مساحة المقطع العرضي المتعامدة مع محور الاسطوانة. أمثلة على كيفية حساب مساحة الاسطوانة

كيفية حساب مساحة سطح الاسطوانة هو موضوع هذه المقالة. في أي مشكلة رياضية، عليك أن تبدأ بإدخال البيانات، وتحديد ما هو معروف وما يجب التعامل معه في المستقبل، وبعد ذلك فقط انتقل مباشرة إلى الحساب.

وهذا الجسم الحجمي عبارة عن شكل هندسي أسطواني، يحده من الأعلى والأسفل طائرتان متوازيتان. إذا طبقت القليل من الخيال، ستلاحظ أن الجسم الهندسي يتكون من دوران مستطيل حول محور، حيث يكون أحد أضلاعه هو المحور.

ويترتب على ذلك أن المنحنى الموصوف أعلى وأسفل الأسطوانة سيكون عبارة عن دائرة، المؤشر الرئيسي لها هو نصف القطر أو القطر.

مساحة سطح الاسطوانة - آلة حاسبة على الانترنت

تعمل هذه الوظيفة أخيرًا على تبسيط عملية الحساب، ويتلخص الأمر كله في استبدال القيم المحددة تلقائيًا للارتفاع ونصف القطر (القطر) لقاعدة الشكل. الشيء الوحيد المطلوب هو تحديد البيانات بدقة وعدم ارتكاب الأخطاء عند إدخال الأرقام.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة

عليك أولاً أن تتخيل كيف يبدو المسح في الفضاء ثنائي الأبعاد.

هذا ليس أكثر من مستطيل، أحد أضلاعه يساوي المحيط. وصيغته معروفة منذ زمن سحيق - 2π *ص، أين ص- نصف قطر الدائرة. والضلع الآخر من المستطيل يساوي الارتفاع ح. العثور على ما تبحث عنه لن يكون صعبا.

سجانب= 2π *ص * ح,

أين هو الرقم ط = 3.14.

إجمالي مساحة سطح الاسطوانة

للعثور على المساحة الإجمالية للأسطوانة، تحتاج إلى استخدام الناتج الجانب Sأضف مساحة دائرتين، الجزء العلوي والسفلي من الأسطوانة، والتي يتم حسابها باستخدام الصيغة س س =2ط * ص 2 .

تبدو الصيغة النهائية كما يلي:

سأرضية= 2π * ص 2+ 2π * ص * ح.

مساحة الاسطوانة - الصيغة من خلال القطر

لتسهيل العمليات الحسابية، من الضروري في بعض الأحيان إجراء العمليات الحسابية من خلال القطر. على سبيل المثال، هناك قطعة من الأنابيب المجوفة ذات القطر المعروف.

دون أن نزعج أنفسنا بحسابات غير ضرورية، لدينا صيغة جاهزة. يأتي جبر الصف الخامس للإنقاذ.

سالجنس = 2π * ص 2 + 2 π * ص * ح= 2 π * د 2 /4 + 2 π*ح*د/2 = ط *د 2 /2 + ط *د * ح,

بدلاً من صتحتاج إلى إدراج القيمة في الصيغة الكاملة ص =د/2.

أمثلة لحساب مساحة الاسطوانة

متسلحين بالمعرفة، فلنبدأ بالتدرب.

مثال 1. من الضروري حساب مساحة قطعة الأنبوب المقطوعة، أي الأسطوانة.

لدينا r = 24 مم، h = 100 مم. تحتاج إلى استخدام الصيغة من خلال نصف القطر:

الأرضية S = 2*3.14*24 2 + 2*3.14*24*100 = 3617.28 + 15072 = 18689.28 (مم2).

نقوم بالتحويل إلى m2 المعتاد ونحصل على 0.01868928، أي حوالي 0.02 m2.

مثال 2. مطلوب معرفة مساحة السطح الداخلي لأنبوب موقد الأسبستوس الذي تصطف جدرانه بالطوب الحراري.

البيانات هي كما يلي: القطر 0.2 م؛ الارتفاع 2 م نستخدم الصيغة من حيث القطر:

الطابق S = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3.14 * 0.2 * 2 = 0.0628 + 1.256 = 1.3188 م2.

