأولية لم يعد دائمًا دالة أولية. على سبيل المثال، المشتقات العكسية

∫ ((الخطيئة x)/x)dx

الوظيفة الأولية (sin x)/x (تسمى جيب التكامل ويشار إليها بالرمز الخاص si(x))، كما يمكن إثباته، لا يتم التعبير عنها في الوظائف الأولية. وبالتالي، لا ينبغي الخلط بين السؤال الرياضي الأساسي حول وجود مشتق عكسي لدالة معينة وبين المشكلة غير القابلة للحل دائمًا المتمثلة في إيجاد هذا المشتق العكسي بين الوظائف الأولية. غالبًا ما يكون التكامل مصدرًا لإدخال وظائف خاصة مهمة ومستخدمة على نطاق واسع، والتي لا تتم دراستها بشكل أسوأ من وظائف "المدرسة" مثل x 2 أو sin x، على الرغم من عدم تضمينها في قائمة الوظائف الأولية.

أخيرًا، نلاحظ أن العثور على المشتق العكسي، حتى عند التعبير عنه في وظائف أولية، يشبه الفن أكثر من كونه خوارزمية حسابية أساسية مثل خوارزمية التمايز. لهذا السبب، يتم جمع المشتقات العكسية للدوال الأكثر تكرارًا في شكل جداول بحث للتكاملات غير المحددة. من الواضح أن الجدول الميكروي التالي من هذا النوع يعادل جدولًا ميكرويًا من مشتقات الوظائف الأولية الأساسية المقابلة:

∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + C لـ n ≠ -1;

∫cos x dx = -sin x + C;

∫sin x dx = -cos x + C;

∫ dx/cos 2 x = tan x + C;

∫dx/sin 2 x = -ctg x + C.

وبينما كنا نتحدث عن عكس عملية الاشتقاق، وصلنا في هذا الصدد إلى مفهومي المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد وقدمنا ​​التعريف الأولي لهذه المفاهيم.

سنشير الآن إلى نهج مختلف وأقدم بكثير للتكامل، والذي كان بمثابة المصدر الأولي الرئيسي لحساب التفاضل والتكامل وأدى إلى مفهوم التكامل المحدد أو التكامل بالمعنى الصحيح للكلمة. هذا النهج مرئي بوضوح بالفعل في عالم الرياضيات والفلكي اليوناني القديم Eudoxus of Cnidus (حوالي 408-355 قبل الميلاد) وأرخميدس، أي. لقد نشأت قبل وقت طويل من ظهور حساب التفاضل والتكامل وعملية التمايز.

والسؤال الذي تناوله إيودكسوس وأرخميدس، وابتكرا "أسلوب الاستنفاد" في حله، والذي استبق مفهوم التكامل، هو مسألة حساب مساحة الشكل المنحني. أدناه سننظر في هذا السؤال، ولكن في الوقت الحالي سنطرح، متبعًا نيوتن، المشكلة التالية: باستخدام السرعة v(t) للجسم المعروفة في أي لحظة t من الفاصل الزمني a≥t≥b، أوجد مقدار حركة الجسم خلال هذه الفترة الزمنية.

إذا كان قانون الحركة معروفا، أي. اعتماد إحداثيات الجسم على الزمن، فمن الواضح أن الإجابة سيتم التعبير عنها بالفرق s(b) - s(a). علاوة على ذلك، إذا كنا نعرف أي مشتق عكسي s̃(0) للدالة v(t) في الفترة [a;b]، إذًا، بما أن s̃(t) = s(t) + C، حيث C ثابت، فيمكننا أوجد قيمة الإزاحة المطلوبة في صورة الفرق s̃(b) - s(a)، والذي يتزامن مع الفرق s(b) - s(i). هذه ملاحظة مفيدة للغاية، ولكن إذا لم يكن من الممكن تحديد المشتق العكسي لدالة معينة v(t)، فعلينا أن نتصرف بشكل مختلف تمامًا.

سوف نفكر على النحو التالي.

إذا كان الفاصل الزمني [a;b] عبارة عن لحظات منفصلة t 0، t 1، ...، t n، بحيث يكون a = t 0< t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

لجميع الحركة على الفاصل الزمني.

القيمة التقريبية التي تم العثور عليها هي الأكثر دقة، كلما كان التقسيم الدقيق للفاصل الزمني الذي نقوم به، أي. كلما كانت قيمة ∆ أصغر من الفترات التي تم تقسيم الفترة إليها.

وهذا يعني أن مقدار الإزاحة التي نبحث عنها هو الحد الأقصى

ليم ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i (5)

مجاميع النموذج (4)، عندما تكون القيمة ∆ تميل إلى الصفر.

