إجابة: النظر في متغير عشوائي متقطع Xمع القيم الممكنة كل من هذه القيم ممكنة، ولكن غير مؤكدة، وقيمتها Xيمكن قبول كل واحد منهم مع بعض الاحتمال. ونتيجة للتجربة، القيمة Xستأخذ إحدى هذه القيم، أي أنه سيحدث أحد المجموعة الكاملة للأحداث غير المتوافقة:
دعونا نشير إلى احتمالات هذه الأحداث بالحروف صمع المؤشرات المقابلة:
أي أنه يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي للقيم المختلفة عن طريق جدول التوزيع، حيث تتم الإشارة في السطر العلوي إلى جميع القيم المقبولة بواسطة متغير عشوائي منفصل معين، واحتمالات القيم المقابلة يشار إليها في الخلاصة. وبما أن الأحداث غير المتوافقة (3.1) تشكل مجموعة كاملة، فإن مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي يساوي واحدًا. لا يمكن عرض التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المستمرة على شكل جدول، حيث أن عدد قيم هذه المتغيرات العشوائية لا نهائي حتى في فترة زمنية محدودة. علاوة على ذلك، فإن احتمال الحصول على أي قيمة معينة هو صفر. سيتم وصف المتغير العشوائي بشكل كامل من وجهة نظر احتمالية إذا حددنا هذا التوزيع، أي أننا نشير بالضبط إلى احتمالية كل حدث. وبهذا سنؤسس ما يسمى بقانون توزيع المتغير العشوائي. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تنشئ علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها. سنقول عن المتغير العشوائي أنه يخضع لقانون توزيع معين. دعونا نحدد الشكل الذي يمكن من خلاله تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي متقطع X.إن أبسط شكل لتحديد هذا القانون هو جدول يسرد القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها:
| × ط | س 1 | س 2 | × × × | س ن |
| باي | ص 1 | ص 2 | × × × | ص ن |
سوف نسمي هذا الجدول سلسلة من توزيعات المتغير العشوائي X.
أرز. 3.1
لإعطاء سلسلة التوزيع مظهرًا أكثر وضوحًا، غالبًا ما يلجأون إلى تمثيلها الرسومي: يتم رسم القيم المحتملة للمتغير العشوائي على طول محور الإحداثي، ويتم رسم احتمالات هذه القيم على طول المحور الإحداثي. من أجل الوضوح، يتم توصيل النقاط الناتجة عن طريق قطاعات مستقيمة. يسمى هذا الشكل مضلع التوزيع (الشكل 3.1). يميز مضلع التوزيع، وكذلك سلسلة التوزيع، المتغير العشوائي بشكل كامل. إنه أحد أشكال قانون التوزيع. في بعض الأحيان يكون ما يسمى بالتفسير "الميكانيكي" لسلسلة التوزيع مناسبًا. دعونا نتخيل أن كتلة معينة تساوي الوحدة يتم توزيعها على طول محور الإحداثي السيني بحيث تكون في نوتتركز الجماهير في نقاط فردية، على التوالي 
. ثم يتم تفسير سلسلة التوزيع على أنها نظام من النقاط المادية مع وجود بعض الكتل على محور الإحداثي السيني.
المشكلة 14.في اليانصيب النقدي، يتم لعب فوز واحد بقيمة 1000000 روبل، و10 انتصارات بقيمة 100000 روبل. و 100 فوز بقيمة 1000 روبل لكل منهما. بإجمالي عدد التذاكر 10000 تذكرة، ابحث عن قانون توزيع المكاسب العشوائية Xلصاحب تذكرة يانصيب واحدة.
حل. القيم المحتملة ل X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;
X 4 = 1000000. احتمالاتهما متساوية على التوالي: ص 2 = 0,01; ص 3 = 0,001; ص 4 = 0,0001; ص 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
لذلك قانون توزيع المكاسب Xيمكن إعطاؤها من خلال الجدول التالي:
بناء مضلع التوزيع.
حل. لنقم ببناء نظام إحداثيات مستطيل، وسنرسم القيم المحتملة على طول محور الإحداثيات س ط,وعلى طول المحور الإحداثي - الاحتمالات المقابلة باي. دعونا نرسم النقاط م 1 (1;0,2), م 2 (3;0,1), م 3 (6;0.4) و م 4 (8;0.3). ومن خلال ربط هذه النقاط بقطع مستقيمة نحصل على مضلع التوزيع المطلوب.
