كيفية حل اللوغاريتمات ذات الأساس نفسه مع الأمثلة. خواص اللوغاريتمات وأمثلة على حلولها

274. ملاحظات.

أ)إذا كان التعبير الذي تريد تقييمه يحتوي على مجموعأو اختلافالأرقام، فيجب العثور عليها دون مساعدة الجداول عن طريق الجمع أو الطرح العادي. على سبيل المثال:

سجل (35 +7.24) 5 = 5 سجل (35 + 7.24) = 5 سجل 42.24.

ب)بمعرفة كيفية التعبيرات اللوغاريتمية، يمكننا، بشكل عكسي، باستخدام نتيجة لوغاريتمية معينة، العثور على التعبير الذي تم الحصول على هذه النتيجة منه؛ حتى إذا

سجل X=log أ+سجل ب- 3 سجل مع,

فمن السهل أن نفهم ذلك

الخامس)قبل الانتقال إلى النظر في بنية الجداول اللوغاريتمية، سنشير إلى بعض خصائص اللوغاريتمات العشرية، أي. تلك التي يتم فيها أخذ الرقم 10 كأساس (يتم استخدام هذه اللوغاريتمات فقط في العمليات الحسابية).

الفصل الثاني.

خصائص اللوغاريتمات العشرية.

275 . أ) بما أن 10 1 = 10، 10 2 = 100، 10 3 = 1000، 10 4 = 10000، وما إلى ذلك، ثم سجل 10 = 1، سجل 100 = 2، سجل 1000 = 3، سجل 10000 = 4، وما إلى ذلك.

وسائل، لوغاريتم العدد الصحيح الذي يمثله الواحد والأصفار هو عدد صحيح موجب يحتوي على عدد من الآحاد يساوي عدد الأصفار في تمثيل الرقم.

هكذا: سجل 100000 = 5, سجل 1000 000 = 6 ، إلخ.

ب) لأن

سجل 0.1 = -l; سجل 0.01 = - 2؛ سجل 0.001 == -3؛ سجل 0.0001 = - 4,إلخ.

وسائل، لوغاريتم الكسر العشري، الذي يتم تمثيله بوحدة ذات أصفار سابقة، هو عدد صحيح سالب يحتوي على عدد من الوحدات السالبة يساوي عدد الأصفار في تمثيل الكسر، بما في ذلك 0 أعداد صحيحة.

هكذا: سجل 0.00001= - 5، سجل 0.000001 = -6،إلخ.

الخامس)لنأخذ عددًا صحيحًا لا يمثله الواحد والأصفار، على سبيل المثال. 35، أو عدد صحيح به كسر، على سبيل المثال. 10.7. لا يمكن أن يكون لوغاريتم هذا الرقم عددًا صحيحًا، نظرًا لأنه عند رفع 10 إلى قوة ذات أس صحيح (موجب أو سلبي)، نحصل على 1 بأصفار (بعد 1 أو قبله). لنفترض الآن أن لوغاريتم هذا الرقم يمثل كسرًا ما أ / ب . ثم سيكون لدينا المساواة

لكن هذه المساواة مستحيلة 10أ هناك 1s مع الأصفار، في حين أن الدرجات 35ب و 10,7ب بأي مقياس ب لا يمكن إعطاء 1 متبوعًا بالأصفار. وهذا يعني أننا لا نستطيع أن نسمح سجل 35و سجل 10.7كانت مساوية للكسور. لكن من خواص الدالة اللوغاريتمية نعلم () أن كل رقم موجب له لوغاريتم؛ وبالتالي، فإن كل رقم من الرقمين 35 و10.7 له لوغاريتم خاص به، وبما أنه لا يمكن أن يكون عددًا صحيحًا أو عددًا كسريًا، فهو رقم غير نسبي، وبالتالي لا يمكن التعبير عنه بالضبط بالأرقام. عادةً ما يتم التعبير عن اللوغاريتمات غير المنطقية تقريبًا ككسر عشري به عدة منازل عشرية. يتم استدعاء العدد الصحيح لهذا الكسر (حتى لو كان "0 أعداد صحيحة"). صفة مميزةوالجزء الكسري هو الجزء العشري من اللوغاريتم. على سبيل المثال، إذا كان هناك لوغاريتم 1,5441 فخصائصه متساوية 1 ، والعشري هو 0,5441 .

ز)لنأخذ بعض الأعداد الصحيحة أو المختلطة، على سبيل المثال. 623 أو 623,57 . يتكون لوغاريتم هذا الرقم من خاصية وجزء عشري. وتبين أن اللوغاريتمات العشرية لديها الراحة التي يمكننا دائمًا العثور على خصائصها من خلال نوع واحد من الأرقام . للقيام بذلك، دعونا نحسب عدد الأرقام الموجودة في عدد صحيح معين، أو في جزء صحيح من رقم مختلط في أمثلةنا لهذه الأرقام 3 . لذلك، كل من الأرقام 623 و 623,57 أكثر من 100 ولكن أقل من 1000؛ وهذا يعني أن لوغاريتم كل منهم أكبر سجل 100، أي أكثر 2 ، ولكن أقل سجل 1000، أي أقل 3 (تذكر أن الرقم الأكبر له أيضًا لوغاريتم أكبر). لذلك، سجل 623 = 2،...، و سجل 623.57 = 2،... (النقاط تحل محل الأجزاء العشرية غير المعروفة).

ومثل هذا نجد:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 سجل 56.7 = 1،...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 سجل 8634 = 3،...

بشكل عام، دع عددًا صحيحًا معينًا، أو جزءًا صحيحًا من عدد مختلط معين، يحتوي على م أعداد بما أن أصغر عدد صحيح يحتوي على م الأرقام، نعم 1 مع م - 1 أصفار في النهاية، ثم (يشير إلى هذا الرقم ن) يمكننا كتابة عدم المساواة:

وبالتالي

م - 1 < log N < م ,

سجل ن = ( م- 1) + كسر موجب.

لذلك السمة سجل ن = م - 1 .

ونحن نرى بهذه الطريقة أن تحتوي خاصية لوغاريتم العدد الصحيح أو المختلط على عدد من الوحدات الموجبة يساوي عدد الأرقام في الجزء الصحيح من الرقم ناقص واحد.

وبعد أن لاحظنا ذلك يمكننا أن نكتب مباشرة:

سجل 7.205 = 0،...; سجل 83 = 1،...; سجل 720.4 = 2،...وما إلى ذلك وهلم جرا.

