الصفحة 2 من 3

الشكل الجبري لعدد مركب.
الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد المركبة.

لقد تعرفنا بالفعل على الصورة الجبرية للعدد المركب - وهذه هي الصورة الجبرية للعدد المركب. لماذا نتحدث عن الشكل؟ الحقيقة هي أن هناك أيضًا أشكالًا مثلثية وأسية للأعداد المركبة، والتي سيتم مناقشتها في الفقرة التالية.

العمليات ذات الأعداد المركبة ليست صعبة بشكل خاص ولا تختلف كثيرًا عن الجبر العادي.

جمع الأعداد المركبة

مثال 1

إضافة رقمين مركبين،

لجمع عددين مركبين، عليك جمع أجزائهما الحقيقية والتخيلية:

بسيطة، أليس كذلك؟ الإجراء واضح جدًا لدرجة أنه لا يتطلب تعليقات إضافية.

بهذه الطريقة البسيطة يمكنك إيجاد مجموع أي عدد من الحدود: جمع الأجزاء الحقيقية وجمع الأجزاء التخيلية.

بالنسبة للأعداد المركبة، تكون قاعدة الدرجة الأولى صالحة: - إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع.

طرح الأعداد المركبة

مثال 2

أوجد الاختلافات بين الأعداد المركبة و إذا .

الإجراء مشابه لعملية الجمع، والخصوصية الوحيدة هي أنه يجب وضع المطروح بين قوسين، ثم يجب فتح الأقواس بالطريقة القياسية مع تغيير الإشارة:

يجب ألا تكون النتيجة مربكة؛ فالرقم الناتج يتكون من جزأين، وليس ثلاثة أجزاء. ببساطة الجزء الحقيقي هو المركب : . وللتوضيح يمكن إعادة كتابة الإجابة على النحو التالي: .

دعونا نحسب الفرق الثاني:

هنا الجزء الحقيقي مركب أيضًا:

ولتجنب أي استخفاف، سأقدم مثالاً قصيرًا بجزء وهمي "سيئ": . هنا لم يعد بإمكانك الاستغناء عن الأقواس.

ضرب الأعداد المركبة

لقد حان الوقت لنقدم لكم المساواة الشهيرة:

مثال 3

إيجاد حاصل ضرب الأعداد المركبة

من الواضح أن العمل يجب أن يُكتب على النحو التالي:

ماذا يوحي هذا؟ ويُطلب فتح الأقواس وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود. هذا ما عليك القيام به! جميع العمليات الجبرية مألوفة بالنسبة لك، والشيء الرئيسي هو أن تتذكر ذلك وتوخي الحذر.

دعونا نكرر، يا إلهي، القاعدة المدرسية لضرب كثيرات الحدود: لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة حدود واحدة في كل حد من كثيرة حدود أخرى.

سأكتبها بالتفصيل:

آمل أن يكون الأمر واضحًا للجميع

الانتباه، ومرة ​​أخرى الاهتمام، في أغلب الأحيان يتم ارتكاب الأخطاء في العلامات.

مثل المجموع، فإن حاصل ضرب الأعداد المركبة قابل للتبديل، أي أن المساواة صحيحة: .

من السهل العثور في الأدبيات التعليمية وعلى الإنترنت على صيغة خاصة لحساب حاصل ضرب الأعداد المركبة. استخدمه إذا كنت تريد، ولكن يبدو لي أن النهج المتبع في ضرب كثيرات الحدود هو أكثر عالمية وأكثر وضوحًا. لن أعطيك الصيغة، أعتقد أنها في هذه الحالة تملأ رأسك بنشارة الخشب.

تقسيم الأعداد المركبة

مثال 4

بالنظر إلى الأعداد المركبة، . أوجد الحاصل.

دعونا نجعل حاصل:

يتم تنفيذ تقسيم الأرقام بضرب المقام والبسط في التعبير المرافق للمقام.

دعونا نتذكر الصيغة الملتحية وننظر إلى المقام لدينا: . المقام لديه بالفعل، وبالتالي فإن التعبير المترافق في هذه الحالة هو، أي

وفقًا للقاعدة، يجب ضرب المقام بـ، وحتى لا يتغير شيء، يجب ضرب البسط بنفس الرقم:

سأكتبها بالتفصيل:

اخترت مثالًا "جيدًا": إذا أخذت رقمين "من الصفر"، فنتيجة للقسمة، ستحصل دائمًا على كسور، شيء من هذا القبيل .

في بعض الحالات، قبل تقسيم الكسر، من المستحسن تبسيطه، على سبيل المثال، النظر في حاصل قسمة الأرقام: . قبل القسمة، نتخلص من السلبيات غير الضرورية: في البسط والمقام، نخرج السالب من الأقواس ونقلل هذه السلبيات: . ولمن يحب حل المشاكل إليكم الإجابة الصحيحة:

نادرًا، ولكن تحدث المهمة التالية:

مثال 5

يتم إعطاء عدد مركب. اكتب هذا الرقم على الصورة الجبرية (أي في الصورة).

التقنية هي نفسها - نضرب المقام والبسط بالتعبير المرافق للمقام. دعونا نلقي نظرة على الصيغة مرة أخرى. يحتوي المقام بالفعل على ، لذا يجب ضرب المقام والبسط في التعبير المرافق، أي بواسطة:

ومن الناحية العملية، يمكنهم بسهولة تقديم مثال متطور حيث تحتاج إلى إجراء العديد من العمليات على الأعداد المركبة. لا تصابوا بالذعر: احرص، اتبع قواعد الجبر، الإجراء الجبري المعتاد، وتذكر ذلك.

الشكل المثلثي والأسي للعدد المركب

في هذا القسم سنتحدث أكثر عن الصورة المثلثية للرقم المركب. الشكل التوضيحي أقل شيوعًا في المهام العملية. أوصي بتنزيل وطباعة الجداول المثلثية، إن أمكن، ويمكن العثور على المواد المنهجية على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية. لا يمكنك الذهاب بعيدًا بدون طاولات.

يمكن كتابة أي عدد مركب (ما عدا الصفر) على الصورة المثلثية:
، أين هي معامل العدد المركب، أ - حجة الرقم المركب. دعونا لا نهرب، كل شيء أبسط مما يبدو.

دعونا نمثل العدد على المستوى المركب. ولتوضيح وتبسيط الشرح، سنضعه في الربع الإحداثي الأول، أي: نحن نصدق ذلك:

معامل العدد المركبهي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة المقابلة في المستوى المركب. ببساطة، الوحدة هي الطولناقل نصف القطر المشار إليه باللون الأحمر في الرسم.

يُشار عادةً إلى معامل العدد المركب بالرمز: أو

باستخدام نظرية فيثاغورس، من السهل استخلاص صيغة لإيجاد مقياس العدد المركب: . هذه الصيغة صحيحة لأيمعني "أ" و"يكون".

ملحوظة: معامل العدد المركب هو تعميم للمفهوم معامل العدد الحقيقي، كالمسافة من نقطة إلى الأصل.

حجة عدد مركبمُسَمًّى ركنبين نصف محور إيجابيالمحور الحقيقي ومتجه نصف القطر المرسوم من الأصل إلى النقطة المقابلة. لم يتم تعريف الوسيطة للمفرد: .

المبدأ المعني مشابه في الواقع لـ الإحداثيات القطبية، حيث يحدد نصف القطر القطبي والزاوية القطبية النقطة بشكل فريد.

يُشار إلى وسيطة الرقم المركب بشكل قياسي: أو

من الاعتبارات الهندسية، نحصل على الصيغة التالية لإيجاد الوسيطة:
. انتباه!هذه الصيغة تعمل فقط في نصف المستوى الأيمن! إذا لم يكن الرقم المركب موجودًا في الربع الإحداثي الأول أو الرابع، فستكون الصيغة مختلفة قليلاً. سنقوم أيضًا بتحليل هذه الحالات.

لكن أولاً، دعونا نلقي نظرة على أبسط الأمثلة عندما تكون الأعداد المركبة موجودة على محاور الإحداثيات.

مثال 7

لنقم بالرسم:

في الواقع، المهمة شفهية. من أجل الوضوح، سأعيد كتابة الصيغة المثلثية للرقم المركب:

دعونا نتذكر بقوة، الوحدة – طول(وهو دائما غير سلبي)، والحجة هي ركن.

1) دعونا نمثل العدد بالشكل المثلثي. دعونا نجد معاملها وحجتها. من الواضح أن . الحساب الرسمي باستخدام الصيغة: .
ومن الواضح أن (الرقم يقع مباشرة على شبه المحور الموجب الحقيقي). إذن العدد في الصورة المثلثية هو: .

إجراء التحقق العكسي واضح مثل اليوم:

2) دعونا نمثل العدد بالشكل المثلثي. دعونا نجد معاملها وحجتها. من الواضح أن . الحساب الرسمي باستخدام الصيغة: .
من الواضح (أو 90 درجة). في الرسم، يتم تحديد الزاوية باللون الأحمر. إذن العدد في الصورة المثلثية هو: .

باستخدام جدول قيم الدوال المثلثية، من السهل استعادة الشكل الجبري للرقم (أثناء إجراء الفحص أيضًا):

3) دعونا نمثل العدد بالشكل المثلثي. دعونا نجد معاملها وحجتها. من الواضح أن . الحساب الرسمي باستخدام الصيغة: .
من الواضح (أو 180 درجة). في الرسم يتم تحديد الزاوية باللون الأزرق. إذن العدد في الصورة المثلثية هو: .

فحص:

4) والحالة الرابعة المثيرة للاهتمام. دعونا نمثل العدد في شكل مثلثي. دعونا نجد معاملها وحجتها. من الواضح أن . الحساب الرسمي باستخدام الصيغة: .

ويمكن كتابة الحجة بطريقتين: الطريقة الأولى: (270 درجة)، وعليه: . فحص:

ومع ذلك، فإن القاعدة التالية هي أكثر القياسية: إذا كانت الزاوية أكبر من 180 درجة، ثم يتم كتابتها بعلامة الطرح والاتجاه المعاكس ("التمرير") للزاوية: (ناقص 90 درجة)، وفي الرسم تم تحديد الزاوية باللون الأخضر. فمن السهل أن نرى ذلك وهي نفس الزاوية.

وبالتالي فإن الإدخال يأخذ الشكل:

انتباه!لا ينبغي بأي حال من الأحوال استخدام تكافؤ جيب التمام، وغرابة الجيب، ومواصلة "تبسيط" الترميز:

بالمناسبة، من المفيد أن نتذكر مظهر وخصائص الدوال المثلثية والعكسية للمواد المرجعية الموجودة في الفقرات الأخيرة من الصفحة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية الأساسية. وسيتم تعلم الأعداد المركبة بسهولة أكبر!

في تصميم أبسط الأمثلة، ينبغي للمرء أن يكتب: "من الواضح أن الوحدة تساوي... ومن الواضح أن الوسيطة تساوي...". هذا واضح حقًا وسهل حله لفظيًا.

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالات الأكثر شيوعا. كما أشرت سابقًا، لا توجد مشكلات في الوحدة، ويجب عليك دائمًا استخدام الصيغة. لكن صيغ العثور على الوسيطة ستكون مختلفة، فهي تعتمد على الربع الإحداثي الذي يقع فيه الرقم. في هذه الحالة، هناك ثلاثة خيارات ممكنة (من المفيد نسخها في دفتر ملاحظاتك):

1) إذا كان (الربع الإحداثي الأول والرابع، أو نصف المستوى الأيمن)، فيجب العثور على الوسيطة باستخدام الصيغة.

2) إذا كان (الربع الإحداثي الثاني)، فيجب العثور على الوسيطة باستخدام الصيغة .

3) إذا كان (الربع الإحداثي الثالث)، فيجب العثور على الوسيطة باستخدام الصيغة .

مثال 8

تمثيل الأعداد المركبة في الصورة المثلثية: , , , .

نظرًا لوجود صيغ جاهزة، فليس من الضروري إكمال الرسم. ولكن هناك نقطة واحدة: عندما يُطلب منك تمثيل رقم في شكل مثلثي، إذن من الأفضل القيام بالرسم على أي حال. والحقيقة هي أن الحل بدون رسم غالبا ما يرفضه المعلمون؛ فغياب الرسم هو سبب خطير للناقص والفشل.

إيه، لم أرسم شيئًا يدويًا منذ مائة عام، تفضل:

كما هو الحال دائمًا، اتضح أنه قذر بعض الشيء =)

سأقدم الأرقام وفي شكل مركب، سيكون الرقمان الأول والثالث للحل المستقل.

دعونا نمثل العدد في شكل مثلثي. دعونا نجد معاملها وحجتها.

		الصيغة الجبرية لكتابة العدد المركب ........................... ......... ...................
		مستوى الأعداد المركبة ........................................... ................................ ........................................ ........................................... ...
		الأعداد المركبة المركبة ........................................... .................... .............................. ...........................
	العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية ........................................... ......... ....
		جمع الأعداد المركبة ........................................... .......................................................................... .................
		طرح الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ...........................
		ضرب الأعداد المركبة ........................................... ........................... ............................. ..................
		تقسيم الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ........................... ...
	الشكل المثلثي لكتابة العدد المركب ........................................... ......... ..........
	العمليات على الأعداد المركبة في الصورة المثلثية ........................................... .........
		ضرب الأعداد المركبة في الصورة المثلثية .......................................... ........
		قسمة الأعداد المركبة على الصورة المثلثية ........................................... ............ ...
		رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة .......................... ............
		استخراج جذر درجة عدد صحيح موجب من عدد مركب ..........................
		رفع عدد مركب إلى قوة عقلانية ........................... .................. .....
		سلسلة معقدة ........................................... ... .............................................................. ......... ....................
		سلسلة الأعداد المركبة ........................................... .................... .............................. ...........................
		متسلسلة القوى في المستوى المركب ........................................... ............ ........................................
		متسلسلة قوى ثنائية الجانب في المستوى المركب ........................................... ........... ...
		وظائف المتغير المعقد ........................................... ..........................................................
		الوظائف الأساسية الأساسية ................................ ................................ . .......... .............................................. .
		صيغ أويلر ........................................... ... .............................................................. ......... ....................
		الشكل الأسي لتمثيل العدد المركب .......................... ........................... .
		العلاقة بين الدوال المثلثية والقطع الزائد ..............................
		الدالة اللوغاريتمية ........................................... ... .............................................................. ......... ...
		وظائف القوة الأسية والعامة ........................................... ............ ...............
	التمايز بين وظائف المتغير المعقد ........................................... ......... ...
		شروط كوشي ريمان ........................................... ..... ................................................ ............ ............
		صيغ لحساب المشتقة ........................................... ....... ...................................
		خصائص عملية التمايز ........................................... ................................ ...........................
		خواص الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة التحليلية ...........................

	إعادة بناء دالة لمتغير معقد من صورته الحقيقية أو الخيالية
		الطريقة رقم 1. استخدام التكامل المنحني ........................................... ...... .......
		الطريقة رقم 2. التطبيق المباشر لشروط كوشي-ريمان.
		الطريقة رقم 3. من خلال مشتقة الدالة المطلوبة .......................... ............ .........
	تكامل وظائف المتغير المعقد ........................................... ......... ..........
	صيغة كوشي المتكاملة ........................................... ..... ................................................ ........... ...
	توسيع الوظائف في سلسلة تايلور ولوران ........................................... .......... ...........................
	الأصفار والنقاط المفردة لدالة متغير معقد ........................................... ............. .....
		أصفار دالة لمتغير معقد ........................................... .......... .......................
		النقاط المفردة المعزولة لدالة المتغير المركب ..........................................

14.3 نقطة عند اللانهاية كنقطة فريدة لدالة لمتغير معقد

	الخصومات .............................................. .......................................................... ............. ........................................... ...
		الخصم عند النقطة الأخيرة ........................................... ...... ........................................................... ............ ......
		بقايا دالة عند نقطة ما لا نهاية ........................................... ............ ...............
	حساب التكاملات باستخدام البقايا ........................................... ..........................................
	أسئلة الاختبار الذاتي ................................ ................................ . ........................... ............................. ........................... .......
	الأدب................................................. .................................................. ...... ...................................
	دليل الموضوع................................................ .................................................. ...... ..............

مقدمة

يعد توزيع الوقت والجهد بشكل صحيح عند التحضير للأجزاء النظرية والعملية للامتحان أو شهادة الوحدة أمرًا صعبًا للغاية، خاصة أنه لا يوجد دائمًا وقت كافٍ أثناء الجلسة. وكما تظهر الممارسة، لا يمكن للجميع التعامل مع هذا. ونتيجة لذلك، أثناء الامتحان، يقوم بعض الطلاب بحل المسائل بشكل صحيح، ولكنهم يجدون صعوبة في الإجابة على أبسط الأسئلة النظرية، بينما يمكن للآخرين صياغة نظرية، ولكن لا يمكنهم تطبيقها.

هذه الإرشادات للتحضير للامتحان في دورة "نظرية وظائف المتغير المركب" (TFCP) هي محاولة لحل هذا التناقض وضمان التكرار المتزامن للمادة النظرية والعملية للدورة. مسترشدة بمبدأ "النظرية دون ممارسة ميتة، والممارسة دون نظرية عمياء"، فهي تحتوي على الأحكام النظرية للدورة على مستوى التعريفات والصياغات، بالإضافة إلى أمثلة توضح تطبيق كل موقف نظري معين، وبالتالي تسهيل حفظه وفهمه.

الغرض من التوصيات المنهجية المقترحة هو مساعدة الطالب على الاستعداد للامتحان على المستوى الأساسي. بمعنى آخر، تم تجميع دليل عمل موسع يحتوي على النقاط الرئيسية المستخدمة في الفصول الدراسية في دورة TFKP والضرورية عند أداء الواجبات المنزلية والتحضير للاختبارات. بالإضافة إلى العمل المستقل للطلاب، يمكن استخدام هذا المنشور التعليمي الإلكتروني عند إجراء الفصول الدراسية بشكل تفاعلي باستخدام لوحة إلكترونية أو لوضعه في نظام التعلم عن بعد.

يرجى ملاحظة أن هذا العمل لا يحل محل الكتب المدرسية أو ملاحظات المحاضرات. لإجراء دراسة متعمقة للمادة، يوصى بالرجوع إلى الأقسام ذات الصلة التي نشرتها جامعة MSTU. ن. كتاب بومان الأساسي.

توجد في نهاية الدليل قائمة بالأدبيات الموصى بها وفهرس للموضوعات يتضمن كل ما تم إبرازه في النص مائل غامقشروط. يتكون الفهرس من روابط تشعبية للأقسام التي يتم فيها تعريف أو وصف هذه المصطلحات بشكل صارم وحيث يتم تقديم أمثلة لتوضيح استخدامها.

الدليل مخصص لطلاب السنة الثانية من جميع كليات جامعة MSTU. ن. بومان.

1. الشكل الجبري لكتابة العدد المركب

تدوين النموذج z = x + iy، حيث x,y هي أرقام حقيقية، i هي وحدة وهمية (أي i 2 = − 1)

يسمى الشكل الجبري لكتابة العدد المركب z. في هذه الحالة، x يسمى الجزء الحقيقي من عدد مركب ويشار إليه بـ Re z (x = Re z)، ويسمى y الجزء التخيلي من عدد مركب ويشار إليه بـ Im z (y = Im z).

مثال. العدد المركب z = 4− 3i له جزء حقيقي Rez = 4 وجزء وهمي Imz = − 3.

2. مستوى الأعداد المركبة

في تعتبر نظريات وظائف المتغير المعقدمستوى الأعداد المركبة، والذي يُشار إليه إما أو باستخدام الحروف التي تشير إلى الأعداد المركبة z، w، وما إلى ذلك.

يسمى المحور الأفقي للمستوى المركب المحور الحقيقي، يتم وضع الأعداد الحقيقية z = x + 0i = x.

يُسمى المحور الرأسي للمستوى المركب بالمحور التخيلي؛

3. الأعداد المترافقة المعقدة

يتم استدعاء الأرقام z = x + iy و z = x − iy المكورات معقدة. على المستوى المركب، فهي تتوافق مع نقاط متناظرة حول المحور الحقيقي.

4. العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية

4.1 جمع الأعداد المركبة

مجموع عددين مركبين

ض 1= س 1+ إيي 1

و z 2 = x 2 + iy 2 يسمى عددا مركبا

ض 1+ ض 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

عملية

إضافة

الأعداد المركبة تشبه عملية جمع ذوات الحدين الجبرية.

مثال. مجموع رقمين مركبين z 1 = 3+ 7i و z 2

= −1 +2 ط

سيكون عددا معقدا

z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i .

بوضوح،

المبلغ الإجمالي

المترافقة

يكون

حقيقي

ض + ض = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 رد ض.

4.2 طرح الأعداد المركبة

الفرق بين رقمين مركبين z 1 = x 1 + iy 1

× 2 + ط 2

مُسَمًّى

شامل

عدد ض 1− ض 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

مثال. الفرق بين رقمين مركبين

ض 1 =3 −4 ط

و ض 2

= −1 +2 ط

سيكون هناك شامل

عدد z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1)) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i .

بالفارق

المكورات معقدة

يكون

ض − ض = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 ضرب الأعداد المركبة

منتج عددين مركبين

ض 1= س 1+ إيي 1

و ض 2 = س 2+ ط 2

تسمى معقدة

ض 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

وبالتالي فإن عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه عملية ضرب ذوات الحدين الجبرية، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن i 2 = − 1.

الأعداد المركبة هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية، وعادة ما يُشار إليها بالرمز . يمكن تمثيل أي عدد مركب كمجموع رسمي، حيث و هي أرقام حقيقية وهي الوحدة التخيلية.

كتابة عدد مركب على الصورة تسمى الصورة الجبرية للعدد المركب.

خصائص الأعداد المركبة. التفسير الهندسي لعدد مركب.

الإجراءات على الأعداد المركبة المعطاة في الصورة الجبرية:

دعونا نفكر في القواعد التي يتم من خلالها تنفيذ العمليات الحسابية على الأعداد المركبة.

إذا تم إعطاء رقمين مركبين α = a + bi و β = c + di، إذن

α + β = (أ + ثنائية) + (ج + دي) = (أ + ج) + (ب + د)أنا،

α – β = (أ + ثنائية) – (ج + دي) = (أ – ج) + (ب – د)ط. (أحد عشر)

يأتي هذا من تعريف عمليات الجمع والطرح لزوجين مرتبين من الأعداد الحقيقية (انظر الصيغتين (1) و (3)). لقد تلقينا قواعد إضافة وطرح الأعداد المركبة: من أجل إضافة رقمين مركبين، يجب علينا إضافة أجزائهما الحقيقية بشكل منفصل، وبالتالي أجزائهما التخيلية؛ من أجل طرح عدد آخر من عدد مركب واحد، من الضروري طرح أجزائه الحقيقية والتخيلية، على التوالي.

الرقم – α = – a – bi يسمى عكس الرقم α = a + bi. مجموع هذين الرقمين هو صفر: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

للحصول على قاعدة ضرب الأعداد المركبة، نستخدم الصيغة (6)، أي حقيقة أن i2 = -1. وبأخذ هذه العلاقة بعين الاعتبار نجد (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd، أي

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

تتوافق هذه الصيغة مع الصيغة (2)، التي تحدد ضرب الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية.

لاحظ أن مجموع وحاصل ضرب عددين مترافقين مركبين هما أرقام حقيقية. في الواقع، إذا كانت α = a + bi، = a – bi، فإن α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2، α + = (a + bi) + (a - bi) = (أ + أ) + (ب - ب)أنا= 2أ، أي.

α + = 2a، α = a2 + b2. (13)

عند قسمة رقمين مركبين بشكل جبري، ينبغي للمرء أن يتوقع أن يتم التعبير عن حاصل القسمة أيضًا برقم من نفس النوع، أي α/β = u + vi، حيث u، v R. دعونا نشتق قاعدة قسمة الأعداد المركبة . دع الأرقام α = a + bi، β = c + di تعطى، و β ≠ 0، أي c2 + d2 ≠ 0. المتباينة الأخيرة تعني أن c و d لا يختفيان في وقت واحد (يتم استبعاد الحالة عندما تكون c = 0) ، د = 0). وبتطبيق الصيغة (12) والثانية من التساويات (13) نجد:

لذلك، يتم تحديد حاصل قسمة عددين مركبين بالصيغة:

المقابلة للصيغة (4).

باستخدام الصيغة الناتجة للرقم β = c + di، يمكنك العثور على الرقم العكسي β-1 = 1/β. بافتراض أ = 1، ب = 0 في الصيغة (14)، نحصل عليها

تحدد هذه الصيغة معكوس عدد مركب معين غير الصفر؛ هذا الرقم معقد أيضًا.

على سبيل المثال: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i؛

(6 + 5ط) – (3 + 8ط) = 3 – 3ط؛

(5 - 4ط)(8 - 9ط) = 4 - 77ط؛

العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.

55. وسيطة عدد مركب. الشكل المثلثي لكتابة العدد المركب (الاشتقاق).

Arg.com.numbers. - بين الاتجاه الموجب لمحور X الحقيقي والمتجه الذي يمثل الرقم المحدد.

صيغة تريجون. أعداد: ،

خطة الدرس.

1. اللحظة التنظيمية.

2. عرض المادة.

3. الواجبات المنزلية.

4. تلخيص الدرس.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

ثانيا. عرض المادة.

تحفيز.

يتكون توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية من إضافة أرقام جديدة (وهمية) إلى الأعداد الحقيقية. ويرجع إدخال هذه الأعداد إلى استحالة استخراج جذر العدد السالب في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مقدمة لمفهوم العدد المركب.

الأعداد التخيلية، التي نكمل بها الأعداد الحقيقية، مكتوبة في النموذج ثنائية، أين أناهي وحدة وهمية، و ط 2 = - 1.

وبناء على ذلك نحصل على التعريف التالي للعدد المركب.

تعريف. الرقم المركب هو تعبير عن النموذج أ + ثنائية، أين أو ب- أرقام حقيقية. وفي هذه الحالة يتم استيفاء الشروط التالية:

أ) عددان مركبان أ 1 + ب 1 طو أ 2 + ب 2 طيساوي إذا وفقط إذا أ 1 = أ 2, ب 1 = ب 2.

ب) يتم تحديد عملية جمع الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:

(أ 1 + ب 1 ط) + (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2) ط.

ج) يتم تحديد ضرب الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:

(أ 1 + ب 1 ط) (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1) ط.

الشكل الجبري لعدد مركب.

كتابة عدد مركب على الصورة أ + ثنائيةتسمى الصورة الجبرية للعدد المركب، حيث أ- الجزء الحقيقي، ثنائيةهو الجزء الخيالي، و ب- عدد حقيقي.

عدد مركب أ + ثنائيةيعتبر مساوياً للصفر إذا كانت أجزاؤه الحقيقية والتخيلية تساوي صفراً: أ = ب = 0

عدد مركب أ + ثنائيةفي ب = 0يعتبر نفس العدد الحقيقي أ: أ + 0i = أ.

عدد مركب أ + ثنائيةفي أ = 0ويسمى وهمية بحتة ويشار إليه ثنائية: 0 + ثنائية = ثنائية.

رقمين معقدين ض = أ + ثنائيةو = أ - ثنائية، والتي تختلف فقط في علامة الجزء التخيلي، تسمى المترافقة.

العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.

يمكنك إجراء العمليات التالية على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.

1) الإضافة.

تعريف. مجموع الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، الجزء الحقيقي منه يساوي مجموع الأجزاء الحقيقية ض 1و ض 2والجزء التخيلي هو مجموع الأجزاء التخيلية من الأعداد ض 1و ض 2، إنه ض = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2)ط.

أعداد ض 1و ض 2تسمى المصطلحات.

تتميز عملية جمع الأعداد المركبة بالخصائص التالية:

1 درجة. التبادلية: ض 1 + ض 2 = ض 2 + ض 1.

2 درجة. الترابط: (ض 1 + ض 2) + ض 3 = ض 1 + (ض 2 + ض 3).