مثال 3. كيفية معرفة كمية المواد اللازمة لخياطة حقيبة، r = 1 م وارتفاع 1 م.

لحظة واحدة، هناك صيغة:

الجانب S = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 م2.

خاتمة

وفي نهاية المقال يطرح السؤال: هل كل هذه الحسابات والتحويلات من قيمة إلى أخرى ضرورية حقًا؟ لماذا كل هذا مطلوب، والأهم من ذلك، لمن؟ لكن لا تهمل وتنسى الصيغ البسيطة من المدرسة الثانوية.

لقد وقف العالم وسيقف على المعرفة الأولية، بما في ذلك الرياضيات. وعند البدء بأي عمل مهم، ليس من الجيد أبدًا تحديث ذاكرتك بهذه الحسابات، وتطبيقها عمليًا بتأثير كبير. الدقة هي أدب الملوك.

وهو جسم هندسي يحده طائرتان متوازيتان وسطح أسطواني.

تتكون الاسطوانة من سطح جانبي وقاعدتين. تتضمن صيغة مساحة سطح الأسطوانة حسابًا منفصلاً لمساحة القاعدة والسطح الجانبي. بما أن القاعدتين في الأسطوانة متساويتان، فسيتم حساب المساحة الكلية لها بالصيغة:

سنأخذ مثالاً لحساب مساحة الأسطوانة بعد أن عرفنا جميع الصيغ اللازمة. نحتاج أولاً إلى صيغة مساحة قاعدة الأسطوانة. وبما أن قاعدة الاسطوانة عبارة عن دائرة، فسنحتاج إلى تطبيق:
ونتذكر أنه في هذه الحسابات يتم استخدام الرقم الثابت Π = 3.1415926، والذي يتم حسابه على أنه نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. هذا الرقم هو ثابت رياضي. سننظر أيضًا إلى مثال لحساب مساحة قاعدة الأسطوانة بعد قليل.

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة

صيغة مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي حاصل ضرب طول القاعدة وارتفاعها:

الآن دعونا نلقي نظرة على مشكلة نحتاج فيها إلى حساب المساحة الإجمالية للأسطوانة. في الشكل الموضح، الارتفاع هو h = 4 سم، r = 2 سم.
أولاً لنحسب مساحة القواعد:
الآن دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة السطح الجانبي للأسطوانة. عند توسيعه، فإنه يمثل مستطيلاً. يتم حساب مساحتها باستخدام الصيغة أعلاه. دعنا نستبدل جميع البيانات فيه:
المساحة الكلية للدائرة هي مجموع ضعف مساحة القاعدة والضلع:

وهكذا، باستخدام الصيغ الخاصة بمساحة القواعد والسطح الجانبي للشكل، تمكنا من إيجاد المساحة الإجمالية للأسطوانة.
القسم المحوري للأسطوانة عبارة عن مستطيل تكون أضلاعه مساوية لارتفاع وقطر الأسطوانة.

صيغة مساحة المقطع العرضي المحوري للأسطوانة مشتقة من صيغة الحساب:

مساحة كل قاعدة من الاسطوانة هي π ص 2، مساحة كلتا القاعدتين ستكون 2π ص 2 (الشكل).

مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي مساحة المستطيل الذي قاعدته 2π صوالارتفاع يساوي ارتفاع الاسطوانة ح، أي 2π ر.س.

سيكون السطح الإجمالي للأسطوانة: 2π ص 2 + 2ط ر.س= 2π ص(ص+ ح).

تؤخذ مساحة السطح الجانبي للأسطوانة منطقة الاجتياحسطحه الجانبي.

ولذلك فإن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة الدائرية القائمة تساوي مساحة المستطيل المقابل (الشكل) ويتم حسابها بالصيغة

ق.م. = 2πRH، (1)

وإذا أضفنا مساحة قاعدتيها إلى مساحة السطح الجانبي للأسطوانة نحصل على مساحة السطح الكلية للأسطوانة

س كامل =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

حجم الاسطوانة المستقيمة

نظرية. حجم الأسطوانة المستقيمة يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدتها وارتفاعها ، أي.