ه)لنأخذ عدة كسور عشرية أصغر 1 (أي وجود 0 جميع): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, وما إلى ذلك وهلم جرا.

وبالتالي، فإن كل من هذه اللوغاريتمات يقع بين عددين صحيحين سالبين يختلفان بوحدة واحدة؛ وبالتالي فإن كل واحد منهم يساوي أصغر هذه الأعداد السالبة مضافًا إليه كسر موجب. على سبيل المثال، log0.0056= -3 + كسر موجب. لنفترض أن هذا الكسر هو 0.7482. ثم يعني:

سجل 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

مبالغ مثل - 3 + 0,7482 ، المكونة من عدد صحيح سالب وكسر عشري موجب، اتفقنا على كتابة مختصرة كما يلي في الحسابات اللوغاريتمية: 3 ,7482 (يقرأ هذا الرقم: 3 ناقص 7482 جزءًا من عشرة آلاف.) ، أي أنهم يضعون علامة الطرح فوق الخاصية ليبينوا أنها تتعلق بهذه الخاصية فقط، وليس بالعشرية التي تظل موجبة. وهكذا يتضح من الجدول السابق أن

سجل 0.35 == 1,...; سجل 0.07 = 2,...; سجل 0.0008 = 4،....

دع على الإطلاق . يوجد كسر عشري قبل أول رقم مهم α التكاليف م الأصفار، بما في ذلك 0 الأعداد الصحيحة. ثم فمن الواضح أن

- م < log A < - (م- 1).

حيث أنه من عددين صحيحين:- م و - (م- 1) هناك أقل - م ، الذي - التي

سجل أ = - م+ جزء موجب,

وبالتالي السمة سجل أ = - م (مع العشري الإيجابي).

هكذا، تحتوي خاصية لوغاريتم الكسر العشري الأقل من 1 على عدد من الأعداد السالبة مثل وجود أصفار في صورة الكسر العشري قبل أول رقم مهم، بما في ذلك الأعداد الصحيحة الصفرية؛ الجزء العشري لمثل هذا اللوغاريتم إيجابي.

ه)دعونا نضرب بعض الأرقام ن(عدد صحيح أو كسر - لا يهم) بمقدار 10، أو 100، أو 1000...، وبشكل عام 1 مع الأصفار. دعونا نرى كيف يتغير هذا سجل ن. وبما أن لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل، إذن

سجل (N 10) = سجل N + سجل 10 = سجل N + 1؛

سجل (N 100) = سجل N + سجل 100 = سجل N + 2؛

سجل (N 1000) = سجل N + سجل 1000 = سجل N + 3؛إلخ.

متى سجل ننضيف بعض الأعداد الصحيحة، ثم يمكننا دائمًا إضافة هذا الرقم إلى الخاصية، وليس إلى الجزء العشري.

لذا، إذا كان السجل N = 2.7804، فإن 2.7804 + 1 = 3.7804؛ 2.7804 + 2 = 4.7801، إلخ؛

أو إذا كان السجل N = 3.5649، فإن 3.5649 + 1 = 2.5649؛ 3.5649 + 2 = 1.5649، إلخ.

عندما يتم ضرب رقم ما في 10، 100، 1000،...، بشكل عام في 1 مع أصفار، لا يتغير الجزء العشري من اللوغاريتم، وتزداد الخاصية بعدد الوحدات بقدر وجود أصفار في العامل .

وبالمثل، مع الأخذ في الاعتبار أن لوغاريتم حاصل القسمة يساوي لوغاريتم المقسوم دون لوغاريتم المقسوم عليه، نحصل على:

سجل N / 10 = سجل N- سجل 10 = سجل N -1;

سجل N / 100 = سجل N- سجل 100 = سجل N -2;

سجل N / 1000 = سجل N- سجل 1000 = سجل N -3؛وما إلى ذلك وهلم جرا.

إذا اتفقنا، عند طرح عدد صحيح من اللوغاريتم، على طرح هذا العدد الصحيح دائمًا من الخاصية وترك الجزء العشري دون تغيير، فيمكننا أن نقول:

قسمة رقم على 1 بأصفار لا يغير الجزء العشري للوغاريتم، لكن الخاصية تتناقص بعدد الوحدات بقدر وجود أصفار في المقسوم عليه.

276. العواقب.من الممتلكات ( ه) يمكن استنتاج النتيجتين الطبيعيتين التاليتين:

أ) لا يتغير الجزء العشري من لوغاريتم الرقم العشري عند نقله إلى النقطة العشرية لأن تحريك النقطة العشرية يعادل الضرب أو القسمة على 10، 100، 1000، إلخ. وبالتالي، فإن لوغاريتمات الأرقام:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

تختلف فقط في الخصائص، ولكن ليس في الأجزاء العشرية (بشرط أن تكون جميع الأجزاء العشرية إيجابية).

ب) الأجزاء العشرية من الأرقام التي لها نفس الجزء المهم، ولكنها تختلف فقط في نهاية الأصفار، هي نفسها: وبالتالي، فإن لوغاريتمات الأرقام: 23، 230، 2300، 23000 تختلف فقط في الخصائص.

تعليق. من الخصائص المشار إليها للوغاريتمات العشرية، من الواضح أنه يمكننا العثور على خصائص لوغاريتم عدد صحيح وكسر عشري دون مساعدة الجداول (هذه هي الراحة الكبيرة للوغاريتمات العشرية)؛ ونتيجة لذلك، يتم وضع جزء عشري واحد فقط في الجداول اللوغاريتمية؛ بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن العثور على لوغاريتمات الكسور يقتصر على إيجاد لوغاريتمات الأعداد الصحيحة (لوغاريتم الكسر = لوغاريتم البسط بدون لوغاريتم المقام)، يتم وضع الأجزاء العشرية من اللوغاريتمات للأعداد الصحيحة فقط في الجداول.

الفصل الثالث.

تصميم واستخدام الجداول المكونة من أربعة أرقام.

277. أنظمة اللوغاريتمات.نظام اللوغاريتمات هو مجموعة من اللوغاريتمات المحسوبة لعدد من الأعداد الصحيحة المتتالية باستخدام نفس الأساس. يتم استخدام نظامين: نظام اللوغاريتمات العادية أو العشرية، حيث يتم أخذ الرقم كأساس 10 ، ونظام ما يسمى باللوغاريتمات الطبيعية، حيث يتم أخذ رقم غير نسبي كأساس (لبعض الأسباب الواضحة في فروع الرياضيات الأخرى) 2,7182818 ... بالنسبة للحسابات، يتم استخدام اللوغاريتمات العشرية، وذلك بسبب الراحة التي أشرنا إليها عندما أدرجنا خصائص هذه اللوغاريتمات.

