برنامج لحل المسائل الرياضية باستخدام الطريقة الغوسية. طريقة غاوسية على الانترنت

سننظر اليوم إلى طريقة غاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية. يمكنك أن تقرأ عن ماهية هذه الأنظمة في المقالة السابقة المخصصة لحل نفس SLAEs باستخدام طريقة Cramer. لا تتطلب طريقة غاوس أي معرفة محددة، بل تحتاج فقط إلى الاهتمام والاتساق. على الرغم من أن التدريب المدرسي كافٍ من الناحية الرياضية لتطبيقه، إلا أن الطلاب غالبًا ما يجدون صعوبة في إتقان هذه الطريقة. في هذه المقالة سنحاول تقليلها إلى لا شيء!

طريقة غاوس

م طريقة غاوسية– الطريقة الأكثر عالمية لحل SLAEs (باستثناء الأنظمة الكبيرة جدًا). على عكس ما تمت مناقشته سابقًا، فهو مناسب ليس فقط للأنظمة التي لها حل واحد، ولكن أيضًا للأنظمة التي لها عدد لا نهائي من الحلول. هناك ثلاثة خيارات ممكنة هنا.

1. النظام لديه حل فريد (محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر)؛
2. النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول؛
3. لا توجد حلول، النظام غير متوافق.

إذن لدينا نظام (فليكن له حل واحد) وسنقوم بحله باستخدام الطريقة الغوسية. كيف يعمل هذا؟

تتكون طريقة غاوس من مرحلتين - للأمام والعكس.

السكتة الدماغية المباشرة للطريقة الغوسية

أولاً، دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام. للقيام بذلك، قم بإضافة عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الرئيسية.

إن الجوهر الكامل لطريقة غاوس هو جلب هذه المصفوفة إلى شكل متدرج (أو كما يقولون أيضًا مثلثي) من خلال التحولات الأولية. في هذا النموذج، يجب أن يكون هناك أصفار فقط تحت (أو أعلى) القطر الرئيسي للمصفوفة.

ما يمكنك القيام به:

1. يمكنك إعادة ترتيب صفوف المصفوفة؛
2. إذا كانت هناك صفوف متساوية (أو متناسبة) في المصفوفة، فيمكنك إزالة جميعها باستثناء واحد؛
3. يمكنك ضرب سلسلة أو قسمتها على أي رقم (ما عدا الصفر)؛
4. تتم إزالة الصفوف الفارغة؛
5. يمكنك إلحاق سلسلة مضروبة برقم غير الصفر إلى سلسلة.

عكس طريقة غاوس

بعد أن نحول النظام بهذه الطريقة، واحد غير معروف Xn تصبح معروفة، ويمكنك العثور على جميع المجهولات المتبقية بترتيب عكسي، واستبدال x المعروفة بالفعل في معادلات النظام، حتى الأولى.

عندما يكون الإنترنت في متناول اليد دائمًا، يمكنك حل نظام من المعادلات باستخدام طريقة غاوس متصل.كل ما عليك فعله هو إدخال المعاملات في الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. لكن يجب أن تعترف أنه من الممتع أكثر أن تدرك أن المثال لم يتم حله بواسطة برنامج كمبيوتر، بل بواسطة دماغك.

مثال على حل نظام المعادلات باستخدام طريقة غاوس

والآن - مثال حتى يصبح كل شيء واضحًا ومفهومًا. دعونا نعطي نظامًا من المعادلات الخطية، وتحتاج إلى حله باستخدام طريقة غاوس:

أولاً نكتب المصفوفة الموسعة:

الآن دعونا نفعل التحولات. نتذكر أننا بحاجة إلى تحقيق المظهر الثلاثي للمصفوفة. دعونا نضرب السطر الأول في (3). اضرب السطر الثاني بـ (-1). أضف السطر الثاني إلى الأول واحصل على:

ثم اضرب السطر الثالث بـ (-1). دعنا نضيف السطر الثالث إلى الثاني:

دعونا نضرب السطر الأول في (6). لنضرب السطر الثاني في (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:

Voila - تم إحضار النظام إلى الشكل المناسب. يبقى أن نجد المجهول:

النظام في هذا المثال لديه حل فريد. وسنتناول حل الأنظمة التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول في مقال منفصل. ربما في البداية لن تعرف من أين تبدأ تحويل المصفوفة، ولكن بعد الممارسة المناسبة سوف تتقنها وسوف تكسر SLAEs باستخدام الطريقة الغوسية مثل المكسرات. وإذا صادفت فجأة اتفاقية مستوى الخدمة (SLA) والتي تبين أنها صعبة للغاية بحيث لا يمكن كسرها، فاتصل بمؤلفينا! يمكنك ذلك من خلال ترك طلب في مكتب المراسلات. معا سوف نحل أي مشكلة!

المؤسسة التعليمية "الدولة البيلاروسية

الأكاديمية الزراعية"

قسم الرياضيات العليا

المبادئ التوجيهية

لدراسة موضوع "طريقة غاوس لحل الأنظمة الخطية

المعادلات" لطلبة كلية المحاسبة بالمراسلة (NISPO)

غوركي، 2013

طريقة غاوس لحل أنظمة المعادلات الخطية

أنظمة المعادلات المكافئة

يقال إن نظامين من المعادلات الخطية متكافئان إذا كان كل حل لأحدهما حلاً للآخر. تتكون عملية حل نظام من المعادلات الخطية من تحويله بشكل تسلسلي إلى نظام مكافئ باستخدام ما يسمى التحولات الأولية ، وهي:

1) إعادة ترتيب أي معادلتين للنظام؛

2) ضرب طرفي أي معادلة للنظام برقم غير الصفر.

3) إضافة إلى أي معادلة معادلة أخرى مضروبة في أي رقم؛

4) شطب معادلة مكونة من أصفار، أي. معادلات النموذج

القضاء غاوسي

النظر في النظام مالمعادلات الخطية مع نمجهول:

جوهر الطريقة الغوسية أو طريقة الحذف المتسلسل للمجهول هو كما يلي.

أولا، باستخدام التحويلات الأولية، يتم حذف المجهول من جميع معادلات النظام باستثناء الأولى. تسمى تحويلات النظام هذه خطوة القضاء غاوسي . المجهول يسمى تمكين المتغير في الخطوة الأولى من التحول. يسمى المعامل عامل القرار ، تسمى المعادلة الأولى حل المعادلة ، وعمود المعاملات في عمود الإذن .

