اللوغاريتم الطبيعي. اللوغاريتم

لذلك، لدينا قوى اثنين. إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.

والآن - في الواقع، تعريف اللوغاريتم:

لوغاريتم x الأساسي هو القوة التي يجب رفع a إليها للحصول على x.

التعيين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.

على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس سجل النجاح 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لقاعدة معينة باللوغاريتم. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
سجل 2 2 = 1	سجل 2 4 = 2	سجل 2 8 = 3	سجل 2 16 = 4	سجل 2 32 = 5	سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5 . الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون موجودًا في مكان ما على القطعة. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). في البداية، يخلط الكثير من الناس بين مكان الأساس وأين الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.

لقد اكتشفنا التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:

1. يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بواسطة الأس العقلاني، والذي يتم تقليل تعريف اللوغاريتم إليه.
2. يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود نطاق القيم المقبولة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.

ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية حيث لا يلزم معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

1. عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من واحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
2. حل معادلة المتغير b: x = a b ;
3. سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شيء! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. الأمر نفسه ينطبق على الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;

لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ;

2. تلقينا الجواب: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
   سجل 4 64 = ب ⇒ (2 2) ب = 2 6 ⇒ 2 2ب = 2 6 ⇒ 2ب = 6 ⇒ ب = 3 ;
3. تلقينا الجواب: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
   سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ ب = 0 ;
3. لقد تلقينا الجواب: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14

1. لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
3. الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. إذا كان للتوسع عاملين مختلفين على الأقل، فإن الرقم ليس قوة محددة.

مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها هي دائمًا قوى دقيقة لذاتها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.

اللوغاريتم العشري لـ x هو اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.

على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ إل جي 100 = 2; إل جي 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. نحن نتحدث عن اللوغاريتم الطبيعي.

اللوغاريتم الطبيعي لـ x هو اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x .

سيسأل الكثير: ما هو الرقم ه؟ هذا رقم غير نسبي، ولا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وكتابتها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459...

لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x

وبالتالي ln e = 1 ; لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء واحد بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.

قد يكون هذا، على سبيل المثال، آلة حاسبة من مجموعة البرامج الأساسية لنظام التشغيل Windows. رابط تشغيله مخفي تمامًا في القائمة الرئيسية لنظام التشغيل - افتحه بالنقر فوق الزر "ابدأ"، ثم افتح قسم "البرامج" الخاص به، وانتقل إلى القسم الفرعي "قياسي"، ثم إلى "الأدوات المساعدة" القسم وأخيرًا انقر فوق عنصر "الآلة الحاسبة" " بدلاً من استخدام الماوس والتنقل عبر القوائم، يمكنك استخدام لوحة المفاتيح ومربع حوار تشغيل البرنامج - اضغط على مجموعة المفاتيح WIN + R، واكتب calc (هذا هو اسم الملف القابل للتنفيذ للآلة الحاسبة) ثم اضغط على Enter.

قم بتبديل واجهة الآلة الحاسبة إلى الوضع المتقدم، والذي يسمح لك بالقيام... افتراضيًا، يتم فتحه في العرض "العادي"، لكنك تحتاج إلى "الهندسة" أو "" (حسب إصدار نظام التشغيل الذي تستخدمه). قم بتوسيع قسم "عرض" في القائمة وحدد السطر المناسب.

أدخل الوسيطة التي تريد تقييم قيمتها الطبيعية. يمكن القيام بذلك إما من لوحة المفاتيح أو عن طريق النقر على الأزرار المقابلة في واجهة الآلة الحاسبة على الشاشة.

انقر فوق الزر المسمى ln - سيقوم البرنامج بحساب اللوغاريتم للأساس e وإظهار النتيجة.

