كيفية التعبير عن المتجهات بدلالة المتجهات الأخرى. ناقلات للدمى

في متوازي الأضلاع، تقع النقطة على الجانب. التعبير عن المتجه من حيث المتجهات و .

حل المشكلة

يوضح هذا الدرس كيفية استخدام المتجهات المعروفة في صورة أضلاع متوازي الأضلاع للتعبير عن قطعة عشوائية كتركيبة للمتجهات الأصلية. لا يمكن أن يكون لهذه المشكلة حل إذا لم نعرف ما هي النسبة التي يقسم بها أحد أضلاع متوازي الأضلاع على نقطة تنتمي إلى القطعة المطلوبة. يتم تقليل الإجراءات الإضافية لتحديد بداية ونهاية المتجهات المعطاة والمتجهات التي ينقسم إليها الجانب. كل هذا ضروري لاستخدام العلامات بشكل صحيح عند الجمع بين المتجهات. بعد كل شيء، من الضروري أن نتذكر قواعد إضافة المتجهات: مجموع المتجهات يعطي متجهًا ثالثًا، تتزامن بدايته مع بداية المتجه الأول، وتنتهي بنهاية المتجه الثاني؛ وقاعدة طرح المتجهات: الفرق بين متجهين هو المتجه الثالث، الذي تبدأ بدايته مع نهايات المتجه الثاني، ونهايته نهاية المتجه الأول. واستنادا إلى هذه القواعد البسيطة، يمكننا الحصول على المجموعة التي نحتاجها.

ستكون هناك أيضًا مشكلات يتعين عليك حلها بنفسك، ويمكنك رؤية الإجابات عليها.

مفهوم المتجهات

قبل أن تتعلم كل شيء عن المتجهات والعمليات عليها، استعد لحل مشكلة بسيطة. هناك ناقل لريادة الأعمال الخاصة بك وناقل لقدراتك الابتكارية. يقودك ناقل ريادة الأعمال إلى الهدف 1، ويقودك ناقل القدرات المبتكرة إلى الهدف 2. قواعد اللعبة هي أنه لا يمكنك التحرك في اتجاه هذين المتجهين في وقت واحد وتحقيق هدفين في وقت واحد. تتفاعل المتجهات، أو، باللغة الرياضية، يتم تنفيذ بعض العمليات على المتجهات. نتيجة هذه العملية هي ناقل "النتيجة"، الذي يقودك إلى الهدف 3.

أخبرني الآن: أي عملية على متجهي "ريادة الأعمال" و"القدرات الابتكارية" هي نتيجة أي عملية متجهة هي "النتيجة"؟ إذا لم تتمكن من معرفة ذلك على الفور، فلا تثبط عزيمتك. مع تقدمك في هذا الدرس، ستتمكن من الإجابة على هذا السؤال.

كما رأينا أعلاه، فإن المتجه يأتي بالضرورة من نقطة معينة أفي خط مستقيم إلى نقطة ما ب. وبالتالي، فإن كل متجه ليس له قيمة عددية فقط - الطول، ولكن أيضًا قيمة فيزيائية وهندسية - الاتجاه. ومن هنا يأتي التعريف الأول والأبسط للمتجه. إذن، المتجه هو قطعة مستقيمة قادمة من نقطة ما أإلى هذه النقطة ب. وقد تم تحديده على النحو التالي: .

والبدء في مختلف العمليات مع المتجهات ، نحن بحاجة للتعرف على تعريف آخر للمتجه.

المتجه هو نوع من تمثيل النقطة التي يجب الوصول إليها من نقطة البداية. على سبيل المثال، عادة ما يتم كتابة ناقل ثلاثي الأبعاد كـ (س، ص، ض) . بعبارات بسيطة للغاية، تعني هذه الأرقام المسافة التي تحتاجها للسير في ثلاثة اتجاهات مختلفة للوصول إلى نقطة ما.

دعونا نعطي المتجه. في نفس الوقت س = 3 (اليد اليمنى تشير إلى اليمين)، ذ = 1 (اليد اليسرى تشير إلى الأمام) ض = 5 (تحت النقطة يوجد درج يؤدي إلى الأعلى). باستخدام هذه البيانات، ستجد نقطة عن طريق المشي مسافة 3 أمتار في الاتجاه الذي تشير إليه يدك اليمنى، ثم متر واحد في الاتجاه الذي تشير إليه يدك اليسرى، وبعد ذلك ينتظرك سلم، وبعد ارتفاع 5 أمتار، ستجد أخيرًا نفسك في نقطة النهاية.

جميع المصطلحات الأخرى عبارة عن توضيحات للشرح المقدم أعلاه، وهي ضرورية لعمليات مختلفة على المتجهات، أي حل المشكلات العملية. دعونا نتناول هذه التعريفات الأكثر صرامة، مع التركيز على مسائل المتجهات النموذجية.

أمثلة فيزيائيةيمكن أن تكون الكميات المتجهة هي إزاحة نقطة مادية تتحرك في الفضاء، وسرعة هذه النقطة وتسارعها، بالإضافة إلى القوة المؤثرة عليها.

ناقلات هندسيةيتم تقديمها في مساحة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد في النموذج قطاع الاتجاه. هذا مقطع له بداية ونهاية.

لو أ- بداية المتجه و ب- نهايته فيرمز للمتجه بالرمز أو بحرف واحد صغير . يُشار في الشكل إلى نهاية المتجه بواسطة سهم (الشكل 1)

طول(أو وحدة) للمتجه الهندسي هو طول القطعة التي تولده

يتم استدعاء المتجهين متساوي ، إذا كان من الممكن دمجهما (إذا تزامنت الاتجاهات) عن طريق النقل المتوازي، أي. إذا كانا متوازيين، وموجهين في نفس الاتجاه، ولهما نفس الطول.

في الفيزياء غالبا ما يعتبر ناقلات المثبتة، محددة بنقطة التطبيق والطول والاتجاه. إذا كانت نقطة تطبيق المتجه غير مهمة، فيمكن نقلها، مع الحفاظ على طولها واتجاهها، إلى أي نقطة في الفضاء. في هذه الحالة، يتم استدعاء المتجه حر. سوف نتفق على النظر فقط ناقلات الحرة.

