أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة. أكبر وأصغر قيمة للدالة

من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.

تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، وهي إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح ، فاصل لا نهائي.

سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة محددة بوضوح لمتغير واحد y=f(x) .

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات والرسوم التوضيحية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.

نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لانهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيمًا صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.

من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.

على الجزء

في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].

النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة، والقيمة الأكبر عند النقطة التي يتوافق فيها الإحداثي الإحداثي مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.

في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

على فترة مفتوحة

في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل الفترة المفتوحة (-6;6).

في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال المعروض في الشكل السابع، تأخذ الدالة القيمة الأكبر (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.

خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. عندما تقترب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى سالب ما لا نهاية (الخط x=2 هو خط مقارب عمودي)، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى زائد اللانهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل غير مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.

دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

1. نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في المقطع (عادةً ما توجد هذه النقاط في الوظائف ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف القوة ذات الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
4. نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
5. من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.

دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• على المقطع؛
• على المقطع [-4;-1] .

حل.

مجال تعريف الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها، باستثناء الصفر. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.

أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى:

من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].

نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الجذر الحقيقي الوحيد هو x=2 تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4:

وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة – عند س=2.

في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

بيان المشكلة 2:

إعطاء دالة محددة ومستمرة في فترة زمنية معينة. تحتاج إلى العثور على أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

اساس نظرى.
نظرية (نظرية فايرستراس الثانية):

إذا كانت الدالة محددة ومستمرة في فترة مغلقة، فإنها تصل إلى قيمها القصوى والدنيا في هذه الفترة.

يمكن للدالة أن تصل إلى أكبر وأصغر قيمها إما عند النقاط الداخلية للفاصل الزمني أو عند حدودها. دعونا نوضح جميع الخيارات الممكنة.

توضيح:
1) تصل الدالة إلى قيمتها الكبرى على الحد الأيسر للفاصل الزمني عند النقطة ، وإلى قيمتها الدنيا على الحد الأيمن للفاصل الزمني عند النقطة .
2) تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند النقطة (هذه هي النقطة القصوى)، وأصغر قيمة لها عند الحد الأيمن للفاصل الزمني عند النقطة.
3) تصل الدالة إلى قيمتها القصوى على الحد الأيسر للفاصل الزمني عند النقطة، وإلى قيمتها الدنيا عند النقطة (هذه هي النقطة الدنيا).
4) الدالة ثابتة على الفترة، أي. حيث تصل إلى قيمها الدنيا والقصوى عند أي نقطة في الفترة، وتكون القيم الدنيا والقصوى متساوية مع بعضها البعض.
5) تصل الدالة إلى قيمتها القصوى عند النقطة، وإلى قيمتها الدنيا عند النقطة (على الرغم من أن الدالة لها قيمة عظمى وأدنى في هذه الفترة).
6) تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند نقطة ما (هذه هي النقطة القصوى)، وإلى قيمتها الدنيا عند نقطة ما (هذه هي النقطة الدنيا).
تعليق:

"الحد الأقصى" و"القيمة القصوى" شيئان مختلفان. وينبع هذا من تعريف الحد الأقصى والفهم البديهي لعبارة "القيمة القصوى".

خوارزمية لحل المشكلة 2.



4) اختر الأكبر (الأصغر) من القيم التي تم الحصول عليها واكتب الإجابة.

مثال 4:

تحديد أكبر وأصغر قيمة للدالة على الجزء.
حل:
1) أوجد مشتقة الدالة.

2) أوجد النقاط الثابتة (والنقاط المشتبه في وجودها القصوى) من خلال حل المعادلة. انتبه إلى النقاط التي لا يوجد فيها مشتق محدود ذو وجهين.

3) احسب قيم الدالة عند النقاط الثابتة وعند حدود الفاصل الزمني.

4) اختر الأكبر (الأصغر) من القيم التي تم الحصول عليها واكتب الإجابة.

تصل الدالة في هذا المقطع إلى أكبر قيمة لها عند النقطة ذات الإحداثيات.

تصل الدالة في هذا المقطع إلى أدنى قيمة لها عند النقطة ذات الإحداثيات.

يمكنك التحقق من صحة الحسابات من خلال النظر إلى الرسم البياني للدالة قيد الدراسة.