حيث Q هي مساحة القاعدة، و H هو ارتفاع الاسطوانة.

بما أن مساحة قاعدة الاسطوانة هي Q، فهناك تسلسلات من المضلعات المقيدة والمنقوشة ذات المساحات Q نو س' نمثل هذا

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س ن= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س’ ن= س.

دعونا نبني سلسلة من المنشورات، قواعدها هي المضلعات الموصوفة والمنقوشة التي تمت مناقشتها أعلاه، وتكون الحواف الجانبية موازية للمولد الجيني للأسطوانة المحددة ولها طول H. هذه المنشورات مقيدة ومنقوشة للأسطوانة المحددة. تم العثور على أحجامها من خلال الصيغ

V ن= س نح و الخامس ' ن= س' نح.

لذلك،

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س ن H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س’ نح = الجودة.

عاقبة.
يتم حساب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة بالصيغة

V = π R 2 H

حيث R هو نصف قطر القاعدة و H هو ارتفاع الاسطوانة.

بما أن قاعدة الأسطوانة الدائرية هي دائرة نصف قطرها R، فإن Q = π R 2، وبالتالي

الأسطوانة (الأسطوانة الدائرية) هي جسم يتكون من دائرتين، متحدتين عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر. تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لمحيطات الدوائر تسمى مولدات الاسطوانة.

قاعدتا الأسطوانة متساويتان وتقعان في مستويات متوازية، ومولدات الأسطوانة متوازية ومتساوية. يتكون سطح الاسطوانة من القاعدة والسطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي من المولدات.

تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القاعدة. يمكن اعتبار الأسطوانة جسمًا يتم الحصول عليه بتدوير مستطيل حول أحد جوانبه كمحور. هناك أنواع أخرى من الأسطوانات - إهليلجية، زائدية، مكافئة. يعتبر المنشور أيضًا نوعًا من الأسطوانة.

ويبين الشكل 2 اسطوانة مائلة. الدوائر التي مركزها O و O 1 هي قواعدها.

نصف قطر الاسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستويات القواعد. محور الاسطوانة هو خط مستقيم يمر بمراكز القواعد. إنه موازي للمولدات. يُطلق على المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الذي يمر عبر محور الأسطوانة مقطعًا محوريًا. المستوى الذي يمر عبر المولد لأسطوانة مستقيمة وعمودي على القسم المحوري المرسوم من خلال هذا المولد يسمى مستوى الظل للأسطوانة.

المستوى المتعامد على محور الأسطوانة يتقاطع مع سطحه الجانبي على طول دائرة تساوي محيط القاعدة.

المنشور المدرج في الأسطوانة هو منشور قاعدتاه عبارة عن مضلعات متساوية منقوشة في قواعد الأسطوانة. وتشكل أضلاعها الجانبية الأسطوانة. يقال إن المنشور محصور حول أسطوانة إذا كانت قاعدتاه مضلعتان متساويتان محيطتان بقاعدتي الأسطوانة. تلامس مستويات وجوهها السطح الجانبي للأسطوانة.

يمكن حساب مساحة السطح الجانبية للأسطوانة عن طريق ضرب طول المولد في محيط قسم الأسطوانة بمستوى عمودي على المولد.

يمكن العثور على مساحة السطح الجانبية للأسطوانة المستقيمة من خلال تطورها. تطوير الاسطوانة عبارة عن مستطيل ارتفاعه h وطوله P، وهو ما يساوي محيط القاعدة. ولذلك فإن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي مساحة تطورها ويتم حسابها بالصيغة:

على وجه الخصوص، بالنسبة للأسطوانة الدائرية اليمنى:

P = 2πR، وS b = 2πRh.

المساحة الكلية للأسطوانة تساوي مجموع مساحات سطحها الجانبي وقواعدها.

لأسطوانة دائرية مستقيمة:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

هناك صيغتان لإيجاد حجم الأسطوانة المائلة.