تسمى المجاميع ذات الشكل الخاص (4) المجاميع التكاملية للدالة v(t) على الفاصل الزمني، ويسمى حدها (5)، الذي يتم الحصول عليه عن طريق الضبط الدقيق غير المحدود للأقسام، بالتكامل (أو التكامل المحدد) لـ الدالة v(t) على الفاصل الزمني. يتم الإشارة إلى التكامل بالرمز

حيث يُطلق على الأرقام a وb حدود التكامل، حيث يكون a هو الحد الأدنى وb هو الحد الأعلى للتكامل؛ الدالة v(t) تحت علامة التكامل ∫ تسمى التكامل؛ v(t)dt - تكامل؛ t-متغير التكامل.

لذلك، بحكم التعريف،

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ i) ∆t i . (6)

هذا يعني أن المقدار المطلوب من حركة الجسم خلال فترة زمنية وبسرعة معروفة v(t) للحركة يتم التعبير عنه بتكامل (6) للدالة v(t) خلال الفترة.

وبمقارنة هذه النتيجة مع تلك التي تمت الإشارة إليها في لغة الاشتقاق العكسي في بداية النظر في هذا المثال، نصل إلى العلاقة الشهيرة:

∫ أ ب ت(ر)دت = ث(ب)-ث(أ)، (7)

إذا v(t) = s"(t). تسمى المساواة (7) بصيغة نيوتن-لايبنتز. على الجانب الأيسر يوجد تكامل يُفهم على أنه النهاية (6)، وعلى الجانب الأيمن يوجد فرق القيم (في نهايتي b و a من فترة التكامل) الدالة s(t)، المشتق العكسي للدالة التكاملية v(t). وهكذا فإن صيغة نيوتن-لايبنتز تربط بين التكامل (6) والمشتق العكسي وبالتالي، يمكن استخدام الصيغة في اتجاهين متعاكسين: لحساب التكامل من خلال إيجاد المشتق العكسي، أو للحصول على زيادة، إيجاد التكامل من العلاقة (6). تعتبر صيغة نيوتن-لايبنتز مهمة جدًا.

التكامل (6) والصيغة (7) من حيث المبدأ يحلان المشكلة المطروحة في مثالنا. لذلك، إذا كانت v(t) = gt (كما هو الحال في حالة السقوط الحر بدءًا من حالة السكون، أي مع v(0) = 0)، فبعد العثور على المشتق العكسي s(t) = gt 2 /2 + من الدالة v(t) = g t حسب الصيغة (7) نحصل على القيمة

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

الحركة خلال الزمن المنقضي من اللحظة أ إلى اللحظة ب.

بناءً على المشكلة الفيزيائية التي تم تحليلها للتو، والتي قادتنا إلى التكامل وصيغة نيوتن-لايبنتز، وتعميم الملاحظات التي تم إجراؤها، يمكننا الآن القول أنه إذا تم إعطاء الدالة f(x) في فترة زمنية معينة، فإن ثم قسمة الفاصل الزمني [أ؛ ب] على أ = س 0< x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

و(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

حيث ξ i ∈، ∆x i = x i - x i-1، ويمر إلى الحد عند ∆→0، حيث ∆ = max (∆x 1، ∆x 2، ...، ∆x n)، نحصل عليه بالتعريف لا يتجزأ

∫ أ ب f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

من الدالة f(x) خلال الفترة. إذا كانت F"(x)=f(x) في هذه الحالة، أي أن F(x) هو المشتق العكسي للدالة f(x) على الفاصل الزمني، فإن صيغة نيوتن-لايبنتز تحمل ما يلي:

∫ أ ب F(x) dx = F(b) - F(a). (7 ")

وبذلك تم تحديد أهم مفاهيم حساب التكامل، وتم الحصول على صيغة نيوتن-لايبنتز التي تربط بين التكامل والتفاضل.

كما هو الحال في حساب التفاضل، لم يتم التوصل إلى مفهوم المشتقة فقط من خلال مشكلة تحديد السرعة اللحظية للحركة، ولكن أيضًا من خلال مشكلة رسم المماس، كذلك في حساب التكامل، لا يتم تحديد مفهوم التكامل من خلال فقط المشكلة الفيزيائية المتمثلة في تحديد المسافة المقطوعة بسرعة معينة من الحركة، ولكن أيضًا العديد من المشكلات الأخرى، ومن بينها المسائل الهندسية القديمة المتعلقة بحساب المساحات والأحجام.

يجب أن يكون مطلوبًا العثور على المنطقة S الموضحة في الشكل. 1 من الشكل aABb (يسمى شبه منحرف منحني الأضلاع)، "الجانب" العلوي منه AB هو الرسم البياني للدالة y = f (x) المحددة في المقطع. النقاط أ = × 0< х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i соответствующего прямоугольника с основанием и высотой f(ξ i). В таком случае приближенное значение площади S всей фигуры aABb даст знакомая нам интегральная сумма ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i , а точное значение искомой площади S получится как предел таких сумм, когда длина ∆ наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

∫ أ ب و(س) دكس. (8)

دعونا نحاول الآن، باتباع أرخميدس، معرفة النسبة التي يقسم بها القطع المكافئ y = x 2 المساحة الموضحة في الشكل. 2 وحدة مربعة. للقيام بذلك، نحسب ببساطة، بناءً على الصيغة (8)، المساحة S للمثلث المكافئ السفلي. في حالتنا = و f(x) = x 2. نحن نعرف المشتق العكسي F(x) = x 3 /3 للدالة f(x) = x 2، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغة نيوتن-لايبنيز (7") والحصول عليها بسهولة

S = ∫ 0 1 x 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

ولذلك فإن القطع المكافئ يقسم مساحة المربع بنسبة 2:1.

