لأول مرة المعادلات التربيعيةتمكن علماء الرياضيات في مصر القديمة من حلها. كان البابليون قادرين على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة، بالإضافة إلى أنواع معينة من المعادلات التربيعية الكاملة منذ حوالي ألفي عام قبل الميلاد. تمكن علماء الرياضيات اليونانيون القدماء من حل بعض أنواع المعادلات التربيعية، وتحويلها إلى إنشاءات هندسية. أمثلة على حل المعادلات دون استخدام المعرفة الهندسية قدمها ديوفانتوس السكندري (القرن الثالث). أوجز ديوفانتوس في كتبه الحساب طريقة لحل المعادلات التربيعية الكاملة، لكن هذه الكتب لم تنجو. في أوروبا، تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي في عام 1202.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المحولة إلى النموذج س 2 + ب س = ج، وصفها عالم الرياضيات الألماني M. Stiefel. في عام 1544، صاغ القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد
س 2 + ب س + ج = 0مع كل الاختلافات الممكنة في العلامات والمعاملات b وc.

اشتق فرانسوا فييت صيغ المعادلة التربيعية بشكل عام، لكنه عمل فقط مع الأعداد الموجبة.

تارتاليا، كاردانو، بومبيلي هم علماء إيطاليون كانوا من بين الأوائل في القرن السادس عشر الذين أخذوا في الاعتبار، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، الجذور السلبية.

كان فييت هو من طور صيغة حل المعادلات التربيعية العامة. لقد أدلى ببيان واحد فقط للجذور الإيجابية (لم يتعرف على الأعداد السالبة).

بعد أعمال عالم الرياضيات الهولندي ألبرت جيرار، وكذلك ديكارت ونيوتن، اتخذت طرق حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

المعادلات التربيعية

1. دعونا نتذكر الطرق المألوفة لحل ودراسة المعادلات التربيعية:

• اختيار مربع كامل؛
• استخدام الصيغة الجذرية للمعادلة التربيعية؛
• بواسطة نظرية فييتا.
• بناء على خصائص الدالة التربيعية.

في عملية حل المعادلات، من الضروري مراقبة مجموعة القيم المسموح بها للمجهول، لأن قد يتغير. وفي حالة تمددها، يجب التحقق من الحل الموجود لمعرفة ما إذا كان خارجًا عن المعادلة المعطاة. إذا حدث تضييق فمن الضروري التحقق مما إذا كانت القيم المفقودة للمجاهول هي حلول لهذه المعادلة. ليس من السهل دائمًا تنفيذ عملية إيجاد الحلول العشوائية، لذا يُنصح بتجنب تضييق مجموعة القيم المسموح بها للمجهولات في المعادلة.

2. الأخطاء النموذجية عند حل المعادلات.

وفقا للقواعد، يمكنك تحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة مكافئة، وأنت تعلم أنه: يمكن قسمة طرفي المعادلة أو ضربهما بنفس الرقم غير الصفر.

1) إذا كانت المعادلة بالشكل f(x) · g(x) = p(x) · g(x)، فعادةً ما تكون قسمة كلا الطرفين على نفس العامل g(x) غير مقبولة. يمكن أن يؤدي هذا الإجراء إلى فقدان الجذور: قد تفقد جذور المعادلة g(x) = 0، إذا كانت موجودة.

مثال 1.

حل المعادلة 2(س – 3) = (س – 3)(س + 5).

حل.

هنا لا يمكنك التخفيض بعامل (س - 3).

2(x – 3) – (x – 3)(x + 5) = 0، قم بإزالة القوس العام:

(س – 3)(-س – 3) = 0، الآن

س – 3 = 0 أو -س – 3 = 0;

س = 3 أو س = -3.

الجواب: -3؛ 3.

2) يمكن استبدال معادلة النموذج f(x) / g(x) = 0 بالنظام:

(و(س) = 0،
(ز(خ) ≠ 0.

وهو ما يعادل المعادلة الأصلية.

أو يمكنك حل المعادلة f(x) = 0، وعندها فقط قم بإزالة الجذور الموجودة التي تجعل المقام g(x) يختفي.

هناك معادلات عقلانية كسرية يتم اختزالها إلى معادلات تربيعية.

مثال 2.

حل المعادلة: (x + 3) / (x – 3) + (x – 3) / (x + 3) = 10/3 + 36/(x – 3)(x + 3).