عند تنفيذ خطوة واحدة من حذف Gaussian، تحتاج إلى استخدام القواعد التالية:

1) تبقى المعاملات والحد الحر لمعادلة الحل دون تغيير؛

2) تصبح معاملات عمود الدقة الموجود أسفل معامل الدقة صفراً؛

3) يتم حساب جميع المعاملات والمصطلحات المجانية الأخرى عند تنفيذ الخطوة الأولى وفقًا لقاعدة المستطيل:

، أين أنا=2,3,…,م; ي=2,3,…,ن.

سنجري تحويلات مماثلة على المعادلة الثانية للنظام. سيؤدي ذلك إلى نظام يتم فيه حذف المجهول في جميع المعادلات باستثناء المعادلتين الأوليين. ونتيجة لهذه التحولات على كل من معادلات النظام (التقدم المباشر لطريقة غاوس)، يتم تقليل النظام الأصلي إلى نظام خطوة مكافئ لأحد الأنواع التالية.

عكس طريقة غاوس

نظام الخطوة

له مظهر مثلث وهذا كل شيء (أنا=1,2,…,ن). مثل هذا النظام لديه حل فريد من نوعه. يتم تحديد المجهولات بدءاً من المعادلة الأخيرة (عكس الطريقة الغوسية).

نظام الخطوة لديه النموذج

حيث أي عدد معادلات النظام أقل من أو يساوي عدد المجهولين. هذا النظام ليس له حلول، حيث أن المعادلة الأخيرة لن تكون راضية عن أي قيم للمتغير.

نظام نوع الخطوة

لديه عدد لا يحصى من الحلول. من المعادلة الأخيرة، يتم التعبير عن المجهول من خلال المجهولين . ثم، في المعادلة قبل الأخيرة، بدلا من المجهول، يتم استبدال تعبيره بالمجهول . استمرارًا لعكس الطريقة الغوسية، المجهولة يمكن التعبير عنها من حيث المجهول . في هذه الحالة، المجهول يتم استدعاؤها حر ويمكن أن تأخذ أي قيم، وغير معروفة أساسي.

عند حل الأنظمة عمليًا، يكون من الملائم إجراء جميع التحويلات ليس باستخدام نظام المعادلات، ولكن باستخدام مصفوفة موسعة للنظام تتكون من معاملات للمجهول وعمود من المصطلحات الحرة.

مثال 1. حل نظام المعادلات

حل. لنقم بإنشاء مصفوفة موسعة للنظام وإجراء تحويلات أولية:

.

في المصفوفة الموسعة للنظام، الرقم 3 (يتم تمييزه) هو معامل الدقة، والصف الأول هو صف الدقة، والعمود الأول هو عمود الدقة. عند الانتقال إلى المصفوفة التالية، لا يتغير صف الدقة؛ يتم استبدال جميع عناصر عمود الدقة الموجودة أسفل عنصر الدقة بالأصفار. ويتم إعادة حساب جميع العناصر الأخرى للمصفوفة وفقًا للقاعدة الرباعية. بدلا من العنصر 4 في السطر الثاني نكتب بدلاً من العنصر -3 في السطر الثاني سيتم كتابته إلخ. وهكذا سيتم الحصول على المصفوفة الثانية. سيكون عنصر الدقة في هذه المصفوفة هو الرقم 18 في الصف الثاني. لتشكيل المصفوفة التالية (الثالثة)، اترك الصف الثاني دون تغيير، واكتب صفرًا في العمود الموجود أسفل عنصر الحل وأعد حساب العنصرين المتبقيين: بدلاً من الرقم 1، اكتب وبدلا من الرقم 16 نكتب .

ونتيجة لذلك، تم تخفيض النظام الأصلي إلى نظام مماثل

ومن المعادلة الثالثة نجد . لنعوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية: ذ=3. لنعوض بالقيم الموجودة في المعادلة الأولى ذو ض: , س=2.

وبالتالي فإن الحل لهذا النظام من المعادلات هو س=2, ذ=3, .

مثال 2. حل نظام المعادلات

حل. دعونا نجري تحويلات أولية على المصفوفة الموسعة للنظام:

في المصفوفة الثانية، يتم تقسيم كل عنصر من عناصر الصف الثالث على 2.

في المصفوفة الرابعة، تم قسمة كل عنصر من الصفين الثالث والرابع على 11.

. المصفوفة الناتجة تتوافق مع نظام المعادلات

وحل هذا النظام نجد , , .

مثال 3. حل نظام المعادلات

حل. لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونجري التحويلات الأولية:

.

في المصفوفة الثانية، تم تقسيم كل عنصر من عناصر الصف الثاني والثالث والرابع على 7.

ونتيجة لذلك، تم الحصول على نظام المعادلات

يعادل الأصلي.

وبما أن هناك معادلتين أقل من المجهولين، فمن المعادلة الثانية . لنعوض بالتعبير "ل" في المعادلة الأولى: ، .

وهكذا الصيغ إعطاء حل عام لهذا النظام من المعادلات. المجهولة مجانية ويمكن أن تأخذ أي قيمة.

دعونا، على سبيل المثال، ثم و . حل هو أحد الحلول الخاصة بالنظام والتي لا تعد ولا تحصى.

أسئلة للسيطرة على المعرفة الذاتية

1) ما هي تحويلات الأنظمة الخطية التي تسمى الابتدائية؟

2) ما هي تحويلات النظام التي تسمى خطوة الحذف الغوسية؟

3) ما هو متغير الحل، معامل الحل، حل العمود؟

4) ما هي القواعد التي ينبغي استخدامها عند تنفيذ خطوة واحدة من حذف غاوسي؟

منذ بداية القرنين السادس عشر والثامن عشر، بدأ علماء الرياضيات في دراسة الوظائف بشكل مكثف، بفضل ما تغير الكثير في حياتنا. تكنولوجيا الكمبيوتر ببساطة لن تكون موجودة بدون هذه المعرفة. تم إنشاء مفاهيم ونظريات وتقنيات حل مختلفة لحل المشكلات المعقدة والمعادلات الخطية والوظائف. إحدى هذه الأساليب والتقنيات العالمية والعقلانية لحل المعادلات الخطية وأنظمتها كانت طريقة غاوس. المصفوفات ورتبها والمحددات - يمكن حساب كل شيء دون استخدام عمليات معقدة.