3 درجة. عدد مركب -أ-بييسمى عكس العدد المركب ض = أ + ثنائية. العدد المركب عكس العدد المركب ض، يعني -ض. مجموع الأعداد المركبة ضو -ضيساوي الصفر: ض + (-ض) = 0

مثال 1: إجراء عملية الجمع (3 – ط) + (-1 + 2ط).

(3 – ط) + (-1 + 2ط) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) ط = 2 + 1ط.

2) الطرح.

تعريف.اطرح من عدد مركب ض 1عدد مركب ض 2 ض،ماذا ض + ض 2 = ض 1.

نظرية. الفرق بين الأعداد المركبة موجود وهو فريد من نوعه.

مثال 2: إجراء عملية الطرح (4 - 2ط) - (-3 + 2ط).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) الضرب.

تعريف. منتج الأعداد المركبة ض 1 =أ 1 +ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، والتي تحددها المساواة: ض = (أ 1 أ 2 – ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 + أ 2 ب 1)ط.

أعداد ض 1و ض 2تسمى العوامل.

ضرب الأعداد المركبة له الخصائص التالية:

1 درجة. التبادلية: ض 1 ض 2 = ض 2 ض 1.

2 درجة. الترابط: (ض 1 ض 2) ض 3 = ض 1 (ض 2 ض 3)

3 درجة. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع:

(ض 1 + ض 2) ض 3 = ض 1 ض 3 + ض 2 ض 3.

4 درجة. ض = (أ + ثنائية)(أ – ثنائية) = أ 2 + ب 2- عدد حقيقي.

ومن الناحية العملية، يتم ضرب الأعداد المركبة وفق قاعدة ضرب مجموع في مجموع والفصل بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية.

في المثال التالي، سننظر في ضرب الأعداد المركبة بطريقتين: بالقاعدة وضرب المجموع بالمجموع.

مثال 3: قم بعملية الضرب (2 + 3ط) (5 - 7ط).

1 الطريق. (2 + 3ط) (5 – 7ط) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)ط = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )ط = 31 + ط.

الطريقة 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) القسمة.

تعريف. قسمة عدد مركب ض 1إلى عدد معقد ض 2يعني العثور على مثل هذا العدد المركب ض، ماذا ض · ض 2 = ض 1.

نظرية.حاصل الأعداد المركبة موجود وهو فريد إذا ض 2 ≠ 0 + 0i.

عمليًا، يتم إيجاد حاصل قسمة الأعداد المركبة عن طريق ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

يترك ض 1 = أ 1 + ب 1 ط, ض 2 = أ 2 + ب 2 ط، ثم

.

في المثال التالي، سنقوم بإجراء القسمة باستخدام صيغة وقاعدة الضرب بالرقم المرافق للمقام.

مثال 4. أوجد حاصل القسمة .

5) رفع إلى قوة كاملة إيجابية.

أ) قوى الوحدة التخيلية.

الاستفادة من المساواة ط 2 = -1فمن السهل تحديد أي قوة عددية موجبة للوحدة التخيلية. لدينا:

أنا 3 = أنا 2 أنا = -أنا،

ط 4 = ط 2 ط 2 = 1،

أنا 5 = أنا 4 أنا = أنا،

ط 6 = ط 4 ط 2 = -1،

أنا 7 = أنا 5 أنا 2 = -أنا،

ط 8 = ط 6 ط 2 = 1إلخ.

وهذا يدل على أن قيم الدرجة في، أين ن– عدد صحيح موجب، يتكرر بشكل دوري مع زيادة المؤشر بمقدار 4 .

ولذلك لرفع العدد أناإلى قوة كاملة موجبة، يجب أن نقسم الأس على 4 وبناء أناإلى قوة أسها يساوي باقي القسمة.

مثال 5: احسب: (ط 36 + ط 17) ط 23.

ط 36 = (ط 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

ط 23 = ط 4 × 5+3 = (ط 4) 5 × ط 3 = 1 · ط 3 = - ط.

(ط 36 + ط 17) · ط 23 = (1 + ط) (- ط) = - ط + 1= 1 – ط.

ب) يتم رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة وفقًا لقاعدة رفع ذات الحدين إلى القوة المقابلة، لأنها حالة خاصة لضرب العوامل المعقدة المتماثلة.

مثال 6: احسب: (4 + 2ط) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.