العمليات الخطية على المتجهات الهندسية

ضرب المتجه بعدد

منتج من ناقلات لكل رقمهو متجه يتم الحصول عليه من متجه عن طريق تمديد (عند) أو ضغط (عند) بعامل، ويظل اتجاه المتجه كما هو إذا، ويتغير إلى الاتجاه المعاكس إذا. (الشكل 2)

ويترتب على التعريف أن المتجهات و = تقع دائمًا على خط واحد أو خطين متوازيين. تسمى هذه النواقل على استطراد. (يمكننا أيضًا أن نقول إن هذه المتجهات متوازية، لكن من المعتاد في الجبر المتجه أن نقول "خطية على خط واحد".) والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت المتجهات على خط واحد، فهي مرتبطة بالعلاقة

وبالتالي، فإن المساواة (1) تعبر عن حالة العلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين.

إضافة وطرح المتجهات

عند إضافة المتجهات عليك أن تعرف ذلك كميةالمتجهات ويسمى ناقلًا ، تتطابق بدايته مع بداية المتجه ، ونهايته - مع نهاية المتجه ، بشرط أن تكون بداية المتجه متصلة بنهاية المتجه. (الشكل 3)

يمكن توزيع هذا التعريف على أي عدد محدود من المتجهات. دعهم يعطون في الفضاء نناقلات الحرة. عند إضافة عدة ناقلات، يعتبر مجموعها هو متجه الإغلاق، الذي تتزامن بدايته مع بداية المتجه الأول، ونهايته مع نهاية المتجه الأخير. أي إذا قمت بإرفاق بداية المتجه بنهاية المتجه، وبداية المتجه بنهاية المتجه، وما إلى ذلك. وأخيرًا، إلى نهاية المتجه - بداية المتجه، فإن مجموع هذه المتجهات هو المتجه الختامي ، بدايته تتزامن مع بداية المتجه الأول، والنهاية - مع نهاية المتجه الأخير. (الشكل 4)

تسمى المصطلحات مكونات المتجه، والقاعدة المصاغة هي قاعدة المضلع. قد لا يكون هذا المضلع مسطحًا.

عندما يتم ضرب المتجه بالرقم -1، يتم الحصول على المتجه المعاكس. المتجهات ولها نفس الأطوال والاتجاهات المعاكسة. مجموعهم يعطي ناقل صفر، وطوله صفر. لم يتم تحديد اتجاه المتجه الصفري.

في جبر المتجهات، ليست هناك حاجة للنظر في عملية الطرح بشكل منفصل: فطرح متجه من متجه يعني إضافة المتجه المعاكس إلى المتجه، أي.

مثال 1.تبسيط التعبير:

.

,

أي أنه يمكن جمع المتجهات وضربها بالأرقام بنفس طريقة كثيرات الحدود (على وجه الخصوص، أيضًا مشاكل تبسيط التعبيرات). عادة، تنشأ الحاجة إلى تبسيط التعبيرات المتشابهة خطيًا باستخدام المتجهات قبل حساب حاصل ضرب المتجهات.

مثال 2.المتجهات وتكون بمثابة أقطار متوازي الأضلاع ABCD (الشكل 4 أ). التعبير عن المتجهات و و و و التي هي جوانب متوازي الأضلاع هذا.

حل. نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع تنصف كل قطر. نجد أطوال المتجهات المطلوبة في بيان المشكلة إما بنصف مجموع المتجهات التي تشكل مثلثًا مع المتجهات المطلوبة، أو بنصف الفروق (اعتمادًا على اتجاه المتجه الذي يعمل كقطر)، أو، كما في الحالة الأخيرة، نصف المبلغ مأخوذ بعلامة الطرح. والنتيجة هي المتجهات المطلوبة في بيان المشكلة:

هناك كل الأسباب التي تجعلك تعتقد أنك قد أجبت الآن بشكل صحيح على السؤال المتعلق بموجهات "ريادة الأعمال" و"القدرات الابتكارية" في بداية هذا الدرس. الإجابة الصحيحة: يتم إجراء عملية إضافة على هذه المتجهات.

قم بحل مشكلات المتجهات بنفسك ثم انظر إلى الحلول

كيفية العثور على طول مجموع المتجهات؟

تحتل هذه المسألة مكانة خاصة في العمليات مع المتجهات، لأنها تنطوي على استخدام الخصائص المثلثية. لنفترض أنك واجهت مهمة مثل ما يلي:

يتم إعطاء أطوال المتجهات. وطول مجموع هذه المتجهات. أوجد طول الفرق بين هذه المتجهات.

حلول هذه المشكلة وغيرها من المشاكل المشابهة وشرح كيفية حلها موجودة في الدرس " جمع المتجهات: طول مجموع المتجهات ونظرية جيب التمام ".

ويمكنك التحقق من حل مثل هذه المشاكل على آلة حاسبة على الإنترنت "جانب غير معروف من المثلث (جمع المتجهات ونظرية جيب التمام)" .

أين توجد منتجات المتجهات؟

منتجات المتجهات ليست عمليات خطية ويتم النظر فيها بشكل منفصل. ولدينا دروس "المنتج العددي للمتجهات" و"المتجه وحواصل الضرب المختلطة للمتجهات".

إسقاط المتجه على المحور

إن إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب طول المتجه المسقط وجيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور:

وكما هو معروف، إسقاط نقطة أعلى الخط المستقيم (المستوى) هي قاعدة العمود العمودي الذي يسقط من هذه النقطة على الخط المستقيم (المستوى).

ليكن متجهًا اعتباطيًا (الشكل 5)، وتكون إسقاطات أصله (النقاط أ) والنهاية (نقاط ب) لكل محور ل. (لبناء إسقاط نقطة أ) رسم خط مستقيم من خلال هذه النقطة أمستوى عمودي على خط مستقيم. سيحدد تقاطع الخط والمستوى الإسقاط المطلوب.

