5. الخطوط المتوازية
يتم استدعاء خطين مستقيمين موازي، إذا كانا في نفس المستوى ولا يتقاطعان.
يُشار إلى توازي الخطوط بالعلامة || (على سبيل المثال AB||CD).
نظرية. عموديان على نفس الخط متوازيان.
البرهان: إذا تقاطع العمودان في نقطة ما، فإن عمودين من هذه النقطة سيرسمان من هذه النقطة على خط مستقيم، وهذا مستحيل.
أسماء الزوايا الناتجة عن تقاطع خطين مستقيمين مع ثالث
علامات التوازي.
إذا تقاطع خطان مستقيمان مع خط ثالث:
أي زوايا متناظرة متساوية،
أو أن بعض الزوايا المتقاطعة متساوية،
أو مجموع أي زاويتين داخليتين أو زاويتين خارجيتين من جانب واحد يساوي 180 درجة،
ثم الخطين متوازيين.
بديهية الخطوط المتوازية.
من المستحيل من خلال نفس النقطة رسم خطين مختلفين موازيين لنفس الخط.النتيجة الطبيعية 1. إذا قطع مستقيم أحد المستقيمين المتوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضًا.
النتيجة الطبيعية 2. خطان موازيان لثالث متوازيان.
الزوايا ذات الجوانب المتوازية أو المتعامدة على التوالي.
نظرية. إذا كانت جوانب زاوية واحدة متوازية على التوالي مع جوانب زاوية أخرى، فإن هذه الزوايا إما متساوية أو مجموعها زاويتان قائمتان.
نظرية. إذا كانت جوانب زاوية واحدة متعامدة على التوالي مع جوانب زاوية أخرى، فإن هذه الزوايا إما متساوية أو مجموعها زاويتان قائمتان.
مجموع زوايا المثلث والمضلع.
نظرية. مجموع زوايا المثلث يساوي زاويتين قائمتين.
عواقب
:1. كل زاوية خارجية في المثلث تساوي مجموع زاويتين داخليتين.
2. إذا كانت زاويتان لمثلث واحد تساوي زاويتين لمثلث آخر، فإن الزوايا الثالثة متساوية أيضًا.
3. مجموع الزاويتين الحادتين في المثلث القائم يساوي زاوية قائمة.
نظرية. مجموع الزوايا
ن-غون هو 180*(ن-2) درجات.نظرية. مجموع الزوايا الخارجية للمضلع يساوي أربع زوايا قائمة.
2. إذا كان هناك مستقيمان متقاطعان عند النقطة C. فهل يقع بينهما أي خط ثالث في نفس المستوى، وله نقطة مشتركة مع كل من هذين الخطين؟
3.
4. المسافة بين مستويين متوازيين 8 سم يقع بينهما قطعة مستقيمة طولها 17 سم بحيث ينتمي طرفاها إلى المستويين. أوجد إسقاط هذا الجزء على كل مستوى من المستويات.
5. أكمل الجملة لتحصل على العبارة الصحيحة:
د) لا أعرف
6. الخطان a وb متعامدان. تنتمي النقطتان A وB إلى الخط المستقيم A، والنقطتان C وD تنتميان إلى الخط المستقيم B. هل يقع الخطان المستقيمان AC و BD في نفس المستوى؟
7. في المكعب ABCDA1B1C1D1 تم رسم أقطار الوجوه AC وB1D1. ما هو موقفهم النسبي؟
8. حافة المكعب ABCDA1B1C1D1 تساوي م. أوجد المسافة بين الخطين المستقيمين AB وCC1.
أ) 2 م ب) 1/2 م ج) م د) لا أعرف
9. تحديد ما إذا كانت العبارة صحيحة:
أ) نعم ب) لا ج) ليس دائما د) لا أعرف
10. في المكعب ABCDA1B1C1D1، أوجد الزاوية المحصورة بين المستويين BCD وВСС1В1.