ما هو SLAU

في الرياضيات، هناك مفهوم SLAE - نظام المعادلات الجبرية الخطية. كيف هي؟ هذه مجموعة من معادلات m مع الكميات غير المعروفة المطلوبة، ويُشار إليها عادةً بـ x أو y أو z أو x 1 أو x 2 ... x n أو رموز أخرى. حل نظام معين باستخدام الطريقة الغوسية يعني العثور على جميع المجهولات المجهولة. إذا كان النظام يحتوي على نفس العدد من المجهولات والمعادلات، فإنه يسمى نظام من الرتبة n.

الطرق الأكثر شعبية لحل SLAEs

تتم دراسة طرق مختلفة لحل هذه الأنظمة في المؤسسات التعليمية للتعليم الثانوي. غالبًا ما تكون هذه معادلات بسيطة تتكون من مجهولين، لذا فإن أي طريقة موجودة للعثور على الإجابة عليها لن تستغرق الكثير من الوقت. يمكن أن يكون هذا مثل طريقة الاستبدال، عندما يتم اشتقاق أخرى من معادلة واحدة واستبدالها بالمعادلة الأصلية. أو طريقة الطرح والجمع حدًا تلو الآخر. لكن طريقة غاوس تعتبر الأسهل والأكثر عالمية. يجعل من الممكن حل المعادلات مع أي عدد من المجهولين. لماذا تعتبر هذه التقنية بالذات عقلانية؟ انها بسيطة. الشيء الجيد في طريقة المصفوفة هو أنها لا تتطلب إعادة كتابة الرموز غير الضرورية عدة مرات على أنها رموز مجهولة؛ يكفي إجراء عمليات حسابية على المعاملات - وستحصل على نتيجة موثوقة.

أين يتم استخدام SLAEs في الممارسة العملية؟

الحل لـ SLAEs هو نقاط تقاطع الخطوط على الرسوم البيانية للوظائف. في عصر الكمبيوتر عالي التقنية لدينا، يحتاج الأشخاص المرتبطون ارتباطًا وثيقًا بتطوير الألعاب والبرامج الأخرى إلى معرفة كيفية حل هذه الأنظمة وما تمثله وكيفية التحقق من صحة النتيجة الناتجة. في أغلب الأحيان، يقوم المبرمجون بتطوير برامج خاصة للجبر الخطي، والتي تتضمن أيضًا نظام المعادلات الخطية. تتيح لك طريقة غاوس حساب جميع الحلول الموجودة. كما يتم استخدام صيغ وتقنيات مبسطة أخرى.

معيار التوافق SLAU

لا يمكن حل مثل هذا النظام إلا إذا كان متوافقًا. من أجل الوضوح، دعونا نمثل SLAE في النموذج Ax=b. لها حل إذا كان رن (أ) يساوي رانج (أ، ب). في هذه الحالة، (A,b) عبارة عن مصفوفة ذات شكل موسع يمكن الحصول عليها من المصفوفة A عن طريق إعادة كتابتها بشروط حرة. اتضح أن حل المعادلات الخطية باستخدام الطريقة الغوسية أمر سهل للغاية.

ربما بعض الرموز ليست واضحة تماما، لذلك من الضروري النظر في كل شيء مع مثال. لنفترض أن هناك نظامًا: x+y=1; 2س-3ص=6. تتكون من معادلتين فقط، يوجد فيهما مجهولان. لن يكون للنظام حل إلا إذا كانت رتبة مصفوفته تساوي رتبة المصفوفة الموسعة. ما هي الرتبة؟ هذا هو عدد الخطوط المستقلة للنظام. في حالتنا، رتبة المصفوفة هي 2. ستتكون المصفوفة A من معاملات موجودة بالقرب من المجهول، والمعاملات الموجودة خلف علامة "=" تتناسب أيضًا مع المصفوفة الموسعة.

لماذا يمكن تمثيل SLAEs في شكل مصفوفة؟

استنادا إلى معيار التوافق وفقا لنظرية كرونيكر-كابيلي المثبتة، يمكن تمثيل نظام المعادلات الجبرية الخطية في شكل مصفوفة. باستخدام طريقة Gaussian cascade، يمكنك حل المصفوفة والحصول على إجابة واحدة موثوقة للنظام بأكمله. إذا كانت رتبة المصفوفة العادية تساوي رتبة مصفوفتها الموسعة ولكنها أقل من عدد المجهولات، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الإجابات.

تحويلات المصفوفة

قبل الانتقال إلى حل المصفوفات، عليك أن تعرف ما هي الإجراءات التي يمكن تنفيذها على عناصرها. هناك العديد من التحولات الأولية:

• من خلال إعادة كتابة النظام في شكل مصفوفة وحلها، يمكنك ضرب جميع عناصر السلسلة بنفس المعامل.
• من أجل تحويل المصفوفة إلى شكل قانوني، يمكنك تبديل صفين متوازيين. يشير الشكل المتعارف عليه إلى أن جميع عناصر المصفوفة الموجودة على طول القطر الرئيسي تصبح عناصر واحدة، والعناصر المتبقية تصبح أصفارًا.
• يمكن إضافة العناصر المقابلة للصفوف المتوازية للمصفوفة مع بعضها البعض.

طريقة جوردان غاوس

إن جوهر حل أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام الطريقة الغوسية هو التخلص التدريجي من المجهول. لنفترض أن لدينا نظامًا من معادلتين يوجد فيهما مجهولان. للعثور عليهم، تحتاج إلى التحقق من توافق النظام. تم حل المعادلة بكل بساطة باستخدام طريقة غاوس. من الضروري كتابة المعاملات الموجودة بالقرب من كل مجهول في شكل مصفوفة. لحل النظام، سوف تحتاج إلى كتابة المصفوفة الموسعة. إذا كانت إحدى المعادلات تحتوي على عدد أقل من العناصر المجهولة، فيجب وضع "0" بدلاً من العنصر المفقود. يتم تطبيق جميع طرق التحويل المعروفة على المصفوفة: الضرب، والقسمة على رقم، وإضافة عناصر السلسلة المقابلة لبعضها البعض، وغيرها. اتضح أنه في كل صف من الضروري ترك متغير واحد بالقيمة "1"، يجب تعيين الباقي على الصفر. للحصول على فهم أكثر دقة، من الضروري النظر في طريقة غاوس مع الأمثلة.

مثال بسيط لحل نظام 2x2

في البداية، لنأخذ نظامًا بسيطًا من المعادلات الجبرية، حيث سيكون هناك مجهولان.

