المعادلة العامة للخط المستقيم:

حالات خاصة للمعادلة العامة للخط المستقيم:

أ) إذا ج= 0، المعادلة (2) سيكون لها الشكل

الفأس + بواسطة = 0,

والخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يمر بنقطة الأصل، لأن إحداثيات نقطة الأصل هي س = 0, ذ= 0 حقق هذه المعادلة.

ب) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) ب= 0 فتأخذ المعادلة الشكل

الفأس + مع= 0، أو .

المعادلة لا تحتوي على متغير ذوالخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يوازي المحور أوي.

ج) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) أ= 0 فتأخذ هذه المعادلة الشكل

بواسطة + مع= 0، أو؛

المعادلة لا تحتوي على متغير س، والخط المستقيم الذي يحدده موازي للمحور ثور.

يجب أن نتذكر: إذا كان الخط المستقيم موازيًا لبعض محاور الإحداثيات، فلا يوجد في معادلته مصطلح يحتوي على إحداثيات تحمل نفس اسم هذا المحور.

د) متى ج= 0 و أ= 0 المعادلة (2) تأخذ الشكل بواسطة= 0، أو ذ = 0.

هذه هي معادلة المحور ثور.

د) متى ج= 0 و ب= 0 المعادلة (2) ستكتب بالشكل الفأس= 0 أو س = 0.

هذه هي معادلة المحور أوي.

الموقع النسبي للخطوط على المستوى. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى. حالة الخطوط المتوازية. حالة عمودي الخطوط.

ل 1 ل 2 ل 1: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0
ل 2: أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0

يُطلق على المتجهات S 2 S 1 S 1 و S 2 أدلة لخطوطها.

يتم تحديد الزاوية بين الخطوط المستقيمة l 1 و l 2 بواسطة الزاوية بين متجهات الاتجاه.
النظرية 1: cos الزاوية بين l 1 و l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

النظرية 2:لكي يكون الخطان متساويين فمن الضروري والكافي:

النظرية 3:لكي يكون الخطان المستقيمان متعامدين فمن الضروري والكافي:

ل 1 ل 2 ó أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0

معادلة المستوى العام وحالاتها الخاصة. معادلة الطائرة في قطاعات.

معادلة المستوى العام:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

حالات خاصة:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – يمر المستوى عبر نقطة الأصل

2. С=0 الفأس+ب+د = 0 – المستوى || أوقية

3. ب=0 الفأس+Cz+d = 0 – المستوى || أوي

4. أ=0 بواسطة+Cz+D = 0 – مستوى || ثور

5. A=0 و D=0 By+Cz = 0 – تمر الطائرة عبر OX

6. B=0 و D=0 Ax+Cz = 0 – تمر الطائرة عبر OY

7. C=0 و D=0 Ax+By = 0 – تمر الطائرة عبر OZ

الموقع النسبي للطائرات والخطوط المستقيمة في الفضاء:

1. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء هي الزاوية المحصورة بين متجهات اتجاهها.

كوس (ل 1 ; ل 2) = كوس(س 1 ; ق 2) = =

2. يتم تحديد الزاوية بين المستويات من خلال الزاوية بين متجهاتها العادية.

كوس (ل 1 ; ل 2) = كوس(ن 1 ; ن 2) = =

3. يمكن العثور على جيب تمام الزاوية بين الخط والمستوى من خلال جيب الزاوية بين متجه اتجاه الخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

4. 2 مستقيم || في الفضاء عندما || أدلة ناقلات

5. طائرتان || متى || ناقلات عادية

6. يتم تقديم مفاهيم عمودي الخطوط والطائرات بالمثل.