أ) 90 درجة ب) 45 درجة مئوية) 0 درجة د) 60 درجة
11. هل يوجد منشور ذو وجه جانبي واحد فقط عمودي على القاعدة؟
أ) نعم ب) لا ج) لا أعرف
12. هل يمكن أن يكون قطر متوازي السطوح المستطيل أقل من حافته الجانبية؟
أ) نعم ب) لا ج) لا أعرف
13. ما هي مساحة السطح الجانبية للمكعب ذو الحافة 10؟
أ) 40 ب) 400 ج) 100 د) 200
14. ما هي المساحة الإجمالية للمكعب إذا كان قطره د؟
أ) 2d2 ب) 6d2 ب) 3d2 د) 4d2
15. ما عدد مستويات التماثل التي يمتلكها الهرم الرباعي المنتظم؟
أ) 2 ب) 3 ج) 4 د) 6
16. ما هو القسم المحوري لأي هرم منتظم؟
أ) مثلث متساوي الأضلاع
ب) المستطيل
ب) شبه منحرف
د) مثلث متساوي الساقين
الرجاء مساعدتي في حل الاختبار1. ما عدد الخطوط المشتركة التي يمكن أن تتكون من مستويين مختلفين غير متطابقين؟
أ) 1 ب) 2 ج) عدد لا نهائي من د) لا شيء ه) لا أعرف
2. إذا كان هناك خطين متقاطعين عند النقطة C. هل يقع معهم أي خط ثالث في نفس المستوى، وله نقطة مشتركة مع كل من هذين الخطين؟
أ) نعم دائمًا ب) لا دائمًا ج) أكذب، ولكن ليس دائمًا د) لا أعرف
3. تحديد ما إذا كانت العبارة صحيحة:
يكون المستويان متوازيين إذا كانا موازيين للمستقيم نفسه.
أ) نعم ب) لا ج) لا أعرف د) ليس دائما
4. المسافة بين مستويين متوازيين 8 سم، ويوجد بينهما قطعة مستقيمة طولها 17 سم بحيث ينتمي طرفاها إلى المستويين. أوجد إسقاط هذا الجزء على كل مستوى من المستويات.
أ) 15 سم ب) 9 سم ج) 25 سم د) لا أعرف
5. أكمل العبارة لتحصل على العبارة الصحيحة:
إذا كان المستقيم الواقع على أحد المستويين المتعامدين متعامداً على خط تقاطعهما فإنه...
أ) موازيا لمستوى آخر
ب) يتقاطع مع مستوى آخر
ب) عمودي على مستوى آخر
د) لا أعرف
6. الخطان أ و ب متعامدان. تنتمي النقطتان A وB إلى الخط المستقيم A، والنقطتان C وD تنتميان إلى الخط المستقيم B. هل يقع الخطان المستقيمان AC و BD في نفس المستوى؟
أ) نعم ب) لا ج) ليس دائما د) لا أعرف
7. في المكعب ABCDA1B1C1D1 تم رسم أقطار الوجوه AC و B1D1. ما هو موقفهم النسبي؟
أ) يتقاطع ب) يتقاطع ج) يتقاطع د) لا أعرف
8. حافة المكعب ABCDA1B1C1D1 تساوي م. أوجد المسافة بين الخطين المستقيمين AB وCC1.
أ) 2 م ب) ب) م د) لا أعرف
9. تحديد ما إذا كانت العبارة صحيحة:
إذا كان هناك خطان مستقيمان يشكلان زاويتين متساويتين في المستوى نفسه، فإنهما متوازيان.
أ) نعم ب) لا ج) ليس دائما د) لا أعرف
10. في المكعب ABCDA1B1C1D1، أوجد الزاوية بين المستويين BCD وВСС1В1.
