تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي في حل المسائل. التطوير المنهجي "طريقة الاستقراء الرياضي"

طريقة الحث الرياضي

كلمة الاستقراء باللغة الروسية تعني التوجيه، والاستنتاجات المبنية على الملاحظات والتجارب، أي تسمى استقرائية. يتم الحصول عليها عن طريق الاستدلال من الخاص إلى العام.

على سبيل المثال، كل يوم نلاحظ أن الشمس تشرق من الشرق. لذلك، يمكنك التأكد من أنه سيظهر غدا في الشرق، وليس في الغرب. نستنتج هذا الاستنتاج دون اللجوء إلى أي افتراضات حول سبب حركة الشمس عبر السماء (علاوة على ذلك، فإن هذه الحركة نفسها واضحة، لأن الكرة الأرضية تتحرك بالفعل). ومع ذلك، فإن هذا الاستنتاج الاستقرائي يصف بشكل صحيح الملاحظات التي سنقدمها غدًا.

دور الاستنتاجات الاستقرائية في العلوم التجريبية عظيم جدا. إنهم يقدمون تلك الأحكام التي يتم من خلالها استخلاص استنتاجات أخرى من خلال الاستنباط. وعلى الرغم من أن الميكانيكا النظرية تعتمد على قوانين نيوتن الثلاثة للحركة، إلا أن هذه القوانين نفسها كانت نتيجة تفكير عميق من خلال البيانات التجريبية، ولا سيما قوانين كيبلر لحركة الكواكب، والتي اشتقها من معالجة سنوات عديدة من الملاحظات التي أجراها عالم الفلك الدنماركي تايكو. براهي. تبين أن الملاحظة والاستقراء مفيدان في المستقبل لتوضيح الافتراضات المقدمة. بعد تجارب ميكلسون في قياس سرعة الضوء في وسط متحرك، تبين أنه من الضروري توضيح قوانين الفيزياء وإنشاء النظرية النسبية.

في الرياضيات، يتمثل دور الاستقراء إلى حد كبير في أنه يكمن وراء البديهيات المختارة. بعد أن أظهرت الممارسة طويلة الأمد أن المسار المستقيم دائمًا أقصر من المسار المنحني أو المنكسر، كان من الطبيعي صياغة بديهية: بالنسبة لأي ثلاث نقاط A وB وC، فإن التباين

كما ظهر مفهوم التتبع، الذي هو أساس علم الحساب، من خلال ملاحظة تشكيل الجنود والسفن والمجموعات المرتبة الأخرى.

ومع ذلك، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن هذا يستنفد دور الاستقراء في الرياضيات. بالطبع، لا ينبغي لنا أن نختبر تجريبيًا النظريات المستنتجة منطقيًا من البديهيات: إذا لم تحدث أخطاء منطقية أثناء الاشتقاق، فهي صحيحة بقدر ما تكون البديهيات التي قبلناها صحيحة. ولكن يمكن استخلاص الكثير من العبارات من نظام البديهيات هذا. ويتم اقتراح اختيار تلك العبارات التي تحتاج إلى إثبات مرة أخرى عن طريق الاستقراء. وهذا هو الذي يسمح لك بفصل النظريات المفيدة عن النظريات غير المفيدة، ويشير إلى النظريات التي قد يتبين أنها صحيحة، بل ويساعد في تحديد مسار الإثبات.

جوهر طريقة الاستقراء الرياضي

في كثير من فروع الحساب والجبر والهندسة والتحليل، من الضروري إثبات صدق الجمل A(n) بالاعتماد على متغير طبيعي. غالبًا ما يمكن إثبات صحة الفرضية A(n) لجميع قيم المتغير عن طريق طريقة الاستقراء الرياضي، والتي تعتمد على المبدأ التالي.

يعتبر الاقتراح A(n) صحيحًا لجميع القيم الطبيعية للمتغير إذا تم استيفاء الشرطين التاليين:

الاقتراح A(n) صحيح بالنسبة لـ n=1.

من الافتراض أن A(n) صحيح بالنسبة لـ n=k (حيث k هو أي عدد طبيعي)، يترتب على ذلك أنه صحيح بالنسبة للقيمة التالية n=k+1.

ويسمى هذا المبدأ مبدأ الاستقراء الرياضي. وعادة ما يتم اختيارها كواحدة من البديهيات التي تحدد السلسلة الطبيعية للأرقام، وبالتالي يتم قبولها دون دليل.

طريقة الاستقراء الرياضي تعني طريقة الإثبات التالية. إذا كنت تريد إثبات صحة الجملة A(n) لجميع n الطبيعية، فيجب عليك أولاً التحقق من صحة العبارة A(1)، وثانيًا، بافتراض صحة العبارة A(k)، حاول إثبات أن العبارة A(k +1) صحيحة. إذا كان من الممكن إثبات ذلك، وظل الدليل صالحًا لكل قيمة طبيعية لـ k، فوفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي، يتم التعرف على الاقتراح A(n) على أنه صحيح لجميع قيم n.

تستخدم طريقة الاستقراء الرياضي على نطاق واسع في إثبات النظريات والمتطابقات والمتباينات وفي حل مسائل قابلية القسمة وفي حل بعض المسائل الهندسية والعديد من المسائل الأخرى.

أسلوب الاستقراء الرياضي في حل المسائل

قابلية القسمة

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، يمكنك إثبات العبارات المختلفة المتعلقة بقابلية قسمة الأعداد الطبيعية.

يمكن إثبات العبارة التالية ببساطة نسبيًا. دعونا نوضح كيف يتم الحصول عليه باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مثال 1. إذا كان n عددا طبيعيا، فإن العدد زوجي.

عندما يكون n=1 يكون عبارتنا صحيحة: - رقم زوجي. لنفترض أنه رقم زوجي. بما أن 2k هو رقم زوجي إذن حتى. لذلك، يتم إثبات التكافؤ لـ n=1، ويتم استنتاج التكافؤ من التكافؤ وهذا يعني أنه حتى بالنسبة لجميع القيم الطبيعية لـ n.

مثال 2.اثبات صحة الجملة

A(n)=(الرقم 5 هو من مضاعفات 19)، n هو عدد طبيعي.

حل.

العبارة A(1)=(عدد يقبل القسمة على 19) صحيحة.

لنفترض أنه بالنسبة لبعض القيمة n=k

A(k)=(العدد الذي يقبل القسمة على 19) صحيح. ثم منذ ذلك الحين

من الواضح أن A(k+1) صحيح أيضًا. في الواقع، الحد الأول قابل للقسمة على 19 بسبب افتراض أن A(k) صحيح؛ الحد الثاني أيضًا قابل للقسمة على 19 لأنه يحتوي على عامل 19. تم استيفاء كلا شرطي مبدأ الاستقراء الرياضي، وبالتالي فإن الفرضية A(n) صحيحة لجميع قيم n.

تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي

سلسلة الجمع

مثال 1.اثبات الصيغة

، n عدد طبيعي.

حل.

عندما يكون n=1، يتحول طرفا المساواة إلى واحد، وبالتالي يتحقق الشرط الأول لمبدأ الاستقراء الرياضي.

لنفترض أن الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n=k، أي

دعونا نضيف إلى طرفي هذه المساواة ونحول الجانب الأيمن. ثم نحصل

وبالتالي، من حقيقة أن الصيغة صحيحة بالنسبة لـ n=k، يترتب على ذلك أنها صحيحة أيضًا بالنسبة لـ n=k+1. هذه العبارة صحيحة بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ k. وبذلك يكون الشرط الثاني لمبدأ الاستقراء الرياضي قد تحقق أيضًا. تم إثبات الصيغة.

مثال 2.أثبت أن مجموع الأعداد n الأولى من السلسلة الطبيعية يساوي .

حل.

دعونا نشير إلى المبلغ المطلوب، أي. .

عندما ن = 1 تكون الفرضية صحيحة.

يترك . دعونا نظهر ذلك .

في الحقيقة،

تم حل المشكلة.

مثال 3.أثبت أن مجموع مربعات الأعداد n الأولى من السلسلة الطبيعية يساوي .

حل.

يترك .

لنفترض ذلك . ثم

وأخيرا.

مثال 4.اثبات ذلك .

حل.

إذاً

مثال 5.اثبات ذلك

حل.

عندما يكون n=1 تكون الفرضية صحيحة بشكل واضح.

يترك .

دعونا نثبت ذلك.

حقًا،

أمثلة على تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي

دليل على عدم المساواة

مثال 1.أثبت أنه من أجل أي عدد طبيعي n>1

حل.

دعونا نشير إلى الجانب الأيسر من عدم المساواة بواسطة .

لذلك، بالنسبة لـ n=2 فإن عدم المساواة يكون صحيحًا.

اسمحوا لبعض ك. دعونا نثبت ذلك بعد ذلك و . لدينا , .

مقارنة و لدينا ، أي. .

بالنسبة لأي عدد صحيح موجب k، يكون الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة موجبًا. لهذا السبب . ولكن هذا يعني أيضا.

مثال 2.ابحث عن الخطأ في الاستدلال.

إفادة. لأي عدد طبيعي n تكون المتراجحة صحيحة.

دليل.

. (1)

دعونا نثبت أن المتباينة صالحة أيضًا لـ n=k+1، أي.