مكون المتجهات على المحور lيسمى هذا المتجه الواقع على هذا المحور ، والذي تتزامن بدايته مع إسقاط البداية ، ونهايته مع إسقاط نهاية المتجه.

إسقاط المتجه على المحور لاتصل بالرقم

,

يساوي طول المتجه المكون على هذا المحور، ويؤخذ بعلامة زائد إذا كان اتجاه المركبات يتطابق مع اتجاه المحور لوعلامة الطرح إذا كان الاتجاهان متقابلين.

الخصائص الأساسية لإسقاطات المتجهات على المحور:

1. إسقاطات المتجهات المتساوية على نفس المحور متساوية مع بعضها البعض.

2. عندما يتم ضرب متجه برقم، يتم ضرب إسقاطه بنفس الرقم.

3. إسقاط مجموع المتجهات على أي محور يساوي مجموع إسقاطات مجموع المتجهات على نفس المحور.

4. إن إسقاط المتجه على المحور يساوي حاصل ضرب طول المتجه المسقط وجيب تمام الزاوية بين المتجه والمحور:

.

حل. دعونا نسقط المتجهات على المحور لكما هو محدد في الخلفية النظرية أعلاه. من الواضح من الشكل 5 أ أن إسقاط مجموع المتجهات يساوي مجموع إسقاطات المتجهات. نحسب هذه التوقعات:

نجد الإسقاط النهائي لمجموع المتجهات:

العلاقة بين المتجه ونظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة في الفضاء

التعرف على حدث نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة في الفضاء في الدرس المقابل، فمن المستحسن فتحه في نافذة جديدة.

في نظام مرتب من محاور الإحداثيات 0xyzمحور ثورمُسَمًّى المحور السيني، المحور 0y – المحور ص، والمحور 0z – ينطبق المحور.

مع نقطة تعسفية مناقلات ربط الفضاء

مُسَمًّى ناقل نصف القطرنقاط موإسقاطه على كل محور من محاور الإحداثيات. دعونا نشير إلى مقادير التوقعات المقابلة:

أرقام س، ص، ضيتم استدعاؤها إحداثيات النقطة م، على التوالى الإحداثي السيني, ينسقو تطبيق، ويتم كتابتها كنقطة مرتبة من الأرقام: م (س، ص، ض)(الشكل 6).

يسمى المتجه ذو وحدة الطول الذي يتوافق اتجاهه مع اتجاه المحور ناقل الوحدة(أو ortom) محاور. دعونا نشير بواسطة

وبناء على ذلك، فإن ناقلات الوحدة لمحاور الإحداثيات ثور, أوي, أوز

نظرية.يمكن توسيع أي متجه إلى متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات:

(2)

تسمى المساواة (2) بتوسيع المتجه على طول محاور الإحداثيات. معاملات هذا التوسع هي إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات. وبالتالي، فإن معاملات التمدد (2) للمتجه على طول محاور الإحداثيات هي إحداثيات المتجه.

بعد اختيار نظام إحداثي معين في الفضاء، يحدد المتجه وثلاثية إحداثياته ​​بعضهما البعض بشكل فريد، لذلك يمكن كتابة المتجه بالشكل

تمثيلات المتجه في الشكل (2) و(3) متطابقة.

شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات في الإحداثيات

كما لاحظنا من قبل، تسمى المتجهات على خط واحد إذا كانت مرتبطة بالعلاقة

دع النواقل تعطى . تكون هذه المتجهات على خط واحد إذا كانت إحداثيات المتجهات مرتبطة بالعلاقة

,

أي أن إحداثيات المتجهات متناسبة.

مثال 6.يتم إعطاء المتجهات . هل هذه المتجهات على خط واحد؟

حل. دعونا نكتشف العلاقة بين إحداثيات هذه المتجهات:

.

إحداثيات المتجهات متناسبة، وبالتالي، تكون المتجهات على خط مستقيم، أو متوازية، وهو نفس الشيء.

طول المتجه وجيب التمام الاتجاه

نظرًا للعمودي المتبادل لمحاور الإحداثيات، فإن طول المتجه

يساوي طول قطر متوازي مستطيلات مبني على ناقلات

ويتم التعبير عنها بالمساواة

(4)

يتم تعريف المتجه بشكل كامل من خلال تحديد نقطتين (البداية والنهاية)، بحيث يمكن التعبير عن إحداثيات المتجه بدلالة إحداثيات هذه النقاط.

لنفترض أنه في نظام إحداثي معين، يكون أصل المتجه عند هذه النقطة

والنهاية عند هذه النقطة

من المساواة

ويترتب على ذلك

أو في شكل تنسيق

لذلك، إحداثيات المتجه تساوي الاختلافات بين نفس إحداثيات نهاية وبداية المتجه . الصيغة (4) في هذه الحالة سوف تأخذ الشكل

يتم تحديد اتجاه المتجه جيب التمام الاتجاه . هذه هي جيب التمام للزوايا التي يصنعها المتجه مع المحاور ثور, أويو أوز. دعونا نشير إلى هذه الزوايا وفقا لذلك α , β و γ . ثم يمكن العثور على جيب تمام هذه الزوايا باستخدام الصيغ

إن اتجاه جيب تمام المتجه هو أيضًا إحداثيات متجه ذلك المتجه وبالتالي متجه المتجه

.

باعتبار أن طول متجه الوحدة يساوي وحدة واحدة، أي

,

نحصل على المساواة التالية لجيب التمام الاتجاه:

مثال 7.أوجد طول المتجه س = (3; 0; 4).

حل. طول المتجه هو

مثال 8.النقاط المعطاة:

اكتشف ما إذا كان المثلث المبني على هذه النقاط متساوي الساقين.

حل. باستخدام صيغة الطول المتجه (6)، نجد أطوال الجوانب ونحدد ما إذا كان هناك طولان متساويان فيما بينها:

تم العثور على ضلعين متساويين، وبالتالي ليست هناك حاجة للبحث عن طول الضلع الثالث، والمثلث المعطى متساوي الساقين.

