دعونا نلقي نظرة على ثلاث طرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر.
البحث عن طريق التحليل
الطريقة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد المعطاة إلى عوامل أولية.
لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 99 و30 و28. للقيام بذلك، دعونا نحلل كل رقم من هذه الأرقام إلى عوامل أولية:
ولكي يكون العدد المطلوب قابلاً للقسمة على 99 و30 و28، من الضروري والكافي أن يشمل جميع العوامل الأولية لهذه المقسومات. للقيام بذلك، علينا أن نأخذ جميع العوامل الأولية لهذه الأعداد إلى أكبر قوة ممكنة ونضربها معًا:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
وبالتالي، م م (99، 30، 28) = 13,860 ولا يوجد رقم آخر أقل من 13,860 يقبل القسمة على 99، 30، أو 28.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأرقام معينة، عليك تحليلها إلى عواملها الأولية، ثم أخذ كل عامل أولي بأكبر أس يظهر فيه، وضرب تلك العوامل معًا.
نظرًا لأن الأعداد الأولية نسبيًا لا تحتوي على عوامل أولية مشتركة، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد. على سبيل المثال، ثلاثة أرقام: 20 و49 و33 هي أعداد أولية نسبيًا. لهذا السبب
م م م (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32,340.
يجب أن يتم الأمر نفسه عند إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية المختلفة. على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.
البحث عن طريق الاختيار
الطريقة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق الاختيار.
مثال 1. عندما يتم قسمة أكبر الأرقام المعطاة على رقم آخر، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي أكبرها. على سبيل المثال، إذا أعطيت أربعة أرقام: 60، 30، 10 و 6. كل واحد منهم يقبل القسمة على 60، وبالتالي:
م م م (60، 30، 10، 6) = 60
وفي حالات أخرى، للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، يتم استخدام الإجراء التالي:
- تحديد أكبر عدد من الأرقام المعطاة.
- بعد ذلك، نجد الأرقام التي هي مضاعفات الرقم الأكبر، ونضربها في الأعداد الطبيعية بترتيب متزايد ونتحقق مما إذا كان المنتج الناتج قابلاً للقسمة على الأرقام المعطاة المتبقية.
مثال 2. بالنظر إلى ثلاثة أرقام 24 و 3 و 18. نحدد أكبرها - وهذا هو الرقم 24. بعد ذلك، نجد الأرقام التي هي مضاعفات 24، والتحقق مما إذا كان كل منها قابل للقسمة على 18 و 3:
24 · 1 = 24 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.
24 · 2 = 48 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.
24 · 3 = 72 - يقبل القسمة على 3 و18.
وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر (24، 3، 18) = 72.
البحث عن طريق إيجاد LCM بشكل تسلسلي
الطريقة الثالثة هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بشكل تسلسلي.
المضاعف المشترك الأصغر لعددين محددين يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لهما.
مثال 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين معلومين: 12 و8. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (12، 8) = 4. اضرب هذه الأرقام:
نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:
وبالتالي، م م م (12، 8) = 24.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، استخدم الإجراء التالي:
- أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي اثنين من هذه الأرقام.
- بعد ذلك، تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر والرقم المعطى الثالث.
- ثم، المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر الناتج والرقم الرابع، وما إلى ذلك.
- وبالتالي، يستمر البحث عن LCM طالما أن هناك أرقامًا.
مثال 2. دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الثلاثة المعطاة: 12، 8 و9. لقد وجدنا بالفعل المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 12 و8 في المثال السابق (هذا هو الرقم 24). يبقى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقم 24 والرقم الثالث المحدد - 9. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (24، 9) = 3. اضرب المضاعف المشترك الأصغر في الرقم 9:
نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:
وبالتالي، م م م (12، 8، 9) = 72.
تتم دراسة موضوع "الأرقام المتعددة" في الصف الخامس الثانوي. هدفها هو تحسين مهارات الحساب الرياضي الكتابية والشفوية. يتم في هذا الدرس تقديم مفاهيم جديدة - "الأعداد المتعددة" و"المقسومات"، وتقنية إيجاد المقسومات ومضاعفات الأعداد الطبيعية، والقدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.
هذا الموضوع مهم جدا يمكن تطبيق معرفتها عند حل الأمثلة بالكسور. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على القاسم المشترك عن طريق حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.
