عند دراسة الجبر في المدرسة الثانوية (الصف التاسع)، أحد الموضوعات المهمة هو دراسة التسلسل العددي، والذي يتضمن التقدم - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.
ما هو التقدم الحسابي؟
لفهم ذلك، من الضروري تحديد التقدم المعني، بالإضافة إلى توفير الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها لاحقًا في حل المشكلات.
من المعروف أنه في بعض المتتابعات الجبرية، يكون الحد الأول يساوي 6، والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.
دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . لنستبدل بها البيانات المعروفة من الشرط، أي الرقمين a 1 و a 7، لدينا: 18 = 6 + 6 * d. من هذا التعبير يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) /6 = 2. وبذلك نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المشكلة.
لاستعادة التسلسل إلى الحد السابع، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري، أي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د، وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16، أ 7 = 18.
المثال رقم 3: رسم التقدم
دعونا تعقيد المشكلة أكثر. الآن نحن بحاجة للإجابة على سؤال كيفية العثور على التقدم الحسابي. يمكن إعطاء المثال التالي: تم إعطاء رقمين، على سبيل المثال - 4 و 5. من الضروري إنشاء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.
قبل البدء في حل هذه المشكلة، عليك أن تفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. وبما أنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما، فإن 1 = -4 و5 = 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى المشكلة، التي تشبه المشكلة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد n الذي نستخدم فيه الصيغة، نحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من: د = (أ 5 - أ 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ما حصلنا عليه هنا ليس قيمة صحيحة للفرق، ولكنه عدد نسبي، لذا تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.
الآن دعونا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الحدود المفقودة للتقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5، وهو ما تزامن مع ظروف المشكلة
مثال رقم 4: الفصل الأول من التقدم
دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتتابعة الجبرية معروفا. الآن دعونا نفكر في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و43 = 37. من الضروري العثور على الرقم الذي يبدأ به هذا التسلسل.
تفترض الصيغ المستخدمة حتى الآن معرفة 1 وd. في بيان المشكلة، لا يوجد شيء معروف عن هذه الأرقام. ومع ذلك، سنكتب تعبيرات لكل حد تتوفر عنه معلومات: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.
أسهل طريقة لحل هذا النظام هي التعبير عن الرقم 1 في كل معادلة ثم مقارنة التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43 - 42 * د = 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).
بمعرفة d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1. على سبيل المثال، أولاً: أ 1 = 50 - 14 * د = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.
إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، يمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد المدة 43 للتقدم، والتي تم تحديدها في الشرط. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ البسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.
مثال رقم 5: المبلغ
الآن دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مع حلول لمجموع التقدم الحسابي.
دعونا نعطي تقدمًا رقميًا بالشكل التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟
بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر، أصبح من الممكن حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بشكل تسلسلي، وهو ما سيقوم به الكمبيوتر بمجرد قيام الشخص بالضغط على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى حقيقة أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها يساوي 1. وبتطبيق صيغة المجموع، نحصل على: S n = n * ( أ 1 + أ ن) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنه في بداية القرن الثامن عشر تمكن الألماني الشهير، الذي كان لا يزال عمره 10 سنوات فقط، من حلها في رأسه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتوالية الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بجمع الأرقام في نهايات المتتابعة في أزواج، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة يكفي ضرب 50 في 101.
مثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m
مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد ما يساوي مجموع حدودها من 8 إلى 14 .
يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة لا تتطلب عمالة كثيفة. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة ثانية، وهي أكثر عالمية.
تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. وفي كلتا الحالتين نكتب تعبيرين للمجموع:
- س م = م * (أ م + أ 1) / 2.
- س ن = ن * (أ ن + أ 1) / 2.
بما أن n > m، فمن الواضح أن المجموع الثاني يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فسنحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * ن/2 + ا م * (1- م/2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د *(3 * م - م 2 - 2) / 2.
الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n وm وa 1 وd. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.
كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تحتاج إلى العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.
نصيحة أخرى هي السعي لتحقيق البساطة، أي إذا كنت تستطيع الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال المتتابعة الحسابية مع الحل رقم 6، يمكن التوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، و قم بتقسيم المشكلة الإجمالية إلى مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).
إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. اكتشفنا كيفية العثور على التقدم الحسابي. إذا عرفت ذلك، فالأمر ليس بهذه الصعوبة.
مجموع التقدم الحسابي.
مجموع التقدم الحسابي هو شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. ولكن هناك كل أنواع المهام حول هذا الموضوع. من الأساسية إلى الصلبة تماما.
أولا، دعونا نفهم معنى وصيغة المبلغ. ومن ثم سنقرر. من أجل متعتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل مو. للعثور على مجموع التقدم الحسابي، تحتاج فقط إلى إضافة جميع حدوده بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة، فيمكنك الإضافة بدون أي صيغ. ولكن إذا كان هناك الكثير، أو الكثير... فالإضافة مزعجة.) في هذه الحالة، تأتي الصيغة للإنقاذ.
صيغة المبلغ بسيطة:
دعونا نتعرف على نوع الحروف المضمنة في الصيغة. وهذا سوف يوضح الأمور كثيرا.
س ن - مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الإضافة الجميعالأعضاء، مع أولاًبواسطة آخر.هذا مهم. يضيفون بالضبط الجميعالأعضاء على التوالي، دون تخطي أو تخطي. وعلى وجه التحديد، بدءا من أولاً.في مسائل مثل إيجاد مجموع الحدين الثالث والثامن، أو مجموع الحدين الخامس إلى العشرين، فإن التطبيق المباشر للصيغة سيكون مخيبًا للآمال.)
أ 1 - أولاًعضو في التقدم . كل شيء واضح هنا، الأمر بسيط أولاًرقم الصف.
ن- آخرعضو في التقدم . العدد الأخير من السلسلة. اسم ليس مألوفًا جدًا، لكن عند تطبيقه على المبلغ فهو مناسب جدًا. ثم سوف ترى بنفسك.
ن - رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم موجود في الصيغة يتزامن مع عدد المصطلحات المضافة.
دعونا نحدد المفهوم آخرعضو ن. سؤال صعب: أي عضو سيكون الأخيرإذا أعطيت لا نهاية لهاالتقدم الحسابي؟)
للإجابة بثقة، تحتاج إلى فهم المعنى الأولي للتقدم الحسابي و... قراءة المهمة بعناية!)
في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي، يظهر الحد الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر)، والتي ينبغي أن تكون محدودة.خلاف ذلك، مبلغ نهائي محدد ببساطة غير موجود.بالنسبة للحل، لا يهم ما إذا كان التقدم معطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف يتم تقديمها: سلسلة من الأرقام، أو صيغة للحد n.
الشيء الأكثر أهمية هو أن نفهم أن الصيغة تعمل من الحد الأول للتقدم إلى الحد ذو الرقم ن.في الواقع، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي. ن، يتم تحديده فقط من خلال المهمة. في إحدى المهام، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة، نعم... ولكن لا يهم، في الأمثلة أدناه نكشف عن هذه الأسرار.)
أمثلة على المهام على مجموع التقدم الحسابي.
في البداية معلومات مفيدة:
تكمن الصعوبة الرئيسية في المهام التي تتضمن مجموع التقدم الحسابي في التحديد الصحيح لعناصر الصيغة.
يقوم مؤلفو المهام بتشفير هذه العناصر ذاتها بخيال لا حدود له.) الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. فهم جوهر العناصر، يكفي فك رموزها ببساطة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تعتمد على GIA حقيقي.
1. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط: a n = 2n-3.5. أوجد مجموع حدوده العشرة الأولى.
أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ باستخدام الصيغة، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ العضو الأول أ 1،الفصل الأخير ننعم رقم العضو الأخير ن.
أين يمكنني الحصول على رقم العضو الأخير؟ ن؟ نعم، هناك، بشرط! تقول: أوجد المبلغ أول 10 أعضاء.حسنًا، ما هو الرقم الذي سيكون معه؟ آخر،العضو العاشر؟) لن تصدق، رقمه هو العاشر!) لذلك بدلاً من نسوف نعوض في الصيغة 10، وبدلا من ذلك ن- عشرة. وأكرر أن عدد العضو الأخير يتطابق مع عدد الأعضاء.
يبقى أن نحدد أ 1و 10. يمكن حساب ذلك بسهولة باستخدام صيغة الحد n، الواردة في بيان المشكلة. لا أعرف كيف تفعل هذا؟ احضروا الدرس السابق فبدونه لا سبيل.
أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
10=2·10 - 3.5 =16.5
س ن = س 10.
لقد اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. كل ما تبقى هو استبدالهم والعد:
هذا كل شيء. الجواب: 75.
مهمة أخرى تعتمد على GIA. أكثر تعقيدًا بعض الشيء:
2. بالنظر إلى المتتابعة الحسابية (a n) التي يكون الفرق فيها 3.7؛ 1 =2.3. أوجد مجموع حدوده الخمسة عشر الأولى.
نكتب على الفور صيغة المجموع:
تتيح لنا هذه الصيغة إيجاد قيمة أي حد من خلال رقمه. نحن نبحث عن بديل بسيط:
أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1
كل ما تبقى هو استبدال جميع العناصر في صيغة مجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:
الجواب: 423.
بالمناسبة، إذا كان في صيغة المبلغ بدلا من ننحن ببساطة نعوض بصيغة الحد n ونحصل على:
دعونا نقدم مماثلة ونحصل على صيغة جديدة لمجموع حدود التقدم الحسابي:
 |
كما ترون، فإن المصطلح n غير مطلوب هنا ن. في بعض المشاكل، تساعد هذه الصيغة كثيرًا، نعم... يمكنك تذكر هذه الصيغة. أو يمكنك ببساطة عرضه في الوقت المناسب، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء، عليك دائمًا أن تتذكر صيغة المجموع وصيغة الحد النوني.)
الآن المهمة في شكل تشفير قصير):
3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من رقمين والتي هي من مضاعفات العدد ثلاثة.
رائع! لا عضوك الأول ولا الأخير ولا التقدم على الإطلاق... كيف تعيش!؟
سيتعين عليك التفكير برأسك وسحب جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي من الحالة. نحن نعرف ما هي الأعداد المكونة من رقمين. وهي تتكون من رقمين.) ما هو الرقم المكون من رقمين أولاً؟ 10، على الأرجح.) أ آخررقم مزدوج؟ 99 بالطبع! والأرقام الثلاثة ستتبعه..
مضاعفات الثلاثة... حسنًا... هذه أرقام تقبل القسمة على ثلاثة، هنا! العشرة لا تقبل القسمة على ثلاثة، 11 لا تقبل القسمة... 12... لا تقبل القسمة! لذلك، هناك شيء آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة وفقًا لشروط المشكلة:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
هل ستكون هذه المتسلسلة متوالية حسابية؟ بالتأكيد! ويختلف كل مصطلح عن السابق بثلاثة فقط. إذا أضفت 2 أو 4 إلى حد ما، على سبيل المثال، النتيجة، أي. الرقم الجديد لم يعد يقبل القسمة على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي: د = 3.سيكون في متناول اليدين!)
لذا، يمكننا تدوين بعض معلمات التقدم بأمان:
ماذا سيكون الرقم؟ نآخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن 99 مخطئ للغاية... الأرقام دائمًا تكون متتالية، لكن أعضاؤنا يقفزون فوق الثلاثة. أنها لا تتطابق.
هناك حلان هنا. إحدى الطرق هي للمجتهدين للغاية. يمكنك تدوين التقدم وسلسلة الأرقام بأكملها وحساب عدد الأعضاء بإصبعك.) الطريقة الثانية للمفكرين. عليك أن تتذكر صيغة الحد n. إذا طبقنا الصيغة على مشكلتنا، نجد أن 99 هو الحد الثلاثون للتقدم. أولئك. ن = 30.
دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الحسابي:
نحن ننظر ونبتهج.) لقد أخرجنا من بيان المشكلة كل ما هو ضروري لحساب المبلغ:
أ 1= 12.
30= 99.
س ن = س 30.
كل ما تبقى هو الحساب الأولي. نستبدل الأرقام في الصيغة ونحسب:
الجواب: 1665
نوع آخر من الألغاز الشائعة:
4. في ضوء التقدم الحسابي:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
أوجد مجموع الحدود من عشرين إلى أربعة وثلاثين.