في الواقع، ما لا يقل عن 2 لأي ك الطبيعية. دعونا نضيف إلى الجانب الأيسر من المتباينة (1) وإلى الجانب الأيمن 2. نحصل على متباينة عادلة، أو . وقد ثبت البيان.

مثال 3.اثبات ذلك ، حيث > -1، ، n عدد طبيعي أكبر من 1.

حل.

بالنسبة لـ n=2 فإن عدم المساواة صحيح، حيث أن .

دع المتراجحة تكون صحيحة بالنسبة لـ n=k، حيث k هو عدد طبيعي ما، أي.

. (1)

دعونا نبين أن المتباينة صالحة أيضًا لـ n=k+1، أي.

. (2)

وبالفعل، بالشرط، فإن عدم المساواة صحيح

, (3)

تم الحصول عليها من عدم المساواة (1) بضرب كل جزء . دعونا نعيد كتابة المتباينة (3) على النحو التالي: . وبطرح الحد الموجب الموجود على الجانب الأيمن من المتباينة الأخيرة، نحصل على متباينة عادلة (2).

مثال 4.اثبات ذلك

(1)

حيث أن n عدد طبيعي أكبر من 1.

حل.

بالنسبة لـ n=2، فإن عدم المساواة (1) تأخذ الشكل

. (2)

وبما أن المتباينة صحيحة

. (3)

وبإضافة كل جزء من أجزاء المتباينة (3) نحصل على عدم المساواة (2).

وهذا يثبت أن عدم المساواة (1) بالنسبة لـ n=2 صحيحة.

لتكن المتباينة (1) صحيحة بالنسبة لـ n=k، حيث k عدد طبيعي ما، أي.

. (4)

دعونا نثبت أن المتباينة (1) يجب أن تكون صحيحة أيضًا بالنسبة لـ n=k+1، أي.

(5)

دعونا نضرب طرفي المتباينة (4) في a+b. نظرًا لأنه بالشرط نحصل على عدم المساواة العادلة التالية:

. (6)

ولإثبات صحة التفاوت (5) يكفي بيان ذلك

, (7)

أو ما هو نفسه،

. (8)

عدم المساواة (8) يعادل عدم المساواة

. (9)

إذا، وعلى الجانب الأيسر من عدم المساواة (9) لدينا منتج رقمين موجبين. إذا، وعلى الجانب الأيسر من عدم المساواة (9) لدينا منتج رقمين سالبين. وفي كلتا الحالتين فإن عدم المساواة (9) صحيح.

وهذا يثبت أن صحة المتباينة (1) لـ n=k تتضمن صحتها لـ n=k+1.

طريقة الاستقراء الرياضي المطبقة على الآخرين

المهام

إن التطبيق الأكثر طبيعية لطريقة الاستقراء الرياضي في الهندسة، والقريب من استخدام هذه الطريقة في نظرية الأعداد والجبر، هو تطبيقها على حل مسائل الحساب الهندسي. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.احسب ضلع المربع المنتظم المدرج في دائرة نصف قطرها R.

حل.

عندما ن = 2 صحيح 2ن - المربع مربع؛ جانبه. وعلاوة على ذلك، وفقا لصيغة مضاعفة

فنجد أن جانب المثمن منتظم ، جانب مسدس منتظم ، ضلع مثلث منتظم عدده اثنان وثلاثون . لذلك يمكننا أن نفترض أن الجانب الصحيح منقوش 2ن - مربع لأي متساو

. (1)

لنفترض أن جانب المربع المنتظم يتم التعبير عنه بالصيغة (1). في هذه الحالة، وفقا لصيغة المضاعفة

ومن هنا يترتب على ذلك أن الصيغة (1) صالحة لجميع n.

مثال 2.ما عدد المثلثات التي يمكن تقسيم n-gon (ليس بالضرورة محدبًا) إلى أقطاره المنفصلة؟

حل.

بالنسبة للمثلث، هذا الرقم يساوي واحدًا (لا يمكن رسم قطري واحد في المثلث)؛ بالنسبة للشكل الرباعي، من الواضح أن هذا الرقم هو اثنان.

لنفترض أننا نعرف بالفعل أن كل k-gon، حيث k 1 أ 2 ...أ ن إلى مثلثات.

أ1 أ2

ليكن A 1 A k أحد أقطار هذا القسم؛ فهو يقسم n-gon A 1 A 2 ...A n إلى k-gon A 1 A 2 ...A k و (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .ن . نظرًا للافتراض الذي تم إجراؤه، سيكون إجمالي عدد المثلثات في القسم مساويًا لـ

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

وهكذا ثبت قولنا لجميع ن.

مثال 3.اذكر قاعدة حساب عدد P(n) للطرق التي يمكن من خلالها تقسيم n-gon المحدب إلى مثلثات بواسطة أقطار منفصلة.

حل.

بالنسبة للمثلث، من الواضح أن هذا الرقم يساوي واحدًا: P(3)=1.

لنفترض أننا قد حددنا بالفعل الأعداد P(k) لجميع k 1 أ 2 ...أ ن . عندما يتم تقسيمها إلى مثلثات، الجانب A 1 أ 2 سيكون جانبًا لأحد مثلثات التقسيم، ويمكن أن يتطابق الرأس الثالث لهذا المثلث مع كل نقطة من النقاط A 3، أ 4، …، أ ن . عدد طرق تقسيم n-gon الذي يتطابق فيه هذا الرأس مع النقطة A 3 ، يساوي عدد طرق تقسيم (n-1)-gon A إلى مثلثات 1 أ 3 أ 4 ... أ ن ، أي. يساوي ف(ن-1). عدد طرق التقسيم التي يتطابق فيها هذا الرأس مع A 4 ، يساوي عدد طرق تقسيم (n-2)-gon A 1 أ 4 أ 5 ... أ ن ، أي. يساوي P(n-2)=P(n-2)P(3); عدد طرق التقسيم التي تتطابق فيها مع A 5 ، يساوي P(n-3)P(4)، لأن كل قسم من أقسام (n-3)-gon A 1 أ 5 ...أ ن يمكن دمجها مع كل قسم من أقسام الشكل الرباعي A 2 أ 3 أ 4 أ 5 ، إلخ. وبذلك نصل إلى العلاقة التالية:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

باستخدام هذه الصيغة نحصل باستمرار على:

ف(4)=ف(3)+ف(3)=2،

ف(5)=ف(4)+ف(3)ف(3)+ف(4)+5،

ف(6)=ف(5)+ف(4)ف(3)+ف(3)ف(4)+ف(5)=14

إلخ.

يمكنك أيضًا حل المشكلات المتعلقة بالرسوم البيانية باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

لتكن هناك شبكة من الخطوط على المستوى تصل بين بعض النقاط وليس لها نقاط أخرى. سوف نسمي مثل هذه الشبكة من الخطوط خريطة، مع مراعاة النقاط كرؤوسها، وأجزاء من المنحنيات بين رأسين متجاورين - حدود الخريطة، وأجزاء المستوى الذي تنقسم إليه الحدود - بلدان الخريطة.

دع بعض الخرائط تعطى على متن الطائرة. وسنقول أنها ملونة بشكل صحيح إذا تم رسم كل دولة من دولها بلون معين، وأي دولتين بينهما حدود مشتركة يتم رسمها بألوان مختلفة.

مثال 4.يوجد n دوائر على المستوى أثبت أنه بالنسبة لأي ترتيب لهذه الدوائر، يمكن تلوين الخريطة التي تشكلها بشكل صحيح بلونين.

حل.

بالنسبة لـ n=1، بياننا واضح.

لنفترض أن بياننا صحيح بالنسبة لأي خريطة مكونة من دوائر n، ولنفترض أن هناك دوائر n+1 على المستوى. من خلال إزالة إحدى هذه الدوائر، نحصل على خريطة، والتي، بحكم الافتراض، يمكن تلوينها بشكل صحيح بلونين، على سبيل المثال، الأسود والأبيض.

إن المعرفة الحقيقية في جميع الأوقات كانت مبنية على إنشاء نمط وإثبات صدقه في ظروف معينة. خلال هذه الفترة الطويلة من وجود التفكير المنطقي، تم تقديم صياغات للقواعد، حتى أن أرسطو قام بتجميع قائمة من "الاستدلال الصحيح". تاريخياً، جرت العادة على تقسيم جميع الاستدلالات إلى نوعين - من الملموس إلى المتعدد (الاستقراء) والعكس (الاستنتاج). وتجدر الإشارة إلى أن أنواع الأدلة من الخاص إلى العام ومن العام إلى الخاص موجودة فقط بالتزامن ولا يمكن تبادلها.

الحث في الرياضيات

مصطلح "الحث" له جذور لاتينية ويتم ترجمته حرفيًا على أنه "توجيه". من خلال دراسة متأنية، يمكن للمرء أن يسلط الضوء على بنية الكلمة، وهي البادئة اللاتينية - in- (تشير إلى إجراء موجه إلى الداخل أو التواجد في الداخل) و -duction - المقدمة. تجدر الإشارة إلى أن هناك نوعين - الحث الكامل وغير الكامل. يتميز النموذج الكامل بالاستنتاجات المستخلصة من دراسة جميع الكائنات من فئة معينة.

غير مكتمل - الاستنتاجات التي تنطبق على جميع مواضيع الفصل، ولكن يتم إجراؤها بناءً على دراسة بعض الوحدات فقط.