دعونا نعيد كتابتها في مصفوفة موسعة.

لحل هذا النظام من المعادلات الخطية، هناك حاجة إلى عمليتين فقط. نحتاج إلى إعادة المصفوفة إلى الشكل الأساسي بحيث تكون هناك مصفوفات على طول القطر الرئيسي. لذلك، وبالتحويل من صيغة المصفوفة مرة أخرى إلى النظام، نحصل على المعادلتين: 1x+0y=b1 و0x+1y=b2، حيث b1 وb2 هما الإجابات الناتجة في عملية الحل.

1. الإجراء الأول عند حل مصفوفة موسعة سيكون كما يلي: يجب ضرب الصف الأول في -7 وإضافة العناصر المقابلة إلى الصف الثاني للتخلص من عنصر مجهول في المعادلة الثانية.
2. بما أن حل المعادلات باستخدام طريقة غاوس يتضمن اختزال المصفوفة إلى الشكل القانوني، فمن الضروري إجراء نفس العمليات مع المعادلة الأولى وإزالة المتغير الثاني. للقيام بذلك، نطرح السطر الثاني من الأول ونحصل على الإجابة المطلوبة - حل SLAE. أو، كما هو موضح في الشكل، نضرب الصف الثاني بعامل -1 ونضيف عناصر الصف الثاني إلى الصف الأول. إنه نفس الشيء.

كما نرى، تم حل نظامنا باستخدام طريقة جوردان-غاوس. نعيد كتابتها بالشكل المطلوب: x=-5, y=7.

مثال على حل 3x3 SLAE

لنفترض أن لدينا نظامًا أكثر تعقيدًا من المعادلات الخطية. تتيح طريقة Gaussian حساب الإجابة حتى بالنسبة للنظام الأكثر إرباكًا. لذلك، من أجل التعمق أكثر في منهجية الحساب، يمكنك الانتقال إلى مثال أكثر تعقيدًا يحتوي على ثلاثة مجاهيل.

كما في المثال السابق، نعيد كتابة النظام على شكل مصفوفة موسعة ونبدأ بإعادته إلى شكله الأساسي.

لحل هذا النظام، ستحتاج إلى تنفيذ إجراءات أكثر بكثير مما في المثال السابق.

1. تحتاج أولاً إلى جعل العمود الأول عنصر وحدة واحدة والباقي أصفار. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى في -1 وأضف المعادلة الثانية إليها. من المهم أن نتذكر أننا نعيد كتابة السطر الأول بشكله الأصلي، والثاني بصيغته المعدلة.
2. بعد ذلك، نحذف نفس المجهول الأول من المعادلة الثالثة. للقيام بذلك، اضرب عناصر الصف الأول في -2 وأضفها إلى الصف الثالث. الآن تتم إعادة كتابة السطرين الأول والثاني بشكلهما الأصلي، والثالث - مع التغييرات. كما ترون من النتيجة، حصلنا على الأول في بداية القطر الرئيسي للمصفوفة والأصفار المتبقية. بضع خطوات أخرى، وسيتم حل نظام المعادلات بالطريقة الغوسية بشكل موثوق.
3. أنت الآن بحاجة إلى إجراء عمليات على عناصر أخرى من الصفوف. يمكن دمج الإجراءين الثالث والرابع في إجراء واحد. نحتاج إلى تقسيم الخطين الثاني والثالث على -1 للتخلص من السالب الموجود على القطر. لقد قمنا بالفعل بإحضار السطر الثالث إلى النموذج المطلوب.
4. بعد ذلك نحضر السطر الثاني إلى الشكل القانوني. للقيام بذلك، اضرب عناصر الصف الثالث في -3 وأضفها إلى الصف الثاني من المصفوفة. يتضح من النتيجة أن السطر الثاني قد تم اختصاره أيضًا إلى الشكل الذي نحتاجه. يبقى إجراء عدد قليل من العمليات وإزالة معاملات المجهول من السطر الأول.
5. للحصول على 0 من العنصر الثاني في الصف، تحتاج إلى ضرب الصف الثالث في -3 وإضافته إلى الصف الأول.
6. ستكون الخطوة الحاسمة التالية هي إضافة العناصر الضرورية للصف الثاني إلى الصف الأول. بهذه الطريقة نحصل على الشكل القانوني للمصفوفة، وبالتالي نحصل على الإجابة.

كما ترون، حل المعادلات باستخدام طريقة غاوس بسيط للغاية.

مثال على حل نظام المعادلات 4x4

يمكن حل بعض أنظمة المعادلات الأكثر تعقيدًا باستخدام طريقة غاوس باستخدام برامج الكمبيوتر. من الضروري إدخال معاملات المجهول في الخلايا الفارغة الموجودة، وسيقوم البرنامج نفسه بحساب النتيجة المطلوبة خطوة بخطوة، مع وصف كل إجراء بالتفصيل.

تم توضيح الإرشادات خطوة بخطوة لحل مثل هذا المثال أدناه.

في الخطوة الأولى، يتم إدخال المعاملات الحرة والأرقام للمجهول في الخلايا الفارغة. وهكذا نحصل على نفس المصفوفة الموسعة التي نكتبها يدويًا.

ويتم تنفيذ جميع العمليات الحسابية اللازمة لإرجاع المصفوفة الموسعة إلى شكلها القانوني. من الضروري أن نفهم أن الإجابة على نظام المعادلات ليست دائمًا أعدادًا صحيحة. في بعض الأحيان قد يكون الحل من الأعداد الكسرية.

التحقق من صحة الحل

تنص طريقة Jordan-Gauss على التحقق من صحة النتيجة. من أجل معرفة ما إذا كانت المعاملات قد تم حسابها بشكل صحيح، تحتاج فقط إلى استبدال النتيجة في نظام المعادلات الأصلي. يجب أن يتطابق الجانب الأيسر من المعادلة مع الجانب الأيمن خلف علامة المساواة. إذا كانت الإجابات غير متطابقة، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب النظام أو محاولة تطبيق طريقة أخرى لحل SLAEs المعروفة لديك، مثل الاستبدال أو الطرح والجمع حدًا تلو الآخر. بعد كل شيء، الرياضيات علم يحتوي على عدد كبير من طرق الحل المختلفة. لكن تذكر: النتيجة يجب أن تكون دائمًا هي نفسها، بغض النظر عن طريقة الحل التي استخدمتها.