اللوغاريتمات الطبيعية تسمى أيضًا نيبيروف، نسبة إلى مخترع اللوغاريتمات، وهو عالم رياضيات اسكتلندي نيبيرا(1550-1617)، واللوغاريتمات العشرية - بريجز على اسم الأستاذ بريجا(معاصر وصديق لنابير)، وهو أول من قام بتجميع جداول هذه اللوغاريتمات.

278. تحويل لوغاريتم سلبي إلى لوغاريتم العشري موجب، والتحويل العكسي. لقد رأينا أن لوغاريتمات الأعداد الأقل من 1 تكون سالبة. وهذا يعني أنها تتكون من خاصية سلبية وعشرية سلبية. يمكن دائمًا تحويل مثل هذه اللوغاريتمات بحيث تكون الأجزاء العشرية الخاصة بها موجبة، ولكن تظل الخاصية سلبية. للقيام بذلك، يكفي إضافة إيجابية إلى العشري، وسالبة للخاصية (والتي، بالطبع، لا تغير قيمة اللوغاريتم).

على سبيل المثال، إذا كان لدينا لوغاريتم - 2,0873 ، ثم يمكنك كتابة:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

أو مختصرا:

على العكس من ذلك، يمكن تحويل أي لوغاريتم ذو خاصية سلبية وعشرية إيجابية إلى لوغاريتم سلبي. للقيام بذلك، يكفي أن نعلق سلبية على العشري الإيجابي، وإيجابية إلى السمة السلبية: لذلك، يمكنك الكتابة:

279. وصف الجداول المكونة من أربعة أرقام.لحل معظم المشكلات العملية، تكون الجداول المكونة من أربعة أرقام كافية تمامًا، والتي يكون التعامل معها بسيطًا للغاية. هذه الجداول (مع نقش "اللوغاريتمات" في الأعلى) موضوعة في نهاية هذا الكتاب، وقد طبع في هذه الصفحة جزء صغير منها (لشرح الترتيب).

اللوغاريتمات.

اللوغاريتمات لجميع الأعداد الصحيحة من 1 قبل 9999 شاملة، محسوبة إلى أربع منازل عشرية، مع زيادة آخر هذه المنازل بمقدار 1 في جميع الحالات التي تكون فيها العلامة العشرية الخامسة 5 أو أكثر من 5؛ وبالتالي، فإن الجداول المكونة من 4 أرقام تعطي أجزاء تقريبية تصل إلى 1 / 2 جزء من عشرة آلاف (مع نقص أو زيادة).

نظرًا لأننا نستطيع وصف لوغاريتم عدد صحيح أو كسر عشري بشكل مباشر، استنادًا إلى خصائص اللوغاريتمات العشرية، فيجب علينا أن نأخذ الأجزاء العشرية فقط من الجداول؛ في الوقت نفسه، يجب أن نتذكر أن موضع العلامة العشرية في الرقم العشري، وكذلك عدد الأصفار في نهاية الرقم، لا يؤثر على قيمة العشرية. لذلك، عند العثور على الجزء العشري لرقم معين، نتخلص من الفاصلة في هذا الرقم، وكذلك الأصفار الموجودة في نهايته، إن وجدت، ونجد الجزء العشري للعدد الصحيح المتكون بعد ذلك. قد تنشأ الحالات التالية.

1) العدد الصحيح يتكون من 3 أرقام.على سبيل المثال، لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على الجزء العشري من لوغاريتم الرقم 536. أول رقمين من هذا الرقم، أي 53، موجودان في الجداول في العمود الرأسي الأول على اليسار (انظر الجدول). وبعد أن وجدنا الرقم 53 ننتقل منه على طول خط أفقي إلى اليمين حتى يتقاطع هذا الخط مع عمود رأسي يمر عبر أحد الأرقام 0، 1، 2، 3،... 9، الموضوعة في الأعلى (و أسفل) من الجدول، وهو الرقم الثالث من رقم معين، أي في مثالنا، الرقم 6. عند التقاطع نحصل على الجزء العشري 7292 (أي 0.7292)، الذي ينتمي إلى لوغاريتم الرقم 536. وبالمثل ، بالنسبة للرقم 508 نجد الجزء العشري 0.7059، بالنسبة للرقم 500 نجد 0.6990، إلخ.

2) يتكون العدد الصحيح من رقمين أو رقم واحد.ثم نخصص عقليًا صفرًا أو صفرين لهذا الرقم ونجد الجزء العشري للرقم المكون من ثلاثة أرقام على هذا النحو. على سبيل المثال، نضيف صفرًا واحدًا إلى الرقم 51، فنحصل منه على 510 ونجد الجزء العشري 7070؛ إلى الرقم 5 نخصص صفرين ونجد الجزء العشري 6990، وما إلى ذلك.

3) يتم التعبير عن عدد صحيح في 4 أرقام.على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على الجزء العشري من السجل 5436. ثم نجد أولاً في الجداول، كما هو موضح للتو، الجزء العشري للرقم الذي يمثله الأرقام الثلاثة الأولى من هذا الرقم، أي 543 (سيكون هذا الجزء العشري 7348) ; ثم ننتقل من الجزء العشري الموجود على طول الخط الأفقي إلى اليمين (إلى الجانب الأيمن من الجدول الموجود خلف الخط العمودي السميك) حتى يتقاطع مع العمود الرأسي الذي يمر عبر أحد الأرقام: 1، 2 3،. .. 9، يقع في أعلى (وفي أسفل) هذا الجزء من الجدول، والذي يمثل الرقم الرابع من رقم معين، أي في مثالنا الرقم 6. عند التقاطع نجد التصحيح (الرقم) 5)، والتي يجب تطبيقها عقليًا على الجزء العشري من الرقم 7348 من أجل الحصول على الجزء العشري من الرقم 5436؛ بهذه الطريقة نحصل على الجزء العشري 0.7353.

4) يتم التعبير عن العدد الصحيح بخمسة أرقام أو أكثر.ثم نتجاهل جميع الأرقام باستثناء الأربعة الأولى، ونأخذ رقمًا تقريبيًا مكونًا من أربعة أرقام، ونزيد الرقم الأخير من هذا الرقم بمقدار 1 في ذلك الرقم. الحالة التي يكون فيها الرقم الخامس المهمل هو 5 أو أكثر من 5. لذلك، بدلاً من 57842 نأخذ 5784، بدلاً من 30257 نأخذ 3026، بدلاً من 583263 نأخذ 5833، إلخ. بالنسبة لهذا العدد المقرب المكون من أربعة أرقام، نجد الجزء العشري كما هو موضح للتو.