الاستقراء الرياضي الكامل هو استنتاج يعتمد على استنتاج عام حول الفئة الكاملة لأي كائنات مرتبطة وظيفيًا من خلال علاقات سلسلة طبيعية من الأرقام بناءً على معرفة هذا الارتباط الوظيفي. وفي هذه الحالة، تتم عملية الإثبات على ثلاث مراحل:

الأول يثبت صحة موقف الاستقراء الرياضي. مثال: f = 1، الحث؛
وتعتمد المرحلة التالية على افتراض أن الموضع صالح لجميع الأعداد الطبيعية. أي أن f=h هي فرضية استقرائية؛
وفي المرحلة الثالثة يتم إثبات صحة الموضع للرقم f=h+1، بناءً على صحة موضع النقطة السابقة - وهذا انتقال استقراءي، أو خطوة استقراء رياضي. مثال على ذلك ما يسمى إذا سقط الحجر الأول في الصف (الأساس)، فإن جميع الحجارة في الصف تسقط (الانتقال).

سواء على سبيل المزاح أو على محمل الجد

لسهولة الفهم، يتم عرض أمثلة للحلول باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي في شكل مسائل مزحة. هذه هي مهمة "قائمة الانتظار المهذبة":

تحظر قواعد السلوك على الرجل أن يأخذ منعطفًا أمام المرأة (في مثل هذه الحالة يُسمح لها بالمضي قدمًا). وبناءً على هذا القول، إذا كان آخر من في الصف رجلاً، فكل شخص آخر رجل.

ومن الأمثلة الصارخة على طريقة الاستقراء الرياضي مسألة "الطيران بلا أبعاد":

مطلوب إثبات أنه يمكن استيعاب أي عدد من الأشخاص في الحافلة الصغيرة. صحيح أنه يمكن لشخص واحد أن يتسع داخل السيارة دون صعوبة (أساس). ولكن بغض النظر عن مدى امتلاء الحافلة الصغيرة، سيتسع لها دائمًا راكب واحد (الخطوة التعريفية).

دوائر مألوفة

تعتبر أمثلة حل المشكلات والمعادلات عن طريق الاستقراء الرياضي شائعة جدًا. وكمثال على هذا النهج، فكر في المشكلة التالية.

حالة: هناك دوائر h على المستوى. من المطلوب إثبات أنه، بالنسبة لأي ترتيب للأشكال، يمكن تلوين الخريطة التي تشكلها بشكل صحيح بلونين.

حل: عندما يكون h=1 تكون صحة العبارة واضحة، فيتم بناء البرهان لعدد الدوائر h+1.

دعونا نقبل افتراض أن العبارة صالحة لأي خريطة، وهناك دوائر h+1 على المستوى. من خلال إزالة إحدى الدوائر من المجموع، يمكنك الحصول على خريطة ملونة بشكل صحيح بلونين (أبيض وأسود).

عند استعادة دائرة محذوفة، يتغير لون كل منطقة إلى العكس (في هذه الحالة، داخل الدائرة). والنتيجة هي خريطة ملونة بشكل صحيح بلونين، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

أمثلة على الأعداد الطبيعية

يظهر أدناه بوضوح تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي.

أمثلة على الحلول:

أثبت أنه لأي ح المساواة التالية صحيحة:

1 2 +2 2 +3 2 +…+ح 2 =ح(ح+1)(2س+1)/6.

1. دع h=1، وهو ما يعني:

ر 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

ويترتب على ذلك أن العبارة صحيحة بالنسبة لـ h=1.

2. بافتراض أن h=d، يتم الحصول على المعادلة:

ر 1 =د 2 =د(د+1)(2د+1)/6=1

3. بافتراض أن h=d+1، يتبين أن:

ص د+1 =(د+1) (د+2) (2د+3)/6

ص د+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+د 2 +(د+1) 2 = د(د+1)(2د+1)/6+ (د+1) 2 =(د( د+1)(2د+1)+6(د+1) 2)/6=(د+1)(د(2د+1)+6(ك+1))/6=

(د+1)(2د 2 +7د+6)/6=(د+1)(2(د+3/2)(د+2))/6=(د+1)(د+2)( 2د+3)/6.

وبذلك تم إثبات صحة المساواة لـ h=d+1، وبالتالي فإن العبارة صحيحة لأي عدد طبيعي، كما هو موضح في حل المثال بالاستقراء الرياضي.

مهمة

حالة: مطلوب إثبات أنه بالنسبة لأي قيمة لـ h فإن التعبير 7 h -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي.

حل:

1. لنفترض أن h=1، في هذه الحالة:

R 1 =7 1 -1=6 (أي مقسومة على 6 بدون باقي)

ولذلك، بالنسبة لـ h=1، تكون العبارة صحيحة؛

2. اسمح لـ h=d و7 d -1 بالقسمة على 6 بدون باقي؛

3. والدليل على صحة العبارة h=d+1 هو الصيغة:

ص د +1 =7 د +1 -1=7∙7 د -7+6=7(7 د -1)+6

وفي هذه الحالة يكون الحد الأول قابلاً للقسمة على 6 حسب افتراض النقطة الأولى، والحد الثاني يساوي 6. إن القول بأن 7 h -1 يقبل القسمة على 6 بدون باقي لأي h طبيعي هو الصحيح.

أخطاء في الحكم

غالبًا ما يتم استخدام الاستدلال غير الصحيح في البراهين بسبب عدم دقة الإنشاءات المنطقية المستخدمة. يحدث هذا بشكل أساسي عندما يتم انتهاك بنية ومنطق الدليل. مثال على الاستدلال غير الصحيح هو الرسم التوضيحي التالي.

مهمة

حالة: يشترط إثبات أن أي كومة من الحجارة ليست كومة.

حل:

1. لنفترض أن h=1، في هذه الحالة يوجد حجر واحد في الكومة وتكون العبارة صحيحة (الأساس)؛

2. ليكن صحيحًا أن كومة الحجارة ليست كومة (افتراض)؛

3. دع h=d+1، ويترتب على ذلك أنه عند إضافة حجر آخر، لن تكون المجموعة كومة. الاستنتاج يشير إلى أن الافتراض صالح لكل ح الطبيعية.

الخطأ هو أنه لا يوجد تعريف لعدد الحجارة التي تشكل كومة. يسمى هذا الإغفال بالتعميم المتسرع في طريقة الاستقراء الرياضي. مثال يوضح ذلك بوضوح.

الاستقراء وقوانين المنطق

تاريخيًا، كانوا دائمًا "يسيرون جنبًا إلى جنب". وتصفها التخصصات العلمية مثل المنطق والفلسفة على شكل أضداد.

من وجهة نظر قانون المنطق، تعتمد التعريفات الاستقرائية على الحقائق، وصدق المقدمات لا يحدد صحة البيان الناتج. في كثير من الأحيان يتم الحصول على الاستنتاجات بدرجة معينة من الاحتمالية والمعقولية، والتي، بطبيعة الحال، يجب التحقق منها وتأكيدها من خلال بحث إضافي. مثال على الاستقراء في المنطق سيكون العبارة التالية:

هناك جفاف في إستونيا، وجفاف في لاتفيا، وجفاف في ليتوانيا.

إستونيا ولاتفيا وليتوانيا هي دول البلطيق. هناك جفاف في جميع دول البلطيق.

ومن المثال يمكننا أن نستنتج أنه لا يمكن الحصول على معلومات أو حقيقة جديدة باستخدام طريقة الاستقراء. كل ما يمكن الاعتماد عليه هو بعض الصدق المحتمل للاستنتاجات. علاوة على ذلك، فإن صحة المقدمات لا تضمن نفس الاستنتاجات. لكن هذا لا يعني أن الاستقراء يضعف على هامش الاستنباط: فقد تم إثبات عدد كبير من الأحكام والقوانين العلمية بطريقة الاستقراء. مثال على ذلك هو نفس الرياضيات والبيولوجيا والعلوم الأخرى. ويرجع ذلك في الغالب إلى طريقة الحث الكامل، ولكن في بعض الحالات يمكن تطبيق الحث الجزئي أيضًا.

لقد سمح له العصر الاستقراءي الجليل باختراق جميع مجالات النشاط البشري تقريبًا - وهذا هو العلم والاقتصاد والاستنتاجات اليومية.

التعريف في المجتمع العلمي

تتطلب الطريقة الاستقراء موقفا دقيقا، لأن الكثير يعتمد على عدد أجزاء الكل المدروس: كلما زاد العدد المدروس، كلما كانت النتيجة أكثر موثوقية. وبناء على هذه الخاصية فإن القوانين العلمية المتحصل عليها بالاستقراء يتم اختبارها لمدة طويلة على مستوى الافتراضات الاحتمالية لعزل ودراسة جميع العناصر والارتباطات والمؤثرات البنيوية الممكنة.

في العلوم، يعتمد الاستنتاج الاستقرائي على ميزات مهمة، باستثناء الأحكام العشوائية. هذه الحقيقة مهمة فيما يتعلق بتفاصيل المعرفة العلمية. وهذا واضح في أمثلة الاستقراء في العلوم.

هناك نوعان من الاستقراء في العالم العلمي (فيما يتعلق بطريقة الدراسة):

الاختيار التعريفي (أو الاختيار) ؛
الحث - الاستبعاد (القضاء).

يتميز النوع الأول بالاختيار المنهجي (الدقيق) لعينات فئة (فئات فرعية) من مناطقها المختلفة.

