الحدود الأساسية الرائعة. الحد الأول الملحوظ: النظرية والأمثلة

دليل:

دعونا أولا نثبت نظرية حالة المتتابعة

وفقا لصيغة نيوتن ذات الحدين:

على افتراض أننا حصلنا على

ويترتب على هذه المساواة (1) أنه مع زيادة n، يزداد عدد الحدود الموجبة على الجانب الأيمن. بالإضافة إلى ذلك، كلما زاد n، انخفض العدد، وبالتالي فإن القيم تتزايد. لذلك التسلسل زيادة، و(2)* نبين أنه محدود. استبدل كل قوس على الجانب الأيمن من المساواة بواحد، وسيزداد الجانب الأيمن، ونحصل على المتباينة

دعونا نعزز المتباينة الناتجة، ونستبدل 3،4،5، ...، في مقامات الكسور، بالرقم 2: نجد المجموع بين قوسين باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي: لذلك (3)*

وبذلك تكون المتتابعة محدودة من الأعلى، ويتم تحقيق المتباينتين (2) و(3): لذلك، بناءً على نظرية Weierstrass (معيار تقارب التسلسل)، فإن التسلسل يزيد بشكل رتيب ومحدود، مما يعني أن له حدًا، يُشار إليه بالحرف e. أولئك.

مع العلم أن الحد اللافت للنظر الثاني صحيح للقيم الطبيعية لـ x، نثبت الحد اللافت للنظر الثاني لـ x الحقيقي، أي أننا نثبت ذلك . دعونا نفكر في حالتين:

1. دع كل قيمة x تكون محاطة بين عددين صحيحين موجبين: حيث يقع الجزء الصحيح من x. => =>

فإذا، إذن، على حسب الحد لدينا

بناء على معيار (حول نهاية الدالة الوسيطة) لوجود النهايات

2. دع . لنقم بالتعويض − x = t إذن

ويترتب على هاتين الحالتين ذلك لx الحقيقي.

عواقب:

9 .) مقارنة بين متناهية الصغر. نظرية استبدال المتناهيات الصغر بما يعادلها في النهاية ونظرية الجزء الرئيسي من المتناهيات الصغر.

دع الوظائف أ( س) و ب ( س) – ب.م. في س ® س 0 .

تعريفات.

1)أ( س) مُسَمًّى ترتيب أعلى متناهية الصغر من ب (س) لو

أكتب : أ( س) = س(ب( س)) .

2)أ( س) وب( س)يتم استدعاؤها متناهية الصغر من نفس الترتيب، لو

حيث جℝ و ج¹ 0 .

أكتب : أ( س) = يا(ب( س)) .

3)أ( س) وب( س) يتم استدعاؤها مقابل , لو

أكتب : أ( س) ~ ب( س).

4)أ( س) يسمى متناهية الصغر من الرتبة k النسبية
متناهية الصغر على الاطلاقب( س), إذا كانت متناهية الصغرأ( س)و(ب( س))ك لها نفس الترتيب، أي. لو

حيث جℝ و ج¹ 0 .

نظرية 6 (في استبدال المتناهية الصغر بما يعادلها).

يتركأ( س), ب( س), أ 1 ( س), ب 1 ( س)– ب.م. في العاشر ® س 0 . لوأ( س) ~ أ 1 ( س), ب( س) ~ ب 1 ( س),

الذي - التي

الدليل : دع ( س) ~ أ 1 ( س), ب( س) ~ ب 1 ( س)، ثم

نظرية 7 (حول الجزء الرئيسي من متناهية الصغر).

يتركأ( س)وب( س)– ب.م. في العاشر ® س 0 ، وب( س)– ب.م. ترتيب أعلى منأ( س).

= ، أ منذ ب( س) - ترتيب أعلى من ( س)، ثم، أي. من ومن الواضح أن ( س) + ب( س) ~ أ( س)

10) استمرارية دالة عند نقطة ما (في لغة إبسيلون دلتا، الحدود الهندسية) استمرارية من جانب واحد. الاستمرارية على فترة، على قطعة. خصائص الدوال المستمرة.

1. التعاريف الأساسية

يترك و(س) يتم تعريفه في بعض أحياء النقطة س 0 .

التعريف 1. وظيفة و(س) مُسَمًّى مستمر عند نقطة ما س 0 إذا كانت المساواة صحيحة

ملحوظات.

1) بموجب النظرية 5 §3، يمكن كتابة المساواة (1) في الصورة

الحالة (2) – تعريف استمرارية الدالة عند نقطة ما في لغة الحدود من جانب واحد.

2) يمكن أيضًا كتابة المساواة (1) على النحو التالي:

يقولون: إذا كانت الدالة متصلة عند نقطة ما س 0، فيمكن تبديل علامة النهاية والدالة."

التعريف 2 (باللغة الإلكترونية).