عند التعامل مع التكاملات، وخاصة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، يمكنك استخدام الخصائص العامة للتكامل غير المحدد، والتي تم ذكرها في بداية المقال. على وجه الخصوص، قاعدة تغيير متغير في التكامل غير المحدد، بشرط أن يكون a = φ(α)، b = φ(β)، مع الأخذ في الاعتبار صيغة نيوتن-لايبنيز، يسمح لنا باستنتاج ذلك

∫ أ ب f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

وبالتالي يتم الحصول على صيغة مفيدة جدًا لتغيير متغير في تكامل محدد:

∫ أ ب f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

يتم أيضًا حساب أحجام الأجسام باستخدام التكاملات. إذا هو مبين في الشكل. 1 قم بتدوير شبه المنحرف المنحني aABb حول محور الثور، وستحصل على جسم دوران، والذي يمكن اعتباره تقريبًا مكونًا من أسطوانات ضيقة (الشكل 3)، يتم الحصول عليها عن طريق تدوير المستطيلات المقابلة. مع الاحتفاظ بنفس الترميز، نكتب حجم كل من هذه الأسطوانات بالصيغة πf 2 ξ i ∆x i، (حاصل ضرب المساحة πf 2 ξ i للقاعدة والارتفاع ∆x i). المجموع πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n يعطي قيمة تقريبية للحجم V لجسم الثورة المدروس. سيتم الحصول على القيمة الدقيقة لـ V كحد أقصى لهذه المبالغ عند ∆→0. وسائل،

V = π∫ أ ب و 2 (س) دكس. (10)

على وجه الخصوص، لحساب الحجم الموضح في الشكل. 4 مخاريط، يكفي وضع الصيغة (10) a = 0، b = h و f(x) = kx، حيث k هو المعامل الزاوي للخط المستقيم المستدير. بعد إيجاد المشتق العكسي k 2 x 3 /3 للدالة f 2 (x) = k 2 x 2 وباستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز، نحصل على

V = π∫ 0 ح ك 2 × 2 دكس = π(ك 2 ح 3 /3 - ك 2 0 3 /3)

= π(kh) 2 ح/3 = ش/3،

حيث S = π(kh) 2 هي مساحة الدائرة الواقعة عند قاعدة المخروط.

في الأمثلة التي تم تحليلها، استنفدنا الشكل الهندسي بهذه الأشكال، والمساحات أو الأحجام التي يمكننا حسابها، ثم قمنا بالمرور إلى الحد الأقصى. هذه التقنية، القادمة من Eudoxus والتي طورها أرخميدس، تسمى طريقة الاستنفاد. هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا للاستدلال في معظم تطبيقات التكامل.

وكمثال آخر، فكر في قضية "الفضاء" المحددة للغاية.

نريد حساب السرعة V التي يحتاج الجسم (الصاروخ) إلى تسريعها بحيث لا يتم إرجاعه أبدًا بواسطة جاذبية الكوكب، بعد أن ابتعد عن الكوكب بالقصور الذاتي على طول نصف القطر. وتسمى هذه السرعة بالسرعة الكونية الثانية، على عكس السرعة الكونية الأولى، التي يجب أن يتمتع بها القمر الصناعي الذي يدخل مدارا قريبا من سطح الكوكب.

دع m هو كتلة الجسم، وM هو كتلة الكوكب. يجب أن تكون الطاقة الحركية mv 2/2، التي يجب أن يتمتع بها الجسم للهروب من مجال جاذبية الكوكب، كافية للقيام بعمل ضد قوة الجاذبية. وحجم هذه القوة على مسافة r من مركز الكوكب حسب قانون الجذب العام الذي اكتشفه نيوتن يساوي

حيث G هو ثابت الجاذبية. وهكذا تتغير هذه القوة، وتضعف كلما ابتعدت عن الكوكب.

دعونا نحسب العمل A R R 0 الذي يجب القيام به حتى يتم رفع الجسم الموجود على ارتفاع R 0 (العد من مركز الكوكب) إلى ارتفاع R.

