- درس تعليمي
مقدمة
أنا عالم رياضيات ومبرمج. أكبر قفزة قمت بها في مسيرتي كانت عندما تعلمت أن أقول: "أنا لا أفهم أي شيء!"الآن أنا لا أخجل من أن أقول لنجم العلم أنه يلقي محاضرة لي، وأنني لا أفهم ما يقوله لي، وهو النجم. وهذا صعب للغاية. نعم الاعتراف بجهلك أمر صعب ومحرج. من يحب أن يعترف بأنه لا يعرف أساسيات شيء ما؟ بحكم مهنتي، لا بد لي من حضور عدد كبير من العروض والمحاضرات، حيث أعترف أنه في الغالبية العظمى من الحالات أريد النوم لأنني لا أفهم أي شيء. لكنني لا أفهم لأن المشكلة الكبيرة في الوضع الحالي للعلوم تكمن في الرياضيات. يفترض أن جميع المستمعين على دراية بجميع مجالات الرياضيات (وهو أمر سخيف). إن الاعتراف بأنك لا تعرف ما هو المشتق (سنتحدث عنه بعد قليل) أمر مخز.
لكنني تعلمت أن أقول إنني لا أعرف ما هو الضرب. نعم، لا أعرف ما هو الجبر الفرعي فوق جبر الكذب. نعم، لا أعرف لماذا هناك حاجة إلى المعادلات التربيعية في الحياة. بالمناسبة، إذا كنت متأكدًا من أنك تعرف، فلدينا شيء نتحدث عنه! الرياضيات هي سلسلة من الحيل. يحاول علماء الرياضيات إرباك وترهيب الجمهور؛ حيث لا يوجد ارتباك ولا سمعة ولا سلطة. نعم، إنه لأمر مرموق أن نتحدث بلغة مجردة قدر الإمكان، وهذا محض هراء.
هل تعرف ما هو المشتق؟ على الأرجح ستخبرني عن حد نسبة الفرق. في السنة الأولى من الرياضيات والميكانيكا في جامعة ولاية سانت بطرسبرغ، أخبرني فيكتور بتروفيتش خافين عازمالمشتق هو معامل الحد الأول من سلسلة تايلور للدالة عند نقطة ما (كانت هذه جمبازًا منفصلاً لتحديد سلسلة تايلور بدون مشتقات). لقد ضحكت على هذا التعريف لفترة طويلة حتى فهمت أخيرًا ما يدور حوله. المشتق ليس أكثر من مقياس بسيط لمدى تشابه الدالة التي نفرقها مع الدالة y=x, y=x^2, y=x^3.
ويشرفني الآن إلقاء المحاضرات على الطلاب الذين خائفالرياضيات. إذا كنت تخاف من الرياضيات، فنحن نسير على نفس الطريق. بمجرد أن تحاول قراءة بعض النصوص ويبدو لك أنها معقدة للغاية، فاعلم أنها مكتوبة بشكل سيء. أؤكد أنه لا يوجد مجال واحد في الرياضيات لا يمكن مناقشته "على الأصابع" دون فقدان الدقة.
مهمة للمستقبل القريب: كلفت طلابي بفهم ما هو المنظم التربيعي الخطي. لا تخجل، اقض ثلاث دقائق من حياتك واتبع الرابط. إذا لم تفهم أي شيء، فنحن على نفس الطريق. أنا (عالم رياضيات ومبرمج محترف) لم أفهم شيئًا أيضًا. وأنا أؤكد لك أنه يمكنك معرفة ذلك "على أصابعك". في الوقت الحالي، لا أعرف ما هو، لكنني أؤكد لك أننا سنكون قادرين على اكتشافه.
لذا، فإن المحاضرة الأولى التي سألقيها لطلابي بعد أن يأتوا إلي في حالة رعب ويقولون إن المنظم الخطي التربيعي هو شيء فظيع لن تتقنه أبدًا في حياتك طرق المربعات الصغرى. هل يمكنك حل المعادلات الخطية؟ إذا كنت تقرأ هذا النص، فعلى الأرجح لا.
لذا، بمعلومية النقطتين (x0، y0)، (x1، y1)، على سبيل المثال، (1,1) و (3,2)، فإن المهمة هي إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هاتين النقطتين:
توضيح
يجب أن يكون لهذا الخط معادلة مثل ما يلي:
هنا ألفا وبيتا غير معروفين لنا، لكن نقطتين من هذا الخط معروفتان:
يمكننا كتابة هذه المعادلة على شكل مصفوفة:
هنا يجب أن نقوم باستطراد غنائي: ما هي المصفوفة؟ المصفوفة ليست أكثر من مصفوفة ثنائية الأبعاد. هذه طريقة لتخزين البيانات، ولا ينبغي إرفاق أي معاني أخرى بها. يعتمد علينا بالضبط كيفية تفسير مصفوفة معينة. سأفسرها بشكل دوري على أنها رسم خرائط خطي، وبشكل دوري على أنها شكل تربيعي، وأحيانًا ببساطة على أنها مجموعة من المتجهات. سيتم توضيح كل هذا في السياق.
لنستبدل المصفوفات الملموسة بتمثيلها الرمزي:
ثم يمكن العثور على (alpha، beta) بسهولة:
وبشكل أكثر تحديدًا لبياناتنا السابقة:
مما يؤدي إلى المعادلة التالية للخط الذي يمر بالنقطتين (1،1) و (3،2):
حسنًا، كل شيء واضح هنا. دعونا نجد معادلة الخط المار ثلاثةالنقاط: (x0,y0)، (x1,y1) و (x2,y2):
أوه أوه أوه، ولكن لدينا ثلاث معادلات لمجهولين! سيقول عالم الرياضيات القياسي أنه لا يوجد حل. ماذا سيقول المبرمج؟ وسيقوم أولاً بإعادة كتابة نظام المعادلات السابق بالشكل التالي:
في حالتنا، تكون المتجهات i، j، b ثلاثية الأبعاد، لذلك (في الحالة العامة) لا يوجد حل لهذا النظام. يقع أي متجه (alpha\*i + beta\*j) في المستوى الممتد بواسطة المتجهات (i, j). إذا كان b لا ينتمي إلى هذا المستوى، فلا يوجد حل (لا يمكن تحقيق المساواة في المعادلة). ما يجب القيام به؟ دعونا نبحث عن حل وسط. دعنا نشير بـ ه (ألفا، بيتا)إلى أي مدى لم نحقق المساواة:
وسنحاول تقليل هذا الخطأ:
لماذا مربع؟
نحن لا نبحث فقط عن الحد الأدنى من القاعدة، بل عن الحد الأدنى من مربع القاعدة. لماذا؟ النقطة الدنيا نفسها تتطابق، والمربع يعطي دالة سلسة (دالة تربيعية للوسائط (ألفا، بيتا))، في حين أن الطول ببساطة يعطي دالة مخروطية الشكل، غير قابلة للتفاضل عند النقطة الدنيا. بر. المربع أكثر ملاءمة.
من الواضح أن الخطأ يتم تقليله عند المتجه همتعامد على المستوى الممتد بواسطة المتجهات أناو ي.
توضيح
بمعنى آخر: نحن نبحث عن خط يكون فيه مجموع الأطوال المربعة للمسافات من جميع النقاط إلى هذا الخط هو الحد الأدنى:
تحديث: لدي مشكلة هنا، المسافة إلى الخط المستقيم يجب قياسها عموديًا، وليس عن طريق الإسقاط المتعامد. هذا المعلق على حق.
توضيح
بكلمات مختلفة تمامًا (بعناية، غير رسمية بشكل سيء، ولكن يجب أن تكون واضحة): نأخذ جميع الخطوط الممكنة بين جميع أزواج النقاط ونبحث عن الخط المتوسط بين الكل:
توضيح
هناك تفسير آخر واضح وصريح: نعلق نابضًا بين جميع نقاط البيانات (هنا لدينا ثلاث نقاط) والخط المستقيم الذي نبحث عنه، والخط المستقيم لحالة التوازن هو بالضبط ما نبحث عنه.