السؤال رقم 14

أنواع مختلفة من معادلة الخط المستقيم على المستوى (معادلة الخط المستقيم في المقاطع، مع معامل الزاوية، وما إلى ذلك)

معادلة الخط المستقيم في القطاعات:
لنفترض أنه في المعادلة العامة للخط المستقيم:

1. C = 0 Аh + Ву = 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل.

2. أ = 0 Vu + C = 0 ص =

3. ب = 0 الفأس + C = 0 س =

4. ب=C=0 الفأس = 0 × = 0

5. أ=ج=0 Ву = 0 у = 0

معادلة الخط المستقيم مع الميل:

يمكن كتابة أي خط مستقيم لا يساوي محور المرجع (B not = 0) في السطر التالي. استمارة:

k = tanα α – الزاوية بين الخط المستقيم والخط الموجب OX

ب – نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور المرجع أمبير

وثيقة:

الفأس + بواسطة + C = 0

وو= -آه-S |:ب

معادلة الخط المستقيم بناءً على نقطتين:

السؤال رقم 16

الحد المحدود للدالة عند نقطة ما و x→∞

حد النهاية عند x0:

يُطلق على الرقم A حد الدالة y = f(x) لـ x→x 0 إذا كان لأي E > 0 يوجد b > 0 بحيث يكون x ≠x 0 يفي بالمتباينة |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

يشار إلى الحد بواسطة: = أ

نهاية النهاية عند النقطة +∞:

الرقم A يسمى نهاية الدالة y = f(x) عند x → + ∞ ، إذا كان لأي E > 0 يوجد C > 0 بحيث يكون عدم المساواة لـ x > C |f(x) - A|< Е

يشار إلى الحد بواسطة: = أ

نهاية النهاية عند النقطة -∞:

الرقم A يسمى نهاية الدالة y = f(x) لـ س→-∞،إذا لأي E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والتعامد بين خطين مستقيمين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة أ(س 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة ما أ(س 1 , ذ 1) وهو ما يسمى مركز الشعاع.

2. معادلة الخط الذي يمر بنقطتين: أ(س 1 , ذ 1) و ب(س 2 , ذ 2) تكتب هكذا:

يتم تحديد المعامل الزاوي لخط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين بواسطة الصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها الخط المستقيم الأول أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات ذات ميل

ذ = ك 1 س + ب 1 ,

دع الخط يمر عبر النقطتين M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2). معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 لها الصيغة y-y 1 = ك (س - س 1)، (10.6)

أين ك - معامل لا يزال غير معروف.

بما أن الخط المستقيم يمر بالنقطة M 2 (x 2 y 2)، فإن إحداثيات هذه النقطة يجب أن تحقق المعادلة (10.6): y 2 -y 1 = ك (× 2 - × 1).

ومن هنا نجد استبدال القيمة التي تم العثور عليها ك في المعادلة (10.6) نحصل على معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين M 1 و M 2:

من المفترض أنه في هذه المعادلة x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

إذا كانت x 1 = x 2، فإن الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين M 1 (x 1,y I) وM 2 (x 2,y 2) يكون موازيًا للمحور الإحداثي. معادلتها هي س = س 1 .

إذا كانت y 2 = y I، فيمكن كتابة معادلة الخط بالشكل y = y 1، فالخط المستقيم M 1 M 2 موازي لمحور الإحداثي السيني.

معادلة الخط في القطاعات

دع الخط المستقيم يتقاطع مع محور الثور عند النقطة M 1 (a;0)، ومحور Oy عند النقطة M 2 (0;b). المعادلة سوف تأخذ الشكل :
أولئك.
. تسمى هذه المعادلة معادلة الخط المستقيم في القطع، لأن يشير الرقمان a وb إلى الأجزاء التي يقطعها الخط على محاور الإحداثيات.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة عموديًا على متجه معين

دعونا نوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة Mo (x O; y o) عمودي على متجه غير صفري معين n = (A; B).

لنأخذ نقطة عشوائية M(x; y) على الخط ونفكر في المتجه M 0 M (x - x 0; y - y o) (انظر الشكل 1). بما أن المتجهين n وM o M متعامدان، فإن منتجهما القياسي يساوي الصفر: أي

أ(س - س) + ب(ص - يو) = 0. (10.8)

تسمى المعادلة (10.8). معادلة خط مستقيم يمر بنقطة معينة عمودي على متجه معين .

المتجه n= (A; B)، المتعامد مع الخط، يسمى عادي ناقل طبيعي لهذا الخط .

يمكن إعادة كتابة المعادلة (10.8) بالشكل آه + وو + ج = 0 , (10.9)

حيث A وB هما إحداثيات المتجه العادي، C = -Ax o - Vu o هو الحد الحر. المعادلة (10.9) هي المعادلة العامة للخط(انظر الشكل 2).

الشكل 1 الشكل 2

المعادلات الكنسية للخط

,

أين
- إحداثيات النقطة التي يمر عبرها الخط، و
- ناقل الاتجاه.

دائرة منحنيات الدرجة الثانية

الدائرة هي مجموعة جميع نقاط المستوى المتساوية البعد عن نقطة معينة تسمى المركز.

المعادلة القانونية لدائرة نصف القطر ر تتمركز في نقطة ما
:

على وجه الخصوص، إذا كان مركز الحصة يتزامن مع أصل الإحداثيات، فستبدو المعادلة كما يلي:

القطع الناقص

القطع الناقص هو مجموعة من النقاط على المستوى، مجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين معلومتين و ، والتي تسمى البؤر، هي كمية ثابتة
، أكبر من المسافة بين البؤرتين
.

المعادلة القانونية للقطع الناقص الذي تقع بؤرته على محور الثور، وأصل الإحداثيات في المنتصف بين البؤرتين له الشكل
ز ديأ طول المحور شبه الرئيسي؛ب - طول المحور شبه الأصغر (الشكل 2).

تعريف.يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C = 0، A ≠0، B ≠ 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B ≠0، C ≠0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازٍ لمحور Oy

ب = ج = 0، أ ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور أوي

أ = ج = 0، ب ≠0 – الخط المستقيم يتزامن مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي

تعريف.في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يكون المتجه ذو المكونات (A، B) متعامدًا مع الخط المستقيم المعطى بالمعادلة Ax + By + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(1, 2) العمودي على (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. للعثور على المعامل C، نعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، ونحصل على: 3 – 2 + C = 0 ، وبالتالي C = -1 . المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س – ص – 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي الصفر، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر، على المستوى، يتم تبسيط معادلة الخط المكتوب أعلاه:

إذا كان x 1 ≠ x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

الكسر = k يسمى المنحدرمباشر.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل.وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومنحدر

إذا كان مجموع Ax + Bu + C = 0، يؤدي إلى النموذج:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميلك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه

عن طريق القياس مع النقطة التي تعتبر معادلة الخط المستقيم من خلال ناقل عادي، يمكنك إدخال تعريف الخط المستقيم من خلال نقطة ومتجه التوجيه للخط المستقيم.

تعريف.كل متجه غير صفري (α 1, α 2)، تفي مكوناته بالشرط A α 1 + B α 2 = 0 يسمى متجهًا موجهًا للخط

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي له متجه اتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة A(1، 2).

حل.سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. ووفقاً للتعريف، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم تكون معادلة الخط المستقيم بالشكل: Ax + Ay + C = 0، أو x + y + C / A = 0. بالنسبة لـ x = 1، y = 2 نحصل على C/ A = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

معادلة الخط في القطاعات

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على –С نحصل على: أو

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

مثال.المعادلة العامة للخط x – y + 1 = 0 معطاة.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط

إذا تم ضرب طرفي المعادلة Ax + By + C = 0 في العدد الذي يسمى عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -

المعادلة العادية للخط. يجب اختيار العلامة ± لعامل التطبيع بحيث تكون μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

مثال. المعادلة العامة للخط 12x – 5y – 65 = 0 مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

; كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في قطاعات، على سبيل المثال، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر عبر أصل الإحداثيات.

مثال. يقطع الخط المستقيم الأجزاء الموجبة المتساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكون من هذه القطع 8 سم2.

حل.معادلة الخط المستقيم لها الشكل: , ab /2 = 8; أب = 16؛ أ=4، أ=-4. أ = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

مثال. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(-2, -3) ونقطة الأصل.

حل. معادلة الخط المستقيم هي : , حيث x 1 = y 1 = 0; س 2 = -2؛ ص 2 = -3.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة على المستوى

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذه الخطوط على أنها

.

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1/ k 2.

نظرية.الخطوط Ax + Bу + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 = lectA، B 1 = lectB متناسبة. وإذا كان C 1 = lect أيضًا، فإن الخطوط متطابقة. تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة عموديًا على مستقيم معين

تعريف.الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1) وعمودي على الخط المستقيم y = kx + b يمثل بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M(x 0, y 0)، فسيتم تحديد المسافة إلى الخط Ax + Bу + C = 0 على النحو التالي

.

دليل.لتكن النقطة M 1 (x 1, y 1) قاعدة عمودي يسقط من النقطة M على خط مستقيم معين. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد الإحداثيات x 1 و y 1 عن طريق حل نظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة M 0 عمودي على خط معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س – س 0) + ب(ص – ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. تحديد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7; ص = 2 س + 1.

ك 1 = -3؛ ك 2 = 2؛ تغφ = ; φ= π /4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 متعامدان.

حل. نجد: ك 1 = 3/5، ك 2 = -5/3، ك 1* ك 2 = -1، وبالتالي فإن الخطوط المتعامدة.

مثال. فيما يلي رؤوس المثلث A(0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

حل. نجد معادلة الجانب AB: ; 4 س = 6 ص - 6؛

2 س – 3 ص + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة لها الشكل: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك = . ثم ص = . لأن ويمر الارتفاع بالنقطة C، فإن إحداثياته ​​تحقق هذه المعادلة: من حيث ب = 17. المجموع: .

الإجابة: 3 س + 2 ص – 34 = 0.

تم العثور على الخط الذي يمر عبر النقطة K(x 0 ; y 0) والموازي للخط y = kx + a بالصيغة:

ص - ص 0 = ك(س - س 0) (1)

حيث k هو ميل الخط

الصيغة البديلة:
الخط الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1 ; y 1) ويوازي الخط Ax+By+C=0 يمثل بالمعادلة

أ(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة K( ;) موازيا للخط المستقيم y = س+ .

المثال رقم 1. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 0 (-2,1) وفي نفس الوقت:
أ) الموازي للخط المستقيم 2x+3y -7 = 0;
ب) عمودي على الخط المستقيم 2x+3y -7 = 0.
حل . لنتخيل المعادلة مع الميل بالصيغة y = kx + a. للقيام بذلك، انقل جميع القيم باستثناء y إلى الجانب الأيمن: 3y = -2x + 7 . ثم قم بتقسيم الجانب الأيمن على عامل 3. نحصل على: ص = -2/3س + 7/3
لنجد المعادلة NK التي تمر بالنقطة K(-2;1) الموازية للخط المستقيم y = -2 / 3 x + 7 / 3
استبدال x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 نحصل على:
ص-1 = -2 / 3 (س-(-2))
أو
ص = -2 / 3 س - 1 / 3 أو 3ص + 2س +1 = 0

المثال رقم 2. اكتب معادلة الخط الموازي للمستقيم 2x + 5y = 0 وكوّن مع محاور الإحداثيات مثلثًا مساحته 5.
حل . بما أن الخطوط متوازية، فإن معادلة الخط المطلوب هي 2x + 5y + C = 0. مساحة المثلث القائم الزاوية، حيث a و b هما ساقيه. لنجد نقاط تقاطع الخط المطلوب مع محاور الإحداثيات:
;
.
لذلك، أ(-C/2,0)، ب(0،-C/5). دعنا نستبدلها في صيغة المساحة: . نحصل على حلين: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y – 10 = 0.

المثال رقم 3. اكتب معادلة للمستقيم الذي يمر بالنقطة (-2; 5) ويوازي الخط 5x-7y-4=0.
حل. يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم بالمعادلة y = 5 / 7 x – 4 / 7 (هنا = 5 / 7). معادلة الخط المطلوب هي y – 5 = 5 / 7 (x – (-2))، أي. 7(y-5)=5(x+2) أو 5x-7y+45=0 .

المثال رقم 4. بعد حل المثال 3 (A=5، B=-7) باستخدام الصيغة (2)، نجد 5(x+2)-7(y-5)=0.

المثال رقم 5. اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة (-2;5) ويوازي الخط 7x+10=0.
حل. هنا أ=7، ب=0. الصيغة (2) تعطي 7(x+2)=0، أي. س+2=0. الصيغة (1) غير قابلة للتطبيق، حيث لا يمكن حل هذه المعادلة بالنسبة لـ y (هذا الخط المستقيم موازي للمحور الإحداثي).