أ) 90 درجة ب) 45 درجة ج) 0 درجة د) 60 درجة
11. هل يوجد منشور ذو وجه جانبي واحد فقط عمودي على القاعدة؟
أ) نعم ب) لا ج) لا أعرف
12. هل يمكن أن يكون قطر متوازي السطوح المستطيل أقل من حافته الجانبية؟
أ) نعم ب) لا ج) لا أعرف
13. ما هي مساحة السطح الجانبي للمكعب الذي حرفه 10؟
أ) 40 ب) 400 ج) 100 د) 200
14. ما هي المساحة الإجمالية للمكعب إذا كان قطره د؟
أ) 2d2 ب) 6d2 ب) 3d2 د) 4d2
15. ما عدد مستويات التماثل الموجودة في الهرم الرباعي المنتظم؟
أ) 2 ب) 3 ج) 4 د) 6
16. ما هو القسم المحوري لأي هرم منتظم؟
أ) مثلث متساوي الأضلاع
ب) المستطيل
ب) شبه منحرف
د) مثلث متساوي الساقين
النقاط التي لا تقع على نفس الخط؟
2. هل يمكن لطائرتين مختلفتين أن يكون لهما نقطتان مشتركتان فقط؟
مباشر أ وب تتقاطع عند نقطة ما م.الخط المستقيم ج الذي لا يمر بالنقطة M يتقاطع مع المستقيمين أو ب. هل تقع كل هذه الخطوط الثلاثة في نفس المستوى؟ ما هو الموضع النسبي للخطوط: 1) أ 1 د و مينيسوتا; 2) أ 1 د و الخامس 1ج؛ 3) مينيسوتا و أ1ب1(الشكل 1). مباشر أو ب عبرت مع خط مستقيم مع.يمكن على التوالي أو ب تكون موازية؟ خطان متوازيان لنفس المستوى. هل يمكن أن نقول أن هذه الخطوط متوازية مع بعضها البعض؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، ما هو موقفهم النسبي؟ في الشكل 2 هناك خطوط مستقيمة يكتب موازي. نقاط أو فيتنتمي على التوالي إلى النوع المباشر؛ ب يكمن في الطائرة ألفا، أ\\ب. ما الموقع النسبي للخطين b وc؟ نظرا للرباعي ABCD والطائرة α. أقطارها تكييفو دينار بحريني موازية للطائرة α. ما هو الموقف المتبادل أ.بوالطائرات α? طائرات α و β متوازيان. متقاطعة عند نقطة ما ممستقيم أو ب تقاطع الطائرة α على التوالي في النقاط فيو أ،والطائرة β - في النقاط هو فالعثور على موقف
10. التسطيح α يمر عبر قطري قاعدة متوازي السطوح ووسط أحد جوانب القاعدة العلوية. تحديد نوع القسم.
دع الطائرة ونقطة لا تقع عليها تعطى:
العمودي المسقط من نقطة معينة على مستوى معين هو القطعة التي تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى وتقع على خط مستقيم عمودي على المستوى؛
- نهاية هذا الجزء الواقع في المستوى تسمى قاعدة العمودي؛
- المسافة من نقطة إلى مستوى هي طول العمودي المرسوم من هذه النقطة إلى المستوى؛
الخط المائل المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين هو أي قطعة تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى غير متعامدة مع المستوى؛
- نهاية القطعة الواقعة في المستوى تسمى القاعدة المائلة؛
يسمى الجزء الذي يصل بين قاعدتي متعامد ومائل من نفس النقطة بإسقاط مائل.
في الشكل، من النقطة A، يتم رسم العمود AB وAC المائل على المستوى. النقطة B هي قاعدة العمودي، والنقطة C هي قاعدة العمود المائل، وBC هي إسقاط التيار المتردد المائل على المستوى.
نظرية الثلاثة المتعامدة:
إذا كان هناك خط مستقيم مرسوم على مستوى قاعدة مائلة، عمودي عليه التوقعات، فهو متعامد يميل. والعكس: إذا كان المستقيم في المستوى عمودياً على مستقيم مائل، فإنه يكون متعامداً. الإسقاط المائل.
تسمى المستويتان المتقاطعتان متعامدتين إذا كان المستوى الثالث المتعامد مع خط تقاطع هذه المستويات يتقاطع معهما على طول خطوط متعامدة.
مثال رقم 1
يرسم خط مستقيم من مركز الدائرة المرسومة في مثلث، عمودياً على مستوى المثلث. أثبت أن كل نقطة على هذا الخط متساوية البعد عن أضلاع المثلث.
لتكن A، B، C هي نقاط تماس أضلاع المثلث مع الدائرة، وO هي مركز الدائرة، وS هي النقطة المتعامدة. نظرًا لأن نصف القطر OA عمودي على جانب المثلث، فوفقًا لنظرية الخطوط المتعامدة الثلاثة، يكون الجزء SA عموديًا على هذا الجانب، وطوله هو المسافة من النقطة S إلى جانب المثلث. وفقًا لنظرية فيثاغورس، SA=، حيث r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة. وبالمثل نجد: 
، أي. جميع المسافات من النقطة S إلى أضلاع المثلث متساوية.
الأسئلة الأمنية:
- ما هو القطر العمودي الذي يسقط من نقطة معينة على المستوى؟
- ما هو الإسقاط المائل؟
الجزء العملي:
1. نظرا لخط مستقيم وطائرة. ارسم من خلال خط مستوى عموديًا على المستوى.
2. أثبت أنه إذا كان المستقيم موازيا لمستوى فإن جميع نقاطه تقع على نفس المسافة من المستوى.