كل عدد طبيعي له عدد لا نهائي من مضاعفاته. ويعتبر في حد ذاته الأصغر. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.
عليك أن تثبت أن الرقم 125 هو مضاعف للرقم 5. للقيام بذلك، عليك تقسيم الرقم الأول على الثاني. إذا كان العدد 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي، فالإجابة هي نعم.
هذه الطريقة قابلة للتطبيق على الأعداد الصغيرة.
هناك حالات خاصة عند حساب LOC.
1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لعددين (على سبيل المثال، 80 و 20)، حيث يكون أحدهما (80) قابلاً للقسمة على الآخر (20)، فإن هذا الرقم (80) هو المضاعف الأصغر بينهما. رقمين.
م م م (80، 20) = 80.
2. إذا لم يكن هناك قاسم مشترك لاثنين، فيمكننا القول أن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم هو حاصل ضرب هذين الرقمين.
المضاعف المشترك الأصغر(6، 7) = 42.
دعونا ننظر إلى المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 مقسومتان. يقسمون مضاعف الرقم بدون باقي.
في هذا المثال، 6 و 7 عوامل مقترنة. منتجهم يساوي الرقم الأكثر مضاعفات (42).
يسمى العدد أوليًا إذا كان يقبل القسمة على نفسه فقط أو على 1 (3:1=3; 3:3=1). والباقي يسمى مركب.
مثال آخر يتضمن تحديد ما إذا كان الرقم 9 هو المقسوم على 42.
42:9=4 (الباقي 6)
الإجابة: 9 ليس مقسومًا على 42 لأن الإجابة بها باقي.
ويختلف المقسوم عليه عن المضاعف في أن المقسوم عليه هو الرقم الذي تقسم عليه الأعداد الطبيعية، والمضاعف نفسه يقسم على هذا العدد.
القاسم المشترك الأكبر للأعداد أو ب، مضروبًا في المضاعف الأصغر، سيعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.
وهي: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
تم العثور على المضاعفات المشتركة للأعداد الأكثر تعقيدًا بالطريقة التالية.
على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 168، 180، 3024.
نقوم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل بسيطة ونكتبها كمنتج للقوى:
168=2³x3¹x7¹
2⁴x3³x5¹x7¹=15120
م م(168، 180، 3024) = 15120.
الرقم الثاني: ب=
فاصل الألفبدون فاصل مسافة "´
نتيجة:
القاسم المشترك الأكبر gcd( أ,ب)=6
المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM( أ,ب)=468
يسمى أكبر عدد طبيعي يمكن قسمته بدون باقي على الرقمين a وb القاسم المشترك الأكبر(GCD) من هذه الأرقام. يُشار إليه بـ gcd(a,b) أو (a,b) أو gcd(a,b) أو hcf(a,b).
المضاعف المشترك الأصغرالمضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين a وb هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على a وb بدون باقي. يُشار إليه بـ LCM(a,b) أو lcm(a,b).
يتم استدعاء الأعداد الصحيحة a و b رئيسي متبادل، إذا لم يكن لديهم قواسم مشتركة غير +1 و −1.
القاسم المشترك الأكبر
دعونا نعطي رقمين موجبين أ 1 و أ 2 1). مطلوب إيجاد القاسم المشترك لهذه الأرقام، أي. العثور على مثل هذا الرقم λ ، الذي يقسم الأرقام أ 1 و أ 2 في نفس الوقت. دعونا نصف الخوارزمية.
1) في هذه المقالة سيتم فهم كلمة رقم على أنها عدد صحيح.
يترك أ 1 ≥ أ 2 ودع
أين م 1 , أ 3 هي بعض الأعداد الصحيحة، أ 3 <أ 2(باقي القسمة أ 1 لكل أ 2 ينبغي أن يكون أقل أ 2).
لنفترض ذلك λ يقسم أ 1 و أ 2 ثم λ يقسم م 1 أ 2 و λ يقسم أ 1 −م 1 أ 2 =أ 3 (البيان 2 من مقال "قابلية قسمة الأعداد. اختبار قابلية القسمة"). ويترتب على ذلك أن كل قاسم مشترك أ 1 و أ 2 هو القاسم المشترك أ 2 و أ 3. والعكس صحيح أيضاً إذا λ القاسم المشترك أ 2 و أ 3 ثم م 1 أ 2 و أ 1 =م 1 أ 2 +أ 3 قابل للقسمة أيضًا λ . وبالتالي القاسم المشترك أ 2 و أ 3 هو أيضًا قاسم مشترك أ 1 و أ 2. لأن أ 3 <أ 2 ≤أ 1، إذن يمكننا القول أن حل مشكلة إيجاد القاسم المشترك للأعداد أ 1 و أ 2 تم اختزالها إلى مشكلة أبسط تتمثل في إيجاد القاسم المشترك للأرقام أ 2 و أ 3 .