حل.

وبضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك واستبدال المعادلة الأصلية بعدد صحيح نحصل على نظام مكافئ:

(3(س + 3) 2 + 3(س – 3) 2 = 10(س – 3)(س + 3) + 3 36;
((س – 3)(س +3) ≠ 0.

نتيجة لذلك، نحصل على جذرين: x = 3 أو x = -3، لكن x ≠ 3 و x ≠ -3.

الجواب: المعادلة ليس لها جذور.

مثال 3.

حل المعادلة: (x + 5)(x 2 + 4x - 5)/(x + 5)(x + 2) = 0.

حل.

غالبًا ما يقتصر على هذا الحل:

(س 2 + 4س – 5) / (س + 2) = 0.
(س = -5، س = 1،
(س ≠ -2.

الجواب: -5؛ 1.

الإجابة الصحيحة: 1.

مثال 4.

عند أداء المهام المشتركة لدراسة المعادلة التربيعية من النموذج التالي: "بدون حساب الجذور الحقيقية x 1 و x 2 للمعادلة 2x 2 + 3x + 2 = 0، أوجد قيمة x 1 2 + x 2 2"الإهمال البسيط يؤدي إلى خطأ جسيم.

في الواقع، وفقًا لنظرية فييتا،

س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 – س 1 × 2 = (-3/2) 2 – 2 1 = 1/4.

ومع ذلك، يمكن استخدام النظرية إذا كانت هناك جذور حقيقية. في هذا المثال د< 0 и корней нет.

الإجابة: القيمة x 1 2 + x 2 2 غير موجودة.

مثال 5.

احسب المعامل السالب b وجذور المعادلة x 2 + bx – 1 = 0، إذا مع زيادة كل من هذه الجذور بمقدار واحد تصبح جذور المعادلة x 2 – b 2 x – b = 0.

حل.

دع x 1 وx 2 هما جذور المعادلة x 2 + bx - 1 = 0. ثم عند نقطة فييتا

× 1 + × 2 = -ب و × 1 × 2 = -1 (*). ومن ناحية أخرى، حسب الشرط

(x 1 + 1) + (x 2 + 1) = ب 2 و (x 1 + 1) (x 2 + 1) = -ب.

دعونا نعيد الكتابة:

س 1 + س 2 = ب 2 - 2 و (س 1 + 1)(س 2 + 1) = -ب.

والآن، مع مراعاة الشروط (*)، نحصل على b 2 - 2 = -b، وبالتالي،

ب 1 = -2، ب 2 = 1. حسب الشرط، ب 1 = -2.

هذا يعني أن المعادلة الأصلية لها الصيغة x 2 – 2x – 1 = 0، والجذور هي الأعداد x 1,2 = 1 ± √2.

الإجابة: ب 1 = -2، × 1.2 = 1 ± √2.

تم تخفيض المعادلات إلى الدرجة التربيعية. المعادلات التربيعية

معادلات النموذج الفأس 4 + ب س 2 + ج = 0، حيث أ ≠ 0، يتم استدعاؤهم المعادلات التربيعية ذات متغير واحد.

لحل المعادلة التربيعية، عليك إجراء الاستبدال x 2 = t، والعثور على الجذور t 1 و t 2 للمعادلة التربيعية عند 2 + bt + c = 0 وحل المعادلتين x 2 = t 1 و x 2 = ر 2. لديهم حلول فقط في حالة t 1,2 ≥ 0.

مثال 1.

حل المعادلة x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

حل.

الاستبدال: × 2 = ر.

t 2 + 5t – 36 = 0. حسب النقطة فييتا t 1 = -9 و t 2 = 4.

× 2 = -9 أو × 2 = 4.

الجواب: لا توجد جذور في المعادلة الأولى، بل في الثانية: x = ±2.

مثال 2.

حل المعادلة (2س – 1) 4 – 25(2س – 1) 2 + 144 = 0.

حل.

التعويض: (2س – 1) 2 = ر.

ر 2 - 25 طن + 144 = 0. حسب النقطة فييتا t 1 = 9 و t 2 = 16.

(2س - 1) 2 = 9 أو (2س - 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 أو 2x – 1 = ±4.

هناك جذرين من المعادلة الأولى: x = 2 و x = -1، ومن الثانية أيضًا: x = 2.5 و x = -1.5.