يمكنك العثور على الحجم عن طريق ضرب طول المولد في مساحة المقطع العرضي للأسطوانة بمستوى عمودي على المولد.

حجم الأسطوانة المائلة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع (المسافة بين المستويات التي تقع فيها القواعد):

V = Sh = S l sin α،

حيث l هو طول المولد، و α هي الزاوية بين المولد ومستوى القاعدة. لأسطوانة مستقيمة ح = ل.

صيغة إيجاد حجم الأسطوانة الدائرية هي كما يلي:

V = π R 2 ح = π (د 2 / 4)ح،

حيث d هو قطر القاعدة

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

القياس المجسم هو فرع من فروع الهندسة يتم فيه دراسة الأشكال الموجودة في الفضاء. الأشكال الرئيسية في الفضاء هي النقطة والخط المستقيم والمستوى. في القياس الفراغي، يظهر نوع جديد من الترتيب النسبي للخطوط: الخطوط المتقاطعة. يعد هذا أحد الاختلافات المهمة القليلة بين القياس المجسم وقياس التخطيط، لأنه في كثير من الحالات يتم حل مشاكل القياس المجسم من خلال النظر في مستويات مختلفة يتم فيها استيفاء قوانين القياس.

يوجد في الطبيعة من حولنا العديد من الأشياء التي تمثل نماذج فيزيائية لهذا الشكل. على سبيل المثال، العديد من أجزاء الآلة لها شكل أسطوانة أو مزيج منها، وتؤكد الأعمدة المهيبة للمعابد والكاتدرائيات، المصنوعة على شكل أسطوانات، على انسجامها وجمالها.

اليونانية - كيليندروس. مصطلح قديم. في الحياة اليومية - لفيفة من ورق البردي، بكرة، بكرة (فعل - تحريف، لف).

بالنسبة لإقليدس، يتم الحصول على الأسطوانة عن طريق تدوير المستطيل. في كافاليري - من خلال حركة المولد (مع دليل تعسفي - "الأسطوانة").

الغرض من هذا المقال هو النظر في جسم هندسي - أسطوانة.

ولتحقيق هذا الهدف لا بد من النظر في المهام التالية:

- إعطاء تعريفات للأسطوانة؛

- النظر في عناصر الاسطوانة.

- دراسة خصائص الاسطوانة.

- النظر في أنواع أقسام الاسطوانة.

- اشتقاق صيغة مساحة الاسطوانة.

- اشتقاق صيغة حجم الاسطوانة؛

- حل المسائل باستخدام الاسطوانة.

1.1. تعريف الاسطوانة

دعونا نفكر في بعض الخطوط (المنحنية أو المكسورة أو المختلطة) l التي تقع في بعض المستويات α، وبعض الخطوط المستقيمة S التي تتقاطع مع هذا المستوى. من خلال جميع نقاط خط معين l نرسم خطوطًا مستقيمة موازية للخط المستقيم S؛ ويسمى السطح α المتكون من هذه الخطوط المستقيمة بالسطح الأسطواني. الخط l يسمى دليل هذا السطح، الخطوط s 1، s 2، s 3، ... هي مولداته.

إذا كان الدليل مكسورًا، فإن هذا السطح الأسطواني يتكون من عدد من الشرائط المسطحة المحصورة بين أزواج من الخطوط المستقيمة المتوازية، ويسمى السطح المنشوري. تسمى المولدات التي تمر عبر رؤوس الخط المكسور بحواف السطح المنشوري، والشرائط المسطحة بينهما هي وجوهه.

إذا قطعنا أي سطح أسطواني بمستوي اعتباطي غير موازي لمولداته، فسنحصل على خط يمكن أيضا أن يؤخذ كدليل لهذا السطح. من بين الأدلة، الدليل الذي يبرز هو الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع السطح بمستوى متعامد مع مولدات السطح. يسمى هذا القسم بالقسم العادي، ويسمى الدليل المقابل بالدليل العادي.

إذا كان الدليل عبارة عن خط مغلق (محدب) (مكسور أو منحني)، فإن السطح المقابل يسمى سطح منشوري أو أسطواني مغلق (محدب). أبسط الأسطح الأسطوانية لها دائرة كدليل عادي لها. دعونا نقوم بتشريح سطح منشوري محدب مغلق بطائرتين متوازيتين لبعضهما البعض، ولكن ليس موازية للمولدات.