لو أ 3 ≠0، ثم يمكننا القسمة أ 2 لكل أ 3. ثم
,
أين م 1 و أ 4 هي بعض الأعداد الصحيحة، ( أ 4 باقي من القسمة أ 2 لكل أ 3 (أ 4 <أ 3)). ومن خلال تفكير مماثل نتوصل إلى استنتاج مفاده أن القواسم المشتركة للأعداد أ 3 و أ 4 يتزامن مع القواسم المشتركة للأرقام أ 2 و أ 3، وأيضا مع القواسم المشتركة أ 1 و أ 2. لأن أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4، ... هي أعداد تتناقص باستمرار، وبما أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الصحيحة بينها أ 2 و0، ثم في مرحلة ما ن، باقي القسمة أن على أ n+1 ستكون مساوية للصفر ( أن +2 = 0).
.
كل قاسم مشترك λ أرقام أ 1 و أ 2 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 2 و أ 3 , أ 3 و أ 4 , .... أن و أن+1 . والعكس صحيح أيضًا، وهو قواسم مشتركة للأعداد أن و أ n+1 هي أيضًا مقسومات للأرقام أن −1 و أن، ....، أ 2 و أ 3 , أ 1 و أ 2. لكن القاسم المشترك للأرقام أن و أ n+1 هو رقم أن+1، لأن أن و أ n+1 قابلة للقسمة على أن+1 (تذكر ذلك أن +2 = 0). لذلك أ n+1 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 1 و أ 2 .
لاحظ أن الرقم أ n+1 هو المقسوم الأكبر على الأرقام أن و أ n+1 ، منذ المقسوم عليه الأكبر أ n+1 هو نفسه أن+1 . لو أيمكن تمثيل n+1 كحاصل ضرب أعداد صحيحة، فهذه الأرقام هي أيضًا قواسم مشتركة للأرقام أ 1 و أ 2. رقم أيتم استدعاء n+1 القاسم المشترك الأكبرأرقام أ 1 و أ 2 .
أرقام أ 1 و أ 2 يمكن أن تكون أرقامًا موجبة أو سالبة. إذا كان أحد الأرقام يساوي صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للقيمة المطلقة للرقم الآخر. القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصفرية غير محدد.
تسمى الخوارزمية المذكورة أعلاه الخوارزمية الإقليديةلإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين.
مثال على إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين
أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 630 و 434.
- الخطوة 1. اقسم الرقم 630 على 434. والباقي هو 196.
- الخطوة 2. اقسم الرقم 434 على 196. والباقي هو 42.
- الخطوة 3. اقسم الرقم 196 على 42. والباقي هو 28.
- الخطوة 4. اقسم الرقم 42 على 28. والباقي هو 14.
- الخطوة 5. اقسم الرقم 28 على 14. والباقي هو 0.
في الخطوة 5، باقي القسمة هو 0. لذلك، القاسم المشترك الأكبر للرقمين 630 و434 هو 14. لاحظ أن الرقمين 2 و7 هما أيضًا قواسم للرقمين 630 و434.
أرقام كوبريم
تعريف 1. دع القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 يساوي واحد. ثم يتم استدعاء هذه الأرقام أرقام كوبريم، ليس لها قاسم مشترك.
نظرية 1. لو أ 1 و أ 2 أرقام أولية، و λ رقم ما، ثم أي قاسم مشترك للأرقام LA 1 و أ 2 هو أيضًا قاسم مشترك للأرقام λ و أ 2 .
دليل. خذ بعين الاعتبار الخوارزمية الإقليدية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 (انظر أعلاه).
.
ويترتب على شروط النظرية أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2 وبالتالي أن و أ n+1 هو 1. هذا هو أن+1 =1.
دعونا نضرب كل هذه المساواة في λ ، ثم
.
