كيفية حساب النسبة المثال مشاكل النسبة المئوية: الحساب القياسي باستخدام النسب

المشكلة 1. يبلغ سُمك 300 ورقة من ورق الطابعة 3.3 سم، ما سمك حزمة مكونة من 500 ورقة من نفس الورق؟

حل.دع x سم هو سمك كومة من الورق مكونة من 500 ورقة. هناك طريقتان للعثور على سمك ورقة واحدة:

3,3: 300 أو × : 500.

وبما أن أوراق الورق متماثلة، فإن هاتين النسبتين متساويتان. نحصل على النسبة ( تذكير: النسبة هي تساوي النسبتين):

س=(3.3 · 500): 300;

س=5.5. إجابة:علية 500 أوراق من الورق لها سمك 5.5 سم.

هذا هو المنطق الكلاسيكي وتصميم حل للمشكلة. غالبًا ما يتم تضمين مثل هذه المشكلات في مهام الاختبار للخريجين الذين يكتبون عادةً الحل بالشكل التالي:

أو يقررون شفهيًا، والتفكير على النحو التالي: إذا كان سمك 300 ورقة 3.3 سم، فإن سمك 100 ورقة أقل بثلاث مرات. بقسمة 3.3 على 3، نحصل على 1.1 سم. هذا هو سمك حزمة من الورق مكونة من 100 ورقة. لذلك، سيكون سمك 500 ورقة أكبر 5 مرات، لذلك نضرب 1.1 سم في 5 ونحصل على الإجابة: 5.5 سم.

وهذا بالطبع له ما يبرره، لأن وقت اختبار الخريجين والمتقدمين محدود. ومع ذلك، في هذا الدرس سوف نقوم بالاستدلال وكتابة الحل كما ينبغي القيام به 6 فصل.

المهمة 2.ما هي كمية الماء الموجودة في 5 كجم من البطيخ، إذا علم أن البطيخ يتكون من 98% ماء؟

حل.

الكتلة الكاملة للبطيخ (5 كجم) هي 100٪. سيكون الماء × كجم أو 98٪. هناك طريقتان لمعرفة عدد الكيلوجرامات الموجودة في 1% من الكتلة.

5: 100 أو س : 98. نحصل على النسبة:

5: 100 = س : 98.

س=(5 · 98): 100;

س = 4.9 الجواب: 5 كيلويحتوي البطيخ 4.9 كجم ماء.

كتلة 21 لترًا من الزيت تساوي 16.8 كجم. ما كتلة 35 لترًا من الزيت؟

حل.

دع كتلة 35 لترًا من الزيت تساوي x كجم. بعد ذلك يمكنك العثور على كتلة 1 لتر من الزيت بطريقتين:

16,8: 21 أو س : 35. نحصل على النسبة:

16,8: 21=س : 35.

أوجد الحد الأوسط للنسبة. للقيام بذلك، نضرب الحدود المتطرفة للنسبة ( 16,8 و 35 ) وتقسيمها على الحد المتوسط ​​المعروف ( 21 ). دعونا نختصر الكسر بمقدار 7 .

اضرب بسط الكسر ومقامه في 10 بحيث يحتوي البسط والمقام على أعداد طبيعية فقط. نقوم بتقليل الكسر بمقدار 5 (5 و10) وهكذا 3 (168 و 3).

إجابة: 35 لتر من الزيت له كتلة 28 كجم.

وبعد حرث 82% من الحقل بأكمله، بقي هناك 9 هكتارات للحرث. ما هي مساحة الحقل بأكمله؟

حل.

لتكن مساحة الحقل بالكامل × هكتار أي 100%. هناك 9 هكتارات متبقية للحراثة، أي 100% - 82% = 18% من كامل الحقل. يمكننا التعبير عن 1% من مساحة الحقل بطريقتين. هذا:

X : 100 أو 9 : 18. نشكل النسبة:

X : 100 = 9: 18.

نجد الحد الأقصى غير المعروف للنسبة. للقيام بذلك، نضرب متوسط ​​​​شروط النسبة ( 100 و 9 ) والقسمة على الحد الأقصى المعروف ( 18 ). نحن تقليل الكسر.

إجابة: مساحة الحقل بأكمله 50 هكتارا.

الصفحة 1 من 1 1

§ 125. مفهوم التناسب.

النسبة هي تساوي النسبتين. فيما يلي أمثلة على المساواة التي تسمى النسب:

ملحوظة. ولم يتم الإشارة إلى أسماء الكميات بالنسب.

تتم قراءة النسب عادةً على النحو التالي: 2 إلى 1 (وحدة) كما أن 10 إلى 5 (النسبة الأولى). يمكنك قراءتها بشكل مختلف، على سبيل المثال: 2 أكبر من 1 بعدد مرات أكبر من 1، كم مرة أكبر من 5. يمكن قراءة النسبة الثالثة على النحو التالي: - 0.5 أقل من 2 بعدة مرات، كم مرة 0.75 أقل من 3.

يتم استدعاء الأرقام المدرجة في النسبة أعضاء النسبة. وهذا يعني أن النسبة تتكون من أربعة حدود. يتم استدعاء العضوين الأول والأخير، أي الأعضاء الواقفين عند الحواف أقصى، وتسمى شروط النسبة الموجودة في المنتصف متوسطأعضاء. وهذا يعني أنه في النسبة الأولى سيكون الرقمان 2 و5 هما الحدان الأقصىان، وسيكون الرقمان 1 و10 الحدين الأوسطين للنسبة.

§ 126. الخاصية الرئيسية للتناسب.

النظر في النسبة:

دعونا نضرب حديه الأقصى والوسطى بشكل منفصل. حاصل ضرب الطرفين 6 4 = 24، وحاصل ضرب الطرفين الأوسطين هو 3 8 = 24.

لنفكر في نسبة أخرى: 10: 5 = 12: 6. لنضرب الحدود القصوى والمتوسطة بشكل منفصل هنا أيضًا.

حاصل ضرب الحد الأقصى 10 6 = 60، وحاصل ضرب الوسط 5 12 = 60.

الخاصية الرئيسية للتناسب: حاصل ضرب الحدود القصوى لنسبة ما يساوي حاصل ضرب حدودها الوسطى.

بشكل عام، يتم كتابة الخاصية الرئيسية للنسبة على النحو التالي: إعلان = قبل الميلاد .

دعونا نتحقق من ذلك على عدة أبعاد:

1) 12: 4 = 30: 10.

وهذه النسبة صحيحة، إذ أن النسب التي تتكون منها متساوية. وفي الوقت نفسه، بأخذ حاصل ضرب الحدود القصوى للنسبة (12 10) وحاصل ضرب الحدود الوسطى (4 30)، سنرى أنهما متساويان، أي.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

النسبة صحيحة، ومن السهل التحقق منها عن طريق تبسيط النسبتين الأولى والثانية. الخاصية الرئيسية للتناسب سوف تأخذ الشكل:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

ليس من الصعب التحقق من أنه إذا كتبنا مساواة يوجد فيها في الجانب الأيسر حاصل ضرب رقمين، وفي الجانب الأيمن حاصل ضرب رقمين آخرين، فيمكن عمل نسبة من هذه الأرقام الأربعة.

دعونا نحصل على مساواة تتضمن أربعة أرقام مضروبة في أزواج:

يمكن أن تكون هذه الأعداد الأربعة حدود نسبة، وهذا أمر ليس من الصعب كتابته إذا أخذنا حاصل الضرب الأول باعتباره حاصل ضرب الحدود القصوى، والثاني باعتباره حاصل ضرب الحدود الوسطى. يمكن تجميع المساواة المنشورة، على سبيل المثال، إلى النسبة التالية:

بشكل عام، من المساواة إعلان = قبل الميلاد ويمكن الحصول على النسب التالية:

قم بالتمرين التالي بنفسك. إذا كان حاصل ضرب زوجين من الأعداد، اكتب النسبة المقابلة لكل مساواة:

أ) 1 6 = 2 3؛

ب) 2 15 = ب 5.

§ 127. حساب شروط التناسب غير المعروفة.

تتيح لك الخاصية الأساسية للنسبة حساب أي من شروط النسبة إذا كانت غير معروفة. لنأخذ النسبة:

X : 4 = 15: 3.

في هذه النسبة عضو متطرف واحد غير معروف. نحن نعلم أن حاصل ضرب الحدود القصوى، بأي نسبة، يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى. وعلى هذا الأساس يمكننا أن نكتب:

س 3 = 4 15.

وبعد ضرب 4 في 15، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

X 3 = 60.

دعونا نفكر في هذه المساواة. وفيه العامل الأول مجهول، والعامل الثاني معروف، والمنتج معروف. نحن نعلم أنه للعثور على عامل مجهول، يكفي تقسيم المنتج على عامل آخر (معروف). ثم سوف يتبين:

X = 60:3، أو X = 20.

دعونا نتحقق من النتيجة التي تم العثور عليها عن طريق استبدال الرقم 20 بدلاً من ذلك X في هذه النسبة:

النسبة صحيحة.

دعونا نفكر في الإجراءات التي يتعين علينا القيام بها لحساب الحد الأقصى غير المعروف للنسبة. من بين حدود التناسب الأربعة، لم يكن معروفًا لنا سوى الحد الأقصى؛ وكان الوسطان والأقصى الثاني معروفين. للعثور على الحد الأقصى للنسبة، قمنا أولاً بضرب الحدين الأوسطين (4 و15)، ثم قسمنا الناتج الناتج على الحد الأقصى المعروف. الآن سوف نبين أن الإجراءات لن تتغير إذا لم يكن الحد الأقصى المطلوب للنسبة في المقام الأول، ولكن في الأخير. لنأخذ النسبة:

70: 10 = 21: X .

دعونا نكتب الخاصية الرئيسية للتناسب: 70 X = 10 21.

بضرب الرقمين 10 و 21 نعيد كتابة المساواة على النحو التالي:

70 X = 210.

وهنا عامل واحد غير معروف لحسابه، يكفي قسمة الناتج (210) على عامل آخر (70)،

X = 210: 70; X = 3.

لذلك يمكننا أن نقول ذلك كل حد أقصى من النسبة يساوي حاصل ضرب المتوسطات مقسومًا على الطرف الآخر.

لننتقل الآن إلى حساب الحد المتوسط ​​غير المعروف. لنأخذ النسبة:

30: X = 27: 9.

لنكتب الخاصية الرئيسية للتناسب:

30 9 = X 27.

لنحسب حاصل ضرب 30 في 9 ونعيد ترتيب أجزاء المساواة الأخيرة:

X 27 = 270.

لنجد العامل المجهول:

X = 270:27 أو X = 10.

دعونا نتحقق من الاستبدال:

30:10 = 27:9 النسبة صحيحة.

لنأخذ نسبة أخرى:

12: ب = X : 8. لنكتب الخاصية الرئيسية للتناسب:

12 . 8 = 6 X . بضرب 12 في 8 وإعادة ترتيب أجزاء المساواة نحصل على:

6 X = 96. أوجد العامل المجهول:

X = 96:6، أو X = 16.

هكذا، كل حد أوسط من النسبة يساوي حاصل ضرب الطرفين مقسومًا على الوسط الآخر.

أوجد الحدود المجهولة للنسب التالية:

1) أ : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = س : 5;

2) 8: ب = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .

ويمكن كتابة القاعدتين الأخيرتين بشكل عام على النحو التالي:

1) إذا كانت النسبة كالتالي:

س: أ = ب: ج ، الذي - التي

2) إذا كانت النسبة كالتالي:

أ: س = ب: ج ، الذي - التي

§ 128. تبسيط النسبة وإعادة ترتيب شروطها.

سنشتق في هذا القسم قواعد تسمح لنا بتبسيط النسبة في الحالة التي تتضمن أعدادًا كبيرة أو حدودًا كسرية. ومن التحولات التي لا تخالف النسبة ما يلي:

1. الزيادة أو النقصان المتزامن لكلا الحدين لأي نسبة بنفس عدد المرات.

مثال 40:10 = 60:15.

بضرب حدي النسبة الأولى في 3 مرات نحصل على:

120:30 = 60: 15.

ولم تنتهك النسبة.

وبتخفيض حدي العلاقة الثانية بمقدار 5 مرات نحصل على:

لقد حصلنا على النسبة الصحيحة مرة أخرى.

2. الزيادة أو النقصان المتزامن لكل من الحدين السابقين أو كلا الحدين اللاحقين بنفس عدد المرات.

مثال. 16:8 = 40:20.

دعونا نضاعف الحدود السابقة لكلتا العلاقتين:

لقد حصلنا على النسبة الصحيحة.

دعونا نخفض الحدود اللاحقة لكلتا العلاقتين بمقدار 4 مرات:

ولم تنتهك النسبة.

يمكن تلخيص الاستنتاجين اللذين تم الحصول عليهما بإيجاز على النحو التالي: لن يتم انتهاك النسبة إذا قمنا في نفس الوقت بزيادة أو نقصان نفس العدد من المرات في أي حد أقصى للنسبة وأي حد وسط.

على سبيل المثال، بتخفيض 4 أضعاف الحد الأقصى الأول والثاني الأوسط للنسبة 16:8 = 40:20، نحصل على:

3. زيادة أو نقصان متزامن لجميع شروط النسبة بنفس عدد المرات. مثال. 36:12 = 60:20. دعونا نزيد جميع الأرقام الأربعة بمقدار مرتين:

ولم تنتهك النسبة. دعونا نخفض جميع الأرقام الأربعة بمقدار 4 مرات:

النسبة صحيحة.

تتيح لك التحويلات المدرجة، أولاً، تبسيط النسب، وثانيًا، تحريرها من الحدود الكسرية. دعونا نعطي أمثلة.

1) يجب أن تكون هناك نسبة:

200: 25 = 56: س .

وفيه أن أعضاء النسبة الأولى أعداد كبيرة نسبيا، وإذا أردنا إيجاد القيمة X ، فسيتعين علينا إجراء العمليات الحسابية على هذه الأرقام؛ لكننا نعلم أن النسبة لن تنتهك إذا تم قسمة حدي النسبة على نفس العدد. دعونا نقسم كل واحد منهم على 25. وستكون النسبة على الشكل التالي:

8:1 = 56: س .

وبذلك حصلنا على نسبة أكثر ملاءمة منها X يمكن العثور عليها في العقل:

2) لنأخذ النسبة:

2: 1 / 2 = 20: 5.

في هذه النسبة يوجد مصطلح كسري (1/2)، يمكنك التخلص منه. للقيام بذلك، سيتعين عليك ضرب هذا الحد، على سبيل المثال، في 2. لكن ليس لدينا الحق في زيادة حد متوسط ​​واحد من النسبة؛ فلا بد من ضم أحد الأعضاء المتطرفة معه؛ فلن يتم انتهاك النسبة (بناء على النقطتين الأوليين). دعونا نزيد أول الحدود المتطرفة

(2 2) : (2 1/2) = 5:20، أو 1:4 = 5:20.

دعونا نزيد العضو المتطرف الثاني:

2: (2 1/2) = 20: (5 2)، أو 2: 1 = 20: 10.

دعونا نلقي نظرة على ثلاثة أمثلة أخرى لتحرير النسب من الحدود الكسرية.

مثال 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.

دعونا نجلب الكسور إلى قاسم مشترك:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

بضرب حدي النسبة الأولى في 8 نحصل على:

مثال 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7. دعونا نجلب الكسور إلى قاسم مشترك:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

دعونا نضرب كلا الحدين اللاحقين في 14، ونحصل على: 12:15 = 16:20.

مثال 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6.

دعونا نضرب جميع شروط النسبة في 48:

24: 1 = 960: 40.

عند حل المسائل التي تحدث فيها بعض النسب، غالبا ما يكون من الضروري إعادة ترتيب شروط النسبة لأغراض مختلفة. دعونا نفكر في أي التباديل قانوني، أي لا تنتهك النسب. لنأخذ النسبة:

3: 5 = 12: 20. (1)

وبإعادة ترتيب الحدود المتطرفة فيه، نحصل على:

20: 5 = 12:3. (2)

دعونا الآن نعيد ترتيب الحدود الوسطى:

3:12 = 5: 20. (3)

دعونا نعيد ترتيب الحدين الأقصى والوسطى في نفس الوقت:

20: 12 = 5: 3. (4)

وكل هذه النسب صحيحة. والآن لنضع العلاقة الأولى مكان الثانية، والثانية مكان الأولى. تحصل على النسبة:

12: 20 = 3: 5. (5)

في هذه النسبة، سنجري نفس عمليات إعادة الترتيب التي قمنا بها من قبل، أي أننا سنعيد ترتيب الحدود المتطرفة أولًا، ثم الحدود الوسطى، وأخيرًا الحدود المتطرفة والوسطى في نفس الوقت. سوف تحصل على ثلاث نسب أخرى، والتي ستكون عادلة أيضًا:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

لذلك، من نسبة معينة، من خلال إعادة الترتيب، يمكنك الحصول على 7 نسب إضافية، والتي مع هذه النسبة تشكل 8 نسب.

من السهل اكتشاف صحة كل هذه النسب بشكل خاص عند الكتابة بالرسائل. النسب الثمانية التي تم الحصول عليها أعلاه تأخذ الشكل:

أ: ب = ج: د؛ ج: د = أ: ب؛

د: ب = ج: أ؛ ب:د = أ:ج؛

أ: ج = ب: د؛ ج: أ = د: ب؛

د: ج = ب: أ؛ ب: أ = د: ج.

من السهل أن نرى أن الخاصية الرئيسية في كل من هذه النسب تأخذ الشكل التالي:

إعلان = قبل الميلاد.

وبالتالي فإن هذه التباديل لا تنتهك عدالة النسبة ويمكن استخدامها إذا لزم الأمر.

يتطلب حل معظم المشكلات في الرياضيات في المدرسة الثانوية معرفة النسب. ستساعدك هذه المهارة البسيطة ليس فقط في أداء التمارين المعقدة من الكتاب المدرسي، ولكن أيضًا في التعمق في جوهر العلوم الرياضية. كيفية جعل نسبة؟ دعونا معرفة ذلك الآن.

أبسط مثال هو مشكلة حيث توجد ثلاث معلمات معروفة، ويجب العثور على المعلم الرابع. النسب مختلفة بالطبع، لكن غالبًا ما تحتاج إلى العثور على رقم ما باستخدام النسب المئوية. على سبيل المثال، كان لدى الصبي عشرة تفاحات في المجموع. وأعطى الجزء الرابع لأمه. كم عدد التفاحات التي تركها الصبي؟ هذا هو أبسط مثال يسمح لك بإنشاء نسبة. الشيء الرئيسي هو القيام بذلك. في البداية كان هناك عشرة تفاحات. فليكن 100٪. لقد وضعنا علامة على كل تفاحاته. فأعطى الربع. 1/4=25/100. وهذا يعني أنه بقي: 100% (كان في الأصل) - 25% (أعطى) = 75%. يوضح هذا الشكل نسبة كمية الفاكهة المتبقية مقارنة بالكمية المتوفرة في البداية. الآن لدينا ثلاثة أرقام يمكننا من خلالها حل النسبة بالفعل. 10 تفاحات - 100%، Xالتفاح - 75%، حيث x هي الكمية المطلوبة من الفاكهة. كيفية جعل نسبة؟ عليك أن تفهم ما هو عليه. رياضيا يبدو مثل هذا. تم وضع علامة المساواة لتفهمك.

10 تفاحات = 100%؛

س التفاح = 75%.

اتضح أن 10/س = 100%/75. هذه هي الخاصية الرئيسية للنسب. بعد كل شيء، كلما زاد حجم X، زادت نسبة هذا الرقم من الأصل. نحل هذه النسبة ونجد أن x = 7.5 تفاحة. لا نعرف لماذا قرر الصبي التبرع بجزء من المبلغ. الآن أنت تعرف كيفية عمل نسبة. الشيء الرئيسي هو العثور على علاقتين، إحداهما تحتوي على المجهول المجهول.

غالبًا ما يتم حل النسبة من خلال الضرب البسيط ثم القسمة. المدارس لا تشرح للأطفال سبب ذلك. على الرغم من أنه من المهم أن نفهم أن العلاقات التناسبية هي كلاسيكيات رياضية، فهي جوهر العلم. لحل النسب، يجب أن تكون قادرًا على التعامل مع الكسور. على سبيل المثال، غالبًا ما تحتاج إلى تحويل النسب المئوية إلى كسور. أي أن تسجيل 95% لن ينجح. وإذا كتبت على الفور 95/100، فيمكنك إجراء تخفيضات كبيرة دون بدء الحساب الرئيسي. تجدر الإشارة على الفور إلى أنه إذا تبين أن النسبة الخاصة بك تحتوي على مجهولين، فلا يمكن حلها. لن يساعدك أي أستاذ هنا. ومن المرجح أن تحتوي مهمتك على خوارزمية أكثر تعقيدًا للإجراءات الصحيحة.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر حيث لا توجد نسب مئوية. اشترى سائق سيارة 5 لترات من البنزين مقابل 150 روبل. وفكر في المبلغ الذي سيدفعه مقابل 30 لترًا من الوقود. لحل هذه المشكلة، دعنا نشير بـ x إلى المبلغ المطلوب من المال. يمكنك حل هذه المشكلة بنفسك ثم التحقق من الإجابة. إذا لم تكن قد فهمت بعد كيفية عمل نسبة، فقم بإلقاء نظرة. 5 لترات من البنزين 150 روبل. كما في المثال الأول، نكتب 5l - 150r. الآن دعونا نجد الرقم الثالث. بالطبع هذا 30 لترًا. توافق على أن زوجًا من 30 لترًا - × روبل مناسب في هذه الحالة. دعنا ننتقل إلى اللغة الرياضية.

5 لتر - 150 روبل؛

30 لترا - × روبل؛

دعونا نحل هذه النسبة:

س = 900 روبل.

لذلك قررنا. في مهمتك، لا تنس التحقق من كفاية الإجابة. ويحدث أنه بالقرار الخاطئ تصل السيارات إلى سرعات غير واقعية تبلغ 5000 كيلومتر في الساعة وهكذا. الآن أنت تعرف كيفية عمل نسبة. يمكنك أيضًا حلها. كما ترون، لا يوجد شيء معقد في هذا الشأن.

من وجهة نظر رياضية، التناسب هو تساوي نسبتين. الترابط هو سمة من سمات جميع أجزاء النسبة، فضلا عن نتائجها غير المتغيرة. يمكنك فهم كيفية إنشاء النسبة من خلال التعرف على خصائص التناسب وصيغته. لفهم مبدأ حل النسب، سيكون كافيا للنظر في مثال واحد. فقط من خلال حل النسب بشكل مباشر، يمكنك تعلم هذه المهارات بسرعة وسهولة. وهذه المقالة سوف تساعد القارئ في ذلك.

خصائص النسبة والصيغة

1. عكس النسبة. في الحالة التي تكون فيها المساواة المعطاة بالشكل 1a: 2b = 3c: 4d، اكتب 2b: 1a = 4d: 3c. (و1a، 2b، 3c و4d هي أعداد أولية غير 0).
2. ضرب حدود النسبة المعطاة بالعرض. في التعبير الحرفي يبدو الأمر كما يلي: 1a: 2b = 3c: 4d، وكتابة 1a4d = 2b3c ستكون مكافئة له. وبالتالي، فإن حاصل ضرب الأجزاء المتطرفة لأي نسبة (الأرقام الموجودة عند أطراف المساواة) يساوي دائمًا ناتج الأجزاء الوسطى (الأرقام الموجودة في منتصف المساواة).
3. عند رسم نسبة، يمكن أن تكون خاصية إعادة ترتيب الحدود القصوى والوسطى مفيدة أيضًا. يمكن عرض صيغة المساواة 1أ: 2ب = 3ج: 4د بالطرق التالية:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (عند إعادة ترتيب الحدود الوسطى للنسبة).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (عند إعادة ترتيب الحدود القصوى للنسبة).
4. تساعد خاصية الزيادة والنقصان بشكل مثالي في حل النسب. عندما 1a: 2b = 3c: 4d، اكتب:
   • (1أ + 2ب) : 2ب = (3ج + 4د) : 4د (المساواة بزيادة النسبة).
   • (1أ – 2ب) : 2ب = (3ج – 4د) : 4د (المساواة بتناقص النسبة).
5. يمكنك إنشاء نسبة عن طريق الجمع والطرح. عندما تكتب النسبة بالشكل 1a:2b = 3c:4d، فإن:
   • (1أ + 3ج) : (2ب + 4د) = 1أ: 2ب = 3ج: 4د (يتم حساب النسبة عن طريق الجمع).
   • (1أ – 3ج) : (2ب – 4د) = 1أ: 2ب = 3ج: 4د (يتم حساب النسبة بالطرح).
6. وأيضًا، عند حل نسبة تحتوي على أرقام كسرية أو كبيرة، يمكنك قسمة حديها أو ضربهما بنفس الرقم. على سبيل المثال، يمكن كتابة مكونات النسبة 70:40=320:60 على النحو التالي: 10*(7:4=32:6).
7. يبدو خيار حل النسب بالنسب المئوية هكذا. على سبيل المثال، اكتب 30=100%، 12=س. الآن يجب عليك ضرب الحدود الوسطى (12*100) والقسمة على الحد الأقصى المعروف (30). وبالتالي فإن الجواب هو: س = 40%. وبطريقة مماثلة، إذا لزم الأمر، يمكنك ضرب الحدود المتطرفة المعروفة وتقسيمها على رقم متوسط ​​معين، والحصول على النتيجة المرجوة.

إذا كنت مهتمًا بصيغة نسبة محددة، ففي النسخة الأبسط والأكثر شيوعًا، تكون النسبة هي المساواة التالية (الصيغة): a/b = c/d، حيث a وb وc وd هي أربعة غير أرقام صفر.

في درس الفيديو الأخير، تناولنا حل المسائل التي تتضمن النسب المئوية باستخدام النسب. بعد ذلك، وفقًا لشروط المشكلة، كنا بحاجة إلى إيجاد قيمة هذه الكمية أو تلك.

هذه المرة تم بالفعل إعطاء القيم الأولية والنهائية لنا. ولذلك، فإن المشاكل تتطلب منك العثور على النسب المئوية. بتعبير أدق، كم في المئة تغيرت هذه القيمة أو تلك. دعونا نحاول.

مهمة. تكلفة الأحذية الرياضية 3200 روبل. بعد زيادة الأسعار، بدأوا بتكلفة 4000 روبل. ما هي النسبة المئوية التي ارتفع بها سعر الأحذية الرياضية؟

لذا، فإننا نحل من خلال التناسب. الخطوة الأولى - كان السعر الأصلي 3200 روبل. لذلك، 3200 روبل هو 100٪.

بالإضافة إلى ذلك، حصلنا على السعر النهائي - 4000 روبل. هذه نسبة غير معروفة، لذلك دعونا نسميها x. نحصل على البناء التالي:

3200 — 100%
4000 - س%

حسنا، يتم كتابة حالة المشكلة. دعونا نجعل نسبة:

يحذف الكسر الموجود على اليسار تمامًا بمقدار 100: 3200: 100 = 32؛ 4000: 100 = 40. وبدلاً من ذلك، يمكنك تقصيرها بمقدار 4: 32: 4 = 8؛ 40: 4 = 10. نحصل على النسبة التالية:

دعونا نستخدم خاصية التناسب الأساسية: حاصل ضرب الحدود القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى. نحن نحصل:

8 س = 100 10؛
8س = 1000.

هذه معادلة خطية عادية. ومن هنا نجد س:

س = 1000: 8 = 125

إذن، حصلنا على النسبة النهائية x = 125. لكن هل الرقم 125 هو حل للمشكلة؟ مستحيل! لأن المهمة تتطلب معرفة النسبة المئوية التي ارتفع بها سعر الأحذية الرياضية.

بأي نسبة - هذا يعني أننا بحاجة إلى إيجاد التغيير:

∆ = 125 − 100 = 25

لقد حصلنا على 25% - وهذا هو مقدار الزيادة في السعر الأصلي. وهذا هو الجواب: 25.

مشكلة B2 على النسب رقم 2

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية.

مهمة. تكلفة القميص 1800 روبل. بعد أن تم تخفيض السعر، بدأ يكلف 1530 روبل. ما النسبة المئوية التي انخفض بها سعر القميص؟

دعونا نترجم الشرط إلى لغة رياضية. السعر الأصلي هو 1800 روبل - أي 100٪. والسعر النهائي هو 1530 روبل - نعرفه، لكننا لا نعرف النسبة المئوية له من القيمة الأصلية. ولذلك نرمز لها بـ x. نحصل على البناء التالي:

1800 — 100%
1530 - س%

بناءً على السجل المستلم، نقوم بعمل نسبة:

لتبسيط المزيد من الحسابات، دعونا نقسم طرفي هذه المعادلة على 100. بمعنى آخر، سنشطب صفرين من بسط الكسرين الأيسر والأيمن. نحن نحصل:

لنستخدم الآن خاصية التناسب الأساسية مرة أخرى: حاصل ضرب الحدود القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى.

18 س = 1530 1;
18س = 1530.

كل ما تبقى هو العثور على x:

س = 1530: 18 = (2 765) : (2 9) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

لقد حصلنا على أن x = 85. لكن، كما في المسألة السابقة، هذا الرقم في حد ذاته ليس هو الحل. دعونا نعود إلى حالتنا. والآن نعلم أن السعر الجديد الذي تم الحصول عليه بعد التخفيض هو 85% من السعر القديم. ولكي تجد التغييرات تحتاج من السعر القديم أي. 100% طرح السعر الجديد أي. 85%. نحن نحصل:

∆ = 100 − 85 = 15

سيكون هذا الرقم هو الجواب: يرجى ملاحظة: 15 بالضبط، وليس 85 بأي حال من الأحوال. هذا كل شيء! حلت المشكلة.

من المحتمل أن يسأل الطلاب اليقظون: لماذا في المشكلة الأولى، عند إيجاد الفرق، قمنا بطرح الرقم الأولي من الرقم النهائي، وفي المشكلة الثانية فعلنا العكس تمامًا: من 100٪ الأولية قمنا بطرح 85٪ النهائية؟

لنكن واضحين بشأن هذه النقطة. رسميًا، في الرياضيات، التغير في الكمية هو دائمًا الفرق بين القيمة النهائية والقيمة الأولية. بعبارة أخرى، في المسألة الثانية، لم يكن علينا أن نحصل على 15، بل −15.

ومع ذلك، لا ينبغي بأي حال من الأحوال تضمين هذا الطرح في الإجابة، لأنه يؤخذ بعين الاعتبار بالفعل في ظروف المشكلة الأصلية. تقول مباشرة عن تخفيض الأسعار. وتخفيض السعر بنسبة 15% هو نفس زيادة السعر بنسبة -15%. هذا هو السبب في أنه يكفي في الحل والإجابة على المشكلة أن تكتب ببساطة 15 - دون أي سلبيات.

هذا كل شيء، وآمل أن نكون قد حللنا هذا الأمر. وبهذا نختتم درسنا لهذا اليوم. نراكم مرة أخرى!