وبالاسترشاد بهذه التعليمات، دعونا نجد، على سبيل المثال، لوغاريتمات الأعداد التالية:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

بادئ ذي بدء، دون الرجوع إلى الجداول الآن، سنضع فقط الخصائص، مع ترك مساحة للأجزاء العشرية، التي سنكتبها بعد ذلك:

سجل 36.5 = 1،... سجل 0.00345 = 3،....

سجل 804.7 = 2،... سجل 7.2634 = 0،....

سجل 0.26 = 1،... سجل 3456.86 = 3،....

سجل 36.5 = 1.5623؛ سجل 0.00345 = 3.5378؛

سجل 804.7 = 2.9057؛ سجل 7.2634 = 0.8611؛

سجل 0.26 = 1.4150؛ سجل 3456.86 = 3.5387.

280. ملاحظة. في بعض الجداول المكونة من أربعة أرقام (على سبيل المثال، في الجداول V. Lorchenko و N. Ogloblina، S. Glazenap، N. Kamenshchikova) لم يتم وضع تصحيحات للرقم الرابع من هذا الرقم. عند التعامل مع مثل هذه الجداول، يجب إيجاد هذه التصحيحات باستخدام عملية حسابية بسيطة، يمكن إجراؤها على أساس الحقيقة التالية: إذا تجاوزت الأرقام 100 والفروق بينها أقل من 1، فإنه بدون خطأ حساس يمكن افتراض ذلك تتناسب الاختلافات بين اللوغاريتمات مع الاختلافات بين الأرقام المقابلة . دعونا، على سبيل المثال، نحتاج إلى العثور على الجزء العشري المطابق للرقم 5367. هذا الجزء العشري، بالطبع، هو نفسه بالنسبة للرقم 536.7. نجد في الجداول الخاصة بالرقم 536 الجزء العشري 7292. وبمقارنة هذا الجزء العشري مع الجزء العشري 7300 المجاور لليمين، الموافق للرقم 537، نلاحظ أنه إذا زاد العدد 536 بمقدار 1، فإن الجزء العشري الخاص به سيزيد بمقدار 8 عشرة. -الألف (8 هو ما يسمى فرق الجدولبين اثنين من الأجزاء العشرية المتجاورة)؛ إذا زاد الرقم 536 بمقدار 0.7، فإن الجزء العشري الخاص به لن يزيد بمقدار 8 أجزاء من عشرة آلاف، ولكن بمقدار عدد أصغر X عشرة آلاف، والتي، وفقًا للتناسب المفترض، يجب أن تستوفي النسب:

X :8 = 0.7:1؛ أين X = 8 07 = 5,6,

والذي تم تقريبه إلى 6 أجزاء من عشرة آلاف. هذا يعني أن الجزء العشري للرقم 536.7 (وبالتالي للرقم 5367) سيكون: 7292 + 6 = 7298.

لاحظ أن العثور على رقم وسيط باستخدام رقمين متجاورين في الجداول يسمى إقحام.الاستيفاء الموصوف هنا يسمى متناسبلأنه يقوم على افتراض أن التغير في اللوغاريتم يتناسب مع التغير في الرقم. ويسمى أيضًا خطيًا، لأنه يفترض أنه يتم التعبير عن التغير في الدالة اللوغاريتمية بيانيًا بخط مستقيم.

281. حد الخطأ في اللوغاريتم التقريبي.إذا كان الرقم المطلوب لوغاريتمه هو رقم دقيق، فيمكن أخذ حد خطأ اللوغاريتم الخاص به الموجود في الجداول المكونة من 4 أرقام، كما قلنا في 1 / 2 الجزء العشرة آلاف. إذا لم يكن هذا الرقم دقيقًا، فيجب علينا أيضًا أن نضيف إلى حد الخطأ هذا حد خطأ آخر ناتج عن عدم دقة الرقم نفسه. لقد ثبت (نحن نحذف هذا الدليل) أن مثل هذا الحد يمكن اعتباره المنتج

أ(د +1) عشرة آلاف،

بحيث أ هو هامش الخطأ للرقم الأكثر دقة، على افتراض ذلك الجزء الصحيح يحتوي على 3 أرقام،أ د الفرق الجدولي للأجزاء العشرية المقابلة لرقمين متتاليين مكونين من ثلاثة أرقام يقع بينهما الرقم غير الدقيق المحدد. وبالتالي، سيتم التعبير عن حد الخطأ النهائي للوغاريتم بالصيغة:

1 / 2 + أ(د +1) عشرة آلاف

مثال. البحث عن السجل π ، أخذ ل π الرقم التقريبي 3.14 بالضبط 1 / 2 مائة.

وبتحريك الفاصلة بعد الرقم الثالث في الرقم 3.14، عند العد من اليسار، نحصل على الرقم المكون من ثلاثة أرقام 314، بالضبط 1 / 2 وحدات؛ وهذا يعني أن هامش الخطأ لعدد غير دقيق، أي ما دلنا عليه بالحرف أ ، هنالك 1 / 2 ومن الجداول نجد:

سجل 3.14 = 0.4969.

فرق الجدول د بين الأجزاء العشرية للأرقام 314 و 315 يساوي 14، وبالتالي فإن خطأ اللوغاريتم الموجود سيكون أقل

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 عشرة آلاف.

وبما أننا لا نعرف عن اللوغاريتم 0.4969 ما إذا كان ناقصًا أم زائدًا، فلا يمكننا إلا أن نضمن أن اللوغاريتم الدقيق π تقع بين 0.4969 - 0.0008 و 0.4969 + 0.0008 أي 0.4961< log π < 0,4977.

282. ابحث عن رقم باستخدام لوغاريتم معين. للعثور على رقم باستخدام لوغاريتم معين، يمكن استخدام نفس الجداول للعثور على الأجزاء العشرية لأرقام معينة؛ ولكن من الأفضل استخدام جداول أخرى تحتوي على ما يسمى بمضادات اللوغاريتمات، أي الأرقام المقابلة لهذه الأجزاء العشرية. وهذه الجداول المشار إليها بالنقش الموجود في الأعلى "اللوغاريتمات المضادة" توضع في نهاية هذا الكتاب بعد أن يوضع جزء بسيط منها في هذه الصفحة (للتوضيح).