الحد الأدنى من الصيغة التربيعية
لذلك، نظرا لهذا المتجه بومستوى ممتد بواسطة ناقلات أعمدة المصفوفة أ(في هذه الحالة (x0,x1,x2) و (1,1,1)) نحن نبحث عن المتجه همع الحد الأدنى من مربع الطول. من الواضح أن الحد الأدنى لا يمكن تحقيقه إلا بالنسبة للمتجه ه، متعامد مع المستوى الممتد بواسطة ناقلات أعمدة المصفوفة أ:بمعنى آخر، نحن نبحث عن المتجه x=(alpha, beta) بحيث:
اسمحوا لي أن أذكرك أن هذا المتجه x=(alpha, beta) هو الحد الأدنى للدالة التربيعية ||e(alpha, beta)||^2:
هنا سيكون من المفيد أن نتذكر أنه يمكن تفسير المصفوفة أيضًا كشكل تربيعي، على سبيل المثال، يمكن تفسير مصفوفة الهوية ((1,0),(0,1)) كدالة x^2 + y^ 2:
شكل تربيعي
كل هذا الجمباز معروف باسم الانحدار الخطي.
معادلة لابلاس مع شرط ديريشليت الحدودي
الآن أبسط مهمة حقيقية: هناك سطح مثلث معين، فمن الضروري سلاسة ذلك. على سبيل المثال، لنقم بتحميل نموذج لوجهي:
الالتزام الأصلي متاح. لتقليل التبعيات الخارجية، أخذت الكود الخاص بعارض البرنامج الموجود بالفعل على حبري. لحل النظام الخطي، أستخدم OpenNL، وهو حل ممتاز، ومع ذلك، من الصعب جدًا تثبيته: تحتاج إلى نسخ ملفين (.h+.c) إلى المجلد الذي يحتوي على مشروعك. تتم جميع عمليات التجانس باستخدام الكود التالي:
من أجل (int d = 0؛ d<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
لـ (int j=0; j
إحداثيات X وY وZ قابلة للفصل، وأنا أقوم بتنعيمها بشكل منفصل. أي أنني قمت بحل ثلاثة أنظمة من المعادلات الخطية، كل منها يحتوي على عدد من المتغيرات يساوي عدد الرؤوس في النموذج الخاص بي. تحتوي الصفوف n الأولى من المصفوفة A على 1 واحد فقط لكل صف، والصفوف n الأولى من المتجه b لها إحداثيات النموذج الأصلي. وهذا يعني أنني أقوم بربط زنبرك بين الموضع الجديد للقمة والموضع القديم للقمة - ولا ينبغي أن يتحرك الوضع الجديد بعيدًا عن الوضع القديم.
جميع الصفوف اللاحقة من المصفوفة A (faces.size()*3 = عدد حواف جميع المثلثات في الشبكة) لها تواجد واحد هو 1 وتواجد واحد هو -1، مع وجود المتجه b الذي يحتوي على صفر مكونات متقابلة. هذا يعني أنني وضعت زنبركًا على كل حافة من شبكتنا المثلثة: تحاول جميع الحواف الحصول على نفس قمة نقطة البداية والنهاية.
مرة أخرى: جميع القمم متغيرة، ولا يمكنها الابتعاد عن موضعها الأصلي، ولكنها في نفس الوقت تحاول أن تصبح متشابهة مع بعضها البعض.
وهذه هي النتيجة:
كل شيء سيكون على ما يرام، النموذج سلس حقا، لكنه ابتعد عن الحافة الأصلية. دعنا نغير الكود قليلاً:<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
من أجل (int i = 0؛ i
في المصفوفة A، بالنسبة للقمم الموجودة على الحافة، لا أضيف صفًا من الفئة v_i = verts[i][d]، ولكن 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. ما الفرق الذي يحدثه هذا؟ وهذا يغير الصورة التربيعية للخطأ. الآن لن يكلف الانحراف الواحد من الأعلى عند الحافة وحدة واحدة، كما كان من قبل، بل 1000*1000 وحدة. وهذا يعني أننا علقنا زنبركًا أقوى على القمم القصوى، ويفضل الحل تمديد الآخرين بقوة أكبر. وهذه هي النتيجة:
دعونا نضاعف قوة الزنبرك بين القمم:
nlCoefficiency(face[ j ], 2);
nlCoefficiency(face[(j+1)%3], -2);
ما هذا؟ تخيل أننا غمسنا حلقة سلكية في الماء والصابون. نتيجة لذلك، سيحاول فيلم الصابون الناتج أن يكون لديه أقل انحناء قدر الإمكان، ولمس الحدود - حلقة السلك لدينا. وهذا هو بالضبط ما حصلنا عليه من خلال تثبيت الحدود وطلب سطح أملس من الداخل. تهانينا، لقد قمنا للتو بحل معادلة لابلاس مع شروط ديريشليت الحدودية. يبدو رائعا؟ لكن في الواقع، كل ما تحتاجه هو حل نظام واحد من المعادلات الخطية.
معادلة بواسون
دعونا نتذكر اسمًا رائعًا آخر.لنفترض أن لدي صورة مثل هذه:
يبدو جيدًا للجميع، لكني لا أحب الكرسي.
سأقطع الصورة إلى نصفين: 
وسأختار الكرسي بيدي: 
ثم سأسحب كل ما هو أبيض في القناع إلى الجانب الأيسر من الصورة، وفي نفس الوقت سأقول طوال الصورة بأكملها أن الفرق بين بيكسلين متجاورين يجب أن يكون مساويًا للفرق بين بيكسلين متجاورين. الصورة الصحيحة:
كل شيء سيكون على ما يرام، النموذج سلس حقا، لكنه ابتعد عن الحافة الأصلية. دعنا نغير الكود قليلاً: مرة أخرى: جميع القمم متغيرة، ولا يمكنها الابتعاد عن موضعها الأصلي، ولكنها في نفس الوقت تحاول أن تصبح متشابهة مع بعضها البعض. الكود والصور موجوده بعد اختيار نوع وظيفة الانحدار، أي. نوع النموذج المدروس لاعتماد Y على X (أو X على Y)، على سبيل المثال، النموذج الخطي y x =a+bx، من الضروري تحديد القيم المحددة لمعاملات النموذج. بالنسبة لقيم مختلفة لـ a وb، من الممكن بناء عدد لا نهائي من التبعيات على الشكل y x = a + bx، أي أن هناك عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة على المستوى الإحداثي، ولكننا نحتاج إلى تبعية أفضل يتوافق مع القيم المرصودة. وبالتالي، فإن المهمة تتلخص في اختيار أفضل المعاملات. نحن نبحث عن الدالة الخطية a+bx بناءً على عدد معين من الملاحظات المتاحة فقط. للعثور على الدالة الأكثر ملائمة للقيم المرصودة، نستخدم طريقة المربعات الصغرى. دعونا نشير إلى: Y i - القيمة المحسوبة بالمعادلة Y i =a+bx i. y i - القيمة المقاسة، ε i =y i -Y i - الفرق بين القيم المقاسة والمحسوبة باستخدام المعادلة، ε i =y i -a-bx i . تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون ε i، الفرق بين y i المقاسة والقيم Y i المحسوبة من المعادلة، في حده الأدنى. وبالتالي نجد المعاملين a وb بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية للقيم المرصودة عن القيم الموجودة على خط الانحدار المستقيم هو الأصغر: من خلال فحص هذه الدالة للوسيطات a وextremum باستخدام المشتقات، يمكننا إثبات أن الدالة تأخذ قيمة دنيا إذا كان المعاملان a وb عبارة عن حلول للنظام: إذا قسمنا طرفي المعادلات العادية على n نحصل على: بالنظر إلى ذلك نحصل على في هذه الحالة، ب يسمى معامل الانحدار؛ a يسمى الحد الحر لمعادلة الانحدار ويتم حسابه باستخدام الصيغة: الخط المستقيم الناتج هو تقدير لخط الانحدار النظري. لدينا: لذا، يمكن أن يكون الانحدار مباشرًا (b>0) وعكسيًا (b مثال 1. نتائج قياس قيم X و Y موضحة في الجدول: بافتراض أن هناك علاقة خطية بين X وY y=a+bx، حدد المعاملين a وb باستخدام طريقة المربعات الصغرى. حل. هنا ن = 5 والنظام العادي (2) له الشكل وبحل هذا النظام نحصل على: ب=0.425، أ=1.175. وبالتالي ص=1.175+0.425x. مثال 2. هناك عينة مكونة من 10 ملاحظات للمؤشرات الاقتصادية (X) و(Y). أنت بحاجة إلى العثور على نموذج لمعادلة انحدار لـ Y على X. قم بإنشاء نموذج لخط انحدار لـ Y على X. حل. 1. دعونا نفرز البيانات حسب القيم x i و