طريقة غاوس: الأخطاء الأكثر شيوعا عند حل SLAEs

عند حل أنظمة المعادلات الخطية، غالبًا ما تحدث أخطاء مثل النقل غير الصحيح للمعاملات إلى شكل مصفوفة. هناك أنظمة تكون فيها بعض المجهولات مفقودة من إحدى المعادلات، ومن ثم عند نقل البيانات إلى مصفوفة موسعة، يمكن فقدانها. ونتيجة لذلك، عند حل هذا النظام، قد لا تتوافق النتيجة مع النتيجة الفعلية.

قد يكون هناك خطأ كبير آخر وهو كتابة النتيجة النهائية بشكل غير صحيح. من الضروري أن نفهم بوضوح أن المعامل الأول سوف يتوافق مع المجهول الأول من النظام، والثاني - إلى الثاني، وما إلى ذلك.

تصف طريقة غاوس بالتفصيل حل المعادلات الخطية. بفضله، من السهل إجراء العمليات اللازمة وإيجاد النتيجة الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك، فهذه أداة عالمية للعثور على إجابة موثوقة للمعادلات بأي تعقيد. ربما لهذا السبب يتم استخدامه كثيرًا عند حل اتفاقيات مستوى الخدمة (SLAEs).

تجد هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت الحل لنظام المعادلات الخطية (SLE) باستخدام الطريقة الغوسية. ويرد حل مفصل. لإجراء الحساب، حدد عدد المتغيرات وعدد المعادلات. ثم أدخل البيانات في الخلايا وانقر على زر "حساب".

× 1 +× 2 +× 3 × 1 +× 2 +× 3 × 1 +× 2 +× 3 = = =

تمثيل الرقم:

الأعداد الصحيحة و/أو الكسور المشتركة
الأعداد الصحيحة و/أو الكسور العشرية

عدد الأماكن بعد الفاصلة العشرية

×

تحذير

مسح كافة الخلايا؟

إغلاق واضح

تعليمات إدخال البيانات.يتم إدخال الأرقام كأعداد صحيحة (أمثلة: 487، 5، -7623، وما إلى ذلك)، أو كسور عشرية (مثل 67، 102.54، وما إلى ذلك) أو كسور. يجب إدخال الكسر بالصيغة a/b، حيث a وb (b>0) عبارة عن أعداد صحيحة أو أعداد عشرية. أمثلة 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، إلخ.

طريقة غاوس

طريقة غاوس هي طريقة للانتقال من النظام الأصلي للمعادلات الخطية (باستخدام التحويلات المكافئة) إلى نظام أسهل في الحل من النظام الأصلي.

التحويلات المكافئة لنظام المعادلات الخطية هي:

• تبديل معادلتين في النظام
• ضرب أي معادلة في النظام بعدد حقيقي غير الصفر،
• إضافة إلى معادلة واحدة معادلة أخرى مضروبة في رقم اعتباطي.

النظر في نظام المعادلات الخطية:

(1)

دعونا نكتب النظام (1) في شكل مصفوفة:

الفأس = ب

(2)

(3)

أ- تسمى مصفوفة المعاملات للنظام، ب- الجانب الأيمن من القيود، س- متجه المتغيرات التي سيتم العثور عليها. دع الرتبة( أ)=ص.

لا تغير التحويلات المكافئة رتبة مصفوفة المعاملات ورتبة المصفوفة الموسعة للنظام. كما أن مجموعة حلول النظام لا تتغير في ظل التحولات المكافئة. جوهر طريقة غاوس هو تقليل مصفوفة المعاملات أإلى قطري أو صعدت.

دعونا نبني مصفوفة موسعة للنظام:

في المرحلة التالية، نقوم بإعادة تعيين جميع عناصر العمود 2، أسفل العنصر. إذا كان هذا العنصر صفرًا، فسيتم تبديل هذا الصف بالصف الموجود أسفل هذا الصف وبه عنصر غير الصفر في العمود الثاني. بعد ذلك، قم بإعادة تعيين كافة عناصر العمود 2 أسفل العنصر البادئ أ 22. للقيام بذلك، أضف الأسطر 3، ... ممع السلسلة 2 مضروبة في - أ 32 /أ 22 , ..., −أم2/ أ 22 على التوالي. بمواصلة الإجراء، نحصل على مصفوفة ذات شكل قطري أو متدرج. دع المصفوفة الموسعة الناتجة لها النموذج:

(7)

لأن rangA=rang(أ|ب)، فإن مجموعة الحلول (7) هي ( ن-ص)- متنوعة. لذلك ن-صيمكن اختيار المجهولين بشكل تعسفي. يتم حساب المجهول المتبقي من النظام (7) على النحو التالي. من المعادلة الأخيرة نعبر عنها س p من خلال المتغيرات المتبقية وإدراجها في التعبيرات السابقة. بعد ذلك، من المعادلة قبل الأخيرة نعبر عنها س p−1 من خلال المتغيرات المتبقية وإدراجها في التعبيرات السابقة، وما إلى ذلك. دعونا نفكر في طريقة غاوس باستخدام أمثلة محددة.

أمثلة على حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

مثال 1. أوجد حلاً عامًا لنظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس:

دعونا نشير بواسطة أعناصر إي أنا- السطر و يالعمود العاشر.

أ 1 1 . للقيام بذلك، أضف الأسطر 2،3 مع السطر 1، مضروبًا في -2/3، -1/2، على التوالي:

نوع تسجيل المصفوفة: الفأس = ب، أين

دعونا نشير بواسطة أعناصر إي أنا- السطر و يالعمود العاشر.

لنستبعد عناصر العمود الأول من المصفوفة الموجودة أسفل العنصر أ 11. للقيام بذلك، أضف الأسطر 2،3 مع السطر 1، مضروبًا في -1/5، -6/5، على التوالي:

نقسم كل صف من المصفوفة على العنصر البادئ المقابل (إذا كان العنصر البادئ موجودًا):

أين س 3 , س

باستبدال التعبيرات العلوية بالتعبيرات السفلية، نحصل على الحل.

ثم يمكن تمثيل الحل المتجه على النحو التالي:

أين س 3 , س 4 هي أرقام حقيقية تعسفية.

في هذه المقالة، تعتبر الطريقة بمثابة طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAEs). الطريقة تحليلية، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية الحل بشكل عام، ثم استبدال القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو صيغ كرامر، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي لديها عدد لا حصر له من الحلول. أو أنهم لا يملكونها على الإطلاق.