مثال 9.أوجد طول المتجه وجيب تمام الاتجاه إذا .

حل. يتم إعطاء إحداثيات المتجهات:

.

طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثيات المتجه:

.

العثور على جيب التمام الاتجاه:

قم بحل مشكلة المتجهات بنفسك، ثم انظر إلى الحل

العمليات على المتجهات المعطاة في شكل إحداثي

دع متجهين يتم تحديدهما بواسطة توقعاتهما:

دعونا نشير إلى الإجراءات المتعلقة بهذه المتجهات.

وأخيرا، وضعت يدي على هذا الموضوع الواسع الذي طال انتظاره. الهندسة التحليلية. أولاً، القليل عن هذا القسم من الرياضيات العليا... من المؤكد أنك تتذكر الآن دورة الهندسة المدرسية مع العديد من النظريات والبراهين والرسومات وما إلى ذلك. ما الذي يجب إخفاءه، وهو موضوع غير محبوب وغالبًا ما يكون غامضًا بالنسبة لنسبة كبيرة من الطلاب. من الغريب أن الهندسة التحليلية قد تبدو أكثر إثارة للاهتمام ويمكن الوصول إليها. ماذا تعني صفة "تحليلي"؟ تتبادر إلى ذهني على الفور عبارتان رياضيتان مبتذلتان: "طريقة الحل الرسومي" و"طريقة الحل التحليلي". الطريقة الرسوميةوبطبيعة الحال، يرتبط ببناء الرسوم البيانية والرسومات. تحليليةنفس طريقةينطوي على حل المشاكل خاصةمن خلال العمليات الجبرية. في هذا الصدد، فإن خوارزمية حل جميع مشاكل الهندسة التحليلية تقريبا بسيطة وشفافة؛ وغالبا ما تكون كافية لتطبيق الصيغ اللازمة بعناية - والإجابة جاهزة! لا، بالطبع، لن نتمكن من القيام بذلك بدون رسومات على الإطلاق، وإلى جانب ذلك، من أجل فهم أفضل للمادة، سأحاول الاستشهاد بها بما يتجاوز الضرورة.

لا تتظاهر دورة دروس الهندسة التي تم افتتاحها حديثًا بأنها كاملة من الناحية النظرية؛ فهي تركز على حل المشكلات العملية. سأدرج في محاضراتي فقط ما هو مهم من وجهة نظري من الناحية العملية. إذا كنت بحاجة إلى مزيد من المساعدة الكاملة في أي قسم فرعي، فإنني أوصي بالأدبيات التالية التي يمكن الوصول إليها بسهولة:

1) الشيء الذي لا مزحة تعرفه عدة أجيال: الكتاب المدرسي في الهندسةالمؤلفون – إل إس. أتاناسيان وشركاه. لقد مرت شماعات غرفة خلع الملابس هذه بالمدرسة بالفعل بـ 20 نسخة (!) معاد طبعها، وهو بالطبع ليس الحد الأقصى.

2) الهندسة في مجلدين. المؤلفون إل إس. أتاناسيان ، بازيليف ف.ت.. هذا هو الأدب للمدرسة الثانوية، وسوف تحتاج المجلد الأول. قد تغيب المهام التي نادرًا ما أواجهها عن نظري، وسيكون البرنامج التعليمي مفيدًا للغاية.

يمكن تنزيل كلا الكتابين مجانًا عبر الإنترنت. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك استخدام أرشيفي مع الحلول الجاهزة، والتي يمكن العثور عليها على الصفحة تحميل أمثلة في الرياضيات العليا.

من بين الأدوات، أقترح مرة أخرى تطويري الخاص - حزمة البرامجفي الهندسة التحليلية، الأمر الذي سيبسط الحياة بشكل كبير ويوفر الكثير من الوقت.

من المفترض أن يكون القارئ على دراية بالمفاهيم والأشكال الهندسية الأساسية: النقطة، الخط، المستوى، المثلث، متوازي الأضلاع، متوازي الأضلاع، المكعب، إلخ. يُنصح بتذكر بعض النظريات، على الأقل نظرية فيثاغورس، مرحبًا بالمكررين)

والآن سننظر بالتسلسل: مفهوم المتجه، والإجراءات مع المتجهات، وإحداثيات المتجهات. أوصي بقراءة المزيد المادة الأكثر أهمية المنتج النقطي للمتجهات، وأيضا المتجهات والمنتج المختلط للنواقل. المهمة المحلية - تقسيم الجزء في هذا الصدد - لن تكون غير ضرورية أيضًا. وبناء على المعلومات المذكورة أعلاه، يمكنك السيطرة معادلة الخط في الطائرةمع أبسط الأمثلة على الحلول، والتي سوف تسمح تعلم كيفية حل المشاكل الهندسية. المقالات التالية مفيدة أيضًا: معادلة الطائرة في الفضاء, معادلات الخط في الفضاء، المسائل الأساسية على الخط المستقيم والمستوى، أقسام أخرى من الهندسة التحليلية. وبطبيعة الحال، سيتم النظر في المهام القياسية على طول الطريق.

مفهوم المتجهات. ناقل حر

أولاً، دعونا نكرر تعريف المدرسة للمتجه. ناقلمُسَمًّى موجهالجزء الذي يشار إلى بدايته ونهايته:

في هذه الحالة، بداية المقطع هي النقطة، ونهاية المقطع هي النقطة. يُشار إلى المتجه نفسه بـ . اتجاهأمر ضروري، إذا قمت بتحريك السهم إلى الطرف الآخر من المقطع، فستحصل على متجه، وهذا بالفعل ناقلات مختلفة تماما. من السهل تحديد مفهوم المتجه مع حركة الجسم المادي: يجب أن توافق، فدخول أبواب المعهد أو الخروج من أبواب المعهد أمران مختلفان تمامًا.