في الأقسام نحصل على مضلعات محدبة. الآن جزء من السطح المنشوري المحصور بين المستويين α و α" واللوحتين المضلعتين الناتجتين في هذه المستويات يحدان جسمًا يسمى الجسم المنشوري - المنشور.

الجسم الأسطواني - يتم تعريف الأسطوانة بشكل مشابه للمنشور:
الأسطوانة عبارة عن جسم يحده من الجوانب سطح أسطواني مغلق (محدب)، ومن الأطراف قاعدتان مسطحتان متوازيتان. قاعدتا الاسطوانة متساويتان، وجميع مكونات الاسطوانة متساوية أيضا، أي. شرائح من المولدات ذات سطح أسطواني بين مستويات القواعد.

الأسطوانة (بتعبير أدق، الأسطوانة الدائرية) هي جسم هندسي يتكون من دائرتين لا تقعان في نفس المستوى ويتم دمجهما عن طريق الترجمة المتوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر (الشكل 1) .

تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لمحيطات الدوائر تسمى مولدات الاسطوانة.

بما أن النقل المتوازي هو حركة، فإن قاعدتي الأسطوانة متساويتان.

نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي، يتحول المستوى إلى مستوى متوازي (أو إلى نفسه)، فإن قواعد الأسطوانة تكمن في مستويات متوازية.

نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي، يتم إزاحة النقاط على طول الخطوط المتوازية (أو المتطابقة) بنفس المسافة، فإن مولدات الأسطوانة تكون متوازية ومتساوية.

يتكون سطح الاسطوانة من القاعدة والسطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي من المولدات.

تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد.

يمكن تصور الأسطوانة المستقيمة بصريًا كجسم هندسي يصف المستطيل عند تدويره حول جانبه كمحور (الشكل 2).

أرز. 2 - اسطوانة مستقيمة

فيما يلي، سنتناول فقط الأسطوانة المستقيمة، ونطلق عليها ببساطة اسم الأسطوانة للإيجاز.

نصف قطر الاسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستويات قاعدتها. محور الاسطوانة هو خط مستقيم يمر بمراكز القواعد. إنه موازي للمولدات.

تسمى الأسطوانة متساوية الأضلاع إذا كان ارتفاعها يساوي قطر القاعدة.

إذا كانت قاعدتا الأسطوانة مسطحة (وبالتالي تكون المستويات التي تحتوي عليها متوازية)، يقال إن الأسطوانة تقف على مستوى. إذا كانت قاعدتا الأسطوانة الموضوعة على مستوى متعامدين على المولد، فإن الأسطوانة تسمى مستقيمة.

وعلى وجه الخصوص، إذا كانت قاعدة الأسطوانة الموجودة على المستوى عبارة عن دائرة، فإننا نتحدث عن أسطوانة دائرية (دائرية)؛ إذا كان شكلًا بيضاويًا، فهو بيضاوي الشكل.

1. 3. أقسام الاسطوانة

المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الموازي لمحورها هو مستطيل (الشكل 3، أ). وضلعاها هما مولدا الأسطوانة، والجانبان الآخران عبارة عن أوتار متوازية للقواعد.

أ) ب)

الخامس) ز)

أرز. 3- أقسام الاسطوانة

على وجه الخصوص، المستطيل هو القسم المحوري. هذا جزء من الأسطوانة مع مستوى يمر عبر محورها (الشكل 3، ب).

المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الموازي للقاعدة عبارة عن دائرة (الشكل 3، ج).

المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى غير الموازي للقاعدة ومحورها بيضاوي (الشكل ثلاثي الأبعاد).

النظرية 1. المستوى الموازي لمستوى قاعدة الأسطوانة يتقاطع مع سطحه الجانبي على طول دائرة تساوي محيط القاعدة.