دع القاسم المشترك أ 1 λ و أ 2 نعم δ . ثم δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 1 λ , م 1 أ 2 λ وفي أ 1 λ -م 1 أ 2 λ =أ 3 λ (سم. "قابلية قسمة الأعداد"، البيان 2). التالي δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 2 λ و م 2 أ 3 λ ، وبالتالي فهو عامل أ 2 λ -م 2 أ 3 λ =أ 4 λ .
بالتفكير بهذه الطريقة، نحن مقتنعون بذلك δ يتم تضمينه كمضاعف في أن −1 λ و من −1 أن λ ، وبالتالي في أن −1 λ −من −1 أن λ =أن+1 λ . لأن أن+1=1 إذن δ يتم تضمينه كمضاعف في λ . ولذلك الرقم δ هو القاسم المشترك للأرقام λ و أ 2 .
دعونا نفكر في حالات خاصة للنظرية 1.
عاقبة 1. يترك أو جالأعداد الأولية نسبية ب. ثم منتجاتهم تيار مترددهو عدد أولي بالنسبة ل ب.
حقًا. من النظرية 1 تيار مترددو بلها نفس القواسم المشتركة مثل جو ب. لكن الأرقام جو ببسيطة نسبيا، أي. لديك قاسم مشترك واحد 1. ثم تيار مترددو بلدينا أيضًا قاسم مشترك واحد 1. لذلك تيار مترددو ببسيطة بشكل متبادل.
عاقبة 2. يترك أو بأرقام coprim والسماح بيقسم أك. ثم بيقسم و ك.
حقًا. من شرط الموافقة أكو بلها قاسم مشترك ب. بموجب النظرية 1، بيجب أن يكون القاسم المشترك بو ك. لذلك بيقسم ك.
يمكن تعميم النتيجة الطبيعية 1.
عاقبة 3. 1. دع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أم هي أولية بالنسبة للعدد ب. ثم أ 1 أ 2 , أ 1 أ 2 · أ 3 , ..., أ 1 أ 2 أ 3 ··· أم، منتج هذه الأرقام هو أولي بالنسبة إلى الرقم ب.
2. دعونا يكون لدينا صفين من الأرقام
بحيث يكون كل رقم في السلسلة الأولى أوليًا بنسبة كل رقم في السلسلة الثانية. ثم المنتج
تحتاج إلى العثور على أرقام قابلة للقسمة على كل من هذه الأرقام.
إذا كان الرقم يقبل القسمة على أ 1، ففيه الشكل سا 1 حيث قبعض العدد. لو سهو القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2، ثم
أين ق 1 هو عدد صحيح. ثم
يكون المضاعفات الأقل شيوعا للأرقام أ 1 و أ 2 .
أ 1 و أ 2 أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2:
علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.
مما سبق يترتب على ذلك أي مضاعف للأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε و أ 3 والعودة. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε و أ 3 نعم ε 1. التالي، مضاعفات الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε 1 و أ 4. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε 1 و أ 4 نعم ε 2. وهكذا وجدنا أن جميع الأعداد مضاعفات أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم تتزامن مع مضاعفات عدد معين ε n، وهو ما يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.
في حالة خاصة عندما تكون الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أ m أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 , أ 2 كما هو موضح أعلاه، له الشكل (3). التالي منذ ذلك الحين أ 3 الأولية بالنسبة للأرقام أ 1 , أ 2 ثم أ 3 عدد أولي أ 1 · أ 2 (النتيجة الطبيعية 1). يعني المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ,أ 2 ,أ 3 هو رقم أ 1 · أ 2 · أ 3. وبالتفكير بطريقة مماثلة، نصل إلى العبارات التالية.
إفادة 1. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم يساوي منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.
إفادة 2. أي رقم يقبل القسمة على كل من الأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم قابل للقسمة أيضًا على منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.
دعونا نواصل الحديث عن المضاعف المشترك الأصغر، والذي بدأناه في قسم "المضاعف المشترك الأصغر - التعريف والأمثلة". في هذا الموضوع، سنتطرق إلى طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، كما سنتناول مسألة كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعدد سالب.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD
لقد أنشأنا بالفعل العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر. الآن دعونا نتعلم كيفية تحديد LCM من خلال GCD. أولاً، دعونا نتعرف على كيفية القيام بذلك مع الأرقام الموجبة.