الجواب: -1.5؛ -1؛ 2؛ 2.5.

وبالتالي، فإن عملية حل أي معادلات تتكون من استبدال معادلة معينة بشكل تسلسلي بمعادلة أخرى مكافئة وأبسط.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل المعادلات؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

لقد عرف الجميع مفهوم المعادلات منذ المدرسة. المعادلة هي مساواة تحتوي على متغير واحد أو أكثر. مع العلم أن أحد أجزاء المساواة المعطاة يساوي الآخر، يمكنك عزل الأجزاء الفردية من المعادلة، ونقل بعض مكوناتها إلى ما بعد علامة التساوي وفقًا لقواعد محددة بوضوح. يمكنك تبسيط المعادلة إلى النتيجة المنطقية المطلوبة في الصيغة x=n، حيث n هو أي رقم.

ابتداءً من المدرسة الابتدائية، يخضع جميع الأطفال لدورة دراسية متفاوتة التعقيد. لاحقًا في البرنامج تظهر معادلات خطية أكثر تعقيدًا - المعادلات التربيعية، ثم تأتي المعادلات التكعيبية. كل نوع لاحق من المعادلات له طرق جديدة للحل، مما يجعل دراستها وتكرارها أكثر صعوبة.

ولكن بعد ذلك يطرح السؤال حول حل هذا النوع من المعادلات، مثل المعادلات التربيعية. هذا النوع، على الرغم من تعقيده الواضح، يتم حله بكل بساطة: الشيء الرئيسي هو أن تكون قادرا على جلب هذه المعادلات إلى الشكل الصحيح. تتم دراسة حلها في درس أو درسين إلى جانب المهام العملية، إذا كان لدى الطلاب المعرفة الأساسية بحل المعادلات التربيعية.

ما الذي يحتاج الشخص إلى معرفته عند مواجهة هذا النوع من المعادلات؟ في البداية، فهي تشمل فقط القوى الزوجية للمتغير "x": الرابع، وبالتالي الثاني. لكي يتم حل معادلة تربيعية لا بد من إحضارها إلى الصورة كيف نفعل ذلك؟ بسيطة بما فيه الكفاية! كل ما عليك فعله هو استبدال "x" في المربع بـ "y". ثم سيتحول "X" إلى القوة الرابعة، وهو أمر مخيف للعديد من تلاميذ المدارس، إلى مربع "y"، وستأخذ المعادلة شكل معادلة تربيعية عادية.

ثم يتم حلها كمعادلة تربيعية عادية: يتم تحليلها، وبعد ذلك يتم العثور على قيمة "y" الغامضة. لحل معادلة تربيعية حتى النهاية، عليك أن تجد من الرقم "y" - ستكون هذه هي القيمة المطلوبة "x"، بعد العثور على القيم التي يمكنك أن تهنئ نفسك على إكمال العمليات الحسابية بنجاح.

ما الذي يجب أن تتذكره عند حل المعادلات من هذا النوع؟ أولاً والأهم: لا أستطيع أن أكون رقماً سالباً! شرط أن تكون اللعبة عبارة عن مربع الرقم X يستبعد مثل هذا الحل. لذلك، إذا، عند حل معادلة تربيعية في البداية، تبين أن إحدى القيم "y" موجبة والثانية سلبية، يجب أن تأخذ نسختها الإيجابية فقط، وإلا فسيتم حل المعادلة التربيعية بشكل غير صحيح. من الأفضل تقديم القاعدة على الفور بأن المتغير "y" أكبر من أو يساوي الصفر.

الفارق الدقيق الثاني المهم: الرقم "X"، وهو الجذر التربيعي للرقم "Y"، يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. لنفترض أن "y" يساوي أربعة، فإن المعادلة التربيعية سيكون لها حلان: اثنان وناقص اثنين. يحدث هذا لأن الرقم السالب المرفوع إلى قوة زوجية يساوي عددًا من نفس الوحدة، ولكن بإشارة مختلفة، مرفوعًا إلى نفس القوة. لذلك، من المفيد دائمًا أن تتذكر هذه النقطة المهمة، وإلا فقد تفقد ببساطة إجابة واحدة أو أكثر للمعادلة. من الأفضل أن تكتب على الفور أن "x" يساوي موجب أو ناقص الجذر التربيعي لـ "y".