إذا كانت القوة ثابتة، فسنضرب ببساطة حجمها في طول R - R 0 للمسار الذي يتحرك في اتجاه تأثيرها وسنحصل على الشغل المثالي. لكن القوة تتغير، لذا سنقسم الفترة بأكملها على النقاط R 0 = r 0< 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G mM/r i 2 (r i - r i-1) = G mM/r i 2 ∆r i

في كل فترة من الفترات؛ تجميع العمل الأساسي

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

نحصل على قيمة تقريبية للعمل المطلوب A R R 0 على الفاصل الزمني، أو بالأحرى، يتم التعبير عن قيمة A R R 0 بالتكامل التالي:

A R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 د

حيث يتم لعب دور متغير التكامل بواسطة r. الكميات G، m، M ثابتة، والدالة r -2 لها مشتق عكسي -r -1، مع العلم أننا نجدها باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز

A R R 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

إذا تمت زيادة R إلى أجل غير مسمى، أي، كما يقولون، تتم إزالة الجسم إلى ما لا نهاية، ثم، بالانتقال إلى الحد كـ R → ∞، نحصل على

أ ∞ ص 0 = جمM/R 0 ,

حيث ∞ هو الرمز الذي يُقرأ "اللانهاية". إذا افترضنا في الصيغة الأخيرة أن R 0 هو نصف قطر الكوكب، فإن A ∞ R 0 سيكون العمل الذي يجب القيام به ضد قوى الجاذبية حتى ينتقل الجسم من سطح الكوكب إلى ما لا نهاية.

يمكن تبسيط التعبير الذي تم الحصول عليه لـ A ∞ R 0 إذا استذكرنا قانون نيوتن آخر F = ma، الذي يربط بين القوة F والتسارع a لجسم كتلته m الناتج عن ذلك. الجسم الذي يسقط سقوطًا حرًا على كوكب قريب من سطحه يكون تسارعه a = g ناتجًا عن قوة الجاذبية

حيث R 0 هو نصف قطر الكوكب. وسائل،

GmM/R 0 2 = mg، وهو ما يعني ذلك

GmM/R 0 2 = g وبالتالي A ∞ R 0 = mGR 0 .

هذه هي الصيغة لحساب الشغل المطلوب للهروب من مجال جاذبية الكوكب. من أجل "الخروج" من الكوكب بالقصور الذاتي، يجب أن تكون لديك سرعة رأسية v، حيث تكون الطاقة الحركية mv 2 /2 للجسم لا تقل عن أو على الأقل تساوي العمل المبذول للتغلب على جاذبية الكوكب.

وبالتالي، يتم التعبير عن سرعة الهروب الثانية، التي تم الحصول عليها من المساواة mv 2 /2 = mgR 0، على النحو التالي

على وجه الخصوص، بالنسبة للأرض g ≈ 10 m/s 2 , R 0 ≈ 6,400,000 m، وبالتالي v ≈ 8000 √2 m/s، أو v ≈ 11.2 km/s.

في جميع الأمثلة التي تم فحصها حتى الآن، استخدمنا المشتق العكسي لاستخدام صيغة نيوتن لايبنتز (7") لحساب التكامل الذي يهمنا، لكن نفس صيغة نيوتن-لايبنتز تقترح استخدام التكامل نفسه للعثور على المشتق العكسي، أو على الأقل توضيح مسألة وجودها الأساسية لقد تطرقنا بالفعل إلى هذه المسألة في القسم المخصص للمشتق العكسي والتكامل غير المحدد. الآن سننظر إليها بعناية أكبر.

دع الدالة f تُعطى على القطعة، التي يظهر الرسم البياني لها بالخط AB في الشكل. 5. نحن نعلم أن مساحة شبه المنحرف المنحني بالكامل aABb يتم التعبير عنها بالتكامل (8). نشير بـ ℱ(x) إلى مساحة ذلك الجزء الذي يقع فوق المقطع [a;x].

ℱ(x)=∫ أ x f(x)dt. (11)

قمنا هنا بالإشارة إلى متغير التكامل بـ t حتى لا نخلط بينه وبين x، وهو في حالتنا الحد الأعلى للتكامل.

من الواضح أن القيمة ℱ(x) تعتمد على النقطة x∈.

دعونا نوضح أن ℱ(x) هو المشتق العكسي للدالة f(x) على القطعة، أي. ℱ"(x)=f(x) لـ x∈. في الواقع، كما يتبين من الشكل 5،

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x) ح,

وهو ما يعادل المساواة التقريبية

(ℱ(س+ح) - ℱ(س))/ح ≈ و(س)

ومع انخفاض قيمة h، تتحسن دقة هذه العلاقة

ليم ح→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

وبالتالي،

وبالتالي، فإن التكامل (11) مع حد أعلى متغير x يعطينا المشتق العكسي للدالة f(x). من بين جميع المشتقات العكسية الأخرى للدالة f(x) على المقطع، يتميز هذا المشتق العكسي بالشرط الواضح ℱ(a) = 0. نظرًا لأن التكامل، وفقًا لتعريفه (6")، يمكن حسابه بأي دقة محددة مسبقًا ، فإن قيمة ℱ(x) من دوال المشتق العكسي (11) f(x) عند أي نقطة x∈ يمكن العثور عليها بدقة حسب الرغبة، دون حتى الاهتمام بالترميز التحليلي لـ ℱ(x) أو مسألة ما إذا كانت ℱ(x) دالة أولية.