ماذا يعني الحل باستخدام الطريقة الغوسية؟

أولًا، علينا كتابة نظام المعادلات. يبدو بهذا الشكل. خذ النظام:

تُكتب المعاملات على شكل جدول، وتُكتب الحدود الحرة في عمود منفصل على اليمين. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء مجانيين من أجل الراحة، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود ممتدة.

بعد ذلك، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى شكل مثلث علوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام باستخدام الطريقة الغوسية. ببساطة، بعد بعض التلاعبات، يجب أن تبدو المصفوفة بحيث يحتوي الجزء السفلي الأيسر منها على أصفار فقط:

بعد ذلك، إذا قمت بكتابة المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام من المعادلات، ستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور، والذي يتم بعد ذلك استبداله في المعادلة أعلاه، ويتم العثور على جذر آخر، وهكذا.

هذا وصف للحل بالطريقة الغوسية بالمصطلحات الأكثر عمومية. ماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا نهائيًا منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في حل الطريقة الغوسية.

المصفوفات، خصائصها

لا يوجد معنى خفي في المصفوفة. هذه ببساطة طريقة ملائمة لتسجيل البيانات للعمليات اللاحقة بها. حتى تلاميذ المدارس لا يحتاجون إلى الخوف منهم.

المصفوفة دائمًا مستطيلة لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة غاوس، حيث يتلخص كل شيء في بناء مصفوفة ذات شكل مثلث، يظهر مستطيل في الإدخال، فقط مع وجود أصفار في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. قد لا تكون الأصفار مكتوبة، لكنها ضمنية.

المصفوفة لها حجم. "العرض" هو عدد الصفوف (م)، "الطول" هو عدد الأعمدة (ن). ثم سيتم الإشارة إلى حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف اللاتينية الكبيرة للدلالة عليها) على أنها A m×n. إذا كانت m=n، فهذه المصفوفة مربعة، وm=n هو ترتيبها. وفقًا لذلك، يمكن الإشارة إلى أي عنصر في المصفوفة A بأرقام الصفوف والأعمدة الخاصة به: a xy ; x - رقم الصف، التغييرات، y - رقم العمود، التغييرات.

B ليست النقطة الرئيسية في القرار. من حيث المبدأ، يمكن تنفيذ جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها، لكن التدوين سيكون أكثر تعقيدًا، وسيكون الخلط فيه أسهل بكثير.

محدد

المصفوفة لديها أيضا محدد. هذه خاصية مهمة جدا. ليست هناك حاجة لمعرفة معناها الآن؛ يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابها، ثم معرفة خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة للعثور على المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الوهمية في المصفوفة؛ يتم مضاعفة العناصر الموجودة على كل منها، ثم تضاف المنتجات الناتجة: الأقطار مع منحدر إلى اليمين - مع علامة زائد، مع منحدر إلى اليسار - مع علامة ناقص.

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. بالنسبة للمصفوفة المستطيلة، يمكنك القيام بما يلي: اختر الأصغر من بين عدد الصفوف وعدد الأعمدة (فليكن k)، ثم قم بوضع علامة بشكل عشوائي على أعمدة k وصفوف k في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة مصفوفة مربعة جديدة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة رقما غير الصفر، فإنه يسمى الأساس الأصغر للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

قبل البدء في حل نظام المعادلات باستخدام طريقة غاوس، لن يضر حساب المحدد. إذا تبين أنها صفر، فيمكننا القول على الفور أن المصفوفة إما تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو لا تحتوي على أي شيء على الإطلاق. في مثل هذه الحالة الحزينة، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتتعرف على رتبة المصفوفة.

تصنيف النظام

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الترتيب الأقصى لمحددها غير الصفر (إذا تذكرنا الأساس الصغير، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

بناءً على الوضع مع الرتبة، يمكن تقسيم SLAE إلى:

• مشترك. شفي الأنظمة المشتركة، تتطابق رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون من المعاملات فقط) مع رتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات الحرة). مثل هذه الأنظمة لها حل، ولكن ليس بالضرورة حلًا واحدًا، لذلك تنقسم الأنظمة المشتركة أيضًا إلى:
• - تأكيد- وجود حل واحد. في بعض الأنظمة، تكون رتبة المصفوفة وعدد المجهولين (أو عدد الأعمدة، وهو نفس الشيء) متساويين؛
• - غير محدد -مع عدد لا نهائي من الحلول . رتبة المصفوفات في مثل هذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
• غير متوافق. شفي مثل هذه الأنظمة، لا تتطابق صفوف المصفوفات الرئيسية والممتدة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

تعتبر طريقة غاوس جيدة لأنها تسمح أثناء الحل بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (دون حساب محددات المصفوفات الكبيرة)، أو حل بشكل عام لنظام يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.

التحولات الأولية

قبل الشروع مباشرة في حل النظام، يمكنك جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة لإجراء العمليات الحسابية. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المعطاة صالحة فقط للمصفوفات التي كان مصدرها SLAE. وفيما يلي قائمة بهذه التحولات:

1. إعادة ترتيب السلاسل. من الواضح أنه إذا قمت بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي، يمكن أيضًا تبديل الصفوف الموجودة في مصفوفة هذا النظام، دون أن ننسى بالطبع عمود المصطلحات المجانية.
2. ضرب جميع عناصر السلسلة بمعامل معين. مفيد جدا! يمكن استخدامه لتقليل الأعداد الكبيرة في المصفوفة أو إزالة الأصفار. العديد من القرارات، كالعادة، لن تتغير، لكن العمليات الإضافية ستصبح أكثر ملاءمة. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
3. إزالة الصفوف مع العوامل التناسبية. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في مصفوفة معاملات متناسبة، فعند ضرب/قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب، يتم الحصول على صفين (أو مرة أخرى أكثر) متطابقين تمامًا، ويمكن إزالة الصفوف الإضافية، مما يترك واحد فقط.
4. إزالة سطر فارغ. إذا تم الحصول على صف أثناء التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر، بما في ذلك الحد الحر، صفرًا، فيمكن تسمية هذا الصف بالصفر وإلقائه خارج المصفوفة.
5. إضافة عناصر صف واحد إلى عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيه بمزيد من التفصيل.

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم، يجدر تقسيم هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب1

أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2

لنفترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني مضروبًا في المعامل "-2".