من الملائم اعتبار النقاط الفردية للمستوى أو الفضاء ما يسمى ب ناقل صفر. لمثل هذا المتجه، تتزامن النهاية والبداية.

!!! ملحوظة: هنا وأكثر من ذلك، يمكنك افتراض أن المتجهات تقع في نفس المستوى أو يمكنك افتراض أنها موجودة في الفضاء - فجوهر المادة المقدمة صالح لكل من المستوى والفضاء.

التسميات:لاحظ الكثيرون على الفور أن العصا لا تحتوي على سهم في التسمية وقالوا، يوجد أيضًا سهم في الأعلى! صحيح أنه يمكنك كتابتها بسهم: ولكن من الممكن أيضًا الإدخال الذي سأستخدمه في المستقبل. لماذا؟ على ما يبدو، تطورت هذه العادة لأسباب عملية؛ تبين أن الرماة في المدرسة والجامعة كانوا مختلفين جدًا في الحجم وأشعثين. في الأدب التربوي، في بعض الأحيان لا يهتمون بالكتابة المسمارية على الإطلاق، ولكنهم يسلطون الضوء على الحروف بالخط العريض: مما يعني أن هذا ناقل.

كان ذلك يتعلق بالأسلوبية، والآن عن طرق كتابة المتجهات:

1) يمكن كتابة المتجهات بحرفين لاتينيين كبيرين:
وهكذا. في هذه الحالة، الحرف الأول بالضرورةيشير إلى نقطة بداية المتجه، والحرف الثاني يشير إلى نقطة نهاية المتجه.

2) تتم كتابة المتجهات أيضًا بأحرف لاتينية صغيرة:
على وجه الخصوص، يمكن إعادة تصميم المتجه الخاص بنا للإيجاز بحرف لاتيني صغير.

طولأو وحدةيسمى المتجه غير الصفري طول القطعة. طول المتجه الصفري هو صفر. منطقي.

تتم الإشارة إلى طول المتجه بعلامة المعامل: ،

سوف نتعلم كيفية العثور على طول المتجه (أو سنكرر ذلك، اعتمادًا على من) بعد قليل.

كانت هذه معلومات أساسية عن النواقل، مألوفة لدى جميع أطفال المدارس. في الهندسة التحليلية ما يسمى ناقل حر.

بكل بساطة - يمكن رسم المتجه من أي نقطة:

لقد اعتدنا على تسمية هذه المتجهات بأنها متساوية (سيتم تقديم تعريف المتجهات المتساوية أدناه)، ولكن من وجهة نظر رياضية بحتة، فهي نفس المتجهات أو ناقل حر. لماذا مجانا؟ لأنه في سياق حل المشكلات، يمكنك "إرفاق" ناقل "مدرسة" أو آخر بأي نقطة في المستوى أو المساحة التي تحتاجها. هذه ميزة رائعة جدًا! تخيل مقطعًا موجهًا بطول واتجاه عشوائي - يمكن "استنساخه" لعدد لا حصر له من المرات وفي أي نقطة في الفضاء، فهو في الواقع موجود في كل مكان. هناك مثل هذا الطالب يقول: كل محاضر يهتم بالناقل. بعد كل شيء، إنها ليست مجرد قافية بارعة، كل شيء صحيح تقريبا - يمكن إضافة شريحة موجهة هناك أيضا. لكن لا تتعجل في الابتهاج، فالطلاب أنفسهم هم الذين غالبًا ما يعانون =)

لذا، ناقل حر- هذا كثير شرائح موجهة متطابقة. التعريف المدرسي للمتجه، الوارد في بداية الفقرة: "الجزء الموجه يسمى المتجه..." يعني ضمنيًا محددقطعة موجهة مأخوذة من مجموعة معينة، مرتبطة بنقطة معينة في المستوى أو الفضاء.

تجدر الإشارة إلى أنه من وجهة نظر الفيزياء، فإن مفهوم المتجه الحر غير صحيح بشكل عام، ووجهة التطبيق مهمة. في الواقع، فإن الضربة المباشرة بنفس القوة على الأنف أو الجبهة، بما يكفي لتطوير مثالي الغبي، تستلزم عواقب مختلفة. لكن، غير حرتم العثور على المتجهات أيضًا في سياق vyshmat (لا تذهب إلى هناك :)).

الإجراءات مع المتجهات. العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات

تغطي دورة الهندسة المدرسية عددًا من الإجراءات والقواعد ذات المتجهات: الجمع وفقًا لقاعدة المثلث، والجمع وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع، وقاعدة فرق المتجهات، وضرب المتجه في عدد، والمنتج القياسي للمتجهات، وما إلى ذلك.كنقطة بداية، دعونا نكرر قاعدتين لهما أهمية خاصة في حل مشاكل الهندسة التحليلية.

قاعدة إضافة المتجهات باستخدام قاعدة المثلث

النظر في اثنين من المتجهات التعسفية غير الصفرية و:

تحتاج إلى العثور على مجموع هذه المتجهات. ونظرًا لحقيقة أن جميع المتجهات تعتبر مجانية، فقد وضعنا جانبًا المتجه من نهايةناقلات:

مجموع المتجهات هو المتجه. من أجل فهم أفضل للقاعدة، من المستحسن وضع معنى مادي لها: دع بعض الجسم يسافر على طول المتجه، ثم على طول المتجه. ثم مجموع المتجهات هو متجه المسار الناتج الذي يبدأ عند نقطة المغادرة وينتهي عند نقطة الوصول. يتم صياغة قاعدة مماثلة لمجموع أي عدد من المتجهات. كما يقولون، يمكن للجسم أن يسير في طريقه منحنيًا للغاية على طول خط متعرج، أو ربما على الطيار الآلي - على طول المتجه الناتج للمجموع.

بالمناسبة، إذا تم تأجيل الناقل من بدأالمتجه، ثم نحصل على ما يعادلها قاعدة متوازي الأضلاعإضافة ناقلات.

أولاً، حول العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات. يتم استدعاء المتجهين على استطرادإذا كانا يقعان على نفس الخط أو على خطين متوازيين. بشكل تقريبي، نحن نتحدث عن ناقلات متوازية. ولكن فيما يتعلق بهم، يتم استخدام صفة "على خط واحد" دائما.