هناك طرق عددية بسيطة وفعالة جدًا للتكامل - وهي ما يسمى بالصيغ التربيعية. إنها تسمح لأجهزة الكمبيوتر الإلكترونية بالحصول على قيم تكاملات معينة في جزء من الثانية. هذا الظرف يجعل الصيغة (11) وسيلة للعثور على المشتق العكسي. على سبيل المثال، تبقى الغواصات الحديثة أحيانًا على أعماق كبيرة لعدة أشهر وتقطع مسافات كبيرة؛ نظرًا لعدم وجود أي اتصال بالعالم الخارجي، فإنهم مع ذلك يذهبون إلى مربع محدد بدقة. معدات الملاحة، التي تسمح لك بتحديد إحداثيات القارب في أي وقت، هي تطبيق فني للصيغة (11) وتستند إلى هذا المبدأ المادي. كوننا في غرفة متحركة مغلقة (عربة ناعمة عازلة للصوت، طائرة، وما إلى ذلك)، فإننا لا نشعر بسرعة الحركة، لكننا نشعر بالتأكيد بتغيير في تسارع السرعة. يكون إيجابيًا عند زيادة السرعة، عندما تضغطك الكتلة على مقعد الطائرة، وسالبًا عند الكبح، عندما قد تحتاج حتى إلى أحزمة الأمان. نظرًا لوجود علاقة تناسب طردية بين تسارع الكتلة m والقوة F التي تسبب F = ma، يمكن قياس حجم التجذير a بشكل موضوعي عن طريق تثبيت الكتلة m على الطرف الحر للزنبرك الواقع على طول اتجاه الحركة وربط نهايته الثانية بشكل صارم، على سبيل المثال، بالجدار الخلفي لغرفة متحركة. إذا كان تمدد وضغط الزنبرك يتناسب مع القوة المؤثرة عليه، فمن خلال مقدار انحراف الكتلة m عن موضع التوازن يمكن تحديد مقدار a(t) للتسارع الذي يحدث في اتجاه معين عند في أي لحظة من الزمن ر.

إذا بدأت الحركة بسرعة أولية صفر، فبمعرفة a(t)، يمكننا أولًا إيجاد سرعة v(t) للحركة باستخدام الصيغة (11)، ومعرفة v(t)، إيجاد الإزاحة s(t) في هذا الاتجاه في الوقت الراهن ومنذ ذلك الحين

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

تتم معالجة قراءات الأجهزة وحساب هذه التكاملات بواسطة كمبيوتر إلكتروني. إذا كانت هناك ثلاثة أجهزة استشعار للتسارع مثبتة (على سبيل المثال، بواسطة الجيروسكوبات) في ثلاثة اتجاهات متعامدة بشكل متبادل، فيمكنك في أي وقت معرفة حركتك في كل اتجاه من هذه الاتجاهات وبالتالي تحديد إحداثياتك الثلاثة في نظام إحداثي ما، وأصل وهي نقطة البداية - القاعدة، المطار، مركز الفضاء.

مقدمة

تم إدخال رمز التكامل في عام 1675، وتمت دراسة مسائل حساب التفاضل والتكامل منذ عام 1696. على الرغم من أن التكامل يدرس بشكل رئيسي من قبل علماء الرياضيات، إلا أن الفيزيائيين قدموا أيضًا مساهمتهم في هذا العلم. لا يمكن لأي صيغة فيزيائية تقريبًا الاستغناء عن حساب التفاضل والتكامل. لذلك قررت أن أستكشف التكامل وتطبيقاته.

تاريخ حساب التكامل

يرتبط تاريخ مفهوم التكامل ارتباطًا وثيقًا بمشاكل إيجاد التربيعات. أطلق علماء الرياضيات في اليونان القديمة وروما على المسائل المتعلقة بتربيع شكل مسطح أو آخر حساب المساحات. تُترجم الكلمة اللاتينية Quadratura إلى "مربع". يتم تفسير الحاجة إلى مصطلح خاص من خلال حقيقة أنه في العصور القديمة (ولاحقًا حتى القرن الثامن عشر) لم تكن الأفكار حول الأعداد الحقيقية متطورة بشكل كافٍ. لقد تعامل علماء الرياضيات مع نظائرهم الهندسية، أو الكميات العددية، التي لا يمكن ضربها. لذلك، كان لا بد من صياغة مشاكل العثور على المناطق، على سبيل المثال، على النحو التالي: "إنشاء مربع يساوي حجم الدائرة المحددة". (هذه المشكلة الكلاسيكية "حول تربيع الدائرة" لا يمكن حلها، كما نعلم، بمساعدة البوصلة والمسطرة).

