بناء تطورات أسطح الأجسام الهندسية. تطوير السطح

لتصنيع أغلفة الآلات، ومرفقاتها، وأجهزة التهوية، وخطوط الأنابيب، من الضروري قطع تطوراتها من مادة الصفائح.

تطوير السطحمتعدد السطوح هو شكل مسطح يتم الحصول عليه من خلال دمج جميع وجوه متعدد السطوح مع مستوى الرسم في تسلسل موقعها على متعدد السطوح.

لبناء تطور لسطح متعدد السطوح، تحتاج إلى تحديد الحجم الطبيعي للوجوه ورسم جميع الوجوه بالتتابع على المستوى. يتم العثور على الأبعاد الحقيقية لحواف الوجوه، إذا لم يتم إسقاطها بالحجم الكامل، من خلال طرق التدوير أو تغيير مستويات الإسقاط (عن طريق الإسقاط على مستوى إضافي) الواردة في الفقرة السابقة.

دعونا نفكر في بناء التطورات السطحية لبعض الأجسام البسيطة.

تطوير سطح المنشور المستقيمهو شكل مسطح يتكون من وجوه جانبية - مستطيلات ومضلعين متساويين في القاعدة. على سبيل المثال، يتم أخذ المنشور السداسي الأيمن المنتظم (الشكل 176، أ). جميع الوجوه الجانبية للمنشور مستطيلة، متساوية في العرض a والارتفاع H؛ قواعد المنشور عبارة عن أشكال سداسية منتظمة ضلعها يساوي أ. وبما أننا نعرف الأبعاد الحقيقية للوجوه، فليس من الصعب بناء التطوير. للقيام بذلك، يتم وضع ستة أجزاء بالتتابع على خط أفقي يساوي جانب قاعدة السداسي، أي 6 أ. من النقاط التي تم الحصول عليها، يتم إنشاء عموديات تساوي ارتفاع المنشور H، ويتم رسم خط أفقي ثانٍ من خلال نقاط نهاية المتعامدين. المستطيل الناتج (H x 6a) هو تطور للسطح الجانبي للمنشور. ثم يتم وضع الأشكال الأساسية على محور واحد - شكلان سداسيان بجوانب تساوي أ. يتم تحديد المخطط التفصيلي بخط رئيسي متصل، ويتم تحديد خطوط الطي بخط منقط بنقطتين.

وبطريقة مماثلة، يمكنك بناء تطورات للمنشورات المستقيمة مع وجود أي شكل في القاعدة.

تطوير سطح الهرم المنتظمهو شكل مسطح يتكون من وجوه جانبية - متساوي الساقين أو مثلثات متساوية الأضلاع ومضلع ذو قاعدة منتظمة. على سبيل المثال، يتم أخذ هرم رباعي الزوايا منتظم (الشكل 176، ب). إن حل المشكلة معقد لأن حجم الجوانب الجانبية للهرم غير معروف، لأن حواف الوجوه ليست موازية لأي من مستويات الإسقاط. لذلك، يبدأ البناء بتحديد القيمة الحقيقية للحافة المائلة SA. بعد تحديد طريقة الدوران (انظر الشكل 173، ج) الطول الحقيقي للحافة المائلة SA، يساوي s"a` 1 (الشكل 176، ب)، يتم رسم قوس نصف القطر s"a` 1 من نقطة تعسفية O، اعتبارا من المركز. يتم وضع أربعة أجزاء على قوس يساوي جانب قاعدة الهرم المسقط في الرسم بحجمه الحقيقي. ترتبط النقاط التي تم العثور عليها بخطوط مستقيمة بالنقطة O. وبعد الحصول على تطور للسطح الجانبي، يتم ربط مربع يساوي قاعدة الهرم بقاعدة أحد المثلثات.

تطوير سطح مخروط دائري قائمهو شكل مسطح يتكون من قطاع دائري ودائرة (الشكل 176، ج). يتم البناء على النحو التالي. ارسم خطًا محوريًا ومن نقطة مأخوذة عليه، اعتبارًا من المركز، بنصف قطر Rh يساوي مولد المخروط sfd، حدد قوسًا من الدائرة. في هذا المثال، المولد، المحسوب باستخدام نظرية فيثاغورس، يساوي تقريبًا

غالبًا ما نواجه تطورات سطحية في الحياة اليومية وفي الإنتاج والبناء. لإنشاء حالة لكتاب (الشكل 169)، وخياطة غطاء لحقيبة السفر، وإطار للكرة الطائرة، وما إلى ذلك، يجب أن تكون قادرًا على بناء تطورات لأسطح المنشور والكرة والأجسام الهندسية الأخرى. التطور هو الشكل الذي يتم الحصول عليه من خلال الجمع بين سطح جسم معين ومستوى. بالنسبة لبعض الجثث، يمكن أن تكون عمليات الفحص دقيقة، وبالنسبة للبعض الآخر يمكن أن تكون تقريبية. جميع متعددات الوجوه (المنشورات، والأهرامات، وما إلى ذلك)، والأسطح الأسطوانية والمخروطية، وبعضها الآخر لها تطورات دقيقة. تحتوي التطورات التقريبية على كرة، وطارة، وأسطح دوران أخرى ذات مولد منحني. سوف نسمي المجموعة الأولى من الأسطح قابلة للتطوير، والثانية - غير قابلة للتطوير.

تبجين-->تيند-->

ابدأ-->
نهاية-->

عند إنشاء تطورات لمتعددات الوجوه، سيتعين عليك العثور على الحجم الفعلي لحواف وأوجه هذه متعددات الوجوه باستخدام التدوير أو تغيير مستويات الإسقاط. عند إنشاء تطويرات تقريبية للأسطح غير القابلة للتطوير، سيكون من الضروري استبدال أجزاء من هذه الأخيرة بأسطح قابلة للتطوير قريبة منها في الشكل.

لإنشاء مسح للسطح الجانبي للمنشور (الشكل 170)، من المفترض أن مستوى المسح يتزامن مع الوجه AADD للمنشور؛ تتم محاذاة الوجوه الأخرى للمنشور مع نفس المستوى، كما هو موضح في الشكل. يتم دمج الوجه ССВВ بشكل مبدئي مع الوجه ААВВ. يتم رسم خطوط الطي وفقًا لـ GOST 2.303-68 بخطوط صلبة رفيعة بسمك s/3-s/4. عادة ما يتم الإشارة إلى النقاط الموجودة على المسح الضوئي بنفس الحروف الموجودة في الرسم المعقد، ولكن مع الفهرس 0 (صفر). عند بناء تطور المنشور المستقيم وفقًا لرسم معقد (الشكل 171، أ)، يتم أخذ ارتفاع الوجوه من الإسقاط الأمامي، والعرض من الأفقي. من المعتاد إجراء مسح بحيث يكون الجانب الأمامي من السطح مواجهًا للمراقب (الشكل 171، ب). من المهم ملاحظة هذا الشرط لأن بعض المواد (الجلود والأقمشة) لها وجهان: أمامي وخلفي. ترتبط قواعد المنشور ABCD بأحد وجوه السطح الجانبي.

إذا تم تحديد النقطة 1 على سطح المنشور، فسيتم نقلها إلى التطوير باستخدام جزأين محددين على الرسم المعقد بضربة واحدة واثنين، يتم وضع الجزء الأول C1l1 على يمين النقطة C0، والجزء الثاني يتم وضعه عموديًا (إلى النقطة l0).