y i . نحصل على جدول جديد: لتبسيط الحسابات، سنقوم بإعداد جدول حسابي سندخل فيه القيم العددية اللازمة. وفقا للصيغة (4)، نحسب معامل الانحدار ووفقا للصيغة (5) وبالتالي، فإن معادلة الانحدار النموذجية هي y=-59.34+1.3804x. يوضح الشكل 4 كيفية تحديد موقع القيم المرصودة بالنسبة لخط الانحدار. لإجراء تقييم عددي لانحرافات y i عن Y i، حيث يتم ملاحظة y i وY i عبارة عن قيم يحددها الانحدار، نقوم بإنشاء جدول: يتم حساب قيم Yi وفقًا لمعادلة الانحدار. يتم تفسير الانحراف الملحوظ لبعض القيم المرصودة عن خط الانحدار من خلال قلة عدد الملاحظات. عند دراسة درجة الاعتماد الخطي لـ Y على X، يتم أخذ عدد الملاحظات في الاعتبار. يتم تحديد قوة الاعتماد من خلال قيمة معامل الارتباط. مثال. بيانات تجريبية عن قيم المتغيرات Xو فيوترد في الجدول. ونتيجة لمواءمتها، يتم الحصول على الوظيفة استخدام طريقة المربعات الصغرى، قم بتقريب هذه البيانات من خلال الاعتماد الخطي ص=الفأس+ب(ابحث عن المعلمات أو ب). اكتشف أي من الخطين هو الأفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) الذي يقوم بمحاذاة البيانات التجريبية. قم بعمل رسم. وتتمثل المهمة في العثور على معاملات الاعتماد الخطية التي تكون فيها وظيفة متغيرين أو ب
وبالتالي، فإن حل المثال يتلخص في إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغيرين. تم تجميع وحل نظام من معادلتين بمجهولين. إيجاد المشتقات الجزئية للدالة نقوم بحل نظام المعادلات الناتج باستخدام أي طريقة (على سبيل المثال بطريقة الاستبدالأو طريقة كريمر) والحصول على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). منح أو بوظيفة هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة للعثور على المعلمة أيحتوي على المبالغ،،، والمعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. نوصي بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل بوجدت بعد الحساب أ. حان الوقت لتذكر المثال الأصلي. حل. في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لسهولة حساب المبالغ المضمنة في صيغ المعاملات المطلوبة. يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول عن طريق ضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا. يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول عن طريق تربيع القيم الموجودة في الصف الثاني لكل رقم أنا. القيم الموجودة في العمود الأخير من الجدول هي مجموع القيم عبر الصفوف. نستخدم صيغ طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل فيها القيم المقابلة من العمود الأخير من الجدول: لذلك، ص = 0.165س+2.184- الخط المستقيم التقريبي المطلوب. يبقى لمعرفة أي من الخطوط ص = 0.165س+2.184أو للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه الخطوط منذ , ثم على التوالي ص = 0.165س+2.184تقريب البيانات الأصلية بشكل أفضل. كل شيء واضح للعيان على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط المستقيم الموجود ص = 0.165س+2.184، الخط الأزرق هو في الممارسة العملية، عند نمذجة العمليات المختلفة - على وجه الخصوص، الاقتصادية والفيزيائية والتقنية والاجتماعية - يتم استخدام طريقة أو أخرى لحساب القيم التقريبية للوظائف من قيمها المعروفة في نقاط ثابتة معينة على نطاق واسع. غالبًا ما ينشأ هذا النوع من مشكلة تقريب الوظيفة: عند بناء صيغ تقريبية لحساب قيم الكميات المميزة للعملية قيد الدراسة باستخدام البيانات الجدولية التي تم الحصول عليها نتيجة للتجربة؛ في التكامل العددي، والتمايز، وحل المعادلات التفاضلية، وما إلى ذلك؛ إذا لزم الأمر، حساب قيم الوظائف عند النقاط المتوسطة للفاصل الزمني المدروس؛ عند تحديد قيم الكميات المميزة لعملية ما خارج الفاصل الزمني المدروس، وخاصة عند التنبؤ. إذا قمنا، من أجل نمذجة عملية معينة محددة بواسطة جدول، ببناء دالة تصف تقريبًا هذه العملية بناءً على طريقة المربعات الصغرى، فسيتم تسميتها بوظيفة تقريبية (الانحدار)، وسيتم استدعاء مشكلة إنشاء الدوال التقريبية نفسها مشكلة التقريب. تتناول هذه المقالة إمكانيات حزمة MS Excel لحل هذا النوع من المشكلات، بالإضافة إلى أنها توفر طرقًا وتقنيات لإنشاء (إنشاء) الانحدارات للوظائف المجدولة (التي تعد أساس تحليل الانحدار). لدى Excel خياران لبناء الانحدارات. إضافة تراجعات (خطوط اتجاه) مختارة إلى رسم تخطيطي مبني على أساس جدول بيانات لخاصية العملية قيد الدراسة (متاح فقط في حالة إنشاء رسم تخطيطي)؛ استخدام الوظائف الإحصائية المضمنة في ورقة عمل Excel، مما يسمح لك بالحصول على الانحدارات (خطوط الاتجاه) مباشرة من جدول البيانات المصدر. إضافة خطوط الاتجاه إلى الرسم البياني بالنسبة لجدول البيانات الذي يصف العملية ويمثله رسم تخطيطي، فإن Excel لديه أداة فعالة لتحليل الانحدار تسمح لك بما يلي: البناء على أساس طريقة المربعات الصغرى وإضافة خمسة أنواع من الانحدارات إلى الرسم التخطيطي، والتي تمثل العملية قيد الدراسة بدرجات متفاوتة من الدقة؛ إضافة معادلة الانحدار التي تم إنشاؤها إلى الرسم التخطيطي؛ تحديد درجة توافق الانحدار المحدد مع البيانات المعروضة على الرسم البياني. استنادًا إلى بيانات المخطط، يتيح لك Excel الحصول على أنواع الانحدارات الخطية ومتعددة الحدود واللوغاريتمية والقوة والأسية، والتي تحددها المعادلة: ص = ص(س) حيث x هو متغير مستقل غالباً ما يأخذ قيم سلسلة من الأعداد الطبيعية (1؛ 2؛ 3؛ ...) وينتج، على سبيل المثال، عداً تنازلياً لزمن العملية قيد الدراسة (الخصائص). 1
. يعد الانحدار الخطي مفيدًا لنمذجة الخصائص التي تزيد أو تنقص قيمها بمعدل ثابت. هذا هو أبسط نموذج تم إنشاؤه للعملية قيد الدراسة. يتم بناؤه وفقا للمعادلة: ص = م س + ب حيث m هو ظل ميل الانحدار الخطي إلى المحور السيني؛ ب - إحداثيات نقطة تقاطع الانحدار الخطي مع المحور الإحداثي. 2
. يعد خط الاتجاه متعدد الحدود مفيدًا لوصف الخصائص التي لها عدة حدود متطرفة مميزة (الحد الأقصى والحد الأدنى). يتم تحديد اختيار درجة كثيرات الحدود من خلال عدد الحدود القصوى للخاصية قيد الدراسة. وبالتالي، يمكن لكثيرة الحدود من الدرجة الثانية أن تصف عملية لها حد أقصى أو أدنى واحد فقط؛ متعدد الحدود من الدرجة الثالثة - لا يزيد عن حدين متطرفين؛ متعدد الحدود من الدرجة الرابعة - لا يزيد عن ثلاثة حدود قصوى، وما إلى ذلك. في هذه الحالة، يتم إنشاء خط الاتجاه وفقًا للمعادلة: ص = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6 حيث المعاملات c0، c1، c2،... c6 هي ثوابت يتم تحديد قيمها أثناء الإنشاء. 3
. يتم استخدام خط الاتجاه اللوغاريتمي بنجاح عند نمذجة الخصائص التي تتغير قيمها بسرعة في البداية ثم تستقر تدريجياً. ص = ج قانون الجنسية (س) + ب 4