3. يتم رسم خطين مائلين من نقطة إلى مستوى يكون أحدهما أكبر من الآخر بـ 20 سم. النتوءات المائلة هي 10 سم و30 سم.
4. طول ضلع المربع 4 سم، وتكون النقطة المتساوية البعد عن جميع رؤوس المربع على مسافة 6 سم من نقطة تقاطع قطريه. أوجد المسافة من هذه النقطة إلى رؤوس المربع.
5. يرسم من نقطة إلى مستوى ميلان يساوي 10 سم و17 سم، والفرق في إسقاطات هذين المائلين هو 9 سم.
6. يرسم ميلان من نقطة إلى مستوى يساوي 23 سم و 33 سم أوجد المسافة من هذه النقطة إلى المستوى إذا كانت إسقاطات المائلين بنسبة 2:3.
8. الخط a عمودي على المستوى ABC. MD = 13. AC = 15، BC = 20. AC BC، MD AB. ابحث عن مولودية.
9. أضلاع المثلث القائم ABC (C = 90°) تساوي 4 سم، وتقع النقطة M على مسافة √6 سم من مستوى المثلث ABC وعلى نفس المسافة من جميع رؤوسه. أوجد المسافة من النقطة M إلى رؤوس المثلث.
الأدب:
1. الرياضيات: كتاب مدرسي للمؤسسات بداية. والأربعاء البروفيسور التعليم / م. باشماكوف. –م: مركز النشر “أكاديمية”، 2010.
العمل المستقل رقم 5.
حل المسائل المتعلقة بحساب عدد المواضع والتباديل.
الغرض من الدرس: إتقان طرق حل المشكلات التي تتضمن حساب عدد العينات
الجزء النظري:
التوافقيات هي جزء من الرياضيات مخصص لحل مشاكل اختيار وترتيب عناصر مجموعة محدودة معينة وفقًا لقواعد معينة، أي. التوافقيات تحل مشكلة اختيار العناصر من مجموعة محدودة وترتيب هذه العناصر بترتيب ما.
ترتيبات n - العناصر حسب m - العناصر () هي مجموعات مكونة من عناصر n معينة بواسطة m - عناصر تختلف عن بعضها البعض إما في العناصر نفسها أو في ترتيب العناصر.
ن(ن-1)(ن-2)…(ن-م+1)
المثال رقم 1. كم عدد الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأعداد 1...9؟
التباديل لعناصر n هو عدد مواضع عناصر n هذه بواسطة عناصر n.
ن(ن-1)(ن-2)…1=ن!
المثال رقم 2. بكم طريقة يمكن ترتيب 5 كتب على الرف؟
مجموعات n - عناصر بواسطة m - العناصر هي مجموعات مكونة من عناصر n معينة بواسطة m - عناصر تختلف عن بعضها البعض بعنصر واحد على الأقل.
المثال رقم 3. هناك 30 طالبا في المجموعة. لاجتياز الاختبار، يجب تقسيمهم إلى ثلاث مجموعات. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟
الأسئلة الأمنية:
1. حدد أهداف التوافقيات.
2. ما هو عدد مجموعات n من العناصر التي تسمى m؟
3. ما هو عدد مواضع العناصر n في m التي تسمى؟
4. ما يسمى التقليب من العناصر ن؟
الجزء العملي:
1. بكم طريقة يمكن لمجموعة مكونة من 25 شخصًا إرسال 4 طلاب إلى مؤتمر علمي وعملي؟
2. تصافح عشرة طلاب. كم عدد المصافحات التي كانت هناك؟
3. بكم طريقة يمكن صنع علم مخطط بثلاثة ألوان من سبع قطع من مادة ذات ألوان مختلفة؟
4. ما هو عدد القواميس التي يجب نشرها حتى أتمكن من الترجمة من أي من اللغات الخمس إلى أي منها؟
5. احسب:
6. احسب:
7. احسب: 5! + 6!
8. أوجد عدد ترتيبات 10 عناصر من 4.
9. احسب:
10. تبادل ثلاثون طالباً الصور الفوتوغرافية. كم عدد الصور كانت هناك في المجموع؟
11. بكم طريقة يمكن اختيار ثلاثة أشخاص من بين ثمانية مرشحين لثلاثة مناصب؟
12. حل المعادلة:
13. احسب قيمة التعبير:
14. احسب قيمة التعبير.