§2. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية
يتميز المتغير العشوائي تمامًا بقانون التوزيع الخاص به. ويمكن الحصول على وصف متوسط للمتغير العشوائي باستخدام خصائصه العددية
2.1. التوقع الرياضي. تشتت.
دع المتغير العشوائي يأخذ القيم مع الاحتمالات وفقًا لذلك.
تعريف. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه الممكنة والاحتمالات المقابلة:
.
خصائص التوقع الرياضي.
يتميز تشتت المتغير العشوائي حول القيمة المتوسطة بالتشتت والانحراف المعياري.
تباين المتغير العشوائي هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي:
يتم استخدام الصيغة التالية لإجراء العمليات الحسابية
خصائص التشتت.
2. حيث توجد متغيرات عشوائية مستقلة بشكل متبادل.
3. الانحراف المعياري 
.
المشكلة 16.أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ز = X+ 2يإذا كانت التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية معروفة Xو ي: م(X) = 5, م(ي) = 3.
حل. نحن نستخدم خصائص التوقع الرياضي. ثم نحصل على:
م(X+ 2ي)= م(X) + م(2ي) = م(X) + 2م(ي) = 5 + 2 . 3 = 11.
المشكلة 17.تباين متغير عشوائي Xيساوي 3. أوجد تباين المتغيرات العشوائية: أ) –3 العاشر؛ب) 4 X + 3.
حل. دعونا نطبق خصائص التشتت 3 و 4 و 2. لدينا:
أ) د(–3X) = (–3) 2 د(X) = 9د(X) = 9 . 3 = 27;
ب) د(4X+ 3) = د(4X) + د(3) = 16د(X) + 0 = 16 . 3 = 48.
المشكلة 18.نظرا لمتغير عشوائي مستقل ي- عدد النقاط التي تم الحصول عليها عند رمي حجر النرد. أوجد قانون التوزيع والتوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري لمتغير عشوائي ي.
حل.جدول توزيع المتغيرات العشوائية يلديه النموذج:
| ي | ||||||
| ص | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
ثم م(ي) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5؛
د(ي) = (1 – 3.5) 2 1/6 +(2 – 3.5) 2 /6 + (3 – 3.5) 2 1/6 + (4 – 3.5) 2 / 6 +(5 – –3.5) 2 1/6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 = 2.917؛ σ (ي) =Ö 2,917 = 1,708.
التجربة هي أي تنفيذ لشروط وإجراءات معينة يتم في ظلها ملاحظة الظاهرة العشوائية التي تتم دراستها. ويمكن وصف التجارب نوعيا وكميا. الكمية العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولا يعرف مقدما أي منها.
ويرمز للمتغيرات العشوائية عادة (X,Y,Z) والقيم المقابلة لها (x,y,z)
المنفصلة عبارة عن متغيرات عشوائية تأخذ قيمًا فردية معزولة عن بعضها البعض والتي يمكن المبالغة في تقديرها. الكميات المستمرة التي تملأ قيمها المحتملة نطاقًا معينًا بشكل مستمر. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تقيم علاقة بين القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية والاحتمالات المقابلة لها. صف التوزيع والمضلع. أبسط شكل لقانون التوزيع لكمية منفصلة هو سلسلة التوزيع. التفسير الرسومي لسلسلة التوزيع هو مضلع التوزيع.
يمكنك أيضًا العثور على المعلومات التي تهمك في محرك البحث العلمي Otvety.Online. استخدم نموذج البحث:
المزيد عن الموضوع 13. المتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية، على سبيل المثال:
- 13. المتغير العشوائي المتقطع وقانون توزيعه. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية. مثال.
- مفهوم المتغير العشوائي ووصفه. المتغير العشوائي المنفصل وقانون (سلسلة) التوزيع الخاص به. المتغيرات العشوائية المستقلة. أمثلة.
- 14. المتغيرات العشوائية وأنواعها. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل (DRV). طرق بناء المتغيرات العشوائية (SV).
- 16. قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. الخصائص العددية للمتغير العشوائي المنفصل: التوقع الرياضي، التشتت، والانحراف المعياري.