. ويعطي خط اتجاه قانون القوة نتائج جيدة إذا كانت قيم العلاقة محل الدراسة تتميز بالتغير المستمر في معدل النمو. مثال على هذا الاعتماد هو الرسم البياني لحركة السيارة المتسارعة بشكل منتظم. إذا كانت هناك قيم صفرية أو سلبية في البيانات، فلا يمكنك استخدام خط اتجاه الطاقة. شيدت وفقا للمعادلة: ص = ج إكس ب حيث المعاملات ب، ج هي الثوابت. 5
. يجب استخدام خط الاتجاه الأسي عندما يتزايد معدل التغير في البيانات بشكل مستمر. بالنسبة للبيانات التي تحتوي على قيم صفرية أو سلبية، لا ينطبق هذا النوع من التقريب أيضًا. شيدت وفقا للمعادلة: ص = ج إبكس حيث المعاملات ب، ج هي الثوابت. عند تحديد خط الاتجاه، يقوم برنامج Excel تلقائيًا بحساب قيمة R2، التي تميز موثوقية التقريب: كلما كانت قيمة R2 أقرب إلى الوحدة، كلما كان خط الاتجاه أكثر موثوقية لتقريب العملية قيد الدراسة. إذا لزم الأمر، يمكن دائمًا عرض قيمة R2 على الرسم البياني. يتم تحديده بواسطة الصيغة: لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات: تنشيط مخطط بناءً على سلسلة من البيانات، أي انقر داخل منطقة المخطط. سيظهر عنصر الرسم البياني في القائمة الرئيسية؛ بعد النقر على هذا العنصر، ستظهر قائمة على الشاشة يجب عليك فيها تحديد أمر إضافة خط الاتجاه. يمكن تنفيذ نفس الإجراءات بسهولة عن طريق تحريك مؤشر الماوس فوق الرسم البياني المطابق لإحدى سلاسل البيانات والنقر بزر الماوس الأيمن؛ في قائمة السياق التي تظهر، حدد الأمر إضافة خط الاتجاه. سيظهر مربع الحوار خط الاتجاه على الشاشة مع فتح علامة التبويب "النوع" (الشكل 1). بعد هذا تحتاج: حدد نوع خط الاتجاه المطلوب في علامة التبويب النوع (يتم تحديد النوع الخطي افتراضيًا). بالنسبة لنوع كثير الحدود، في حقل الدرجة، حدد درجة كثير الحدود المحدد. 1
. يسرد الحقل "مبني على السلسلة" كافة سلاسل البيانات في المخطط المعني. لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات معينة، حدد اسمه في الحقل "مبني على السلسلة". إذا لزم الأمر، بالانتقال إلى علامة التبويب "المعلمات" (الشكل 2)، يمكنك تعيين المعلمات التالية لخط الاتجاه: قم بتغيير اسم خط الاتجاه في اسم حقل المنحنى التقريبي (الملس). تعيين عدد الفترات (للأمام أو للخلف) للتنبؤ في حقل التنبؤ؛ عرض معادلة خط الاتجاه في منطقة الرسم البياني، حيث يجب عليك تمكين مربع الاختيار "إظهار المعادلة على الرسم البياني"؛ عرض قيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي، والتي يجب عليك تمكين خانة الاختيار وضع قيمة موثوقية التقريب فيها على الرسم التخطيطي (R^2)؛ قم بتعيين نقطة تقاطع خط الاتجاه مع المحور Y، والتي يجب عليك تمكين مربع الاختيار الخاص بها لتقاطع المنحنى مع المحور Y عند نقطة ما؛ انقر فوق الزر "موافق" لإغلاق مربع الحوار. من أجل البدء في تعديل خط الاتجاه المرسوم بالفعل، هناك ثلاث طرق: استخدم أمر خط الاتجاه المحدد من قائمة التنسيق، بعد تحديد خط الاتجاه مسبقًا؛ حدد أمر تنسيق خط الاتجاه من قائمة السياق، والذي يتم استدعاؤه بالنقر بزر الماوس الأيمن على خط الاتجاه؛ انقر مرتين على خط الاتجاه. سيظهر مربع حوار تنسيق خط الاتجاه على الشاشة (الشكل 3)، يحتوي على ثلاث علامات تبويب: عرض، ونوع، ومعلمات، ويتزامن محتوى الأخيرين تمامًا مع علامات التبويب المشابهة لمربع حوار خط الاتجاه (الشكل 1). -2). في علامة التبويب عرض، يمكنك ضبط نوع الخط ولونه وسمكه. لحذف خط الاتجاه الذي تم رسمه بالفعل، حدد خط الاتجاه المراد حذفه واضغط على مفتاح الحذف. مزايا أداة تحليل الانحدار المدروسة هي: السهولة النسبية لإنشاء خط الاتجاه على الرسوم البيانية دون إنشاء جدول بيانات له؛ قائمة واسعة إلى حد ما من أنواع خطوط الاتجاه المقترحة، وتشمل هذه القائمة أنواع الانحدار الأكثر استخدامًا؛ القدرة على التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة من خلال عدد تعسفي (في حدود الفطرة السليمة) من الخطوات للأمام وكذلك للخلف ؛ القدرة على الحصول على معادلة خط الاتجاه في شكل تحليلي. إمكانية، إذا لزم الأمر، الحصول على تقييم لموثوقية التقريب. تشمل العيوب ما يلي: يتم تنفيذ بناء خط الاتجاه فقط في حالة وجود رسم تخطيطي مبني على سلسلة من البيانات؛ إن عملية توليد سلاسل البيانات للخاصية قيد الدراسة بناءً على معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها لها تكون مزدحمة إلى حد ما: يتم تحديث معادلات الانحدار المطلوبة مع كل تغيير في قيم سلسلة البيانات الأصلية، ولكن ضمن منطقة المخطط فقط بينما تظل سلسلة البيانات المتكونة على أساس اتجاه معادلة الخط القديم دون تغيير؛ في تقارير PivotChart، لا يؤدي تغيير طريقة عرض المخطط أو تقرير PivotTable المرتبط إلى الحفاظ على خطوط الاتجاه الموجودة، مما يعني أنه قبل رسم خطوط الاتجاه أو تنسيق تقرير PivotChart، يجب عليك التأكد من أن تخطيط التقرير يلبي المتطلبات المطلوبة. يمكن استخدام خطوط الاتجاه لتكملة سلسلة البيانات المعروضة على المخططات مثل الرسم البياني، والرسم البياني، والمخططات المسطحة غير القياسية، والمخططات الشريطية، والمخططات المبعثرة، والمخططات الفقاعية، ومخططات الأسهم. لا يمكنك إضافة خطوط الاتجاه إلى سلسلة البيانات في المخططات ثلاثية الأبعاد والمقيسة والرادارية والدائرية والدائرية. استخدام وظائف Excel المضمنة يحتوي Excel أيضًا على أداة تحليل الانحدار لرسم خطوط الاتجاه خارج منطقة المخطط. هناك عدد من وظائف ورقة العمل الإحصائية التي يمكن استخدامها لهذا الغرض، ولكن جميعها تسمح فقط بالانحدارات الخطية أو الأسية. يحتوي برنامج Excel على عدة وظائف لإنشاء الانحدار الخطي، على وجه الخصوص: اتجاه؛ المنحدر والقطع. فضلا عن عدة وظائف لبناء خط الاتجاه الأسي، على وجه الخصوص: LGRFRIBL. تجدر الإشارة إلى أن تقنيات إنشاء الانحدارات باستخدام دالتي TREND وGROWTH هي نفسها تقريبًا. ويمكن قول الشيء نفسه عن زوج الدالتين LINEST وLGRFPRIBL. بالنسبة لهذه الوظائف الأربع، يستخدم إنشاء جدول القيم ميزات Excel مثل صيغ المصفوفة، والتي تشوش عملية بناء الانحدارات إلى حد ما. دعونا نلاحظ أيضًا أن بناء الانحدار الخطي، في رأينا، يتم إنجازه بسهولة أكبر باستخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT، حيث تحدد الأولى منهما ميل الانحدار الخطي، والثانية تحدد الجزء الذي يعترضه الانحدار على المحور ص. مزايا أداة الوظائف المضمنة لتحليل الانحدار هي: عملية موحدة وبسيطة إلى حد ما لإنشاء سلسلة بيانات للخاصية قيد الدراسة لجميع الوظائف الإحصائية المضمنة التي تحدد خطوط الاتجاه؛ المنهجية القياسية لبناء خطوط الاتجاه على أساس سلسلة البيانات التي تم إنشاؤها؛ القدرة على التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة بعدد الخطوات المطلوبة للأمام أو للخلف. تشمل العيوب حقيقة أن Excel لا يحتوي على وظائف مضمنة لإنشاء أنواع أخرى (باستثناء الخطية والأسية) من خطوط الاتجاه. في كثير من الأحيان، لا يسمح هذا الظرف باختيار نموذج دقيق بما فيه الكفاية للعملية قيد الدراسة، وكذلك الحصول على توقعات قريبة من الواقع. بالإضافة إلى ذلك، عند استخدام دالتي TREND وGROWTH، لا تكون معادلات خطوط الاتجاه معروفة. تجدر الإشارة إلى أن المؤلفين لم يشرعوا في تقديم مسار تحليل الانحدار بأي درجة من الاكتمال. وتتمثل مهمتها الرئيسية في إظهار إمكانيات حزمة Excel باستخدام أمثلة محددة عند حل مشكلات التقريب؛ إظهار الأدوات الفعالة التي يمتلكها برنامج Excel لبناء الانحدارات والتنبؤ؛ توضيح كيف يمكن حل مثل هذه المشكلات بسهولة نسبيًا حتى بواسطة مستخدم ليس لديه معرفة واسعة بتحليل الانحدار. أمثلة على حل مشاكل محددة دعونا نلقي نظرة على حل مشكلات محددة باستخدام أدوات Excel المدرجة. المشكلة 1 مع جدول بيانات عن ربح مؤسسة النقل بالسيارات للفترة 1995-2002. عليك القيام بما يلي: بناء رسم تخطيطي. أضف خطوط الاتجاه الخطية ومتعددة الحدود (التربيعية والمكعبة) إلى المخطط. باستخدام معادلات خطوط الاتجاه، احصل على بيانات جدولية عن أرباح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004. قم بعمل توقعات لأرباح الشركة لعامي 2003 و 2004. حل المشكلة في نطاق الخلايا A4:C11 في ورقة عمل Excel، أدخل ورقة العمل الموضحة في الشكل. 4. بعد تحديد نطاق الخلايا B4:C11، نقوم ببناء رسم تخطيطي. نقوم بتنشيط المخطط المبني، ووفقًا للطريقة الموضحة أعلاه، بعد تحديد نوع خط الاتجاه في مربع الحوار خط الاتجاه (انظر الشكل 1)، نضيف خطوط الاتجاه الخطية والتربيعية والمكعبة بالتناوب إلى المخطط. في نفس مربع الحوار، افتح علامة التبويب المعلمات (انظر الشكل 2)، في حقل اسم المنحنى التقريبي (الملس)، أدخل اسم الاتجاه الذي تتم إضافته، وفي حقل التوقعات المستقبلية لـ: الفترات، قم بتعيين القيمة 2، حيث أنه من المخطط وضع توقعات للأرباح لمدة عامين قادمين. لعرض معادلة الانحدار وقيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي، قم بتمكين إظهار المعادلة على خانات الاختيار على الشاشة ثم ضع قيمة موثوقية التقريب (R^2) على الرسم التخطيطي. للحصول على إدراك بصري أفضل، نقوم بتغيير نوع ولون وسمك خطوط الاتجاه التي تم إنشاؤها، والتي نستخدم من أجلها علامة التبويب عرض في مربع الحوار تنسيق خط الاتجاه (انظر الشكل 3). يظهر الرسم البياني الناتج مع خطوط الاتجاه المضافة في الشكل. 5. للحصول على بيانات جدولية عن أرباح المؤسسات لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004. دعونا نستخدم معادلات خط الاتجاه الموضحة في الشكل. 5. للقيام بذلك، في خلايا النطاق D3:F3، أدخل معلومات نصية حول نوع خط الاتجاه المحدد: الاتجاه الخطي، الاتجاه التربيعي، الاتجاه المكعب. بعد ذلك، أدخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية D4، وباستخدام علامة التعبئة، انسخ هذه الصيغة مع المراجع النسبية لنطاق الخلايا D5:D13. تجدر الإشارة إلى أن كل خلية تحتوي على صيغة انحدار خطي من نطاق الخلايا D4:D13 لها كوسيطة خلية مقابلة من النطاق A4:A13. وبالمثل، بالنسبة للانحدار التربيعي، قم بملء نطاق الخلايا E4:E13، وبالنسبة للانحدار المكعب، قم بملء نطاق الخلايا F4:F13. وهكذا تم تجميع توقعات أرباح الشركة لعامي 2003 و 2004. باستخدام ثلاثة اتجاهات. يظهر جدول القيم الناتج في الشكل. 6. بناء رسم تخطيطي. المشكلة 2 أضف خطوط الاتجاه اللوغاريتمية والقوة والأسية إلى الرسم البياني. اشتقاق معادلات خطوط الاتجاه التي تم الحصول عليها، وكذلك قيم موثوقية التقريب R2 لكل منها. باستخدام معادلات خط الاتجاه، احصل على بيانات جدولية عن أرباح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2002. حل المشكلة باتباع المنهجية المقدمة في حل المشكلة 1، حصلنا على مخطط مع خطوط الاتجاه اللوغاريتمي والطاقة والأسي المضافة إليه (الشكل 7). بعد ذلك، باستخدام معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها، نقوم بملء جدول القيم لربح المؤسسة، بما في ذلك القيم المتوقعة لعامي 2003 و 2004. (الشكل 8). في الشكل. 5 والتين. يمكن ملاحظة أن النموذج ذو الاتجاه اللوغاريتمي يتوافق مع أدنى قيمة لموثوقية التقريب R2 = 0.8659 تتوافق أعلى قيم R2 مع النماذج ذات الاتجاه متعدد الحدود: التربيعي (R2 = 0.9263) والمكعب (R2 = 0.933). المشكلة 3 باستخدام جدول البيانات الخاص بربح مؤسسة النقل بالسيارات للفترة 1995-2002، الوارد في المهمة 1، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية. الحصول على سلسلة بيانات لخطوط الاتجاه الخطية والأسية باستخدام الدالتين TREND وGROW. باستخدام دالتي الاتجاه والنمو، قم بالتنبؤ بأرباح المؤسسة لعامي 2003 و2004. قم بإنشاء رسم تخطيطي للبيانات الأصلية وسلسلة البيانات الناتجة. حل المشكلة دعونا نستخدم ورقة العمل للمشكلة 1 (انظر الشكل 4). لنبدأ بوظيفة TREND: حدد نطاق الخلايا D4:D11، الذي يجب ملؤه بقيم دالة TREND المطابقة للبيانات المعروفة عن أرباح المؤسسة؛ اتصل بأمر الوظيفة من قائمة "إدراج". في مربع الحوار معالج الوظائف الذي يظهر، حدد دالة TREND من الفئة الإحصائية، ثم انقر فوق الزر موافق. ويمكن إجراء نفس العملية بالنقر فوق الزر (إدراج وظيفة) الموجود على شريط الأدوات القياسي. في مربع الحوار وسيطات الدالة الذي يظهر، أدخل نطاق الخلايا C4:C11 في الحقل Known_values_y؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4:B11؛ لجعل الصيغة المدخلة تصبح صيغة صفيف، استخدم مجموعة المفاتيح + + . ستبدو الصيغة التي أدخلناها في شريط الصيغة كما يلي: =(TREND(C4:C11,B4:B11)). ونتيجة لذلك، يتم ملء نطاق الخلايا D4:D11 بالقيم المقابلة لوظيفة TREND (الشكل 9). وضع توقعات لأرباح المؤسسة لعامي 2003 و 2004. ضروري: حدد نطاق الخلايا D12:D13 حيث سيتم إدخال القيم التي تنبأت بها الدالة TREND. استدعاء الدالة TREND وفي مربع الحوار وسيطات الدالة الذي يظهر، أدخل في الحقل Known_values_y - نطاق الخلايا C4:C11؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4:B11؛ وفي الحقل New_values_x - نطاق الخلايا B12:B13. قم بتحويل هذه الصيغة إلى صيغة صفيف باستخدام مجموعة المفاتيح Ctrl + Shift + Enter. ستبدو الصيغة المدخلة كما يلي: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)))، وسيتم ملء نطاق الخلايا D12:D13 بالقيم المتوقعة لدالة TREND (انظر الشكل 1). 