تعليق:تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند النقطة القصوى، وإلى القيمة الدنيا عند حدود القطعة.

حالة خاصة.

لنفترض أنك بحاجة إلى العثور على القيم القصوى والدنيا لبعض الوظائف في مقطع ما. بعد الانتهاء من النقطة الأولى من الخوارزمية، أي. عند حساب المشتق، يصبح من الواضح، على سبيل المثال، أنه يأخذ قيمًا سالبة فقط طوال الفترة قيد النظر بأكملها. تذكر أنه إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تتناقص. لقد وجدنا أن الدالة تتناقص على المقطع بأكمله. ويوضح هذا الوضع الرسم البياني رقم 1 في بداية المقال.

الدالة تتناقص على القطعة، أي. ليس لديها نقاط متطرفة. من الصورة يمكنك أن ترى أن الدالة ستأخذ أصغر قيمة على الحد الأيمن للمقطع، وأكبر قيمة على اليسار. إذا كانت مشتقة القطعة موجبة في كل مكان، فإن الدالة تزداد. أصغر قيمة موجودة على الحد الأيسر للمقطع، والقيمة الأكبر موجودة على اليمين.

إن دراسة كائن التحليل الرياضي كدالة له أهمية كبيرة معنىوفي مجالات العلوم الأخرى. على سبيل المثال، في التحليل الاقتصادي هناك حاجة مستمرة لتقييم السلوك المهامالربح، أي تحديد أعظمه معنىووضع استراتيجية لتحقيق ذلك.

تعليمات

يجب أن تبدأ دراسة أي سلوك دائمًا بالبحث عن مجال التعريف. عادة، وفقا لشروط مشكلة معينة، من الضروري تحديد الأكبر معنى المهامإما على هذه المنطقة بأكملها، أو على فترة محددة منها بحدود مفتوحة أو مغلقة.

على أساس أن الأكبر هو معنى المهام y(x0)، حيث يوجد عدم المساواة لأي نقطة في مجال التعريف y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). بيانياً، ستكون هذه النقطة هي الأعلى إذا تم وضع قيم الوسيطة على طول محور الإحداثي، والدالة نفسها على طول المحور الإحداثي.

لتحديد أعظم معنى المهام، اتبع الخوارزمية المكونة من ثلاث خطوات. يرجى ملاحظة أنه يجب أن تكون قادرًا على العمل مع المشتق من جانب واحد وكذلك حساب المشتق. لذا، دع بعض الوظائف y(x) تعطى وتحتاج إلى العثور على أعظمها معنىعلى فترة زمنية معينة مع القيم الحدودية A و B.

اكتشف ما إذا كانت هذه الفترة ضمن نطاق التعريف المهام. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور عليه من خلال النظر في جميع القيود الممكنة: وجود الكسر، الجذر التربيعي، وما إلى ذلك في التعبير. مجال التعريف هو مجموعة قيم الوسيطات التي تكون الوظيفة منطقية لها. تحديد ما إذا كانت الفترة المحددة هي مجموعة فرعية منه. إذا كانت الإجابة بنعم، فانتقل إلى الخطوة التالية.

أوجد المشتقة المهاموحل المعادلة الناتجة بمساواة المشتقة بالصفر. بهذه الطريقة سوف تحصل على قيم ما يسمى بالنقاط الثابتة. قم بتقييم ما إذا كان واحد منهم على الأقل ينتمي إلى المجال A، B.

في المرحلة الثالثة، خذ بعين الاعتبار هذه النقاط واستبدل قيمها في الدالة. اعتمادًا على نوع الفاصل الزمني، قم بتنفيذ الخطوات الإضافية التالية. إذا كان هناك جزء من النموذج [A، B]، يتم تضمين نقاط الحدود في الفاصل الزمني؛ ويشار إلى ذلك بين قوسين. حساب القيم المهاملـ x = A وx = B. إذا كان الفاصل الزمني مفتوحًا (A، B)، يتم ثقب القيم الحدودية، أي. لا يتم تضمينها في ذلك. حل الحدود من جانب واحد لـ x→A وx→B. فاصل مشترك من النموذج [A، B) أو (A، B)، ينتمي أحد حدوده إليه، ولا ينتمي الآخر إليه. أوجد النهاية أحادية الجانب حيث أن x تميل إلى القيمة المثقوبة، واستبدل الآخر بها الدالة. فاصل زمني لا نهائي من جانبين (-∞، +∞) أو ​​فترات لا نهائية من جانب واحد بالشكل: , (-∞, B). بالنسبة للحدود الحقيقية A وB، تابع وفقًا للمبادئ الموصوفة بالفعل، و تلك التي لا نهاية لها، ابحث عن حدود x→-∞ وx→+∞، على التوالي.

المهمة في هذه المرحلة

مع هذه الخدمة يمكنك العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالةمتغير واحد f(x) مع الحل المنسق في Word. إذا تم إعطاء الدالة f(x,y)، فمن الضروري إيجاد الحد الأقصى لدالة متغيرين. يمكنك أيضًا العثور على فترات الزيادة والنقصان في الوظائف.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

ص =

على المقطع [ ;]

تشمل النظرية

قواعد لإدخال الوظائف:

شرط ضروري لأقصى دالة لمتغير واحد

المعادلة f" 0 (x *) = 0 هي شرط ضروري لأقصى دالة لمتغير واحد، أي عند النقطة x * يجب أن يختفي المشتق الأول للدالة. وتحدد النقاط الثابتة x c التي لا تختفي عندها الدالة زيادة أو نقصان .

الشرط الكافي لأقصى دالة لمتغير واحد

اجعل f 0 (x) قابلاً للتمييز مرتين فيما يتعلق بـ x الذي ينتمي إلى المجموعة D. إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

و" 0 (س *) = 0
و"" 0 (س *) > 0

ثم النقطة x * هي نقطة الحد الأدنى المحلي (العالمي) للدالة.

إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

و" 0 (س *) = 0
و"" 0 (س *)< 0

ثم النقطة x * هي الحد الأقصى المحلي (العالمي).

المثال رقم 1. ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة: على القطعة.
حل.

النقطة الحرجة هي واحد × 1 = 2 (f'(x)=0). هذه النقطة تنتمي إلى هذا الجزء. (النقطة x=0 ليست حرجة، منذ 0∉).
نحسب قيم الدالة في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
الإجابة: f min = 5 / 2 عند x=2; و ماكس = 9 في س = 1

المثال رقم 2. باستخدام المشتقات ذات الترتيب الأعلى، أوجد الحد الأقصى للدالة y=x-2sin(x) .
حل.
أوجد مشتقة الدالة: y’=1-2cos(x) . لنجد النقاط الحرجة: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. نجد y’’=2sin(x)، احسب، مما يعني أن x= π / 3 +2πk، k∈Z هي الحد الأدنى من نقاط الدالة؛ ، وهو ما يعني x=- π / 3 +2πk، k∈Z هي النقاط القصوى للدالة.

المثال رقم 3. تحقق من الدالة القصوى في محيط النقطة x=0.
حل. هنا من الضروري العثور على الحد الأقصى للوظيفة. إذا كان الحد الأقصى x = 0، فاكتشف نوعه (الحد الأدنى أو الأقصى). إذا لم يكن هناك x = 0 بين النقاط التي تم العثور عليها، فاحسب قيمة الدالة f(x=0).
تجدر الإشارة إلى أنه عندما لا يغير المشتق على كل جانب من نقطة معينة إشارته، فإن المواقف المحتملة لا يتم استنفادها حتى بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل: يمكن أن يحدث ذلك بالنسبة لحي صغير بشكل تعسفي على جانب واحد من النقطة x 0 أو على كلا الجانبين علامة التغييرات المشتقة. في هذه النقاط من الضروري استخدام طرق أخرى لدراسة الوظائف على أقصى الحدود.

دع الوظيفة ص =F(X)مستمرة على الفترة [ أ، ب]. وكما هو معروف فإن مثل هذه الدالة تصل إلى قيمها القصوى والدنيا على هذه القطعة. يمكن للدالة أن تأخذ هذه القيم إما عند النقطة الداخلية للمقطع [ أ، ب]، أو على حدود المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة على المقطع [ أ، ب] ضروري:

1) أوجد النقاط الحرجة للدالة في الفترة ( أ، ب);

2) حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة الموجودة؛

3) احسب قيم الدالة في نهايات المقطع أي متى س=أو س = ب;

4) من جميع القيم المحسوبة للدالة، حدد الأكبر والأصغر.

مثال.العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة

على الجزء.