تم تقديم الرمز ò بواسطة لايبنتز (1675). هذه العلامة عبارة عن تعديل للحرف اللاتيني S (الحرف الأول من كلمة summa). كلمة التكامل نفسها صاغها ج. بيرنولي (1690). ربما يأتي من الكلمة اللاتينية integro، والتي تُترجم على أنها جلب إلى حالة سابقة، أو استعادة. (في الواقع، عملية التكامل "تستعيد" الوظيفة من خلال التفريق بين ما تم الحصول عليه من التكامل.) ربما يكون أصل مصطلح التكامل مختلفًا: كلمة عدد صحيح تعني الكل.

خلال المراسلات، وافق بيرنولي وج. لايبنتز على اقتراح بيرنولي. في الوقت نفسه، في عام 1696، ظهر اسم فرع جديد من الرياضيات - حساب التفاضل والتكامل المتكامل (حساب التفاضل والتكامل)، والذي قدمه I. Bernoulli.

ظهرت مصطلحات أخرى معروفة تتعلق بحساب التفاضل والتكامل في وقت لاحق. الاسم المستخدم الآن، الوظيفة البدائية، حل محل "الوظيفة البدائية" السابقة، والتي قدمها لاغرانج (1797). تتم ترجمة الكلمة اللاتينية primitivus على أنها "أولية": F(x) = ò f(x)dx - أولي (أو أصلي، أو مشتق عكسي) لـ f(x)، والذي يتم الحصول عليه من F(x) عن طريق التمايز.

في الأدب الحديث، مجموعة جميع المشتقات العكسية للدالة f(x) تسمى أيضًا بالتكامل غير المحدد. تم تسليط الضوء على هذا المفهوم من قبل لايبنيز، الذي أشار إلى أن جميع وظائف المشتقة العكسية تختلف عن طريق ثابت اعتباطي. ب

يسمى التكامل المحدد (تم تقديم التسمية بواسطة C. فورييه (1768-1830)، ولكن حدود التكامل سبق أن أشار إليها أويلر).

ترتبط العديد من الإنجازات المهمة لعلماء الرياضيات في اليونان القديمة في حل مشكلات إيجاد التربيعات (أي حساب المساحات) للأشكال المستوية، وكذلك التكعيبات (حساب الأحجام) للأجسام، باستخدام طريقة الاستنفاد التي اقترحها Eudoxus of Cnidus (ج 408 – ج 355 ق.م. باستخدام هذه الطريقة، أثبت Eudoxus، على سبيل المثال، أن مساحات دائرتين ترتبطان بمربعات قطريهما، وأن حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة التي لها نفس القاعدة والارتفاع.

تم تحسين طريقة Eudoxus بواسطة أرخميدس. المراحل الرئيسية التي تميز طريقة أرخميدس: 1) ثبت أن مساحة الدائرة أقل من مساحة أي مضلع منتظم موصوف حولها، ولكنها أكبر من مساحة أي مضلع منقوش؛ 2) ثبت أنه مع مضاعفة عدد الأضلاع بشكل غير محدود، فإن الفرق في مساحات هذه المضلعات يميل إلى الصفر؛ 3) لحساب مساحة الدائرة يبقى إيجاد القيمة التي تميل إليها نسبة مساحة المضلع المنتظم عندما يتضاعف عدد أضلاعه إلى ما لا نهاية.

باستخدام طريقة الاستنفاد وعدد من الاعتبارات البارعة الأخرى (بما في ذلك استخدام نماذج الميكانيكا)، حل أرخميدس العديد من المشكلات. وأعطى تقديرا للعدد ع (3.10/71

توقع أرخميدس العديد من أفكار حساب التفاضل والتكامل. (نضيف أنه تم إثبات النظريات الأولى حول النهايات عمليًا). لكن الأمر استغرق أكثر من ألف ونصف عام قبل أن تجد هذه الأفكار تعبيرًا واضحًا وتصل إلى مستوى حساب التفاضل والتكامل.

لقد تعلم علماء الرياضيات في القرن السابع عشر، الذين حصلوا على العديد من النتائج الجديدة، من أعمال أرخميدس. تم أيضًا استخدام طريقة أخرى بنشاط - طريقة غير قابلة للتجزئة، والتي نشأت أيضًا في اليونان القديمة (ترتبط في المقام الأول بالآراء الذرية لديموقريطس). على سبيل المثال، تخيلوا أن شبه منحرف منحني الأضلاع (الشكل 1، أ) يتكون من مقاطع رأسية بطول f(x)، ومع ذلك فقد خصصوا لها مساحة مساوية للقيمة المتناهية الصغر f(x)dx. ووفقا لهذا الفهم، اعتبرت المساحة المطلوبة مساوية للمجموع

عدد كبير لا نهائي من المساحات الصغيرة بلا حدود. في بعض الأحيان تم التأكيد على أن الحدود الفردية في هذا المجموع هي أصفار، ولكن الأصفار من نوع خاص، والتي، عند إضافتها إلى عدد لا نهائي، تعطي مجموعًا إيجابيًا محددًا جيدًا.

على هذا الأساس الذي يبدو مشكوكًا فيه الآن على الأقل، لجأ كيبلر (1571-1630) في كتاباته "علم الفلك الجديد".

(1609) و"القياس المجسم لبراميل النبيذ" (1615) قاما بحساب عدد من المناطق بشكل صحيح (على سبيل المثال، مساحة الشكل الذي يحده شكل بيضاوي) والأحجام (تم تقطيع الجسم إلى 6 ألواح رفيعة للغاية). واصل علماء الرياضيات الإيطاليون هذه الدراسات ب. كافاليري (1598-1647) وإي. توريسيلي (1608-1647). المبدأ الذي صاغه B. Cavalieri، والذي قدمه في ظل بعض الافتراضات الإضافية، يحتفظ بأهميته في عصرنا.

فليكن من الضروري العثور على مساحة الشكل الموضح في الشكل 1، ب، حيث تحتوي المنحنيات التي تحد الشكل من الأعلى والأسفل على المعادلتين y = f(x) و y=f(x)+c.

تخيل شكلًا مكونًا من أعمدة رفيعة للغاية، وفقًا لمصطلحات كافاليري، نلاحظ أن جميعها يبلغ طولها الإجمالي c. وبتحريكها في الاتجاه الرأسي، يمكننا تشكيلها على شكل مستطيل قاعدته b-a وارتفاعه c. وبالتالي فإن المساحة المطلوبة تساوي مساحة المستطيل الناتج، أي

S = S1 = ج (ب - أ).

تمت صياغة مبدأ كافاليري العام لمساحات الأشكال المستوية على النحو التالي: دع خطوط قلم معين من المتوازيات تتقاطع مع الأشكال Ф1 و Ф2 على طول مقاطع متساوية الطول (الشكل 1 ج). ثم تكون مساحات الشكلين F1 وF2 متساوية.

يعمل مبدأ مماثل في القياس المجسم وهو مفيد في العثور على الأحجام.

في القرن السابع عشر تم إجراء العديد من الاكتشافات المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل. وهكذا، قام P. Fermat بالفعل في عام 1629 بحل مشكلة التربيع لأي منحنى y = xn، حيث n عدد صحيح (أي أنه اشتق بشكل أساسي الصيغة ò xndx = (1/n+1)xn+1)، و وعلى هذا الأساس تم حل سلسلة من المسائل لإيجاد مراكز الثقل. I. كبلر، عند استنتاج قوانينه الشهيرة لحركة الكواكب، اعتمد في الواقع على فكرة التكامل التقريبي. لقد اقترب آي بارو (1630-1677)، أستاذ نيوتن، من فهم العلاقة بين التكامل والتمايز. كان للعمل على تمثيل الوظائف في شكل متسلسلة القوى أهمية كبيرة.

ومع ذلك، على الرغم من أهمية النتائج التي حصل عليها العديد من علماء الرياضيات المبدعين للغاية في القرن السابع عشر، فإن حساب التفاضل والتكامل لم يكن موجودًا بعد. وكان من الضروري تسليط الضوء على الأفكار العامة التي يقوم عليها حل العديد من المشاكل الخاصة، وكذلك إنشاء اتصال بين عمليات التمايز والتكامل، مما يعطي خوارزمية عامة إلى حد ما. وقد تم ذلك من قبل نيوتن ولايبنتز، اللذين اكتشفا بشكل مستقل حقيقة تعرف باسم صيغة نيوتن-لايبنتز. وهكذا تم تشكيل الطريقة العامة أخيرًا. كان لا يزال يتعين عليه أن يتعلم كيفية العثور على المشتقات العكسية للعديد من الوظائف، وإعطاء حساب التفاضل والتكامل المنطقي الجديد، وما إلى ذلك. ولكن الشيء الرئيسي قد تم إنجازه بالفعل: تم إنشاء حساب التفاضل والتكامل.

تطورت طرق التحليل الرياضي بنشاط في القرن التالي (بادئ ذي بدء، يجب ذكر أسماء L. Euler، الذي أكمل دراسة منهجية لتكامل الوظائف الأولية، و I. Bernoulli). شارك علماء الرياضيات الروس إم في أوستروغرادسكي (1801-1862)، ف.يا بونياكوفسكي (1804-1889)، بي إل تشيبيشيف (1821-1894) في تطوير حساب التفاضل والتكامل. كانت نتائج تشيبيشيف ذات أهمية أساسية، على وجه الخصوص، حيث أثبت أن هناك تكاملات لا يمكن التعبير عنها من خلال الوظائف الأولية.

لم يظهر العرض الدقيق للنظرية التكاملية إلا في القرن الماضي. يرتبط حل هذه المشكلة بأسماء O. Cauchy، أحد أعظم علماء الرياضيات، العالم الألماني B. Riemann (1826-1866)، عالم الرياضيات الفرنسي G. Darboux (1842-1917).

تم الحصول على إجابات للعديد من الأسئلة المتعلقة بوجود مساحات وأحجام الأشكال من خلال إنشاء نظرية القياس بواسطة ك. جوردان (1838-1922).

تم اقتراح تعميمات مختلفة لمفهوم التكامل بالفعل في بداية هذا القرن من قبل علماء الرياضيات الفرنسيين أ. ليبيغ (1875-1941) وأ. دينجوي (1884-1974)، وعالم الرياضيات السوفييتي أ. 1959).

رمز المدونة:

حساب التكامل، فرع من الرياضيات يتم فيه دراسة خصائص وطرق حساب التكاملات وتطبيقاتها في حل المشكلات الرياضية والفيزيائية المختلفة وغيرها. تم اقتراح حساب التفاضل والتكامل بشكل منهجي في القرن السابع عشر. I. نيوتن و ج. لايبنتز. حساب التفاضل والتكامل يرتبط ارتباطًا وثيقًا بحساب التفاضل والتكامل؛ التكامل (إيجاد التكامل) هو الإجراء العكسي للتمايز: بالنسبة لدالة مستمرة معينة f(x)، يبحث المرء عن الوظيفة F(x) (المشتق العكسي)، والتي f(x) هي المشتقة.

مع F(x)، فإن دالة المشتقة العكسية لـ f(x) هي أيضًا F(x) + C، حيث C هي أي ثابت. التعبير العام F(x) + C للمشتقات العكسية للدالة المستمرة f(x) يسمى التكامل غير المحدد؛ يُشار إليه بالتكامل المحدد للدالة المستمرة f(x) على قطعة مقسومة على نقاط (الشكل) ويسمى حد المجاميع التكاملية، حيث بشرط أن يميل الفرق الأكبر إلى الصفر ويزداد عدد نقاط القسمة. إلى أجل غير مسمى؛ تم تحديده (نشأت العلامة نفسها من الحرف الأول S من الكلمة اللاتينية Summa).

يتم التعبير عن مساحات الأشكال المستوية، وأطوال المنحنيات، وأحجام الأجسام وأسطحها، وإحداثيات مراكز الثقل، وعزوم القصور الذاتي، والشغل الناتج عن قوة معينة، وما إلى ذلك من خلال تكاملات محددة للاتصال بين التكامل المحدد والمشتق العكسي، انظر صيغة نيوتن-لايبنتز. يمتد مفهوم التكامل إلى وظائف العديد من المتغيرات (انظر التكامل المتعدد، التكامل المنحني الخطوط، التكامل السطحي)

كيف سيبدو:

حساب التكامل، فرع من الرياضيات يتم فيه دراسة خصائص وطرق حساب التكاملات وتطبيقاتها في حل المشكلات الرياضية والفيزيائية المختلفة وغيرها. تم اقتراح حساب التفاضل والتكامل بشكل منهجي في القرن السابع عشر. I. نيوتن و ج. لايبنتز. حساب التفاضل والتكامل يرتبط ارتباطًا وثيقًا بحساب التفاضل والتكامل؛ التكامل (إيجاد التكامل) هو الإجراء العكسي للتمايز: بالنسبة لدالة مستمرة معينة f(x)، يبحث المرء عن الوظيفة F(x) (المشتق العكسي)، والتي f(x) هي المشتقة.

مع F(x)، فإن دالة المشتقة العكسية لـ f(x) هي أيضًا F(x) + C، حيث C هي أي ثابت. التعبير العام F(x) + C للمشتقات العكسية للدالة المستمرة f(x) يسمى التكامل غير المحدد؛ يُشار إليه بالتكامل المحدد للدالة المستمرة f(x) على قطعة مقسومة على نقاط (الشكل) ويسمى حد المجاميع التكاملية، حيث بشرط أن يميل الفرق الأكبر إلى الصفر ويزداد عدد نقاط القسمة. إلى أجل غير مسمى؛ تم تحديده (نشأت العلامة نفسها من الحرف الأول S من الكلمة اللاتينية Summa).

يتم التعبير عن مساحات الأشكال المستوية، وأطوال المنحنيات، وأحجام الأجسام وأسطحها، وإحداثيات مراكز الثقل، وعزوم القصور الذاتي، والشغل الناتج عن قوة معينة، وما إلى ذلك من خلال تكاملات محددة للاتصال بين التكامل المحدد والمشتق العكسي، انظر صيغة نيوتن-لايبنتز. يمتد مفهوم التكامل إلى وظائف العديد من المتغيرات (انظر التكامل المتعدد، التكامل المنحني الخطوط، التكامل السطحي)