لنفترض أنك حصلت على الجزء العشري المكون من 4 أرقام 2863 (نحن لا ننتبه إلى الخاصية) وتحتاج إلى العثور على العدد الصحيح المقابل. بعد ذلك، مع وجود جداول اللوغاريتمات المضادة، تحتاج إلى استخدامها بنفس الطريقة تمامًا كما تم شرحها مسبقًا للعثور على الجزء العشري لرقم معين، وهي: نجد أول رقمين من الجزء العشري في العمود الأول على اليسار. ثم ننتقل من هذه الأرقام على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى يتقاطع مع العمود الرأسي القادم من الرقم الثالث من العشري، والذي يجب البحث عنه في السطر العلوي (أو السفلي). عند التقاطع نجد الرقم المكون من أربعة أرقام 1932، الموافق للجزء العشري 286. ثم من هذا الرقم نتحرك أكثر على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى التقاطع مع العمود العمودي القادم من الرقم الرابع للجزء العشري، والذي يجب أن يمكن العثور عليها في الأعلى (أو الأسفل) بين الأرقام 1، 2 الموضوعة هناك، 3،... 9. عند التقاطع نجد التصحيح 1، والذي يجب تطبيقه (في العقل) على الرقم 1032 الموجود سابقًا بالترتيب للحصول على الرقم المقابل للجزء العشري 2863.

وبالتالي، سيكون الرقم 1933. بعد ذلك، مع الانتباه إلى الخاصية، تحتاج إلى وضع الرقم 1933 في المكان المناسب. على سبيل المثال:

لو سجل س = 3.2863 إذن X = 1933,

„ سجل س = 1,2863, „ X = 19,33,

, سجل س = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ سجل س = 2 ,2863, „ X = 0,01933

فيما يلي المزيد من الأمثلة:

سجل س = 0,2287, X = 1,693,

سجل س = 1 ,7635, X = 0,5801,

سجل س = 3,5029, X = 3184,

سجل س = 2 ,0436, X = 0,01106.

إذا كان الجزء العشري يحتوي على 5 أرقام أو أكثر، فإننا نأخذ الأرقام الأربعة الأولى فقط، ونتخلص من الباقي (ونزيد الرقم الرابع بمقدار 1 إذا كان الرقم الخامس يحتوي على خمسة أو أكثر). على سبيل المثال، بدلاً من الجزء العشري 35478 نأخذ 3548، بدلاً من 47562 نأخذ 4756.

283. ملاحظة.يمكن أيضًا العثور على تصحيح الرقم الرابع والأرقام اللاحقة من الجزء العشري من خلال الاستيفاء. لذلك، إذا كان الجزء العشري هو 84357، فبعد العثور على الرقم 6966، المطابق للجزء العشري 843، يمكننا أيضًا التفكير على النحو التالي: إذا زاد الجزء العشري بمقدار 1 (بالألف)، أي أنه يصبح 844، فإن الرقم، كما يلي: يمكن رؤيته من الجداول، سيزيد بمقدار 16 وحدة؛ إذا زاد الجزء العشري ليس بمقدار 1 (ألف)، ولكن بمقدار 0.57 (ألف)، فسيزيد العدد بمقدار X الوحدات، و X يجب أن تستوفي النسب:

X : 16 = 0.57: 1، من أين س = 16 0,57 = 9,12.

وهذا يعني أن الرقم المطلوب سيكون 6966+ 9.12 = 6975.12 أو (يقتصر على أربعة أرقام فقط) 6975.

284. حد الخطأ في الرقم الذي تم العثور عليه.لقد ثبت أنه في حالة وجود الفاصلة في الرقم الموجود بعد الرقم الثالث من اليسار، أي عندما تكون خاصية اللوغاريتم 2، يمكن اعتبار المجموع كحد للخطأ

أين أ هو حد الخطأ في اللوغاريتم (معبرًا عنه بعشرة آلاف) الذي تم من خلاله العثور على الرقم، و د - الفرق بين الأجزاء العشرية المكونة من رقمين متتاليين مكونين من ثلاثة أرقام يقع بينهما الرقم الموجود (مع فاصلة بعد الرقم الثالث من اليسار). عندما لا تكون الخاصية 2، ولكن بعض الخصائص الأخرى، في الرقم الذي تم العثور عليه، يجب نقل الفاصلة إلى اليسار أو إلى اليمين، أي تقسيم الرقم أو ضربه ببعض قوة 10. في هذه الحالة، الخطأ سيتم أيضًا تقسيم النتيجة أو ضربها بنفس القوة 10.

لنفترض، على سبيل المثال، أننا نبحث عن رقم باستخدام اللوغاريتم 1,5950 ، والذي يُعرف بأنه دقيق حتى 3 أجزاء من عشرة آلاف؛ وهذا يعني ذلك الحين أ = 3 . الرقم المقابل لهذا اللوغاريتم الموجود في جدول اللوغاريتمات المضادة هو 39,36 . بتحريك الفاصلة بعد الرقم الثالث من اليسار نحصل على الرقم 393,6 ، تتكون بين 393 و 394 . من جداول اللوغاريتمات نرى أن الفرق بين الأجزاء العشرية المقابلة لهذين الرقمين هو 11 عشرة آلاف؛ وسائل د = 11 . سيكون خطأ الرقم 393.6 أقل

وهذا يعني أن الخطأ في الرقم 39,36 سيكون هناك أقل 0,05 .

285. العمليات على اللوغاريتمات ذات الخصائص السلبية.لا يمثل جمع وطرح اللوغاريتمات أي صعوبات، كما يتبين من الأمثلة التالية:

كما لا توجد صعوبة في ضرب اللوغاريتم بعدد موجب، على سبيل المثال:

في المثال الأخير، يتم ضرب العشري الموجب بشكل منفصل في 34، ثم يتم ضرب الخاصية السلبية في 34.

إذا تم ضرب لوغاريتم الخاصية السالبة والأجزاء العشرية الموجبة بعدد سالب، فعندئذ يتم المضي بطريقتين: إما أن يتحول اللوغاريتم المحدد إلى سالب أولاً، أو يتم ضرب الأجزاء العشرية والخصائص بشكل منفصل ويتم دمج النتائج معًا، على سبيل المثال :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

عند التقسيم قد تنشأ حالتان: 1) السمة السلبية مقسمة و 2) لا يقبل القسمة على المقسوم عليه. في الحالة الأولى، يتم فصل الخاصية والجزء العشري بشكل منفصل:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

وفي الحالة الثانية، يتم إضافة العديد من الوحدات السالبة إلى الخاصية بحيث يتم قسمة الرقم الناتج على المقسوم عليه؛ تتم إضافة نفس العدد من الوحدات الإيجابية إلى الجزء العشري:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

ويجب أن يتم هذا التحول في العقل، فيسير الإجراء على النحو التالي:

286. استبدال اللوغاريتمات المطروحة بالمصطلحات.عند حساب بعض التعبيرات المعقدة باستخدام اللوغاريتمات، عليك إضافة بعض اللوغاريتمات وطرح البعض الآخر؛ في هذه الحالة، بالطريقة المعتادة لتنفيذ الإجراءات، يجدون بشكل منفصل مجموع اللوغاريتمات المضافة، ثم مجموع الطرح، وطرح الثاني من المجموع الأول. على سبيل المثال، إذا كان لدينا:

سجل X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

عندها سيبدو التنفيذ المعتاد للإجراءات كما يلي:

ومع ذلك، من الممكن استبدال الطرح بالجمع. لذا:

الآن يمكنك ترتيب الحساب على النحو التالي:

287. أمثلة على العمليات الحسابية.

مثال 1. تقييم التعبير:

لو أ = 0.8216، ب = 0.04826، ج = 0.005127و د = 7.246.

لنأخذ لوغاريتم هذا التعبير:

سجل X= 1/3 سجل A + 4 سجل B - 3 سجل C - 1/3 سجل D

الآن، لتجنب ضياع الوقت غير الضروري وتقليل احتمالية حدوث أخطاء، سنقوم أولاً بترتيب جميع الحسابات دون تنفيذها في الوقت الحالي، وبالتالي دون الرجوع إلى الجداول:

بعد ذلك نأخذ الجداول ونضع اللوغاريتمات في الفراغات المتبقية:

حد الخطأ.أولاً، دعونا نجد حد الخطأ في الرقم س 1 = 194,5 ، يساوي:

لذلك، أولا وقبل كل شيء تحتاج إلى العثور عليها أ ، أي حد الخطأ في اللوغاريتم التقريبي، معبرًا عنه بعشرة آلاف. لنفترض أن هذه الأرقام أ، ب، جو دكلها دقيقة. عندها ستكون الأخطاء في اللوغاريتمات الفردية كما يلي (بعشرة آلاف):

الخامس سجل أ.......... 1 / 2

الخامس 1/3 سجل أ......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 تمت إضافتها لأنه عند القسمة على 3 لوغاريتمات 1.9146، قمنا بتقريب الناتج عن طريق تجاهل الرقم الخامس، وبالتالي ارتكبنا خطأ أصغر 1 / 2 عشرة آلاف).

الآن نجد حد الخطأ في اللوغاريتم:

أ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (عشرة آلاف).

دعونا نحدد كذلك د . لأن س 1 = 194,5 ، ثم عددين صحيحين متتاليين يقع بينهما س 1 سوف 194 و 195 . فرق الجدول د بين الأجزاء العشرية المقابلة لهذه الأرقام يساوي 22 . وهذا يعني أن حد الخطأ في الرقم هو س 1 هنالك:

لأن س = س 1 : 10، ثم حد الخطأ في الرقم س يساوي 0,3:10 = 0,03 . وهكذا الرقم الذي وجدناه 19,45 يختلف عن العدد الدقيق بأقل من 0,03 . وبما أننا لا نعرف هل كان تقريبنا قد وجد بنقص أم بزيادة، فلا يسعنا إلا أن نضمن ذلك

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 ، أي.

19,48 > X > 19,42 ,

وبالتالي، إذا قبلنا X =19,4 ، فسيكون لدينا تقريب مع وجود عيب بدقة تصل إلى 0.1.

مثال 2.احسب:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

بما أن الأعداد السالبة ليس لها لوغاريتمات، فإننا نجد أولًا:

X" = (2,31) 3 5 √72

عن طريق التحلل:

سجل X"= 3 سجل 2.31 + 1/5 سجل 72.

وبعد الحساب يتبين:

X" = 28,99 ;

لذلك،

س = - 28,99 .

مثال 3. احسب:

لا يمكن استخدام اللوغاريتم المستمر هنا، لأن علامة الجذر هي cum a. في مثل هذه الحالات، قم بحساب الصيغة بالأجزاء.

أولا نجد ن = 5 √8 ، ثم ن 1 = 4 √3 ; ثم عن طريق إضافة بسيطة نحدد ن+ ن 1 ، وأخيرا نحسب 3 √ن+ ن 1 ; اتضح:

ن = 1.514, ن 1 = 1,316 ; ن+ ن 1 = 2,830 .

سجل س= سجل 3 √ 2,830 = 1 / 3 سجل 2.830 = 0,1506 ;

س = 1,415 .

الفصل الرابع.

المعادلات الأسية واللوغاريتمية.

288. المعادلات الأسية هي تلك التي يتم فيها تضمين المجهول في الأس، و لوغاريتمي- تلك التي يدخل فيها المجهول تحت العلامة سجل. مثل هذه المعادلات لا يمكن حلها إلا في حالات خاصة، ويجب الاعتماد على خصائص اللوغاريتمات وعلى مبدأ أنه إذا كانت الأرقام متساوية، فإن اللوغاريتمات الخاصة بها متساوية، وعلى العكس، إذا كانت اللوغاريتمات متساوية، فإن اللوغاريتمات المقابلة لها الأرقام متساوية.

مثال 1.حل المعادلة: 2 س = 1024 .

دعونا لوغاريتم طرفي المعادلة:

مثال 2.حل المعادلة: أ 2x - أ س = 1 . وضع أ س = في ، نحصل على معادلة تربيعية:

ذ 2 - في - 1 = 0 ,

لأن 1-√5 < 0 فإن المعادلة الأخيرة مستحيلة (function أ س هناك دائمًا رقم موجب)، والأول يعطي:

مثال 3.حل المعادلة:

سجل( أ + س) + سجل ( ب + س) = سجل ( ج + س) .

يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:

سجل[( أ + س) (ب + س)] = سجل ( ج + س) .

ومن تساوي اللوغاريتمات نستنتج أن الأعداد متساوية:

(أ + س) (ب + س) = ج + س .

هذه معادلة تربيعية وحلها ليس بالصعب.

الفصل الخامس.

الفوائد المركبة والمدفوعات لأجل والمدفوعات لأجل.

289. المشكلة الأساسية في الفائدة المركبة.كم سيتحول رأس المال؟ أ روبل، نظرا للنمو في ر الفائدة المركبة بعد ر سنين ( ر - عدد صحيح)؟

ويقولون إن رأس المال يدفع بالفائدة المركبة إذا أخذ في الاعتبار ما يسمى بـ”الفائدة على الفائدة”، أي إذا أضيفت أموال الفوائد المستحقة على رأس المال إلى رأس المال في نهاية كل سنة من أجل زيادة مع الاهتمام في السنوات اللاحقة.

تم التخلي عن كل روبل من رأس المال ر %، سيحقق ربحًا خلال عام واحد ص / 100 الروبل، وبالتالي، فإن كل روبل من رأس المال في سنة واحدة سوف يتحول إلى 1 + ص / 100 الروبل (على سبيل المثال، إذا تم إعطاء رأس المال بسعر 5 ٪، فإن كل روبل منه سيتحول خلال عام إلى 1 + 5 / 100 ، أي في 1,05 روبل).

للإيجاز، للدلالة على الكسر ص / 100 بحرف واحد مثلا ص يمكننا القول أن كل روبل من رأس المال خلال عام سوف يتحول إلى 1 + ص روبل. لذلك، أ سيتم إرجاع الروبل خلال عام واحد أ (1 + ص ) فرك. وبعد سنة أخرى، أي سنتين من بداية النمو، كل روبل منها أ (1 + ص ) فرك. سوف اتصل مرة أخرى 1 + ص فرك.؛ وهذا يعني أن كل رأس المال سوف يتحول إلى أ (1 + ص ) 2 فرك. وبنفس الطريقة نجد أنه بعد ثلاث سنوات سيكون رأس المال أ (1 + ص ) 3 ، في أربع سنوات سيكون أ (1 + ص ) 4 ،... عموما من خلال ر سنوات إذا ر هو عدد صحيح، وسوف تتحول إلى أ (1 + ص ) رفرك. وبالتالي، مما يدل على أرأس المال النهائي، سيكون لدينا صيغة الفائدة المركبة التالية:

أ = أ (1 + ص ) رأين ص = ص / 100 .

مثال.يترك أ =2300 فرك، ص = 4, ر=20 سنين؛ ثم تعطي الصيغة:

ص = 4 / 100 = 0,04 ; أ = 2300 (1.04) 20.

لكي يحسب أ، نستخدم اللوغاريتمات:

سجل أ = سجل 2300 + 20 سجل 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.

أ = 5031روبل.

تعليق.في هذا المثال كان علينا أن سجل 1.04اضرب بها 20 . منذ العدد 0,0170 هناك قيمة تقريبية سجل 1.04يصل إلى 1 / 2 جزء من عشرة آلاف، ثم حاصل ضرب هذا العدد بـ 20 سيكون بالتأكيد حتى 1 / 2 20، أي ما يصل إلى 10 أجزاء من عشرة آلاف = 1 جزء من الألف. لذلك في المجموع 3,7017 لا يمكننا أن نضمن ليس فقط عدد العشرة آلاف، بل أيضًا عدد الأجزاء من الألف. ومن أجل الحصول على دقة أكبر في مثل هذه الحالات فالأفضل بالنسبة للعدد 1 + ص خذ اللوغاريتمات ليس المكونة من 4 أرقام، ولكن مع عدد كبير من الأرقام، على سبيل المثال. 7 أرقام. ولهذا الغرض نقدم هنا جدولًا صغيرًا يتم فيه كتابة اللوغاريتمات المكونة من 7 أرقام للقيم الأكثر شيوعًا ر .

290. المهمة الرئيسية هي للمدفوعات العاجلة.أخذ شخص ما أ روبل لكل ر % مع شرط سداد الدين مع فوائده المستحقة عليه ر سنوات، ويدفع نفس المبلغ في نهاية كل سنة. ماذا يجب أن يكون هذا المبلغ؟

مجموع س ويسمى الدفع السنوي في ظل هذه الظروف بالدفع العاجل. دعونا نشير مرة أخرى بالحرف ص أموال الفائدة السنوية من 1 فرك، أي الرقم ص / 100 . ثم بحلول نهاية السنة الأولى من الديون أ يزيد ل أ (1 + ص )، الدفع الأساسي X سيكلف روبل أ (1 + ص )-X .

بحلول نهاية السنة الثانية، سوف يتحول كل روبل من هذا المبلغ مرة أخرى إلى 1 + ص روبل، وبالتالي سيكون الدين [ أ (1 + ص )-X ](1 + ص ) = أ (1 + ص ) 2 - س (1 + ص )، وللدفع س الروبل سيكون: أ (1 + ص ) 2 - س (1 + ص ) - X . بنفس الطريقة، سوف نتأكد من أنه بحلول نهاية السنة الثالثة سيكون الدين

أ (1 + ص ) 3 - س (1 + ص ) 2 - س (1 + ص ) - س ,

وبشكل عام والنهاية ر السنة ستكون:

أ (1 + ص ) ر - س (1 + ص ) ر -1 - س (1 + ص ) ر -2 ... - س (1 + ص ) - س ، أو

أ (1 + ص ) ر - س [ 1 + (1 + ص ) + (1 + ص ) 2 + ...+ (1 + ص ) ر -2 + (1 + ص ) ر -1 ]

يمثل كثير الحدود الموجود داخل الأقواس مجموع حدود المتوالية الهندسية؛ الذي لديه العضو الأول 1 ، آخر ( 1 + ص ) ر -1، والمقام ( 1 + ص ). باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي (القسم 10 الفصل 3 § 249) نجد:

ومبلغ الدين بعد ذلك ر -الدفعة ستكون:

وبحسب ظروف المشكلة يكون الدين في النهاية ر -السنة يجب أن تكون مساوية ل 0 ; لهذا السبب:

أين

عند حساب هذا صيغ الدفع العاجلةباستخدام اللوغاريتمات يجب علينا أولا العثور على الرقم المساعد ن = (1 + ص ) ربواسطة اللوغاريتم: سجل ن = رسجل (1+ ص) ; بعد أن وجدت ن، اطرح منه 1، ثم نحصل على مقام الصيغة لـ X، وبعد ذلك نجد باللوغاريتم الثانوي:

سجل X=log أ+ سجل N + سجل ص - سجل (ن - 1).

291. المهمة الرئيسية للمساهمات الأجل.يقوم شخص ما بإيداع نفس المبلغ في البنك في بداية كل عام. أ فرك. تحديد رأس المال الذي سيتم تكوينه من هذه المساهمات بعد ذلك ر سنوات إذا قام البنك بالدفع ر الفائدة المركبة.

تعينها ص أموال الفائدة السنوية من 1 روبل، أي. ص / 100 نحن نفكر على هذا النحو: بحلول نهاية السنة الأولى سيكون رأس المال أ (1 + ص );

في بداية السنة الثانية سيتم إضافتها إلى هذا المبلغ أ روبل. وهذا يعني أنه في هذا الوقت سيكون رأس المال أ (1 + ص ) + أ . بحلول نهاية السنة الثانية سيكون أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص );

في بداية السنة الثالثة يتم إدخاله مرة أخرى أ روبل. وهذا يعني أنه في هذا الوقت سيكون هناك رأس المال أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص ) + أ ; بحلول نهاية اليوم الثالث سيكون أ (1 + ص ) 3 + أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص ) وبمواصلة هذه الحجج أكثر نجد ذلك في النهاية ر سنة رأس المال المطلوب أسوف:

هذه هي صيغة مساهمات الأجل المقدمة في بداية كل عام.

يمكن الحصول على نفس الصيغة من خلال المنطق التالي: الدفعة الأولى ل أ روبل أثناء وجوده في البنك ر سنوات، سوف تتحول، وفقا لصيغة الفائدة المركبة، إلى أ (1 + ص ) رفرك. القسط الثاني: البقاء في البنك لمدة سنة أقل، أي. ر - 1 سنة، اتصل أ (1 + ص ) ر- 1فرك. وبالمثل، فإن الدفعة الثالثة سوف تعطي أ (1 + ص ) ر-2وما إلى ذلك، وأخيرًا، سيتم إرسال القسط الأخير، الذي ظل في البنك لمدة عام واحد فقط، إلى أ (1 + ص ) فرك. وهذا يعني رأس المال النهائي أفرك. سوف:

أ= أ (1 + ص ) ر + أ (1 + ص ) ر- 1 + أ (1 + ص ) ر-2 + . . . + أ (1 + ص ),

والتي، بعد التبسيط، تعطي الصيغة الموجودة أعلاه.

عند الحساب باستخدام لوغاريتمات هذه الصيغة، يجب عليك المتابعة بنفس الطريقة المتبعة عند حساب صيغة الدفعات العاجلة، أي ابحث أولاً عن الرقم N = ( 1 + ص ) رمن خلال اللوغاريتم: سجل ن = رسجل(1 + ص )، ثم الرقم ن- 1ثم خذ لوغاريتم الصيغة:

سجل أ = سجل أ+سجل(1+ ص) + السجل (N - 1) - 1оgص

تعليق.إذا مساهمة عاجلة ل أ فرك. لم يتم السداد في بداية كل عام، بل في نهاية كل عام (على سبيل المثال، عند إجراء دفعة عاجلة X لسداد الدين)، إذن، بالاستدلال المماثل للسابق، نجد ذلك في النهاية ر سنة رأس المال المطلوب أ"فرك. سيكون (بما في ذلك الدفعة الأخيرة أ فرك.، لا تحمل الفائدة):

أ"= أ (1 + ص ) ر- 1 + أ (1 + ص ) ر-2 + . . . + أ (1 + ص ) + أ

وهو يساوي:

أي. أ"ينتهي في ( 1 + ص ) مرات أقل أ، وهو ما كان متوقعا، لأن كل روبل من رأس المال أ"يكمن في البنك لمدة عام أقل من الروبل المقابل لرأس المال أ.

التعابير اللوغاريتمية، حل الأمثلة. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المسائل المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تطرح المهام سؤال العثور على معنى التعبير. تجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام وفهم معناه مهم للغاية. أما بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، فيستخدم اللوغاريتم عند حل المعادلات، وفي المسائل التطبيقية، وأيضا في المهام المتعلقة بدراسة الدوال.

دعونا نعطي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب تذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم القسمة (الكسر) يساوي الفرق بين لوغاريتمات العوامل.

* * *

*لوغاريتم الأس يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

*الانتقال إلى أساس جديد

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

يرتبط حساب اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

دعونا قائمة بعض منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عندما ينتقل البسط إلى المقام والعكس، تتغير إشارة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة طبيعية من هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة، يظل الأساس كما هو، ولكن يتم ضرب الأسس.

* * *

كما رأيت، فإن مفهوم اللوغاريتم نفسه بسيط. الشيء الرئيسي هو أنك تحتاج إلى ممارسة جيدة، مما يمنحك مهارة معينة. وبطبيعة الحال، مطلوب معرفة الصيغ. إذا لم يتم تطوير مهارة تحويل اللوغاريتمات الأولية، فعند حل المهام البسيطة، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ.

تدرب على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً، ثم انتقل إلى الأمثلة الأكثر تعقيدًا. في المستقبل، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة"؛ لن تظهر هذه في امتحان الدولة الموحدة، لكنها مثيرة للاهتمام، لا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع أطيب التحيات، ألكسندر كروتيتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: السجل أ سوسجل أ ذ. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

1. سجل أ س+سجل أ ذ=log أ (س · ذ);
2. سجل أ س- سجل أ ذ=log أ (س : ذ).

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس " ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدتين الأوليين. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من كمية العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: أ > 0, أ ≠ 1, س> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا بالعكس، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

[تعليق على الصورة]

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

[تعليق على الصورة]

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا ​​أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأخرجنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع سجل اللوغاريتم يعطى أ س. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1، المساواة صحيحة:

[تعليق على الصورة]

على وجه الخصوص، إذا وضعنا ج = س، نحن نحصل:

[تعليق على الصورة]

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات الرقمية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

لكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

[تعليق على الصورة]

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

[تعليق على الصورة]

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

[تعليق على الصورة]

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى العدد نيصبح مؤشرا على درجة الوقوف في الحجة. رقم نيمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق، لأنها مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع، ماذا سيحدث إذا كان العدد برفع إلى هذه القوة أن العدد بلهذه القوة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

[تعليق على الصورة]

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

[تعليق على الصورة]

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ أ= 1 هي وحدة لوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: اللوغاريتم لأي قاعدة أمن هذه القاعدة ذاتها يساوي واحدًا.
2. سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كانت الوسيطة تحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفرًا! لأن أ 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.