تخيل متجهين على خط واحد. إذا تم توجيه أسهم هذه المتجهات في نفس الاتجاه، فسيتم استدعاء هذه المتجهات شارك في الإخراج. إذا كانت الأسهم تشير إلى اتجاهات مختلفة، فستكون المتجهات كذلك اتجاهات متعاكسة.

التسميات:تتم كتابة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات برمز التوازي المعتاد: ، في حين أن التفصيل ممكن: (المتجهات موجهة بشكل مشترك) أو (المتجهات موجهة بشكل معاكس).

العملالمتجه غير الصفري على الرقم هو متجه طوله يساوي، والمتجهات و موجهة بشكل مشترك وموجهة بشكل معاكس إلى .

من السهل فهم قاعدة ضرب المتجه برقم بمساعدة الصورة:

دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل:

1) الاتجاه. إذا كان المضاعف سالبًا، فالمتجه يغير الاتجاهإلى العكس.

2) الطول. إذا كان المضاعف موجودًا داخل أو، فإن طول المتجه يتناقص. وبالتالي، فإن طول المتجه يساوي نصف طول المتجه. إذا كان معامل المضاعف أكبر من واحد، يكون طول المتجه يزيدفي بعض الأحيان.

3) يرجى ملاحظة ذلك جميع المتجهات على خط واحد، في حين يتم التعبير عن ناقل واحد من خلال آخر، على سبيل المثال، . والعكس صحيح أيضاً: إذا كان من الممكن التعبير عن متجه من خلال آخر، فإن هذه المتجهات تكون بالضرورة على خط واحد. هكذا: إذا ضربنا متجهًا بعدد، نحصل على خط مستقيم(نسبة إلى الأصل) ناقلات.

4) يتم توجيه المتجهات بشكل مشترك. المتجهات ويتم توجيهها أيضًا بشكل مشترك. أي متجه من المجموعة الأولى يتم توجيهه بشكل معاكس بالنسبة لأي متجه من المجموعة الثانية.

ما هي المتجهات المتساوية؟

يكون المتجهان متساويين إذا كانا في نفس الاتجاه ولهما نفس الطول. لاحظ أن الاتجاه المشترك يعني وجود علاقة خطية متداخلة بين المتجهات. سيكون التعريف غير دقيق (زائد عن الحاجة) إذا قلنا: "المتجهان متساويان إذا كانا على خط مستقيم ومشتركي الاتجاه ولهما نفس الطول".

من وجهة نظر مفهوم المتجه الحر، فإن المتجهات المتساوية هي نفس المتجه، كما تمت مناقشته في الفقرة السابقة.

إحداثيات المتجهات على المستوى وفي الفضاء

النقطة الأولى هي النظر في المتجهات على المستوى. دعونا نصور نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل ونرسمه من أصل الإحداثيات أعزبناقلات و:

المتجهات و متعامد. متعامد = عمودي. أوصي بأن تعتاد على المصطلحات ببطء: فبدلاً من التوازي والعمودي، نستخدم الكلمات على التوالي العلاقة الخطية المتداخلةو التعامد.

تعيين:تتم كتابة تعامد المتجهات برمز التعامد المعتاد، على سبيل المثال: .

تسمى المتجهات قيد النظر تنسيق المتجهاتأو orts. تتشكل هذه المتجهات أساسعلى متن طائرة. أعتقد أن الأساس واضح بالنسبة للكثيرين؛ ويمكن العثور على معلومات أكثر تفصيلاً في المقالة الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهاتبكلمات بسيطة، يحدد أساس وأصل الإحداثيات النظام بأكمله - وهذا هو نوع من الأساس الذي تتلخص فيه حياة هندسية كاملة وغنية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الأساس المبني متعامدأساس المستوى: "أورثو" - نظرًا لأن المتجهات الإحداثية متعامدة، فإن الصفة "المُطبيعة" تعني الوحدة، أي. أطوال المتجهات الأساسية تساوي واحدًا.

تعيين:عادة ما يتم كتابة الأساس بين قوسين، بداخله في تسلسل صارميتم سرد المتجهات الأساسية، على سبيل المثال: . المتجهات الإحداثية إنه ممنوعإعادة ترتيب.

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةأعرب على النحو التالي:
، أين - أرقامالتي تسمى إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس. والتعبير نفسه مُسَمًّى تحلل ناقلاتعلى أساس .

العشاء المقدم:

لنبدأ بالحرف الأول من الأبجدية: . يوضح الرسم بوضوح أنه عند تحليل المتجه إلى أساس، يتم استخدام ما تمت مناقشته للتو:
1) قاعدة ضرب المتجه برقم: و ;
2) جمع المتجهات حسب قاعدة المثلث : .

الآن قم برسم المتجه ذهنيًا من أي نقطة أخرى على المستوى. ومن الواضح تمامًا أن اضمحلاله سوف «يتبعه بلا هوادة». ها هي حرية المتجه - المتجه "يحمل كل شيء معه". هذه الخاصية، بالطبع، تنطبق على أي متجه. من المضحك أنه ليس من الضروري رسم المتجهات الأساسية (الحرة) نفسها من الأصل؛ يمكن رسم أحدهما، على سبيل المثال، في أسفل اليسار، والآخر في أعلى اليمين، ولن يتغير شيء! صحيح أنك لست بحاجة إلى القيام بذلك، لأن المعلم سيُظهر أيضًا الأصالة وسيرسم لك "رصيدًا" في مكان غير متوقع.

توضح المتجهات تمامًا قاعدة ضرب المتجه بعدد، حيث يتم توجيه المتجه بشكل مشترك مع المتجه الأساسي، ويتم توجيه المتجه عكسًا للمتجه الأساسي. بالنسبة لهذه المتجهات، أحد الإحداثيات يساوي صفرًا، ويمكنك كتابته بدقة على النحو التالي:


والمتجهات الأساسية بالمناسبة هي هكذا: (في الحقيقة يتم التعبير عنها من خلال نفسها).