ننظر إلى صيغة المبلغ و... نشعر بالانزعاج.) دعني أذكرك، الصيغة تحسب المبلغ من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المبلغ منذ العشرين..الصيغة لن تعمل.
يمكنك، بالطبع، كتابة التقدم بأكمله في سلسلة، وإضافة مصطلحات من 20 إلى 34. لكن... إنه أمر غبي إلى حد ما ويستغرق وقتًا طويلاً، أليس كذلك؟)
هناك حل أكثر أناقة. دعونا نقسم سلسلتنا إلى قسمين. الجزء الأول سيكون من الفصل الأول إلى التاسع عشر.الجزء الثاني - من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.ومن الواضح أنه إذا حسبنا مجموع مصطلحات الجزء الأول ق1-19لنضفها مع مجموع حدود الجزء الثاني ق 20-34فنحصل على مجموع التقدم من الفصل الأول إلى الرابع والثلاثين ق1-34. مثله:
ق1-19 + ق 20-34 = ق1-34
من هذا يمكننا أن نرى أن العثور على المبلغ ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط
ق 20-34 = ق1-34 - ق1-19
ويعتبر كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو، أي. صيغة المبلغ القياسية تنطبق عليهم تمامًا. دعونا نبدأ؟
نستخرج معلمات التقدم من بيان المشكلة:
د = 1.5.
أ 1= -21,5.
لحساب مجموع أول 19 وأول 34 حدًا، سنحتاج إلى الحدين 19 و34. نحسبها باستخدام صيغة الحد النوني، كما في المسألة الثانية:
19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5
34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28
لم يبق شيء. من مجموع 34 حدًا اطرح مجموع 19 حدًا:
ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
الجواب: 262.5
ملاحظة هامة! هناك خدعة مفيدة للغاية في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ما تحتاجه (س20-34)،لقد عدنا شيء يبدو أنه ليس هناك حاجة إليه - س 1-19.وبعد ذلك قرروا ق 20-34، والتخلص من ما هو غير ضروري من النتيجة الكاملة. هذا النوع من "الخدعة بأذنيك" غالبًا ما ينقذك من المشاكل الشريرة.)
في هذا الدرس، نظرنا إلى المسائل التي يكفي لفهم معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)
نصيحة عملية:
عند حل أي مشكلة تتضمن مجموع التقدم الحسابي، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين من هذا الموضوع على الفور.
صيغة الحد التاسع :
ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما يجب البحث عنه وفي أي اتجاه يجب التفكير فيه لحل المشكلة. يساعد.
والآن مهام الحل المستقل.
5. أوجد مجموع الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.
رائع؟) التلميح مخفي في ملاحظة المشكلة رقم 4. حسنًا، المشكلة رقم 3 ستساعدك.
6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: a 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد مجموع حدوده الـ 24 الأولى.
غير عادية؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط، فمثل هذه المشكلات غالبًا ما توجد في أكاديمية الدولة للعلوم.
7. قام فاسيا بتوفير المال لقضاء العطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المفضل لدي (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول، وفي كل يوم لاحق أنفق 50 روبل أكثر من اليوم السابق! حتى نفاد المال. كم عدد أيام السعادة التي عاشها فاسيا؟
هل هذا صعب؟) صيغة إضافية من المهمة 2 ستساعدك.
الأجوبة (في حالة الفوضى): 7، 3240، 6.
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
على سبيل المثال، التسلسل \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... هي متوالية حسابية، لأن كل عنصر لاحق يختلف عن العنصر السابق بثلاثة (يمكن الحصول على العنصر السابق بإضافة ثلاثة):
في هذا التقدم، يكون الفرق \(d\) موجبًا (يساوي \(3\)) وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من الحد السابق. تسمى مثل هذه التقدمات زيادة.
ومع ذلك، يمكن أن يكون \(d\) أيضًا رقمًا سالبًا. على سبيل المثال، في التقدم الحسابي \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... فرق التقدم \(d\) يساوي سالب ستة.
وفي هذه الحالة، سيكون كل عنصر تالي أصغر من العنصر السابق. وتسمى هذه التقدمات متناقص.
تدوين التقدم الحسابي
تتم الإشارة إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.
يتم استدعاء الأرقام التي تشكل تقدمًا أعضاء(أو العناصر).
يتم الإشارة إليها بنفس الحرف كمتتالية حسابية، ولكن بمؤشر رقمي يساوي رقم العنصر بالترتيب.
على سبيل المثال، يتكون التقدم الحسابي \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) من العناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) وهكذا.
بمعنى آخر، بالنسبة للتقدم \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
حل مسائل التقدم الحسابي
من حيث المبدأ، فإن المعلومات المقدمة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(b_1=7; d=4\). ابحث عن \(b_5\).
حل:
إجابة: \(b_5=23\)
مثال (أوجي).
معطاة الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الحسابية: \(62; 49; 36…\) أوجد قيمة الحد السالب الأول من هذه المتوالية..
حل:
|
لقد حصلنا على العناصر الأولى من المتتابعة ونعلم أنها متوالية حسابية. أي أن كل عنصر يختلف عن جاره بنفس العدد. دعنا نكتشف أي منها عن طريق طرح العنصر السابق من العنصر التالي: \(d=49-62=-13\). |
|
|
الآن يمكننا استعادة تقدمنا إلى العنصر (السلبي الأول) الذي نحتاجه. |
|
|
مستعد. يمكنك كتابة إجابة. |
إجابة: \(-3\)
مثال (أوجي).
بمعرفة عدة عناصر متتالية للتقدم الحسابي: \(...5; x; 10; 12.5...\) أوجد قيمة العنصر المحدد بالحرف \(x\).
حل:
|
|
للعثور على \(x\)، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق، بمعنى آخر، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
والآن يمكننا بسهولة العثور على ما نبحث عنه: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
مستعد. يمكنك كتابة إجابة. |
إجابة: \(7,5\).
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط التالية: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من هذا التقدم.
حل:
|
علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى للتقدم. ولكننا لا نعرف معانيها؛ فلدينا العنصر الأول فقط. لذلك نقوم أولاً بحساب القيم واحدة تلو الأخرى باستخدام ما هو معطى لنا: \(ن=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
تم العثور على المبلغ المطلوب. |
إجابة: \(S_6=9\).
مثال (أوجي).
في التقدم الحسابي \(a_(12)=23\); \(أ_(16)=51\). أوجد الفرق في هذا التقدم.
حل:
إجابة: \(د=7\).
صيغ مهمة للتقدم الحسابي
كما ترون، يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالتقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - وهو أن التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام، ويتم الحصول على كل عنصر لاحق في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الرقم اختلاف التقدم).
ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك مواقف يكون فيها اتخاذ القرار "المباشر" غير مريح للغاية. على سبيل المثال، تخيل أننا في المثال الأول لا نحتاج إلى العثور على العنصر الخامس \(b_5\)، ولكن العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \(b_(386)\). هل يجب أن نضيف أربع \(385\) مرات؟ أو تخيل أنك تحتاج في المثال قبل الأخير إلى إيجاد مجموع العناصر الثلاثة والسبعين الأولى. سوف تتعب من العد..
لذلك، في مثل هذه الحالات، لا يقومون بحل الأمور "مباشرة"، بل يستخدمون صيغًا خاصة مشتقة من التقدم الحسابي. وأهمها هي صيغة الحد n من التقدم وصيغة مجموع \(n\) الحدود الأولى.
صيغة الحد \(n\)الثالث: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، حيث \(a_1\) هو الحد الأول من التقدم؛
\(n\) – عدد العنصر المطلوب;
\(a_n\) – مدة التقدم بالرقم \(n\).
تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور سريعًا على العنصر الثلاثمائة أو العنصر المليون، بمعرفة العنصر الأول فقط والفرق في التقدم.
مثال.
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(b_1=-159\); \(د=8.2\). ابحث عن \(b_(246)\).
حل:
إجابة: \(ب_(246)=1850\).
صيغة مجموع الحدود n الأولى: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، حيث
\(a_n\) – الحد الأخير الملخص؛
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(a_n=3.4n-0.6\). أوجد مجموع الحدود \(25\) الأولى لهذا التقدم.
حل:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
لحساب مجموع أول خمسة وعشرين حدًا، علينا معرفة قيمة الحدين الأول والخامس والعشرين. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
والآن دعونا نوجد الحد الخامس والعشرين بالتعويض بخمسة وعشرين بدلاً من \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
حسنًا، يمكننا الآن حساب المبلغ المطلوب بسهولة. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
الجواب جاهز. |
إجابة: \(س_(25)=1090\).
بالنسبة لمجموع \(n\) الحدود الأولى، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) بدلاً من \(a_n\) استبدل الصيغة \(a_n=a_1+(n-1)d\). نحصل على:
صيغة مجموع حدود n الأولى: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، حيث
\(S_n\) – المبلغ المطلوب لعناصر \(n\) الأولى؛
\(a_1\) – الحد الأول المجمع؛
\(د\) - فرق التقدم؛
\(n\) – عدد العناصر في المجموع.
مثال.
أوجد مجموع الحدود \(33\)-ex الأولى للتقدم الحسابي: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
حل:
إجابة: \(S_(33)=-231\).
مشاكل التقدم الحسابي الأكثر تعقيدًا
الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مسألة تقدم حسابي تقريبًا. دعونا ننهي الموضوع من خلال النظر في المسائل التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى التفكير قليلاً (قد يكون هذا مفيدًا في الرياضيات ☺)
مثال (أوجي).
أوجد مجموع كل الحدود السلبية للتقدم: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
حل:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
المهمة مشابهة جدًا للمهمة السابقة. نبدأ في حل نفس الشيء: أولاً نجد \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
الآن أود استبدال \(d\) في صيغة المجموع... وهنا يظهر فارق بسيط - نحن لا نعرف \(n\). بعبارة أخرى، لا نعرف عدد الحدود التي يجب إضافتها. كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نفكر. سوف نتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك بحاجة إلى معرفة عدد هذا العنصر. كيف؟ دعونا نكتب الصيغة لحساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \(a_n=a_1+(n-1)d\) في حالتنا. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)د\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
نحتاج أن يصبح \(a_n\) أكبر من الصفر. دعونا نكتشف ماذا سيحدث \(n\) هذا. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
نقسم طرفي المتراجحة على \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
ننقل ناقص واحد، دون أن ننسى تغيير العلامات |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
دعونا نحسب... |
|
|
\(ن>65,333…\) |
...ويتضح أن العنصر الموجب الأول سيكون له الرقم \(66\). وبناء على ذلك، فإن آخر سالب له \(n=65\). فقط في حالة، دعونا التحقق من هذا. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
لذلك نحن بحاجة إلى إضافة العناصر \(65\) الأولى. |
|
|
\(س_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
الجواب جاهز. |
إجابة: \(S_(65)=-630.5\).
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). أوجد المجموع من \(26\)العنصر \(42\) شاملاً.
حل:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
في هذه المشكلة، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر، ولكن ليس بدءًا من العنصر الأول، بل من \(26\)الرقم. لمثل هذه الحالة ليس لدينا صيغة. كيف تقرر؟ |
|
|
بالنسبة لتقدمنا \(a_1=-33\)، والفرق \(d=4\) (بعد كل شيء، الأربعة هي التي نضيفها إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة ذلك، نجد مجموع عناصر \(42\)-y الأولى. |
|
\(س_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
الآن مجموع العناصر \(25\) الأولى. |
|
\(س_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
وأخيرًا، نحسب الإجابة. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
إجابة: \(س=1683\).
بالنسبة للتقدم الحسابي، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب فائدتها العملية المنخفضة. ومع ذلك، يمكنك العثور عليها بسهولة.
يشير مفهوم التسلسل الرقمي إلى أن كل رقم طبيعي يتوافق مع قيمة حقيقية معينة. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام تعسفية أو لها خصائص معينة - تقدم. وفي الحالة الأخيرة، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق في التسلسل باستخدام العنصر السابق.
التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها الأعضاء المجاورون عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة، بدءًا من الثاني، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين الحدين السابق واللاحق - ثابت ويسمى فرق التقدم.
فرق التقدم: التعريف
خذ بعين الاعتبار تسلسلًا يتكون من قيم j A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. عملية حسابية التقدم، حسب تعريفه، هو تسلسل، فيه a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – أ(ي-1) = د. القيمة d هي الفرق المطلوب لهذا التقدم.
د = أ(ي) – أ(ي-1).
تسليط الضوء على:
- تقدم متزايد، وفي هذه الحالة d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
- انخفاض التقدم، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
تطور الفرق وعناصره التعسفية
إذا كان هناك حدين تعسفيين للتقدم معروفين (i-th، k-th)، فيمكن تحديد الفرق في تسلسل معين بناءً على العلاقة:
أ(i) = أ(ك) + (i – ك)*د، وهو ما يعني د = (أ(i) – أ(ك))/(ط-ك).
اختلاف التقدم ومدته الأولى
سيساعد هذا التعبير في تحديد قيمة غير معروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.
فرق التقدم ومجموعه
مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجمالية لعناصر j الأولى، استخدم الصيغة المناسبة:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، ولكن منذ ذلك الحين أ(ي) = أ(1) + د(ي – 1)، ثم S(ي) = ((أ(1) + أ(1) + د(ي – 1))/2)*j=(( 2أ(1) + د(- 1))/2)*ي.
آي في ياكوفليف | مواد الرياضيات | MathUs.ru
التقدم الحسابي
التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك، قبل تعريف التقدم الحسابي (ثم الهندسي)، نحتاج إلى مناقشة المفهوم المهم للتسلسل الرقمي بإيجاز.
التبعية
تخيل جهازًا يتم عرض أرقام معينة على شاشته واحدًا تلو الآخر. لنفترض 2؛ 7؛ 13؛ 1؛ 6؛ 0; 3؛ : : : هذه المجموعة من الأرقام هي بالضبط مثال على التسلسل.
تعريف. التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تعيين رقم فريد لكل رقم (أي مرتبط برقم طبيعي واحد)1. الرقم n يسمى الحد n من المتتابعة.
لذلك، في المثال أعلاه، الرقم الأول هو 2، وهذا هو العضو الأول في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة a1؛ الرقم خمسة لديه الرقم 6 هو الحد الخامس من التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a5. بشكل عام، يُشار إلى الحد n من التسلسل بـ (أو bn، cn، وما إلى ذلك).
الموقف المريح للغاية هو عندما يمكن تحديد الحد n من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة an = 2n 3 تحدد التسلسل: 1; 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ : : : الصيغة an = (1)n تحدد التسلسل: 1; 1؛ 1؛ 1؛ : : :
ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. وبالتالي، فإن المقطع ليس تسلسلًا؛ أنه يحتوي على أرقام "كثيرة جدًا" بحيث لا يمكن إعادة ترقيمها. المجموعة R لجميع الأعداد الحقيقية ليست أيضًا تسلسلًا. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.
التقدم الحسابي: التعاريف الأساسية
الآن نحن على استعداد لتحديد التقدم الحسابي.
تعريف. التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى فرق التقدم الحسابي).
على سبيل المثال، التسلسل 2؛ 5؛ 8؛ 11؛ : : : عبارة عن متتابعة حسابية مع الحد الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2؛ 3؛ 8؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3؛ 3؛ : : : هي متوالية حسابية بفارق يساوي صفر.
تعريف مكافئ: يسمى التسلسل an بالتقدم الحسابي إذا كان الفرق an+1 قيمة ثابتة (مستقلة عن n).
تسمى المتوالية الحسابية تزايدية إذا كان فرقها موجباً، وتناقصية إذا كان فرقها سالباً.
1 ولكن إليك تعريفًا أكثر إيجازًا: التسلسل هو دالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، سلسلة من الأعداد الحقيقية هي دالة f: N ! ر.
بشكل افتراضي، تعتبر التسلسلات لا نهائية، أي أنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام. لكن لا أحد يزعجنا أن نأخذ في الاعتبار التسلسلات المحدودة؛ في الواقع، يمكن تسمية أي مجموعة محدودة من الأرقام بتسلسل محدود. على سبيل المثال، تسلسل النهاية هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5 يتكون من خمسة أرقام.
صيغة الحد n من التقدم الحسابي
من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتحدد بالكامل برقمين: الحد الأول والفرق. لذلك يطرح السؤال: كيف يمكن، بمعرفة الحد الأول والفرق، العثور على حد تعسفي للتقدم الحسابي؟
ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للحد التاسع من التقدم الحسابي. دع
المتوالية الحسابية مع الفرق د. لدينا: | |
أن+1 = أن + د (ن = 1; 2;: : :): | |
ونكتب على وجه الخصوص: | |
a2 = a1 + د؛ | |
a3 = a2 + د = (a1 + د) + د = a1 + 2d؛ | |
a4 = a3 + د = (a1 + 2d) + د = a1 + 3d؛ | |
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي: | |
و = أ1 + (ن 1)د: |
المشكلة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5؛ 8؛ 11؛ : : : أوجد صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.
حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:
أن = 2 + 3(ن 1) = 3ن 1:
أ100 = 3100 1 = 299:
خاصية وعلامة التقدم الحسابي
خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي
بمعنى آخر، كل عضو في المتوالية الحسابية (بدءًا من الثاني) هو الوسط الحسابي للأعضاء المجاورة له.
دليل. لدينا: | ||||
ن 1+ ن+1 | (و د) + (و + د) | |||
وهو ما كان مطلوبا.
وبشكل أعم، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة
أ ن = أ ن ك+ أ ن+ك
لأي n > 2 وأي طبيعي k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
لقد اتضح أن الصيغة (2) لا تعد شرطًا ضروريًا فحسب، بل أيضًا شرطًا كافيًا لكي يكون التسلسل تقدمًا حسابيًا.
علامة التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على جميع n > 2، فإن التسلسل an هو تقدم حسابي.
دليل. لنعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:
أ نا ن 1= أ ن+1أ ن:
من هذا يمكننا أن نرى أن الفرق an+1 an لا يعتمد على n، وهذا يعني بالضبط أن التسلسل an هو تقدم حسابي.
يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في شكل عبارة واحدة؛ للراحة، سنفعل ذلك لثلاثة أرقام (وهذا هو الوضع الذي يحدث غالبًا في المشكلات).
توصيف التقدم الحسابي. ثلاثة أرقام أ، ب، ج تشكل تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2ب = أ + ج.
المشكلة 2. (جامعة ولاية ميشيغان، كلية الاقتصاد، 2007) تشكل ثلاثة أرقام 8x و3x2 و4 بالترتيب المشار إليه تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x وأشر إلى اختلاف هذا التقدم.
حل. وبخاصية التقدم الحسابي لدينا:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; س = 5:
إذا كانت x = 1، فسنحصل على تقدم متناقص قدره 8، 2، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5، فسنحصل على تقدم متزايد قدره 40، 22، 4؛ هذه الحالة ليست مناسبة.
الجواب: س = 1، والفرق هو 6.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي
تقول الأسطورة أنه في أحد الأيام طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا بهدوء لقراءة الصحيفة. ومع ذلك، في غضون دقائق قليلة، قال أحد الصبية أنه قد حل المشكلة. كان هذا كارل فريدريش غاوس البالغ من العمر 9 سنوات، والذي أصبح لاحقًا أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.
كانت فكرة ليتل غاوس على النحو التالي. يترك
ق = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:
س = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1؛
وأضف هاتين الصيغتين:
2س = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
كل حد بين قوسين يساوي 101، وبالتالي هناك 100 حد في المجمل
2س = 101100 = 10100؛
نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة المجموع
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) إذا عوضنا فيها بصيغة الحد n = a1 + (n 1)d:
2أ1 + (ن 1)د | |||||
المشكلة 3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.
حل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هي مضاعفات العدد 13 تشكل تقدمًا حسابيًا حيث يكون الحد الأول 104 والفرق هو 13؛ المصطلح n من هذا التقدم له الشكل:
أن = 104 + 13(ن 1) = 91 + 13ن:
دعنا نتعرف على عدد المصطلحات التي يحتوي عليها تقدمنا. للقيام بذلك، دعونا نحل عدم المساواة:
6999؛ 91 + 13 ن 6 999؛
ن 690813 = 691113; ن669:
إذن، هناك 69 عضوًا في تقدمنا. باستخدام الصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:
س = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2