بشكل عام، يعد حل المعادلات التربيعية أمرًا بسيطًا للغاية ولا يتطلب الكثير من الوقت. تكفي ساعتان دراسيتان لدراسة هذا الموضوع في المنهج الدراسي - دون احتساب التكرارات والاختبارات بالطبع. يمكن حل المعادلات التربيعية ذات الصورة القياسية بسهولة شديدة إذا اتبعت القواعد المذكورة أعلاه. لن يكون حلها صعبا بالنسبة لك، لأنه موصوف بالتفصيل في كتب الرياضيات المدرسية. حظا سعيدا في دراستك والنجاح في حل أي مشاكل، وليس فقط الرياضيات!

تعليمات

طريقة الاستبدال: قم بالتعبير عن متغير واحد واستبداله في معادلة أخرى. يمكنك التعبير عن أي متغير حسب تقديرك. على سبيل المثال، عبر عن y من المعادلة الثانية:
x-y=2 => y=x-2ثم عوض بكل شيء في المعادلة الأولى:
2x+(x-2)=10 انقل كل شيء بدون "x" إلى الجانب الأيمن واحسب:
2س+س=10+2
3x=12 بعد ذلك، للحصول على x، قم بتقسيم طرفي المعادلة على 3:
س = 4. لذلك، وجدت "س. ابحث عن "ي. للقيام بذلك، استبدل "x" في المعادلة التي عبرت منها عن "y":
ص=س-2=4-2=2
ص=2.

قم بالفحص. للقيام بذلك، استبدل القيم الناتجة في المعادلات:
2*4+2=10
4-2=2
تم العثور على المجهولين بشكل صحيح!

طريقة لإضافة أو طرح المعادلات التخلص من أي متغير على الفور. في حالتنا، من الأسهل القيام بذلك باستخدام "y".
نظرًا لوجود علامة "+" في "y" ، وفي العلامة الثانية "-" ، فيمكنك إجراء عملية الإضافة ، أي. أضعاف الجانب الأيسر مع اليسار، واليمين مع اليمين:
2x+y+(x-y)=10+2تحويل:
2x+y+x-y=10+2
3س=12
x=4عوض بـ "x" في أي معادلة وأوجد "y":
2*4+ص=10
8+ص=10
ص = 10-8
y=2بالطريقة الأولى يمكنك أن ترى أنه تم العثور عليها بشكل صحيح.

إذا لم تكن هناك متغيرات محددة بوضوح، فمن الضروري تحويل المعادلات قليلا.
في المعادلة الأولى لدينا "2x"، وفي الثانية لدينا ببساطة "x". لكي يتم تقليل x أثناء عملية الجمع، قم بضرب المعادلة الثانية في 2:
س-ص=2
2x-2y=4ثم اطرح الثانية من المعادلة الأولى:
2x+y-(2x-2y)=10-4 لاحظ أنه إذا كان هناك ناقص قبل القوس فبعد الفتح قم بتغييره إلى العكس:
2س+ص-2س+2ص=6
3u=6
أوجد y=2x بالتعبير عن أي معادلة، على سبيل المثال.
س = 4

فيديو حول الموضوع

نصيحة 2: كيفية حل معادلة خطية في متغيرين

معادلة، مكتوبة بالشكل العام ax+bу+c=0، تسمى معادلة خطية ذات اثنين المتغيرات. تحتوي هذه المعادلة نفسها على عدد لا حصر له من الحلول، لذلك في المشاكل يتم استكمالها دائمًا بشيء ما - معادلة أخرى أو شروط مقيدة. اعتمادًا على الشروط التي توفرها المشكلة، قم بحل معادلة خطية ذات اثنين المتغيراتيتبع بطرق مختلفة.

سوف تحتاج

• - معادلة خطية بمتغيرين؛
• - المعادلة الثانية أو الشروط الإضافية.

تعليمات

نظرا لنظام من معادلتين خطيتين، حله على النحو التالي. اختر إحدى المعادلات التي توجد بها المعاملات المتغيراتأصغر ويعبر عن أحد المتغيرات، على سبيل المثال، x. ثم استبدل هذه القيمة التي تحتوي على y في المعادلة الثانية. في المعادلة الناتجة سيكون هناك متغير واحد فقط y، انقل جميع الأجزاء التي تحتوي على y إلى الجانب الأيسر، والأجزاء الحرة إلى اليمين. أوجد y واستبدله في أي من المعادلات الأصلية لإيجاد x.

هناك طريقة أخرى لحل نظام من معادلتين. اضرب إحدى المعادلات في رقم بحيث يكون معامل أحد المتغيرات، مثل x، هو نفسه في كلتا المعادلتين. ثم اطرح إحدى المعادلتين من الأخرى (إذا كان الطرف الأيمن لا يساوي 0، تذكر أن تطرح الطرفين الأيمن بنفس الطريقة). سترى أن المتغير x قد اختفى ولم يبق سوى متغير y واحد. حل المعادلة الناتجة، واستبدل القيمة التي وجدتها لـ y في أي من المعادلات الأصلية. ابحث عن x.

الطريقة الثالثة لحل نظام من معادلتين خطيتين هي رسومية. ارسم نظامًا إحداثيًا وارسم خطين مستقيمين معادلاتهما معطاة في نظامك. للقيام بذلك، استبدل أي قيمتين x في المعادلة وابحث عن y المقابلة - ستكون هذه إحداثيات النقاط التي تنتمي إلى الخط. الطريقة الأكثر ملاءمة للعثور على التقاطع مع محاور الإحداثيات هي ببساطة استبدال القيمتين x=0 و y=0. ستكون إحداثيات نقطة تقاطع هذين الخطين هي المهام.

إذا كانت هناك معادلة خطية واحدة فقط في شروط المشكلة، فقد تم إعطاؤك شروطًا إضافية يمكنك من خلالها إيجاد الحل. اقرأ المشكلة بعناية لتجد هذه الشروط. لو المتغيراتتشير x وy إلى المسافة والسرعة والوزن - لا تتردد في تعيين الحد x≥0 وy≥0. من الممكن أن يخفي x أو y عدد التفاحات، وما إلى ذلك. - إذن يمكن أن تكون القيم فقط . وإذا كان x هو عمر الابن، فمن الواضح أنه لا يمكن أن يكون أكبر من والده، فدل على ذلك في ظروف المشكلة.

مصادر:

• كيفية حل معادلة ذات متغير واحد

في حد ذاته معادلةمع ثلاثة مجهوللديها العديد من الحلول، لذلك غالبًا ما يتم استكمالها بمعادلتين أو شرطين آخرين. اعتمادًا على البيانات الأولية، سيعتمد مسار القرار إلى حد كبير.

سوف تحتاج

• - نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين.

تعليمات

إذا كان اثنان من الأنظمة الثلاثة يحتويان على اثنين فقط من المجهولات الثلاثة، فحاول التعبير عن بعض المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى واستبدالها في معادلةمع ثلاثة مجهول. هدفك في هذه الحالة هو تحويله إلى الوضع الطبيعي معادلةمع شخص مجهول. إذا كان الأمر كذلك، فإن الحل الإضافي بسيط للغاية - استبدل القيمة التي تم العثور عليها في معادلات أخرى وابحث عن جميع المجهولات الأخرى.

يمكن طرح بعض أنظمة المعادلات من معادلة إلى أخرى. معرفة ما إذا كان من الممكن ضرب أحد المتغيرين أو متغيرين بحيث يتم إلغاء مجهولين في وقت واحد. إذا كانت هناك فرصة كهذه، فاستغلها على الأرجح، فالحل اللاحق لن يكون صعبا. تذكر أنه عند الضرب في رقم، يجب عليك ضرب كلا الجانبين الأيسر والأيمن. وبالمثل، عند طرح المعادلات، يجب أن تتذكر أنه يجب أيضًا طرح الطرف الأيمن.

إذا لم تساعد الطرق السابقة، استخدم الطريقة العامة لحل أي معادلات ذات ثلاثة مجهول. للقيام بذلك، أعد كتابة المعادلات في الصورة a11x1+a12x2+a13x3=b1، a21x1+a22x2+a23x3=b2، a31x1+a32x2+a33x3=b3. الآن قم بإنشاء مصفوفة معاملات x (A)، ومصفوفة المجهول (X) ومصفوفة المتغيرات الحرة (B). يرجى ملاحظة أنه بضرب مصفوفة المعاملات في مصفوفة المجهولات، ستحصل على مصفوفة من الحدود الحرة، أي A*X=B.

أوجد المصفوفة A أس (-1) من خلال إيجادها أولاً، لاحظ أنها لا ينبغي أن تساوي صفرًا. بعد ذلك، اضرب المصفوفة الناتجة بالمصفوفة B، ونتيجة لذلك سوف تحصل على المصفوفة المطلوبة X، مع الإشارة إلى جميع القيم.

يمكنك أيضًا إيجاد حل لنظام من ثلاث معادلات باستخدام طريقة كرامر. للقيام بذلك، ابحث عن المحدد الثالث ∆ المطابق لمصفوفة النظام. ثم ابحث على التوالي عن ثلاثة محددات أخرى ∆1 و ∆2 و ∆3، مع استبدال قيم المصطلحات الحرة بدلاً من قيم الأعمدة المقابلة. الآن أوجد x: x1=∆1/∆، x2=∆2/∆، x3=∆3/∆.

مصادر:

• حلول المعادلات مع ثلاثة مجهولين

يعد حل نظام المعادلات أمرًا صعبًا ومثيرًا. كلما كان النظام أكثر تعقيدا، كلما كان حله أكثر إثارة للاهتمام. في أغلب الأحيان، توجد في الرياضيات في المدارس الثانوية أنظمة معادلات ذات مجهولين، ولكن في الرياضيات العليا قد يكون هناك المزيد من المتغيرات. يمكن حل الأنظمة باستخدام عدة طرق.

تعليمات

الطريقة الأكثر شيوعًا لحل نظام المعادلات هي الاستبدال. للقيام بذلك، تحتاج إلى التعبير عن متغير واحد بدلالة آخر واستبداله بالمتغير الثاني معادلةالأنظمة، مما يؤدي معادلةإلى متغير واحد. على سبيل المثال، بالنظر إلى المعادلات التالية: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

من التعبير الثاني، من المناسب التعبير عن أحد المتغيرات، ونقل كل شيء آخر إلى الجانب الأيمن من التعبير، دون أن ننسى تغيير علامة المعامل: x = 3-y.

افتح الأقواس: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. نعوض بالقيمة الناتجة y في التعبير: x=3-y;x=3-1;x=2 .

في التعبير الأول، جميع الحدود هي 2، يمكنك إخراج 2 من القوس إلى خاصية التوزيع للضرب: 2*(2x-y-3)=0. الآن يمكن تخفيض كلا جزأين التعبير بهذا الرقم، ثم التعبير عنهما بـ y، لأن معامل المعامل له يساوي واحدًا: -y = 3-2x أو y = 2x-3.

وكما في الحالة الأولى، نعوض بهذا التعبير في الحالة الثانية معادلةونحصل على: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 عوض بالقيمة الناتجة في التعبير: ص=2س -3;ص=4-3=1.

نرى أن معامل y هو نفسه في القيمة، ولكنه مختلف في الإشارة، لذلك، إذا أضفنا هذه المعادلات، فسنتخلص تمامًا من y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0 7x-؛ 14=0; x=2. عوّض بقيمة x في أي من معادلتي النظام واحصل على y=1.

فيديو حول الموضوع

المعادلة الرباعية معادلةيمثل معادلةالدرجة الرابعة، وشكلها العام يتمثل بالتعبير ax^4 + bx^2 + c = 0. ويعتمد حلها على استخدام طريقة استبدال المجهولات. في هذه الحالة، يتم استبدال x^2 بمتغير آخر. وبالتالي فإن النتيجة هي مربع عادي معادلة، والتي تحتاج إلى حل.

تعليمات

حل المعادلة التربيعية معادلة، الناتجة عن الاستبدال. للقيام بذلك، قم أولاً بحساب القيمة وفقًا للصيغة: D = b^2? 4ac. في هذه الحالة، المتغيرات a، b، c هي معاملات المعادلة.

أوجد جذور المعادلة التربيعية. للقيام بذلك، خذ الجذر التربيعي للحلول التي تم الحصول عليها. إذا كان هناك حل واحد، فسيكون هناك حلان - قيمة موجبة وسالبة للجذر التربيعي. إذا كان هناك حلان، فإن المعادلة التربيعية سيكون لها أربعة جذور.

فيديو حول الموضوع

إحدى الطرق الكلاسيكية لحل أنظمة المعادلات الخطية هي طريقة غاوس. وهو يتألف من الحذف المتسلسل للمتغيرات، عندما يتم تحويل نظام المعادلات، باستخدام تحويلات بسيطة، إلى نظام تدريجي، يتم من خلاله العثور على جميع المتغيرات بالتسلسل، بدءًا من المتغيرات الأخيرة.

تعليمات

أولاً، قم بتحويل نظام المعادلات إلى صيغة تكون فيها جميع المجهولات بترتيب محدد بدقة. على سبيل المثال، ستظهر جميع علامات X غير المعروفة أولاً في كل سطر، وستأتي جميع علامات Y بعد علامات X، وستأتي جميع علامات Z بعد علامات Y، وهكذا. يجب ألا تكون هناك أشياء مجهولة على الجانب الأيمن من كل معادلة. حدد ذهنيًا المعاملات الموجودة أمام كل مجهول، وكذلك المعاملات الموجودة على الجانب الأيمن من كل معادلة.

قبل حل المعادلات التربيعية، عليك أن تفهم ما هو هذا التعبير. إذن هذه معادلة من الدرجة الرابعة ويمكن كتابتها على النحو التالي: (الفأس 4) + (بx 2) + ج = 0" ويمكن كتابة صيغتها العامة بالشكل " أوه" لحل معادلة من هذا النوع، تحتاج إلى استخدام طريقة تسمى "استبدال المجهول". ووفقا له، فإن التعبير " × 2"يجب استبداله بمتغير آخر. بعد هذا الاستبدال، يتم الحصول على معادلة تربيعية بسيطة، وحلها في المستقبل ليس صعبا.

ضروري:

- ورقة فارغة؛
- قلم الكتابة؛
- مهارات الرياضيات الأساسية.

تعليمات:

• لذا، عليك أولًا كتابة التعبير على قطعة من الورق. تتكون المرحلة الأولى من حلها من إجراء بسيط لاستبدال التعبير " × 2 " إلى متغير بسيط (على سبيل المثال " ل"). وبعد الانتهاء من ذلك، يجب أن يكون لديك معادلة جديدة: " (أك 2) – (بك) + ج = 0».
• بعد ذلك، من أجل حل المعادلة التربيعية بشكل صحيح، يجب عليك أولاً العثور على جذور " (أك 2) - (بك) + س = 0"، الذي حصلت عليه بعد الاستبدال. للقيام بذلك، سيكون من الضروري حساب قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: " د = (ب 2 ) - 4 * تيار متردد" علاوة على ذلك، فإن كل هذه المتغيرات ( أ, بو مع) هي معاملات المعادلة أعلاه.
• خلال حساب التمييز يمكننا معرفة ما إذا كانت المعادلة التربيعية لدينا لها حل، لأنه إذا تبين في النهاية أن هذه القيمة تحتوي على علامة ناقص، فقد لا يكون لها حل في المستقبل. إذا كان المميز يساوي صفر، فسيكون لدينا حل واحد محدد بالصيغة التالية: " ك = - (ب / 2 * أ)" حسنًا، إذا تبين أن المميز أكبر من صفر، فسيكون لدينا حلان. لإيجاد حلين، سيكون من الضروري أخذ الجذر التربيعي لـ " د"(أي من المميز). يجب كتابة القيمة الناتجة كمتغير " QD».
• والخطوة التالية مباشرة حل معادلة تربيعية ، الذي حصلت عليه. للقيام بذلك، سوف تحتاج إلى استبدال القيم المعروفة بالفعل في الصيغة. لأحد الحلول:" k1 = (-ب + QD) / 2 * أ"، وفي الآخرة:" k2 = (-ب - QD) / 2 * أ».
• وأخيرا المرحلة النهائية - العثور على جذور المعادلة التربيعية . للقيام بذلك، سيكون من الضروري أخذ الجذر التربيعي للحلول التي تم الحصول عليها مسبقًا للمعادلة التربيعية العادية. إذا كان المميز يساوي صفرًا، وكان لدينا حل واحد فقط، ففي هذه الحالة سيكون هناك جذرين (بقيمة جذر تربيعي سالب وموجب). وبناءً على ذلك، إذا كان المميز أكبر من الصفر، فسيكون للمعادلة التربيعية ما يصل إلى أربعة جذور.