أ" 21 = أ 21 + -2 × أ 11

أ" 22 = أ 22 + -2 × أ 12

أ" 2ن = أ 2ن + -2×أ 1ن

ثم يتم استبدال الصف الثاني في المصفوفة بآخر جديد، ويبقى الأول دون تغيير.

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب1

أ" 21 أ" 22 ... أ" 2 ن | ب 2

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار معامل الضرب بحيث يكون أحد عناصر الصف الجديد، نتيجة إضافة صفين، يساوي الصفر. لذلك، من الممكن الحصول على معادلة في نظام حيث سيكون هناك معادلة أقل مجهولة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي على عدد أقل من المجهولين. وإذا قمت في كل مرة بتحويل معامل واحد لجميع الصفوف التي هي أقل من الواحد الأصلي إلى صفر، فيمكنك، مثل الدرج، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة بمجهول واحد. وهذا ما يسمى حل النظام باستخدام طريقة غاوس.

على العموم

فليكن هناك نظام. لديها معادلات m وجذور n غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. تتم إضافة عمود من المصطلحات المجانية إلى المصفوفة الموسعة، ويتم فصلها بخط من أجل الراحة.

• يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 /a 11);
• تتم إضافة الصف المعدل الأول والصف الثاني من المصفوفة؛
• بدلا من الصف الثاني، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة؛
• الآن المعامل الأول في الصف الثاني الجديد هو 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

الآن يتم تنفيذ نفس سلسلة التحولات، ويشارك فقط الصفين الأول والثالث. وفقًا لذلك، في كل خطوة من الخوارزمية، يتم استبدال العنصر 21 بالعنصر 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41، ... m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف هو صفر. أنت الآن بحاجة إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

• معامل ك = (-أ 32 /أ 22)؛
• ويضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي"؛
• يتم استبدال نتيجة الإضافة في السطر الثالث والرابع وما إلى ذلك، بينما يظل الأول والثاني دون تغيير؛
• في صفوف المصفوفة، العنصران الأولان يساويان الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m,m-1 /a mm). وهذا يعني أن آخر مرة تم فيها تنفيذ الخوارزمية كانت للمعادلة الأدنى فقط. تبدو المصفوفة الآن مثل المثلث، أو لها شكل متدرج. في الخلاصة هناك المساواة a mn × x n = b m. المعامل والحد الحر معروفان، ويعبر عنهما الجذر: x n = b m /a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في السطر العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. وهكذا عن طريق القياس: في كل سطر لاحق يوجد جذر جديد، وبعد أن وصلت إلى "قمة" النظام، يمكنك العثور على العديد من الحلول. وسوف يكون الوحيد.

عندما لا يكون هناك حلول

إذا كانت جميع العناصر في أحد صفوف المصفوفات، باستثناء الحد الحر، تساوي صفرًا، فستبدو المعادلة المقابلة لهذا الصف مثل 0 = b. ليس لها حل. وبما أن هذه المعادلة مدرجة في النظام، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة، أي أنها تتدهور.

عندما يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول

قد يحدث أنه في المصفوفة المثلثية المعطاة لا توجد صفوف تحتوي على عنصر معامل واحد في المعادلة وحد حر واحد. لا يوجد سوى سطور تبدو، عند إعادة كتابتها، كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. وهذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف تفعل هذا؟

تنقسم جميع المتغيرات في المصفوفة إلى أساسية ومجانية. الأساسية هي تلك التي تقف "على حافة" الصفوف في مصفوفة الخطوات. الباقي مجاني. في الحل العام يتم كتابة المتغيرات الأساسية من خلال المتغيرات الحرة.

للراحة، يتم إعادة كتابة المصفوفة أولا مرة أخرى في نظام المعادلات. ثم في الأخير، حيث لم يتبق سوى متغير أساسي واحد بالضبط، فإنه يبقى على جانب واحد، ويتم نقل كل شيء آخر إلى الجانب الآخر. ويتم ذلك لكل معادلة ذات متغير أساسي واحد. ثم، في المعادلات المتبقية، حيثما أمكن ذلك، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه بدلاً من المتغير الأساسي. إذا كانت النتيجة مرة أخرى عبارة عن تعبير يحتوي على متغير أساسي واحد فقط، فسيتم التعبير عنه مرة أخرى من هناك، وهكذا، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير بمتغيرات حرة. هذا هو الحل العام لـ SLAE.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - إعطاء المتغيرات الحرة أي قيم، ثم في هذه الحالة المحددة قم بحساب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا حصر له من الحلول المحددة التي يمكن تقديمها.

الحل مع أمثلة محددة

هنا نظام المعادلات.

للراحة، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور

ومن المعروف أنه عند حلها بالطريقة الغوسية فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى كما هي عند نهاية التحويلات. ولذلك، سيكون أكثر ربحية إذا كان العنصر العلوي الأيسر من المصفوفة هو الأصغر - ثم العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات سوف تتحول إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني بدلاً من الصف الأول.

السطر الثاني: ك = (-أ 21 /أ 11) = (-3/1) = -3

أ" 21 = أ 21 + ك×أ 11 = 3 + (-3)×1 = 0

أ" 22 = أ 22 + ك×أ 12 = -1 + (-3)×2 = -7

أ" 23 = أ 23 + ك×أ 13 = 1 + (-3)×4 = -11

ب" 2 = ب 2 + ك×ب 1 = 12 + (-3)×12 = -24

السطر الثالث: ك = (-أ 3 1 /أ 11) = (-5/1) = -5

أ" 3 1 = أ 3 1 + ك×أ 11 = 5 + (-5)×1 = 0

أ" 3 2 = أ 3 2 + ك×أ 12 = 1 + (-5)×2 = -9

أ" 3 3 = أ 33 + ك×أ 13 = 2 + (-5)×4 = -18

ب" 3 = ب 3 + ك×ب 1 = 3 + (-5)×12 = -57

الآن، لكي لا تشعر بالارتباك، تحتاج إلى كتابة مصفوفة مع النتائج المتوسطة للتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك باستخدام عمليات معينة. على سبيل المثال، يمكنك إزالة جميع "السلبيات" من السطر الثاني عن طريق ضرب كل عنصر في "-1".

ومن الجدير بالذكر أيضًا أن جميع العناصر في السطر الثالث هي مضاعفات العدد ثلاثة. ثم يمكنك تقصير السلسلة بهذا الرقم، وضرب كل عنصر بـ "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت، لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. الآن نحن بحاجة إلى ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع الثاني والثالث. وتتمثل المهمة في إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث، مضروبًا في المعامل الذي يجعل العنصر 32 يساوي الصفر.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (إذا لم يتبين أن الإجابة خلال بعض التحويلات عدد صحيح، فمن المستحسن الحفاظ على دقة الحسابات للمغادرة "كما هي"، في شكل كسور عادية، وعندها فقط، عند تلقي الإجابات، تقرر ما إذا كان سيتم التقريب والتحويل إلى شكل آخر من أشكال التسجيل)

أ" 32 = أ 32 + ك×أ 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

أ" 33 = أ 33 + ك×أ 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

ب" 3 = ب 3 + ك×ب 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

تتم كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

كما ترون، فإن المصفوفة الناتجة لديها بالفعل شكل متدرج. ولذلك، ليست هناك حاجة إلى مزيد من التحولات للنظام باستخدام طريقة غاوس. ما يمكنك فعله هنا هو إزالة المعامل الإجمالي "-1/7" من السطر الثالث.

الآن كل شيء جميل. كل ما علينا فعله هو كتابة المصفوفة مرة أخرى في صورة نظام معادلات وحساب الجذور

س + 2ص + 4ض = 12 (1)

7ص + 11ض = 24 (2)

تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في الطريقة الغوسية. تحتوي المعادلة (3) على القيمة z:

ص = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

والمعادلة الأولى تسمح لنا بإيجاد x:

س = (12 - 4ض - 2ص)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

لدينا الحق في أن نطلق على مثل هذا النظام اسم مشترك، بل ومحدد، أي أن له حلًا فريدًا. الجواب مكتوب على الشكل التالي :

س 1 = -2/3، ص = -65/9، ض = 61/9.

مثال على نظام غير مؤكد

تم تحليل البديل لحل نظام معين باستخدام طريقة غاوس؛ والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير مؤكد، أي أنه يمكن إيجاد عدد لا نهائي من الحلول له.

س 1 + س 2 + س 3 + س 4 + س 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

× 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - س 5 = 12 (4)

إن مظهر النظام ذاته مثير للقلق بالفعل، لأن عدد المجهولين هو n = 5، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالضبط من هذا الرقم، لأن عدد الصفوف هو m = 4، أي، أعلى ترتيب لمربع المحدد هو 4. وهذا يعني أن هناك عدد لا حصر له من الحلول، وعليك أن تبحث عن مظهره العام. تتيح لك طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.

أولا، كالعادة، يتم تجميع مصفوفة موسعة.

السطر الثاني: المعامل ك = (-أ 21 /أ 11) = -3. في السطر الثالث، العنصر الأول هو قبل التحولات، لذلك لا تحتاج إلى لمس أي شيء، تحتاج إلى تركه كما هو. السطر الرابع: ك = (-أ 4 1 /أ 11) = -5

وبضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المطلوبة نحصل على مصفوفة بالشكل التالي:

كما ترون، يتكون الصفوف الثاني والثالث والرابع من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. الثاني والرابع متطابقان بشكل عام، لذلك يمكن إزالة أحدهما على الفور، ويمكن ضرب الباقي بالمعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة ​​أخرى، من بين سطرين متطابقين، اترك واحدًا.

والنتيجة هي مصفوفة مثل هذا. في حين أن النظام لم يتم تدوينه بعد، فمن الضروري تحديد المتغيرات الأساسية هنا - تلك التي تقف عند المعاملات a 11 = 1 و 22 = 1، والمتغيرات الحرة - كل الباقي.

في المعادلة الثانية يوجد متغير أساسي واحد فقط - x 2. هذا يعني أنه يمكن التعبير عنه من هناك عن طريق كتابته من خلال المتغيرات x 3 , x 4 , x 5 , وهي مجانية.

نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.

والنتيجة هي معادلة حيث المتغير الأساسي الوحيد هو x 1 . لنفعل نفس الشيء كما هو الحال مع x 2.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية، والتي يوجد منها اثنان، بثلاثة متغيرات حرة؛ والآن يمكننا كتابة الإجابة في الصورة العامة.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة بالنظام. في مثل هذه الحالات، عادة ما يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. عندها يكون الجواب:

16, 23, 0, 0, 0.

مثال على النظام غير التعاوني

يعد حل أنظمة المعادلات غير المتوافقة باستخدام الطريقة الغوسية هو الأسرع. وينتهي فورًا بمجرد الحصول في إحدى المراحل على معادلة ليس لها حل. أي أنه تم التخلص من مرحلة حساب الجذور، وهي مرحلة طويلة جدًا ومملة. ويراعى النظام التالي :

س + ص - ض = 0 (1)

2س - ص - ض = -2 (2)

4س + ص - 3ض = 5 (3)

كالعادة، يتم تجميع المصفوفة:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

ويتم اختصاره إلى شكل تدريجي:

ك 1 = -2 ك 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

بعد التحويل الأول، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج

بدون حل. وبالتالي فإن النظام غير متناسق، والإجابة ستكون المجموعة الفارغة.

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت طريقة حل SLAEs على الورق باستخدام قلم، فإن الطريقة التي تمت مناقشتها في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. إن الخلط بين التحويلات الأولية أصعب بكثير مما لو كان عليك البحث يدويًا عن محدد أو مصفوفة معكوسة صعبة. ومع ذلك، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع، على سبيل المثال، جداول البيانات، فقد اتضح أن هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد، والقصر، والعكس، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الآلة ستحسب هذه القيم بنفسها ولن تخطئ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفات أو صيغ كرامر، لأن استخدامها يبدأ وينتهي بحساب المحددات والمصفوفات العكسية.

طلب

نظرًا لأن الحل Gaussian عبارة عن خوارزمية، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن بما أن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى"، فيجب القول أن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات، على سبيل المثال، Excel. مرة أخرى، سيتم اعتبار أي SLAE يتم إدخاله في جدول على شكل مصفوفة بواسطة Excel بمثابة مصفوفة ثنائية الأبعاد. وبالنسبة للعمليات، هناك العديد من الأوامر اللطيفة: الجمع (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد، فمن الممكن تحديد رتبة المصفوفة بسرعة أكبر، وبالتالي تحديد توافقها أو عدم توافقها.