وأخيرًا: , . بالمناسبة، ما هو الطرح المتجه، ولماذا لم أتحدث عن قاعدة الطرح؟ في مكان ما في الجبر الخطي، لا أتذكر أين، لاحظت أن الطرح هو حالة خاصة من الجمع. وبالتالي، يمكن كتابة توسعات المتجهات "de" و"e" بسهولة كمجموع: . اتبع الرسم لترى مدى وضوح عملية الجمع القديمة الجيدة للمتجهات وفقًا لقاعدة المثلث في هذه المواقف.

التحلل المدروس للنموذج يُطلق عليه أحيانًا تحلل النواقل في نظام أورت(أي في نظام ناقلات الوحدة). لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة المتجه؛ فالخيار التالي شائع:

أو بعلامة المساواة:

تتم كتابة المتجهات الأساسية نفسها على النحو التالي: و

أي أن إحداثيات المتجه موضحة بين قوسين. في المسائل العملية، يتم استخدام جميع خيارات التدوين الثلاثة.

لقد شككت في التحدث، لكنني سأقول ذلك على أي حال: لا يمكن إعادة ترتيب إحداثيات المتجهات. بدقة في المركز الأولنكتب الإحداثيات التي تتوافق مع متجه الوحدة، بدقة في المركز الثانينكتب الإحداثيات التي تتوافق مع متجه الوحدة. في الواقع، وهما ناقلان مختلفان.

لقد اكتشفنا الإحداثيات على الطائرة. الآن دعونا نلقي نظرة على المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، كل شيء تقريبًا هو نفسه هنا! سيضيف فقط إحداثيًا آخر. من الصعب عمل رسومات ثلاثية الأبعاد، لذا سأقتصر على متجه واحد، والذي من أجل البساطة سأضعه جانبًا عن الأصل:

أيناقلات الفضاء 3D الطريقة الوحيدةالتوسع على أساس متعامد:
أين إحداثيات المتجه (الرقم) على هذا الأساس.

مثال من الصورة: . دعونا نرى كيف تعمل قواعد المتجهات هنا. أولاً، اضرب المتجه بالرقم: (السهم الأحمر)، (السهم الأخضر)، (السهم التوتي). ثانيًا، إليك مثال على إضافة عدة نواقل، في هذه الحالة ثلاثة: . يبدأ مجموع المتجه عند نقطة الانطلاق الأولية (بداية المتجه) وينتهي عند نقطة الوصول النهائية (نهاية المتجه).

جميع نواقل الفضاء ثلاثي الأبعاد، بطبيعة الحال، هي أيضًا مجانية، حاول أن تضع المتجه جانبًا من أي نقطة أخرى، وسوف تفهم أن تحلله "سيبقى معه".

تشبه الحالة المسطحة، بالإضافة إلى الكتابة تُستخدم الإصدارات ذات الأقواس على نطاق واسع: إما .

إذا كان هناك واحد (أو اثنين) من متجهات الإحداثيات مفقودة في التوسع، فسيتم وضع الأصفار في مكانها. أمثلة:
ناقلات (بدقة ) – دعونا نكتب ;
المتجه (بدقة) - اكتب؛
ناقلات (بدقة ) - فلنكتب .

تتم كتابة المتجهات الأساسية على النحو التالي:

ربما يكون هذا هو الحد الأدنى من المعرفة النظرية اللازمة لحل مشاكل الهندسة التحليلية. قد يكون هناك الكثير من المصطلحات والتعريفات، لذا أنصح أباريق الشاي بإعادة قراءة هذه المعلومات وفهمها مرة أخرى. وسيكون من المفيد لأي قارئ الرجوع إلى الدرس الأساسي من وقت لآخر لاستيعاب المادة بشكل أفضل. العلاقة الخطية المتداخلة، والتعامد، والأساس المتعامد، وتحلل المتجهات - غالبًا ما سيتم استخدام هذه المفاهيم وغيرها في المستقبل. أود أن أشير إلى أن مواد الموقع ليست كافية لاجتياز اختبار نظري أو ندوة في الهندسة، لأنني قمت بتشفير جميع النظريات بعناية (وبدون أدلة) - على حساب الأسلوب العلمي للعرض، ولكن ميزة إضافية لك فهم الموضوع. للحصول على معلومات نظرية مفصلة، ​​يرجى الانحناء للبروفيسور أتاناسيان.

وننتقل إلى الجزء العملي:

أبسط مسائل الهندسة التحليلية.
الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات

يُنصح بشدة بمعرفة كيفية حل المهام التي سيتم النظر فيها تلقائيًا بالكامل، والصيغ حفظ، ليس عليك حتى أن تتذكرها عن قصد، فسوف يتذكرونها بأنفسهم =) هذا مهم جدًا، نظرًا لأن المشكلات الأخرى في الهندسة التحليلية تعتمد على أبسط الأمثلة الأولية، وسيكون من المزعج قضاء وقت إضافي في تناول البيادق . ليست هناك حاجة لربط الأزرار العلوية لقميصك؛ فهناك أشياء كثيرة مألوفة لك منذ المدرسة.

سيتبع عرض المادة مسارًا موازيًا - سواء بالنسبة للمستوى أو للفضاء. لسبب أن كل الصيغ...سترى بنفسك.

كيفية العثور على ناقل من نقطتين؟

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى، فإن المتجه يكون له الإحداثيات التالية:

إذا كانت هناك نقطتان في الفضاء، فإن المتجه يكون له الإحداثيات التالية:

إنه، من إحداثيات نهاية المتجهتحتاج إلى طرح الإحداثيات المقابلة بداية المتجه.

يمارس:بالنسبة لنفس النقاط، اكتب الصيغ الخاصة بإيجاد إحداثيات المتجه. الصيغ في نهاية الدرس.