مثال على هذا النوع من الحث ما يلي: الفضة (أو أملاح الفضة) تنقي الماء. يعتمد الاستنتاج على سنوات عديدة من الملاحظات (نوع من اختيار التأكيدات والدحضات - الاختيار).

النوع الثاني من الاستقراء يقوم على استنتاجات تثبت العلاقات السببية وتستبعد الظروف التي لا تتوافق مع خصائصه وهي العالمية والالتزام بالتسلسل الزمني والضرورة وعدم الغموض.

الاستقراء والاستنباط من موقف الفلسفة

إذا نظرنا إلى الوراء تاريخيا، فإن مصطلح الاستقراء كان أول من ذكره سقراط. وصف أرسطو أمثلة على الاستقراء في الفلسفة في قاموس مصطلحات أكثر تقريبًا، لكن مسألة الاستقراء غير الكامل تظل مفتوحة. بعد اضطهاد القياس المنطقي الأرسطي، بدأ الاعتراف بالطريقة الاستقرائية باعتبارها طريقة مثمرة والوحيدة الممكنة في العلوم الطبيعية. ويعتبر بيكون أبو الاستقراء كطريقة خاصة مستقلة، لكنه فشل في فصل الاستقراء عن الطريقة الاستنباطية، كما طالب معاصروه.

تم تطوير الاستقراء بشكل أكبر بواسطة جيه ميل، الذي نظر في النظرية الاستقرائية من منظور أربع طرق رئيسية: الاتفاق والاختلاف والبقايا والتغييرات المقابلة. ليس من المستغرب أن تكون الأساليب المذكورة اليوم استنتاجية عند فحصها بالتفصيل.

إن إدراك التناقض بين نظريات بيكون وميل دفع العلماء إلى دراسة الأساس الاحتمالي للاستقراء. ومع ذلك، حتى هنا كانت هناك بعض التطرفات: فقد جرت محاولات لاختزال الاستقراء في نظرية الاحتمالية مع كل العواقب المترتبة على ذلك.

يحظى الاستقراء بثقة من خلال التطبيق العملي في مجالات معينة وبفضل الدقة المترية للأساس الاستقرائي. مثال على الاستقراء والاستنباط في الفلسفة يمكن اعتباره قانون الجاذبية العالمية. وفي تاريخ اكتشاف القانون، تمكن نيوتن من التحقق منه بدقة بلغت 4 بالمائة. وعندما تم التحقق منها بعد أكثر من مائتي عام، تم التأكد من صحتها بدقة بلغت 0.0001 بالمائة، على الرغم من أن التحقق تم بنفس التعميمات الاستقرائية.

تولي الفلسفة الحديثة اهتماما أكبر بالاستدلال الذي تمليه الرغبة المنطقية في استخلاص معرفة (أو حقائق) جديدة مما هو معروف بالفعل، دون اللجوء إلى الخبرة أو الحدس، ولكن باستخدام الاستدلال "الخالص". عند الإشارة إلى المقدمات الحقيقية بالطريقة الاستنتاجية، يكون الناتج في جميع الحالات عبارة صحيحة.

ولا ينبغي لهذه الخاصية المهمة جدًا أن تطغى على قيمة الطريقة الاستقرائية. نظرًا لأن الاستقراء، بناءً على إنجازات الخبرة، يصبح أيضًا وسيلة لمعالجتها (بما في ذلك التعميم والتنظيم).

تطبيق الاستقراء في الاقتصاد

لقد تم استخدام الاستقراء والاستنباط منذ فترة طويلة كطرق لدراسة الاقتصاد والتنبؤ بتطوره.

نطاق استخدام الطريقة التعريفية واسع جدًا: دراسة مدى تحقيق المؤشرات المتوقعة (الأرباح، الاستهلاك، وما إلى ذلك) والتقييم العام لحالة المؤسسة؛ تشكيل سياسة فعالة لترويج المؤسسة بناءً على الحقائق وعلاقاتها.

يتم استخدام نفس طريقة الاستقراء في "خرائط شيوهارت"، حيث، في ظل افتراض تقسيم العمليات إلى خاضعة للتحكم وغير قابلة للتحكم، يُذكر أن إطار العملية الخاضعة للرقابة غير نشط.

وتجدر الإشارة إلى أن القوانين العلمية يتم إثباتها وتأكيدها باستخدام الطريقة الاستقراءية، وبما أن الاقتصاد علم يستخدم غالبًا التحليل الرياضي ونظرية المخاطر والإحصائيات، فليس من المستغرب على الإطلاق أن يكون الاستقراء ضمن قائمة الطرق الرئيسية.

مثال على الاستقراء والخصم في الاقتصاد هو الوضع التالي. إن الزيادة في أسعار المواد الغذائية (من سلة المستهلك) والسلع الأساسية تدفع المستهلك إلى التفكير في التكلفة المرتفعة الناشئة في الدولة (الاستقراء). في الوقت نفسه، من حقيقة ارتفاع الأسعار، باستخدام الأساليب الرياضية، من الممكن استخلاص مؤشرات نمو الأسعار للسلع الفردية أو فئات البضائع (الخصم).

في أغلب الأحيان، يلجأ موظفو الإدارة والمديرون والاقتصاديون إلى الطريقة التعريفية. لكي تكون قادرًا على التنبؤ بصدق كافٍ بتطور المؤسسة وسلوك السوق وعواقب المنافسة، من الضروري اتباع نهج استقرائي استقرائي لتحليل المعلومات ومعالجتها.

مثال واضح على الاستقراء في الاقتصاد المتعلق بالأحكام الخاطئة:

وانخفضت أرباح الشركة بنسبة 30%؛
قيام شركة منافسة بتوسيع خط إنتاجها؛
لم يتغير شيء آخر.
تسببت سياسة الإنتاج لشركة منافسة في انخفاض الأرباح بنسبة 30٪؛
ولذلك، يجب تنفيذ نفس سياسة الإنتاج.

المثال عبارة عن رسم توضيحي ملون لكيفية مساهمة الاستخدام غير الكفء لطريقة الاستقراء في تدمير المؤسسة.

الاستنباط والتحريض في علم النفس

وبما أن هناك طريقة، فمن المنطقي أن يكون هناك أيضًا تفكير منظم بشكل صحيح (لاستخدام الطريقة). علم النفس كعلم يدرس العمليات العقلية وتكوينها وتطورها وعلاقاتها وتفاعلاتها، يهتم بالتفكير "الاستنتاجي"، باعتباره أحد أشكال مظاهر الاستنباط والاستقراء. لسوء الحظ، على صفحات علم النفس على الإنترنت، لا يوجد أي مبرر عمليًا لسلامة الطريقة الاستقرائية الاستنتاجية. على الرغم من أن علماء النفس المحترفين يواجهون في كثير من الأحيان مظاهر الحث، أو بالأحرى، استنتاجات خاطئة.

مثال على الاستقراء في علم النفس، كتوضيح للأحكام الخاطئة، هو البيان: أمي خادعة، لذلك كل النساء مخادعات. يمكنك استخلاص المزيد من الأمثلة "الخاطئة" للاستقراء من الحياة:

فالطالب غير قادر على أي شيء إذا حصل على درجة سيئة في الرياضيات؛
إنه أحمق.
إنه ذكي.
أستطيع أن أفعل أي شيء.

والعديد من الأحكام القيمية الأخرى المبنية على فرضيات عشوائية تمامًا، وفي بعض الأحيان، غير ذات أهمية.

وتجدر الإشارة إلى أنه عندما تصل قابلية الخطأ في حكم الشخص إلى حد السخافة، تظهر حدود العمل للمعالج النفسي. أحد الأمثلة على التحريض في موعد متخصص:

"المريض على يقين تام أن اللون الأحمر لا يشكل خطراً عليه إلا بأي شكل من الأشكال. ونتيجة لذلك، استبعد الشخص نظام الألوان هذا من حياته - قدر الإمكان. هناك العديد من الفرص لإقامة مريحة في المنزل. يمكنك رفض جميع العناصر الحمراء أو استبدالها بنظائرها المصنوعة بنظام ألوان مختلف. ولكن في الأماكن العامة، في العمل، في المتجر - فمن المستحيل. عندما يجد المريض نفسه في موقف مرهق، فإنه في كل مرة يواجه "مدًا" من الحالات العاطفية المختلفة تمامًا، والتي يمكن أن تشكل خطراً على الآخرين.

هذا المثال على الاستقراء والاستقراء اللاواعي يسمى "الأفكار الثابتة". إذا حدث هذا لشخص سليم عقليا، فيمكننا التحدث عن عدم تنظيم النشاط العقلي. يمكن أن تكون إحدى طرق التخلص من حالات الوسواس هي التطوير الأولي للتفكير الاستنتاجي. وفي حالات أخرى، يعمل الأطباء النفسيون مع هؤلاء المرضى.

تشير أمثلة الاستقراء المذكورة أعلاه إلى أن "الجهل بالقانون لا يعفيك من عواقب (الأحكام الخاطئة)."

قام علماء النفس، الذين يعملون في موضوع التفكير الاستنتاجي، بتجميع قائمة من التوصيات المصممة لمساعدة الناس على إتقان هذه الطريقة.

النقطة الأولى هي حل المشكلة. وكما يتبين، يمكن اعتبار شكل الاستقراء المستخدم في الرياضيات “كلاسيكيا”، واستخدام هذا الأسلوب يساهم في “انضباط” العقل.