التعريف 1
يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر باستخدام الصيغة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
مثال 1
أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و70.
حل
لنأخذ أ = 126، ب = 70. دعونا نستبدل القيم في صيغة حساب المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
يجد GCD للأرقام 70 و 126. لهذا نحتاج إلى الخوارزمية الإقليدية: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، وبالتالي GCD (126 , 70) = 14 .
دعونا نحسب LCM: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.
إجابة:م م م (126، 70) = 630.
مثال 2
أوجد الرقم 68 و 34.
حل
ليس من الصعب العثور على GCD في هذه الحالة، حيث أن 68 يقبل القسمة على 34. لنحسب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
إجابة:م م م (68، 34) = 68.
في هذا المثال، استخدمنا قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم الأول قابلاً للقسمة على الثاني، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للرقم الأول.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
الآن دعونا نلقي نظرة على طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر، والتي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.
التعريف 2
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، نحتاج إلى تنفيذ عدد من الخطوات البسيطة:
- نحن نؤلف حاصل ضرب جميع العوامل الأولية للأعداد التي نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لها؛
- نستبعد جميع العوامل الأولية من المنتجات الناتجة؛
- سيكون المنتج الذي تم الحصول عليه بعد حذف العوامل الأولية المشتركة مساوياً لـ LCM للأرقام المحددة.
تعتمد هذه الطريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر على المساواة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). إذا نظرت إلى الصيغة، فسوف يصبح واضحا: منتج الأرقام أ و ب يساوي منتج جميع العوامل التي تشارك في تحلل هذين الرقمين. في هذه الحالة، يكون gcd لعددين يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في تحليلات الرقمين المحددين.
مثال 3
لدينا رقمان 75 و210. ويمكننا تحليلها على النحو التالي: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إذا قمت بتكوين منتج جميع عوامل العددين الأصليين، فستحصل على: 2 3 3 5 5 5 7.
إذا استبعدنا العوامل المشتركة بين العددين 3 و5، نحصل على حاصل الضرب بالشكل التالي: 2 3 5 5 7 = 1050. سيكون هذا المنتج هو المضاعف المشترك الأصغر الخاص بنا للرقمين 75 و210.
مثال 4
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 441 و 700 ، تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية.
حل
لنجد جميع العوامل الأولية للأعداد الواردة في الشرط:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
نحصل على سلسلتين من الأرقام: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.
سيكون منتج جميع العوامل التي شاركت في تحليل هذه الأرقام على الشكل التالي: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعونا نجد العوامل المشتركة. هذا هو الرقم 7. لنستبعده من المنتج الإجمالي: 2 2 3 3 5 5 7 7. وتبين أن المؤسسة الوطنية للنفط (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
إجابة: LOC(441, 700) = 44,100.
دعونا نعطي صيغة أخرى لطريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.
التعريف 3
لقد استبعدنا سابقًا من العدد الإجمالي العوامل المشتركة بين الرقمين. الآن سنفعل ذلك بشكل مختلف:
- دعونا نحول كلا الرقمين إلى عوامل أولية:
- أضف إلى حاصل ضرب العوامل الأولية للرقم الأول العوامل المفقودة للرقم الثاني؛
- نحصل على المنتج، والذي سيكون LCM المطلوب من رقمين.
مثال 5
لنعد إلى الرقمين 75 و210، اللذين بحثنا عنهما بالفعل في أحد الأمثلة السابقة. دعونا نقسمها إلى عوامل بسيطة: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إلى منتج العوامل 3 و 5 و 5 الأرقام 75 تضيف العوامل المفقودة 2 و 7 الأرقام 210. نحصل على: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210.
مثال 6
من الضروري حساب LCM للأرقام 84 و 648.
حل
دعونا نحلل الأرقام من الشرط إلى عوامل بسيطة: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. دعونا نضيف إلى المنتج العوامل 2، 2، 3 و 7
الأرقام 84 العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و
3
الأرقام 648. نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.
إجابة:م م م(84, 648) = 4,536.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر
بغض النظر عن عدد الأرقام التي نتعامل معها، ستكون خوارزمية أفعالنا هي نفسها دائمًا: سنجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين بالتتابع. هناك نظرية لهذه الحالة.
النظرية 1
لنفترض أن لدينا أعداد صحيحة أ 1، أ 2، …، ك. شهادة عدم الممانعة م كتم العثور على هذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM (أ 1، أ 2)، م 3 = م م 2، أ 3)، ...، م ك = م م م (م ك − 1، أ ك).
الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية تطبيق النظرية لحل مشاكل محددة.
مثال 7
تحتاج إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54 و 250 .
حل
دعونا نقدم الترميز: أ 1 = 140، أ 2 = 9، أ 3 = 54، أ 4 = 250.
لنبدأ بحساب m 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) = المضاعف المشترك الأصغر (140، 9). دعونا نطبق الخوارزمية الإقليدية لحساب GCD للأرقام 140 و9: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. نحصل على: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 · 9: GCD (140، 9) = 140 · 9: 1 = 1260. وبالتالي م2 = 1,260.
الآن دعونا نحسب باستخدام نفس الخوارزمية m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). خلال الحسابات نحصل على م 3 = 3 780.
كل ما علينا فعله هو حساب م 4 = المضاعف المشترك الأصغر (م 3 ، أ 4) = المضاعف المشترك الأصغر (3 780، 250). نحن نتبع نفس الخوارزمية. نحصل على م 4 = 94500.
LCM للأرقام الأربعة من حالة المثال هو 94500.
إجابة:شهادة عدم الممانعة (140، 9، 54، 250) = 94,500.
كما ترون، الحسابات بسيطة، ولكنها كثيفة العمالة للغاية. لتوفير الوقت، يمكنك الذهاب بطريقة أخرى.
التعريف 4
نحن نقدم لك خوارزمية الإجراءات التالية:
- نحن نحلل جميع الأرقام إلى عوامل أولية؛
- إلى حاصل ضرب عوامل الرقم الأول نضيف العوامل المفقودة من حاصل ضرب العدد الثاني؛
- نضيف إلى المنتج الذي تم الحصول عليه في المرحلة السابقة العوامل المفقودة للرقم الثالث، وما إلى ذلك؛
- سيكون المنتج الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام من الشرط.
مثال 8
أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أرقام 84، 6، 48، 7، 143.
حل
دعونا نحلل جميع الأعداد الخمسة إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. الأعداد الأولية، وهي العدد 7، لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية. تتزامن هذه الأرقام مع تحللها إلى عوامل أولية.
الآن لنأخذ حاصل ضرب العوامل الأولية 2 و 2 و 3 و 7 للرقم 84 ونضيف إليها العوامل الناقصة للرقم الثاني. قمنا بتحليل الرقم 6 إلى 2 و 3. هذه العوامل موجودة بالفعل في حاصل ضرب الرقم الأول. ولذلك، فإننا نتجاهلهم.
نواصل إضافة المضاعفات المفقودة. لننتقل إلى الرقم 48، الذي نأخذ من حاصل ضرب عوامله الأولية 2 و2. ثم نضيف العامل الأولي 7 من الرقم الرابع والعاملين 11 و 13 من الرقم الخامس. نحصل على: 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الخمسة الأصلية.
إجابة:م م م (84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة
من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة، يجب أولاً استبدال هذه الأرقام بأرقام ذات علامة معاكسة، ثم يجب إجراء الحسابات باستخدام الخوارزميات المذكورة أعلاه.
مثال 9
المضاعف المشترك الأصغر (54، − 34) = المضاعف المشترك الأصغر (54، 34) والمضاعف المشترك الأصغر (− 622، − 46، − 54، − 888) = المضاعف المشترك الأصغر (622، 46، 54، 888).
ومثل هذه التصرفات جائزة لأننا إذا قبلنا ذلك أو - أ- أرقام متضادة،
ثم مجموعة مضاعفات الرقم أيطابق مجموعة مضاعفات الرقم - أ.
مثال 10
من الضروري حساب LCM للأرقام السالبة − 145 و − 45 .
حل
دعونا نستبدل الأرقام − 145 و − 45 إلى أعدادهم المقابلة 145 و 45 . الآن، باستخدام الخوارزمية، نحسب LCM (145، 45) = 145 · 45: GCD (145، 45) = 145 · 45: 5 = 1،305، بعد أن تم تحديد GCD مسبقًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية.
لقد حصلنا على أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام هو -145 و − 45 يساوي 1 305 .
إجابة:م م م (− 145, − 45) = 1,305.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter