كيف تبدو الكسور المناسبة؟ الكسور المتساوية وغير المتساوية، مقارنة الكسور

إننا نواجه الكسور في الحياة قبل وقت طويل من بدء دراستها في المدرسة. إذا قطعنا تفاحة كاملة إلى نصفين، نحصل على نصف الفاكهة. لنقطعها مرة أخرى - ستكون ¼. هذه كسور. وبدا كل شيء بسيطًا. لشخص بالغ. بالنسبة للطفل (وتبدأ دراسة هذا الموضوع في نهاية المرحلة الابتدائية)، لا تزال المفاهيم الرياضية المجردة غير مفهومة بشكل مخيف، ويجب على المعلم أن يشرح بوضوح ما هو الكسر الصحيح وغير الصحيح، الشائع والعشري، وما هي العمليات التي يمكن إجراؤها معهم، والأهم من ذلك، لماذا هناك حاجة إلى كل هذا.

ما هي أنواع الكسور الموجودة؟

يبدأ تقديم موضوع جديد في المدرسة بالكسور العادية. يمكن التعرف عليهم بسهولة من خلال الخط الأفقي الذي يفصل بين الرقمين - أعلى وأسفل. الجزء العلوي يسمى البسط، والجزء السفلي هو المقام. هناك أيضًا خيار صغير لكتابة الكسور العادية الصحيحة وغير الصحيحة - من خلال شرطة مائلة، على سبيل المثال: ½، 4/9، 384/183. يُستخدم هذا الخيار عندما يكون ارتفاع الخط محدودًا ولا يمكن استخدام نموذج إدخال "مكون من طابقين". لماذا؟ نعم، لأنه أكثر ملاءمة. سنرى هذا بعد قليل.

بالإضافة إلى الكسور العادية، هناك أيضًا كسور عشرية. من السهل جدًا التمييز بينهما: إذا تم استخدام خط أفقي أو شرطة مائلة في إحدى الحالات، يتم استخدام فاصلة في الحالة الأخرى لفصل تسلسل الأرقام. دعونا نلقي نظرة على مثال: 2.9؛ 163.34؛ 1.953. لقد استخدمنا عمدًا الفاصلة المنقوطة كفاصل لتحديد الأرقام. سيكون نص أولها هكذا: "اثنان نقطة تسعة".

مفاهيم جديدة

دعنا نعود إلى الكسور العادية. يأتون في نوعين.

وتعريف الكسر الصحيح هو كما يلي: هو الكسر الذي بسطه أقل من مقامه. لماذا هو مهم؟ سنرى الآن!

لديك عدة تفاحات، مقطعة إلى النصف. المجموع - 5 أجزاء. كيف تقول: هل لديك تفاحتان ونصف أم خمس تفاحات ونصف؟ وبطبيعة الحال، يبدو الخيار الأول أكثر طبيعية، وسوف نستخدمه عند التحدث مع الأصدقاء. لكن إذا أردنا حساب عدد الفاكهة التي سيحصل عليها كل شخص، فإذا كان هناك خمسة أشخاص في الشركة، فسنكتب الرقم 5/2 ونقسمه على 5 - من وجهة نظر رياضية، سيكون هذا أكثر وضوحًا .

لذلك، لتسمية الكسور الصحيحة وغير الصحيحة، فإن القاعدة هي: إذا كان من الممكن تمييز جزء كامل في كسر (14/5، 2/1، 173/16، 3/3)، فهو غير منتظم. فإن لم يمكن ذلك، كما في ½، 13/16، 9/10، فهو صحيح.

الخاصية الرئيسية للكسر

إذا تم ضرب أو قسمة بسط ومقام كسر على نفس الرقم في نفس الوقت، فإن قيمته لا تتغير. تخيل: لقد قطعوا الكعكة إلى 4 أجزاء متساوية وأعطوك واحدة. لقد قطعوا نفس الكعكة إلى ثماني قطع وأعطوك قطعتين. هل هو مهم حقا؟ بعد كل شيء، ¼ و 2/8 هما نفس الشيء!

تخفيض

غالبًا ما يسعى مؤلفو المشكلات والأمثلة في كتب الرياضيات المدرسية إلى إرباك الطلاب من خلال تقديم كسور مرهقة في الكتابة ولكن يمكن اختصارها بالفعل. فيما يلي مثال على الكسر الصحيح: 167/334، والذي يبدو أنه يبدو "مخيفًا" للغاية. لكن يمكننا في الواقع كتابته بالصورة ½. الرقم 334 قابل للقسمة على 167 بدون باقي - وبعد إجراء هذه العملية نحصل على 2.

أرقام مختلطة

يمكن تمثيل الكسر غير الصحيح كرقم مختلط. وذلك عندما يتم تقديم الجزء بأكمله وكتابته على مستوى الخط الأفقي. في الواقع، التعبير يأخذ شكل مجموع: 11/2 = 5 + ½؛ 13/6 = 2 + 1/6 وهكذا.

لإخراج الجزء بأكمله، عليك قسمة البسط على المقام. اكتب باقي القسمة في الأعلى وفوق السطر والجزء بأكمله قبل التعبير. وهكذا نحصل على جزأين هيكليين: الوحدات الكاملة + الكسر المناسب.

يمكنك أيضًا تنفيذ العملية العكسية - للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح بالمقام وإضافة القيمة الناتجة إلى البسط. لا شيء معقد.

الضرب والقسمة

ومن الغريب أن ضرب الكسور أسهل من الجمع. كل ما هو مطلوب هو تمديد الخط الأفقي: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

مع القسمة، كل شيء بسيط أيضًا: تحتاج إلى ضرب الكسور بالعرض: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

إضافة الكسور

ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى إجراء عملية جمع أو أن أرقام المقام مختلفة؟ لن يكون من الممكن فعل الشيء نفسه كما هو الحال مع الضرب - هنا يجب أن تفهم تعريف الكسر المناسب وجوهره. من الضروري إحضار المصطلحات إلى قاسم مشترك، أي أن الجزء السفلي من كلا الكسرين يجب أن يكون له نفس الأرقام.

للقيام بذلك، يجب عليك استخدام الخاصية الأساسية للكسر: ضرب كلا الجزأين بنفس الرقم. على سبيل المثال، 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

كيفية اختيار القاسم الذي سيتم تقليل الشروط إليه؟ يجب أن يكون هذا هو الحد الأدنى للرقم الذي يمثل مضاعفًا لكلا الرقمين في مقامات الكسور: بالنسبة إلى 1/3 و1/9 سيكون 9؛ لـ ½ و1/7 - 14، لأنه لا توجد قيمة أصغر تقبل القسمة على 2 و7 بدون باقي.

الاستخدام

ما هي الكسور غير الحقيقية المستخدمة ل؟ بعد كل شيء، هو أكثر ملاءمة لتحديد الجزء بأكمله على الفور، والحصول على رقم مختلط - والقيام بذلك! اتضح أنه إذا كنت بحاجة إلى ضرب أو قسمة كسورين، فمن المربح استخدام الكسور غير المنتظمة.

لنأخذ المثال التالي: (2 + 3/17) / (37 / 68).

يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن قطعه على الإطلاق. لكن ماذا لو كتبنا نتيجة الجمع بين القوسين الأولين في صورة كسر غير فعلي؟ انظر : (٣٧/١٧) / (٣٧/٦٨)

الآن كل شيء يقع في مكانه! لنكتب المثال بحيث يصبح كل شيء واضحًا: (37*68) / (17*37).

دعونا نلغي 37 من البسط والمقام، ثم نقسم أخيرًا البسط والأسفل على 17. هل تتذكر القاعدة الأساسية للكسور الصحيحة وغير الصحيحة؟ يمكننا ضربهم وقسمتهم على أي رقم طالما أننا نفعل ذلك للبسط والمقام في نفس الوقت.

وبذلك نحصل على الإجابة: 4. المثال يبدو معقدًا، لكن الإجابة تحتوي على رقم واحد فقط. يحدث هذا كثيرًا في الرياضيات. الشيء الرئيسي هو عدم الخوف واتباع قواعد بسيطة.

الأخطاء الشائعة

عند التنفيذ يمكن للطالب بسهولة أن يرتكب أحد الأخطاء الشائعة. عادة ما تحدث بسبب عدم الانتباه، وأحيانا بسبب حقيقة أن المواد المدروسة لم يتم تخزينها بشكل صحيح في الرأس.

غالبًا ما يجعلك مجموع الأرقام في البسط ترغب في تقليل مكوناته الفردية. لنفترض في المثال: (13 + 2) / 13، مكتوبة بدون قوسين (بخط أفقي)، العديد من الطلاب، بسبب قلة الخبرة، يشطبون 13 أعلاه وتحت. ولكن لا ينبغي أن يتم ذلك تحت أي ظرف من الظروف، لأن هذا خطأ فادح! إذا كانت هناك علامة الضرب بدلاً من الجمع، فسنحصل على الرقم 2 في الإجابة. ولكن عند إجراء عملية الجمع، لا يُسمح بأي عمليات باستخدام أحد المصطلحات، فقط مع المجموع بأكمله.

غالبًا ما يرتكب الرجال أخطاء عند تقسيم الكسور. لنأخذ كسرين صحيحين غير قابلين للاختزال ونقسمهما على بعضهما البعض: (5/6) / (25/33). ويمكن للطالب خلطها وكتابة التعبير الناتج بالشكل (5*25) / (6*33). لكن هذا سيحدث مع الضرب، لكن في حالتنا سيكون كل شيء مختلفًا بعض الشيء: (5*33) / (6*25). نقلل ما هو ممكن، وسيكون الجواب 11/10. نكتب الكسر غير الصحيح الناتج على شكل كسر عشري - 1.1.

اقواس

تذكر أنه في أي تعبير رياضي يتم تحديد ترتيب العمليات من خلال أسبقية علامات المشغل ووجود الأقواس. مع تساوي جميع الأشياء الأخرى، يتم حساب ترتيب الإجراءات من اليسار إلى اليمين. وهذا ينطبق أيضًا على الكسور - حيث يتم حساب التعبير في البسط أو المقام بدقة وفقًا لهذه القاعدة.

ففي النهاية، هذا هو نتيجة قسمة رقم على آخر. إذا لم يتم تقسيمها بالتساوي، يصبح كسرًا - هذا كل شيء.

كيفية كتابة الكسر على الكمبيوتر

نظرًا لأن الأدوات القياسية لا تسمح دائمًا بإنشاء جزء يتكون من "مستويين"، يلجأ الطلاب أحيانًا إلى حيل مختلفة. على سبيل المثال، يقومون بنسخ البسط والمقامات في محرر الرسومات الرسام ولصقهم معًا، ورسم خط أفقي بينهما. بالطبع، هناك خيار أبسط، والذي، بالمناسبة، يوفر الكثير من الميزات الإضافية التي ستكون مفيدة لك في المستقبل.

افتح مايكروسوفت وورد. إحدى اللوحات الموجودة أعلى الشاشة تسمى "إدراج" - انقر عليها. على اليمين، على الجانب الذي توجد به أيقونات إغلاق النافذة وتصغيرها، يوجد زر "الصيغة". هذا هو بالضبط ما نحتاج إليه!

إذا استخدمت هذه الوظيفة، ستظهر منطقة مستطيلة على الشاشة يمكنك من خلالها استخدام أي علامات رياضية غير موجودة على لوحة المفاتيح، بالإضافة إلى كتابة الكسور بالشكل الكلاسيكي. أي قسمة البسط والمقام بخط أفقي. قد تتفاجأ أيضًا من سهولة كتابة هذا الكسر المناسب.

تعلم الرياضيات

إذا كنت في الصفوف 5-6، فستكون المعرفة بالرياضيات (بما في ذلك القدرة على العمل مع الكسور!) مطلوبة قريبًا في العديد من المواد المدرسية. في أي مشكلة تقريبًا في الفيزياء، عند قياس كتلة المواد في الكيمياء والهندسة وعلم المثلثات، لا يمكنك الاستغناء عن الكسور. قريبا سوف تتعلم حساب كل شيء في رأسك، حتى دون كتابة التعبيرات على الورق، ولكن ستظهر المزيد والمزيد من الأمثلة المعقدة. لذا، تعلم ما هو الكسر الصحيح وكيفية التعامل معه، ومواكبة المنهج الدراسي الخاص بك، وقم بأداء واجباتك المنزلية في الوقت المحدد، وسوف تنجح.

كلمة "كسور" تصيب الكثير من الناس بالقشعريرة. لأنني أتذكر المدرسة والمهام التي تم حلها في الرياضيات. وكان هذا واجبا كان لا بد من الوفاء به. ماذا لو تعاملت مع المسائل التي تتضمن الكسور الصحيحة وغير الصحيحة مثل اللغز؟ بعد كل شيء، العديد من البالغين يحلون الكلمات المتقاطعة الرقمية واليابانية. لقد اكتشفنا القواعد، وهذا كل شيء. إنه نفس الشيء هنا. على المرء فقط أن يتعمق في النظرية - وكل شيء سوف يقع في مكانه. وستتحول الأمثلة إلى وسيلة لتدريب دماغك.

ما هي أنواع الكسور الموجودة؟

لنبدأ بما هو عليه. الكسر هو عدد يحتوي على جزء من الواحد. ويمكن كتابتها في شكلين. الأول يسمى عادي. أي الذي يحتوي على خط أفقي أو مائل. وهو ما يعادل علامة القسمة.

في مثل هذا التدوين، يسمى الرقم الموجود فوق السطر البسط، والرقم الموجود أسفله يسمى المقام.

من بين الكسور العادية، يتم التمييز بين الكسور الصحيحة وغير الصحيحة. بالنسبة للأول، القيمة المطلقة للبسط تكون دائمًا أقل من المقام. يُطلق على الأشخاص الخطأ ذلك لأنهم يمتلكون كل شيء على العكس من ذلك. قيمة الكسر الصحيح تكون دائمًا أقل من واحد. بينما الرقم الخاطئ دائما أكبر من هذا الرقم.

هناك أيضًا أعداد كسرية، أي تلك التي تحتوي على عدد صحيح وجزء كسري.

النوع الثاني من التدوين هو الكسر العشري. هناك محادثة منفصلة عنها.

كيف تختلف الكسور غير الصحيحة عن الأعداد الكسرية؟

في جوهر الأمر، لا شيء. هذه مجرد تسجيلات مختلفة لنفس الرقم. تصبح الكسور غير الحقيقية أرقامًا مختلطة بسهولة بعد خطوات بسيطة. والعكس صحيح.

كل هذا يتوقف على الوضع المحدد. في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر استخدام جزء غير صحيح في المهام. وأحيانا يكون من الضروري تحويله إلى عدد كسري ومن ثم سيتم حل المثال بسهولة بالغة. لذلك، ما يجب استخدامه: الكسور غير الحقيقية، الأعداد الكسرية، يعتمد على مهارات الملاحظة لدى الشخص الذي يحل المشكلة.

تتم أيضًا مقارنة الرقم المختلط بمجموع الجزء الصحيح والجزء الكسري. علاوة على ذلك، فإن العدد الثاني يكون دائمًا أقل من واحد.

كيفية تمثيل رقم مختلط ككسر غير صحيح؟

إذا كنت بحاجة إلى تنفيذ أي إجراء مع العديد من الأرقام المكتوبة بأشكال مختلفة، فأنت بحاجة إلى جعلها هي نفسها. إحدى الطرق هي تمثيل الأرقام على أنها كسور غير حقيقية.

لهذا الغرض، سوف تحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

• اضرب المقام بالجزء كله؛
• إضافة قيمة البسط إلى النتيجة؛
• اكتب الإجابة فوق السطر؛
• اترك القاسم كما هو.

فيما يلي أمثلة لكيفية كتابة الكسور غير الحقيقية من الأعداد الكسرية:

• 17 ¼ = (17 × 4 + 1) : 4 = 69/4؛
• 39 ½ = (39 × 2 + 1) : 2 = 79/2.

كيفية كتابة كسر غير حقيقي كرقم مختلط؟

التقنية التالية هي عكس التقنية التي تمت مناقشتها أعلاه. أي عندما يتم استبدال جميع الأعداد الكسرية بكسور غير صحيحة. ستكون خوارزمية الإجراءات كما يلي:

• اقسم البسط على المقام للحصول على الباقي؛
• اكتب الناتج بدلاً من الجزء المختلط بأكمله؛
• وينبغي وضع الباقي فوق الخط؛
• المقسوم عليه سيكون المقام.

أمثلة على هذا التحول:

76/14؛ 76:14 = 5 والباقي 6؛ الجواب سيكون 5 كامل و 6/14؛ يجب تقليل الجزء الكسري في هذا المثال بمقدار 2، مما يؤدي إلى 3/7؛ الجواب النهائي هو 5 نقاط 3/7.

108/54؛ بعد القسمة، يتم الحصول على حاصل القسمة 2 بدون باقي؛ وهذا يعني أنه لا يمكن تمثيل جميع الكسور غير الحقيقية كعدد مختلط؛ الجواب سيكون عددا صحيحا - 2.

كيفية تحويل العدد الصحيح إلى كسر غير حقيقي؟

هناك حالات عندما يكون مثل هذا الإجراء ضروريا. للحصول على كسور غير حقيقية ذات مقام معروف، ستحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

• ضرب عدد صحيح بالمقام المطلوب؛
• اكتب هذه القيمة فوق السطر؛
• ضع المقام تحته.

أبسط خيار هو عندما يكون المقام يساوي واحدًا. ثم لا تحتاج إلى مضاعفة أي شيء. يكفي أن تكتب ببساطة العدد الصحيح الموضح في المثال، وتضع واحدًا تحت السطر.

مثال: اجعل 5 كسرًا غير حقيقي مقامه 3. ضرب 5 في 3 يعطي 15. سيكون هذا الرقم هو المقام. إجابة المهمة هي كسر: 15/3.

طريقتان لحل المسائل ذات الأعداد المختلفة

يتطلب المثال حساب المجموع والفرق، بالإضافة إلى حاصل ضرب وحاصل رقمين: عددان صحيحان 3/5 و14/11.

في النهج الأولسيتم تمثيل العدد المختلط ككسر غير حقيقي.

بعد تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه، ستحصل على القيمة التالية: 13/5.

من أجل معرفة المبلغ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى نفس المقام. 13/5 بعد الضرب في 11 يصبح 143/55. و14/11 بعد الضرب في 5 سيبدو كما يلي: 70/55. لحساب المجموع، ما عليك سوى إضافة البسطين: 143 و70، ثم كتابة الإجابة بمقام واحد. 213/55 - هذا الكسر غير الحقيقي هو جواب المسألة.

عند إيجاد الفرق يتم طرح نفس الأرقام: 143 - 70 = 73. ستكون الإجابة كسرًا: 73/55.

عند ضرب 13/5 و14/11، لا تحتاج إلى اختزالهما إلى قاسم مشترك. يكفي ضرب البسط والمقامات في أزواج. الجواب: 182/55.

الشيء نفسه ينطبق على القسمة. لحل المشكلة بشكل صحيح، عليك استبدال القسمة بالضرب وعكس المقسوم عليه: 13/5: 14/11 = 13/5 × 11/14 = 143/70.

في النهج الثانييصبح الكسر غير الصحيح عددًا مختلطًا.

بعد تنفيذ إجراءات الخوارزمية، سيتحول 14/11 إلى رقم مختلط بجزء صحيح من 1 وجزء كسري من 3/11.

عند حساب المبلغ، تحتاج إلى إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل. 2 + 1 = 3، 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. الجواب النهائي هو 3 نقاط 48/55. في النهج الأول كان الكسر 213/55. يمكنك التحقق من صحته عن طريق تحويله إلى رقم مختلط. بعد قسمة 213 على 55، يكون الناتج 3 والباقي 48. ومن السهل أن نرى أن الإجابة صحيحة.

عند الطرح، يتم استبدال علامة "+" بعلامة "-". 2 - 1 = 1، 33/55 - 15/55 = 18/55. للتحقق من ذلك، يجب تحويل الإجابة من الطريقة السابقة إلى رقم كسري: 73 مقسومًا على 55 والحاصل هو 1 والباقي هو 18.

للعثور على المنتج والحاصل، فمن غير المناسب استخدام أرقام مختلطة. يوصى دائمًا بالانتقال إلى الكسور غير الحقيقية هنا.

يتم تقسيم الكسور الشائعة إلى كسر \textit (صحيح) و\textit (غير صحيح). يعتمد هذا التقسيم على مقارنة البسط والمقام.

الكسور المناسبة

جزء الصحيحيسمى الكسر العادي $\frac(m)(n)$، حيث يكون البسط أقل من المقام، أي. مليون دولار

مثال 1

على سبيل المثال، الكسور $\frac(1)(3)$، $\frac(9)(123)$، $\frac(77)(78)$، $\frac(378567)(456298)$ صحيحة فكيف يكون البسط في كل منها أقل من المقام، مما ينطبق عليه تعريف الكسر المناسب.

هناك تعريف للكسر الصحيح، وهو يقوم على مقارنة الكسر بالواحد.

صحيح، إذا كان أقل من واحد:

مثال 2

على سبيل المثال، الكسر المشترك $\frac(6)(13)$ صحيح لأنه استيفاء الشرط $\frac(6)(13).

الكسور غير المناسبة

جزء غير لائقيسمى الكسر العادي $\frac(m)(n)$، حيث يكون البسط أكبر من أو يساوي المقام، أي. $م\جي ن$.

مثال 3

على سبيل المثال، الكسور $\frac(5)(5)$، $\frac(24)(3)$، $\frac(567)(113)$، $\frac(100001)(100000)$ غير منتظمة فكيف يكون البسط في كل منها أكبر من المقام أو يساويه، وهو ما ينطبق عليه تعريف الكسر غير الحقيقي.

دعونا نعطي تعريفًا للكسر غير الفعلي، وذلك بناءً على مقارنته بواحد.

الكسر المشترك $\frac(m)(n)$ هو خطأإذا كان يساوي أو أكبر من واحد:

\[\frac(م)(n)\ge 1\]

مثال 4

على سبيل المثال، الكسر المشترك $\frac(21)(4)$ غير صحيح لأن تم استيفاء الشرط $\frac(21)(4) >1$؛

الكسر المشترك $\frac(8)(8)$ غير صحيح لأن تم استيفاء الشرط $\frac(8)(8)=1$.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على مفهوم الكسر غير الحقيقي.

لنأخذ الكسر غير الفعلي $\frac(7)(7)$ كمثال. ومعنى هذا الكسر هو أخذ سبعة أسهم من شيء ما، فيقسم إلى سبعة أسهم متساوية. وبالتالي، من المشاركات السبعة المتوفرة، يمكن تكوين الكائن بأكمله. أولئك. يصف الكسر غير الحقيقي $\frac(7)(7)$ الكائن بأكمله و$\frac(7)(7)=1$. لذلك، فإن الكسور غير الصحيحة، التي يكون فيها البسط مساويًا للمقام، تصف كائنًا واحدًا كاملاً ويمكن استبدال هذا الكسر بالرقم الطبيعي $1$.

$\frac(5)(2)$ -- من الواضح تمامًا أنه من هذه الأجزاء الخمسة الثانية يمكنك تكوين كائنات كاملة بقيمة $2$ (سيتكون كائن كامل من أجزاء $2$، ولتكوين كائنين كاملين، عليك تحتاج إلى $2+2=4$ أسهم) وتبقى حصة ثانية واحدة. أي أن الكسر غير الحقيقي $\frac(5)(2)$ يصف $2$ للكائن و $\frac(1)(2)$ حصة هذا الكائن.

$\frac(21)(7)$ -- من جزء واحد وعشرين، يمكنك إنشاء كائنات كاملة بقيمة 3$ (كائنات بقيمة 3$ مع أسهم بقيمة 7$ في كل منها). أولئك. يصف الكسر $\frac(21)(7)$ كائنات كاملة بقيمة $3$.

من الأمثلة التي تم النظر فيها، يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي: يمكن استبدال الكسر غير الفعلي بعدد طبيعي إذا كان البسط قابلاً للقسمة على المقام (على سبيل المثال، $\frac(7)(7)=1$ و$\frac (21)(7)=3$) أو مجموع عدد طبيعي وكسر حقيقي، إذا لم يكن البسط قابلاً للقسمة تمامًا على المقام (على سبيل المثال، $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). ولهذا السبب تسمى هذه الكسور خطأ.

التعريف 1

تسمى عملية تمثيل الكسر غير الحقيقي كمجموع عدد طبيعي وكسر حقيقي (على سبيل المثال، $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) فصل الجزء كله عن الكسر غير الحقيقي.

عند التعامل مع الكسور غير الحقيقية، هناك علاقة وثيقة بينها وبين الأعداد الكسرية.

غالبًا ما تتم كتابة الكسر غير الفعلي كرقم مختلط - وهو رقم يتكون من عدد صحيح وجزء كسري.

لكتابة كسر غير حقيقي كرقم كسري، يجب عليك قسمة البسط على المقام مع الباقي. سيكون خارج القسمة هو الجزء الصحيح من العدد الكسري، والباقي سيكون بسط الجزء الكسري، والمقسوم عليه سيكون مقام الجزء الكسري.

مثال 5

اكتب الكسر غير الفعلي $\frac(37)(12)$ كعدد كسري.

حل.

قسمة البسط على المقام مع الباقي:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (الباقي\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

إجابة.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

لكتابة رقم مختلط ككسر غير حقيقي، تحتاج إلى ضرب المقام في الجزء الكامل من الرقم، وإضافة بسط الجزء الكسري إلى المنتج الناتج، وكتابة المبلغ الناتج في بسط الكسر. سيكون مقام الكسر غير الفعلي مساويًا لمقام الجزء الكسري من العدد المختلط.

مثال 6

اكتب العدد الكسري $5\frac(3)(7)$ في صورة كسر غير حقيقي.

حل.

إجابة.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

جمع الأعداد الكسرية والكسور المناسبة

إضافة رقم مختلط$أ\فارك(ب)(ج)$ والكسر المناسبيتم تنفيذ $\frac(d)(e)$ عن طريق إضافة الجزء الكسري من رقم مختلط معين إلى كسر معين:

مثال 7

أضف الكسر المناسب $\frac(4)(15)$ والرقم المختلط $3\frac(2)(5)$.

حل.

دعونا نستخدم الصيغة لإضافة رقم مختلط وكسر مناسب:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ اليسار(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\يمين)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

من خلال القسمة على الرقم \textit(5) يمكننا تحديد أن الكسر $\frac(10)(15)$ قابل للاختزال. لنقم بإجراء التخفيض ونجد نتيجة الإضافة:

وبالتالي، فإن نتيجة إضافة الكسر المناسب $\frac(4)(15)$ والرقم المختلط $3\frac(2)(5)$ هو $3\frac(2)(3)$.

إجابة:$3\فارك(2)(3)$

جمع الأعداد الكسرية والكسور غير الحقيقية

إضافة الكسور غير الحقيقية والأعداد الكسريةيتم اختزاله إلى إضافة رقمين مختلطين، وهو ما يكفي لعزل الجزء بأكمله من الكسر غير الحقيقي.

مثال 8

احسب مجموع العدد المختلط $6\frac(2)(15)$ والكسر غير الفعلي $\frac(13)(5)$.

حل.

أولاً، لنستخرج الجزء بالكامل من الكسر غير الفعلي $\frac(13)(5)$:

إجابة: 8 دولارات فارك(11)(15)$.

326. املأ الفراغات.

1) إذا كان بسط الكسر يساوي مقامه، فإن الكسر يساوي 1.
2) الكسر أ/ب (أ و ب عددان طبيعيان) يسمى صحيحًا إذا كان أ< b
3) الكسر a/b (a و b عددان طبيعيان) يسمى غير صحيح إذا كان a >b أو a =b.
4) 9/14 هو كسر حقيقي، حيث أن 9< 14.
5) 7/5 كسر غير حقيقي، لأن 7 > 5.
6) 16/16 كسر غير حقيقي، لأن 16=16.

327. اكتب من الكسور 1/20، 16/9، 7/2، 14/28،10/10، 5/32،11/2: 1) الكسور الصحيحة؛ 2) الكسور غير الصحيحة.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. ابتكر واكتب: 1) 5 كسور صحيحة؛ 2) الكسور غير الصحيحة.

1) ½، 1/3، ¼، 1/5، 1/6

2) 3/2، 4/2، 5/2 ش 6/2، 7/2

329. اكتب جميع الكسور الصحيحة ذات المقام 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. اكتب جميع الكسور غير الحقيقية ذات البسط 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. تم تقسيم شريحتين متطابقتين إلى 7 أجزاء متساوية. طلاء 4/7 من شريط واحد و 6/7 من الآخر.

قارن الكسور الناتجة: 4/7< 6/7.

قم بصياغة قاعدة لمقارنة الكسور ذات المقامات المتشابهة: من بين الكسرين ذوي المقامات المتشابهة، يكون البسط الأكبر أكبر.

332. تم تقسيم شريحتين متطابقتين إلى أجزاء. تم تقسيم شريط واحد إلى 7 أجزاء متساوية، والآخر إلى 5 أجزاء متساوية. قم بطلاء 3/7 من الشريط الأول و3/5 من الشريط الثاني.

قارن الكسور الناتجة: 3/7< /5.

قم بصياغة قاعدة لمقارنة الكسور التي لها نفس البسط: إذا كان الكسران لهما نفس البسطين، فإن الكسور ذات المقام الأصغر تكون أكبر.

333. املأ الفراغات.

1) جميع الكسور الصحيحة أقل من 1، والكسور غير الحقيقية أكبر من 1 أو تساوي 1.

2) كل كسر غير فعلي أكبر من كل كسر حقيقي، وكل كسر حقيقي أصغر من كل كسر غير حقيقي.

3) على الشعاع الإحداثي المكون من كسرين، يقع الكسر الأكبر على يمين الكسر الأصغر.

334. ضع دائرة حول العبارات الصحيحة.

335. قارن الأرقام.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. أي من الكسور 10/11، 16/4، 18/17، 24/24، 2005/207، 310/303، 39/40 أكبر من 1؟

الجواب: 16/4، 18/17، 310/303

337. رتب الكسور 5/29، 7/29، 4/29، 25/29، 17/29، 13/29.

الجواب: 29/29، 17/29، 13/29، 7/29، 5/29، 4/29.

338. ضع علامة على شعاع الإحداثيات على جميع الأرقام التي هي كسور ذات مقام 5، وتقع بين الرقمين 0 و 3. أي من الأرقام المحددة صحيحة وأيها غير صحيحة؟

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

الجواب: 1) الكسور الصحيحة: 1/5، 2/5، 3/5، 4/5.

2) الكسور غير الحقيقية: 5/5، 6/5، 7/5، 8/5، 9/5، 10/5، 11/5، 12/5، 13/5، 14/5.

339. أوجد جميع القيم الطبيعية لـ x التي يكون الكسر x/8 صحيحاً فيها.

الجواب: 1،2،3،4،5،6،7

340. ابحث عن التعبيرات الطبيعية لـ x التي يكون فيها الكسر 11/x غير صحيح.

الجواب: 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،11

341. 1) اكتب الأرقام في الخلايا الفارغة بحيث يتم تكوين الكسر المناسب.

2) اكتب الأرقام في الخلايا الفارغة لتكوين كسر غير فعلي.

342. قم ببناء وتسمية مقطع طوله: 1) 9/8 من طول المقطع AB؛ 2) 10/8 من طول الجزء AB؛ 3) 7/4 من طول الجزء AB؛ 4) طول القطعة AB.

قرأت ساشا 42:6*7= 49 صفحة

الجواب: 49 صفحة

344. أوجد جميع القيم الطبيعية لـ x التي ينطبق عليها عدم المساواة:

1) س/15<7/15;

2)10/س>10/9.

الجواب: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. باستخدام الأرقام 1،4،5،7 وخط الكسر، اكتب جميع الكسور الصحيحة الممكنة.

الإجابة: ¼، 1/5.1/7.4/5.4/7.5/7.

346. أوجد جميع القيم الطبيعية لـ m التي تكون 4m+5/17 صحيحة فيها.

4 م+5<17; 4m<12; m<3.

الجواب: م = 1؛ 2.

347. ابحث عن جميع القيم الطبيعية لـ التي سيكون فيها الكسر 10/a غير مناسب والكسر 7/a صحيحًا.

أ 10 و أ> 7، أي 7

الجواب: أ = 8،9،10

348. الأعداد الطبيعية أ، ب، ج، د بحيث أ

كلمة "كسور" تصيب الكثير من الناس بالقشعريرة. لأنني أتذكر المدرسة والمهام التي تم حلها في الرياضيات. وكان هذا واجبا كان لا بد من الوفاء به. ماذا لو تعاملت مع المسائل التي تتضمن الكسور الصحيحة وغير الصحيحة مثل اللغز؟ بعد كل شيء، العديد من البالغين يحلون الكلمات المتقاطعة الرقمية واليابانية. لقد اكتشفنا القواعد، وهذا كل شيء. إنه نفس الشيء هنا. على المرء فقط أن يتعمق في النظرية - وكل شيء سوف يقع في مكانه. وستتحول الأمثلة إلى وسيلة لتدريب دماغك.

ما هي أنواع الكسور الموجودة؟

لنبدأ بما هو عليه. الكسر هو عدد يحتوي على جزء من الواحد. ويمكن كتابتها في شكلين. الأول يسمى عادي. أي الذي يحتوي على خط أفقي أو مائل. وهو ما يعادل علامة القسمة.

في مثل هذا التدوين، يسمى الرقم الموجود فوق السطر البسط، والرقم الموجود أسفله يسمى المقام.

من بين الكسور العادية، يتم التمييز بين الكسور الصحيحة وغير الصحيحة. بالنسبة للأول، القيمة المطلقة للبسط تكون دائمًا أقل من المقام. يُطلق على الأشخاص الخطأ ذلك لأنهم يمتلكون كل شيء على العكس من ذلك. قيمة الكسر الصحيح تكون دائمًا أقل من واحد. بينما الرقم الخاطئ دائما أكبر من هذا الرقم.

هناك أيضًا أعداد كسرية، أي تلك التي تحتوي على عدد صحيح وجزء كسري.

النوع الثاني من التدوين هو الكسر العشري. هناك محادثة منفصلة عنها.

كيف تختلف الكسور غير الصحيحة عن الأعداد الكسرية؟

في جوهر الأمر، لا شيء. هذه مجرد تسجيلات مختلفة لنفس الرقم. تصبح الكسور غير الحقيقية أرقامًا مختلطة بسهولة بعد خطوات بسيطة. والعكس صحيح.

كل هذا يتوقف على الوضع المحدد. في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر استخدام جزء غير صحيح في المهام. وأحيانا يكون من الضروري تحويله إلى عدد كسري ومن ثم سيتم حل المثال بسهولة بالغة. لذلك، ما يجب استخدامه: الكسور غير الحقيقية، الأعداد الكسرية، يعتمد على مهارات الملاحظة لدى الشخص الذي يحل المشكلة.

تتم أيضًا مقارنة الرقم المختلط بمجموع الجزء الصحيح والجزء الكسري. علاوة على ذلك، فإن العدد الثاني يكون دائمًا أقل من واحد.

كيفية تمثيل رقم مختلط ككسر غير صحيح؟

إذا كنت بحاجة إلى تنفيذ أي إجراء مع العديد من الأرقام المكتوبة بأشكال مختلفة، فأنت بحاجة إلى جعلها هي نفسها. إحدى الطرق هي تمثيل الأرقام على أنها كسور غير حقيقية.

لهذا الغرض، سوف تحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

• اضرب المقام بالجزء كله؛
• إضافة قيمة البسط إلى النتيجة؛
• اكتب الإجابة فوق السطر؛
• اترك القاسم كما هو.

فيما يلي أمثلة لكيفية كتابة الكسور غير الحقيقية من الأعداد الكسرية:

• 17 ¼ = (17 × 4 + 1) : 4 = 69/4؛
• 39 ½ = (39 × 2 + 1) : 2 = 79/2.

كيفية كتابة كسر غير حقيقي كرقم مختلط؟

التقنية التالية هي عكس التقنية التي تمت مناقشتها أعلاه. أي عندما يتم استبدال جميع الأعداد الكسرية بكسور غير صحيحة. ستكون خوارزمية الإجراءات كما يلي:

• اقسم البسط على المقام للحصول على الباقي؛
• اكتب الناتج بدلاً من الجزء المختلط بأكمله؛
• وينبغي وضع الباقي فوق الخط؛
• المقسوم عليه سيكون المقام.

أمثلة على هذا التحول:

76/14؛ 76:14 = 5 والباقي 6؛ الجواب سيكون 5 كامل و 6/14؛ يجب تقليل الجزء الكسري في هذا المثال بمقدار 2، مما يؤدي إلى 3/7؛ الجواب النهائي هو 5 نقاط 3/7.

108/54؛ بعد القسمة، يتم الحصول على حاصل القسمة 2 بدون باقي؛ وهذا يعني أنه لا يمكن تمثيل جميع الكسور غير الحقيقية كعدد مختلط؛ الجواب سيكون عددا صحيحا - 2.

كيفية تحويل العدد الصحيح إلى كسر غير حقيقي؟

هناك حالات عندما يكون مثل هذا الإجراء ضروريا. للحصول على كسور غير حقيقية ذات مقام معروف، ستحتاج إلى تنفيذ الخوارزمية التالية:

• ضرب عدد صحيح بالمقام المطلوب؛
• اكتب هذه القيمة فوق السطر؛
• ضع المقام تحته.

أبسط خيار هو عندما يكون المقام يساوي واحدًا. ثم لا تحتاج إلى مضاعفة أي شيء. يكفي أن تكتب ببساطة العدد الصحيح الموضح في المثال، وتضع واحدًا تحت السطر.

مثال: اجعل 5 كسرًا غير حقيقي مقامه 3. ضرب 5 في 3 يعطي 15. سيكون هذا الرقم هو المقام. إجابة المهمة هي كسر: 15/3.

طريقتان لحل المسائل ذات الأعداد المختلفة

يتطلب المثال حساب المجموع والفرق، بالإضافة إلى حاصل ضرب وحاصل رقمين: عددان صحيحان 3/5 و14/11.

في النهج الأولسيتم تمثيل العدد المختلط ككسر غير حقيقي.

بعد تنفيذ الخطوات الموضحة أعلاه، ستحصل على القيمة التالية: 13/5.

من أجل معرفة المبلغ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى نفس المقام. 13/5 بعد الضرب في 11 يصبح 143/55. و14/11 بعد الضرب في 5 سيبدو كما يلي: 70/55. لحساب المجموع، ما عليك سوى إضافة البسطين: 143 و70، ثم كتابة الإجابة بمقام واحد. 213/55 - هذا الكسر غير الحقيقي هو جواب المسألة.

عند إيجاد الفرق يتم طرح نفس الأرقام: 143 - 70 = 73. ستكون الإجابة كسرًا: 73/55.

عند ضرب 13/5 و14/11، لا تحتاج إلى اختزالهما إلى قاسم مشترك. يكفي ضرب البسط والمقامات في أزواج. الجواب: 182/55.

الشيء نفسه ينطبق على القسمة. لحل المشكلة بشكل صحيح، عليك استبدال القسمة بالضرب وعكس المقسوم عليه: 13/5: 14/11 = 13/5 × 11/14 = 143/70.

في النهج الثانييصبح الكسر غير الصحيح عددًا مختلطًا.

بعد تنفيذ إجراءات الخوارزمية، سيتحول 14/11 إلى رقم مختلط بجزء صحيح من 1 وجزء كسري من 3/11.

عند حساب المبلغ، تحتاج إلى إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل. 2 + 1 = 3، 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. الجواب النهائي هو 3 نقاط 48/55. في النهج الأول كان الكسر 213/55. يمكنك التحقق من صحته عن طريق تحويله إلى رقم مختلط. بعد قسمة 213 على 55، يكون الناتج 3 والباقي 48. ومن السهل أن نرى أن الإجابة صحيحة.

عند الطرح، يتم استبدال علامة "+" بعلامة "-". 2 - 1 = 1، 33/55 - 15/55 = 18/55. للتحقق من ذلك، يجب تحويل الإجابة من الطريقة السابقة إلى رقم كسري: 73 مقسومًا على 55 والحاصل هو 1 والباقي هو 18.

للعثور على المنتج والحاصل، فمن غير المناسب استخدام أرقام مختلطة. يوصى دائمًا بالانتقال إلى الكسور غير الحقيقية هنا.