استخدم إحدى الآلات الحاسبة كبديل لحساب قيمة اللوغاريتم الطبيعي. على سبيل المثال، الذي يقع في http://calc.org.ua. واجهته بسيطة للغاية - يوجد حقل إدخال واحد حيث تحتاج إلى كتابة قيمة الرقم الذي تحتاج إلى حساب اللوغاريتم الخاص به. من بين الأزرار، ابحث عن الزر الذي يقول ln وانقر عليه. لا يتطلب البرنامج النصي لهذه الآلة الحاسبة إرسال البيانات إلى الخادم والرد، لذلك ستتلقى نتيجة الحساب على الفور تقريبًا. الميزة الوحيدة التي يجب أخذها بعين الاعتبار هي أن الفاصل بين الأجزاء الكسرية والصحيحة للرقم المُدخل يجب أن يكون نقطة، وليس .

على المدى " اللوغاريتم"" مشتقة من كلمتين يونانيتين، إحداهما تعني "عدد" والأخرى تعني "نسبة". يشير إلى العملية الرياضية لحساب كمية متغيرة (الأس) والتي يجب رفع قيمة ثابتة (أساس) إليها للحصول على الرقم المشار إليه تحت العلامة اللوغاريتمأ. إذا كان الأساس يساوي ثابتًا رياضيًا يسمى الرقم "e"، إذن اللوغاريتمتسمى "طبيعية".

سوف تحتاج

• الوصول إلى الإنترنت أو Microsoft Office Excel أو الآلة الحاسبة.

تعليمات

استخدم العديد من الآلات الحاسبة المتاحة على الإنترنت - ربما تكون هذه طريقة سهلة لحساب أ. ليس عليك البحث عن الخدمة المناسبة، نظرًا لأن العديد من محركات البحث نفسها تحتوي على آلات حاسبة مدمجة مناسبة تمامًا للعمل معها اللوغاريتمعامي. على سبيل المثال، انتقل إلى الصفحة الرئيسية لأكبر محرك بحث على الإنترنت - جوجل. ليست هناك حاجة إلى أزرار هنا لإدخال القيم أو تحديد الوظائف؛ فقط أدخل الإجراء الرياضي المطلوب في حقل إدخال الاستعلام. دعنا نقول، لحساب اللوغاريتموالرقم 457 في الأساس "e"، أدخل ln 457 - سيكون هذا كافيًا لكي يعرض Google بدقة ثماني منازل عشرية (6.12468339) حتى بدون الضغط على الزر لإرسال طلب إلى الخادم.

استخدم الدالة المضمنة المناسبة إذا كنت بحاجة إلى حساب قيمة الطبيعي اللوغاريتمويحدث عند العمل مع البيانات في محرر جداول البيانات الشهير Microsoft Office Excel. يتم استدعاء هذه الوظيفة هنا باستخدام التدوين المشترك اللوغاريتموبالأحرف الكبيرة - LN. حدد الخلية التي يجب أن يتم عرض نتيجة الحساب فيها وأدخل علامة يساوي - هكذا يجب أن تبدأ السجلات في محرر جداول البيانات هذا في الخلايا الموجودة في القسم الفرعي "قياسي" من قسم "كافة البرامج" في القائمة الرئيسية. قم بتحويل الآلة الحاسبة إلى وضع أكثر وظيفية بالضغط على Alt + 2. ثم أدخل القيمة الطبيعية اللوغاريتمالذي تريد حسابه، وانقر في واجهة البرنامج على الزر المشار إليه بالرموز ln. سيقوم التطبيق بإجراء الحساب وعرض النتيجة.

فيديو حول الموضوع

رسم بياني لوظيفة اللوغاريتم الطبيعي. تقترب الدالة ببطء من اللانهاية الإيجابية مع زيادة سويقترب بسرعة من اللانهاية السلبية عندما سيميل إلى 0 ("بطيء" و"سريع" مقارنة بأي وظيفة طاقة س).

اللوغاريتم الطبيعيهو اللوغاريتم للقاعدة ، أين ه (\displaystyle e)- ثابت غير منطقي يساوي 2.72 تقريبًا. ويشار إليه بـ ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), السجل e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x)أو في بعض الأحيان فقط سجل ⁡ س (\displaystyle \log x)، إذا كانت القاعدة ه (\displaystyle e)ضمني. وبعبارة أخرى، اللوغاريتم الطبيعي لعدد س- هذا هو الأس الذي يجب رفع الرقم إليه هللحصول على س. يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الأعداد المركبة.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1)، لأن ه 1 = ه (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0)، لأن ه 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

يمكن أيضًا تعريف اللوغاريتم الطبيعي هندسيًا لأي رقم حقيقي موجب أكالمساحة تحت المنحنى ص = 1 س (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))بينهما [ 1 ; أ ] (\displaystyle ). إن بساطة هذا التعريف، والذي يتوافق مع العديد من الصيغ الأخرى التي تستخدم هذا اللوغاريتم، تفسر أصل الاسم "طبيعي".

إذا اعتبرنا اللوغاريتم الطبيعي دالة حقيقية لمتغير حقيقي، فهي الدالة العكسية للدالة الأسية التي تؤدي إلى المتطابقات:

ه ln ⁡ ل = أ (أ > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = أ (أ > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

مثل كل اللوغاريتمات، يقوم اللوغاريتم الطبيعي بتعيين الضرب إلى الجمع:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

ليس سيئا على الإطلاق، أليس كذلك؟ بينما يبحث علماء الرياضيات عن كلمات لتعطيك تعريفًا طويلًا ومربكًا، دعنا نلقي نظرة فاحصة على هذا التعريف البسيط والواضح.

الرقم e يعني النمو

الرقم e يعني النمو المستمر. كما رأينا في المثال السابق، يسمح لنا e x بربط الفائدة والوقت: 3 سنوات بنمو 100% هي نفس سنة واحدة بنمو 300%، بافتراض "الفائدة المركبة".

يمكنك استبدال أي نسبة مئوية وقيم زمنية (50% لمدة 4 سنوات)، ولكن من الأفضل ضبط النسبة على 100% للراحة (تبين 100% لمدة عامين). بالانتقال إلى 100%، يمكننا التركيز فقط على عنصر الوقت:

ه س = ه في المئة * الوقت = ه 1.0 * الوقت = ه الوقت

من الواضح أن ex تعني:

• ما مقدار نمو مساهمتي بعد x من الوحدات الزمنية (بافتراض نمو مستمر بنسبة 100٪).
• على سبيل المثال، بعد 3 فترات زمنية سأتلقى e 3 = 20.08 مرة أكثر من "الأشياء".

e x هو عامل قياس يوضح المستوى الذي سنصل إليه في مقدار x من الوقت.

اللوغاريتم الطبيعي يعني الوقت

اللوغاريتم الطبيعي هو معكوس e، وهو مصطلح فاخر للعكس. الحديث عن المراوغات. في اللاتينية يطلق عليه اللوغاريتم الطبيعي، ومن هنا الاختصار ln.

وماذا يعني هذا الانقلاب أو العكس؟

• e x يسمح لنا باستبدال الوقت وتحقيق النمو.
• يسمح لنا ln(x) بأخذ النمو أو الدخل ومعرفة الوقت المستغرق لتوليده.

على سبيل المثال:

• ه 3 يساوي 20.08. وبعد ثلاث فترات زمنية، سيكون لدينا 20.08 مرة أكثر مما بدأنا به.
• سيكون ln(08/20) 3 تقريبًا. إذا كنت مهتمًا بالنمو بمقدار 20.08 مرة، فستحتاج إلى 3 فترات زمنية (مرة أخرى، بافتراض نمو مستمر بنسبة 100٪).

هل مازلت تقرأ؟ يوضح اللوغاريتم الطبيعي الوقت اللازم للوصول إلى المستوى المطلوب.

هذا العد اللوغاريتمي غير القياسي

هل مررت باللوغاريتمات - فهي مخلوقات غريبة. كيف تمكنوا من تحويل الضرب إلى جمع؟ ماذا عن القسمة على الطرح؟ دعونا نرى.

ما هو قانون الجنسية (1) يساوي؟ بشكل بديهي، السؤال هو: كم من الوقت يجب أن أنتظر حتى أحصل على ضعف ما لدي؟

صفر. صفر. مُطْلَقاً. لديك بالفعل مرة واحدة. لا يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للانتقال من المستوى 1 إلى المستوى 1.

• قانون الجنسية (1) = 0

حسنًا، ماذا عن القيمة الكسرية؟ كم من الوقت سيستغرق حتى يتبقى لدينا نصف الكمية المتاحة؟ نحن نعلم أنه مع النمو المستمر بنسبة 100%، فإن ln(2) يعني الوقت الذي يستغرقه التضاعف. إذا نحن دعونا نعود بالزمن إلى الوراء(أي انتظر فترة زمنية سالبة)، فسنحصل على نصف ما لدينا.

• قانون الجنسية (1/2) = - قانون الجنسية (2) = -0.693

منطقي، أليس كذلك؟ وإذا رجعنا (الزمن إلى الوراء) إلى 0.693 ثانية، فسنجد نصف الكمية المتاحة. بشكل عام، يمكنك قلب الكسر والحصول على قيمة سالبة: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. وهذا يعني أننا إذا رجعنا بالزمن إلى 1.09 مرة فلن نجد إلا ثلث العدد الحالي.

حسنًا، ماذا عن لوغاريتم العدد السالب؟ كم من الوقت يستغرق "نمو" مستعمرة البكتيريا من 1 إلى -3؟

هذا مستحيل! لا يمكنك الحصول على عدد البكتيريا السلبية، أليس كذلك؟ يمكنك الحصول على الحد الأقصى (أي...الحد الأدنى) وهو صفر، ولكن لا توجد طريقة يمكنك من خلالها الحصول على رقم سالب من هذه المخلوقات الصغيرة. عدد البكتيريا السلبي ببساطة لا معنى له.

• قانون الجنسية (رقم سلبي) = غير محدد

"غير محدد" يعني أنه لا يوجد مقدار من الوقت يجب الانتظار للحصول على قيمة سلبية.

الضرب اللوغاريتمي هو مجرد فرحان

كم من الوقت سيستغرق النمو أربعة أضعاف؟ بالطبع، يمكنك فقط أن تأخذ ln(4). ولكن هذا بسيط للغاية، وسوف نذهب في الاتجاه الآخر.

يمكنك التفكير في النمو الرباعي على أنه مضاعفة (تتطلب وحدة زمنية (ln(2)) ثم مضاعفة مرة أخرى (تتطلب وحدة زمنية أخرى):

• وقت النمو 4 مرات = ln(4) = وقت المضاعفة ثم المضاعفة مرة أخرى = ln(2) + ln(2)

مثير للاهتمام. أي معدل نمو، على سبيل المثال 20، يمكن اعتباره مضاعفة مباشرة بعد زيادة بمقدار 10 أضعاف. أو النمو 4 مرات، ثم 5 مرات. أو تضاعف ثلاث مرات ثم زاد بمقدار 6.666 مرة. انظر النمط؟

• قانون الجنسية (أ*ب) = قانون الجنسية (أ) + قانون الجنسية (ب)

لوغاريتم A في B هو السجل (A) + السجل (B). تبدو هذه العلاقة منطقية على الفور عند النظر إليها من حيث النمو.

إذا كنت مهتمًا بالنمو بمعدل 30x، فيمكنك الانتظار ln(30) في جلسة واحدة، أو الانتظار ln(3) للمضاعفة ثلاث مرات، ثم ln(10) آخر لمدة 10x. والنتيجة النهائية هي نفسها، لذا بالطبع يجب أن يظل الوقت ثابتًا (وهذا هو الحال).

ماذا عن القسمة؟ على وجه التحديد، ln(5/3) يعني: كم من الوقت سيستغرق النمو 5 مرات ثم الحصول على ثلث ذلك؟

عظيم، النمو بمقدار 5 مرات هو ln(5). ستستغرق الزيادة بمقدار 1/3 مرة -ln(3) وحدات من الوقت. لذا،

• قانون الجنسية (5/3) = قانون الجنسية (5) - قانون الجنسية (3)

وهذا يعني: دعها تنمو 5 مرات، ثم "عد بالزمن" إلى النقطة التي لم يبق فيها سوى ثلث هذا المبلغ، وبذلك تحصل على نمو بنسبة 5/3. بشكل عام اتضح

• قانون الجنسية (أ / ب) = قانون الجنسية (أ) – قانون الجنسية (ب)

آمل أن يكون الحساب الغريب للوغاريتمات قد أصبح منطقيًا بالنسبة لك: ضرب معدلات النمو يصبح إضافة وحدات زمنية للنمو، ويصبح القسمة طرح وحدات زمنية. ليست هناك حاجة لحفظ القواعد، حاول فهمها.

استخدام اللوغاريتم الطبيعي للنمو التعسفي

تقول: "حسنًا، بالطبع، كل هذا جيد إذا كان النمو 100%، ولكن ماذا عن الـ 5% التي أحصل عليها؟"

لا مشكلة. "الوقت" الذي نحسبه باستخدام ln() هو في الواقع مزيج من سعر الفائدة والوقت، وهو نفس X من معادلة e x. لقد قررنا للتو تعيين النسبة المئوية إلى 100% للتبسيط، ولكن لدينا الحرية في استخدام أي أرقام.

لنفترض أننا نريد تحقيق نمو بمقدار 30 مرة: خذ ln(30) واحصل على 3.4 وهذا يعني:

• ه س = الارتفاع
• ه 3.4 = 30

من الواضح أن هذه المعادلة تعني أن "العائد بنسبة 100% على مدى 3.4 سنوات يعطي نموًا بمقدار 30 مرة". ويمكننا كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

• ه س = معدل ه * الوقت
• هـ 100% * 3.4 سنة = 30

يمكننا تغيير قيمتي "الرهان" و"الوقت"، طالما بقي المعدل * الوقت 3.4. على سبيل المثال، إذا كنا مهتمين بالنمو بمقدار 30 مرة، فكم من الوقت سيتعين علينا الانتظار بسعر فائدة قدره 5٪؟

• قانون الجنسية (30) = 3.4
• المعدل * الوقت = 3.4
• 0.05 * الوقت = 3.4
• الزمن = 3.4 / 0.05 = 68 سنة

أفسر ذلك على النحو التالي: "ln(30) = 3.4، لذا عند تحقيق نمو بنسبة 100%، سيستغرق الأمر 3.4 سنوات. وإذا ضاعفت معدل النمو، سينخفض ​​الوقت المطلوب إلى النصف."

• 100% لمدة 3.4 سنوات = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% في 1.7 سنة = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% لمدة 6.8 سنة = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% فوق 68 سنة = 0.05 * 68 = 3.4.

عظيم، أليس كذلك؟ يمكن استخدام اللوغاريتم الطبيعي مع أي سعر فائدة وأي وقت لأن منتجها يظل ثابتًا. يمكنك نقل القيم المتغيرة بقدر ما تريد.

مثال رائع: القاعدة الثانية والسبعون

القاعدة الثانية والسبعون هي تقنية رياضية تسمح لك بتقدير المدة التي ستستغرقها أموالك لتتضاعف. الآن سوف نستنتج ذلك (نعم!)، وعلاوة على ذلك، سنحاول فهم جوهره.

كم من الوقت ستستغرق مضاعفة أموالك بفائدة 100% مركبة سنويًا؟

أُووبس. استخدمنا اللوغاريتم الطبيعي لحالة النمو المستمر، والآن أنت تتحدث عن المركب السنوي؟ ألن تصبح هذه الصيغة غير مناسبة لمثل هذه الحالة؟ نعم، سوف يحدث ذلك، ولكن بالنسبة لأسعار الفائدة الحقيقية مثل 5%، أو 6%، أو حتى 15%، فإن الفارق بين المركب السنوي والنمو المستمر سوف يكون صغيراً. لذا فإن التقدير التقريبي يعمل، بشكل تقريبي، لذا سنتظاهر بأن لدينا استحقاقًا مستمرًا تمامًا.

والسؤال الآن بسيط: ما مدى السرعة التي يمكنك بها مضاعفة النمو بنسبة 100%؟ قانون الجنسية (2) = 0.693. يستغرق الأمر 0.693 وحدة زمنية (سنوات في حالتنا) لمضاعفة المبلغ مع زيادة مستمرة بنسبة 100%.

إذن، ماذا لو لم يكن سعر الفائدة 100%، بل 5% أو 10%؟

بسهولة! بما أن الرهان * الوقت = 0.693، فسنضاعف المبلغ:

• المعدل * الوقت = 0.693
• الوقت = 0.693 / رهان

وتبين أنه إذا كان النمو 10٪، فسوف يستغرق الأمر 0.693 / 0.10 = 6.93 سنة للمضاعفة.

لتبسيط الحسابات، دعونا نضرب كلا الطرفين في 100، ومن ثم يمكننا أن نقول "10" بدلاً من "0.10":

• وقت المضاعفة = 69.3 / رهان، حيث يتم التعبير عن الرهان كنسبة مئوية.

والآن حان وقت المضاعفة بمعدل 5%، 69.3 / 5 = 13.86 سنة. ومع ذلك، 69.3 ليس الأرباح الأكثر ملاءمة. دعونا نختار رقمًا قريبًا، 72، وهو رقم مناسب للقسمة على 2، 3، 4، 6، 8 وأرقام أخرى.

• وقت المضاعفة = 72 / رهان

وهي القاعدة الثانية والسبعون. كل شيء مغطى.

إذا كنت تريد العثور على وقت للمضاعفة ثلاث مرات، فيمكنك استخدام ln(3) ~ 109.8 والحصول على

• الوقت لثلاثة أضعاف = 110 / الرهان

وهي قاعدة مفيدة أخرى. تنطبق "قاعدة 72" على النمو في أسعار الفائدة، والنمو السكاني، والثقافات البكتيرية، وأي شيء ينمو بشكل كبير.

ما هي الخطوة التالية؟

نأمل أن تكون اللوغاريتم الطبيعي الآن منطقية بالنسبة لك - فهي توضح الوقت الذي يستغرقه أي رقم لينمو بشكل كبير. أعتقد أنه يسمى طبيعيًا لأن e هو مقياس عالمي للنمو، لذلك يمكن اعتبار ln طريقة عالمية لتحديد المدة التي يستغرقها النمو.

في كل مرة ترى ln(x)، تذكر "الوقت الذي يستغرقه النمو X مرات". وفي مقال قادم سأصف e وln معًا حتى تملأ رائحة الرياضيات المنعشة الهواء.

إضافة: اللوغاريتم الطبيعي لـ e

اختبار سريع: ما هو ln(e)؟

• سيقول روبوت الرياضيات: بما أنهما معكوسان لبعضهما البعض، فمن الواضح أن ln(e) = 1.
• شخص فاهم: ln(e) هو عدد المرات التي يستغرقها نمو "e" مرات (حوالي 2.718). ومع ذلك، فإن الرقم e نفسه هو مقياس للنمو بعامل 1، لذلك ln(e) = 1.

فكر بوضوح.

9 سبتمبر 2013

1.1. تحديد الأس للأس الصحيح

× 1 = ×
× 2 = س * س
× 3 = س * س * س
…
X N = X * X * … * X — N مرات

1.2. درجة الصفر.

بحكم التعريف، من المقبول عمومًا أن القوة الصفرية لأي رقم هي 1:

1.3. درجة سلبية.

X -N = 1/X N

1.4. القوة الكسرية، الجذر.

X 1/N = N جذر X.

على سبيل المثال: X 1/2 = √X.

1.5. صيغة لإضافة الصلاحيات.

X (N+M) = X N *X M

1.6.صيغة لطرح القوى.

X (N-M) = X N /X M

1.7. صيغة لضرب القوى.

X N*M = (X N) م

1.8. صيغة لرفع الكسر إلى قوة.

(X/Y) N = X N /Y N

2. الرقم ه.

قيمة الرقم e تساوي الحد التالي:

E = lim(1+1/N)، مثل N → ∞.

وبدقة 17 رقمًا، يكون الرقم e هو 2.71828182845904512.

3. مساواة أويلر.

تربط هذه المساواة بين خمسة أرقام تلعب دورًا خاصًا في الرياضيات: 0، 1، e، pi، الوحدة التخيلية.

ه (i*pi) + 1 = 0

4. الدالة الأسية exp(x)

إكسب(س) = ه س

5. مشتق من الدالة الأسية

تتمتع الدالة الأسية بخاصية رائعة: مشتقة الدالة تساوي الدالة الأسية نفسها:

(إكسب(x))" = إكسب(x)

6. اللوغاريتم.

6.1. تعريف الدالة اللوغاريتمية

إذا كانت x = b y، فإن اللوغاريتم هو الدالة

ص = سجل ب (خ).

يُظهر اللوغاريتم القوة التي يجب رفع الرقم بها - قاعدة اللوغاريتم (ب) للحصول على رقم معين (X). يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية لـ X أكبر من الصفر.

على سبيل المثال: سجل 10 (100) = 2.

6.2. اللوغاريتم العشري

هذا هو اللوغاريتم للأساس 10:

ص = سجل 10 (س) .

يُشار إليه بالسجل (x): السجل (x) = السجل 10 (x).

مثال على استخدام اللوغاريتم العشري هو الديسيبل.

6.3. ديسيبل

يتم تمييز العنصر في صفحة منفصلة بالديسيبل

6.4. اللوغاريتم الثنائي

هذا هو اللوغاريتم ذو الأساس 2:

ص = سجل 2 (س).

يُشار إليه بواسطة Lg(x): Lg(x) = السجل 2 (X)

6.5. اللوغاريتم الطبيعي

هذا هو اللوغاريتم للأساس e:

ص = سجل ه (س) .

يُشار إليه بواسطة Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
اللوغاريتم الطبيعي هو الدالة العكسية للدالة الأسية exp(X).

6.6. النقاط المميزة

لوغا (1) = 0
سجل (أ) = 1

6.7. صيغة لوغاريتم المنتج

سجل (x*y) = سجل (x)+سجل (y)

6.8. صيغة لوغاريتم الحاصل

سجل (س/ص) = سجل (س)- سجل (ص)

6.9. لوغاريتم صيغة القوة

سجل (س ص) = ص* سجل (س)

6.10. صيغة للتحويل إلى لوغاريتم بأساس مختلف

السجل ب (س) = (السجل أ (س))/السجل أ (ب)

مثال:

سجل 2 (8) = سجل 10 (8)/سجل 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. صيغ مفيدة في الحياة

غالبًا ما تكون هناك مشاكل في تحويل الحجم إلى مساحة أو طول والمشكلة العكسية - تحويل المساحة إلى حجم. على سبيل المثال، تُباع الألواح على شكل مكعبات (متر مكعب)، ونحتاج إلى حساب مقدار مساحة الجدار التي يمكن تغطيتها بالألواح الموجودة في حجم معين، راجع حساب الألواح، وكم عدد الألواح الموجودة في المكعب. أو، إذا كانت أبعاد الجدار معروفة، فأنت بحاجة إلى حساب عدد الطوب، راجع حساب الطوب.

يُسمح باستخدام مواد الموقع بشرط تثبيت رابط نشط للمصدر.