البحث عن النقاط الحرجة:

تقع هذه النقاط داخل القطعة ; ذ(1) = ‒ 3; ذ(2) = ‒ 4; ذ(0) = ‒ 8; ذ(3) = 1;

عند هذه النقطة س= 3 وعند هذه النقطة س= 0.

دراسة دالة التحدب ونقطة الانقلاب.

وظيفة ذ = F (س) مُسَمًّى محدبما بين أثنين (أ, ب) ، إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع تحت المماس المرسوم عند أي نقطة في هذه الفترة، ويسمى محدب إلى الأسفل (مقعر)، إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع فوق المماس.

تسمى النقطة التي يتم من خلالها استبدال التحدب بالتقعر أو العكس نقطة الأنحراف.

خوارزمية فحص التحدب ونقطة الانعطاف:

1. أوجد النقاط الحرجة من النوع الثاني، أي النقاط التي يكون عندها المشتق الثاني يساوي صفراً أو غير موجود.

2. رسم النقاط الحرجة على خط الأعداد، وتقسيمها إلى فترات. أوجد إشارة المشتقة الثانية في كل فترة؛ إذا كانت الدالة محدبة لأعلى، وإذا كانت الدالة محدبة لأسفل.

3. إذا تغيرت الإشارة عند المرور بنقطة حرجة من النوع الثاني، وعند هذه النقطة يكون المشتق الثاني يساوي الصفر، فهذه النقطة هي نقطة الانعطاف. العثور على الإحداثيات لها.

الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. دراسة دالة للخطوط المقاربة.

تعريف.يسمى الخط المقارب للرسم البياني للدالة مستقيم، والتي لها خاصية أن المسافة من أي نقطة على الرسم البياني إلى هذا الخط تميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة على الرسم البياني إلى أجل غير مسمى من الأصل.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: عمودي وأفقي ومائل.

تعريف.يسمى الخط المستقيم الخط المقارب الرأسيالرسومات الوظيفية ص = و(س)، إذا كان أحد الحدود أحادية الجانب على الأقل للدالة عند هذه النقطة يساوي ما لا نهاية، فهذا يعني

أين هي نقطة انقطاع الدالة، أي أنها لا تنتمي إلى مجال التعريف.

مثال.

د ( ذ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

س= 2 - نقطة الكسر.

تعريف.مستقيم ص =أمُسَمًّى الخط المقارب الأفقيالرسومات الوظيفية ص = و(س)في ، إذا

مثال.

س
ذ

تعريف.مستقيم ص =كس +ب (ك≠ 0) يسمى الخط المقاربالرسومات الوظيفية ص = و(س)في ، أين

مخطط عام لدراسة الدوال وبناء الرسوم البيانية.

خوارزمية البحث الدالةص = و(س) :

1. ابحث عن مجال الوظيفة د (ذ).

2. ابحث (إن أمكن) عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات (إذا س= 0 وفي ذ = 0).

3. فحص التساوي والغرابة في الوظيفة ( ذ (‒ س) = ذ (س) ‒ التكافؤ. ذ(‒ س) = ‒ ذ (س) ‒ غريب).

4. ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.

5. ابحث عن فترات رتابة الوظيفة.

6. أوجد الحدود القصوى للدالة.

7. أوجد فترات التحدب (التقعر) ونقاط انعطاف الرسم البياني للدالة.

8. بناءً على البحث الذي تم إجراؤه، قم بإنشاء رسم بياني للوظيفة.

مثال.استكشاف الدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

1) د (ذ) =

س= 4 - نقطة الكسر.

2) متى س = 0,

(0; - 5) – نقطة التقاطع مع أوه.

في ذ = 0,

3) ذ(‒ س)= دالة ذات شكل عام (لا زوجية ولا فردية).

4) نحن نفحص الخطوط المقاربة.

أ) عمودي

ب) أفقي

ج) العثور على الخطوط المقاربة المائلة حيث

- معادلة الخط المقارب المائل

5) في هذه المعادلة ليس من الضروري إيجاد فترات رتابة الدالة.

6)

تقسم هذه النقاط الحرجة مجال تعريف الدالة بأكمله إلى الفترة (˗∞; ˗2)، (˗2; 4)، (4; 10) و (10; +∞). ومن الملائم تقديم النتائج التي تم الحصول عليها في شكل الجدول التالي.