دليل. دع β يكون مستوى موازيًا لمستوى قاعدة الأسطوانة. الترجمة الموازية في اتجاه محور الأسطوانة، والتي تجمع بين المستوى β ومستوى قاعدة الأسطوانة، تجمع بين قسم السطح الجانبي بالمستوى β ومحيط القاعدة. لقد تم إثبات النظرية.

مساحة السطح الجانبية للأسطوانة.

تعتبر مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي الحد الذي تميل إليه مساحة السطح الجانبي لمنشور منتظم منقوش في الأسطوانة عندما يزداد عدد أضلاع قاعدة هذا المنشور إلى ما لا نهاية.

النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي حاصل ضرب محيط قاعدتها وارتفاعها (S Side.c = 2πRH، حيث R هو نصف قطر قاعدة الاسطوانة، H هو ارتفاع الاسطوانة).

أ) ب)
أرز. 4 - مساحة السطح الجانبية للأسطوانة

دليل.

دع P n و H هما محيط القاعدة وارتفاع المنشور ذو n-gonal المنتظم المدرج في الأسطوانة، على التوالي (الشكل 4، أ). ثم مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور هي S Side.c − P n H. لنفترض أن عدد جوانب المضلع المدرج في القاعدة ينمو بلا حدود (الشكل 4، ب). ثم يميل المحيط P n إلى المحيط C = 2πR، حيث R هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة، ولا يتغير الارتفاع H. وبالتالي فإن مساحة السطح الجانبي للمنشور تميل إلى حد 2πRH، أي أن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي S Side.c = 2πRH. لقد تم إثبات النظرية.

المساحة الإجمالية للأسطوانة.

إجمالي مساحة سطح الأسطوانة هو مجموع مساحات السطح الجانبي والقاعدتين. مساحة كل قاعدة من قواعد الأسطوانة تساوي πR 2، لذلك يتم حساب مساحة السطح الإجمالي للأسطوانة S بالصيغة S Side.c = 2πRH+ 2πR 2.

ص

تي 1

ت

ف

ف 1

ف

ت

أ)

ف

ب)

أرز. 5 – المساحة الكلية للأسطوانة

إذا تم قطع السطح الجانبي للأسطوانة على طول المولد FT (الشكل 5، أ) وتم نشره بحيث تكون جميع المولدات في نفس المستوى، فنتيجة لذلك نحصل على مستطيل FTT1F1، وهو ما يسمى تطوير السطح الجانبي للاسطوانة. الجانب FF1 من المستطيل هو تطوير دائرة قاعدة الأسطوانة، وبالتالي، FF1 = 2πR، وجانبها FT يساوي مولد الأسطوانة، أي FT = H (الشكل 5، ب). وبالتالي، فإن المساحة FT∙FF1=2πRH لتطوير الأسطوانة تساوي مساحة سطحها الجانبي.

1.5. حجم الاسطوانة

إذا كان الجسم الهندسي بسيطًا، أي يمكن تقسيمه إلى عدد منتهٍ من الأهرامات المثلثة، فإن حجمه يساوي مجموع أحجام هذه الأهرامات. بالنسبة لجسم تعسفي، يتم تحديد الحجم على النحو التالي.

جسم معين له حجم V إذا كانت هناك أجسام بسيطة تحتوي عليه وأجسام بسيطة تحتوي عليه بأحجام لا تختلف كثيرًا عن V حسب الرغبة.

دعونا نطبق هذا التعريف لإيجاد حجم الأسطوانة التي نصف قطر قاعدتها R وارتفاعها H.

عند استخلاص صيغة مساحة الدائرة، تم إنشاء مضلعين n (أحدهما يحتوي على الدائرة، والآخر يحتوي على الدائرة) بحيث تقترب مساحتهما، مع زيادة غير محدودة في n، من مساحة الدائرة بلا حدود. دعونا نبني مثل هذه المضلعات للدائرة الموجودة في قاعدة الاسطوانة. دع P يكون مضلعًا يحتوي على دائرة، و P" يكون مضلعًا موجودًا في دائرة (الشكل 6).

أرز. 7 - اسطوانة ذات منشور موصوف ومكتوب فيها

دعونا نبني منشورين مستقيمين قاعدتيهما P وP" وارتفاعهما H يساوي ارتفاع الاسطوانة. المنشور الأول يحتوي على اسطوانة، والمنشور الثاني موجود في اسطوانة. وبما أنه مع زيادة غير محدودة في n، فإن تقترب مساحات قواعد المنشور من مساحة قاعدة الأسطوانة S بشكل غير محدود، ثم تقترب أحجامها من SH إلى ما لا نهاية حسب التعريف

V = SH = πR 2 H.

إذن، حجم الأسطوانة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

المهمة 1.

الجزء المحوري للأسطوانة عبارة عن مربع مساحته Q.

أوجد مساحة قاعدة الاسطوانة.

بالنظر إلى: الأسطوانة، المربع - المقطع المحوري للأسطوانة، مربع S = Q.

البحث عن: الاسطوانة الرئيسية S

جانب الساحة هو . ويساوي قطر القاعدة. وبالتالي فإن مساحة القاعدة هي .

الجواب: S الاسطوانة الرئيسية.

=

المهمة 2.

منشور سداسي منتظم منقوش في أسطوانة. أوجد الزاوية المحصورة بين قطر وجهها الجانبي ومحور الأسطوانة إذا كان نصف قطر القاعدة يساوي ارتفاع الأسطوانة.

معطاة: الأسطوانة، المنشور السداسي المنتظم المنقوش في الأسطوانة، نصف قطر القاعدة = ارتفاع الأسطوانة.

أوجد: الزاوية المحصورة بين قطر وجهها الجانبي ومحور الأسطوانة.

الحل: الأوجه الجانبية للمنشور عبارة عن مربعات، حيث أن ضلع الشكل السداسي المنتظم المدرج في الدائرة يساوي نصف القطر.

حواف المنشور موازية لمحور الأسطوانة، وبالتالي فإن الزاوية بين قطري الوجه ومحور الأسطوانة تساوي الزاوية بين القطر والحافة الجانبية. وقياس هذه الزاوية 45 درجة، لأن الأوجه مربعة.

الجواب: الزاوية بين قطر وجهها الجانبي ومحور الاسطوانة = 45 درجة.

المهمة 3.

ارتفاع الاسطوانة 6 سم، ونصف قطر القاعدة 5 سم.

أوجد مساحة المقطع الموازي لمحور الأسطوانة على مسافة ٤ سم منه.

المعطى: الارتفاع = 6 سم، R = 5 سم، OE = 4 سم.

البحث عن: ثانية ثانية.

ثانية ثانية. = كم × كانساس،

OE = 4 سم، KS = 6 سم.

المثلث OKM - متساوي الساقين (OK = OM = R = 5 سم)،

المثلث OEK هو مثلث قائم الزاوية.

كم = 2EK = 2×3 = 6،

ثانية ثانية. = 6×6 = 36 سم2.

لقد تم تحقيق الغرض من هذا المقال؛ وقد تم النظر في الجسم الهندسي مثل الاسطوانة.

يتم النظر في المهام التالية:

- تعريف الاسطوانة مذكور؛

- يتم أخذ عناصر الاسطوانة بعين الاعتبار؛

- تم دراسة خواص الاسطوانة .

- يتم أخذ أنواع أقسام الأسطوانة بعين الاعتبار؛

- تم اشتقاق صيغة مساحة الاسطوانة.

- تم اشتقاق صيغة حجم الأسطوانة؛

- حل المسائل باستخدام الاسطوانة.

1. بوجورلوف إيه في الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في المؤسسات التعليمية، 1995.

2. بيسكين إل.إن. القياس المجسم. دليل معلمي المدارس الثانوية، 1999.

3. Atanasyan L. S.، Butuzov V. F.، Kadomtsev S. B.، Kiseleva L. S.، Poznyak E. G. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 للمؤسسات التعليمية، 2000.

4. ألكساندروف أ.د.، فيرنر أ.ل.، ريجيك في.آي. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في مؤسسات التعليم العام، 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. الهندسة: القياس المجسم: الصفوف 10 – 11: الكتاب المدرسي وكتاب المشكلات، 2000.