الشرط التالي لتطوير التفكير الاستنتاجي هو توسيع الآفاق (أولئك الذين يفكرون بوضوح يعبرون عن أنفسهم بوضوح). وهذه التوصية توجه "المعاناة" إلى خزائن العلم والمعلومات (المكتبات، المواقع الإلكترونية، المبادرات التعليمية، السفر وغيرها).

وتجدر الإشارة بشكل خاص إلى ما يسمى بـ "الحث النفسي". يمكن العثور على هذا المصطلح، وإن لم يكن في كثير من الأحيان، على شبكة الإنترنت. لا تقدم جميع المصادر صياغة مختصرة على الأقل لتعريف هذا المصطلح، ولكنها تشير إلى "أمثلة من الحياة"، بينما تقدم كنوع جديد من الاستقراء إما اقتراح، أو بعض أشكال المرض العقلي، أو حالات متطرفة من نفسية الإنسان. من كل ما سبق، يتضح أن محاولة استخلاص "مصطلح جديد" بناءً على مقدمات خاطئة (غير صحيحة في كثير من الأحيان) تحكم على المجرب بالحصول على عبارة خاطئة (أو متسرعة).

وتجدر الإشارة إلى أن الإشارة إلى تجارب عام 1960 (دون الإشارة إلى الموقع، وأسماء المجربين، وعينة الأشخاص، والأهم من ذلك، الغرض من التجربة) تبدو، بعبارة ملطفة، غير مقنعة، البيان القائل بأن الدماغ يدرك المعلومات التي تتجاوز جميع أجهزة الإدراك (عبارة "يتأثر" قد تتناسب بشكل عضوي أكثر في هذه الحالة)، يجعل المرء يفكر في سذاجة مؤلف البيان وعدم انتقاده.

بدلا من الاستنتاج

ليس من قبيل الصدفة أن تستخدم ملكة العلوم والرياضيات جميع الاحتياطيات الممكنة لطريقة الاستقراء والاستنباط. تتيح لنا الأمثلة المدروسة أن نستنتج أن التطبيق السطحي وغير الكفؤ (غير المدروس، كما يقولون) حتى للطرق الأكثر دقة وموثوقية يؤدي دائمًا إلى نتائج خاطئة.

في الوعي الجماعي، ترتبط طريقة الخصم بشيرلوك هولمز الشهير، الذي يستخدم في كثير من الأحيان أمثلة على الاستقراء في منشآته المنطقية، وذلك باستخدام الخصم في المواقف الصحيحة.

تناول المقال أمثلة على استخدام هذه الأساليب في مختلف العلوم ومجالات النشاط البشري.

MBOU صالة حفلات "التقنية والاقتصادية"

طريقة الحث الرياضي

طريقة الحث الرياضي.

ملاحظة توضيحية

تم تجميع التطوير المنهجي "طريقة الحث الرياضي" لطلاب الصف العاشر من الملف الرياضي.

الأهداف الأساسية: تعريف الطالب بأسلوب الاستقراء الرياضي وتعليم كيفية تطبيقه في حل المسائل المختلفة.

يتناول التطوير المنهجي قضايا الرياضيات الأولية: مشاكل القسمة، وإثبات الهويات، وإثبات عدم المساواة، ويتم اقتراح مشاكل بدرجات متفاوتة من التعقيد، بما في ذلك المشاكل المقترحة في الأولمبياد.

دور الاستنتاجات الاستقرائية في العلوم التجريبية عظيم جدا. إنهم يقدمون تلك الأحكام التي يتم من خلالها استخلاص استنتاجات أخرى من خلال الاستنباط. اسم طريقة الاستقراء الرياضيخادعة - في الواقع، هذه الطريقة استنتاجية وتوفر دليلاً صارمًا على العبارات التي تم تخمينها من خلال الاستقراء. تساعد طريقة الاستقراء الرياضي على تحديد الروابط بين فروع الرياضيات المختلفة وتساعد على تنمية الثقافة الرياضية لدى الطالب.

تعريف طريقة الاستقراء الرياضي. التحريض الكامل وغير الكامل. دليل على عدم المساواة. إثبات الهويات. حل مسائل قابلية القسمة. حل المسائل المختلفة في موضوع "طريقة الاستقراء الرياضي".

الأدب للمعلمين

1. م.ل جاليتسكي. دراسة متعمقة لمسار الجبر والتحليل الرياضي. - م. التربية 1986.

2. إل آي زفافيتش. الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية. م. بوستارد.2001.

3. ن.يا.فيلينكين. الجبر والتحليل الرياضي. م التنوير.1995.

4. يو.في.ميخيف. طريقة الاستقراء الرياضي. NSU.1995.

الأدب للطلاب

1. ن.يا فيلينكين. الجبر والتحليل الرياضي. م التنوير.1995.

2. يو.في.ميخيف. طريقة الاستقراء الرياضي. NSU.1995.

الكلمات الرئيسية

الاستقراء، البديهية، مبدأ الاستقراء الرياضي، الاستقراء الكامل، الاستقراء الناقص، البيان، الهوية، عدم المساواة، قابلية القسمة.

ملحق تعليمي للموضوع

“طريقة الحث الرياضي”.

الدرس رقم 1.

تعريف طريقة الاستقراء الرياضي.

يعد أسلوب الاستقراء الرياضي من الأساليب عالية الفعالية في البحث عن نتائج جديدة وإثبات صحة الافتراضات الموضوعة. وعلى الرغم من أن هذه الطريقة في الرياضيات ليست جديدة، إلا أن الاهتمام بها لا يتضاءل. ولأول مرة وبعرض واضح، تم استخدام أسلوب الاستقراء الرياضي في القرن السابع عشر على يد العالم الفرنسي المتميز بليز باسكال عند إثبات خصائص مثلث الأعداد الذي أصبح اسمه منذ ذلك الحين. إلا أن فكرة الاستقراء الرياضي كانت معروفة لدى اليونانيين القدماء. تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي على مبدأ الاستقراء الرياضي المقبول كبديهية. دعونا نلقي نظرة على فكرة الاستقراء الرياضي باستخدام الأمثلة.

المثال رقم 1.

يقسم المربع إلى قسمين بقطعة، ثم يقسم أحد الأجزاء الناتجة إلى قسمين، وهكذا. حدد عدد الأجزاء التي سيتم تقسيم المربع إليها نخطوات؟

حل.

بعد الخطوة الأولى، حسب الشرط، سوف نحصل على جزأين. في الخطوة الثانية، نترك جزءًا واحدًا دون تغيير، ونقسم الثاني إلى جزأين ونحصل على 3 أجزاء. في الخطوة الثالثة نترك جزأين دون تغيير، ونقسم الثالث إلى جزأين ونحصل على 4 أجزاء. في الخطوة الرابعة نترك 3 أجزاء دون تغيير، ونقسم الجزء الأخير إلى جزأين ونحصل على 5 أجزاء. في الخطوة الخامسة سوف نحصل على 6 أجزاء. وهذا يطرح الاقتراح من خلال نالخطوات التي سوف نحصل عليها (ن+1)جزء. لكن هذا الاقتراح يحتاج إلى إثبات. ولنفترض ذلك بعد ذلك لالخطوات التي سيتم تقسيم المربع إليها (ك+1)جزء. ثم على (ك+1)الخطوة التي نتخذها لسيتم ترك الأجزاء دون تغيير، ولكن (ك+1)قسم الجزء إلى قسمين واحصل على (ك+2)أجزاء. لاحظت أنه يمكنك الجدال بهذه الطريقة للمدة التي تريدها، إلى ما لا نهاية. وهذا يعني أن افتراضنا هو أنه من خلال نالخطوات التي سيتم تقسيم المربع إليها (ن+1)يصبح الجزء مثبتا.

المثال رقم 2.

كان لجدتي حفيدة تحب المربى حقًا، وخاصة النوع الذي يأتي في وعاء لتر. لكن جدتي لم تسمح لي بلمسه. وخططت الحفيدات لخداع جدتهن. قرر أن يأكل 1/10 لتر من هذه الجرة كل يوم ويضاف إليها الماء، ويخلط جيدًا. كم يومًا ستستغرق الجدة لتكتشف الخداع إذا ظل المربى كما هو عند تخفيفه إلى النصف بالماء؟

حل.

دعنا نكتشف مقدار المربى النقي المتبقي في الجرة بعد ذلك نأيام. بعد اليوم الأول، سيبقى في الجرة خليط يتكون من 9/10 مربى و1/10 ماء. بعد يومين سيختفي 1/10 من خليط الماء والمربى من الجرة ويبقى (1 لتر من الخليط يحتوي على 9/10 لتر مربى، 1/10 لتر من الخليط يحتوي على 9/100 لتر مربى) )

9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 لتر مربى. في اليوم الثالث، سيختفي من الجرة 1/10 لتر من الخليط المكون من 81/100 مربى و19/100 ماء. 1 لتر من الخليط يحتوي على 81/100 لتر من المربى، 1/10 لتر من الخليط يحتوي على 81/1000 لتر من المربى. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) يبقى بعد 3 أيام 3 لترات من المربى والباقي يُرفع بالماء. يظهر نمط. خلال نالأيام المتبقية في البنك (9/10) نمربى. ولكن هذا، مرة أخرى، مجرد تخميننا.