ابدأ-->
نهاية-->

وبالمثل، يتم إنشاء تطور لسطح أسطوانة الدوران (الشكل 172). قسّم سطح الأسطوانة إلى عدد معين من الأجزاء المتساوية، على سبيل المثال 12، وافرد السطح المنقوش لمنشور اثنا عشري منتظم. تبين أن طول المسح مع هذا البناء أقل قليلاً من طول المسح الفعلي. إذا كانت هناك حاجة إلى دقة كبيرة، فسيتم استخدام طريقة التحليل الرسومي. يتم ضرب القطر d لمحيط قاعدة الأسطوانة (الشكل 173، أ) بالرقم π = 3.14؛ يتم استخدام الحجم الناتج كطول التطوير (الشكل 173، ب)، ويتم أخذ الارتفاع (العرض) مباشرة من الرسم. وترتبط قواعد الاسطوانة بتطور السطح الجانبي.

ابدأ-->
نهاية-->

إذا تم إعطاء النقطة A على سطح الأسطوانة، على سبيل المثال، بين المولدين الأول والثاني، فسيتم العثور على مكانها في التطوير باستخدام جزأين: وتر محدد بخط سميك (على يمين النقطة l1)، وقطعة تساوي مسافة النقطة A من القاعدة العلوية للأسطوانة، محددة في الرسم بضربتين.

إن بناء تطوير الهرم أكثر صعوبة (الشكل 174، أ). حوافها SA وSC هي خطوط مستقيمة في الوضع العام ويتم إسقاطها على كلا مستويي الإسقاط عن طريق التشويه. قبل إنشاء التطوير، من الضروري العثور على القيمة الفعلية لكل حافة. يتم العثور على حجم الحافة SB من خلال بناء إسقاطها الثالث، حيث أن هذه الحافة موازية للمستوى P3. يتم تدوير الحواف SA وSC حول محور إسقاط أفقي يمر عبر الرأس S بحيث تصبح موازية للمستوى الأمامي للإسقاطات P (يمكن العثور على القيمة الفعلية للحافة SB بنفس الطريقة).

ابدأ-->
نهاية-->

بعد هذا الدوران، ستكون نتوءاتهم الأمامية S 2 A 2 و S 2 C 2 مساوية للحجم الفعلي للأضلاع SA وSC. يتم إسقاط جوانب قاعدة الهرم، مثل الخطوط الأفقية المستقيمة، على مستوى الإسقاط P 1 دون تشويه. بوجود ثلاثة جوانب لكل وجه وباستخدام طريقة serif، من السهل إنشاء تطوير (الشكل 174، ب). يبدأ البناء من الوجه الأمامي. يتم وضع القطعة A 0 C 0 = A 1 C 1 على خط أفقي مستقيم، ويتم عمل الشق الأول بنصف قطر A 0 S 0 - A 2 S 2 والثاني - بنصف قطر C 0 S 0 = = G 2 س 2 ; عند تقاطع الرقيق يتم الحصول على النقطة S. قبول جانب الطلب A 0 S 0 ; من النقطة A 0 اصنع حزًا بنصف القطر A 0 B 0 =A 1 B 1 من النقطة S 0 اصنع حزًا بنصف القطر S 0 B 0 =S 3 B 3 ; عند تقاطع الرقيق يتم الحصول على النقطة B 0. وبالمثل، فإن الوجه S 0 B 0 C 0 متصل بالجانب S 0 G 0 . أخيرًا، المثلث الأساسي A 0 G 0 S 0 متصل بالضلع A 0 C 0 . ويمكن أخذ أطوال أضلاع هذا المثلث مباشرة من الشكل كما هو موضح في الرسم.

يتم إنشاء تطور مخروط الدوران بنفس طريقة تطوير الهرم. قسّم محيط القاعدة إلى أجزاء متساوية، على سبيل المثال إلى 12 جزءًا (الشكل 175، أ)، وتخيل أن المخروط به هرم اثني عشري منتظم. تظهر الوجوه الثلاثة الأولى في الرسم. يتم قطع سطح المخروط على طول المولد S6. كما هو معروف من الهندسة، فإن تطور المخروط يمثله قطاع من الدائرة نصف قطره يساوي طول المخروط المولد l. جميع مولدات المخروط الدائري متساوية، وبالتالي فإن الطول الفعلي للمولد l يساوي الإسقاط الأمامي للمولد الأيسر (أو الأيمن). من النقطة S 0 (الشكل 175، ب) يتم وضع قطعة 5000 = l عموديًا. يتم رسم قوس من الدائرة بنصف القطر هذا. من النقطة O 0، يتم تسريح القطع Ol 0 = O 1 l 1، 1 0 2 0 = 1 1 2 1، وما إلى ذلك، من خلال وضع ستة أجزاء جانبًا، نحصل على النقطة 60، المتصلة بالقمة S0 . يتم إنشاء الجزء الأيسر من المسح بنفس الطريقة؛ قاعدة المخروط مرفقة أدناه.