تعلمنا في الدروس السابقة كيفية حل المعادلات التربيعية. للقيام بذلك، كان من الضروري إدخال كائن رياضي جديد - التمييز. إذا كنت لا تتذكر ما هو هذا، أوصي بالعودة إلى الدرس "كيفية حل المعادلات التربيعية".

في البداية، تعريف المعادلة التربيعية بشكل عام هو أي تعبير حيث يكون المتغير موجودًا فقط في القوى الرابعة والثانية.

1) أدخل متغيرًا جديدًا $((x)^(2))=t$. في هذه الحالة، بتربيع طرفي هذه المعادلة، نحصل على

\[\begin(align)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(محاذاة)\]

2) أعد كتابة التعبير - $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) أوجد حلاً للمعادلة الناتجة وأوجد المتغيرين $((t)_(1))$ و$((t)_(2))$ إذا كان هناك جذرين.

4) نقوم بإجراء الاستبدال العكسي، أي أننا نتذكر ما هو $t$، ونحصل على بنائين: $((x)^(2))=((t)_(1))$ و$((x)^ (2))=((ر)_(2))$.

5) حل المعادلات الناتجة وأوجد علامة X.

تحديات حقيقية

مثال رقم 1

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط على المعادلات التربيعية الحقيقية.

دعونا نحل المشكلة الأولى:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

نقدم متغيرًا جديدًا ونعيد كتابته:

\[((x)^(2))=t\to ((t)^(2))-5t+4=0\]

هذه معادلة تربيعية عادية، فلنحسبها باستخدام المميز:

وهذا رقم جيد. الجذر هو 3.

الآن نجد قيمة $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text()\frac(5+3)(2)=\text()\frac(8)(2)\text( )=\text() ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text()\frac(2)(2)\text(= )1 \\\end (صفيف)\]

لكن كن حذرًا، لم نجد سوى $t$ - وهذا ليس حلاً، هذه هي الخطوة الثالثة فقط. دعنا ننتقل إلى الخطوة الرابعة - تذكر ما هو $t$ وحل:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\\end(align) \right. \\\النهاية(محاذاة)\]

وبذلك نكون قد حللنا الجزء الأول. دعنا ننتقل إلى القيمة الثانية $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\\النهاية(محاذاة)\]

في المجمل، حصلنا على أربع إجابات: 2؛ -2؛ 1؛ -1، أي. يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية على ما يصل إلى أربعة جذور.

المثال رقم 2

لننتقل إلى المثال الثاني:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

لن أصف كل شيء بالتفصيل هنا. دعونا نقرر كما نفعل في الفصل.

نستبدل:

ثم سنحصل على:

\[((ر)^(2))-25t+144=0\]

نحن نحسب $D$:

جذر المميز هو 7. لنجد $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text()\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text() =\frac(25-7)(2)=\text()\frac(18)(2)\text()=\text( )9 \\\end (صفيف)\]

دعونا نتذكر ما هو $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \left[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\\end(align) \right . \\\النهاية(محاذاة)\]

الخيار الثاني:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \begin(align)& x=3 \\& x=-3 \\\end(align) \right . \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شيء. لدينا مرة أخرى أربع إجابات: 4؛ -4؛ 3؛ -3.

المثال رقم 3

دعنا ننتقل إلى المعادلة التربيعية الأخيرة:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

مرة أخرى نقدم البديل:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

دعونا نضرب كلا الطرفين في 4 للتخلص من الاحتمالات الكسرية:

لنجد $D$:

جذر المميز هو ثلاثة:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text()\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text()\frac(8)(8)\text( )=\ النص ( )1 \\((t)_(2))\text()=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text()\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\end(صفيف)\]

نحن نحسب علامات X. دعونا نتذكر ما هو $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right . \\\النهاية(محاذاة)\]

الخيار الثاني أكثر تعقيدًا بعض الشيء:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(align) \right. \\\النهاية(محاذاة)\]

لقد حصلنا على أربعة جذور مرة أخرى:

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية. وبطبيعة الحال، هذه ليست الطريقة الأسرع، ولكنها الأكثر موثوقية. حاول حل نفس الأمثلة الموجودة في هذا الفيديو بنفسك. في الإجابة يجب كتابة قيم X مفصولة بفاصلة منقوطة - هكذا كتبتها. بهذا يختتم الدرس. حظ سعيد!