يترك ل- عدد طبيعي تعسفي. ولنفترض ذلك بعد ذلك لأيام سيكون هناك (9/10) لتر من المربى متبقية في الجرة. دعونا نرى ما سيكون في البنك في يوم آخر، أي في (ك+1)يوم. سوف تختفي من الجرة 1/10 لترخليط يتكون من (9/10) ل لالمربى والماء. في 1 لترالخليط هو (9/10) ل لمربى، في 1/10 لترمخاليط (9/10) ك+1 لمربى. الآن يمكننا أن نقول ذلك بأمان من خلال نالأيام المتبقية في البنك (9/10) ن لمربى. في 6 أيام سيكون لدى البنك 531444/1000000لالمربى بعد 7 أيام - 4782969/10000000لالمربى، أي أقل من النصف.

إجابة:وبعد 7 أيام ستكتشف الجدة الخدعة.

دعونا نحاول تسليط الضوء على أهم الأشياء في حل المشكلات المطروحة. بدأنا في حل كل منها من خلال النظر في الحالات الفردية أو كما يقولون، حالات خاصة. ثم، بناءً على ملاحظاتنا، قمنا ببعض الافتراضات ف (ن)، حسب الطبيعي ص.

وقد تم التحقق من البيان، أي ثبت ف(1)، ف(2)، ف(3)؛

اقترح ذلك ف (ن)صالحة ل ع = كوخلص إلى أن ذلك سيكون صحيحا في اليوم التالي ن، ن=ك+1.

ثم استدلوا بشيء من هذا القبيل: ف(1)يمين، ف(2)يمين، ف(3)يمين، ف(4)حق...وهذا يعني الحق ف (ع).

مبدأ الاستقراء الرياضي.

إفادة ف (ن)، حسب الطبيعي ن، صالحة لجميع الطبيعية ن، لو

1) تم إثبات صحة القول متى ن=1;

2) من افتراض صحة البيان ف (ن)في ع = كيجب

عدالة ف (ن)في ن=ك+1.

في الرياضيات، يتم اختيار مبدأ الاستقراء الرياضي، كقاعدة عامة، باعتباره أحد البديهيات التي تحدد السلسلة الطبيعية للأعداد، وبالتالي يتم قبوله دون دليل. عادة ما تسمى طريقة الإثبات باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي بطريقة الاستقراء الرياضي. لاحظ أن هذه الطريقة تستخدم على نطاق واسع في إثبات النظريات والمتطابقات والمتباينات في حل مسائل قابلية القسمة والعديد من المسائل الأخرى.

الدرس رقم 2

التحريض الكامل وغير الكامل.

في الحالة التي تتعلق فيها عبارة رياضية بعدد محدود من الكائنات، يمكن إثباتها عن طريق اختبار كل كائن، على سبيل المثال، عبارة "كل رقم زوجي مكون من رقمين هو مجموع رقمين أوليين". تسمى طريقة الإثبات التي نختبر بها عبارة لعدد محدود من الحالات بالاستقراء الرياضي الكامل. يتم استخدام هذه الطريقة نادرًا نسبيًا، نظرًا لأن العبارات غالبًا ما يتم أخذها في الاعتبار على مجموعات لا نهائية. على سبيل المثال، نظرية "أي رقم زوجي يساوي مجموع رقمين أوليين" لم يتم إثباتها أو دحضها بعد. وحتى لو اختبرنا هذه النظرية للمليار الأول، فإنها لن تقربنا خطوة واحدة من إثباتها.

وفي العلوم الطبيعية يستخدم الاستقراء غير المكتمل، ويتم فحص التجربة عدة مرات ونقل النتيجة إلى جميع الحالات.

المثال رقم 3.

دعونا نخمن، باستخدام الاستقراء غير الكامل، صيغة مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية.

حل.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+ن 3 =(1+2+…+ن) 2 .

دليل.

فليكن صحيحا ل ع = ك.

دعونا نثبت أن هذا صحيح ل ن=ك+1.

الاستنتاج: صيغة مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية صحيحة لأي عدد طبيعي ص.

المثال رقم 4.

فكر في حالات المساواة وخمن ما هو القانون العام الذي تؤدي إليه هذه الأمثلة.

حل.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

المثال رقم 5.

اكتب العبارات التالية كمجموع:

1)
2)
3)
; 4)
.

الحرف اليوناني "سيجما".

المثال رقم 6.

اكتب المقادير التالية باستخدام الإشارة
:

المثال رقم 7.

اكتب العبارات التالية كمنتجات:

3)
4)

المثال رقم 8.

اكتب الأعمال التالية باستخدام الإشارة

(الحرف اليوناني الكبير "pi")

1)
2)

المثال رقم 9.

حساب قيمة كثيرة الحدود و ( ن )= ن 2 + ن +11 ، في ن = 1،2،3،4.5،6،7 يمكن للمرء أن يفترض أن لأي طبيعينرقم و ( ن ) بسيط.

هل هذا الافتراض صحيح؟

حل.

إذا كان كل حد من المجموع يقبل القسمة على رقم، فإن المجموع يقسم على هذا العدد،
ليس عددًا أوليًا لأي عدد طبيعيص.

يلعب تحليل عدد محدود من الحالات دورًا مهمًا في الرياضيات: دون تقديم دليل على عبارة معينة، فإنه يساعد على تخمين الصياغة الصحيحة لهذه العبارة إذا لم تكن معروفة بعد. هذه هي الطريقة التي توصل بها جولدباخ، عضو أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم، إلى فرضية مفادها أن أي عدد طبيعي يبدأ باثنين هو مجموع ما لا يزيد عن ثلاثة أعداد أولية.

الدرس رقم 3.

تسمح طريقة الاستقراء الرياضي بإثبات الهويات المختلفة.

المثال رقم 10.دعونا نثبت ذلك للجميع نالهوية تحمل

حل.

دعونا نضع

نحن بحاجة إلى إثبات ذلك

فلنثبت ذلك إذن من حقيقة الهوية

يتبع حقيقة الهوية

وباستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي، يتم إثبات حقيقة الهوية للجميع ن.

المثال رقم 11.

دعونا نثبت الهوية

دليل.

المساواة الناتجة مصطلحًا تلو الآخر.

;
. وهذا يعني أن هذه الهوية صحيحة للجميعن .

الدرس رقم 4.

إثبات الهويات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

المثال رقم 12. دعونا نثبت الهوية

دليل.

وباستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي، أثبتنا أن المساواة صحيحة للجميع ن.

المثال رقم 13. دعونا نثبت الهوية

دليل.

وباستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي، أثبتنا أن العبارة صحيحة لأي شيء طبيعي ن.

المثال رقم 14. دعونا نثبت الهوية

دليل.

المثال رقم 15. دعونا نثبت الهوية

1) ن=1;

2) ل ع = ك المساواة تحمل

3) نثبت أن المساواة تصح ع=ك+1:

الخلاصة: الهوية صالحة لأي طبيعي ص.

المثال رقم 16.دعونا نثبت الهوية

دليل.

لو ن = 1 ، الذي - التي

دع الهوية تحمل ل ع = ك.

دعونا نثبت أن الهوية تحمل ل ن=ك+1.

إذن فالهوية صحيحة لأي طبيعي ن.

الدرس رقم 5.

إثبات الهويات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

المثال رقم 17.دعونا نثبت الهوية

دليل.

لو ن = 2 ، ثم نحصل على المساواة الصحيحة:

لتكن المساواة صحيحةع = ك:

ولنثبت صحة العبارة متى ن=ك+1.

وفقا لمبدأ الاستقراء الرياضي، يتم إثبات الهوية.

المثال رقم 18. دعونا نثبت الهوية
عندما ن ≥2.

في ن = 2 يمكن إعادة كتابة هذه الهوية بشكل بسيط للغاية

ومن الواضح أن هذا صحيح.

دعونا في ع = كحقًا

ولنثبت صحة العبارة متىن=ك+1، أي أن المساواة تحمل : .

وبذلك أثبتنا أن المتطابقة صحيحة لأي عدد طبيعي ن≥2.

المثال رقم 19. دعونا نثبت الهوية

في ن = 1 نحصل على المساواة الصحيحة:

لنفترض أنه متى ع = كنحصل أيضًا على المساواة الصحيحة:

دعونا نثبت أن المساواة صالحة ل ع=ك+1:

إذن الهوية صالحة لأي عدد طبيعي ن.

الدرس رقم 6.

حل مسائل قابلية القسمة.

المثال رقم 20.اثبت عن طريق الاستقراء الرياضي ذلك

مقسمة على 6 دون أن يترك أثرا.

دليل.

في ن = 1 هناك تقسيم إلى6 دون أثر،
.

دعونا في ع = ك تعبير
عديد6.

دعونا نثبت ذلك عندما ع=ك+1 تعبير
عديد6 .

كل مصطلح هو متعدد 6 ، وبالتالي فإن المجموع هو مضاعف 6 .

المثال رقم 21.
على5 دون أن يترك أثرا.

دليل.

في ن = 1 يتم تقسيم التعبير دون الباقي
.

دعونا في ع = ك تعبير
مقسمة أيضا إلى5 دون أن يترك أثرا.

في ع=ك+1مقسمة على 5 .

المثال رقم 22. إثبات قابلية القسمة على التعبير
على16.

دليل.

في ن = 1عديد 16 .

دعونا في ع = ك
عديد16.