9). تتم تعبئة سلسلة البيانات بالمثل باستخدام الدالة GROWTH، والتي تُستخدم في تحليل التبعيات غير الخطية وتعمل تمامًا بنفس الطريقة التي تعمل بها نظيرتها الخطية TREND. يوضح الشكل 10 الجدول في وضع عرض الصيغة. بالنسبة للبيانات الأولية وسلسلة البيانات التي تم الحصول عليها، يظهر الرسم التخطيطي في الشكل 1. 11. المشكلة 4 من خلال جدول البيانات الخاص باستلام طلبات الخدمات عن طريق خدمة الإرسال لمؤسسة النقل بالسيارات للفترة من الأول إلى الحادي عشر من الشهر الحالي، يجب عليك تنفيذ الإجراءات التالية. الحصول على سلسلة بيانات للانحدار الخطي: باستخدام الدالتين SLOPE وINTERCEPT؛ باستخدام الدالة LINEST. الحصول على سلسلة بيانات للانحدار الأسي باستخدام الدالة LGRFPRIBL. باستخدام الوظائف المذكورة أعلاه، قم بالتنبؤ باستلام الطلبات إلى خدمة الإرسال للفترة من 12 إلى 14 من الشهر الحالي. قم بإنشاء رسم تخطيطي لسلسلة البيانات الأصلية والمستلمة. حل المشكلة لاحظ أنه، على عكس الدالتين TREND وGROWTH، لا تعد أي من الدالات المذكورة أعلاه (SLOPE وINTERCEPT وLINEST وLGRFPRIB) بمثابة انحدار. تلعب هذه الوظائف دورًا داعمًا فقط، حيث تحدد معلمات الانحدار الضرورية. بالنسبة للانحدارات الخطية والأسية التي تم إنشاؤها باستخدام الدالات SLOPE وINTERCEPT وLINEST وLGRFPRIB، يكون مظهر معادلاتها معروفًا دائمًا، على عكس الانحدارات الخطية والأسية المقابلة للدالتين TREND وGROWTH. 1
. دعونا نبني الانحدار الخطي بالمعادلة: ص = مكس+ب باستخدام الدالتين SLOPE وINTERCEPT، مع تحديد ميل الانحدار m بواسطة الدالة SLOPE، والمصطلح الحر b بواسطة الدالة INTERCEPT. وللقيام بذلك، نقوم بتنفيذ الإجراءات التالية: أدخل الجدول الأصلي في نطاق الخلايا A4:B14؛ سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C19. حدد وظيفة المنحدر من الفئة الإحصائية؛ أدخل نطاق الخلايا B4:B14 في الحقلknown_values_y ونطاق الخلايا A4:A14 في الحقلknown_values_x. سيتم إدخال الصيغة في الخلية C19: =SLOPE(B4:B14,A4:A14); بعد ذلك، أدخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية C4 بالصيغة: =$C*A4+$D. في هذه الصيغة، تتم كتابة الخلايا C19 وD19 بمراجع مطلقة (يجب ألا يتغير عنوان الخلية أثناء النسخ المحتمل). يمكن كتابة العلامة المرجعية المطلقة $ إما من لوحة المفاتيح أو باستخدام المفتاح F4، بعد وضع المؤشر على عنوان الخلية. 2
باستخدام مقبض التعبئة، انسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا C4:C17. نحصل على سلسلة البيانات المطلوبة (الشكل 12). نظرًا لأن عدد التطبيقات هو عدد صحيح، فيجب عليك ضبط تنسيق الأرقام مع عدد المنازل العشرية على 0 في علامة التبويب "الرقم" في نافذة "تنسيق الخلية". ص = مكس+ب . الآن دعونا نبني الانحدار الخطي المعطى بالمعادلة: باستخدام الدالة LINEST. للقيام بذلك: أدخل الدالة LINEST كصيغة صفيف في نطاق الخلايا C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). ونتيجة لذلك، نحصل على قيمة المعلمة m في الخلية C20، وقيمة المعلمة b في الخلية D20؛ أدخل الصيغة في الخلية D4: =$C*A4+$D; 3
انسخ هذه الصيغة باستخدام علامة التعبئة في نطاق الخلايا D4:D17 واحصل على سلسلة البيانات المطلوبة. . نحن نبني الانحدار الأسي بالمعادلة: باستخدام الدالة LGRFRIBL يتم تنفيذه بالمثل: في نطاق الخلايا C21:D21، ندخل الدالة LGRFPRIBL كصيغة صفيف: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). في هذه الحالة، سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C21، وسيتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D21؛ يتم إدخال الصيغة في الخلية E4: =$D*$C^A4; باستخدام علامة التعبئة، يتم نسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا E4:E17، حيث سيتم تحديد موقع سلسلة البيانات الخاصة بالانحدار الأسي (انظر الشكل 12). في الشكل. يوضح الشكل 13 جدولاً يمكنك من خلاله رؤية الوظائف التي نستخدمها مع نطاقات الخلايا المطلوبة، بالإضافة إلى الصيغ. ضخامة
2
ر مُسَمًّى. معامل التحديد تتمثل مهمة بناء اعتماد الانحدار في العثور على متجه المعاملات m للنموذج (1) الذي يأخذ فيه المعامل R القيمة القصوى. لتقييم أهمية R، يتم استخدام اختبار Fisher's F، ويتم حسابه باستخدام الصيغة نأين - حجم العينة (عدد التجارب)؛ k هو عدد معاملات النموذج. نو إذا تجاوز F بعض القيمة الحرجة للبياناتك وبالتالي، يتم تحديد أهمية R ليس فقط من خلال قيمته، ولكن أيضًا من خلال النسبة بين عدد التجارب وعدد المعاملات (المعلمات) للنموذج. في الواقع، نسبة الارتباط لـ n=2 لنموذج خطي بسيط تساوي 1 (يمكن دائمًا رسم خط مستقيم واحد عبر نقطتين على المستوى). ومع ذلك، إذا كانت البيانات التجريبية عبارة عن متغيرات عشوائية، فيجب الوثوق بقيمة R بحذر شديد. عادة، للحصول على R كبير وانحدار موثوق، فإنهم يسعون جاهدين للتأكد من أن عدد التجارب يتجاوز بشكل كبير عدد معاملات النموذج (n>k). لبناء نموذج الانحدار الخطي تحتاج إلى: 1) قم بإعداد قائمة من الصفوف n والأعمدة m التي تحتوي على البيانات التجريبية (عمود يحتوي على قيمة الإخراج ييجب أن يكون الأول أو الأخير في القائمة)؛ على سبيل المثال، لنأخذ البيانات من المهمة السابقة، ونضيف عمودًا يسمى "رقم الفترة"، ونرقم أرقام الفترة من 1 إلى 12. (ستكون هذه هي القيم X) 2) انتقل إلى القائمة البيانات/تحليل البيانات/الانحدار إذا كان عنصر "تحليل البيانات" في قائمة "الأدوات" مفقودًا، فيجب عليك الانتقال إلى عنصر "الوظائف الإضافية" في نفس القائمة وتحديد مربع الاختيار "حزمة التحليل". 3) في مربع الحوار "الانحدار"، قم بتعيين: · الفاصل الزمني للإدخال Y؛ · الفاصل الزمني للإدخال X؛ · الفاصل الزمني للإخراج - الخلية اليسرى العليا للفاصل الزمني الذي سيتم وضع نتائج الحساب فيه (يوصى بوضعها في ورقة عمل جديدة)؛ 4) انقر فوق "موافق" وقم بتحليل النتائج. بعد التسوية نحصل على دالة بالشكل التالي: g (x) = x + 1 3 + 1 . يمكننا تقريب هذه البيانات باستخدام العلاقة الخطية y = a x + b عن طريق حساب المعلمات المقابلة. للقيام بذلك، سنحتاج إلى تطبيق ما يسمى بطريقة المربعات الصغرى. ستحتاج أيضًا إلى عمل رسم للتحقق من الخط الذي سيتوافق بشكل أفضل مع البيانات التجريبية. Yandex.RTB RA-A-339285-1 الشيء الرئيسي الذي يتعين علينا القيام به هو إيجاد معاملات الاعتماد الخطي التي تكون عندها قيمة دالة متغيرين F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 هي القيمة الأصغر. بمعنى آخر، بالنسبة لقيم معينة لـ a وb، سيكون لمجموع الانحرافات المربعة للبيانات المقدمة من الخط المستقيم الناتج قيمة دنيا. وهذا هو معنى طريقة المربعات الصغرى. كل ما علينا فعله لحل المثال هو إيجاد الحد الأقصى لدالة متغيرين. من أجل استخلاص صيغ لحساب المعاملات، تحتاج إلى إنشاء وحل نظام من