إنه إلزامي عند حل نظام المعادلات الأسية؟ بالتأكيد، تحويلهذا النظام في نظام المعادلات البسيطة.
أمثلة.
حل أنظمة المعادلات:
دعونا نعرب فيخلال Xمن (2) معادلة النظام وعوض بهذه القيمة في معادلة النظام (1).
نحل (2) المعادلة العشرية للنظام الناتج:
2 × +2 × +2 =10، طبق الصيغة: فأس + ذ=فأس∙ ذ.
2 x +2 x ∙2 2 =10، لنخرج العامل المشترك 2 x من الأقواس:
2 × (1+2 2)=10 أو 2 × ∙5=10، وبالتالي 2 × =2.
2 × = 2 1، من هنا س = 1. دعنا نعود إلى نظام المعادلات.
الجواب: (1؛ 2).
حل.
نحن نمثل الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة (1) في صورة قوى ذات قاعدة 2 والجانب الأيمن من (2) المعادلة هو القوة الصفرية للرقم 5 .
إذا كانت قوتان لهما نفس الأساسات متساوية، فإن أسس هذه القوى متساوية - فنحن نساوي الأسس مع الأساسات 2 والأسس مع القواعد 5 .
نقوم بحل نظام المعادلات الخطية الناتج بمتغيرين باستخدام طريقة الجمع.
نجد س = 2ونعوض بهذه القيمة بدلًا من ذلك Xفي المعادلة الثانية للنظام
نجد في.
الجواب: (2؛ 1.5).
حل.
إذا انتقلنا في المثالين السابقين إلى نظام أبسط من خلال مساواة مؤشرات درجتين بنفس القواعد، ففي المثال الثالث تكون هذه العملية مستحيلة. من الملائم حل مثل هذه الأنظمة عن طريق إدخال متغيرات جديدة. سوف نقدم المتغيرات شو الخامس،ومن ثم التعبير عن المتغير شخلال الخامسونحصل على معادلة للمتغير الخامس.
نحل (2) المعادلة العشرية للنظام.
ت2 +63ظ-64=0. لنحدد الجذور باستخدام نظرية فييتا، مع العلم أن: v 1 +v 2 = -63؛ ت 1 ∙ ت 2 = -64.
نحصل على: v 1 =-64، v 2 =1. نعود إلى النظام ونجدك.
بما أن قيم الدالة الأسية تكون موجبة دائمًا، فإن المعادلات 4 x = -1 و 4 ص = -64 ليس لديهم حلول.
درس وعرض حول موضوع: "المعادلات الأسية والمتباينات الأسية"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الحادي عشر
الدليل التفاعلي للصفوف 9-11 "علم المثلثات"
الدليل التفاعلي للصفوف 10-11 "اللوغاريتمات"
تعريف المعادلات الأسية
يا رفاق، لقد درسنا الدوال الأسية، واكتشفنا خصائصها وقمنا ببناء الرسوم البيانية، وقمنا بتحليل أمثلة للمعادلات التي تم العثور فيها على الدوال الأسية. اليوم سوف ندرس المعادلات الأسية والمتباينات.تعريف. معادلات النموذج: $a^(f(x))=a^(g(x))$، حيث تسمى $a>0$، $a≠1$ بالمعادلات الأسية.
وبالرجوع إلى النظريات التي درسناها في موضوع "الدالة الأسية" يمكننا تقديم نظرية جديدة:
نظرية. المعادلة الأسية $a^(f(x))=a^(g(x))$، حيث $a>0$، $a≠1$ يعادل المعادلة $f(x)=g(x) $.
أمثلة على المعادلات الأسية
مثال.حل المعادلات:
أ) $3^(3x-3)=27$.
ب) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ج) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
حل.
أ) نحن نعلم جيدًا أن $27=3^3$.
لنعيد كتابة المعادلة: $3^(3x-3)=3^3$.
باستخدام النظرية أعلاه، نجد أن معادلتنا تختصر إلى المعادلة $3x-3=3$؛ وبحل هذه المعادلة نحصل على $x=2$.
الجواب: $x=2$.
ب) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
ومن ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5)) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2x+0.2=0.2$.
$س=0$.
الجواب: $x=0$.
ج) المعادلة الأصلية تعادل المعادلة: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(س-6)(س+3)=0$.
$x_1=6$ و $x_2=-3$.
الإجابة: $x_1=6$ و$x_2=-3$.
مثال.
حل المعادلة: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
حل:
دعونا ننفذ سلسلة من الإجراءات بالتتابع ونجعل طرفي المعادلة لدينا على نفس الأساس.
لنقم بعدد من العمليات على الجانب الأيسر:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
دعنا ننتقل إلى الجانب الأيمن:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
المعادلة الأصلية تعادل المعادلة:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$س=0$.
الجواب: $x=0$.
مثال.