ابدأ-->
نهاية-->

إذا كنت بحاجة إلى وضع النقطة B على المسح، فقم برسم المولد SB من خلاله (في حالتنا S 2)، قم بتطبيق هذا المولد على المسح (S 0 2 0)؛ قم بتدوير المولد مع النقطة B إلى اليمين حتى تتم محاذاته مع المولد S 3 (S 2 5 2)، أوجد المسافة الفعلية S 2 B 2 وضعها جانبًا من النقطة S 0. تم تمييز الأجزاء التي تم العثور عليها على الرسومات بثلاث ضربات.

إذا لم يكن من الضروري رسم النقاط على المسح المخروطي، فيمكن بناؤه بشكل أسرع وأكثر دقة، حيث أنه من المعروف أن زاوية قطاع المسح هي a=360°R/l، نصف قطر دائرة القاعدة، وl هو طول المولد المخروط.

اسطوانة (اسطوانة دائرية مستقيمة)هو جسم يتكون من دائرتين (قاعدتي الأسطوانة)، يتم دمجهما عن طريق النقل المتوازي، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر أثناء النقل المتوازي. تسمى الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة للدوائر الأساسية بمولدات الأسطوانة.

وهنا تعريف آخر:

اسطوانة- جسم محدد بسطح أسطواني بموجه مغلق ومستويين متوازيين يتقاطعان مع مولدات هذا السطح.

سطح اسطواني- السطح الذي يتكون من حركة خط مستقيم على منحنى معين. ويسمى الخط المستقيم المولد للسطح الأسطواني، والخط المنحني يسمى دليل السطح الأسطواني.

السطح الجانبي للاسطوانة- جزء من سطح أسطواني محدد بمستويات متوازية.

قواعد الاسطوانة- أجزاء من المستويات المتوازية مقطوعة من السطح الجانبي للأسطوانة.

الشكل 1 مصغر

تسمى الاسطوانة مباشر(سم. رسم بياني 1)، إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد. وإلا يتم استدعاء الاسطوانة يميل.

اسطوانة دائرية- أسطوانة قاعدتها دوائر .

الاسطوانة الدائرية اليمنى (اسطوانة فقط)هو الجسم الذي يتم الحصول عليه بتدوير مستطيل حول أحد جوانبه. سم. رسم بياني 1.

نصف قطر الاسطوانةهو نصف قطر قاعدته.

مولد الاسطوانة- المولدات ذات السطح الأسطواني.

ارتفاع الاسطوانةتسمى المسافة بين طائرات القواعد. محور الاسطوانةويسمى الخط المستقيم الذي يمر بمراكز القواعد. يسمى المقطع الذي يمر به المستوى من الأسطوانة عبر محور الأسطوانة القسم المحوري.

محور الاسطوانة موازي لمولدها وهو محور تناظر الاسطوانة.

يسمى المستوى الذي يمر عبر المولد لأسطوانة مستقيمة وعمودي على المقطع المحوري المرسوم من خلال هذا المولد مستوى الظل للاسطوانة. سم. الصورة 2.

تطوير السطح الجانبي للأسطوانة- مستطيل أضلاعه تساوي ارتفاع الاسطوانة ومحيط القاعدة.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة- منطقة تطوير السطح الجانبي. $$S_(side)=2\pi\cdot rh$$ ، أين حهو ارتفاع الاسطوانة، و ص- نصف قطر القاعدة.

إجمالي مساحة سطح الاسطوانة- المساحة، وهي تساوي مجموع مساحات قاعدتي الاسطوانة وسطحها الجانبي، أي. يتم التعبير عنها بالصيغة: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ ، حيث حهو ارتفاع الاسطوانة، و ص- نصف قطر القاعدة.

حجم أي اسطوانةيساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع: $$V = S\cdot h$$ حجم اسطوانة مستديرة: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ ، حيث ( ص- نصف القطر الأساسي).

المنشور هو نوع خاص من الأسطوانات (المولدات متوازية مع الأضلاع الجانبية، والدليل عبارة عن مضلع يقع في القاعدة). من ناحية أخرى، يمكن اعتبار الأسطوانة العشوائية بمثابة منشور منحط ("أملس") مع عدد كبير جدًا من الأوجه الضيقة جدًا. ومن الناحية العملية، لا يمكن تمييز الأسطوانة عن هذا المنشور. يتم الحفاظ على جميع خصائص المنشور في الاسطوانة.

سوف تحتاج

• مسطرة قلم رصاص، بوصلة مربعة، منقلة، صيغ لحساب الزوايا باستخدام طول القوس ونصف القطر، صيغ لحساب جوانب الأشكال الهندسية

تعليمات

على قطعة من الورق، قم ببناء قاعدة الجسم الهندسي المطلوب. إذا تم إعطاؤك متوازي السطوح أو، قم بقياس طول وعرض القاعدة وارسم مستطيلًا بالمعلمات المناسبة على قطعة من الورق. لبناء تطوير أو أسطوانة، تحتاج إلى نصف قطر الدائرة الأساسية. إذا لم يتم تحديده في الشرط، قم بقياس وحساب نصف القطر.

فكر في متوازي السطوح. سترى أن جميع وجوهها تقع بزاوية بالنسبة للقاعدة، ولكن معلمات هذه الوجوه مختلفة. قم بقياس ارتفاع الجسم الهندسي، وباستخدام مربع، ارسم خطين متعامدين على طول القاعدة. ارسم ارتفاع متوازي السطوح عليهم. قم بتوصيل أطراف الأجزاء الناتجة بخط مستقيم. افعل الشيء نفسه على الجانب الآخر من الجانب الأصلي.

من نقاط تقاطع جوانب المستطيل الأصلي، ارسم خطوطًا عمودية على عرضه. ارسم ارتفاع المتوازي على هذه الخطوط المستقيمة وقم بتوصيل النقاط الناتجة بخط مستقيم. افعل الشي ذاته على الجانب الآخر.

من الحافة الخارجية لأي من المستطيلات الجديدة التي يتطابق طولها مع طول القاعدة، قم ببناء الوجه العلوي لمتوازي السطوح. للقيام بذلك، ارسم خطوطًا متعامدة من نقاط تقاطع خطوط الطول والعرض الموجودة في الخارج. ضع جانبًا عرض القاعدة عليها وقم بتوصيل النقاط بخط مستقيم.

لبناء شكل مخروطي عبر مركز الدائرة الأساسية، ارسم نصف قطر عبر أي نقطة على الدائرة واستمر في ذلك. قم بقياس المسافة من القاعدة إلى أعلى المخروط. ضع هذه المسافة جانبًا من نقطة تقاطع نصف القطر والدائرة. ضع علامة على نقطة قمة السطح الجانبي. باستخدام نصف قطر السطح الجانبي وطول القوس، الذي يساوي محيط القاعدة، احسب زاوية المسح وضعها جانبًا من الخط المستقيم المرسوم بالفعل عبر الجزء العلوي من القاعدة. باستخدام البوصلة، قم بتوصيل نقطة التقاطع التي تم العثور عليها مسبقًا لنصف القطر والدائرة بهذه النقطة الجديدة. المسح المخروطي جاهز.

لبناء تطور الهرم، قم بقياس ارتفاعات جوانبه. للقيام بذلك، ابحث عن منتصف كل جانب من القاعدة وقياس طول العمودي المرسوم من أعلى الهرم إلى هذه النقطة. بعد رسم قاعدة الهرم على قطعة من الورق، ابحث عن نقاط منتصف الجوانب وارسم خطوطًا متعامدة على هذه النقاط. قم بتوصيل النقاط الناتجة بنقاط تقاطع جوانب الهرم.

يتكون تطوير الأسطوانة من دائرتين ومستطيل يقع بينهما، طوله يساوي طول الدائرة، وارتفاعه هو ارتفاع الأسطوانة.

تسمى الأسطح المنحنية التي يمكن محاذاتها تمامًا مع المستوى، دون تمديد أو ضغط، دون تمزقات أو طيات، قابلة للتطوير. تتضمن هذه الأسطح الأسطح المسطرة فقط وتلك التي تتقاطع فيها الأجيال المتجاورة أو تكون متوازية. تمتلك هذه الخاصية الجذع (الأسطح التي تتكون من خطوط مستقيمة مماسة لمنحنى مكاني موجه)، والأسطح المخروطية والأسطوانية. الأسطح المسطرة المتبقية، وكذلك كافة الأسطح غير المسطرة، غير قابلة للتوسيع.

بناء تطوير كامل لأسطوانة الثورة الدائرية اليمنى

(الشكل 10.41).

لبناء تطور للأسطوانة، يكفي أن نتخيلها كمنشور بعدد كبير من الوجوه (في الواقع، 12-16 من هذه الوجوه تكفي)، وتقسيم محيط قاعدة الأسطوانة بالتساوي إلى عدد متساوٍ من الأجزاء.

إذا كان هناك أي خط على سطح الاسطوانة، فيمكن نقل هذا الخط إلى تطوير الاسطوانة على طول النقاط التي تنتمي إلى المولدات المقابلة لهذا السطح.

إنشاء مسح للسطح الكامل للمخروط الدائري الأيمن (الشكل 10.42).

ولبناء تطور مخروط دائري قائم، يكفي أن نتصور سطحه كهرم منتظم به عدد كبير من الأوجه ثم بناء تطوره من خلال إيجاد الحجم الفعلي لأحد الوجوه، وهو مثلث متساوي الساقين، على طول جانبها وقاعدتها. يمكن رؤية بناء تطور المخروط من الرسم، حيث قاعدة "الوجه" S01 تساوي الوتر 0 ` 1 `. تطوير السطح الجانبي للمخروط، في هذه الحالة، يحتوي على 12 من هذه "الوجوه".

سيتم العثور على تطور السطح الجانبي بشكل أكثر دقة إذا حددنا الزاوية j 0 عند النقطة S على التطور باستخدام الصيغة:

j 0 =R/l 360 0، حيث R هو نصف قطر قاعدة المخروط، و l هو طول المولد للمخروط.

يمكن العثور على نقاط منحنى ABCDE معين تنتمي إلى السطح الجانبي للمخروط من خلال انتماء هذه النقاط إلى المولدات المقابلة للسطح المخروطي. للقيام بذلك، يكفي استخدام طريقة التدوير، كما هو موضح في مثال النقطة C التي تنتمي إلى المولد S2، للعثور على المقاطع S``B`` 0 =SB، S``D`` 0 =SD و S``E`` 0 =SE .. ضع القطع الموجودة على طول المولدات المقابلة على وضع المخروط ورسم الخط ABCDE من خلالها. للحصول على تطور كامل لسطح المخروط، يجب استكماله بقاعدة المخروط، مماسة عند النقطة المقابلة لتطور السطح الجانبي.

تطوير السطح الجانبي للمخروط المائليكون مثل تطوير هرم مائل مع عدد كبير من الوجوه، كل منها موجود على ثلاث جهات - "حافتان" جانبيتان و "قاعدة" (الشكل 10.43).