المعادلات بمتغيرين. للقيام بذلك، نحسب المشتقات الجزئية للتعبير F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 بالنسبة لـ a وb ونساويهما بـ 0. δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n y i ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i لحل نظام المعادلات، يمكنك استخدام أي طرق، على سبيل المثال، الاستبدال أو طريقة كرامر. ونتيجة لذلك، يجب أن تكون لدينا صيغ يمكن استخدامها لحساب المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى. n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - أ ∑ i = 1 n x i n لقد قمنا بحساب قيم المتغيرات التي تكون فيها الدالة وهذا هو تطبيق طريقة المربعات الصغرى عملياً. تتضمن صيغتها، التي تُستخدم للعثور على المعلمة a، ∑ i = 1 n x i، ∑ i = 1 n y i، ∑ i = 1 n x i y i، ∑ i = 1 n x i 2، بالإضافة إلى المعلمة دعنا نعود إلى المثال الأصلي. مثال 1 لدينا هنا n يساوي خمسة. لتسهيل حساب المبالغ المطلوبة المضمنة في صيغ المعاملات، فلنملأ الجدول. حل
يتضمن الصف الرابع البيانات التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب القيم من الصف الثاني بقيم الثالث لكل فرد أي. يحتوي السطر الخامس على البيانات من المربع الثاني. يعرض العمود الأخير مجموع قيم الصفوف الفردية. دعونا نستخدم طريقة المربعات الصغرى لحساب المعاملين a وb اللذين نحتاجهما. للقيام بذلك، استبدل القيم المطلوبة من العمود الأخير واحسب المبالغ: n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - أ ∑ i = 1 n x i n ⇒ a = 5 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 ب = 12, 9 - أ 12 5 ⇒ أ ≈ 0, 165 ب ≈ 2, 184 اتضح أن الخط المستقيم التقريبي المطلوب سيبدو كما يلي: y = 0, 165 x + 2, 184. نحتاج الآن إلى تحديد الخط الذي سيقرب البيانات بشكل أفضل - g (x) = x + 1 3 + 1 أو 0,165 x + 2,184. دعونا نقدر باستخدام طريقة المربعات الصغرى. لحساب الخطأ، نحتاج إلى إيجاد مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات من الخطوط المستقيمة σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 و σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) - g (x i)) 2، ستتوافق القيمة الدنيا مع خط أكثر ملاءمة. σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096 إجابة:منذ σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет تظهر طريقة المربعات الصغرى بوضوح في الرسم التوضيحي. الخط الأحمر يمثل الخط المستقيم g (x) = x + 1 3 + 1، والخط الأزرق يمثل y = 0, 165 x + 2, 184. تتم الإشارة إلى البيانات الأصلية بالنقاط الوردية. دعونا نوضح سبب الحاجة إلى تقديرات تقريبية من هذا النوع بالضبط. ويمكن استخدامها في المهام التي تتطلب تجانس البيانات، وكذلك في المهام التي يجب فيها استيفاء البيانات أو استقراءها. على سبيل المثال، في المشكلة التي تمت مناقشتها أعلاه، يمكن للمرء إيجاد قيمة الكمية المرصودة y عند x = 3 أو عند x = 6. لقد خصصنا مقالة منفصلة لمثل هذه الأمثلة. لكي تأخذ الدالة قيمة دنيا عند حساب a وb، من الضروري عند نقطة معينة أن تكون مصفوفة الشكل التربيعي لتفاضل الدالة بالشكل F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 موجب محدد. دعونا نظهر لك كيف ينبغي أن تبدو. مثال 2 لدينا تفاضل من الدرجة الثانية على الشكل التالي: د 2 F (أ ; ب) = δ 2 F (أ ; ب) δ أ 2 د 2 أ + 2 δ 2 F (أ ; ب) δ أ δ ب د أ د ب + δ 2 F (أ ; ب) δ ب 2 د 2 ب حل
δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + ب)) δ ب = 2 ∑ أنا = 1 ن (1) = 2 ن بمعنى آخر، يمكننا كتابتها هكذا: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b. حصلنا على مصفوفة من الدرجة الثانية M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n . في هذه الحالة، لن تتغير قيم العناصر الفردية اعتمادًا على a و b . هل هذه المصفوفة إيجابية محددة؟ للإجابة على هذا السؤال، دعونا نتحقق مما إذا كانت صغراته الزاوية موجبة. نحسب الزاوية الصغرى من الدرجة الأولى: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . نظرًا لأن النقاط x i غير متطابقة، فإن عدم المساواة صارم. وسنضع ذلك في الاعتبار في حسابات أخرى. نحسب الدرجة الثانية الزاوية الصغرى: د ه t (م) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 بعد ذلك، ننتقل إلى إثبات المتباينة n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 باستخدام الاستقراء الرياضي. 2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = س 1 + س 2 2 > 0 لقد حصلنا على المساواة الصحيحة (إذا كانت القيمتين x 1 و x 2 غير متطابقتين). نحسب: (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 س 2 + س 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - س 2) 2 + . . . + (س ن - 1 - س ن) 2 > 0 سيكون التعبير المحاط بالأقواس المتعرجة أكبر من 0 (استنادًا إلى ما افترضناه في الخطوة 2)، وستكون الحدود المتبقية أكبر من 0، نظرًا لأنها كلها مربعات أرقام. لقد أثبتنا عدم المساواة. إجابة:سوف تتوافق a وb التي تم العثور عليها مع أصغر قيمة للدالة F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2، مما يعني أنهما المعلمات المطلوبة لطريقة المربعات الصغرى (إل إس إم). إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter جوهر طريقة المربعات الصغرى هو
في العثور على معلمات نموذج الاتجاه الذي يصف بشكل أفضل ميل تطور أي ظاهرة عشوائية في الزمان أو المكان (الاتجاه هو الخط الذي يميز ميل هذا التطور). تتمثل مهمة طريقة المربعات الصغرى (LSM) في العثور ليس فقط على بعض نماذج الاتجاه، ولكن أيضًا في العثور على النموذج الأفضل أو الأمثل. سيكون هذا النموذج هو الأمثل إذا كان مجموع الانحرافات المربعة بين القيم الفعلية المرصودة وقيم الاتجاه المحسوبة المقابلة ضئيلًا (الأصغر): أين هو الانحراف المربع بين القيمة الفعلية المرصودة وقيمة الاتجاه المحسوبة المقابلة، القيمة الفعلية (المرصودة) للظاهرة محل الدراسة، القيمة المحسوبة لنموذج الاتجاه، عدد مشاهدات الظاهرة قيد الدراسة. نادرًا ما يتم استخدام MNC بمفرده. كقاعدة عامة، يتم استخدامه في أغلب الأحيان فقط كتقنية فنية ضرورية في دراسات الارتباط.
يجب أن نتذكر أن أساس معلومات OLS لا يمكن أن يكون إلا سلسلة إحصائية موثوقة، ويجب ألا يقل عدد الملاحظات عن 4، وإلا فإن إجراءات تجانس OLS قد تفقد المنطق السليم. تتلخص مجموعة أدوات MNC في الإجراءات التالية: الإجراء الأول.
اتضح ما إذا كان هناك أي ميل على الإطلاق لتغيير السمة الناتجة عندما تتغير وسيطة العامل المحدد، أو بمعنى آخر، هل هناك علاقة بين "" في
" و " X
». الإجراء الثاني.