حل المعادلة: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
حل:
لنعيد كتابة المعادلة: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
لنقم بتغيير المتغيرات، دع $a=3^x$.
في المتغيرات الجديدة، المعادلة سوف تأخذ الشكل: $a^2+9a-36=0$.
$(أ+12)(أ-3)=0$.
$a_1=-12$ و$a_2=3$.
لنقم بإجراء التغيير العكسي للمتغيرات: $3^x=-12$ و$3^x=3$.
تعلمنا في الدرس الأخير أن التعبيرات الأسية يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة فقط، تذكر الرسم البياني. هذا يعني أن المعادلة الأولى ليس لها حلول، والمعادلة الثانية لها حل واحد: $x=1$.
الجواب: $x=1$.
لنتذكر كيفية حل المعادلات الأسية:
1. الطريقة الرسومية.نحن نمثل طرفي المعادلة في شكل وظائف ونبني الرسوم البيانية الخاصة بهم، ونجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية. (استخدمنا هذه الطريقة في الدرس الأخير).
2. مبدأ المساواة في المؤشرات.يعتمد المبدأ على حقيقة أن التعبيرين لهما نفس الأساس يكونان متساويين فقط إذا كانت درجات (أسس) هذه الأساسات متساوية. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. طريقة الاستبدال المتغيرةيجب استخدام هذه الطريقة إذا كانت المعادلة، عند استبدال المتغيرات، تبسط شكلها ويكون حلها أسهل بكثير.
مثال.
حل نظام المعادلات: $\begin (الحالات) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \النهاية (الحالات)$.
حل.
دعونا نفكر في معادلتي النظام بشكل منفصل:
$27^ص*3^س=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
خذ المعادلة الثانية:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
دعونا نستخدم طريقة تغيير المتغيرات، دع $y=2^(x+y)$.
عندها ستأخذ المعادلة الشكل:
$y^2-y-12=0$.
$(ص-4)(ص+3)=0$.
$y_1=4$ و$y_2=-3$.
دعنا ننتقل إلى المتغيرات الأولية، من المعادلة الأولى نحصل على $x+y=2$. المعادلة الثانية ليس لها حلول إذن نظام المعادلات الأولي الخاص بنا يعادل النظام: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \النهاية (الحالات)$.
بطرح الثانية من المعادلة الأولى نحصل على: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \النهاية (الحالات)$.
$\begin (الحالات) y=-1, \\ x=3. \النهاية (الحالات)$.
الجواب: $(3;-1)$.
عدم المساواة الأسية
دعنا ننتقل إلى عدم المساواة. عند حل عدم المساواة، فمن الضروري الانتباه إلى أساس الدرجة. هناك سيناريوهان محتملان لتطور الأحداث عند حل المتباينات.نظرية. إذا كان $a>1$، فإن المتباينة الأسية $a^(f(x))>a^(g(x))$ تعادل المتباينة $f(x)>g(x)$.
إذا 0 دولار
مثال.
حل عدم المساواة:
أ) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≥(0.3)^(4x+15)$ .
حل.
أ) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
عدم المساواة لدينا يعادل عدم المساواة:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) في معادلتنا، الأساس هو عندما تكون الدرجة أقل من 1، فعند استبدال المتباينة بمتباينة مكافئة، من الضروري تغيير الإشارة.
$2x-4>2$.
$x>3$.
ج) عدم المساواة لدينا يعادل عدم المساواة:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
لنستخدم طريقة الحل الفاصل:
الإجابة: $(-∞;-5]U \ \
إجابة: $(-4,6)$.
مثال 2
حل نظام المعادلات
الشكل 3.
حل.
هذا النظام يعادل النظام
الشكل 4.
دعونا نطبق الطريقة الرابعة لحل المعادلات. افترض $2^x=u\ (u >0)$ و $3^y=v\ (v >0)$، نحصل على:
الشكل 5.
دعونا نحل النظام الناتج باستخدام طريقة الجمع. دعونا نجمع المعادلات:
\ \
ثم من المعادلة الثانية نحصل على ذلك
بالعودة إلى الاستبدال، تلقيت نظامًا جديدًا من المعادلات الأسية:
الشكل 6.
نحن نحصل:
الشكل 7.
إجابة: $(0,1)$.
أنظمة عدم المساواة الأسية
التعريف 2
أنظمة المتباينات التي تتكون من معادلات أسية تسمى أنظمة المتباينات الأسية.
سنفكر في حل أنظمة المتباينات الأسية باستخدام الأمثلة.
مثال 3
حل نظام عدم المساواة
الشكل 8.
حل:
نظام عدم المساواة هذا يعادل النظام
الشكل 9.
لحل المتباينة الأولى، تذكر النظرية التالية حول تكافؤ المتباينات الأسية:
النظرية 1.عدم المساواة $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $، حيث $a >0,a\ne 1$ يعادل مجموعة نظامين
\}