مثال 1

نظرا لنقطتين من الطائرة و . البحث عن إحداثيات المتجهات

حل:وفقا للصيغة المقابلة:

وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام الإدخال التالي:

سوف يقرر الجماليات هذا:

أنا شخصياً اعتدت على الإصدار الأول من التسجيل.

إجابة:

وفقًا للشرط، لم يكن من الضروري إنشاء رسم (وهو أمر نموذجي لمشاكل الهندسة التحليلية)، ولكن من أجل توضيح بعض النقاط للدمى، لن أكون كسولًا:

أنت بالتأكيد بحاجة إلى أن تفهم الفرق بين إحداثيات النقطة وإحداثيات المتجهات:

إحداثيات النقطة– هذه إحداثيات عادية في نظام إحداثيات مستطيل. أعتقد أن الجميع يعرف كيفية رسم النقاط على المستوى الإحداثي من الصف الخامس إلى السادس. كل نقطة لها مكان محدد على المستوى، ولا يمكن نقلها إلى أي مكان.

إحداثيات المتجه– وهذا هو توسعه على حسب الأساس في هذه الحالة. أي متجه هو حر، لذلك إذا رغبت في ذلك أو لزم الأمر، يمكننا بسهولة نقله بعيدًا عن نقطة أخرى على المستوى. ومن المثير للاهتمام أنه بالنسبة للمتجهات، لا يتعين عليك بناء محاور أو نظام إحداثيات مستطيل على الإطلاق؛ بل تحتاج فقط إلى أساس، وهو في هذه الحالة أساس متعامد للمستوى.

يبدو أن سجلات إحداثيات النقاط وإحداثيات المتجهات متشابهة: و معنى الإحداثياتقطعاً مختلف، ويجب أن تعي هذا الفرق جيدًا. وهذا الاختلاف، بالطبع، ينطبق أيضًا على الفضاء.

أيها السيدات والسادة، دعونا نملأ أيدينا:

مثال 2

أ) النقاط وتعطى. البحث عن المتجهات و .
ب) يتم إعطاء النقاط و . البحث عن المتجهات و .
ج) النقاط وتعطى. البحث عن المتجهات و .
د) يتم إعطاء النقاط. البحث عن المتجهات .

ربما هذا يكفي. هذه أمثلة عليك أن تقررها بنفسك، حاول ألا تهملها، فهذا سيؤتي ثماره؛-). ليست هناك حاجة لعمل الرسومات. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ما هو المهم عند حل مشاكل الهندسة التحليلية؟من المهم أن تكون حذرًا للغاية لتجنب الوقوع في الخطأ البارع "اثنان زائد اثنان يساوي صفرًا". أعتذر على الفور إذا ارتكبت خطأ في مكان ما =)

كيفية العثور على طول الجزء؟

الطول، كما ذكرنا سابقًا، يُشار إليه بعلامة المعامل.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى و، فيمكن حساب طول المقطع باستخدام الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء، فيمكن حساب طول المقطع باستخدام الصيغة

ملحوظة: ستظل الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: و، لكن الخيار الأول أكثر معيارية

مثال 3

حل:وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

من أجل الوضوح، سأقوم بالرسم

شريحة - هذا ليس ناقلوبالطبع لا يمكنك نقله إلى أي مكان. بالإضافة إلى ذلك، إذا قمت بالرسم على نطاق واسع: 1 وحدة. = 1 سم (خليتان دفتريتان)، ثم يمكن التحقق من الإجابة الناتجة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول القطعة مباشرة.

نعم الحل قصير، لكن هناك نقطتين مهمتين فيه أود توضيحهما:

أولاً، نضع في الجواب البعد: "الوحدات". الشرط لا يذكر ما هو، ملليمتر، سنتيمتر، متر أو كيلومتر. لذلك، فإن الحل الصحيح رياضيًا هو الصيغة العامة: "الوحدات" - والمختصرة بـ "الوحدات".

ثانيًا، دعونا نكرر المواد المدرسية، وهي مفيدة ليس فقط للمهمة قيد النظر:

يرجى الملاحظة تقنية مهمة – إزالة المضاعف من تحت الجذر. نتيجة للحسابات، حصلنا على نتيجة وأسلوب رياضي جيد يتضمن إزالة العامل من تحت الجذر (إن أمكن). بمزيد من التفصيل، تبدو العملية كما يلي: . وبطبيعة الحال، فإن ترك الإجابة كما هي لن يكون خطأ - ولكنه سيكون بالتأكيد قصورًا وحجة قوية للمراوغة من جانب المعلم.

فيما يلي حالات شائعة أخرى:

في كثير من الأحيان، ينتج الجذر عددًا كبيرًا إلى حد ما، على سبيل المثال . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ باستخدام الآلة الحاسبة، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4: . نعم تم تقسيمها بالكامل كالتالي: . أو ربما يمكن تقسيم الرقم على 4 مرة أخرى؟ . هكذا: . الرقم الأخير من الرقم فردي، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة لن تنجح. دعونا نحاول القسمة على تسعة: . نتيجة ل:
مستعد.

خاتمة:إذا حصلنا تحت الجذر على رقم لا يمكن استخراجه ككل، فإننا نحاول إزالة العامل من تحت الجذر - باستخدام الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4، 9، 16، 25، 36، 49، الخ.

عند حل المشكلات المختلفة، غالبًا ما تتم مواجهة الجذور؛ حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب الحصول على درجة أقل والمشاكل غير الضرورية في إنهاء الحلول بناءً على تعليقات المعلم.

لنكرر أيضًا الجذور التربيعية والقوى الأخرى:

يمكن العثور على قواعد التعامل مع القوى بشكل عام في كتاب الجبر المدرسي، لكنني أعتقد أنه من خلال الأمثلة المقدمة، كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل.

مهمة الحل المستقل مع قطعة في الفضاء:

مثال 4

النقاط وتعطى. أوجد طول القطعة.

الحل والجواب في نهاية الدرس .

كيفية العثور على طول المتجه؟

إذا تم إعطاء متجه مستوي، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة.

إذا تم إعطاء متجه الفضاء، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة .