ما الصيغة التي تعبر عن تردد البندول الزنبركي؟ تذبذبات الحمل على الربيع

يتم إجراء دراسة تذبذبات البندول باستخدام الإعداد الموضح في الشكل 5. يتكون التثبيت من بندول زنبركي ونظام تسجيل الاهتزاز يعتمد على مستشعر كهرضغطية ونظام إثارة الاهتزاز القسري ونظام معالجة المعلومات على جهاز كمبيوتر شخصي. يتكون البندول الزنبركي قيد الدراسة من زنبرك فولاذي ذو معامل صلابة كوالأجسام البندولية م، حيث يتم تركيب مغناطيس دائم في وسطه. تحدث حركة البندول في السائل، وعند سرعات تذبذب منخفضة، يمكن تقريب قوة الاحتكاك الناتجة بدقة كافية من خلال قانون خطي، أي.

الشكل 5: رسم تخطيطي للإعداد التجريبي

لزيادة قوة المقاومة عند التحرك في السائل، يتم تصنيع جسم البندول على شكل غسالة ذات ثقوب. لتسجيل الاهتزازات، يتم استخدام جهاز استشعار كهرضغطية، حيث يتم تعليق ربيع البندول. أثناء حركة البندول، تتناسب القوة المرنة طرديًا مع الإزاحة X,
وبما أن المجال الكهرومغناطيسي الناشئ في المستشعر الكهرضغطي يتناسب بدوره مع قوة الضغط، فإن الإشارة المستلمة من المستشعر ستكون متناسبة مع إزاحة جسم البندول من موضع التوازن.
يتم إثارة التذبذبات باستخدام المجال المغناطيسي. يتم تضخيم الإشارة التوافقية التي أنشأها الكمبيوتر وتغذيتها إلى ملف الإثارة الموجود أسفل جسم البندول. ونتيجة لهذا الملف يتشكل مجال مغناطيسي متغير في الزمن وغير منتظم في المكان. يعمل هذا المجال على مغناطيس دائم مثبت في جسم البندول ويولد قوة دورية خارجية. عندما يتحرك الجسم، يمكن تمثيل القوة الدافعة على أنها تراكب من الوظائف التوافقية، وستكون تذبذبات البندول عبارة عن تراكب من التذبذبات بترددات ميغاواط. ومع ذلك، فإن مكون القوة عند التردد فقط هو الذي سيكون له تأثير ملحوظ على حركة البندول ثلأنه الأقرب إلى تردد الرنين. وبالتالي فإن سعة مكونات اهتزازات البندول عند الترددات ميغاواطسوف تكون صغيرة. أي أنه في حالة التأثير الدوري التعسفي، يمكن اعتبار التذبذبات بدرجة عالية من الدقة توافقية عند التردد ث.
يتكون نظام معالجة المعلومات من محول تمثيلي إلى رقمي وجهاز كمبيوتر شخصي. يتم تمثيل الإشارة التناظرية الصادرة من المستشعر الكهرضغطي في شكل رقمي باستخدام محول تناظري إلى رقمي ويتم تغذيتها بجهاز كمبيوتر شخصي.

التحكم في الإعداد التجريبي باستخدام الكمبيوتر
بعد تشغيل الكمبيوتر وتحميل البرنامج، تظهر القائمة الرئيسية على شاشة المراقبة، ويظهر مظهرها العام في الشكل 5. باستخدام مفاتيح المؤشر،،،، يمكنك تحديد أحد عناصر القائمة. بعد الضغط على الزر يدخليبدأ الكمبيوتر في تنفيذ وضع التشغيل المحدد. أبسط التلميحات حول وضع التشغيل المحدد موجودة في السطر المميز أسفل الشاشة.
دعونا نفكر في أوضاع التشغيل المحتملة للبرنامج:
علم الإحصاء- يُستخدم عنصر القائمة هذا لمعالجة نتائج التمرين الأول (انظر الشكل 5) بعد الضغط على الزر يدخليقيس الكمبيوتر كتلة البندول. بعد الضغط على الزر التالي يدخلتظهر صورة جديدة مع مؤشر وامض على الشاشة. اكتب بالتتابع على الشاشة كتلة الحمولة بالجرام، وبعد الضغط على شريط المسافة، مقدار شد الزنبرك. الضغط يدخلانتقل إلى سطر جديد واكتب مرة أخرى كتلة الحمل ومقدار توتر الزنبرك. يُسمح بتحرير البيانات في السطر الأخير. للقيام بذلك، اضغط على المفتاح مسافة للخلفقم بإزالة القيمة غير الصحيحة للكتلة أو امتداد الزنبرك واكتب القيمة الجديدة. لتغيير البيانات في أسطر أخرى، يجب الضغط على التوالي خروجو يدخل، ثم كرر مجموعة النتائج.
بعد إدخال البيانات، اضغط على مفتاح الوظيفة F2. تظهر على الشاشة قيم معامل صلابة الزنبرك وتكرار الاهتزازات الحرة للبندول، المحسوبة بطريقة المربعات الصغرى. بعد النقر على يدخليظهر رسم بياني للقوة المرنة مقابل مقدار امتداد الزنبرك على شاشة المراقبة. العودة إلى القائمة الرئيسية تحدث بعد الضغط على أي مفتاح.
تجربة- يحتوي هذا البند على عدة بنود فرعية (الشكل 6). دعونا نلقي نظرة على ميزات كل واحد منهم.
تكرار- في هذا الوضع، يتم ضبط تردد القوة الدافعة باستخدام مفاتيح المؤشر. في حالة إجراء تجربة بتذبذبات حرة، فمن الضروري تعيين قيمة التردد مساوية لـ 0 .
يبدأ- في هذا الوضع بعد الضغط على الزر يدخليبدأ البرنامج بإزالة الاعتماد التجريبي لانحراف البندول في الوقت المحدد. في الحالة التي يكون فيها تردد القوة الدافعة صفرًا، تظهر على الشاشة صورة للاهتزازات المخمدّة. يتم تسجيل قيم تردد التذبذب وثابت التخميد في نافذة منفصلة. إذا كان تردد القوة المثيرة ليس صفراً، فإلى جانب الرسوم البيانية لاعتماد انحراف البندول والقوة الدافعة في الوقت المناسب، فإن قيم تردد القوة الدافعة وسعةها، وكذلك يتم تسجيل التردد المقاس وسعة تذبذبات البندول على الشاشة في نوافذ منفصلة. الضغط على مفتاح خروجيمكنك الخروج إلى القائمة الرئيسية.
يحفظ- إذا كانت نتيجة التجربة مرضية، فيمكن حفظها بالضغط على مفتاح القائمة المقابل.
جديد مسلسل- يتم استخدام عنصر القائمة هذا إذا كانت هناك حاجة للتخلي عن بيانات التجربة الحالية. بعد الضغط على المفتاح يدخلفي هذا الوضع، يتم مسح نتائج جميع التجارب السابقة من ذاكرة الجهاز، ويمكن بدء سلسلة جديدة من القياسات.
بعد التجربة، يتحولون إلى الوضع قياسات. يحتوي عنصر القائمة هذا على عدة عناصر فرعية (الشكل 7)
الرسم البياني لاستجابة التردد- يستخدم عنصر القائمة هذا بعد انتهاء التجربة لدراسة التذبذبات القسرية. يتم رسم خاصية تردد السعة للتذبذبات القسرية على شاشة المراقبة.
جدول FFC- في هذا الوضع، بعد انتهاء تجربة دراسة التذبذبات القسرية، يتم رسم خاصية تردد الطور على شاشة المراقبة.
طاولة- يتيح لك عنصر القائمة هذا عرض قيم سعة ومرحلة التذبذبات على شاشة المراقبة اعتمادًا على تردد القوة الدافعة. يتم نسخ هذه البيانات في دفتر ملاحظات للتقرير الخاص بهذا العمل.
عنصر قائمة الكمبيوتر مخرج- نهاية البرنامج (انظر على سبيل المثال الشكل 7)

التمرين 1. تحديد معامل صلابة الزنبرك باستخدام الطريقة الساكنة.

يتم إجراء القياسات من خلال تحديد استطالة الزنبرك تحت تأثير الأحمال ذات الكتل المعروفة. فمن المستحسن أن تنفق على الأقل 7-10 قياسات استطالة الزنبرك عن طريق تعليق الأوزان تدريجياً وبالتالي تغيير الحمل منها 20 قبل 150 د. استخدام عنصر القائمة تشغيل البرنامج إحصائياتيتم تخزين نتائج هذه القياسات في ذاكرة الكمبيوتر ويتم تحديد معامل صلابة الزنبرك باستخدام طريقة المربعات الصغرى. أثناء التمرين، من الضروري حساب قيمة التردد الطبيعي لتذبذب البندول

يعتمد تشغيل معظم الآليات على أبسط قوانين الفيزياء والرياضيات. أصبح مفهوم البندول الربيعي منتشرًا على نطاق واسع. لقد أصبحت هذه الآلية منتشرة على نطاق واسع، حيث يوفر الربيع الوظيفة المطلوبة ويمكن أن يكون عنصرا من عناصر الأجهزة التلقائية. دعونا نلقي نظرة فاحصة على مثل هذا الجهاز ومبدأ تشغيله والعديد من النقاط الأخرى بمزيد من التفصيل.

تعريفات البندول الربيعي

كما ذكرنا سابقًا، أصبح البندول الربيعي منتشرًا على نطاق واسع. ومن بين الميزات ما يلي:

1. يتم تمثيل الجهاز بمزيج من الحمل والربيع، والتي قد لا تؤخذ كتلتها بعين الاعتبار. مجموعة متنوعة من الكائنات يمكن أن تكون بمثابة البضائع. وفي الوقت نفسه، قد يتأثر بقوة خارجية. ومن الأمثلة الشائعة إنشاء صمام الأمان المثبت في نظام خطوط الأنابيب. يتم ربط الحمل بالزنبرك بعدة طرق. في هذه الحالة، يتم استخدام الإصدار اللولبي الكلاسيكي حصريًا، وهو الأكثر استخدامًا على نطاق واسع. تعتمد الخصائص الأساسية إلى حد كبير على نوع المادة المستخدمة في التصنيع وقطر الملف والمحاذاة الصحيحة والعديد من النقاط الأخرى. غالبًا ما يتم تصنيع المنعطفات الخارجية بطريقة تمكنها من تحمل حمولة كبيرة أثناء التشغيل.
2. قبل أن يبدأ التشوه، لا توجد طاقة ميكانيكية إجمالية. وفي هذه الحالة لا يتأثر الجسم بالقوة المرنة. كل ربيع له موضع أولي، والذي يحافظ عليه لفترة طويلة. ومع ذلك، بسبب صلابة معينة، يتم تثبيت الجسم في الموضع الأولي. من المهم كيفية تطبيق القوة. مثال على ذلك أنه يجب أن يتم توجيهه على طول محور الزنبرك، وإلا فهناك احتمال للتشوه والعديد من المشاكل الأخرى. كل ربيع له حدود ضغط وتمديد خاصة به. في هذه الحالة، يتم تمثيل الحد الأقصى للضغط من خلال عدم وجود فجوة بين المنعطفات الفردية أثناء التوتر، وهناك لحظة يحدث فيها تشوه لا رجعة فيه للمنتج. إذا تم تمديد السلك كثيرا، يحدث تغيير في الخصائص الأساسية، وبعد ذلك لا يعود المنتج إلى موضعه الأصلي.
3. في الحالة قيد النظر، تحدث الاهتزازات بسبب عمل القوة المرنة. يتميز بعدد كبير جدًا من الميزات التي يجب أخذها بعين الاعتبار. يتم تحقيق تأثير المرونة بسبب ترتيب معين للمنعطفات ونوع المادة المستخدمة أثناء التصنيع. في هذه الحالة، يمكن للقوة المرنة أن تعمل في كلا الاتجاهين. في أغلب الأحيان، يحدث الضغط، ولكن من الممكن أيضًا إجراء التمدد - كل هذا يتوقف على خصائص الحالة المعينة.
4. يمكن أن تختلف سرعة حركة الجسم على نطاق واسع إلى حد ما، كل هذا يتوقف على التأثير. على سبيل المثال، يمكن للبندول الزنبركي تحريك حمولة معلقة في مستوى أفقي ورأسي. يعتمد تأثير القوة الموجهة إلى حد كبير على التثبيت الرأسي أو الأفقي.

بشكل عام، يمكننا القول أن تعريف البندول الربيعي عام تمامًا. في هذه الحالة، تعتمد سرعة حركة الكائن على معايير مختلفة، على سبيل المثال، حجم القوة المطبقة ولحظات أخرى. قبل الحسابات الفعلية، يتم إنشاء رسم تخطيطي:

1. يشار إلى الدعم الذي يرتبط به الربيع. غالبًا ما يتم رسم خط به تظليل خلفي لإظهاره.
2. يظهر الربيع بشكل تخطيطي. غالبًا ما يتم تمثيله بخط متموج. في العرض التخطيطي، لا يهم الطول والمؤشر القطري.
3. تم تصوير الجسد أيضًا. ليس من الضروري أن تكون متطابقة مع الأبعاد، ولكن موقع الارتباط المباشر هو المهم.

مطلوب رسم تخطيطي لإظهار جميع القوى التي تؤثر على الجهاز بشكل تخطيطي. في هذه الحالة فقط يمكننا أن نأخذ في الاعتبار كل ما يؤثر على سرعة الحركة والقصور الذاتي والعديد من الجوانب الأخرى.

يتم استخدام البندول الزنبركي ليس فقط في العمليات الحسابية أو حل المشكلات المختلفة، ولكن أيضًا في الممارسة العملية. ومع ذلك، ليست كل خصائص هذه الآلية قابلة للتطبيق.

ومن الأمثلة على ذلك الحالة التي لا تكون فيها الحركات التذبذبية مطلوبة:

1. إنشاء عناصر القفل.
2. آليات الربيع المرتبطة بنقل المواد والأشياء المختلفة.

تتيح لك حسابات البندول الزنبركي اختيار وزن الجسم الأكثر ملاءمة، وكذلك نوع الزنبرك. ويتميز بالميزات التالية:

1. قطر المنعطفات. يمكن أن يكون مختلفا جدا. يحدد القطر إلى حد كبير كمية المواد المطلوبة للإنتاج. يحدد قطر الملفات أيضًا مقدار القوة التي يجب تطبيقها لتحقيق الضغط الكامل أو التمدد الجزئي. ومع ذلك، فإن زيادة الحجم يمكن أن تخلق صعوبات كبيرة في تثبيت المنتج.
2. قطر السلك. معلمة أخرى مهمة هي الحجم القطري للسلك. ويمكن أن تختلف على نطاق واسع، اعتمادًا على القوة ودرجة المرونة.
3. طول المنتج. يحدد هذا المؤشر مقدار القوة المطلوبة للضغط الكامل، وكذلك المرونة التي يمكن أن يتمتع بها المنتج.
4. يحدد نوع المادة المستخدمة أيضًا الخصائص الأساسية. في أغلب الأحيان، يتم تصنيع الزنبرك باستخدام سبيكة خاصة لها الخصائص المناسبة.

في الحسابات الرياضية، لا تؤخذ العديد من النقاط بعين الاعتبار. يتم تحديد القوة المرنة والعديد من المؤشرات الأخرى عن طريق الحساب.

أنواع البندول الربيعي

هناك عدة أنواع مختلفة من البندول الربيعي. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن إجراء التصنيف وفقًا لنوع الزنبرك المثبت. ومن الميزات نلاحظ:

1. أصبحت الاهتزازات العمودية منتشرة على نطاق واسع، حيث أن الحمل في هذه الحالة لا يخضع للاحتكاك والتأثيرات الأخرى. عندما يتم وضع الحمل عموديا، فإن درجة تأثير الجاذبية تزداد بشكل ملحوظ. يعد خيار التنفيذ هذا شائعًا عند إجراء مجموعة واسعة من العمليات الحسابية. بسبب قوة الجاذبية، هناك احتمال أن يقوم الجسم عند نقطة البداية بعدد كبير من حركات القصور الذاتي. يتم تسهيل ذلك أيضًا من خلال مرونة الجسم وقصوره الذاتي في نهاية السكتة الدماغية.
2. كما يتم استخدام البندول الربيعي الأفقي. في هذه الحالة يكون الحمل على السطح الداعم ويحدث الاحتكاك أيضًا في وقت الحركة. عند وضعها أفقيًا، تعمل الجاذبية بشكل مختلف بعض الشيء. أصبح الوضع الأفقي للجسم واسع الانتشار في مختلف المهام.

يمكن حساب حركة البندول الزنبركي باستخدام عدد كبير بما فيه الكفاية من الصيغ المختلفة، والتي يجب أن تأخذ في الاعتبار تأثير جميع القوى. في معظم الحالات، يتم تثبيت الربيع الكلاسيكي. ومن المميزات نلاحظ ما يلي:

1. أصبح زنبرك الضغط الملفوف الكلاسيكي منتشرًا على نطاق واسع اليوم. في هذه الحالة، هناك مسافة بين المنعطفات، والتي تسمى الملعب. يمكن أن يمتد زنبرك الضغط، ولكن في كثير من الأحيان لا يتم تثبيته لهذا الغرض. السمة المميزة هي أن المنعطفات الأخيرة تتم على شكل مستوى، مما يضمن التوزيع الموحد للقوة.
2. يمكن تثبيت نسخة تمتد. إنه مصمم للتركيب في الحالات التي تؤدي فيها القوة المطبقة إلى زيادة في الطول. للتثبيت، يتم وضع السنانير.

والنتيجة هي تذبذب يمكن أن يستمر لفترة طويلة. تتيح لك الصيغة المذكورة أعلاه إجراء عملية حسابية مع مراعاة جميع النقاط.

صيغ لفترة وتكرار تذبذب البندول الربيعي

عند تصميم وحساب المؤشرات الرئيسية، يتم أيضًا إيلاء الكثير من الاهتمام لتكرار وفترة التذبذب. جيب التمام هو دالة دورية تستخدم قيمة لا تتغير بعد فترة زمنية معينة. يسمى هذا المؤشر فترة تذبذب البندول الربيعي. يُستخدم الحرف T للإشارة إلى هذا المؤشر؛ وغالبًا ما يُستخدم أيضًا المفهوم الذي يميز القيمة العكسية لفترة التذبذب (v). في معظم الحالات، يتم استخدام الصيغة T=1/v في العمليات الحسابية.

يتم حساب فترة التذبذب باستخدام صيغة معقدة إلى حد ما. وهي كالتالي: T=2p√m/k. لتحديد تردد التذبذب، يتم استخدام الصيغة: v=1/2п√k/m.

يعتمد التردد الدوري لتذبذب البندول الزنبركي على النقاط التالية:

1. كتلة الحمولة المرتبطة بالزنبرك. ويعتبر هذا المؤشر هو الأكثر أهمية، لأنه يؤثر على مجموعة متنوعة من المعلمات. تعتمد قوة القصور الذاتي والسرعة والعديد من المؤشرات الأخرى على الكتلة. بالإضافة إلى ذلك فإن كتلة الحمولة هي كمية لا يشكل قياسها أية مشاكل بسبب وجود أجهزة قياس خاصة.
2. معامل المرونة. لكل ربيع يختلف هذا المؤشر بشكل كبير. يشار إلى معامل المرونة لتحديد المعالم الرئيسية للزنبرك. تعتمد هذه المعلمة على عدد اللفات وطول المنتج والمسافة بين اللفات وقطرها وغير ذلك الكثير. ويتم تحديده بعدة طرق، وغالبًا ما يتم ذلك باستخدام معدات خاصة.

لا تنس أنه عندما يمتد الزنبرك بقوة، يتوقف قانون هوك عن التطبيق. في هذه الحالة، تبدأ فترة التذبذب الربيعي في الاعتماد على السعة.

تُستخدم وحدة الوقت العالمية، في معظم الحالات، الثواني لقياس الفترة. في معظم الحالات، يتم حساب سعة التذبذبات عند حل مجموعة متنوعة من المهام. لتبسيط العملية، تم إنشاء مخطط مبسط يعرض القوى الرئيسية.

صيغ السعة والمرحلة الأولية للبندول الربيعي

بعد تحديد ميزات العمليات المعنية ومعرفة معادلة تذبذب البندول الزنبركي، وكذلك القيم الأولية، يمكنك حساب السعة والمرحلة الأولية للبندول الزنبركي. تُستخدم قيمة f لتحديد المرحلة الأولية، ويُشار إلى السعة بالرمز A.

لتحديد السعة، يمكن استخدام الصيغة: A = √x 2 +v 2 /w 2. يتم حساب المرحلة الأولية باستخدام الصيغة: tgf=-v/xw.

باستخدام هذه الصيغ، يمكنك تحديد المعلمات الرئيسية المستخدمة في الحسابات.

طاقة الاهتزاز للبندول الربيعي

عند النظر في تذبذب الحمل على الزنبرك، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار حقيقة أن حركة البندول يمكن وصفها بنقطتين، أي أنها ذات طبيعة مستقيمة. وتحدد هذه اللحظة استيفاء الشروط المتعلقة بالقوة المعنية. يمكننا القول أن الطاقة الكلية محتملة.

من الممكن حساب طاقة تذبذب البندول الزنبركي من خلال مراعاة جميع الميزات. النقاط الرئيسية هي ما يلي:

1. يمكن أن تحدث التذبذبات في المستوى الأفقي والرأسي.
2. يتم اختيار الطاقة الكامنة صفر كموضع التوازن. في هذا المكان تم تحديد أصل الإحداثيات. كقاعدة عامة، في هذا الوضع، يحتفظ الزنبرك بشكله بشرط عدم وجود قوة تشوه.
3. في الحالة قيد النظر، فإن الطاقة المحسوبة للبندول الزنبركي لا تأخذ في الاعتبار قوة الاحتكاك. عندما يكون الحمل عموديًا، تكون قوة الاحتكاك ضئيلة؛ وعندما يكون الحمل أفقيًا، يكون الجسم على السطح وقد يحدث الاحتكاك أثناء الحركة.
4. لحساب طاقة الاهتزاز، يتم استخدام الصيغة التالية: E=-dF/dx.

تشير المعلومات السابقة إلى أن قانون حفظ الطاقة هو كما يلي: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. الصيغة المستخدمة تقول ما يلي:

من الممكن تحديد طاقة تذبذب البندول الزنبركي عند حل مجموعة متنوعة من المسائل.

التذبذبات الحرة للبندول الربيعي

عند النظر في أسباب الاهتزازات الحرة للبندول الزنبركي، يجب الانتباه إلى عمل القوى الداخلية. تبدأ في التشكل فورًا تقريبًا بعد انتقال الحركة إلى الجسم. تشمل ميزات التذبذبات التوافقية النقاط التالية:

1. قد تنشأ أيضًا أنواع أخرى من القوى ذات الطبيعة المؤثرة، والتي تلبي جميع قواعد القانون، والتي تسمى شبه المرنة.
2. قد تكون الأسباب الرئيسية لعمل القانون هي القوى الداخلية التي تتشكل فورًا في لحظة حدوث تغيير في موضع الجسم في الفضاء. في هذه الحالة، يكون للحمل كتلة معينة، ويتم إنشاء القوة عن طريق تثبيت أحد طرفيه على جسم ثابت بقوة كافية، والثاني على الحمل نفسه. بشرط عدم وجود احتكاك، يمكن للجسم أداء حركات تذبذبية. في هذه الحالة، يسمى الحمل الثابت خطيًا.

يجب ألا ننسى أن هناك ببساطة عددًا كبيرًا من الأنواع المختلفة للأنظمة التي تحدث فيها الحركة التذبذبية. يحدث أيضًا تشوه مرن فيها، مما يصبح سببًا لاستخدامها في أداء أي عمل.

تعريف

بندول الربيعيسمى النظام الذي يتكون من زنبرك مرن يرتبط به الحمل.

لنفترض أن كتلة الحمل هي $m$ ومعامل مرونة الزنبرك هو $k$. عادة لا تؤخذ كتلة الزنبرك في مثل هذا البندول بعين الاعتبار. إذا أخذنا بعين الاعتبار الحركات الرأسية للحمل (الشكل 1)، فإنه يتحرك تحت تأثير الجاذبية والقوة المرنة إذا تم إخراج النظام من التوازن وتركه لأجهزته الخاصة.

معادلات اهتزازات البندول الربيعي

البندول الزنبركي الذي يتأرجح بحرية هو مثال على المذبذب التوافقي. لنفترض أن البندول يهتز على طول المحور X، فإذا كانت الاهتزازات صغيرة، يكون قانون هوك متحققًا، وتكون معادلة حركة الحمل على الشكل التالي:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(1\right),\]

حيث $(нu)^2_0=\frac(k)(m)$ هو التردد الدوري لتذبذبات البندول الزنبركي. حل المعادلة (1) هو الدالة:

حيث $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ هو التردد الدوري لتذبذبات البندول، و$A$ هو سعة التذبذبات؛ $((\omega )_0t+\varphi)$ - مرحلة التذبذب؛ $\varphi $ و $(\varphi )_1$ هي المراحل الأولية للتذبذبات.

في الصورة الأسية، يمكن كتابة اهتزازات البندول الزنبركي على النحو التالي:

صيغ لفترة وتكرار تذبذب البندول الربيعي

إذا تم استيفاء قانون هوك في الاهتزازات المرنة، فسيتم حساب فترة تذبذب البندول الزنبركي باستخدام الصيغة:

بما أن تردد التذبذب ($\nu $) هو مقلوب الفترة، إذن:

\[\nu =\frac(1)(T)=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\left(5\right).\]

صيغ السعة والمرحلة الأولية للبندول الربيعي

بمعرفة معادلة اهتزازات البندول الزنبركي (1 أو 2) والظروف الأولية، يمكن وصف التذبذبات التوافقية للبندول الزنبركي بشكل كامل. يتم تحديد الشروط الأولية من خلال السعة ($A$) والمرحلة الأولية للتذبذبات ($\varphi $).

يمكن العثور على السعة على النحو التالي:

المرحلة الأولية هي:

حيث $v_0$ هي سرعة التحميل عند $t=0\ c$، عندما يكون إحداثي التحميل $x_0$.

طاقة الاهتزاز للبندول الربيعي

في الحركة أحادية البعد للبندول الزنبركي، يوجد مسار واحد فقط بين نقطتين من حركته، وبالتالي، يتم استيفاء شرط قوة الإمكان (يمكن اعتبار أي قوة محتملة إذا كانت تعتمد فقط على الإحداثيات). بما أن القوى المؤثرة على البندول الزنبركي هي قوى محتملة، فيمكننا التحدث عن الطاقة الكامنة.

دع البندول الزنبركي يتأرجح في المستوى الأفقي (الشكل 2). دعونا نتخذ موضع توازنه باعتباره طاقة الوضع صفرًا للبندول، حيث نضع أصل الإحداثيات. نحن لا نأخذ في الاعتبار قوى الاحتكاك. باستخدام الصيغة المتعلقة بالقوة الكامنة والطاقة الكامنة في الحالة أحادية البعد:

مع الأخذ في الاعتبار أنه بالنسبة للبندول الربيعي $F=-kx$،

فإن الطاقة الكامنة ($E_p$) للبندول الزنبركي تساوي:

نكتب قانون حفظ الطاقة للبندول الزنبركي على النحو التالي:

\[\frac(m(\dot(x))^2)(2)+\frac(m((\omega )_0)^2x^2)(2)=const\ \left(10\right), \]

حيث $\dot(x)=v$ هي سرعة التحميل؛ $E_k=\frac(m(\dot(x))^2)(2)$ هي الطاقة الحركية للبندول.

ومن الصيغة (10) يمكن استخلاص الاستنتاجات التالية:

• الطاقة الحركية القصوى للبندول تساوي الطاقة القصوى الكامنة فيه.
• متوسط ​​الطاقة الحركية للمذبذب على مدار الزمن يساوي متوسط ​​طاقته الكامنة على مدار الزمن.

أمثلة على المشاكل مع الحلول

مثال 1

يمارس.كرة صغيرة كتلتها $m=0.36$kg متصلة بزنبرك أفقي، معامل مرونته يساوي $k=1600\ \frac(N)(m)$. ما الإزاحة الأولية للكرة من موضع التوازن ($x_0$)، إذا كانت تتأرجح عبرها بسرعة $v=1\ \frac(m)(s)$؟

حل.دعونا نجعل الرسم.

حسب قانون حفظ الطاقة الميكانيكية (بما أننا نفترض عدم وجود قوى احتكاك) نكتب:

حيث $E_(pmax)$ هي الطاقة الكامنة للكرة عند أقصى إزاحة لها من موضع التوازن؛ $E_(kmax\ )$ هي الطاقة الحركية للكرة في لحظة تجاوز موضع التوازن.

الطاقة المحتملة تساوي:

وفقًا للـ (1.1)، نساوي الطرفين الأيمن لـ (1.2) و (1.3)، لدينا:

\[\frac(mv^2)(2)=\frac(k(x_0)^2)(2)\left(1.4\right).\]

من (1.4) نعبر عن القيمة المطلوبة:

لنحسب الإزاحة الأولية (القصوى) للحمل من موضع التوازن:

إجابة.$x_0=1.5$ ملم

مثال 2

يمارس.يتأرجح البندول الزنبركي وفقًا للقانون: $x=A(\cos \left(\omega t\right),\ \ )\ $ حيث $A$ و $\omega $ ثابتان. عندما تصل قوة الاستعادة لأول مرة إلى $F_0,$ تكون الطاقة الكامنة للحمل $E_(p0)$. في أي وقت سيحدث هذا؟

حل.قوة الاستعادة للبندول الزنبركي هي القوة المرنة تساوي:

نجد الطاقة الكامنة لاهتزاز الحمل على النحو التالي:

في الوقت الحالي الذي يجب العثور عليه $F=F_0$; $E_p=E_(p0)$، يعني:

\[\frac(E_(p0))(F_0)=-\frac(A)(2)(\cos \left(\omega t\right)\ )\to t=\frac(1)(\omega ) \arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ ).\]

إجابة.$t=\frac(1)(\omega )\ arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ )$

دعونا نفكر في أبسط نظام يمكن من خلاله تحقيق الاهتزازات الميكانيكية. لنفترض أن حمولة كتلتها $m$ معلقة على زنبرك مرن صلابته $k,$. يتحرك الحمل تحت تأثير الجاذبية والمرونة إذا تم إخراج النظام من التوازن وتركه لأجهزته الخاصة. نحن نعتبر كتلة الزنبرك صغيرة مقارنة بكتلة الحمل.

معادلة حركة الحمل أثناء هذه التذبذبات لها الشكل:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(1\right),\]

حيث $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ هو التردد الدوري لتذبذبات البندول الزنبركي. حل المعادلة (1) هو الدالة:

حيث $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ هو التردد الدوري لتذبذبات البندول، و$A$ و$B$ هما سعة التذبذبات؛ $((\omega )_0t+\varphi)$ - مرحلة التذبذب؛ $\varphi $ و $(\varphi )_1$ هي المراحل الأولية للتذبذبات.

تردد وفترة اهتزاز البندول الربيعي

جيب التمام (sine) هي دالة دورية، فإن الإزاحة $x$ ستأخذ نفس القيم في فترات زمنية متساوية معينة، والتي تسمى فترة التذبذب. يتم تحديد الفترة بالحرف T.

الكمية الأخرى التي تميز التذبذبات هي مقلوب فترة التذبذب، وتسمى التردد ($\nu $):

ترتبط الفترة بالتردد الدوري للتذبذبات على النحو التالي:

مع العلم أنه بالنسبة للبندول الزنبركي $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$، فإننا نحدد فترة تذبذبه على النحو التالي:

من التعبير (5) نرى أن فترة تذبذب البندول الزنبركي تعتمد على كتلة الحمل الموجود على الزنبرك ومعامل مرونة الزنبرك، ولكنها لا تعتمد على سعة التذبذبات (أ). تسمى خاصية التذبذبات هذه بالتزامن. يستمر التزامن طالما استمر قانون هوك. على مساحات كبيرة من الزنبرك، يتم انتهاك قانون هوك، ويظهر اعتماد التذبذبات على السعة. لاحظ أن الصيغة (5) لحساب فترة تذبذب البندول الزنبركي صالحة للتذبذبات الصغيرة.

وحدة قياس الفترة هي الزمن، وفي النظام الدولي للوحدات هي الثواني:

\[\left=с.\]

أمثلة على مشاكل فترة تذبذب البندول الربيعي

مثال 1

يمارس.تم ربط حمل صغير بزنبرك مرن، وتم تمديد الزنبرك بمقدار $\Delta x$=0.09 m. ما هي فترة تذبذب هذا البندول الزنبركي إذا اختل توازنه؟

حل.دعونا نجعل الرسم.

دعونا نفكر في حالة التوازن للبندول الربيعي. يتم ربط الوزن، وبعد ذلك يتم تمديد الزنبرك بمقدار $\Delta x$، ويكون البندول في حالة توازن. هناك قوتان تؤثران على الحمل: الجاذبية والمرونة. لنكتب قانون نيوتن الثاني لحالة توازن الحمل:

دعونا نكتب إسقاط المعادلة (1.1) على المحور Y:

بما أن الحمل حسب ظروف المشكلة صغير، فإن الزنبرك لم يتمدد كثيراً، وبالتالي استيفاء قانون هوك، نجد مقدار القوة المرنة على النحو التالي:

باستخدام التعبيرين (1.2) و (1.3) نجد النسبة $\frac(m)(k)$:

يمكن العثور على فترة تذبذب البندول الزنبركي للتذبذبات الصغيرة باستخدام التعبير:

باستبدال نسبة كتلة الحمل إلى صلابة الزنبرك بالجانب الأيمن من التعبير (1.4)، نحصل على:

لنحسب فترة اهتزاز البندول إذا كانت $g=9.8\ \frac(m)(s^2)$:

إجابة.$T$=0.6 ثانية

مثال 2

يمارس.يتم توصيل زنبركين بصلابة $k_1$ و $k_2$ على التوالي (الشكل 2)، ويتم ربط حمولة كتلتها $m$ بنهاية الزنبرك الثاني، ما هي فترة تذبذب هذا البندول الزنبركي، إذا يمكن إهمال كتل النوابض، والقوة المرنة المؤثرة على الحمل تخضع لقانون هوك.

حل.فترة اهتزاز البندول الربيعي تساوي:

إذا تم توصيل نابضين على التوالي، فإن الصلابة الناتجة ($k$) يتم العثور عليها على النحو التالي:

\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)\إلى k=\frac(k_1k_2)(k_1(+k)_2)\left(2.2\ يمين).\]

بدلاً من $k$ في صيغة حساب فترة البندول الربيعي، نستبدل الجانب الأيمن من التعبير (2.2)، لدينا:

إجابة.$T=2\pi \sqrt(\frac(m(k_1(+k)_2))(k_1k_2))$

)، أحد طرفيه ثابت بشكل صارم، وعلى الجانب الآخر هناك حمولة من الكتلة m.

عندما تؤثر قوة مرنة على جسم ضخم، فتعيده إلى موضع التوازن، فإنه يهتز حول هذا الموضع، ويسمى هذا الجسم بالبندول الزنبركي. تحدث التذبذبات تحت تأثير قوة خارجية. التذبذبات التي تستمر بعد توقف القوة الخارجية عن العمل تسمى حرة. تسمى التذبذبات الناجمة عن عمل قوة خارجية بالقوة. في هذه الحالة، القوة نفسها تسمى الإجبار.

في أبسط الحالات، البندول الزنبركي هو جسم صلب يتحرك على طول مستوى أفقي، ويرتبط بواسطة زنبرك بالجدار.

قانون نيوتن الثاني لمثل هذا النظام، بشرط عدم وجود قوى خارجية وقوى احتكاك، له الصيغة:

إذا كان النظام يتأثر بقوى خارجية، فسيتم إعادة كتابة معادلة الاهتزاز على النحو التالي:

، أين و (خ)- هذا هو محصلة القوى الخارجية المرتبطة بوحدة كتلة الحمل.

وفي حالة التوهين يتناسب مع سرعة التذبذب مع المعامل ج:

أنظر أيضا

روابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "بندول الربيع" في القواميس الأخرى:

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر البندول (المعاني). تذبذبات البندول: الأسهم تشير إلى متجهات السرعة (v) والتسارع (أ) ... ويكيبيديا

رقاص الساعة- جهاز ينظم حركة آلية الساعة عن طريق التذبذب. بندول الربيع. جزء منظم من الساعة، يتكون من البندول وزنبركه. قبل اختراع نابض البندول، كانت الساعات تُدار بواسطة بندول واحد... ... قاموس الساعة

رقاص الساعة- (1) رياضي (أو بسيط) (الشكل 6) جسم صغير الحجم، معلق بحرية من نقطة ثابتة على خيط (أو قضيب) غير قابل للتمدد، وكتلته لا تذكر مقارنة بكتلة الجسم الذي يؤدي التوافقي (يرى) ... ... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

جسم صلب يعمل تحت تأثير التطبيق. قوى الاهتزاز تقريبًا نقطة ثابتة أو محور. الرياضيات M. تسمى. نقطة مادية معلقة من نقطة ثابتة على خيط (أو قضيب) عديم الوزن وغير قابل للتمدد وتحت تأثير القوة... ... قاموس البوليتكنيك الموسوعي الكبير

الساعة مع البندول الربيع- البندول الزنبركي - الجزء المنظم للساعة، ويستخدم أيضاً في الساعات المتوسطة والصغيرة الحجم (الساعات المحمولة، ساعات الطاولة، إلخ)... قاموس الساعة - زنبرك حلزوني صغير متصل في طرفيه بالبندول ومطرقته. ينظم البندول الزنبركي الساعة، وتعتمد دقتها جزئياً على جودة زنبرك البندول... قاموس الساعات

GOST R 52334-2005: استكشاف الجاذبية. المصطلحات والتعاريف- المصطلحات GOST R 52334 2005: استكشاف الجاذبية. المصطلحات والتعاريف الوثيقة الأصلية: (القياس الوزني) المسح الوزني الذي تم إجراؤه على الأرض. تعريفات المصطلح من الوثائق المختلفة: (القياس الوزني) المسح 95... ... كتاب مرجعي للقاموس لمصطلحات التوثيق المعياري والتقني