ويتم تحديد الخط (المسار) الذي يمكنه وصف هذا الاتجاه أو وصفه بشكل أفضل. الإجراء الثالث.
مثال. لنفترض أن لدينا معلومات حول متوسط إنتاجية عباد الشمس للمزرعة قيد الدراسة (الجدول 9.1). الجدول 9.1 رقم الملاحظة الإنتاجية، ج/هك نظرًا لأن مستوى التكنولوجيا في إنتاج عباد الشمس في بلدنا ظل دون تغيير تقريبًا على مدار السنوات العشر الماضية، فهذا يعني، على ما يبدو، أن التقلبات في الإنتاج خلال الفترة التي تم تحليلها كانت تعتمد إلى حد كبير على التقلبات في الطقس والظروف المناخية. هل هذا صحيح حقا؟ إجراء OLS الأول.
تم اختبار الفرضية القائلة بوجود اتجاه في تغيرات محصول زهرة الشمس اعتمادا على التغيرات في الطقس والظروف المناخية خلال السنوات العشر التي تم تحليلها. في هذا المثال ل" ذ
"ينصح بأخذ محصول عباد الشمس، و" س
» – رقم السنة المرصودة في الفترة التي تم تحليلها. اختبار الفرضية حول وجود أي علاقة بين " س
" و " ذ
"يمكن القيام بذلك بطريقتين: يدويًا وباستخدام برامج الكمبيوتر. وبطبيعة الحال، مع توفر تكنولوجيا الكمبيوتر، يمكن حل هذه المشكلة من تلقاء نفسها. ولكن من أجل فهم أدوات MNC بشكل أفضل، فمن المستحسن اختبار الفرضية حول وجود علاقة بين " س
" و " ذ
» يدويًا، عندما لا يكون في متناول اليد سوى قلم وآلة حاسبة عادية. في مثل هذه الحالات، من الأفضل التحقق من فرضية وجود الاتجاه بصريًا من خلال موقع الصورة الرسومية لسلسلة الديناميكيات التي تم تحليلها - مجال الارتباط: يقع حقل الارتباط في مثالنا حول خط يتزايد ببطء. وهذا في حد ذاته يدل على وجود اتجاه معين في التغيرات في محصول زهرة الشمس. من المستحيل التحدث عن وجود أي اتجاه فقط عندما يبدو مجال الارتباط وكأنه دائرة أو دائرة أو سحابة رأسية أو أفقية تمامًا أو تتكون من نقاط متناثرة بشكل فوضوي. وفي جميع الحالات الأخرى فإن الفرضية حول وجود علاقة بين “ س
" و " ذ
"، ومواصلة البحث. إجراء OLS الثاني.
يتم تحديد الخط (المسار) الذي يمكن أن يصف أو يصف بشكل أفضل اتجاه التغيرات في محصول عباد الشمس خلال الفترة التي تم تحليلها. إذا كان لديك تكنولوجيا الكمبيوتر، فسيتم اختيار الاتجاه الأمثل تلقائيا. أثناء المعالجة "اليدوية"، يتم اختيار الوظيفة المثالية، كقاعدة عامة، بصريًا - حسب موقع حقل الارتباط. أي أنه بناءً على نوع الرسم البياني، يتم تحديد معادلة الخط الذي يناسب الاتجاه التجريبي (المسار الفعلي) بشكل أفضل. كما هو معروف، يوجد في الطبيعة مجموعة كبيرة ومتنوعة من التبعيات الوظيفية، لذلك من الصعب للغاية تحليل جزء صغير منها بصريًا. لحسن الحظ، في الممارسة الاقتصادية الحقيقية، يمكن وصف معظم العلاقات بدقة تامة إما عن طريق القطع المكافئ، أو القطع الزائد، أو الخط المستقيم. في هذا الصدد، مع الخيار "اليدوي" لاختيار أفضل وظيفة، يمكنك قصر نفسك على هذه النماذج الثلاثة فقط. القطع الزائد: القطع المكافئ من الدرجة الثانية: من السهل أن نرى أنه في مثالنا، فإن أفضل وصف لاتجاه التغير في محصول عباد الشمس على مدى السنوات العشر التي تم تحليلها هو الخط المستقيم، وبالتالي فإن معادلة الانحدار ستكون معادلة الخط المستقيم. الإجراء الثالث.
ويتم حساب معاملات معادلة الانحدار التي تميز هذا الخط، أو بمعنى آخر يتم تحديد صيغة تحليلية تصف أفضل نموذج للاتجاه. العثور على قيم معلمات معادلة الانحدار، في حالتنا المعلمات و، هو جوهر OLS. تهدف هذه العملية إلى حل نظام من المعادلات العادية. يمكن حل نظام المعادلات هذا بسهولة تامة باستخدام طريقة غاوس. دعونا نتذكر أنه نتيجة للحل، في مثالنا، تم العثور على قيم المعلمات. وبالتالي فإن معادلة الانحدار التي تم العثور عليها سيكون لها الشكل التالي: 
(2)
(3)
ومن هنا بالتعويض بقيمة a في المعادلة الأولى نحصل على:
هي معادلة الانحدار الخطي.× ط
-2
0
1
2
4
ذ ط
0.5
1
1.5
2
3
س ط =-2+0+1+2+4=5;
س ط 2 =4+0+1+4+16=25
س ط ص ط =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
ص ط =0.5+1+1.5+2+3=8
× ط
180
172
173
169
175
170
179
170
167
174
ذ ط
186
180
176
171
182
166
182
172
169
177
× ط
167
169
170
170
172
173
174
175
179
180
ذ ط
169
171
166
172
180
176
177
182
182
186
× ط
ذ ط
س ط 2
س ط ص ط
167
169
27889
28223
169
171
28561
28899
170
166
28900
28220
170
172
28900
29240
172
180
29584
30960
173
176
29929
30448
174
177
30276
30798
175
182
30625
31850
179
182
32041
32578
180
186
32400
33480
∑س ط = 1729
∑ ص ط = 1761
∑س ط 2 299105
∑س ط ص ط =304696
س=172.9
ص=176.1
س ط 2 = 29910.5
ص ص = 30469.6
دعونا نرسم النقاط (x i ; y i) على المستوى الإحداثي ونضع علامة على خط الانحدار.
الشكل 4× ط
ذ ط
ص ط
ص ط -ي ط
167
169
168.055
-0.945
169
171
170.778
-0.222
170
166
172.140
6.140
170
172
172.140
0.140
172
180
174.863
-5.137
173
176
176.225
0.225
174
177
177.587
0.587
175
182
178.949
-3.051
179
182
184.395
2.395
180
186
185.757
-0.243
جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).
يأخذ أصغر قيمة. وهذا هو، نظرا أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية عن الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذا هو بيت القصيد من طريقة المربعات الصغرى.اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.
بواسطة المتغيرات أو ب، نحن نساوي هذه المشتقات بالصفر. 
يأخذ أصغر قيمة. تم تقديم الدليل على هذه الحقيقة أدناه في النص في نهاية الصفحة.
تقريب البيانات الأصلية بشكل أفضل، أي التقديرات باستخدام طريقة المربعات الصغرى.تقدير الخطأ لطريقة المربعات الصغرى.
و 
، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقترب بشكل أفضل من البيانات الأصلية بمعنى طريقة المربعات الصغرى. 
رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LS).
النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.
ما هو OLS (طريقة المربعات الصغرى)
كيفية استخلاص الصيغ لحساب المعاملات
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 سوف يأخذ القيمة الدنيا. وفي الفقرة الثالثة سوف نثبت لماذا الأمر هكذا بالضبط.
ن - يدل على كمية البيانات التجريبية. ننصحك بحساب كل مبلغ على حدة. يتم حساب قيمة المعامل b مباشرة بعد a.
ط = 1
أنا = 2
ط = 3
ط = 4
أنا = 5
∑ ط = 1 5
× ط
0
1
2
4
5
12
ذ ط
2 , 1
2 , 4
2 , 6
2 , 8
3
12 , 9
س ط ص ط
0
2 , 4
5 , 2
11 , 2
15
33 , 8
س ط 2
0
1
4
16
25
46
ص = 0.165 س + 2.184.إثبات طريقة OLS
:
(9.2)