في ع=ك+1

جميع المصطلحات قابلة للقسمة على 16: فالأول ظاهر، والثاني افتراض، والثالث عدد زوجي بين قوسين.

المثال رقم 23. إثبات قابلية القسمة
على676.

دليل.

دعونا أولا نثبت ذلك
مقسمة على
.

في ن = 0
.

دعونا في ع = ك
مقسمة على26 .

ثم في ع=ك+1مقسمة على 26 .

الآن سنقوم بإجراء إثبات للبيان الذي تمت صياغته في بيان المشكلة.

في ن = 1مقسمة على 676.

في ع = ك هذا صحيح
مقسمة على26 2 .

في ع=ك+1 .

كلا المصطلحين قابل للقسمة على 676 ; أولا - لأننا أثبتنا قابلية القسمة على 26 التعبير بين قوسين، والثاني مقسم على افتراض الاستقراء.

الدرس رقم 7.

حل مسائل قابلية القسمة.

المثال رقم 24.

اثبات ذلك
مقسمة على5 دون أن يترك أثرا.

دليل.

في ن = 1
مقسمة على5.

في ع = ك
مقسمة على5 دون أن يترك أثرا.

في ع=ك+1 يتم تقسيم كل مصطلح على5 دون أن يترك أثرا.

المثال رقم 25.

اثبات ذلك
مقسمة على6 دون أن يترك أثرا.

دليل.

في ن = 1
مقسمة على6 دون أن يترك أثرا.

دعونا في ع = ك
مقسمة على6 دون أن يترك أثرا.

في ع=ك+1مقسمة على 6 بدون باقي، لأن كل حد يقبل القسمة على6 بدون باقي: الحد الأول هو فرضية الاستقراء، والثاني واضح، والثالث لأنه
رقم زوجي.

المثال رقم 26.

اثبات ذلك
عندما يتم تقسيمها على9 يعطي الباقي 1 .

دليل.

دعونا نثبت ذلك
مقسمة على9 .

في ن = 1
مقسمة على 9 . دعونا في ع = ك
مقسمة على9 .

في ع=ك+1مقسمة على 9 .

المثال رقم 27.

أثبت أنه يقبل القسمة على15 دون أن يترك أثرا.

دليل.

في ن = 1مقسمة على 15 .

دعونا في ع = كمقسمة على 15 دون أن يترك أثرا.

في ع=ك+1

المصطلح الأول متعدد15 ومن خلال الفرضية الاستقراءية، فإن الحد الثاني هو مضاعف15 - ومن الواضح أن الحد الثالث هو من مضاعفات15 ، لأن
عديد5 (ثبت في المثال رقم 21)، فالحدان الرابع والخامس من المضاعفات أيضًا5 وهو أمر واضح، فالمجموع مضاعف15 .

الدرس رقم 8-9.

إثبات عدم المساواة عن طريق الاستقراء الرياضي

مثال رقم 28.
.

في ن = 1لدينا
- يمين.

دعونا في ع = ك
- عدم المساواة الحقيقية.

في ع=ك+1

إذن فإن المتباينة صالحة لأي طبيعي ن.

المثال رقم 29.أثبت أن عدم المساواة صحيح
في أي ن.

في ن = 1نحصل على عدم المساواة الصحيحة 4 >1.

دعونا في ع = كعدم المساواة صحيح
.

دعونا نثبت ذلك عندما ع=ك+1عدم المساواة صحيح

لأي طبيعي لهناك عدم مساواة.

لو
في
الذي - التي

مثال رقم 30.

تحت أي طبيعي نوأي

يترك ن = 1
، يمين.

لنفترض أن عدم المساواة ينطبق على ع = ك:
.

في ع=ك+1

مثال رقم 31.إثبات صحة عدم المساواة

تحت أي طبيعي ن.

دعونا أولا نثبت ذلك لأي طبيعي تعدم المساواة صحيح

دعونا نضرب طرفي المتراجحة في
. نحصل على عدم المساواة المكافئة أو
;
; - هذا التفاوت ينطبق على أي شيء طبيعي ت.

في ن = 1المتباينة الأصلية صحيحة
;
;
.

دع عدم المساواة يستمر ع = ك:
.

في ع=ك+1

الدرس رقم 10.

حل المشاكل المتعلقة بالموضوع

طريقة الاستقراء الرياضي.

مثال رقم 32.إثبات متباينة برنولي.

لو
ثم لجميع القيم الطبيعيةن عدم المساواة يحمل

دليل.

في ن = 1 عدم المساواة التي تم إثباتها تأخذ الشكل
ومن الواضح أنها عادلة. لنفترض أن هذا صحيح لع = ك ، وهذا هو، ماذا
.

منذ بشرط
، الذي - التي
، وبالتالي فإن المتراجحة لا تغير معناها إذا ضرب جزأها في
:

لأن
، ثم حصلنا على ذلك

لذا، فإن عدم المساواة صحيح بالنسبة ن = 1، ومن حقيقته في ع = كويترتب على ذلك أنه صحيح ولو ن=ك+1.وهذا يعني أنه، بحكم الاستقراء الرياضي، ينطبق على كل شيء طبيعي ص.

على سبيل المثال،

مثال رقم 33. البحث عن جميع القيم الطبيعيةن ، والتي تكون عدم المساواة صحيحة

حل.

في ن = 1عدم المساواة عادلة. في ن = 2وعدم المساواة صحيح أيضا.

في ن = 3ولم يعد عدم المساواة قائما. فقط عندما ن = 6إن عدم المساواة قائم، لذا يمكننا أن نتخذه كأساس للاستقراء ن = 6.

لنفترض أن عدم المساواة صحيح بالنسبة لبعض الطبيعية ل:

خذ بعين الاعتبار عدم المساواة

يتم استيفاء عدم المساواة الأخيرة إذا
يتم إجراء اختبار العمل حول الموضوع p=1 بشكل متكرر: p≥5، حيث ن- - عدد طبيعي .

يتم استخدام طريقة الإثبات المبنية على بديهية بيانو 4 لإثبات العديد من الخصائص الرياضية والعبارات المختلفة. أساس هذا هو النظرية التالية.

نظرية. إذا كان البيان أ(ن)مع المتغير الطبيعي نصحيح ل ن = 1 ومن حقيقة أنه صحيح ل ن = كويترتب على ذلك أن هذا صحيح بالنسبة للرقم التالي ن = ك،ثم البيان أ(ن) ن.

دليل. دعونا نشير بواسطة ممجموعة هؤلاء وفقط تلك الأعداد الطبيعية التي تم البيان عنها أ(ن)حقيقي. ومن شروط النظرية لدينا: 1) 1 م; 2) كمكم. ومن هنا، وبناء على البديهية 4، نستنتج ذلك م =ن، أي. إفادة أ(ن)صحيح لأي طبيعي ن.

تسمى طريقة الإثبات المبنية على هذه النظرية بطريقة الاستقراء الرياضي،والبديهية هي بديهية الحث. يتكون هذا الإثبات من قسمين:

1) إثبات ذلك البيان أ(ن)صحيح ل ن = أ(1);

2) افترض أن البيان أ(ن)صحيح ل ن = ك، وبناءً على هذا الافتراض أثبت أن هذا القول أ(ن)صحيح ل ن = ك + 1، أي. أن البيان صحيح ا(ك) ا(ك + 1).

لو أ( 1) أ(ك) أ(ك + 1) - بيان صحيح، ثم يستنتجون أن البيان أ(ن)صحيح لأي عدد طبيعي ن.

لا يمكن أن يبدأ الإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي فقط بتأكيد صحة العبارة ن = 1، ولكن أيضًا من أي عدد طبيعي م. في هذه الحالة البيان أ(ن)سيتم إثباته لجميع الأعداد الطبيعية نانومتر.

المشكلة: لنثبت أن أي عدد طبيعي يساوي 1 + 3 + 5 … + (2 ن- 1) = ن.

حل.المساواة 1 + 3 + 5 … + (2 ن- 1) = نهي صيغة يمكن استخدامها لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية الفردية المتتالية الأولى. على سبيل المثال، 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (المجموع يحتوي على 4 حدود)، 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (المجموع يحتوي على 6 حدود)؛ إذا كان هذا المجموع يحتوي على 20 حدًا من النوع المشار إليه، فهو يساوي 20 = 400، إلخ. وبعد إثبات صحة هذه المساواة، سنكون قادرين على إيجاد مجموع أي عدد من الحدود من النوع المحدد باستخدام الصيغة.

1) دعونا نتحقق من حقيقة هذه المساواة ن = 1. متى ن = 1 الجانب الأيسر من المساواة يتكون من حد واحد يساوي 1، والجانب الأيمن يساوي 1= 1. وبما أن 1 = 1، إذن ن = 1 هذه المساواة صحيحة.

2) لنفترض أن هذه المساواة صحيحة ل ن = ك، أي. أن 1 + 3 + 5 + ... + (2 ك- 1) = ك.وبناء على هذا الافتراض نثبت صحة ذلك ن = ك + 1، أي. 1 + 3 + 5 + … + (2 ك- 1) + (2(ك + 1) - 1) = (ك + 1).

دعونا ننظر إلى الجانب الأيسر من المساواة الأخيرة.

على الافتراض، مجموع الأول كحيث يساوي كوبالتالي 1 + 3 + 5 + ... + (2 ك- 1) + (2(ك + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2ك- 1) + (2ك+ 1)=

= ك+(2ك + 1) = ك+ 2ك + 1. تعبير ك+ 2ك + 1 يساوي تمامًا التعبير ( ك + 1).

ولذلك فإن حقيقة هذه المساواة ل ن = ك +تم إثبات 1.

وبالتالي فإن هذه المساواة صحيحة بالنسبة ن = 1 ومن حقيقتها ل ن = كيجب أن يكون صحيحا ل ن = ك + 1.

وهذا يثبت أن هذه المساواة صحيحة لأي عدد طبيعي.

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، يمكنك إثبات حقيقة ليس فقط المساواة، ولكن أيضا عدم المساواة.

مهمة. أثبت ذلك، أين ن.ن.

حل.دعونا نتحقق من حقيقة عدم المساواة في ن = 1. لدينا عدم مساواة حقيقية.

لنفترض أن عدم المساواة صحيح ل ن = ك،أولئك. - عدم المساواة الحقيقية. دعونا نثبت، بناءً على الافتراض، أن هذا صحيح أيضًا ن = ك + 1، أي. (*).

لنحول الطرف الأيسر من المتراجحة (*)، مع مراعاة ما يلي: .

لكن مما يعني .

إذن، هذه المتباينة تنطبق على ن = 1، ومن كون عدم المساواة صحيحا بالنسبة للبعض ن = ك، وجدنا أن هذا صحيح أيضًا ن = ك + 1.

وهكذا، باستخدام البديهية 4، أثبتنا أن هذه المتباينة صحيحة لأي عدد طبيعي.

يمكن إثبات العبارات الأخرى باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مهمة. أثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي.

حل. دعونا نتحقق من صحة البيان متى ن = 1:- كلام صحيح.

لنفترض أن هذا البيان صحيح ل ن = ك: . دعونا نبين باستخدام هذا حقيقة العبارة متى ن = ك + 1: .

دعونا نحول التعبير: . دعونا نجد الفرق كو ك+ 1 أعضاء. إذا اتضح أن الفرق الناتج هو مضاعف للرقم 7، وبافتراض أن المطروح قابل للقسمة على 7، فإن الطرح هو أيضًا مضاعف للرقم 7:

المنتج هو مضاعف 7، وبالتالي، و .

وبالتالي فإن هذا البيان صحيح ل ن = 1 ومن حقيقتها ل ن = كيجب أن يكون صحيحا ل ن = ك + 1.

وهذا يثبت أن هذه العبارة صحيحة بالنسبة لأي عدد طبيعي.

مهمة. أثبت ذلك لأي عدد طبيعي ن 2 العبارة (7-1)24 صحيحة.

حل. 1) دعونا نتحقق من صحة العبارة متى ن= 2: - بيان صحيح.

مدينة بريانسك صالة حفلات رقم 1

العمل البحثي حول الموضوع:

طريقة الاستقراء الرياضي

مكتمل

مبالكاد لقسنطينة

طالب 10 فيزياء ورياضيات

مدينة بريانسك صالة حفلات رقم 1

تم الفحص

تيوكاشيفا عنكذب وفانوفنا

مقدمة _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

الجزء الرئيسي

الحث الكامل وغير الكامل _ _ _ _ _ _ _ _3-4

مبدأ الاستقراء الرياضي_ _ _ _ _4-5

طريقة الاستقراء الرياضي_ _ _ _ _ _ 6

الحل عن طريق الاستقراء الرياضي

مسائل الجمع_ _ _ _ _ _ _ _ 7

إلى مشاكل إثبات عدم المساواة _ _8

لمشاكل القسمة _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

إلى مشاكل إثبات الهويات _ _ _12

إلى مهام أخرى _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

الخاتمة _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

قائمة الأدبيات المستخدمة _ _ _ _17

مقدمة

كلمة تعريفيباللغة الروسية تعني التوجيه، و حثياستنتاجات الدعوة التي تم التوصل إليها على أساس الملاحظات والتجارب، أي. يتم الحصول عليها عن طريق الاستدلال من الخاص إلى العام.

كما ظهر مفهوم "المتابعة" الذي هو أساس علم الحساب، من خلال ملاحظة تشكيل الجنود والسفن والمجموعات المرتبة الأخرى.

جوهر الاستقراء الرياضي

دعونا نعرض مثالا على استخدام مطريقة ملارياضي والحث وفي النهاية سنتوصل إلى نتيجة تعميمية.

فليكن من الضروري إثبات أن كل عدد طبيعي زوجي يقع ضمن 4< n< 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

توضح هذه المساواة التسعة أن كل عدد من الأعداد التي نهتم بها ممثل بالفعل كمجموع حدين بسيطين.

وبالتالي، فإن الاستقراء الكامل يتكون من إثبات العبارة العامة بشكل منفصل في كل عدد محدود من الحالات المحتملة.

في بعض الأحيان يمكن التنبؤ بالنتيجة العامة بعد النظر ليس كلها، ولكن عدد كبير بما فيه الكفاية من الحالات المحددة (ما يسمى بالتحريض غير الكامل).

ومع ذلك، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق الاستقراء غير الكامل تظل مجرد فرضية حتى يتم إثباتها بالاستدلال الرياضي الدقيق، الذي يشمل جميع الحالات الخاصة. بمعنى آخر، لا يعتبر الاستقراء غير المكتمل في الرياضيات طريقة مشروعة للإثبات الدقيق، ولكنه طريقة قوية لاكتشاف حقائق جديدة.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد العثور على مجموع أول أرقام فردية متتالية. دعونا نفكر في حالات خاصة:

1+3+5+7+9=25=5 2

وبعد النظر في هذه الحالات الخاصة العديدة، فإن الاستنتاج العام التالي يشير إلى نفسه:

1+3+5+…+(2ن-1)=ن 2

أولئك. مجموع أول n من الأعداد الفردية المتتالية هو n 2

وبطبيعة الحال، فإن الملاحظة التي تم إجراؤها لا يمكن أن تكون بمثابة دليل على صحة الأمر.

صيغة معينة.

الاستقراء الكامل له تطبيقات محدودة فقط في الرياضيات. تغطي العديد من البيانات الرياضية المثيرة للاهتمام عددًا لا حصر له من الحالات الخاصة، لكننا غير قادرين على اختبارها لعدد لا حصر له من الحالات. غالبًا ما يؤدي الحث غير المكتمل إلى نتائج خاطئة.

في كثير من الحالات، يكون المخرج من هذا النوع من الصعوبة هو اللجوء إلى طريقة خاصة للاستدلال، تسمى طريقة الاستقراء الرياضي. هو على النحو التالي.

لنفترض أنك بحاجة إلى إثبات صحة عبارة معينة لأي عدد طبيعي n (على سبيل المثال، تحتاج إلى إثبات أن مجموع الأعداد الفردية n الأولى يساوي n 2). التحقق المباشر من هذه العبارة لكل قيمة n أمر مستحيل، لأن مجموعة الأعداد الطبيعية لا نهائية. لإثبات هذه العبارة، تحقق أولاً من صحتها لـ n=1. ثم أثبتوا أنه بالنسبة لأي قيمة طبيعية لـ k، فإن صحة العبارة قيد النظر لـ n=k تعني ضمناً صحتها لـ n=k+1.

ثم يعتبر البيان مثبتا لجميع ن. في الواقع، العبارة صحيحة بالنسبة لـ n=1. لكن هذا ينطبق أيضًا على الرقم التالي n=1+1=2. صحة العبارة لـ n=2 تعني صحتها لـ n=2+

1=3. وهذا يعني صحة العبارة لـ n=4، وما إلى ذلك. ومن الواضح أننا في النهاية سنصل إلى أي عدد طبيعي n. هذا يعني أن العبارة صحيحة بالنسبة لأي n.

تلخيصا لما قيل، نقوم بصياغة المبدأ العام التالي.

مبدأ الاستقراء الرياضي.

إذا كان الاقتراح أ( ن ) حسب العدد الطبيعي ن ، صحيح ل ن =1 ومن حقيقة أنه صحيح ل ن = ك (أين ك - أي عدد طبيعي)، فيترتب على ذلك أنه صحيح بالنسبة للعدد الذي يليه ن = ك +1، ثم الافتراض أ( ن ) صحيح لأي عدد طبيعي ن .

في عدد من الحالات، قد يكون من الضروري إثبات صحة عبارة معينة ليس لجميع الأعداد الطبيعية، ولكن فقط لـ n> p، حيث p هو عدد طبيعي ثابت. في هذه الحالة، يتم صياغة مبدأ الاستقراء الرياضي على النحو التالي.

إذا كان الاقتراح أ( ن ) صحيح ل ن = ص وإذا أ( ك ) Þ أ( ك +1) لأي شخص ك > ص ثم الاقتراح أ( ن ) صحيح لأي شخص ن > ص .

يتم إجراء الإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي على النحو التالي. أولاً، يتم التحقق من العبارة المراد إثباتها لـ n=1، أي. تم إثبات صحة العبارة أ(١). هذا الجزء من البرهان يسمى الأساس الاستقراءي. ثم يأتي جزء الإثبات المسمى بالخطوة الاستقراءية. في هذا الجزء يتم إثبات صحة العبارة لـ n=k+1 بافتراض صحة العبارة لـ n=k (افتراض الاستقراء)، أي. أثبت أن A(k)ÞA(k+1).

تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي في مسائل الجمع

تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي في مسائل الجمع