- العمليات الرياضية على المتغيرات العشوائية المنفصلة وأمثلة لبناء قوانين التوزيع لـ KX، X"1، X + K، XV بناءً على توزيعات معينة للمتغيرات العشوائية المستقلة X و Y.
- مفهوم المتغير العشوائي. قانون توزيع الحالات المنفصلة. كميات. العمليات الحسابية على العشوائية كميات.
متغير عشوائي هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، تكتسب قيمة لم تكن معروفة من قبل.
عدد الطلاب الحاضرين في المحاضرة
عدد المنازل التي تم تشغيلها خلال الشهر الحالي.
درجة الحرارة المحيطة.
وزن شظية قذيفة تنفجر.
وتنقسم المتغيرات العشوائية إلى منفصلة ومستمرة.
منفصل (متقطع) يسمى متغيرا عشوائيا يأخذ قيما منفصلة معزولة عن بعضها البعض باحتمالات معينة.
يمكن أن يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو قابلاً للعد.
مستمر يسمى متغير عشوائي يمكن أن يأخذ أي قيمة من فترة محدودة أو لا نهائية.
من الواضح أن عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي.
في الأمثلة المذكورة: 1 و2 متغيران عشوائيان منفصلان، 3 و4 متغيران عشوائيان مستمران.
في المستقبل، بدلاً من عبارة "متغير عشوائي" سنستخدم غالبًا الاختصار c. V.
كقاعدة عامة، سيتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة، وقيمها المحتملة بأحرف صغيرة.
في التفسير النظري للمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، المتغير العشوائي X هو دالة لحدث أولي: X =φ(ω)، حيث ω هو حدث أولي ينتمي إلى الفضاء Ω (ω Ω). في هذه الحالة، المجموعة Ξ للقيم المحتملة لـ c. V. يتكون X من جميع القيم التي تأخذها الدالة φ(ω).
قانون توزيع متغير عشوائي هي أي قاعدة (جدول، دالة) تتيح لك العثور على احتمالات جميع أنواع الأحداث المرتبطة بمتغير عشوائي (على سبيل المثال، احتمال أن يستغرق قيمة معينة أو يقع ضمن فترة زمنية معينة).
نماذج لتحديد قوانين توزيع المتغيرات العشوائية. سلسلة التوزيع.
هذا جدول في السطر العلوي يتم إدراج جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي X بترتيب تصاعدي: x 1، x 2، ...، x n، وفي السطر السفلي - احتمالات هذه القيم: ص 1، ص 2، ...، ص ن، حيث ص i = Р(Х = x i ).
بما أن الأحداث (X = x 1 )، (X = x 2 )، ... غير متناسقة وتشكل مجموعة كاملة، فإن مجموع كل الاحتمالات في السطر الأخير من سلسلة التوزيع يساوي واحدًا
يتم استخدام سلسلة التوزيع لتحديد قانون التوزيع للمتغيرات العشوائية المنفصلة فقط.
مضلع التوزيع
يسمى التمثيل الرسومي لسلسلة التوزيع بمضلع التوزيع. يتم بناؤه على النحو التالي: لكل قيمة محتملة لـ c. V. يتم استعادة عمودي على المحور السيني، حيث يتم رسم احتمالية قيمة معينة ج. V. من أجل الوضوح (والوضوح فقط!) يتم توصيل النقاط الناتجة بقطاعات مستقيمة.
دالة التوزيع التراكمي (أو ببساطة دالة التوزيع).
هذه دالة، لكل قيمة للوسيطة x، تساوي عدديًا احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من قيمة الوسيطة x.
تتم الإشارة إلى دالة التوزيع بواسطة F(x): F(x) = P (X x).
يمكننا الآن تقديم تعريف أكثر دقة للمتغير العشوائي المستمر: يسمى المتغير العشوائي مستمرًا إذا كانت دالة التوزيع الخاصة به عبارة عن دالة مستمرة قابلة للتفاضل متعددة التعريف ومشتقة مستمرة.
دالة التوزيع هي الشكل الأكثر عالمية لتحديد ج. v.، والتي يمكن استخدامها لتحديد قوانين التوزيع لكل من s المنفصلة والمستمرة. V.