وظيفة و(س) مُسَمًّى مستمر عند نقطة ما س 0 لو"ه>0 $د>0 هذه, ماذا

إذا سيو( س 0 ، د) (أي | س – س 0 | < d),

ثم و(س)ÎU( و(س 0)، هـ) (أي | و(س) – و(س 0) | < e).

يترك س, س 0 Î د(و) (س 0 - ثابت، س -اِعتِباطِيّ)

لنشير إلى: د س= س - س 0 – زيادة الحجة

د و(س 0) = و(س) – و(س 0) – زيادة الوظيفة عند النقطةx 0

التعريف 3 (هندسي).

وظيفة و(س) على مُسَمًّى مستمر عند نقطة ما س 0 إذا كانت الزيادة المتناهية الصغر في هذه النقطة تقابل زيادة متناهية الصغر في الدالة، أي.

دع الوظيفة و(س) يتم تعريفه على الفاصل الزمني [ س 0 ; س 0 + د) (على الفاصل الزمني ( س 0 - د؛ س 0 ]).

تعريف. وظيفة و(س) مُسَمًّى مستمر عند نقطة ما س 0 يمين (غادر ), إذا كانت المساواة صحيحة

من الواضح أن و(س) مستمرة عند هذه النقطة س 0 Û و(س) مستمرة عند هذه النقطة س 0 اليمين واليسار.

تعريف. وظيفة و(س) مُسَمًّى مستمر لفترة ه ( أ; ب) إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه الفترة.

وظيفة و(س) يسمى مستمر على الجزء [أ; ب] إذا كان مستمرا على الفترة (أ; ب) ولها استمرارية في اتجاه واحد عند النقاط الحدودية(أي مستمر عند النقطة أعلى اليمين، عند هذه النقطة ب- غادر).

11) نقاط التوقف وتصنيفها

تعريف. إذا كانت الدالة f(س) محددة في بعض المناطق المجاورة للنقطة x 0 , ولكنها ليست مستمرة في هذه المرحلة، إذن و(س) تسمى متقطعة عند النقطة x 0 , والنقطة نفسها س 0 تسمى نقطة الاستراحة وظائف و(س) .

ملحوظات.

1) و(س) يمكن تعريفها في حي غير مكتمل للنقطة س 0 .

ثم فكر في الاستمرارية المقابلة للدالة في اتجاه واحد.

2) من تعريف النقطة Þ س 0 هي نقطة توقف الدالة و(س) في حالتين:

أ) ش( س 0، د) أوه د(و)، ولكن ل و(س) لا تقام المساواة

ب) ش * ( س 0، د) أوه د(و) .

بالنسبة للوظائف الأولية، الحالة ب) فقط ممكنة.

يترك س 0 - نقطة توقف الوظيفة و(س) .

تعريف. النقطة س 0 مُسَمًّى نقطة الاستراحة أنا نوع من إذا كانت الدالة f(س)له حدود محدودة على اليسار واليمين في هذه المرحلة.

إذا كانت هذه الحدود متساوية، ثم النقطة x 0 مُسَمًّى نقطة انقطاع قابلة للإزالة , خلاف ذلك - نقطة القفز .

تعريف. النقطة س 0 مُسَمًّى نقطة الاستراحة ثانيا نوع من إذا كانت إحدى النهايات أحادية الجانب على الأقل للدالة f(س)عند هذه النقطة متساوي¥ أو غير موجود.

12) خصائص الدوال المستمرة على فترة زمنية (نظريات فايرستراس (بدون برهان) وكوشي

نظرية ويرستراس

دع الدالة f(x) تكون متصلة على الفترة إذن

1) f(x) يقتصر على

2) تأخذ f(x) أصغر وأكبر قيمة لها في الفترة

تعريف: قيمة الدالة m=f تسمى الأصغر إذا كانت m≤f(x) لأي x€ D(f).

يقال أن قيمة الدالة m=f تكون أكبر إذا كانت m≥f(x) لأي x € D(f).

يمكن أن تأخذ الدالة القيمة الأصغر/الأكبر في عدة نقاط من المقطع.

و(× 3)=و(× 4)=حد أقصى

نظرية كوشي.

دع الدالة f(x) تكون متصلة على القطعة ودع x هو الرقم الموجود بين f(a) وf(b)، ثم هناك نقطة واحدة على الأقل x 0 € بحيث f(x 0)= g

وهناك عدة حدود ملحوظة، ولكن أشهرها هي الحدود الملحوظة الأولى والثانية. والشيء الرائع في هذه الحدود هو أنها تستخدم على نطاق واسع وبمساعدتها يمكنك العثور على حدود أخرى موجودة في العديد من المشاكل. وهذا ما سنفعله في الجزء العملي من هذا الدرس. لحل المسائل عن طريق تخفيضها إلى الحد الملحوظ الأول أو الثاني، ليست هناك حاجة للكشف عن أوجه عدم اليقين الموجودة فيها، حيث أن قيم هذه الحدود تم استنتاجها منذ فترة طويلة من قبل علماء الرياضيات الكبار.

أول حد ملحوظيُسمى حد نسبة جيب القوس المتناهي الصغر إلى نفس القوس، معبرًا عنه بقياس الراديان:

دعنا ننتقل إلى حل المشكلات عند الحد الأول الرائع. ملحوظة: إذا كانت هناك دالة مثلثية تحت علامة الحد، فهذه علامة شبه مؤكدة على إمكانية اختزال هذا التعبير إلى الحد الأول الملحوظ.

مثال 1.العثور على الحد.

حل. الاستبدال بدلا من ذلك سالصفر يؤدي إلى عدم اليقين:

.

المقام هو جيب، لذلك يمكن إيصال التعبير إلى الحد الأول الملحوظ. لنبدأ التحول:

.

المقام هو جيب ثلاثة X، لكن البسط يحتوي على X واحدة فقط، مما يعني أنك بحاجة إلى الحصول على ثلاثة X في البسط. لماذا؟ للتعريف 3 س = أوالحصول على التعبير .

ونأتي إلى اختلاف الحد الأول الملحوظ:

لأنه لا يهم أي حرف (متغير) في هذه الصيغة يقف بدلاً من X.

نضرب X في ثلاثة ونقسم على الفور:

.

وفقًا للحد الملحوظ الأول الذي لاحظناه، نستبدل التعبير الكسري:

الآن يمكننا أخيرًا حل هذا الحد:

.

مثال 2.العثور على الحد.

حل. يؤدي الاستبدال المباشر مرة أخرى إلى عدم اليقين "الصفر مقسومًا على صفر":

.

للحصول على أول حد ملحوظ، من الضروري أن يكون لـ x تحت علامة الجيب في البسط وفقط x في المقام نفس المعامل. دع هذا المعامل يساوي 2. للقيام بذلك، تخيل المعامل الحالي لـ x كما هو موضح أدناه، عند إجراء العمليات على الكسور، نحصل على:

.

مثال 3.العثور على الحد.

حل. عند الاستبدال، نحصل مرة أخرى على عدم اليقين "صفر مقسوم على صفر":

.

ربما تكون قد فهمت بالفعل أنه من التعبير الأصلي يمكنك الحصول على الحد الرائع الأول مضروبًا في الحد الرائع الأول. للقيام بذلك، نقوم بتحليل مربعات x في البسط وجيب الجيب في المقام إلى عوامل متطابقة، ومن أجل الحصول على نفس المعاملات لـ x وجيب الجيب، نقسم x في البسط على 3 ونضربها على الفور بواسطة 3. نحصل على:

.

مثال 4.العثور على الحد.

حل. مرة أخرى نحصل على عدم اليقين "صفر مقسوم على صفر":

.

يمكننا الحصول على نسبة الحدين الملحوظين الأولين. نقسم كلاً من البسط والمقام على x. بعد ذلك، لكي تتطابق معاملات الجيب وx، نضرب x العلوي في 2 ونقسمه على الفور على 2، ونضرب x السفلي في 3 ونقسمه على الفور على 3. ونحصل على:

مثال 5.العثور على الحد.

حل. ومرة أخرى عدم اليقين بشأن "الصفر مقسومًا على صفر":

نتذكر من علم المثلثات أن الظل هو نسبة جيب التمام إلى جيب التمام، وجيب تمام الصفر يساوي واحدًا. نقوم بتنفيذ التحولات ونحصل على:

.

مثال 6.العثور على الحد.

حل. تشير الدالة المثلثية تحت علامة النهاية مرة أخرى إلى استخدام النهاية الملحوظة الأولى. نحن نمثلها كنسبة الجيب إلى جيب التمام.

من المقالة أعلاه، يمكنك معرفة ما هو الحد الأقصى وما يتم تناوله به - وهذا مهم جدًا. لماذا؟ قد لا تفهم ما هي المحددات وتحلها بنجاح؛ وقد لا تفهم على الإطلاق ما هي المشتقة وتجدها بحرف "A". ولكن إذا كنت لا تفهم ما هو الحد، فسيكون من الصعب حل المهام العملية. سيكون من الجيد أيضًا أن تتعرف على نماذج الحلول وتوصيات التصميم الخاصة بي. يتم تقديم جميع المعلومات في شكل بسيط ويمكن الوصول إليه.

ولأغراض هذا الدرس سنحتاج إلى المواد التعليمية التالية: حدود رائعةو الصيغ المثلثية. يمكن العثور عليها على الصفحة. من الأفضل طباعة الأدلة - فهي أكثر ملاءمة، بالإضافة إلى ذلك، سيتعين عليك في كثير من الأحيان الرجوع إليها دون الاتصال بالإنترنت.

ما الذي يميز الحدود الرائعة؟ الشيء اللافت للنظر في هذه الحدود هو أنها تم إثباتها من قبل أعظم العقول من علماء الرياضيات المشهورين، ولا يتعين على الأحفاد الممتنين أن يعانوا من الحدود الرهيبة مع كومة من الدوال المثلثية واللوغاريتمات والقوى. أي أننا عند إيجاد الحدود سنستخدم النتائج الجاهزة التي تم إثباتها نظريا.

هناك العديد من الحدود الرائعة، ولكن من الناحية العملية، في 95٪ من الحالات، لدى الطلاب غير المتفرغين حدين رائعين: أول حد رائع, الحد الثاني الرائع. وتجدر الإشارة إلى أن هذه أسماء ثابتة تاريخياً، وعندما يتحدثون مثلاً عن «الحد الأول الملحوظ» فإنهم يقصدون بهذا شيئاً محدداً جداً، وليس حداً عشوائياً مأخوذاً من السقف.

أول حد رائع

خذ بعين الاعتبار الحد التالي: (بدلاً من الحرف الأصلي "هو" سأستخدم الحرف اليوناني "ألفا"، وهذا أكثر ملاءمة من وجهة نظر تقديم المادة).

وفقًا لقاعدتنا لإيجاد الحدود (انظر المقالة حدود. أمثلة على الحلول) نحاول استبدال الصفر في الدالة: في البسط نحصل على صفر (جيب الصفر هو صفر)، وفي المقام، من الواضح أن هناك أيضًا صفر. وبالتالي، نحن نواجه عدم اليقين بشأن النموذج، والذي، لحسن الحظ، لا يحتاج إلى الكشف عنه. وفي سياق التحليل الرياضي ثبت أن:

هذه الحقيقة الرياضية تسمى أول حد رائع. لن أقدم برهانًا تحليليًا للنهاية، لكننا سننظر إلى معناها الهندسي في الدرس الذي يتحدث عن النهاية وظائف متناهية الصغر.

في كثير من الأحيان في المهام العملية يمكن ترتيب الوظائف بشكل مختلف، وهذا لا يغير شيئا:

- نفس الحد الأول الرائع.

لكن لا يمكنك إعادة ترتيب البسط والمقام بنفسك! إذا كانت النهاية معطاة في الصورة، فيجب حلها بنفس الصورة، دون إعادة ترتيب أي شيء.

في الممارسة العملية، ليس فقط المتغير، ولكن أيضا وظيفة أولية أو وظيفة معقدة يمكن أن تكون بمثابة معلمة. من المهم فقط أن يميل إلى الصفر.

أمثلة:
, , ,

هنا ، ، ​​، وكل شيء على ما يرام - الحد الأول الرائع قابل للتطبيق.

لكن الإدخال التالي بدعة:

لماذا؟ ولأن كثيرة الحدود لا تميل إلى الصفر، فإنها تميل إلى خمسة.

بالمناسبة سؤال سريع: ما هو الحد؟ ؟ الجواب يمكن العثور عليه في نهاية الدرس.

في الممارسة العملية، ليس كل شيء على نحو سلس للغاية؛ لا يُعرض على الطالب أبدًا حل الحد الحر والحصول على تمريرة سهلة. هممم... أنا أكتب هذه السطور، وتبادر إلى ذهني فكرة مهمة للغاية - بعد كل شيء، من الأفضل أن تتذكر التعريفات والصيغ الرياضية "المجانية" عن ظهر قلب، وهذا يمكن أن يوفر مساعدة لا تقدر بثمن في الاختبار، عندما يكون السؤال يتم الاختيار بين "اثنين" و"ثلاثة"، ويقرر المعلم أن يطرح على الطالب بعض الأسئلة البسيطة أو يعرض عليه حل مثال بسيط ("ربما لا يزال يعرف ماذا؟!").

دعنا ننتقل إلى النظر في الأمثلة العملية:

مثال 1

العثور على الحد

إذا لاحظنا وجود جيب في النهاية، فيجب أن يقودنا هذا على الفور إلى التفكير في إمكانية تطبيق النهاية الملحوظة الأولى.

أولاً، نحاول استبدال 0 في التعبير الموجود أسفل علامة الحد (نقوم بذلك ذهنيًا أو في مسودة):

إذن، لدينا حالة عدم يقين بشأن الصورة تأكد من الإشارةفي اتخاذ القرار. التعبير تحت علامة الحد يشبه الحد الرائع الأول، لكن هذا ليس هو بالضبط، فهو تحت جيب الجيب، ولكن في المقام.

في مثل هذه الحالات، نحتاج إلى تنظيم الحد الأول الرائع بأنفسنا، باستخدام تقنية اصطناعية. يمكن أن يكون خط الاستدلال كما يلي: "تحت جيب الزاوية لدينا، مما يعني أننا بحاجة أيضًا إلى إدخال المقام".
ويتم ذلك بكل بساطة:

أي أن المقام يُضرب بشكل مصطنع في هذه الحالة بـ 7 ويقسم على نفس السبعة. الآن اتخذ تسجيلنا شكلاً مألوفًا.
عندما يتم رسم المهمة يدويًا، يُنصح بوضع علامة على الحد الأول الملحوظ بقلم رصاص بسيط:

ماذا حدث؟ في الواقع، تحول تعبيرنا المحاط بدائرة إلى وحدة واختفى في العمل:

الآن كل ما تبقى هو التخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:

من نسي تبسيط الكسور متعددة المستويات، يرجى تحديث المادة الموجودة في الكتاب المرجعي الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية .

مستعد. الجواب النهائي:

إذا كنت لا تريد استخدام علامات القلم الرصاص، فيمكن كتابة الحل على النحو التالي:

“

دعونا نستخدم الحد الرائع الأول

“

مثال 2

العثور على الحد

مرة أخرى، نرى كسرًا وجيبًا في النهاية. دعونا نحاول التعويض بالصفر في البسط والمقام:

في الواقع، لدينا عدم يقين، وبالتالي، نحتاج إلى محاولة تنظيم الحد الرائع الأول. في الصف حدود. أمثلة على الحلوللقد وضعنا في الاعتبار القاعدة التي تنص على أنه عندما يكون لدينا عدم يقين، علينا تحليل البسط والمقام. هنا الأمر نفسه، سنمثل الدرجات كحاصل ضرب (مضاعفات):

وكما في المثال السابق، نرسم بقلم رصاص حول الحدود الملحوظة (هنا يوجد حدان منها)، ونشير إلى أنها تميل إلى الوحدة:

في الواقع الجواب جاهز:

في الأمثلة التالية، لن أمارس الفن في الرسام، وأعتقد أن كيفية رسم حل بشكل صحيح في دفتر الملاحظات - أنت تفهم بالفعل.

مثال 3

العثور على الحد

نعوض بالصفر في التعبير الموجود تحت علامة الحد:

تم الحصول على عدم اليقين الذي يجب الكشف عنه. إذا كان هناك ظل في النهاية، فسيتم تحويله دائمًا تقريبًا إلى جيب التمام وجيب التمام باستخدام الصيغة المثلثية المعروفة (بالمناسبة، يفعلون نفس الشيء تقريبًا مع ظل التمام، راجع المادة المنهجية الصيغ المثلثية الساخنةعلى الصفحة الصيغ الرياضية والجداول والمواد المرجعية).

في هذه الحالة:

جيب تمام الصفر يساوي واحدًا، ومن السهل التخلص منه (لا تنس الإشارة إلى أنه يميل إلى الواحد):

وبالتالي، إذا كان جيب التمام في الحد هو المضاعف، فتحدث تقريبًا، يجب تحويله إلى وحدة تختفي في المنتج.

هنا أصبح كل شيء أسهل، دون أي مضاعفات أو قسمة. يتحول الحد الأول الملحوظ أيضًا إلى حد واحد ويختفي في المنتج:

ونتيجة لذلك، يتم الحصول على اللانهاية، ويحدث هذا.

مثال 4

العثور على الحد

دعونا نحاول استبدال الصفر في البسط والمقام:

يتم الحصول على عدم اليقين (جيب التمام صفر، كما نتذكر، يساوي واحد)

نحن نستخدم الصيغة المثلثية. خذ ملاحظة! لسبب ما، الحدود التي تستخدم هذه الصيغة شائعة جدًا.

دعونا ننقل العوامل الثابتة إلى ما وراء أيقونة الحد:

دعونا ننظم الحد الرائع الأول:

هنا لدينا حد ملحوظ واحد فقط، والذي يتحول إلى حد واحد ويختفي في المنتج:

دعونا نتخلص من الهيكل المكون من ثلاثة طوابق:

تم حل النهاية بالفعل، ونشير إلى أن الجيب المتبقي يميل إلى الصفر:

مثال 5

العثور على الحد

هذا المثال أكثر تعقيدًا، حاول أن تكتشفه بنفسك:

يمكن تخفيض بعض الحدود إلى الحد الأول الملحوظ عن طريق تغيير متغير، يمكنك أن تقرأ عن هذا لاحقًا في المقالة طرق حل الحدود.

الحد الثاني الرائع

ثبت في نظرية التحليل الرياضي أن:

هذه الحقيقة تسمى الحد الثاني الرائع.

مرجع: هو عدد غير عقلاني.

لا يمكن أن تكون المعلمة متغيرًا فحسب، بل يمكن أن تكون أيضًا وظيفة معقدة. الشيء الوحيد المهم هو أنها تسعى إلى اللانهاية.

مثال 6

العثور على الحد

عندما يكون التعبير الموجود أسفل علامة الحد بدرجة، فهذه هي العلامة الأولى التي تحتاج إلى محاولة تطبيق الحد الرائع الثاني.

لكن أولاً، كما هو الحال دائمًا، نحاول التعويض بعدد كبير لا نهائي في التعبير، وقد تمت مناقشة المبدأ الذي يتم من خلاله القيام بذلك في الدرس حدود. أمثلة على الحلول.

من السهل ملاحظة ذلك عندما قاعدة الدرجة هي ، والأس هو أي أن هناك عدم يقين في الشكل:

يتم الكشف عن عدم اليقين هذا بدقة بمساعدة الحد الثاني الرائع. ولكن، كما يحدث في كثير من الأحيان، فإن الحد الرائع الثاني لا يقع على طبق من فضة، ويجب تنظيمه بشكل مصطنع. يمكنك التفكير على النحو التالي: في هذا المثال المعلمة هي، مما يعني أننا بحاجة أيضًا إلى التنظيم في المؤشر. وللقيام بذلك نرفع القاعدة إلى القوة، وحتى لا يتغير التعبير نرفعها إلى القوة:

عند الانتهاء من المهمة باليد، نضع علامة بقلم رصاص:

كل شيء جاهز تقريبًا، لقد تحولت الدرجة الرهيبة إلى رسالة لطيفة:

في هذه الحالة، نقوم بنقل أيقونة الحد نفسها إلى المؤشر:

مثال 7

العثور على الحد

انتباه! يحدث هذا النوع من الحدود في كثير من الأحيان، يرجى دراسة هذا المثال بعناية شديدة.

دعونا نحاول استبدال عدد كبير بلا حدود في التعبير الموجود أسفل علامة الحد:

والنتيجة هي عدم اليقين. لكن الحد الملحوظ الثاني ينطبق على عدم اليقين في النموذج. ما يجب القيام به؟ نحن بحاجة لتحويل قاعدة الدرجة. نحن نفكر بهذه الطريقة: في المقام لدينا، مما يعني أننا بحاجة أيضًا إلى التنظيم في البسط.

صيغة النهاية الملحوظة الثانية هي lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. هناك شكل آخر للكتابة يشبه هذا: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

عندما نتحدث عن النهاية الملحوظة الثانية، علينا أن نتعامل مع عدم اليقين من الصورة 1 ∞، أي. الوحدة إلى درجة لا نهاية لها.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

لنفكر في المشكلات التي تكون فيها القدرة على حساب الحد الملحوظ الثاني مفيدة.

مثال 1

أوجد النهاية x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

حل

دعونا نستبدل الصيغة المطلوبة ونجري الحسابات.

ليم x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

وتبين أن إجابتنا هي واحدة أس ما لا نهاية. ولتحديد طريقة الحل نستخدم جدول عدم اليقين. دعونا نختار الحد الملحوظ الثاني ونقوم بتغيير المتغيرات.

ر = - س 2 + 1 2 ⇔ س 2 + 1 4 = - ر 2

إذا كانت x → ∞، فإن t → - ∞.

دعونا نرى ما حصلنا عليه بعد الاستبدال:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

إجابة: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

مثال 2

احسب الحد الأقصى x → ∞ x - 1 x + 1 x .

حل

دعونا نستبدل اللانهاية ونحصل على ما يلي.

الحد x → ∞ x - 1 x + 1 x = الحد x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

في الإجابة، حصلنا مرة أخرى على نفس الشيء كما في المشكلة السابقة، لذلك يمكننا استخدام النهاية الرائعة الثانية مرة أخرى. بعد ذلك، نحتاج إلى تحديد الجزء بأكمله في قاعدة دالة الطاقة:

س - 1 س + 1 = س + 1 - 2 س + 1 = س + 1 س + 1 - 2 س + 1 = 1 - 2 س + 1

وبعد ذلك يأخذ الحد الشكل التالي:

الحد x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = الحد x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

استبدال المتغيرات. لنفترض أن t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; إذا كانت x → ∞، ثم t → ∞.

وبعد ذلك نكتب ما حصلنا عليه في الحد الأصلي:

ليم x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ليم x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = ليم x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = ليم x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = ه - 2

لإجراء هذا التحويل، استخدمنا الخصائص الأساسية للحدود والصلاحيات.

إجابة:ليم x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

مثال 3

احسب الحد الأقصى x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

حل

الحد x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = الحد x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

بعد ذلك، علينا تحويل الدالة لتطبيق النهاية الكبرى الثانية. حصلنا على ما يلي:

الحد x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = الحد x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 س 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ليم x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 × 2 - 1 × 3 + 2 × 2 - 1 - 2 × 2 + 2 - 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 2 - 1 3 × 4 2 × 3 - 5

وبما أن لدينا الآن نفس الأسس في بسط ومقام الكسر (يساوي ستة)، فإن نهاية الكسر عند اللانهاية ستكون مساوية لنسبة هذه المعاملات عند القوى الأعلى.

ليم x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = الحد x → ∞ 1 + - 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 2 - 1 × 3 + 2 × 2 - 1 - 2 × 2 + 2 - 3

بالتعويض t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 نحصل على النهاية الملحوظة الثانية. وهذا يعني أن:

ليم x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = ليم x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = ه - 3

إجابة:ليم x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

الاستنتاجات

عدم اليقين 1 ∞، أي وحدة القوة اللانهائية هي عدم يقين في قانون القوى، لذلك يمكن الكشف عنها باستخدام قواعد إيجاد حدود دوال القوة الأسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

العثور على حدود رائعةإنه أمر صعب ليس فقط بالنسبة للعديد من طلاب السنة الأولى والثانية الذين يدرسون نظرية النهايات، ولكن أيضًا بالنسبة لبعض المعلمين.

صيغة الحد الملحوظ الأول

عواقب الحد الملحوظ الأول دعونا نكتبها في الصيغ
1. 2. 3. 4. لكن الصيغ العامة للحدود الملحوظة في حد ذاتها لا تساعد أحداً في الامتحان أو الاختبار. النقطة المهمة هي أن المهام الحقيقية تم إنشاؤها بحيث لا تزال بحاجة للوصول إلى الصيغ المكتوبة أعلاه. وأغلبية الطلاب الذين يتغيبون عن الفصول الدراسية، أو يدرسون هذه الدورة غيابيًا، أو لديهم معلمون لا يفهمون دائمًا ما يشرحونه، لا يمكنهم حساب الأمثلة الأولية إلى حدود ملحوظة. من صيغ الحد الملحوظ الأول نرى أنه من الممكن بمساعدتها دراسة حالات عدم اليقين من النوع صفر مقسومًا على صفر للتعبيرات ذات الدوال المثلثية. ولنتأمل أولاً عدداً من الأمثلة على الحد الملحوظ الأول، ثم ندرس الحد الملحوظ الثاني.

مثال 1. أوجد نهاية الدالة sin(7*x)/(5*x)
الحل: كما ترى، فإن الدالة الموجودة تحت النهاية قريبة من النهاية الملحوظة الأولى، لكن نهاية الدالة نفسها بالتأكيد لا تساوي واحدًا. في هذا النوع من المهام المتعلقة بالنهايات، ينبغي للمرء أن يختار في المقام متغيرًا له نفس المعامل الموجود في المتغير الموجود أسفل الجيب. في هذه الحالة، قم بالقسمة والضرب في 7

بالنسبة للبعض، قد تبدو هذه التفاصيل غير ضرورية، ولكن بالنسبة لمعظم الطلاب الذين يجدون صعوبة في الحدود، فإنها ستساعدهم على فهم القواعد بشكل أفضل وإتقان المواد النظرية.
وأيضًا، إذا كان هناك شكل عكسي للدالة، فهذا أيضًا هو الحد الرائع الأول. وكل ذلك لأن الحد الرائع يساوي واحدًا

تنطبق نفس القاعدة على عواقب الحد الملحوظ الأول. فإذا قيل لك: ما هو الحد الملحوظ الأول؟ يجب أن تجيب دون تردد أنها وحدة.

مثال 2. أوجد نهاية الدالة sin(6x)/tan(11x)
الحل: لفهم النتيجة النهائية، دعونا نكتب الدالة في النموذج

لتطبيق قواعد النهاية الملحوظة، قم بالضرب والقسمة على العوامل

بعد ذلك، نكتب نهاية حاصل ضرب الدوال في حاصل ضرب النهايات

بدون صيغ معقدة، وجدنا نهاية الدوال المثلثية. لإتقان الصيغ البسيطة، حاول التوصل إلى الحد 2 و 4 والعثور عليه، وهي صيغة النتيجة الطبيعية للحد الرائع 1. سننظر في مشاكل أكثر تعقيدا.

مثال 3: احسب النهاية (1-cos(x))/x^2
الحل: عند التحقق بالاستبدال، نحصل على درجة عدم اليقين 0/0. كثير من الناس لا يعرفون كيفية اختزال مثل هذا المثال إلى حد واحد ملحوظ. ينبغي استخدام الصيغة المثلثية هنا

وفي هذه الحالة يتحول الحد إلى شكل واضح

لقد تمكنا من تقليل الدالة إلى مربع الحد الملحوظ.

مثال 4: أوجد الحد
الحل: عند الاستبدال نحصل على الميزة المألوفة 0/0. ومع ذلك، فإن المتغير يميل إلى Pi بدلاً من الصفر. لذلك، لتطبيق الحد الملحوظ الأول، سنقوم بإجراء مثل هذا التغيير في المتغير x بحيث يصبح المتغير الجديد صفرًا. للقيام بذلك، نشير إلى المقام كمتغير جديد Pi-x=y

وبالتالي، باستخدام الصيغة المثلثية الواردة في المهمة السابقة، يتم تقليل المثال إلى حد ملحوظ واحد.

المثال 5: حساب الحد
الحل: في البداية ليس من الواضح كيفية تبسيط النهايتين. ولكن بما أن هناك مثال، فلا بد أن يكون هناك إجابة. وحقيقة انتقال المتغير إلى الوحدة يعطي عند التعويض خاصية الصيغة صفر مضروبًا في ما لا نهاية، لذا يجب استبدال المماس باستخدام الصيغة

بعد ذلك نحصل على عدم اليقين المطلوب 0/0. بعد ذلك، نقوم بتغيير المتغيرات في النهاية ونستخدم دورية ظل التمام

تسمح لنا البدائل الأخيرة باستخدام النتيجة الطبيعية 1 للحد الملحوظ.

الحد الملحوظ الثاني يساوي الأسي

هذا كلاسيكي ليس من السهل دائمًا الوصول إليه في مشاكل الحد الحقيقي.
في الحسابات سوف تحتاج النهايات هي نتائج الحد الملحوظ الثاني:
1. 2. 3. 4.
بفضل الحد الثاني الملحوظ وعواقبه، من الممكن استكشاف حالات عدم اليقين مثل صفر مقسوم على صفر، وواحد أس ما لا نهاية، وما لا نهاية مقسومًا على ما لا نهاية، وحتى بالدرجة نفسها

لنبدأ بأمثلة بسيطة.

مثال 6. أوجد نهاية الدالة
الحل: لن ينجح تطبيق الحد الملحوظ الثاني بشكل مباشر. أولاً، يجب عليك تحويل الأس بحيث يبدو مثل معكوس المصطلح الموجود بين قوسين

هذه هي تقنية التخفيض إلى الحد الملحوظ الثاني، وفي جوهرها، استخلاص الصيغة الثانية للنتيجة الطبيعية للحد.

مثال 7. أوجد نهاية الدالة
الحل: لدينا مهام للصيغة 3 من النتيجة الطبيعية 2 لحد رائع. استبدال الصفر يعطي تفرد النموذج 0/0. لرفع النهاية إلى القاعدة، نحول المقام بحيث يكون للمتغير نفس المعامل الموجود في اللوغاريتم

كما أنه من السهل الفهم والأداء في الامتحان. تبدأ الصعوبات التي يواجهها الطلاب في حساب النهايات بالمسائل التالية.

مثال 8. احسب نهاية الدالة[(س+7)/(س-3)]^(س-2)
الحل: لدينا تفرد من النوع الأول لقوة اللانهاية. إذا كنت لا تصدقني، يمكنك استبدال اللانهاية بـ "X" في كل مكان والتأكد من ذلك. لإنشاء قاعدة، نقسم البسط على المقام بين قوسين؛ وللقيام بذلك، نقوم أولاً بإجراء العمليات

دعونا نستبدل التعبير في النهاية ونحوله إلى حدين رائعين

الحد يساوي القوة الأسية للعدد 10. الثوابت التي هي مصطلحات ذات متغير، سواء بين قوسين أو درجة، لا تقدم أي "طقس" - يجب أن نتذكر ذلك. وإذا سألك معلموك: "لماذا لا تقوم بتحويل المؤشر؟" (في هذا المثال في x-3)، قل أنه "عندما يميل المتغير إلى ما لا نهاية، أضف إليه 100 أو اطرح 1000، وستظل النهاية كما كانت!"
هناك طريقة ثانية لحساب الحدود من هذا النوع. سنتحدث عنها في المهمة التالية.

مثال 9. العثور على الحد
الحل: الآن لنخرج المتغير الموجود في البسط والمقام ونحول ميزة إلى أخرى. للحصول على القيمة النهائية نستخدم صيغة النتيجة الطبيعية 2 للحد الملحوظ

مثال 10. أوجد نهاية الدالة
الحل: لا يستطيع الجميع إيجاد الحد المعطى. لرفع الحد إلى 2، تخيل أن sin (3x) متغير، وتحتاج إلى تحويل الأس

بعد ذلك، نكتب المؤشر كقوة إلى قوة


يتم وصف الوسائط الوسيطة بين قوسين. ونتيجة لاستخدام الحدين الملحوظين الأول والثاني، حصلنا على الأسي بالتكعيب.

مثال 11. احسب نهاية الدالةخطيئة(2*س)/قانون الجنسية(3*س+1)
الحل: لدينا حالة عدم اليقين من النموذج 0/0. بالإضافة إلى ذلك، نرى أنه يجب تحويل الدالة لاستخدام كلا الحدين الرائعين. لنقم بإجراء التحويلات الرياضية السابقة

علاوة على ذلك، دون صعوبة، سوف يأخذ الحد القيمة

هذا هو مدى الحرية التي ستشعر بها في المهام والاختبارات والوحدات إذا تعلمت كتابة الوظائف بسرعة وتقليلها إلى الحد الرائع الأول أو الثاني. إذا كان من الصعب عليك حفظ الطرق المعطاة لإيجاد النهايات، فيمكنك دائمًا طلب ورقة اختبار حول النهايات منا.
للقيام بذلك، قم بملء النموذج وتقديم البيانات وإرفاق ملف مع الأمثلة. لقد ساعدنا العديد من الطلاب - يمكننا مساعدتك أيضًا!